Решение простейших дифференциальных уравнений первого порядка. Как решать дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.

Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

.

В результате мы получили общее решение -

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x , получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные - y" , y" и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x"(t), x""(t) - ее производные, а t - независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или

Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например, x 2 y" - y = 0, y" + sinx = 0 - уравнения первого порядка, а y" + 2 y" + 5 y = x - уравнение второго порядка.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением

Уравнение может не содержать в явном виде x и y, но обязательно содержит у".

Если уравнение можно записать в виде

то получим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) является множество решений, где С - произвольная постоянная.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости xOy общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

Если задать точку A (x 0 , y 0), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций можно выделить одну - частное решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.

Еслиявляется общим решением, тогда из условия

можно найти постоянную С. Условиеназывают начальным условием.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющего начальному условиюпри называется задачей Коши. Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержит следующая теорема.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении y" = f (x, y) функция f (x, y) и ее

частная производная определены и непрерывны в некоторой

области D, содержащей точкуТогда в области D существует

единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условиюпри

Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая y = f (x), проходящая через точкуТочки, в которых не выполняются условия теоремы

Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f (x, y) или.

Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

Определение. Если решение (6.3), (6.4) найдено в виде f (x, y, C) = 0, не разрешенным относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема Коши только гарантирует, что решение существует. Поскольку единого метода нахождения решения нет, мы будем рассматривать только некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

Определение. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если отыскание его решения сводится к интегрированию функций.

6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными,

Правая часть уравнения (6.5) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнениеявляется уравнением с разделяющи-

мися переменными
а уравнение

нельзя представить в виде (6.5).

Учитывая, что, перепишем (6.5) в виде

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие лишь от соответствующей переменной:

Интегрируя почленно, имеем

где C = C 2 - C 1 - произвольная постоянная. Выражение (6.6) представляет собой общий интеграл уравнения (6.5).

Разделив обе части уравнения (6.5) на,, мы можем потерять те решения, при которых,Действительно, еслипри

тоочевидно, является решением уравнения (6.5).

Пример 1. Найти решение уравненияудовлетворяющее

условию: y = 6 при x = 2 (y (2) = 6).

Решение. Заменим у" натогда. Умножим обе части на

dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:

а затем, разделив обе части наполучим уравнение,

которое можно проинтегрировать. Интегрируем:

Тогда; потенцируя, получим y = C . (x + 1) - об-

щее решение.

По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение

Окончательно получаем y = 2(x + 1) - частное решение. Рассмотрим еще несколько примеров решения уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Учитывая, что, получим.

Проинтегрировав обе части уравнения, будем иметь

откуда

Пример 3. Найти решение уравненияРешение. Делим обе части уравнения на те сомножители, которые зависят от переменной, не совпадающей с переменной под знаком дифференциала, т. е. наи интегрируем. Тогда получим

и, наконец,

Пример 4. Найти решение уравнения

Решение. Зная, чтополучим. Разде-

лим переменные. Тогда

Интегрируя, получим

Замечание. В примерах 1 и 2 искомая функция y выражена явно (общее решение). В примерах 3 и 4 - неявно (общий интеграл). В дальнейшем форма решения оговариваться не будет.

Пример 5. Найти решение уравненияРешение.

Пример 6. Найти решение уравнения, удовлетворяющее

условию y(e) = 1.

Решение. Запишем уравнение в виде

Умножая обе части уравнения на dx и на, получим

Интегрируя обе части уравнения (интеграл в правой части берется по частям), получим

Но по условию y = 1 при x = e . Тогда

Подставим найденные значения С в общее решение:

Полученное выражение называется частным решением дифференциального уравнения.

6.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

Приведем алгоритм решения однородного уравнения.

1.Вместо y введем новую функциюТогдаи, следовательно,

2.В терминах функции u уравнение (6.7) принимает вид

т. е. замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

3.Решая уравнение (6.8), находим сначала u, а затем y = ux.

Пример 1. Решить уравнениеРешение. Запишем уравнение в виде

Производим подстановку:
Тогда

Заменим

Умножим на dx: Разделим на x и натогда

Проинтегрировав обе части уравнения по соответствующим переменным, будем иметь

или, возвращаясь к старым переменным, окончательно получим

Пример 2. Решить уравнениеРешение. Пустьтогда

Поделим обе части уравнения на x 2: Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Переходя к старым переменным, придем к окончательному результату:

Пример 3. Найти решение уравнения при условии

Решение. Выполняя стандартную заменуполучаем

или

или

Значит, частное решение имеет видПример 4. Найти решение уравнения

Решение.

Пример 5. Найти решение уравнения Решение.

Самостоятельная работа

Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (1-9).

Найти решение однородных дифференциальных уравнений (9-18).

6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Ra (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Ra, если известно, что в начальный момент имелосьRa и период полураспада Ra равен 1590 лет.

Решение. Пусть в моментмасса Ra составляет x = x(t) г, причем Тогда скорость распада Ra равна

По условию задачи

где k

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

откуда

Для определения C используем начальное условие: при.

Тогдаи, значит,

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия:

Имеем

Отсюдаи искомая формула

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?

Решение. Пусть x - количество бактерий в момент t. Тогда, согласно условию,

где k - коэффициент пропорциональности.

ОтсюдаИз условия известно, что. Значит,

Из дополнительного условия. Тогда

Искомая функция:

Значит, при t = 9 x = 800, т. е. в течение 9 ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента a в течение часа удвоилось. Найти зависимость

x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение процесса имеет вид

отсюда

Но. Значит, C = a и тогда

Известно также, что

Следовательно,

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.3.1. Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, у или у". Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать у". В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде:

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка могут существовать общее и частное решения. Общее решение имеет вид:

Нахождение частного решения

при начальных условиях- заданные

числа) называется задачей Коши. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у = у (x), проходящую через заданную точкуи имеющую в этой точке касательнуюкоторая об-

разует с положительным направлением оси Ox заданный уголт. е. (рис. 6.1). Задача Коши имеет единственное решение, если правая часть уравнения (6.10),непре-

рывна и имеет непрерывные частные производные по у, у" в некоторой окрестности начальной точки

Для нахождения постоянных входящих в частное решение, надо разрешить систему

Рис. 6.1. Интегральная кривая

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис сайт позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

Или уже решены относительно производной , или их можно решить относительно производной .

Общее решение дифференциальных уравнений типа на интервале X , который задан, можно найти, взяв интеграл обоих частей этого равенства.

Получим .

Если посмотреть на свойства неопределенного интеграла, то найдем искомое общее решение:

y = F(x) + C ,

где F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке X , а С - произвольная постоянная.

Обратите внимание, что в большинстве задач интервал X не указывают. Это значит, что решение нужно находить для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Если нужно вычислить частное решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальному условию y(x 0) = y 0 , то после вычисления общего интеграла y = F(x) + C , еще необходимо определить значение постоянной C = C 0 , используя начальное условие. Т.е., константу C = C 0 определяют из уравнения F(x 0) + C = y 0 , и искомое частное решение дифференциального уравнения примет вид:

y = F(x) + C 0 .

Рассмотрим пример:

Найдем общее решение дифференциального уравнения , проверим правильность результата. Найдем частное решение этого уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .

Решение:

После того, как мы проинтегрировали заданное дифференциальное уравнение, получаем:

.

Возьмем этот интеграл методом интегрирования по частям:

Т.о., является общим решением дифференциального уравнения.

Чтобы убедиться в правильности результата, сделаем проверку. Для этого подставляем решение, которое мы нашли, в заданное уравнение:

.

То есть, при исходное уравнение превращается в тождество:

поэтому общее решение дифференциального уравнения определили верно.

Решение, которое мы нашли, является общим решением дифференциального уравнения для каждого действительного значения аргумента x .

Осталось вычислить частное решение ОДУ, которое удовлетворяло бы начальному условию . Другими словами, необходимо вычислить значение константы С , при котором будет верно равенство:

.

.

Тогда, подставляя С = 2 в общее решение ОДУ, получаем частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет первоначальному условию:

.

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно решить относительно производной, разделив 2 части равенства на f(x) . Это преобразование будет равнозначным, если f(x) не превращается в нуль ни при каких x из интервала интегрирования дифференциального уравнения X .

Вероятны ситуации, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно превращаются в нуль. Для подобных значений x общим решением дифференциального уравнения будет всякая функция y , которая определена в них, т.к. .

Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняется условие , значит, в этом случае у ОДУ решений нет.

Для всех других x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения .

Разберем на примерах:

Пример 1.

Найдем общее решение ОДУ: .

Решение.

Из свойств основных элементарных функций ясно, что функция натурального логарифма определена для неотрицательных значений аргумента, поэтому областью определения выражения ln(x+3) есть интервал x > -3 . Значит, заданное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3 . При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в нуль, поэтому можно решить ОДУ относительно производной, разделив 2 части на х + 3 .

Получаем .

Далее проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, решенное относительно производной: . Для взятия этого интеграла пользуемся методом подведения под знак дифференциала.

Вспомним задачу, которая стояла перед нами при нахождении определенных интегралов:

или dy = f(x)dx. Ее решение:

и сводится она к вычислению неопределенного интеграла. На практике чаще встречается более сложная задача: найти функцию y , если известно, что она удовлетворяет соотношению вида

Это соотношение связывает независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные до порядка n включительно, называются .

В дифференциальное уравнение входит функция под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей называется порядком (9.1).

Дифференциальные уравнения:

- первого порядка,

Второго порядка,

- пятого порядка и т. д.

Функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить его - значит найти все его решения. Если для искомой функции y удалось получить формулу, которая дает все решения, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение содержит n произвольных постоянных и имеет вид

Если получено соотношение, которое связывает x, y и n произвольных постоянных, в виде, не разрешенном относительно y -

то такое соотношение называется общим интегралом уравнения (9.1).

Задача Коши

Каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и не зависит от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Чтобы получить частные решения (интегралы) из общих, надо постоянным придают конкретные числовые значения.

График частного решения называется интегральной кривой. Общее решение, которое содержит все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. Для уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, для уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.

Задача Коши заключается в нахождении частного решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

по которым определяются n постоянных с 1 , с 2 ,..., c n.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Для неразрешенного относительно производной дифференциальное уравнения 1-го порядка имеет вид

или для разрешенного относительно

Пример 3.46 . Найти общее решение уравнения

Решение. Интегрируя, получим

где С - произвольная постоянная. Если придадим С конкретные числовые значения, то получим частные решения, например,

Пример 3.47 . Рассмотрим возрастающую денежную сумму, положенную в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo начальная денежная сумма, а Yx - по истечении x лет. При начислении процентов один раз в год,получим

где x = 0, 1, 2, 3,.... При начислении процентов два раза в год, получим

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При начислении процентов n раз в год и если x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Обозначить 1/n = h , тогда предыдущее равенство будет иметь вид:

При н еограниченном увеличении n (при ) в пределе приходем к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

таким образом видно, что при непрерывном изменении x закон изменения денежной массы выражается дифференциальным уравнением 1- го порядка. Где Y x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Решим данное уравнение, для этого перепишем его следующим образом:

откуда , или , где через P обозначено e C .

Из начальных условий Y(0) = Yo , найдем P: Yo = Pe o , откуда, Yo = P. Следовательно, решение имеет вид:

Рассмотрим вторую экономическую задачу. Макроэкономические модели тоже описываются линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример 3.48 . Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

и пусть, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y с коэффициентом пропорциональности q . Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

Начальные условия Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения Y= Yoe kt . Подставляя Y получаем dD/dt = qYoe kt . Общее решение имеет вид
D = (q/ k) Yoe kt +С, где С = const, которая определяется из начальных условий. Подставляя начальные условия, получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

отсюда видно, что национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k , что и национальный доход.

Рассмотрим ростейшие дифференциальные уравнения n -го порядка, это уравнения вида

Его общее решение получитм с помощью n раз интегрирований.

Пример 3.49. Рассмотрим пример y """ = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

Общее решение имеет вид

Линейные дифференциальные уравнения

В экономике большое применение имеют , рассмотрим решение таких уравнений. Если (9.1) имеет вид:

то оно называется линейным, где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - заданные функции. Если f(x) = 0, то (9.2) называется однородными, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) равно сумме какого-либо его частного решения y(x) и общего решения однородного уравнения соответствующего ему:

Если коэффициенты р o (x), р 1 (x),..., р n (x) постоянные, то (9.2)

(9.4) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n .

Для (9.4) имеет вид:

Можно положить без ограничения общности р o = 1 и записать (9.5) в виде

Будем искать решение (9.6) в виде y = e kx , где k - константа. Имеем: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Подставим полученные выражения в (9.6), будем иметь:

(9.7) есть алгебраическое уравнение, его неизвестным является k , оно называется характеристическим. Характеристическое уравнение имеет степень n и n корней, среди которых могут быть как кратные, так и комплексные. Пусть k 1 , k 2 ,..., k n - действительные и различные, тогда - частные решения (9.7), а общее

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Его характеристическое уравнение имеет вид

(9.9)

его дискриминант D = р 2 - 4q в зависимости от знака D возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k 1 и k 2 (9.9) действительны и различны, и общее решение имеет вид:

Решение. Характеристическое уравнение: k 2 + 9 = 0, откуда k = ± 3i, a = 0, b = 3, общее решение имеет вид:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка применяются при изучении экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, где скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. параграф 10). В случае если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

а - есть постоянная, определяющая скорость реакции, то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

За частное решения можно взять постоянную

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение удовлетворяет однородному уравнению

(9.10)

Характеристическое уравнение будет следующее:

В случае член положителен. Обозначим . Корни характеристического уравнения k 1,2 = ± i w, поэтому общее решение (9.10) имеет вид:

где C и произвольные постоянные, они определяются из начальных условий. Получили закон изменения цены во времени: