On ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälöt verkossa

Artikkelin sisältö

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Monet fysikaaliset lait, jotka ovat tiettyjen ilmiöiden alaisia, on kirjoitettu matemaattisen yhtälön muodossa, joka ilmaisee tietyn suhteen joidenkin suureiden välillä. Usein puhutaan ajan myötä muuttuvien arvojen välisestä suhteesta, esimerkiksi moottorin hyötysuhde, mitattuna matkalla, jonka auto voi kulkea yhdellä polttoainelitralla, riippuu auton nopeudesta. Vastaava yhtälö sisältää yhden tai useamman funktion ja niiden derivaatan ja sitä kutsutaan differentiaaliyhtälöksi. (Etäisyyden muuttumisnopeus ajassa määräytyy nopeuden perusteella; siksi nopeus on etäisyyden derivaatta; samoin kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, koska kiihtyvyys määrittää nopeuden muutoksen ajan kuluessa.) Hyvin tärkeä, joita differentiaaliyhtälöillä on matematiikassa ja erityisesti sen sovelluksissa, selittyy sillä, että monien fysikaalisten ja tekniset tehtävät. Differentiaaliyhtälöt merkittävä rooli muissa tieteissä, kuten biologiassa, taloustieteessä ja sähkötekniikassa; itse asiassa ne syntyvät aina, kun tarvitaan ilmiöiden kvantitatiivista (numeerista) kuvausta (niin pian kuin maailma muuttuvat ajan myötä ja olosuhteet muuttuvat paikasta toiseen).

Esimerkkejä.

Seuraavat esimerkit antavat paremman käsityksen siitä, kuinka erilaiset ongelmat muotoillaan differentiaaliyhtälöiden avulla.

1) Joidenkin radioaktiivisten aineiden hajoamislaki on, että hajoamisnopeus on verrannollinen tämän aineen käytettävissä olevaan määrään. Jos x on aineen määrä tietyllä hetkellä t, niin tämä laki voidaan kirjoittaa seuraavasti:

missä dx/dt on vaimenemisnopeus ja k on jokin positiivinen vakio, joka luonnehtii annettua ainetta. (Miinusmerkki oikealla osoittaa sen x vähenee ajan myötä; plusmerkki, joka viitataan aina, kun merkkiä ei ole nimenomaisesti ilmoitettu, tarkoittaisi sitä x lisääntyy ajan myötä.)

2) Säiliö sisältää aluksi 10 kg suolaa liuotettuna 100 m 3:een vettä. Jos puhdas vesi kaatuu säiliöön nopeudella 1 m 3 minuutissa ja sekoittuu tasaisesti liuoksen kanssa ja tuloksena oleva liuos virtaa ulos astiasta samalla nopeudella, kuinka paljon suolaa on astiassa milloin tahansa myöhemmässä vaiheessa? Jos x- suolan määrä (kg) säiliössä sillä hetkellä t, sitten milloin tahansa t 1 m 3 säiliössä olevaa liuosta sisältää x/100 kg suolaa; joten suolan määrä vähenee vauhdilla x/100 kg/min tai

3) Anna massan vartalon päälle m Jousen päähän ripustettuna palautusvoima vaikuttaa verrannollisesti jousen jännityksen määrään. Päästää x- kehon tasapainoasennosta poikkeaman määrä. Sitten Newtonin toisen lain mukaan, joka sanoo, että kiihtyvyys (toinen derivaatta x ajassa, merkitty d 2 x/dt 2) suhteessa vahvuuteen:

Oikea puoli on miinusmerkillä, koska palautusvoima vähentää jousen pidentymistä.

4) Kehojen jäähtymisen laki sanoo, että lämmön määrä kehossa vähenee suhteessa ruumiinlämpötilojen eroon ja ympäristöön. Jos kuppi kahvia, joka on lämmitetty 90 °C:seen, on huoneessa, jonka lämpötila on 20 °C,

missä T– kahvin lämpötila kulloinkin t.

5) Blefuscun osavaltion ulkoministeri väittää, että Lilliputin hyväksymä aseistusohjelma pakottaa hänen maansa lisäämään sotilasmenoja mahdollisimman paljon. Samanlaisia ​​lausuntoja antaa Lilliputin ulkoministeri. Tuloksena oleva tilanne (sen yksinkertaisimmassa tulkinnassa) voidaan kuvata tarkasti kahdella differentiaaliyhtälöllä. Päästää x ja y- Lilliputin ja Blefuscun aseistamisen kustannukset. Olettaen, että Lilliputia lisää asemenojaan suhteessa Blefuscun asekulujen kasvuvauhtiin ja päinvastoin, saamme:

missä jäsenet ovat kirves ja - kirjoittaja kuvaile kunkin maan sotilasmenoja, k ja l ovat positiivisia vakioita. (Tämän ongelman muotoili ensimmäisen kerran tällä tavalla vuonna 1939 L. Richardson.)

Kun tehtävä on kirjoitettu differentiaaliyhtälöiden kielellä, ne pitäisi yrittää ratkaista, ts. Etsi suureet, joiden muutosnopeudet sisältyvät yhtälöihin. Joskus ratkaisut löytyvät eksplisiittisten kaavojen muodossa, mutta useammin ne voidaan esittää vain likimääräisessä muodossa tai saada niistä laadullista tietoa. Usein on vaikea määrittää, onko ratkaisua ylipäätään olemassa, saati sitten löytää sellainen. Tärkeä osa differentiaaliyhtälöiden teoriaa ovat niin sanotut "olemassaololauseet", jotka todistavat ratkaisun olemassaolon jollekin tyyppiselle differentiaaliyhtälölle.

Fysikaalisen ongelman alkuperäinen matemaattinen muotoilu sisältää yleensä yksinkertaistavia oletuksia; niiden kohtuullisuuden kriteerinä voi olla matemaattisen ratkaisun johdonmukaisuus käytettävissä olevien havaintojen kanssa.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut.

Differentiaaliyhtälö esimerkiksi dy/dx = x/y, ei tyydytä lukua, vaan funktiota, tässä nimenomaisessa tapauksessa siten, että sen kuvaajalla missä tahansa pisteessä, esimerkiksi pisteessä, jolla on koordinaatit (2,3), on tangentti, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin koordinaattien suhde ( esimerkissämme 2/3). Tämä on helppo tarkistaa, jos pisteitä rakennetaan suuri määrä ja jokaisesta irrotetaan lyhyt segmentti, jolla on vastaava kaltevuus. Ratkaisu on funktio, jonka kuvaaja koskettaa jokaista pistettään vastaavassa segmentissä. Jos pisteitä ja segmenttejä on riittävästi, voimme suunnilleen hahmotella päätöskäyrien kulun (kolme tällaista käyrää on esitetty kuvassa 1). Jokaisen pisteen läpi kulkee täsmälleen yksi ratkaisukäyrä y Nro 0. Jokaista yksittäistä ratkaisua kutsutaan differentiaaliyhtälön tietyksi ratkaisuksi; jos on mahdollista löytää kaava, joka sisältää kaikki yksittäiset ratkaisut (mahdollisesti muutamaa erikoisratkaisua lukuun ottamatta), niin sanotaan, että on saatu yleinen ratkaisu. Yksittäinen ratkaisu on yksi toiminto, kun taas yleinen ratkaisu on niiden kokonaisuus. Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa joko sen tietyn tai yleisen ratkaisun löytämistä. Esimerkissämme yleisellä ratkaisulla on muoto y 2 – x 2 = c, missä c- mikä tahansa numero; pisteen (1,1) läpi kulkevalla tietyllä ratkaisulla on muoto y = x ja saadaan kun c= 0; pisteen (2.1) kautta kulkevalla tietyllä ratkaisulla on muoto y 2 – x 2 = 3. Ehtoa, joka edellyttää, että ratkaisukäyrä kulkee esimerkiksi pisteen (2,1) läpi, kutsutaan alkuehdoksi (koska se määrittää ratkaisukäyrän aloituspisteen).

Voidaan osoittaa, että esimerkissä (1) yleisellä ratkaisulla on muoto x = ce –kt, missä c- vakio, joka voidaan määrittää esimerkiksi ilmoittamalla aineen määrä klo t= 0. Esimerkin (2) yhtälö on esimerkin (1) yhtälön erikoistapaus, joka vastaa k= 1/100. Alkukunnossa x= 10 klo t= 0 antaa tietyn ratkaisun x = 10e –t/100 . Esimerkin (4) yhtälöllä on yleinen ratkaisu T = 70 + ce –kt ja tietty ratkaisu 70 + 130 – kt; arvon määrittämiseksi k, tarvitaan lisätietoja.

Differentiaaliyhtälö dy/dx = x/y kutsutaan ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi, koska se sisältää ensimmäisen derivaatan (on tapana pitää siihen sisältyvän korkeimman derivaatan järjestystä differentiaaliyhtälön järjestyksenä). Useimmissa (mutta ei kaikissa) ensimmäisen tyyppisissä käytännössä esiintyvissä differentiaaliyhtälöissä vain yksi ratkaisukäyrä kulkee kunkin pisteen läpi.

On olemassa useita tärkeitä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden tyyppejä, jotka voidaan ratkaista kaavoina, jotka sisältävät vain alkeisfunktioita - potenssit, eksponentit, logaritmit, sinit ja kosinit jne. Nämä yhtälöt sisältävät seuraavat.

Yhtälöt erotettavilla muuttujilla.

Muodon yhtälöt dy/dx = f(x)/g(y) voidaan ratkaista kirjoittamalla se differentiaaleihin g(y)dy = f(x)dx ja integroi molemmat osat. Pahimmassa tapauksessa ratkaisu voidaan esittää tunnettujen funktioiden integraaleina. Esimerkiksi yhtälön tapauksessa dy/dx = x/y meillä on f(x) = x, g(y) = y. Kirjoittamalla se lomakkeeseen ydy = xdx ja integroimalla saamme y 2 = x 2 + c. Erottuvat muuttujat sisältävät yhtälöt esimerkeistä (1), (2), (4) (ne voidaan ratkaista yllä kuvatulla menetelmällä).

Yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa.

Jos differentiaaliyhtälöllä on muoto dy/dx = M(x,y)/N(x,y), missä M ja N on kaksi annettua funktiota, se voidaan esittää muodossa M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Jos vasen puoli on jonkin funktion differentiaali F(x,y), niin differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa dF(x,y) = 0, mikä vastaa yhtälöä F(x,y) = vakio Yhtälö-ratkaisukäyrät ovat siis funktion "vakiotasojen viivoja" tai pisteiden paikkoja, jotka täyttävät yhtälöt F(x,y) = c. Yhtälö ydy = xdx(Kuva 1) - erotettavilla muuttujilla, ja se on sama - kokonaisdifferentiaaleina: jälkimmäisen tarkistamiseksi kirjoitamme sen muodossa ydy – xdx= 0, ts. d(y 2 – x 2) = 0. Funktio F(x,y) tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin (1/2)( y 2 – x 2); jotkin sen vakiotasoviivat on esitetty kuvassa. yksi.

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt ovat "ensimmäisen asteen" yhtälöitä - tuntematon funktio ja sen derivaatat sisältyvät tällaisiin yhtälöihin vain ensimmäisessä asteessa. Siten ensimmäisen asteen lineaarisella differentiaaliyhtälöllä on muoto dy/dx + s(x) = q(x), missä s(x) ja q(x) ovat toimintoja riippuen vain x. Sen ratkaisu voidaan aina kirjoittaa tunnettujen funktioiden integraaleilla. Monet muun tyyppiset ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt ratkaistaan ​​erityistekniikoilla.

Korkeamman asteen yhtälöt.

Monet fyysikkojen käsittelemistä differentiaaliyhtälöistä ovat toisen kertaluvun yhtälöitä (eli yhtälöitä, jotka sisältävät toisen derivaatan). Tällainen on esimerkiksi yksinkertainen harmoninen liikeyhtälö esimerkistä (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Yleisesti ottaen voidaan odottaa, että toisen asteen yhtälöllä on tietyt ratkaisut, jotka täyttävät kaksi ehtoa; voidaan esimerkiksi vaatia, että ratkaisukäyrä kulkee läpi annettu piste sisään tähän suuntaan. Tapauksissa, joissa differentiaaliyhtälö sisältää jonkin parametrin (luku, jonka arvo riippuu olosuhteista), vaaditun tyyppiset ratkaisut ovat olemassa vain tämän parametrin tietyille arvoille. Harkitse esimerkiksi yhtälöä md 2 x/dt 2 = –kx ja vaadimme sitä y(0) = y(1) = 0. Funktio yє 0 on varmasti ratkaisu, mutta if on kokonaislukukerrannainen s, eli k = m 2 n 2 s 2, missä n on kokonaisluku, ja itse asiassa vain tässä tapauksessa on muita ratkaisuja, nimittäin: y= synti npx. Parametriarvoja, joille yhtälöllä on erityisratkaisuja, kutsutaan ominaisarvoiksi tai ominaisarvoiksi; niillä on tärkeä rooli monissa tehtävissä.

Yksinkertaisen harmonisen liikkeen yhtälö on esimerkki tärkeästä yhtälöryhmästä, nimittäin lineaarisista differentiaaliyhtälöistä, joilla on vakiokertoimet. Yleisempi esimerkki (myös toisen asteen) on yhtälö

missä a ja b annetaan vakioita, f(x) on annettu funktio. Sellaiset yhtälöt voidaan ratkaista eri tavoilla, esimerkiksi integraalin Laplace-muunnoksen avulla. Samaa voidaan sanoa korkeamman asteen lineaarisista yhtälöistä vakiokertoimilla. Lineaarisilla yhtälöillä, joissa on muuttujakertoimia, on myös merkittävä rooli.

Epälineaariset differentiaaliyhtälöt.

Yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattomia funktioita ja niiden derivaattoja, jotka ovat suurempia kuin ensimmäinen tai jollain monimutkaisemmalla tavalla, kutsutaan epälineaariseksi. AT viime vuodet he saavat yhä enemmän huomiota. Asia on siinä, että fysikaaliset yhtälöt ovat yleensä lineaarisia vain ensimmäisessä approksimaatiossa; Tarkempi ja tarkempi tutkimus vaatii pääsääntöisesti epälineaaristen yhtälöiden käyttöä. Lisäksi monet ongelmat ovat luonnostaan ​​epälineaarisia. Koska epälineaaristen yhtälöiden ratkaisut ovat usein hyvin monimutkaisia ​​ja vaikeasti esitettäviä yksinkertaisia ​​kaavoja, merkittävä osa moderni teoria on omistettu heidän käyttäytymisensä kvalitatiiviselle analyysille, ts. sellaisten menetelmien kehittäminen, joiden avulla voidaan ilman yhtälöiden ratkaisemista sanoa jotain merkittävää ratkaisujen luonteesta kokonaisuutena: esimerkiksi se, että ne ovat kaikki rajoitettuja, jaksollisia tai tietyllä tavalla riippuvaisia kertoimet.

Differentiaaliyhtälöiden likimääräiset ratkaisut löytyvät numeerisesti, mutta tämä vie paljon aikaa. Nopeiden tietokoneiden myötä tämä aika on lyhentynyt huomattavasti, mikä on avannut uusia mahdollisuuksia monien ongelmien numeeriseen ratkaisuun, jotka aiemmin eivät olleet soveltuvia tällaiseen ratkaisuun.

Olemassaololauseet.

Olemassaololause on lause, joka väittää, että tietyissä olosuhteissa tietyllä differentiaaliyhtälöllä on ratkaisu. On olemassa differentiaaliyhtälöitä, joilla ei ole ratkaisuja tai joissa ratkaisuja on odotettua enemmän. Olemassaololauseen tarkoituksena on vakuuttaa meidät siitä, että annetulla yhtälöllä on ratkaisu, ja useimmiten varmistaa, että sillä on täsmälleen yksi vaaditun tyyppinen ratkaisu. Esimerkiksi yhtälö, jonka olemme jo kohdanneet dy/dx = –2y on täsmälleen yksi ratkaisu, joka kulkee tason jokaisen pisteen läpi ( x,y), ja koska olemme jo löytäneet yhden tällaisen ratkaisun, olemme ratkaisseet tämän yhtälön kokonaan. Toisaalta yhtälö ( dy/dx) 2 = 1 – y 2:lla on monia ratkaisuja. Niiden joukossa on suoria y = 1, y= –1 ja käyrät y= synti( x + c). Ratkaisu voi koostua useista näiden suorien ja käyrien segmenteistä, jotka kulkevat kosketuspisteissä toisiinsa (kuva 2).

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt.

Tavallinen differentiaaliyhtälö on lause yhden muuttujan tuntemattoman funktion derivaatta. Osittaisdifferentiaaliyhtälö sisältää kahden tai useamman muuttujan funktion ja tämän funktion derivaatat vähintään kahdessa eri muuttujassa.

Fysiikassa esimerkkejä tällaisista yhtälöistä ovat Laplacen yhtälö

X , y) ympyrän sisällä, jos arvot u on annettu rajaavan ympyrän jokaisessa pisteessä. Koska ongelmat useamman kuin yhden muuttujan kanssa fysiikassa ovat pikemminkin sääntö kuin poikkeus, on helppo kuvitella, kuinka laaja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoria on.

Luentomuistiinpanot aiheesta

differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt

Johdanto

Joitakin ilmiöitä tutkittaessa syntyy usein tilanne, jossa prosessia ei voida kuvata yhtälöllä y=f(x) tai F(x;y)=0. Muuttujan x ja tuntemattoman funktion lisäksi yhtälö sisältää tämän funktion derivaatan.

Määritelmä: Kutsutaan yhtälöä, joka koskee muuttujaa x, tuntematonta funktiota y(x) ja sen derivaattoja differentiaaliyhtälö. AT yleisnäkymä differentiaaliyhtälö näyttää tältä:

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Määritelmä: Differentiaaliyhtälön järjestys on sen korkeimman derivaatan järjestys.

-ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö

–kolmannen asteen differentiaaliyhtälö

Määritelmä: Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio, joka substituoituna yhtälöön muuttaa sen identiteetiksi.

1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Määritelmä: Tyyppiyhtälö =f(x;y) tai F(x;y; )=0kutsutaan 1. asteen differentiaaliyhtälöksi.

Määritelmä: Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on funktio y=γ(x;c), missä (с –const), joka yhtälöön substituoituna muuttaa sen identiteetiksi. Geometrisesti tasossa yleinen ratkaisu vastaa integraalikäyrien perhettä parametrista c riippuen.

Määritelmä: Integraalikäyrä, joka kulkee tason pisteen läpi, jonka koordinaatit (x 0; y 0), vastaa differentiaaliyhtälön tiettyä ratkaisua, joka täyttää alkuehdon:

Lause 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun ainutlaatuisuuden olemassaolosta

Annettu 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö
ja funktio f(x; y) on jatkuva yhdessä osittaisten derivaattojen kanssa jossain XOY-tason D-alueella, sitten pisteen M 0 (x 0; y 0) läpi D ohittaa ainoan käyrän, joka vastaa alkuehtoa y(x 0)=y 0 vastaavan differentiaaliyhtälön tiettyä ratkaisua

Annettujen koordinaattien pisteen läpi kulkee 1 integraalikäyrä.

Jos 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön yleistä ratkaisua ei ole mahdollista saada eksplisiittisessä muodossa, ts.
, niin se voidaan saada implisiittisesti:

F(x; y; c) =0 – implisiittinen muoto

Yleinen ratkaisu tässä muodossa on ns yhteinen integraali differentiaaliyhtälö.

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön suhteen asetetaan 2 tehtävää:

1) Etsi yleinen ratkaisu (yleinen integraali)

2) Etsi tietty ratkaisu (osittaisintegraali), joka täyttää annetun alkuehdon. Tätä ongelmaa kutsutaan differentiaaliyhtälön Cauchyn ongelmaksi.

Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Muodon yhtälöt:
kutsutaan differentiaaliyhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

Korvaava

kerrotaan dx:llä

erotamme muuttujat

jaettuna

Huomautus: On tarpeen harkita erityistapausta, kun

muuttujat erotetaan toisistaan

integroimme yhtälön molemmat puolet

- yhteinen päätös

Erotettavia muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

yksittäistapaus
!

Integroimme yhtälön molemmat osat:

1)

2)
aikaisin ehdot:

Homogeeniset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Määritelmä: Toiminto
kutsutaan homogeeniseksi kertaluvun n, jos

Esimerkki: - homogeeninen funktio kertalukua n=2

Määritelmä: Kutsutaan homogeenista funktiota, jonka kertaluku on 0 homogeeninen.

Määritelmä: Differentiaaliyhtälö
kutsutaan homogeeniseksi jos
- homogeeninen funktio, ts.

Siten homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Vaihtamalla , jossa t on muuttujan x funktio, homogeeninen differentiaaliyhtälö pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

- korvaa yhtälö

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroimme yhtälön molemmat osat

Tehdään käänteinen substituutio korvaamalla , saamme yleisen ratkaisun implisiittisessä muodossa.

Homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa differentiaalimuotoon.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, missä M(x;y) ja N(x;y) ovat samaa luokkaa olevia homogeenisia funktioita.

Jaa dx:llä ja express

1)

Muista ongelma, jonka kohtasimme etsiessämme tarkkoja integraaleja:

tai dy = f(x)dx. Hänen ratkaisunsa:

ja se tiivistyy laskemiseen epämääräinen integraali. Käytännössä vaikeampi tehtävä on yleisempi: funktion löytäminen y, jos tiedetään, että se täyttää muodon suhteen

Tämä relaatio liittyy riippumattomaan muuttujaan x, tuntematon toiminto y ja sen johdannaiset järjestyksen mukaan n mukaan lukien, kutsutaan .

Differentiaaliyhtälö sisältää funktion, joka on yhden tai toisen asteen derivaattojen (tai differentiaalien) merkin alla. Korkeimman järjestystä kutsutaan järjestyksessä (9.1) .

Differentiaaliyhtälöt:

- ensimmäinen tilaus

toinen tilaus,

- viides tilaus jne.

Funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön, kutsutaan sen ratkaisuksi , tai integraali . Sen ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä. Jos haluttu toiminto y onnistui saamaan kaavan, joka antaa kaikki ratkaisut, niin sanomme, että olemme löytäneet sen yleisen ratkaisun , tai yleinen integraali .

Yhteinen päätös sisältää n mielivaltaisia ​​vakioita ja näyttää siltä

Jos saadaan relaatio, joka liittyy x, y ja n mielivaltaisia ​​vakioita muodossa, jota ei sallita suhteessa y -

silloin tällaista suhdetta kutsutaan yhtälön (9.1) yleiseksi integraaliksi.

Cauchy ongelma

Jokainen erityinen ratkaisu eli jokaista tiettyä funktiota, joka täyttää tietyn differentiaaliyhtälön ja joka ei riipu mielivaltaisista vakioista, kutsutaan tietyksi ratkaisuksi , tai yksityinen integraali. Tiettyjen ratkaisujen (integraalien) saamiseksi yleisistä on tarpeen liittää vakioihin tietyt numeeriset arvot.

Tietyn ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Yleinen ratkaisu, joka sisältää kaikki yksittäiset ratkaisut, on integraalikäyrien perhe. Ensimmäisen kertaluvun yhtälössä tämä perhe riippuu yhdestä mielivaltaisesta vakiosta; yhtälölle n tilaus - alkaen n mielivaltaisia ​​vakioita.

Cauchyn ongelma on löytää tietty ratkaisu yhtälöön n järjestyksessä, tyydyttävä n alkuolosuhteet:

jotka määrittävät n vakiota с 1 , с 2 ,..., c n.

1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

1. asteen differentiaaliyhtälöllä on derivaatan suhteen ratkaisematon muoto

tai suhteellisesti sallittua

Esimerkki 3.46. Etsi yhtälölle yleinen ratkaisu

Ratkaisu. Integroimalla saamme

jossa C on mielivaltainen vakio. Jos annamme C:lle tietyt numeeriset arvot, saamme tiettyjä ratkaisuja, esim.

Esimerkki 3.47. Harkitse kasvavaa pankkiin talletettua rahamäärää 100 r:n kertymän mukaisesti korkokorkoa vuodessa. Olkoon Yo alkuperäinen rahasumma ja Yx voimassaolon päättymisen jälkeen x vuotta. Kun korko lasketaan kerran vuodessa, saamme

jossa x = 0, 1, 2, 3,.... Kun korko lasketaan kahdesti vuodessa, saadaan

jossa x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Korkoa laskettaessa n kerran vuodessa ja jos x ottaa peräkkäin arvot 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., sitten

Merkitse 1/n = h , niin edellinen yhtälö näyttää tältä:

Rajoittamattomalla suurennuksella n(at ) rajassa tulemme rahamäärän kasvattamiseen jatkuvalla korkokertymällä:

Näin ollen voidaan nähdä, että jatkuvalla muutoksella x rahan tarjonnan muutoslaki ilmaistaan ​​ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöllä. missä Y x on tuntematon funktio, x- itsenäinen muuttuja, r- vakio. Ratkaisemme tämän yhtälön, tätä varten kirjoitamme sen uudelleen seuraavasti:

missä , tai , jossa P on e C .

Alkuehdoista Y(0) = Yo saadaan P: Yo = Pe o , josta Yo = P. Ratkaisu näyttää siis tältä:

Mieti toista taloudellista ongelmaa. Makrotaloudellisia malleja kuvataan myös 1. kertaluvun lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä, jotka kuvaavat tulon tai tuotoksen Y muutosta ajan funktiona.

Esimerkki 3.48. Kasvakoon kansantulo Y sen arvoon suhteutettuna:

ja olkoon, julkisten menojen alijäämä on suoraan verrannollinen tuloihin Y suhteellisuuskertoimella q. Menojen alijäämä johtaa valtionvelan kasvuun D:

Alkuehdot Y = Yo ja D = Do, kun t = 0. Ensimmäisestä yhtälöstä Y= Yoe kt . Korvaamalla Y saadaan dD/dt = qYoe kt . Yleisellä ratkaisulla on muoto
D = (q/ k) Yoe kt +С, missä С = const, joka määritetään alkuehdoista. Korvaamalla alkuehdot, saadaan Do = (q/k)Yo + C. Joten lopuksi,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

Tämä osoittaa, että valtionvelka kasvaa samaa suhteellista vauhtia k, joka on kansantulo.

Harkitse yksinkertaisimpia differentiaaliyhtälöitä n järjestyksessä, nämä ovat muodon yhtälöitä

Sen yleinen ratkaisu voidaan saada käyttämällä n integraation aikoja.

Esimerkki 3.49. Tarkastellaan esimerkkiä y """ = cos x.

Ratkaisu. Integrointi, löydämme

Yleisellä ratkaisulla on muoto

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Taloustieteessä niistä on paljon hyötyä, harkitse tällaisten yhtälöiden ratkaisua. Jos (9.1):llä on muoto:

silloin sitä kutsutaan lineaariseksi, missä po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) on annettu funktioita. Jos f(x) = 0, niin (9.2) kutsutaan homogeeniseksi, muuten sitä kutsutaan epähomogeeniseksi. Yhtälön (9.2) yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen yksittäisen ratkaisun summa y(x) ja sitä vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu:

Jos kertoimet p o (x), p 1 (x),..., p n (x) ovat vakioita, niin (9.2)

(9.4) kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi, jolla on vakiokertoimet n .

Kohdalle (9.4) se on muodossa:

Voimme asettaa ilman yleisyyden menetystä p o = 1 ja kirjoittaa (9.5) muotoon

Etsimme ratkaisua (9.6) muodossa y = e kx , jossa k on vakio. Meillä on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Korvaa saadut lausekkeet lausekkeella (9.6), saamme:

(9.7) on algebrallinen yhtälö, sen tuntematon on k, sitä kutsutaan ominaispiirteeksi. Ominaisuusyhtälöllä on aste n ja n juuret, joiden joukossa voi olla sekä useita että monimutkaisia. Olkoon k 1 , k 2 ,..., k n siis todellinen ja erillinen ovat erityisiä ratkaisuja (9.7), kun taas yleiset

Tarkastellaan toisen asteen lineaarista homogeenista differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla:

Sen tunnusomaisella yhtälöllä on muoto

(9.9)

sen diskriminantti D = p 2 - 4q, riippuen D:n merkistä, kolme tapausta on mahdollista.

1. Jos D>0, niin juuret k 1 ja k 2 (9.9) ovat todellisia ja erilaisia, ja yleisratkaisulla on muoto:

Ratkaisu. Ominaisuusyhtälö: k 2 + 9 = 0, jolloin k = ± 3i, a = 0, b = 3, yleinen ratkaisu on:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Toisen asteen lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä tutkitaan verkkomaista taloudellista mallia tavaravarastoilla, jossa hinnan P muutosnopeus riippuu varaston koosta (ks. kappale 10). Jos kysyntä ja tarjonta ovat lineaarisia hinnan funktioita, eli

a - on vakio, joka määrittää reaktionopeuden, jolloin hinnanmuutosprosessi kuvataan differentiaaliyhtälöllä:

Tietylle ratkaisulle voit ottaa vakion

jolla on tasapainohinnan merkitys. Poikkeama täyttää homogeenisen yhtälön

(9.10)

Ominaisuusyhtälö on seuraava:

Siinä tapauksessa termi on positiivinen. Merkitse . Karakteriyhtälön k 1,2 = ± i w juuret, joten yleisratkaisu (9.10) on muotoa:

missä C ja mielivaltaiset vakiot, ne määritetään alkuehdoista. Olemme saaneet hinnan muutoksen lain ajassa:

The online-laskin voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä verkossa. Riittää, kun syötät yhtälösi sopivaan kenttään, joka merkitsee heittomerkillä "funktion johdannaista" ja napsautat "ratkaise yhtälö" -painiketta. Ja suositun WolframAlpha-sivuston perusteella toteutettu järjestelmä antaa yksityiskohtaisen differentiaaliyhtälön ratkaisu täysin ilmainen. Voit myös asettaa Cauchyn ongelman niin, että koko sarjasta mahdolliset ratkaisut valitse osamäärä, joka vastaa annettuja alkuehtoja. Cauchyn ongelma syötetään erilliseen kenttään.

Differentiaaliyhtälö

Oletuksena yhtälössä funktio y on muuttujan funktio x. Voit kuitenkin asettaa oman muuttujan merkinnän, jos kirjoitat yhtälöön esimerkiksi y(t), laskin tunnistaa sen automaattisesti y on muuttujan funktio t. Laskurilla voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä minkä tahansa monimutkaisuuden ja tyypin: homogeeniset ja epähomogeeniset, lineaariset tai epälineaariset, ensimmäisen tai toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt, joissa on erotettavia tai ei-erotettavia muuttujia jne. Ratkaisu ero. yhtälöt on annettu analyyttinen muoto, Sillä on Yksityiskohtainen kuvaus. Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin yleisiä fysiikassa ja matematiikassa. Ilman niiden laskentaa on mahdotonta ratkaista monia ongelmia (etenkin matemaattisessa fysiikassa).

Yksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisun vaiheista on funktioiden integrointi. On olemassa standardimenetelmiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. On tarpeen saattaa yhtälöt muotoon erotettavilla muuttujilla y ja x ja integroida erotetut funktiot erikseen. Tätä varten sinun on joskus tehtävä tietty vaihto.

Differentiaaliyhtälö (DE) on yhtälö,
missä ovat riippumattomia muuttujia, y on funktio ja ovat osittaisia ​​derivaattoja.

Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jolla on vain yksi riippumaton muuttuja, .

Osittaisdifferentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on kaksi tai useampia riippumattomia muuttujia.

Sanat "tavallinen" ja "osittaisjohdannaiset" voidaan jättää pois, jos on selvää, mitä yhtälöä tarkastellaan. Seuraavassa tarkastellaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä.

Differentiaaliyhtälön järjestys on korkeimman derivaatan järjestys.

Tässä on esimerkki ensimmäisen asteen yhtälöstä:

Tässä on esimerkki neljännen kertaluvun yhtälöstä:

Joskus ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan differentiaalien avulla:

Tässä tapauksessa muuttujat x ja y ovat yhtä suuret. Eli riippumaton muuttuja voi olla joko x tai y . Ensimmäisessä tapauksessa y on x:n funktio. Toisessa tapauksessa x on y:n funktio. Tarvittaessa voimme viedä tämän yhtälön muotoon, jossa derivaatta y′ tulee eksplisiittisesti.
Jakamalla tämän yhtälön dx:llä saamme:
.
Koska ja, siitä seuraa siitä
.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisu

Alkuperäisten funktioiden derivaatat ilmaistaan ​​alkeisfunktioina. Alkeisfunktioiden integraaleja ei usein ilmaista alkeisfunktioilla. Differentiaaliyhtälöiden kanssa tilanne on vielä pahempi. Ratkaisun tuloksena voit saada:

• funktion eksplisiittinen riippuvuus muuttujasta;

  Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen on funktio y = u (x), joka on määritelty, on n kertaa differentioituva ja .

• implisiittinen riippuvuus tyypin Φ yhtälön muodossa (x, y) = 0 tai yhtälöjärjestelmät;

  Differentiaaliyhtälön integraali on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, jolla on implisiittinen muoto.

• alkeisfunktioiden ja niiden integraalien kautta ilmaistu riippuvuus;

  Kvadratuurien differentiaaliyhtälön ratkaisu - tämä on ratkaisun löytäminen alkeisfunktioiden ja niiden integraalien yhdistelmän muodossa.

• ratkaisua ei voi ilmaista alkeisfunktioilla.

Koska differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on pelkistetty integraalien laskemiseen, ratkaisu sisältää joukon vakioita C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Differentiaaliyhtälön osaintegraali on yleinen integraali vakioiden C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n annetuille arvoille.

Viitteet:
V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, Lan, 2003.