Matemaattisten mallien tyypit. Matemaattisten mallien luokittelu mallin operaattorin mukaan Matemaattisten mallien luokittelu ja esimerkkejä

Matemaattinen malli on yksinkertaistus todellisesta tilanteesta ja se on abstrakti, muodollisesti kuvattu objekti, jonka tutkiminen on mahdollista useilla matemaattisilla menetelmillä.

Harkitse matemaattisten mallien luokittelu.

Matemaattiset mallit on jaettu:

1. Näytettävien objektien ominaisuuksien luonteesta riippuen:

· toimiva;

· rakenteellinen.

Funktionaaliset matemaattiset mallit suunniteltu näyttämään tietoa, fyysisiä, ajallisia prosesseja, joita esiintyy käyttölaitteissa, teknisten prosessien aikana jne.

Tällä tavalla, toiminnallisia malleja- näyttää kohteen toimintaprosessit. Ne ovat yleensä yhtälöjärjestelmän muodossa.

Rakenteelliset mallit- voi olla matriisien, graafien, vektoriluetteloiden muodossa ja ilmaista elementtien suhteellista sijaintia avaruudessa. Näitä malleja käytetään yleensä tapauksissa, joissa rakenteellisen synteesin ongelmat voidaan asettaa ja ratkaista objektin fysikaalisista prosesseista irtautumalla. Ne heijastavat suunnitellun kohteen rakenteellisia ominaisuuksia.

Staattisen esityksen saamiseksi mallinnetusta objektista voidaan käyttää menetelmäryhmää, ns kaavamaiset mallit - Nämä ovat analyysimenetelmiä, mukaan lukien graafinen esitys järjestelmän toiminnasta. Esimerkiksi vuokaaviot, kaaviot, monitoimiset toimintakaaviot ja vuokaaviot.

2. Toiminnallisten matemaattisten mallien hankintamenetelmien mukaan:

· teoreettinen;

· muodollinen;

· empiirinen.

Teoreettinen saatu fysikaalisten lakien tutkimuksen perusteella. Yhtälöiden rakenteella ja mallien parametreilla on tietty fysikaalinen tulkinta.

Muodollinen saadaan mallinnetun kohteen ominaisuuksien ilmentymisen perusteella ulkoisessa ympäristössä, ts. pitää esinettä kyberneettisenä "mustana laatikkona".

Teoreettinen lähestymistapa mahdollistaa yleisempiä malleja, jotka ovat voimassa laajemmille ulkoisille parametreille.

Muodollinen - ovat tarkempia siinä kohdassa parametriavaruudessa, jossa mittaukset tehtiin.

Empiiriset matemaattiset mallit syntyvät kokeiden tuloksena (tutkimalla kohteen ominaisuuksien ulkoisia ilmenemismuotoja mittaamalla sen parametreja tulossa ja lähdössä) ja prosessoimalla niiden tuloksia matemaattisilla tilastomenetelmillä.

3. Riippuen yhtälöiden lineaarisuudesta ja epälineaarisuudesta:

· lineaarinen;

· epälineaarinen.

4. Alueiden joukosta ja mallimuuttujien arvoista riippuen on olemassa:

· jatkuva

· diskreetti (määritelmäalueet ja arvot ovat jatkuvia);

· jatkuva-diskreetti (määrittelyalue on jatkuva ja arvojen alue on diskreetti). Näitä malleja kutsutaan joskus kvantisoiduiksi;

· diskreetti-jatkuva (määrittelyalue on diskreetti ja arvojen alue jatkuva). Näitä malleja kutsutaan diskreeteiksi;

· digitaalinen (määritelmäalueet ja arvot ovat erillisiä)

5. Lähdön, sisäisten ja ulkoisten parametrien välisten linkkien muodon mukaan:

· algoritminen;

· analyyttinen;

· numeerinen.

algoritminen Niitä kutsutaan malleiksi, jotka esitetään algoritmien muodossa, jotka kuvaavat sarjan yksiselitteisesti tulkittuja operaatioita, jotka suoritetaan halutun tuloksen saavuttamiseksi.

Algoritmiset matemaattiset mallit ilmaista lähtöparametrien ja tuloparametrien ja sisäisten parametrien välinen suhde algoritmin muodossa.

Analyyttiset matemaattiset mallit kutsutaan tällaista formalisoitua objektin (ilmiön, prosessin) kuvausta, joka on lähtöparametrien eksplisiittinen matemaattinen ilmaisu tulon ja sisäisten parametrien funktioina.

Analyyttinen mallintaminen perustuu mallinnettavan kohteen epäsuoraan kuvaukseen matemaattisten kaavojen avulla. Analyyttinen kuvauskieli sisältää seuraavat semanttisten elementtien pääryhmät: kriteeri (kriteerit), tuntemattomat, data, matemaattiset operaatiot, rajoitukset. Analyyttisten mallien merkittävin ominaisuus on, että malli ei ole rakenteellisesti samanlainen mallinnetun kohteen kanssa. Rakenteellinen samankaltaisuus tarkoittaa tässä mallin elementtien ja linkkien yksi-yhteen vastaavuutta mallinnetun kohteen elementteihin ja linkkeihin. Analyyttisiin malleihin kuuluvat matemaattisen ohjelmoinnin, korrelaation ja regressioanalyysin laitteiston pohjalta rakennetut mallit. Analyyttinen malli on aina konstruktio, joka voidaan analysoida ja ratkaista matemaattisesti. Eli jos käytetään matemaattisen ohjelmoinnin laitteistoa, niin malli koostuu periaatteessa tavoitefunktiosta ja muuttujien rajoitusjärjestelmästä. Tavoitefunktio pääsääntöisesti ilmaisee objektin (järjestelmän) ominaisuuden, joka on laskettava tai optimoitava. Erityisesti se voi olla teknisen järjestelmän suorituskyky. Muuttujat ilmaisevat kohteen (järjestelmän) tekniset ominaisuudet, mukaan lukien muuttuvat, rajoitukset - niiden sallitut raja-arvot.

Analyyttiset mallit ovat tehokas työkalu teknisissä järjestelmissä esiintyvien prosessien optimointiongelmien ratkaisemiseen sekä itse teknisten järjestelmien ominaisuuksien optimointiin ja laskemiseen.

Tärkeä asia on tietyn analyyttisen mallin ulottuvuus. Usein todellisille teknisille järjestelmille (automaattiset linjat, joustavat tuotantojärjestelmät) niiden analyyttisten mallien ulottuvuus on niin suuri, että optimaalisen ratkaisun saaminen osoittautuu laskennallisesti erittäin vaikeaksi. Laskentatehokkuuden parantamiseksi tässä tapauksessa käytetään erilaisia ​​tekniikoita. Yksi niistä liittyy suuren ulottuvuuden ongelman jakamiseen pienemmän ulottuvuuden osaongelmiin siten, että osaongelmien autonomiset ratkaisut tietyssä järjestyksessä antavat ratkaisun pääongelmaan. Tässä tapauksessa syntyy ongelmia alitehtävien vuorovaikutuksen järjestämisessä, jotka eivät aina ole yksinkertaisia. Toinen tekniikka sisältää laskelmien tarkkuuden vähentämisen, minkä ansiosta on mahdollista lyhentää ongelman ratkaisemiseen kuluvaa aikaa.

Analyyttistä mallia voidaan tutkia seuraavilla menetelmillä:

· analyyttinen, kun he pyrkivät saamaan yleisessä muodossa riippuvuuksia halutuille ominaisuuksille;

· numeerinen, kun he pyrkivät saamaan numeerisia tuloksia tietyillä lähtötiedoilla;

· kvalitatiivinen, kun ratkaisun ollessa eksplisiittisessä muodossa voit löytää joitain ratkaisun ominaisuuksia (arvioida ratkaisun stabiilius).

Analyyttinen mallinnus antaa kuitenkin hyviä tuloksia melko yksinkertaisissa järjestelmissä. Monimutkaisissa järjestelmissä tarvitaan joko alkuperäisen mallin merkittävää yksinkertaistamista ainakin järjestelmän yleisten ominaisuuksien tutkimiseksi. Näin voit saada likimääräisiä tuloksia ja määrittää tarkempia arvioita käyttämällä muita menetelmiä, esim. simulaatiomallinnus.

Numeerinen malli on ominaista sellaisen muodon riippuvuus, joka sallii vain numeerisilla menetelmillä saadut ratkaisut tietyille lähtöolosuhteille ja mallien kvantitatiivisille parametreille.

6. Riippuen siitä, ottavatko malliyhtälöt huomioon objektin prosessien inertian vai eivät:

· dynaaminen tai inertiamallit(kirjoitettu differentiaali- tai integro-differentiaaliyhtälöiksi tai yhtälöjärjestelmiksi) ;

· staattinen tai ei-inertiaaliset mallit(kirjoitettu algebrallisina yhtälöinä tai algebrallisina yhtälöjärjestelminä).

7. Riippuen epävarmuustekijöiden olemassaolosta tai puuttumisesta ja epävarmuustekijöiden tyypistä, mallit ovat:

· deterministinen e (ei epävarmuustekijöitä);

· stokastinen (epävarmuuksia esiintyy satunnaismuuttujien tai tilastollisilla menetelmillä kuvattujen prosessien muodossa lakien tai jakauman funktionaalisten funktioiden muodossa sekä numeeriset ominaisuudet);

· sumea (epävarmuuksien kuvaamiseen käytetään sumeiden joukkojen teorian laitteistoa);

· yhdistetty (epävarmuustekijöitä on molempia).

Yleisesti ottaen matemaattisen mallin tyyppi ei riipu pelkästään todellisen kohteen luonteesta, vaan myös tehtävistä, joita varten se on luotu, ja niiden ratkaisun vaaditusta tarkkuudesta.

Kuvassa 2.5 esitetyt mallien päätyypit.

Harkitse toista matemaattisten mallien luokitusta. Tämä luokittelu perustuu ohjausobjektin ohjattavuuden käsitteeseen. Jaamme kaikki MM:t ehdollisesti neljään ryhmään.1. Ennustemallit (laskennalliset mallit ilman ohjausta). Ne voidaan jakaa staattinen ja dynaaminen.Näiden mallien päätarkoitus: alkutilan tunteminen ja informaatio käyttäytymisestä rajalla, ennusteen tekeminen järjestelmän käyttäytymisestä ajassa ja tilassa. Tällaiset mallit voivat olla myös stokastisia, ja ennustemalleja kuvataan yleensä algebrallisilla, transsendentaalisilla, differentiaali-, integraali-, integro-differentiaaliyhtälöillä ja epäyhtälöillä. Esimerkkejä ovat mallit lämmön jakautumisesta, sähkökentästä, kemiallisesta kinetiikasta, hydrodynamiikasta, aerodynamiikasta jne. 2. Optimointimallit. Nämä mallit voidaan myös jakaa staattinen ja dynaaminen. Staattisia malleja käytetään erilaisten teknisten järjestelmien suunnittelutasolla. Dynaaminen - sekä suunnittelutasolla että pääasiassa eri prosessien optimaaliseen ohjaukseen - teknologisiin, taloudellisiin jne. Optimointiongelmissa on kaksi suuntaa. Ensimmäinen sisältää deterministisiä tehtäviä. Kaikki syötetyt tiedot niissä ovat täysin määriteltävissä.Toinen suunta viittaa stokastiset prosessit. Näissä tehtävissä jotkin parametrit ovat satunnaisia ​​tai sisältävät epävarmuuden elementin. Esimerkiksi monet automaattisten laitteiden optimointiongelmat sisältävät parametreja satunnaisen kohinan muodossa joillakin todennäköisyysominaisuuksilla.Menetelmiä useiden muuttujien funktion ääripään löytämiseksi erilaisilla rajoituksilla kutsutaan usein matemaattisen ohjelmoinnin menetelmiksi. Matemaattiset ohjelmointiongelmat ovat yksi tärkeimmistä optimointiongelmista. Matemaattisessa ohjelmoinnissa erotetaan seuraavat pääosat.· Lineaarinen ohjelmointi . Tavoitefunktio on lineaarinen, ja joukko, josta tavoitefunktion ääriarvoa etsitään, on annettu lineaaristen yhtälöiden ja epäyhtälöiden järjestelmällä.· Epälineaarinen ohjelmointi . Tavoitefunktio on epälineaarinen ja epälineaarinen rajoitus.· Kupera ohjelmointi . Tavoitefunktio on konveksi ja konveksi joukko, jolla extremaaliongelma ratkaistaan.· Neliöllinen ohjelmointi . Tavoitefunktio on neliöllinen ja rajoitukset ovat lineaarisia.· Monipuoliset tehtävät. Ongelmat, joissa tavoitefunktiolla on useita paikallisia ääripäitä. Tällaiset tehtävät näyttävät olevan hyvin ongelmallisia.· Kokonaislukuohjelmointi. Tällaisissa ongelmissa muuttujille asetetaan kokonaislukuehdot.

Riisi. 4.8 Matemaattisten mallien luokittelu

Klassisen analyysin menetelmät useiden muuttujien funktion ääripään löytämiseksi eivät pääsääntöisesti sovellu matemaattisiin ohjelmointiongelmiin, vaan optimaalisen säätöteorian mallit ovat yksi tärkeimmistä optimointimalleista. Optimaalisen ohjauksen matemaattinen teoria viittaa yhteen teorioista, joilla on tärkeitä käytännön sovelluksia, pääasiassa prosessien optimaaliseen ohjaukseen. Optimaalisen säätöteorian matemaattisia malleja on kolmenlaisia.· Erilliset mallit optimaalisesta ohjauksesta. Perinteisesti tällaisia ​​malleja kutsutaan dynaamiksi ohjelmointimalleiksi, koska pääasiallinen menetelmä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi on Bellmanin dynaaminen ohjelmointimenetelmä.· Jatkuvat mallit järjestelmien optimaalisesta ohjauksesta niputetuilla parametreilla (kuvattu yhtälöillä tavallisissa johdannaisissa).· Jatkuvat optimaalisen ohjauksen mallit järjestelmille, joissa on hajautetut parametrit (kuvattu osittaisilla differentiaaliyhtälöillä).3. Kyberneettiset mallit (peli). Kyberneettisiä malleja käytetään konfliktitilanteiden analysointiin. Oletetaan, että dynaamisen prosessin määräävät useat koehenkilöt, joilla on käytössään useita ohjausparametreja. Kyberneettiseen järjestelmään liittyy kokonainen joukko aiheita, joilla on omat intressinsä. 4. Simulointi . Yllä olevat mallityypit eivät kata suurta määrää erilaisia ​​tilanteita, jotka voidaan täysin formalisoida. Tällaisten prosessien tutkimiseksi on välttämätöntä sisällyttää matemaattiseen malliin toimiva "biologinen" linkki, henkilö. Tällaisissa tilanteissa käytetään simulaatiota sekä asiantuntemusmenetelmiä ja tiedotusmenetelmiä.

Matemaattiset mallit muodostavat abstraktin osan spektristä (kuva 7.2), joten niiden käytön helpottamiseksi eri toimialoilla, mukaan lukien logistiikassa, ne luokitellaan kuuden edustavimman ominaisuuden mukaan:

Kuinka saada malli;

Tapa kuvata tai esittää esinettä tai sen ominaisuuksia;

Tapa formalisoida esine tai sen ominaisuuksia;

Hierarkkiselle tasolle kuuluminen;

Objektin tai sen ominaisuuksien kuvauksen mittakaava-asteet;

Objektin tai sen ominaisuuksien kuvauksen monimutkaisuusasteet.

Tekijä:hankkimistapa mallit on jaettu teoreettinen , hermostoa (perceptronit) ja empiirinen .

Teoreettiset mallit johdetaan matemaattisesti klassisen mekaniikan, sähködynamiikan, kemian jne. primaaristen lakien tietämyksen perusteella. Havaintotulosten tilastollisen käsittelyn perusteella tosielämästä saadut mallit muodostavat ryhmän empiirisiä. Empiirisen mallin rakentamisen ongelmaan kuuluu tämän mallin sopivan muodon valinta sekä sen kohtuullinen monimutkaisuus, joka on yhteensopiva saatavilla olevien kokeellisten tietojen kanssa.

Viime vuosina taloudellisten prosessien mallintamisen alalla hermomallit (perceptronit) ovat nousseet yhä tärkeämmiksi. Hermomalli (perceptron) koostuu binaarisista hermosolumaisista elementeistä ja sillä on yksinkertainen topologia.

Itse perceptroni sisältää binäärisyötteiden matriiseja (sensoristen hermosolujen tai verkkokalvon, joissa syötekuvat toimitetaan), joukon binaarisia neuronien kaltaisia ​​elementtejä, joilla on kiinteät yhteydet verkkokalvon osajoukkoon, ja binaarisen hermosolun kaltaisen elementin, jolla on modifioidut yhteydet näihin. predikaatit (elementit, jotka ratkaisevat).

Aikaisemmin perceptronia käytettiin automaattisen luokittelun ongelman ratkaisemiseen, yleensä se koostuu piirreavaruuden jakamisesta tietyn määrän luokkien kesken. Nykyisissä olosuhteissa neuroverkkojen tasolla on mahdollista ratkaista logistisen ennustamisen ongelma, joka on formalisoitu hahmontunnistuksen ongelman kautta.

Harkitse seuraavaa esimerkkiä. Yrityksen tuotteiden nykyisestä kysynnästä on olemassa tietoja kuudelta vuodelta (Ac \u003d 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Virallistaaksemme ongelman käytämme ikkunamenetelmää. Aseta ikkunoiden koko η = 3, T= 1 ja neuronkaltaisen elementin viritystaso s = 1. Edelleen ikkunamenetelmällä jo kiinteillä parametreilla n, t, s hermoverkkoa varten luodaan seuraava opetusnäyte:

Kuten näet, jokainen seuraava vektori muodostuu ikkunan siirron seurauksena W ja ja W 0 oikea yksi elementti (s= 1). Tämä olettaa piilotettujen riippuvuuksien läsnäolon aikasekvenssissä havaintojen joukkona.

Neuraaliverkko, joka oppii näistä havainnoista ja säätelee kertoimiaan vastaavasti, yrittää poimia nämä kuviot ja muodostaa tuloksena odotetun ennustefunktion, eli "rakentaa" malli- . Ennuste tehdään samalla periaatteella kuin koulutusnäytteen muodostaminen.

Kuvaamalla esinettä mallit on jaettu seuraavasti:

1) algebrallinen;

2) regressio-korrelaatio;

3) todennäköisyys-tilastolliset, jotka yhdistävät jonoteorian malleja, osakemalleja ja tilastollisia malleja;

4) matemaattinen ohjelmointi - lineaarinen ohjelmointi, verkko (stream).

Mitä tulee ensimmäiseen malliryhmään - algebrallinen , on välittömästi tehtävä varaus, että ne ovat oleellisesti logistiikan luonteeltaan apuvälineitä oikean päätöksen tekemiseksi. Algebralliset mallit käytetään yleisesti ongelmien ratkaisemisessa, kuten "kriittisten pisteiden" analyysi ja "kustannus-tuotto" -analyysi.

Regressio-korrelaatiomallit , Toista ryhmää edustava yleistys ekstrapoloinnista ja tilastollisista malleista, ja niitä käytetään kuvaamaan kohteen tai sen ominaisuuksien erityispiirteitä.

Kolmas ryhmä koostuu todennäköisyys-tilastolliset mallit , perustuu fenologisiin ilmiöihin ja hypoteeseihin. Nämä mallit voivat olla deterministisiä tai stokastisia. Eli esimerkiksi riippuvuus V = φ (Χ), joka on määritetty satunnaismuuttujien havaintojen tuloksista X ja V pienimmän neliösumman, on deterministinen malli. Jos otamme huomioon koepisteiden satunnaiset poikkeamat kokeiden tuloksena havaitusta käyrästä Y \u003d φ (X) ja kirjoita muotoon B:n riippuvuus X:stä B \u003d φ (X)+ Z (missä Ζ - jokin satunnaismuuttuja), niin saadaan stokastinen malli sen ideaalisessa lausekkeessa.

Samalla arvot X ja V voi olla joko skalaari tai vektori. Toiminto φ (Χ) voi olla joko näiden funktioiden lineaarinen yhdistelmä tai tietty epälineaarinen funktio, jonka parametrit määritetään pienimmän neliösumman menetelmällä.

Mallit lineaarinen ohjelmointi Niitä käytetään yhä enemmän logististen ongelmien ratkaisemiseen.

Jokainen matemaattiseen ohjelmointiin perehtynyt tietää, että sitä on lähes mahdotonta ratkaista yleisesti. Matemaattisessa ohjelmoinnissa kehittyneimpiä ovat kuitenkin lineaariset ohjelmointiongelmat.

Lineaarisissa ohjelmointiongelmissa tavoitefunktio on lineaarinen ja rajoiteehtoja ovat lineaariset yhtäläisyydet ja lineaariset epäyhtälöt; muuttujat voivat olla muuttumattomien vaatimuksen alaisia.

Havainnollistaaksemme logististen ongelmien ratkaisemisen yksinkertaisuutta lineaarisen ohjelmoinnin avulla käsittelemme kahta hyvin tunnettua ongelmaa:

Ensimmäinen kertoo isoäidistä, joka menee torille myymään pihallaan vuodessa kasvaneita olentoja;

Toinen koskee ravintoa.

Tehtävä yksi (oi isoäiti)

Tämän tehtävän ydin on saada vastaus yksinkertaiseen kysymykseen: "Kuinka paljon rahaa pitäisi ottaa elävien hanhien, ankkojen ja kanojen myymiseen markkinoilla, jotta hän saisi eniten tuloja, edellyttäen että hän voi toimittaa karjaa, jonka paino ei ole. enemmän kuin R kg?". Samaan aikaan tunnetaan seuraavat asiat:

Kanan paino (t), ankan ( T 2 ) ja hanhi (t3)

Kanan (c7), ankan (c2) ja hanhen (c3) hinta.

Harkitse algoritmia ongelman ratkaisemiseksi.

1. Ongelman ratkaisemiseksi merkitsemme kanojen lukumäärää - X 1 ankka - X 2, hanhet - X 3, isoäidin ottama myyntiin torilla.

2. Laadi tämän tehtävän tavoitefunktio:

3. Kuvataan ongelman ratkaisun rajoitukset.

Tavaroiden massa, jonka isoäiti voi toimittaa samanaikaisesti markkinoille, ei saa ylittää R kilogramma:

Arvon ja on oltava positiivisia kokonaislukuja (), eli:

Kun kolme kuvattua vaihetta on suoritettu, saadaan lineaarinen ohjelmointiongelma. Korvaa alkuperäiset arvot x, t, s ja R, löytää vastaus kysymykseen.

Tehtävä kaksi (ravitsemus)

Kahvila "Bistro" ostaa päivittäin ruokaa kaupasta valmistaakseen tiettyjä ruokia vierailijoilleen. Ruokavalio sisältää kolmea eri ravintoainetta ( b) ja tarvitset niitä ainakin vastaavasti b 1, b 2, b 3 yksikköä. Myymälässä myydään viittä erilaista tuotetta X 1 - X 5 hintaan vastaavasti, S-I - kanssa 5.

Jokainen tuoteyksikkö i-th kiltti ( X i) sisältää a ja j yksikköä j-th ravintoaineita esim a 2 Kanssa osoittaa, että kolmannen ravintoaineen toisen tuotteen yksiköissä on a 23 yksikköä.

Koska kahvila toimii kilpailijoiden ympäristössä, on tarpeen määrittää oikein kunkin tyypin tuotteiden määrä. X 1 -x 5 kannattaa ostaa. Tässä tapauksessa seuraavat ehdot on täytettävä:

1) tuotteiden kustannukset ovat minimaaliset;

2) varmistaa, että kaikki tarvittavat ravintoaineet sisältyvät ruokien ruokavalioon oikea määrä.

Tehtävän ratkaisun matemaattinen muotoilu on seuraava:

1. Tämän ongelman tavoitteena on minimoida tuotteiden kustannukset X 1 - X 5. Matemaattisesti se näyttää tältä:

2. Edellytykset ongelman ratkaisun rajoittamiselle:

a) ensimmäisen ravintoaineen määrän on oltava vähintään b 1 ,:

b) toisen ravintoaineen määrän on oltava vähintään b 2 :

c) kolmannen ravintoaineen määrän on oltava vähintään b 3:

On pidettävä mielessä, että tuotteiden lukumäärällä ei voi olla negatiivista lukua, eli:

Ymmärtääksesi oikein yllä olevan ongelman ratkaisun, harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Tässä tehtävässä meillä on seuraavat alkutiedot:

Tavoitefunktio näyttää tältä:

On tarpeen määrittää funktion vähimmäisarvo seuraavin rajoituksin:

Ottaen huomioon, että tuotteiden lukumäärä ei voi olla negatiivinen luku, oletamme sen

Esitettyjen lähtötietojen mukaisen ongelman ratkaisun tuloksena meillä on seuraava vastaus: ja . Näillä arvoilla tavoitefunktiolla on seuraava arvo:

Verkko (virtaus) mallit.

Tärkeä matemaattisten ohjelmointiongelmien luokka ovat ns. verkko (flow) -ongelmat, joiden avulla voidaan muotoilla lineaarisia ohjelmointitehtäviä.

Otetaan esimerkkinä niin sanottu kuljetusongelma (kuva 7.3), joka on yksi ensimmäisistä vuonna 1941 ratkaistuista virtausongelmista. F.L. Hitchcock.

Olkoon kaksi tehdasta (1 ja 2) ja kolme junaa (A, B, C). Tehtaat tuottavat s1 ja s2 tuotantoyksikköä, vastaavasti. Varastot voivat ottaa vastaan ​​d1, d2 ja d3 yksiköitä tuotteita varastoon, eli:

Tehtävänä on minimoida tuotteiden kuljetuskustannukset tuotantolaitoksilta varastoihin. Asetetaan seuraavat alkuehdot. Teeskennetäänpä sitä X ij - kuljetettavien tuotteiden määrä i-th istuttaa päälle j-th yhdiste; c - - tuotantoyksikön kuljetuskustannukset c i-th istuttaa päälle j-th yhdiste. Sitten ongelman tavoitefunktio - kuljetuskustannukset - on seuraavassa muodossa:

Riisi. 7.3.

Edellytys, että kaikki tuotteet kuljetetaan jokaisesta tehtaasta:

Nämä yhtäläisyydet voidaan kirjoittaa lyhyessä muodossa, nimittäin:

Varaston täyttöehto on seuraavanlainen: ja

Tätä mallia voidaan kuvata verkon avulla olettaen, että verkon solmut ovat tehtaita ja varastoja ja kaaret ovat tavarankuljetusteitä (kuva 7.3). Muotoiltu kuljetusongelma on erityinen tapaus verkon sisällä olevan vähimmäiskustannusvirran löytämisen ongelmasta.

Verkkotehtäviä käytetään suurten ja monimutkaisten järjestelmien suunnittelussa ja parantamisessa sekä niiden rationaalisen käytön tapojen etsimisessä. Ensinnäkin tämä johtuu siitä, että verkkojen avulla on melko helppoa rakentaa malli järjestelmästä. Jälkimmäinen perustuu ajatukseen kriittisestä polusta (CPM-menetelmä) sekä arviointi- ja seurantatyökaluista (esim. PERT-Program Evaluation Research Task -järjestelmä).

Lisäksi verkkojen avulla voit:

Monimutkaisen järjestelmämallin formalisointi yksinkertaisten järjestelmien joukkona (tässä tapauksessa logistiikkajärjestelmä sen alijärjestelmien ja linkkien joukkona - hankinta, varastot, kuljetus, varastot, tuotanto, jakelu ja markkinointi);

Muodollisten menettelyjen laatiminen järjestelmän laadullisten ominaisuuksien määrittämiseksi;

Ohjausjärjestelmän komponenttien välisen vuorovaikutusmekanismin määrittäminen jälkimmäisen kuvaamiseksi sen pääominaisuuksien suhteen;

Logistiikkajärjestelmän ja sen pääosajärjestelmien tutkimiseen tarvittavien tietojen määrittäminen;

Ohjausjärjestelmän alustava selvitys, alustavan aikataulun laatiminen sen komponenttien toiminnalle.

Verkkolähestymistavan tärkein etu on, että sitä voidaan soveltaa menestyksekkäästi lähes mihin tahansa ongelmaan, kun verkkomalli on mahdollista rakentaa tarkasti.

Esineen kuvaustavan mukaan luokiteltujen matemaattisten mallien yleinen ominaisuus on esitetty taulukossa. 7.3. Taulukossa on esitetty näiden mallien sopivimmat käyttöalueet saatujen arvioiden ennalta määrätyllä tarkkuudella. Nämä tiedot ovat hyödyllisiä logistiikoille mallien rakentamisvaiheessa tai valittaessa jälkimmäistä ongelman ratkaisemiseksi.

Näytettävien objektien ominaisuuksien luonteen mukaan mallit luokitellaan rakenteellisiin ja toiminnallisiin, jotka yhdessä heijastavat yksittäisten elementtien suhdetta ja keskinäistä vaikutusta esineessä sen toiminnan tai valmistuksen aikana tapahtuviin prosesseihin.

Rakennemallit on suunniteltu näyttämään sommitteluobjektin rakenteelliset ominaisuudet, suhde ja suhteellinen sijainti sekä komponenttien muoto.

toiminnallisia malleja on tarkoitettu suuremmassa määrin näyttämään objektissa sen toiminnan tai valmistuksen aikana tapahtuvia prosesseja ja sisältävät pääsääntöisesti algoritmeja, jotka linkittävät vaihemuuttujia, sisäisiä, ulkoisia tai lähtöparametreja.

Taulukko 7.3

Matemaattisten mallien ominaispiirteet

Objektin formalisointimenetelmän mukaan olemassa olevien tilanteiden monimutkaisuuden vuoksi on tarpeen kuvata niistä yksinkertaistettua analyyttisten ja algoritmisten mallien avulla.

"Abstrakti" valitsi esineiden ja tilanteiden "olennaiset" ominaisuudet. Oikeiden kohteiden tietokonesimulointi on arvokas työkalu monimutkaisten palvelujärjestelmien, palvelupolitiikan ja investointivaihtoehtojen analysointiin.

Objektien jakaminen hierarkkisille tasoille johtaa tietyille mallinnuksen tasoille, joiden hierarkia määräytyy sekä objektien monimutkaisuuden että ohjauksen mahdollisuuksien mukaan. Siksi mukaan kuuluu hierarkkiselle tasolle, matemaattiset mallit jaetaan mikro-, makro- ja metamalleihin. Erona näiden mallien välillä on se, että hierarkian korkeammalla tasolla mallin komponentit ovat melko monimutkaisia ​​edellisen tason elementtijoukkoja. Samat ominaisuudet määräävät mallien jaon kohteen kuvauksen laajuus ja monimutkaisuus.

Yllä oleva malliluokitus on suunniteltu auttamaan logistiikoita tehokkaampaan ja oikeampaan päätöksentekoon organisaation tehtävän täyttämiseksi.

Edellä todettiin, että mitä tahansa matemaattista mallia voidaan pitää jonkinlaisena operaattorina A, joka on algoritmi tai määritetään yhtälöjoukolla - algebrallinen, tavalliset differentiaaliyhtälöt (ODE), ODE-järjestelmät (SODE), osittaiset differentiaaliyhtälöt (PDE), integro-differentiaaliyhtälöt (IDE) jne. (Kuva 1.6) .

Jos operaattori tarjoaa lähtöparametrien lineaarisen riippuvuuden syöttöparametrien arvoista x, niin matemaattista mallia kutsutaan lineaarinen( riisi. 1.7). Lineaariset mallit on helpompi analysoida. Esimerkiksi lineaarisuuden ominaisuudesta seuraa ratkaisujen superpositio-ominaisuus, ts. jos ratkaisut tunnetaan ja , niin ratkaisu lähtöparametreille on . Lineaaristen mallien raja-arvot saavutetaan pääsääntöisesti syöttöparametrien hyväksyttävien arvojen alueiden rajoilla.

Lineaarinen käyttäytyminen on ominaista suhteellisen yksinkertaisille objekteille. Systeemeille on pääsääntöisesti tunnusomaista epälineaarinen monimuuttujakäyttäytyminen (kuva 1.8). Tämän mukaisesti mallit on jaettu epälineaarisiin.

Operaattorin tyypistä riippuen matemaattiset mallit voidaan jakaa yksinkertaisiin ja monimutkaisiin.

Siinä tapauksessa, että mallioperaattori on algebrallinen lauseke, joka heijastaa syötteen X lähtöparametrien toiminnallista riippuvuutta fot, mallia kutsutaan yksinkertaiseksi.

Esimerkkeinä yksinkertaisista malleista voidaan mainita monia fysiikan lakeja (yleisen painovoiman laki, Ohmin laki, Hooken laki, Amonton-Coulombin kitkalaki) sekä kaikki empiiriset, ts. johdettu kokemuksesta, tulo- ja lähtöparametrien välisistä algebrallisista suhteista.

Mallia, joka sisältää differentiaali- ja integraalisuhteiden järjestelmiä, ei voida enää luokitella yksinkertaiseksi, koska sen tutkiminen vaatii melko monimutkaisten matemaattisten menetelmien käyttöä. Kahdessa tapauksessa se voidaan kuitenkin pelkistää yksinkertaisiksi:

voidaanko tällaiselle mallille saatu matemaattinen relaatiojärjestelmä ratkaista analyyttisesti;

jos monimutkaisen mallin laskennallisten kokeiden tulokset approksimoidaan jollain algebrallisella riippuvuudella. Tällä hetkellä tunnetaan riittävän suuri määrä lähestymistapoja ja approksimaatiomenetelmiä (esimerkiksi pienimmän neliösumman menetelmä tai suunnittelukokeilumenetelmä).

Käytännössä syntyy usein tilanteita, joissa mallinnuskohteen (yleensä monimutkaisen järjestelmän) ominaisuuksien ja käyttäytymisen tyydyttävää kuvausta ei voida suorittaa matemaattisten suhteiden avulla. Useimmissa tapauksissa on kuitenkin mahdollista rakentaa jonkinlainen jäljittelijä tällaisen objektin käyttäytymisestä ja ominaisuuksista käyttämällä algoritmia, jota voidaan pitää mallioperaattorina.

Esimerkiksi, jos kohteen havainnoinnin seurauksena syötteiden välinen vastaavuustaulukko X ja tulosta parametriarvot ja määritä sitten operaattori A, jonka avulla voit saada "ulostulon" tietylle "tulolle", se on usein helpompaa algoritmin avulla.

Matemaattisten mallien luokittelu mallin parametrien mukaan(Kuva 1.9)

Yleisessä tapauksessa simulaatioobjektin tilaa ja käyttäytymistä kuvaavat parametrit on jaettu useisiin ei-päällekkäisiin osajoukkoon.

joukko syötettyjä (ohjattuja) vaikutuksia kohteeseen ();

joukko ympäristövaikutuksia (hallitsematon) ();

joukko kohteen sisäisiä (omia) parametreja ();

lähtöominaisuuksien joukko ().

Esimerkiksi kun simuloidaan materiaalin pisteen liikettä painovoimakentässä, syöttöparametreina voivat olla pisteen alkusijainti ja alkunopeus hetkellä . Vetovoima ja painovoima kuvaavat ulkoisen ympäristön vaikutusta. Pisteen massa on sen oma parametri. Pisteen koordinaatti ja nopeus (at ) viittaavat lähtöparametreihin. Parametrien määrittäminen tuloon tai lähtöön riippuu tietyn ongelman muotoilusta. Siksi on aina suoria ja käänteisiä ongelmia.

Syöttöparametreja, ulkoisen ympäristön vaikutusta kuvaavia parametreja ja kohteen sisäisiä (sisäisiä) ominaisuuksia kutsutaan yleensä itsenäisiksi (eksogeenisiksi) suureiksi. Lähtöparametrit ovat riippuvaisia ​​(endogeenisiä) arvoja. Yleisessä tapauksessa mallioperaattori muuttaa eksogeeniset parametrit endogeenisiksi. .

Esineen ominaisuudet voivat luonteeltaan olla mm laatu, ja määrällinen. Kvantitatiivista ominaisuutta varten syötetään numeroita, jotka ilmaisevat tämän parametrin ja standardin välistä suhdetta (esimerkiksi "mittari"). Lisäksi parametrin kvantitatiiviset arvot voidaan ilmaista diskreettejä tai jatkuvia määriä. Laadulliset ominaisuudet löydetään esimerkiksi asiantuntija-arviointimenetelmällä. Käytettyjen parametrijoukkojen tyypistä riippuen mallit voidaan jakaa kvalitatiivisiin ja kvantitatiivisiin, diskreetteihin ja jatkuviin sekä myös sekoitettuihin.

Mallia rakennettaessa seuraavat vaihtoehdot parametrien epävarmuuden kuvaamiseen ovat mahdollisia:

deterministinen- mallin kaikkien parametrien arvot määritetään determinististen arvojen avulla (eli jokainen parametri vastaa tiettyä kokonaislukua, reaali- tai kompleksilukua tai vastaavaa funktiota). Tämä menetelmä vastaa parametrien täydellistä varmuutta;

stokastinen- mallin kaikkien tai yksittäisten parametrien arvot määritetään todennäköisyystiheyksien antamilla satunnaismuuttujilla. Esimerkiksi satunnaismuuttujien normaalin (Gaussin) ja eksponentiaalisen jakauman tapaukset;

satunnainen- mallin kaikkien tai yksittäisten parametrien arvot asetetaan satunnaismuuttujilla, jotka saadaan arvioimalla todennäköisyystiheys, joka on saatu näiden parametrien rajoitetun kokeellisen näytteen käsittelyn tuloksena;

intervalli- mallin kaikkien tai yksittäisten parametrien arvot kuvataan intervalliarvoilla, jotka saadaan parametrin pienimmän ja suurimman mahdollisen arvojen muodostamasta intervallista;

sumea- mallin kaikkien tai yksittäisten parametrien arvot on kuvattu jäsenfunktioilla vastaavaan sumeaan joukkoon. Tätä muotoa käytetään, kun asiantuntija antaa tietoja mallin parametreista luonnollisella kielellä, ja siksi "sumeilla" termeillä, kuten "paljon yli viisi", "lähes nolla".

Mallien jako yksiulotteinen, kaksiulotteinen ja kolmiulotteinen sovellettavissa sellaisiin malleihin, joiden parametreihin kuuluvat tilakoordinaatit, ja se liittyy näiden mallien toteutuksen erityispiirteisiin sekä niiden monimutkaisuuden jyrkkään lisääntymiseen ulottuvuuden kasvaessa.

Kuten koordinaatit, aika on itsenäinen muuttuja, josta muut mallin parametrit voivat riippua. Yleensä mitä pienempi kohteen mittakaava on, sitä suurempi on sen parametrien riippuvuus ajasta.

Mikä tahansa esine pyrkii siirtymään johonkin tasapainotilaan sekä ympäristönsä kanssa että itse kohteen yksittäisten elementtien välillä. Tämän tasapainon rikkominen johtaa kohteen eri parametrien muutoksiin ja sen siirtymiseen uuteen tasapainotilaan.

Mallia rakennettaessa on tärkeää verrata ulkoisten vaikutusten merkittävien muutosten ajankohtaa ja kohteen ominaisaikaisia ​​siirtymiä uuteen tasapainotilaan ympäristön kanssa sekä rentoutumisaikaa, joka määrittää tasapainon muodostumisen yksittäisten elementtien välille. kohteen sisällä. Jos simulointiobjektiin kohdistuvien ulkoisten vaikutusten muutosnopeus on merkittävästi pienempi kuin relaksaationopeus, niin mallin eksplisiittinen riippuvuus ajasta voidaan jättää huomiotta. Tässä tapauksessa puhutaan kvasistaattinen prosessi.

Mallin parametrien arvojoukkoa jossain vaiheessa tai tietyssä vaiheessa kutsutaan kohteen tila.

Jos ulkoisten vaikutusten muutosnopeudet ja tutkittavan kohteen tilan parametrit ovat riittävän suuria (verrattuna rentoutumisnopeuksiin), on aika huomioida. Tässä tapauksessa tutkimuskohdetta tarkastellaan puitteissa dynaaminen prosessi.

Jos ulkoiset vaikutukset pysyvät vakioina tai niiden vaihteluilla on vain vähän vaikutusta kohteen tilaan riittävän pitkän ajan, niin jokaisessa tutkitun tilan kiinteässä pisteessä malliparametrien arvot eivät riipu ajasta. Esimerkiksi nestehiukkasten nopeuskenttä pitkässä putkessa laminaarisessa järjestelmässä. Tällaisia ​​prosesseja kutsutaan paikallaan. Yleensä kiinteitä malleja käytetään kuvaamaan erilaisia ​​virtauksia (neste, kaasu, lämpö), kun virtauksen sisään- ja ulostulossa on vakioita. Tällaisissa prosesseissa aika voidaan jättää pois riippumattomien muuttujien lukumäärästä.

Jos on tarpeen käyttää aikaa (tai sen analogia) yhtenä olennaisista riippumattomista muuttujista mallissa, mallia kutsutaan ns. ei-kiinteä. Esimerkki ei-stationaarisesta mallista on malli nesteen liikkeestä putkessa, mutta joka virtaa ulos tietystä astiasta.

Matemaattisten mallien luokittelu mallinnuksen tavoitteiden mukaan (Kuva 1.11)

tavoite kuvailevia malleja on lakien vahvistaminen mallin parametrien muuttamiseksi. Tuloksena oleva malli kuvaa lähtöparametrien riippuvuutta tuloparametreista. Siksi kuvailevat mallit ovat kuvaavien ja selittävien mielekkäiden mallien toteuttamista mallinnuksen muodollisella tasolla.

Optimointimallit on suunniteltu määrittämään mallinnetun kohteen optimaaliset (parhaat) parametrit jonkin kriteerin kannalta tai etsimään optimaalista (paras) ohjaustapaa jollekin prosessille. Joitakin malliparametreja kutsutaan ohjausparametreiksi, joita muuttamalla saadaan erilaisia ​​lähtöparametrien arvoja. Yleensä nämä mallit on rakennettu käyttämällä yhtä tai useampaa kuvaavaa mallia, ja ne sisältävät jonkin kriteerin, jonka avulla voit verrata eri vaihtoehtoja lähtöparametrien arvosarjoille keskenään parhaan valitsemiseksi. Syöttöparametrien alueelle voidaan asettaa rajoituksia tarkasteltavan kohteen tai prosessin ominaisuuksiin liittyvien yhtäläisyyksien ja epäyhtälöiden muodossa. Optimointimallien tavoitteena on löytää sellaiset hyväksyttävät ohjausparametrit, joiden alla valintakriteeri saavuttaa "parasarvonsa".

Hallintomallit niitä käytetään tehokkaiden johtamispäätösten tekemiseen tarkoituksenmukaisen inhimillisen toiminnan eri osa-alueilla. Yleisesti ottaen päätöksenteko on prosessi, joka on monimutkaisuudeltaan verrattavissa ajatteluprosessiin yleensä. Käytännössä päätöksenteko kuitenkin ymmärretään yleensä joidenkin vaihtoehtojen valintana tietystä joukosta, ja koko päätöksentekoprosessi esitetään tällaisten vaihtoehtojen valintojen sarjana.

Tehtävän monimutkaisuus piilee epävarmuuden läsnäolossa sekä lähtötiedon ja ulkoisten olosuhteiden vaikutuksen luonteen että tavoitteiden suhteen. Siksi toisin kuin optimointimalleissa, joissa valintakriteeri katsotaan varmaksi ja haluttu ratkaisu määritellään sen äärimmäisyyden ehdoista (maksimi tai minimi), johtamismalleissa on tarpeen ottaa käyttöön erityiset optimikriteerit, joiden avulla voidaan vertailla vaihtoehtoja. ongelman erilaisten epävarmuustekijöiden alla.

Koska tehdyn päätöksen optimaalisuus, jopa samassa tilanteessa, voidaan ymmärtää eri tavalla, optimaalisuuskriteerin tyyppiä johtamismalleissa ei ole ennalta määrätty. Tämä on näiden mallien tärkein ominaisuus.

Matemaattisten mallien luokitus toteutusmenetelmien mukaan (Kuva 1.12)

Mallin toteutustapaan viitataan analyyttinen, jos sen avulla voit saada tulosparametrit analyyttisten lausekkeiden muodossa , nuo. lausekkeet, jotka käyttävät vain laskettavaa joukkoa aritmeettisia operaatioita ja siirtymiä rajaan. Esimerkkejä analyyttisistä lausekkeista:

,

Analyyttisten lausekkeiden erikoistapaus ovat algebralliset lausekkeet, jotka käyttävät äärellistä tai laskettavaa määrää aritmeettisia operaatioita, operaatioita kokonaislukupotenssiin nostamiseksi ja juuren erottamiseksi. Esimerkki algebrallisista lausekkeista: .

Hyvin usein mallin analyyttinen ratkaisu esitetään perus- tai erikoisfunktioissa. Näiden toimintojen arvojen saamiseksi syöttöparametrien tietyille arvoille käytetään niiden laajentamista sarjaan (esimerkiksi Taylor). Joten eksponentiaalinen funktio voidaan esittää seuraavasti:

Kun otetaan huomioon sarjan eri termien määrä, on mahdollista laskea funktion arvo vaihtelevalla tarkkuudella. Näin ollen funktion arvo kullekin argumentin arvolle tässä tapauksessa määritetään likimääräisesti. Tätä tekniikkaa käyttäviä malleja kutsutaan lähentää.

Analyyttiset menetelmät mallin toteuttamiseksi ovat arvokkaampia, mutta niitä ei aina ole saatavilla.

klo numeerinen Lähestymistapassa mallin matemaattisten suhteiden joukko korvataan äärellisulotteisella analogilla. Tämä saavutetaan useimmiten diskretisoimalla alkuperäiset suhteet, ts. siirtyminen jatkuvan argumentin funktioista diskreetin argumentin funktioihin. Alkuperäisen ongelman diskretoinnin jälkeen konstruoidaan laskenta-algoritmi. Diskreetin ongelman löydettyä ratkaisua pidetään alkuperäisen matemaattisen ongelman likimääräisenä ratkaisuna. Laskennallisen algoritmin päävaatimus on tarve saada ratkaisu alkuperäiseen ongelmaan annetulla tarkkuudella äärellisessä määrässä vaiheita.

klo jäljitelmä lähestymistapaa, tutkimuksen kohde on jaettu erillisiin elementteihin. Tässä tapauksessa koko objektijärjestelmän matemaattisten suhteiden järjestelmää ei kirjoiteta muistiin, vaan se korvataan jollakin algoritmilla, joka mallintaa sen käyttäytymistä ja ottaa huomioon järjestelmän yksittäisten elementtien mallien vuorovaikutuksen keskenään. Yksittäisten elementtien mallit voivat olla sekä analyyttisiä että algebrallisia.

MATEMAATTISEN MALLIN RAKENTAMINEN VAIHEITA

Tällä hetkellä luotavien matemaattisten mallien erottuva piirre on niiden monimutkaisuus, joka liittyy mallinnettavien objektien monimutkaisuuteen. Tämä johtaa mallin monimutkaisuuteen ja useiden (usein eri osaamisalojen) teorioiden yhteiskäyttöön, nykyaikaisten laskentamenetelmien ja tietokonetekniikan käyttöön simulointitulosten saamiseksi ja analysoimiseksi. Nykyään mallien laaja käyttö tekniikan ja teknisen toiminnan harjoittamisessa on edellyttänyt algoritmia maton rakentamiseen. mallit.

Minkä tahansa matemaattisen mallin rakentamisprosessi voidaan esittää kuvassa 1 esitetyllä vaihesarjalla. 2.1.

2.1. SIMULOITUN OBJEKTIN TUTKIMUS

Matemaattiset mallit, erityisesti numeerisia menetelmiä ja tietotekniikkaa käyttävät mallit, vaativat rakentamiseensa merkittäviä henkisiä, taloudellisia ja aikakustannuksia. Siksi päätös uuden mallin kehittämisestä tehdään vain, jos ei ole muita, yksinkertaisempia tapoja ratkaista syntyneet ongelmat (esimerkiksi muuttamalla jotakin olemassa olevista malleista). Jos tämä päätös vielä tehdään, menettely on seuraava.

päätavoite mallinnuskohteen tutkimusvaihe on mallinnusongelman mielekkään lausunnon laatiminen.

Mielenkiintoiseen (sanalliseen) muotoon muotoiltu mallinnusobjektia koskevien kiinnostavien pääkysymysten luettelo muodostaa mielekkään lausunnon mallinnusongelmasta.

Tutkimusvaihe sisältää seuraavat työt:

itse simulointiobjektin perusteellinen tutkimus sen käyttäytymiseen vaikuttavien päätekijöiden, mekanismien tunnistamiseksi, sopivien parametrien määrittämiseksi, jotka mahdollistavat simuloidun kohteen kuvauksen;

Analogisista kohteista saatavilla olevien kokeellisten tietojen kerääminen ja tarkistaminen, tarvittaessa lisäkokeiden suorittaminen;

kirjallisten lähteiden analyyttinen tarkastelu, tietyn esineen (tai tarkasteltavana olevan kohteen kanssa samankaltaisen) aiemmin rakennettujen mallien analysointi ja vertailu;

kaiken kertyneen aineiston analysointi ja yleistäminen, yleissuunnitelman kehittäminen matemaattisen mallin luomiseksi.

Lomakkeeseen on laadittu kaikki kyselyn tuloksena kerätty materiaali kohteeseen tähän mennessä kertyneestä tiedosta, mallinnusongelman mielekkäästä lausunnosta, mallin toteuttamisen lisävaatimuksista ja tulosten esittämisestä. mallin suunnittelun ja kehittämisen tehtävät.

Kehitä matemaattinen malli kuvaamaan koripallon lentoa, jonka pelaaja heittää koripalloon.

Mallin tulee mahdollistaa:

laskea pallon sijainti milloin tahansa;

määrittää pallon koriin lyönnin tarkkuuden heiton jälkeen erilaisilla alkuparametreilla.

Alkutiedot:

pallon massa ja säde;

alkukoordinaatit, alkunopeus ja pallonheittokulma;

keskikoordinaatit ja korin säde.

2.2. SIMULAATIO-ONGELMAN KÄSITTEELLINEN SELITYS

Mallintamisongelman käsitteellinen selvitys- Tämä on luettelo tärkeimmistä kiinnostavista kysymyksistä, jotka on muotoiltu tiettyjen tieteenalojen kannalta (fysiikka, kemia, biologia jne.), sekä joukko hypoteeseja mallinnusobjektin ominaisuuksista ja käyttäytymisestä.

Käsitteellinen malli on rakennettu jonkin idealisoidun kohteen malliksi, joka on kirjoitettu tiettyjen tieteenalojen puitteissa. Tätä varten muotoillaan joukko hypoteeseja kohteen käyttäytymisestä, sen vuorovaikutuksesta ympäristön kanssa ja sisäisten parametrien muutoksista. Pääsääntöisesti nämä hypoteesit ovat uskottavia, koska niiden tueksi voidaan esittää joitain teoreettisia argumentteja ja käyttää kokeellista tietoa, joka perustuu aiemmin kerättyyn kohteeseen. Hyväksyttyjen hypoteesien mukaan määritetään joukko parametreja, jotka kuvaavat kohteen tilaa, sekä lista lakien muuttamisesta ja näiden parametrien suhteesta toisiinsa.

Esimerkki. Koripalloilija-ongelman käsitteellinen muotoilu.

Koripallon liikettä voidaan kuvata Newtonin klassisen mekaniikan lakien mukaan (kuva 2.2).

Hyväksymme seuraavat hypoteesit:

simulointiobjekti on koripallo, jonka säde on ;

liike tapahtuu painovoimakentässä jatkuvalla vapaan pudotuksen kiihtyvyydellä ja sitä kuvataan Newtonin klassisen mekaniikan yhtälöillä;

pallon liike tapahtuu yhdessä tasossa, joka on kohtisuorassa maan pintaan nähden ja kulkee heittopisteen ja korin keskikohdan kautta;

jätämme huomiotta ilmanvastuksen ja pallon oman pyörimisen aiheuttamat häiriöt massakeskipisteen ympäri.

Yllä olevien hypoteesien mukaisesti koordinaatteja voidaan käyttää pallon liikkeen parametreina ja nopeus (sen projektiot ja ) pallon massakeskipiste. Sitten pallon sijainnin määrittämiseksi millä tahansa hetkellä riittää, että löydetään pallon massakeskuksen liikelaki, ts. koordinaattiriippuvuus ja nopeusvektorin ja pallon keskipisteen projektiot ajassa. Arviona heiton tarkkuudesta voidaan ottaa huomioon vaakaetäisyys (akselia pitkin) korin keskipisteestä pallon keskipisteeseen sillä hetkellä, kun pallo ylittää korin tason läpi kulkevan vaakatason. rengas.

Edellä esitetyn perusteella voimme muotoilla koripalloilijan ongelman käsitteellisen muotoilun seuraavassa muodossa: määritä painovoiman vaikutuksen alaisen massan omaavan materiaalipisteen liikelaki, jos pisteen alkukoordinaatit ovat tiedossa , sen alkunopeus ja heittokulma . Korin keskellä on koordinaatit . Laske heittotarkkuus , missä määritetään ehdoista: , , .

Tarkastellaanpa esimerkissä esitetyn koripalloilijaongelman käsitteellisen muotoilun piirteitä.

Ensimmäinen näistä hypoteeseista on erityisen tärkeä, koska se korostaa mallinnuksen kohdetta. Tässä tapauksessa esinettä voidaan pitää yksinkertaisena. Kuitenkin "pelaaja - pallo - rengas" -järjestelmää voidaan pitää mallinnuksen kohteena. Tällaisen järjestelmän kuvaamiseen tarvittava malli tulee olemaan paljon monimutkaisempi, koska pelaaja puolestaan ​​edustaa monimutkaista biomekaanista järjestelmää ja sen mallintaminen on vaikea tehtävä. Tässä tilanteessa vain pallon valinta mallinnuskohteeksi on perusteltua, koska juuri sen liikettä on tutkittava, ja pelaajan vaikutus voidaan ottaa huomioon yksinkertaisesti heiton alkuparametrien kautta.

Hypoteesia, että palloa voidaan pitää materiaalina pisteenä, käytetään laajalti kappaleiden liikkeiden tutkimiseen mekaniikassa. Käsiteltävänä olevassa tapauksessa se on perusteltua johtuen pallon muodon symmetriasta ja sen säteen pienuudesta verrattuna pallon liikkeen tunnusomaisiin etäisyyksiin. Oletetaan, että jälkimmäinen on pallo, jonka seinämäpaksuus on sama.

Hypoteesi klassisen mekaniikan lakien soveltuvuudesta tässä tapauksessa voidaan vahvistaa valtavalla kokeellisella materiaalilla, joka liittyy kappaleiden liikkeen tutkimukseen lähellä maan pintaa nopeuksilla, jotka ovat paljon valon nopeutta pienemmät. Ottaen huomioon, että pallon lennon korkeus on 5-10 m ja kantama 5-20 m, oletus vapaan pudotuksen kiihtyvyyden pysyvyydestä näyttää myös perustellulta. Jos ballistisen ohjuksen liikettä simuloitaisiin yli 100 km:n kantamalla ja lentokorkeudella, olisi otettava huomioon vapaan pudotuksen kiihtyvyyden muutos paikan korkeudesta ja leveysasteesta riippuen.

Oletus, että pallo liikkuu tasossa, joka on kohtisuorassa maan pintaan nähden, rajoittaa tarkasteltavien lentoratojen luokkaa ja yksinkertaistaa mallia suuresti. Pallon liikerata ei saa olla samassa tasossa, jos se heitettäessä kiertyy voimakkaasti pystyakselin ympäri. Tässä tapauksessa pallon pinnalla olevien pisteiden nopeudet suhteessa ilmaan pallon eri puolilla ovat erilaisia. Pisteiden, jotka liikkuvat kohti virtausta, suhteellinen nopeus on suurempi, ja vastakkaisen puolen pisteillä, jotka liikkuvat virtausta pitkin, se on pienempi kuin pallon massakeskipisteen nopeus. Bernoullin lain mukaan kaasun paine pinnalla on suurempi siellä, missä sen suhteellinen nopeus on pienempi. Siksi kuvassa kuvatussa tilanteessa. 2.3, palloon vaikuttaa lisävoima, joka on suunnattu (tämän järjestelmän osalta) ylhäältä alas. Tämä vaikutus on selvempi, mitä suurempi on pallon massakeskuksen nopeus ja sen pyörimisnopeus. Koripallolle on ominaista suhteellisen alhaiset pallon lentonopeudet (jopa 10 m/s). Samaan aikaan pallon käsin kiertämistä käytetään harvoin. Siksi hypoteesi, että pallo liikkuu yhdessä tasossa, näyttää olevan perusteltu. Sen käyttö mahdollistaa huomattavasti monimutkaisemman kolmiulotteisen pallon liikkeen mallin rakentamisen luopumisen.

Hypoteesi ilmanvastuksen vaikutuksen puuttumisesta on vähiten perusteltu. Kun kappale liikkuu kaasussa tai nesteessä, vastusvoima kasvaa nopeuden kasvaessa. Kun otetaan huomioon pallon alhaiset nopeudet, sen säännöllinen virtaviivainen muoto ja lyhyt heittoalue, tätä hypoteesia voidaan pitää ensimmäisenä likiarvona.

On huomattava, että mallinnusongelman käsitteellinen muotoilu, toisin kuin mielekäs muotoilu, käyttää tietyn tieteenalan terminologiaa (tarkasteltavana olevassa tapauksessa mekaniikka). Tässä tapauksessa simuloitu todellinen esine (pallo) korvataan sen mekaanisella mallilla (materiaalipisteellä). Itse asiassa yllä olevassa esimerkissä käsitteellinen lausunto pelkistettiin klassisen mekaniikan ongelman väittämäksi materiaalin pisteen liikkeestä painovoimakentässä. Käsitteellinen asetelma on sisältöön nähden abstraktimpi, sillä aineellista pistettä voidaan verrata mielivaltaiseen horisonttiin nähden kulmaan heitettyyn materiaaliseen esineeseen: jalkapalloon, kanuunan palloon, kiveen tai tykistöammuun.

2.3. SIMULAATIOONGELMEEN MATEMAATTINEN LAUSUNTA

Valmistuneen käsitteellisen lausunnon avulla voimme muotoilla mallinnusongelman matemaattisen lausunnon, joka sisältää joukon erilaisia ​​matemaattisia suhteita, jotka kuvaavat mallinnusobjektin käyttäytymistä ja ominaisuuksia.

Mallinnusongelman matemaattinen muotoilu on joukko matemaattisia suhteita, jotka kuvaavat mallinnusobjektin käyttäytymistä ja ominaisuuksia.

Matemaattisten suhteiden joukko määrittää mallioperaattorin tyypin. Mallin operaattori on yksinkertaisin, jos sitä edustaa algebrallinen yhtälöjärjestelmä. Tällaisia ​​malleja voidaan kutsua malleiksi approksimaatiotyyppi, koska niiden saamiseksi käytetään usein erilaisia ​​menetelmiä saatavilla olevien kokeellisten tietojen lähentämiseksi mallinnusobjektin lähtöparametrien käyttäytymisestä riippuen syöttöparametreista ja ympäristövaikutuksista sekä sisäisten parametrien arvoista. objekti.

Tällaisten mallien laajuus on kuitenkin rajallinen. Monimutkaisten järjestelmien ja prosessien matemaattisten mallien luomiseksi, joita voidaan soveltaa laajaan luokkaan todellisia ongelmia, on, kuten edellä todettiin, sisällyttää suuri määrä tutkittavalla tieteenalalla (ja joissakin tapauksissa siihen liittyvillä aloilla) kertynyttä tietoa. Useimmilla tieteenaloilla (erityisesti luonnontieteissä) tämä tieto keskittyy aksioomeihin, lakeihin, lauseisiin, joilla on selkeä matemaattinen muotoilu.

On huomattava, että monilla tiedon aloilla (mekaniikka, fysiikka, biologia jne.) on tapana erottaa lakeja, jotka pätevät kaikille tämän tiedon alan tutkimuskohteille, ja suhteita, jotka kuvaavat yksittäisten objektien käyttäytymistä. tai niiden yhdistelmiä. Ensimmäisiä fysiikassa ja mekaniikassa ovat esimerkiksi massan, liikemäärän, energian jne. tasapainoyhtälöt, jotka pätevät tietyissä olosuhteissa mille tahansa aineelliselle kappaleelle niiden erityisestä rakenteesta, rakenteesta, tilasta, kemiallisesta koostumuksesta riippumatta. Tämän luokan yhtälöt on vahvistettu valtavalla määrällä kokeita, ne ovat hyvin tutkittuja ja siksi niitä käytetään vastaavissa matemaattisissa malleissa annettuna. Fysiikan ja mekaniikan toisen luokan suhteita kutsutaan määritteleviksi eli fysikaalisiksi yhtälöiksi tai tilayhtälöiksi. Ne määrittävät materiaalisten esineiden tai niiden yhdistelmien (esim. nesteet, kaasut, elastiset tai muoviset väliaineet jne.) käyttäytymisen erilaisten ulkoisten tekijöiden vaikutuksesta.

Toisen luokan suhteita tutkitaan paljon vähemmän, ja joissain tapauksissa ne joutuu tutkijan itse määrittämään (erityisesti uusista materiaaleista koostuvia esineitä analysoitaessa). On huomattava, että konstitutiiviset suhteet ovat minkä tahansa fysikaalisten ja mekaanisten prosessien matemaattisten mallien pääelementti. Virheet konstitutiivisten suhteiden valinnassa tai luomisessa johtavat kvantitatiivisesti (ja joskus laadullisesti) virheellisiin mallinnustuloksiin.

Edellä olevien kahden luokan matemaattisten suhteiden joukko määrittelee mallioperaattorin. Useimmissa tapauksissa mallioperaattori sisältää järjestelmän tavallisia differentiaaliyhtälöitä (ODE), osittaisia ​​differentiaaliyhtälöitä (PDE) ja/tai integro-differentiaaliyhtälöitä (IDE). Tehtävälauseen oikeellisuuden varmistamiseksi ODE- tai PDE-järjestelmään lisätään alku- tai reunaehdot, jotka puolestaan ​​voivat olla eri asteisia algebrallisia tai differentiaalisuhteita.

ODE- tai PDE-järjestelmissä on useita yleisimpiä ongelmia:

Cauchyn ongelma tai alkuolosuhteiden ongelma, jossa alkuhetkellä annettujen muuttujien (alkuehtojen) mukaan näiden haluttujen muuttujien arvot määritetään mille tahansa ajanhetkelle;

alkuraja- eli rajaongelma, kun lähtöparametrin halutun funktion ehdot asetetaan alkuajanhetkellä koko tila-alueelle ja jälkimmäisen rajalle kullakin ajanhetkellä (välillä alla opiskelu);

ominaisarvoongelmat, joiden muotoilu sisältää epävarmoja parametreja, jotka määräytyvät järjestelmän käyttäytymisen laadullisen muutoksen ehdosta (esimerkiksi tasapainotilan tai stationaarisen liikkeen stabiilisuuden menetys, jaksollisen järjestelmän ilmaantuminen, resonanssi jne. ).

Tuloksena olevan matemaattisten suhteiden järjestelmän oikeellisuuden valvomiseksi tarvitaan joukko pakollisia tarkistuksia:

Mittasuhteen ohjaus, joka sisältää säännön, jonka mukaan vain saman mittasuhteen arvot voivat olla yhtä suuret ja lisätyt. Kun siirrytään laskelmiin, tämä tarkistus yhdistetään ohjaukseen käyttää samaa yksikköjärjestelmää kaikkien parametrien arvoille.

Tilausohjaus, joka koostuu karkeasta arviosta lisättyjen arvojen vertailujärjestyksistä ja merkityksettömien parametrien poissulkemisesta. Esimerkiksi jos lausekkeelle arvioinnin tuloksena havaittiin, että malliparametrien tarkastelualueella ja alkuperäisen lausekkeen kolmas termi voidaan jättää huomiotta.

Riippuvuuksien luonteen hallintaan kuuluu sen tarkistaminen, että mallin lähtöparametrien muutossuunta ja -nopeus, jotka johtuvat kirjoitetuista matemaattisista suhteista, ovat sellaisia, jotka seuraavat suoraan tutkittavan mallin "fysikaalisesta" merkityksestä.

Äärimmäisten tilanteiden hallinta - matemaattisten suhteiden sekä simulointitulosten tarkastaminen, jos malliparametrit tai niiden yhdistelmät lähestyvät niille sallittuja enimmäisarvoja, useimmiten nollaa tai ääretöntä. Tällaisissa ääritilanteissa mallia usein yksinkertaistetaan, matemaattiset suhteet saavat visuaalisemman merkityksen ja niiden todentaminen yksinkertaistuu. Esimerkiksi muotoaan muuttavan kiinteän kappaleen mekaniikan ongelmissa materiaalin muodonmuutos tutkittavalla alueella isotermisissä olosuhteissa on mahdollista vain kuormitettaessa, kun taas kuormien puuttumisen pitäisi johtaa muodonmuutosten puuttumiseen.

Rajaehtojen ohjaus, johon kuuluu sen tarkistaminen, että reunaehdot ovat todella asetettu, että niitä käytetään halutun ratkaisun rakentamisessa ja että mallin lähtöparametrien arvot todella täyttävät annetut ehdot.

Fyysisen merkityksen hallinta - fyysisen tai muuten, tehtävän luonteesta riippuen, mallina ilmenevien alku- ja välisuhteiden merkitys konstruoidaan.

Matemaattisen sulkemisen ohjaus, joka koostuu sen tarkistamisesta, että kirjallinen matemaattisten suhteiden järjestelmä mahdollistaa lisäksi yksiselitteisesti asetetun matemaattisen ongelman ratkaisemisen. Esimerkiksi, jos ongelma rajoittuu tuntemattomien löytämiseen jostain algebra- tai transsendentaaliyhtälöjärjestelmästä, niin sulkeutumisen hallinta koostuu siitä, että tarkistetaan, että riippumattomien yhtälöiden lukumäärän tulisi olla . Jos niitä on vähemmän ja niin puuttuvat yhtälöt on määritettävä, ja jos niitä on enemmän, niin yhtälöt ovat joko riippuvaisia ​​tai niiden laadinnassa on tehty virhe. Jos yhtälöt saadaan kuitenkin kokeesta tai havaintojen tuloksena, niin ongelman lauseke on mahdollista, jossa yhtälöiden lukumäärä ylittää , mutta itse yhtälöt täyttyvät vain likimääräisesti ja ratkaisua etsitään esim. pienimmän neliösumman menetelmä. Ehdoissa voi myös olla mitä tahansa epätasa-arvoa, kuten tapahtuu esimerkiksi lineaarisissa ohjelmointitehtävissä.

Matemaattisten relaatioiden järjestelmän matemaattisen sulkemisen ominaisuus liittyy läheisesti hyvin asetetun matemaattisen ongelman käsitteeseen, ts. ongelma, johon on olemassa ratkaisu, se vain ja jatkuvasti riippuu lähdetiedoista. Tässä tapauksessa ratkaisua pidetään jatkuvana, jos pieni muutos lähtötiedoissa vastaa riittävän pientä muutosta ratkaisussa.

Ongelman oikeellisuuden käsitteellä on suuri merkitys soveltavassa matematiikassa. Esimerkiksi numeerisia ratkaisumenetelmiä on järkevää soveltaa vain hyvin esitettyihin ongelmiin. Samaan aikaan kaikkia käytännössä esiin tulevia ongelmia ei voida pitää hyvin aseteltuina (esimerkiksi ns. käänteisongelmat). Tietyn matemaattisen ongelman oikeellisuuden todistaminen on melko monimutkainen tehtävä, se on ratkaistu vain tietylle matemaattisesti esitettyjen tehtävien luokalle. Matemaattisen sulkemisen tarkistaminen on helpompaa kuin matemaattisen lauseen oikeellisuuden tarkistaminen. Tällä hetkellä huonosti esitettyjen ongelmien ominaisuuksia tutkitaan aktiivisesti ja menetelmiä niiden ratkaisemiseksi kehitetään. Samalla tavalla kuin "hyvin asetetun ongelman" käsite, voimme ottaa käyttöön käsitteen "oikea matemaattinen malli".

Matemaattinen malli on oikea, jos kaikista kontrollitarkastuksista on suoritettu ja saatu positiivinen tulos: mitat, tilaukset, riippuvuuksien luonne, ääritilanteet, reunaehdot, fyysinen merkitys ja matemaattinen sulkeutuminen.

Esimerkki. Koripalloilijan ongelman matemaattinen muotoilu.

Koripalloilijaongelman matemaattinen muotoilu voidaan esittää sekä vektori- että koordinaattimuodossa (kuva 2.4).

1. Vektorimuoto.

Etsi vektoriparametrien riippuvuudet ajasta - ja - tavallisen differentiaaliyhtälöjärjestelmän ratkaisusta

,

alkuolosuhteissa

,

Laske parametri kaavan mukaan

mistä määrittää seuraavista ehdoista:

, , ,

Projisoimalla vektorisuhteet - koordinaattiakseleille, saadaan koripalloilijan ongelman matemaattinen muotoilu koordinaattimuodossa.

2. Koordinaattimuoto.

Etsi riippuvuuksia , ja , differentiaaliyhtälöjärjestelmän ratkaisusta:

, , , ,

seuraavilla alkuolosuhteilla:

, , ,

Laske parametri kaavan mukaan

mistä määrittää ehdoista

, ,

Kuten voidaan nähdä, matemaattisesta näkökulmasta katsottuna koripalloilijan ongelma on pelkistetty Cauchyn ongelmaksi ensimmäisen asteen ODE-järjestelmässä tietyillä alkuehdoilla. Tuloksena oleva yhtälöjärjestelmä on suljettu, koska riippumattomien yhtälöiden lukumäärä (neljä differentiaalista ja kaksi algebrallista) on yhtä suuri kuin tehtävän haluttujen parametrien lukumäärä ( , , , , , ). Tarkastetaan ongelman mitat:

dynamiikan yhtälö

nopeuden ja siirtymän välinen suhde

Matemaatikot ovat todistaneet Cauchyn ongelman ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden. Siksi tätä matemaattista mallia voidaan pitää oikeana.

Ongelman matemaattinen esitys on vielä abstraktimpi kuin käsitteellinen, koska se pelkistää alkuperäisen ongelman puhtaasti matemaattiseksi (esimerkiksi Cauchyn ongelmaksi), jonka ratkaisumenetelmät ovat melko hyvin kehittyneitä. Kyky pelkistää alkuperäinen ongelma tunnettuun matemaattisten ongelmien luokkaan ja perustella tällaisen pelkistyksen legitiimiys vaatii korkeaa ammattipätevyyttä soveltavalta matemaatikolta ja sitä arvostetaan erityisen paljon tutkimusryhmissä.

2.4. ONGELMAN RATKAISUMENETELMÄN VALINTA JA PERUSTELUT

Kehitettyjä matemaattisia malleja käytettäessä on pääsääntöisesti löydettävä mallinnusobjektin joidenkin aiemmin tuntemattomien parametrien riippuvuus (esim. kehon massakeskipisteen koordinaatit ja nopeus, heiton tarkkuus) , joka täyttää tietyn yhtälöjärjestelmän. Siten ongelman ratkaisun etsiminen rajoittuu haluttujen suureiden joidenkin riippuvuuksien löytämiseen mallin alkuparametreista. Kuten aiemmin todettiin, kaikki menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi, jotka muodostavat matemaattisten mallien "ytimen", voidaan jakaa analyyttisiin ja algoritmisiin.

On huomattava, että analyyttisten ratkaisujen käyttö tulosten saamiseksi "luvuissa" edellyttää usein myös sopivien tietokoneella toteutettujen algoritmien kehittämistä. Alkuperäinen ratkaisu tässä tapauksessa on kuitenkin analyyttinen lauseke (tai niiden yhdistelmä). Algoritmisiin menetelmiin perustuvat ratkaisut ovat pohjimmiltaan redusoitumattomia tarkasteltavan ongelman täsmällisiin analyyttisiin ratkaisuihin.

Yhden tai toisen tutkimusmenetelmän valinta riippuu pitkälti työryhmän jäsenten pätevyydestä ja kokemuksesta. Kuten jo todettiin, analyyttiset menetelmät ovat kätevämpiä tulosten myöhempään analysointiin, mutta niitä voidaan soveltaa vain suhteellisen yksinkertaisiin malleihin. Jos matemaattinen ongelma (jopa yksinkertaistetussa muotoilussa) hyväksyy analyyttisen ratkaisun, jälkimmäinen on epäilemättä parempi kuin numeerinen.

Algoritmiset menetelmät pelkistyvät johonkin algoritmiin, joka toteuttaa laskennallisen kokeen tietokoneella. Simuloinnin tarkkuus tällaisessa kokeessa riippuu merkittävästi valitusta menetelmästä ja sen parametreista (esimerkiksi integrointivaiheesta). Algoritmiset menetelmät ovat pääsääntöisesti työläämpiä toteuttaa, edellyttävät hyvää laskennallisen matematiikan menetelmien tuntemusta, laajaa erikoisohjelmistokirjastoa ja tietotekniikkaa. Nykyaikaisia ​​algoritmisiin menetelmiin perustuvia malleja kehitetään tutkimusorganisaatioissa, jotka ovat vakiinnuttaneet asemansa arvovaltaisiksi tieteellisiksi kouluiksi asiaankuuluvalla tiedon alalla.

Lisäksi numeeriset menetelmät soveltuvat vain matemaattisten ongelmien korjaamiseen, mikä rajoittaa merkittävästi niiden käyttöä matemaattisessa mallintamisessa.

Kaikille numeerisille menetelmille yhteistä on matemaattisen ongelman pelkistäminen äärellisulotteiseksi. Tämä saavutetaan useimmiten diskretioimalla alkuperäinen ongelma, ts. siirtyminen jatkuvan argumentin funktiosta diskreetin argumentin funktioon. Esimerkiksi koripallon painopisteen liikerata ei ole määritelty jatkuvana ajan funktiona, vaan taulukkomuotoisena (diskreetti) koordinaattifunktiona ajasta, ts. joka määrittää koordinaattien arvot vain rajallisen määrän kertoja. Diskreetin tehtävän saatua ratkaisua pidetään alkuperäisen matemaattisen ongelman likimääräisenä ratkaisuna.

Minkä tahansa numeerisen menetelmän käyttö johtaa väistämättä virheisiin ongelman ratkaisutuloksissa. Alkuperäisen ongelman numeerisessa ratkaisussa tuloksena olevan virheen pääkomponentteja on kolme:

kohtalokas virhe, joka liittyy alkutietojen epätarkkuuteen (alku- ja reunaehdot, kertoimet ja yhtälöiden oikea puoli);

menetelmävirhe, joka liittyy siirtymiseen alkuperäisen ongelman diskreettiin analogiin (esimerkiksi korvaamalla derivaatta ero analoginen
, saamme diskretisointivirheen, jolla on at Tilaus);

pyöristysvirhe, joka liittyy tietokoneessa esitettyjen lukujen äärelliseen bittisyvyyteen.

Tietyn laskenta-algoritmin luonnollinen vaatimus on kolmen lueteltujen virhetyyppien suuruusluokkien johdonmukaisuus.

Numeerinen eli likimääräinen menetelmä toteutetaan aina laskennallisen algoritmin muodossa. Siksi kaikki algoritmille asetetut vaatimukset pätevät myös laskentaalgoritmiin. Ensinnäkin algoritmin on oltava toteutettavissa - sen on tarjottava ratkaisu ongelmaan hyväksyttävässä tietokoneajassa. Algoritmin tärkeä ominaisuus on sen tarkkuus, ts. mahdollisuus saada ratkaisu alkuperäiseen ongelmaan tietyllä tarkkuudella äärellisessä määrässä vaiheita. Ilmeisesti mitä pienempi, sitä enemmän koneelle kuluu aikaa. Hyvin pienillä arvoilla laskenta-aika voi olla liian pitkä. Käytännössä siis saavutetaan jonkinlainen kompromissi tarkkuuden ja käytetyn koneajan välillä. On selvää, että jokaiselle tehtävälle, algoritmille ja tietokonetyypille on saavutetun tarkkuuden tunnusarvo.

Algoritmin ajoaika riippuu tietyn tarkkuuden saavuttamiseen vaadittavien vaiheiden määrästä. Jokaiselle matemaattiselle ongelmalle voidaan yleensä ehdottaa useita algoritmeja, jotka mahdollistavat ratkaisun saamisen tietyllä tarkkuudella, mutta eri määrälle toimintoja. Algoritmeja, jotka sisältävät vähemmän vaiheita saman tarkkuuden saavuttamiseksi, kutsutaan taloudellisemmiksi tai tehokkaammiksi.

Laskennallisen algoritmin toiminnan aikana jokaisessa laskentatoimessa tapahtuu jonkin verran virhettä. Samaan aikaan, toiminnasta toimintaan, se voi kasvaa tai olla kasvamatta (ja joissakin tapauksissa jopa laskea). Jos laskuprosessin virhe kasvaa rajattomasti, tällaista algoritmia kutsutaan epävakaaksi tai poikkeavaksi. Muussa tapauksessa algoritmia kutsutaan vakaaksi tai konvergentiksi.

Edellä on jo todettu, että laskennallinen matematiikka yhdistää valtavan kerroksen erilaisia, nopeasti kehittyviä numeerisia ja likimääräisiä menetelmiä, joten niiden täydellinen luokittelu on käytännössä mahdotonta. Halu saada tarkempia, tehokkaampia ja vakaampia laskentaalgoritmeja johtaa lukuisten modifikaatioiden syntymiseen, jotka ottavat huomioon tietyn matemaattisen ongelman erityispiirteet tai jopa mallinnettavien kohteiden ominaisuudet.

Seuraavat numeeristen menetelmien ryhmät voidaan erottaa kohteista, joihin niitä sovelletaan:

interpolointi ja numeerinen differentiointi;

numeerinen integrointi;

lineaaristen ja epälineaaristen yhtälöiden juurten määrittäminen;

lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen (jaettu suoriin ja iteratiivisiin menetelmiin);

epälineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu;

Cauchyn ongelman ratkaisu tavallisille differentiaaliyhtälöille;

tavallisten differentiaaliyhtälöiden raja-arvoongelmien ratkaisu;

yhtälöiden ratkaisu osittaisissa derivaatoissa;

integraaliyhtälöiden ratkaisu.

Numeeristen menetelmien valtava valikoima vaikeuttaa suuresti yhden tai toisen menetelmän valintaa kussakin tapauksessa. Koska saman mallin toteuttamiseen voidaan käyttää useita vaihtoehtoisia algoritmisia menetelmiä, tietyn menetelmän valinnassa huomioidaan, kumpi sopii paremmin tähän malliin tulosten tehokkuuden, stabiilisuuden ja tarkkuuden varmistamiseksi sekä jäsenille tutumpi ja tutumpi työryhmä. Uuden menetelmän kehittäminen on pääsääntöisesti erittäin työlästä ja siihen liittyy suuria aika- ja taloudellisia kustannuksia. Samanaikaisesti suurimmat kustannukset liittyvät tarvittavien ohjelmistojen kehittämiseen ja virheenkorjaukseen vastaavalle tietokoneluokalle, joka tarjoaa tämän menetelmän toteutuksen.

On huomattava, että laskennallinen matematiikka on tietyssä mielessä enemmän taidetta kuin tiedettä (jälkimmäisen ymmärtämisessä muodolliseen logiikkaan perustuvana kulttuurialana). Hyvin usein sovellettavien menetelmien, kehitettyjen ohjelmien tehokkuuden määräävät vuosien ja vuosikymmenten aikana kehitetyt intuitiiviset tekniikat, joita ei ole perusteltu matemaattisista kannoista. Tässä suhteessa saman menetelmän tehokkuus voi vaihdella merkittävästi, kun sitä käyttävät eri tutkijat.

Esimerkki. Koripalloilijan ongelman analyyttinen ratkaisu.

Löydämme integrointivakiot alkuehdoista (2.6). Sitten ongelman ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavasti:

,
, , (2.9)

Ratkaisun saamiseksi edellä käsiteltyyn koripalloilijan ongelmaan voidaan käyttää sekä analyyttisiä että numeerisia menetelmiä. Integroimalla viimeiseen pariin ajan mittaan tallennetut suhteet saadaan

, , , , (2.10)

Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että pallo on heittohetkellä koordinaattien origossa ja samalla tasolla korin kanssa (ts. ). Heittoetäisyydellä tarkoitamme etäisyyttä akselia pitkin, joka lennättää pallon heittopisteestä korirenkaan läpi kulkevan vaakatason leikkauspisteeseen. Suhteista (2.10) heittoetäisyys ilmaistaan ​​seuraavasti:

(2,11)

Ottaen huomioon (2.7), heiton tarkkuus

(2.12)

Esimerkiksi heittäessäsi palloa virhelinjalta voit ottaa seuraavat lähtötiedot: ; m; neiti; . Sitten (2.11) ja (2.12) meillä on m; m.

Esimerkki. Algoritminen ratkaisu koripalloilijan ongelmaan.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa voidaan käyttää Euler-menetelmää. Algoritmi tämän ongelman ratkaisemiseksi pseudokoodissa on annettu alla.

Algoritmi 2.1

ohjelmoida kori (koripalloongelma);

(Tiedot: m, R - pallon massa ja säde;

x0, y0 - pallon alkukoordinaatit;

v0, a0 - pallonheiton alkunopeus ja kulma;

xk, yk - korin keskipisteen koordinaatit;

t - nykyinen aika;

dt - aika-askel;

fx, fy - palloon vaikuttavat voimat;

x, y, vx, vy - nykyiset koordinaatit ja pallon nopeuden projektiot.

tuloksia: L ja D - heiton kantama ja tarkkuus.)

m: = 0,6; R: = 0,12;

v0:=6.44; a0:=45;

Muotoillaan päävaatimukset järjestelmän (objektin) toimintaprosessin mallille M:

1) mallin täydellisyyden pitäisi antaa käyttäjälle mahdollisuus saada tarvittavat arviot järjestelmän ominaisuuksista vaaditulla tarkkuudella ja luotettavuudella.

2) mallin joustavuuden tulee mahdollistaa erilaisten tilanteiden toistaminen järjestelmän rakennetta ja parametreja vaihdeltaessa.

3) Mallin kehittämisen keston tulee olla mahdollisimman lyhyt.

4) mallin rakenteen tulee olla lohko, ts. mahdollistaa joidenkin osien vaihtamisen, lisäämisen ja poistamisen ilman koko mallin uudelleenkäsittelyä.

5) ohjelmiston ja laitteiston tulee tarjota mallin ohjelmistototeutus, joka on tehokas nopeuden ja muistin suhteen.

1.3. Matemaattisten mallien luokittelu

V Matemaattisten mallien luokittelun perustaksi on erittäin kätevää valita sellainen eksplisiittinen ominaisuus kuin mallinnettavan kohteen tyyppi. Tutkittavan kohteen tyypin mukaan erotetaan teknisten laitteiden, teknisten prosessien, toimialojen ja yritysten matemaattiset mallit.

Jokainen valituista malliryhmistä voidaan vuorostaan ​​jakaa useisiin ryhmiin ja alaryhmiin niiden luokitteluominaisuuksien mukaan. Jälkimmäisinä käytetään useimmiten aikatekijöitä (jatkuvat ja diskreetit mallit), mallissa kuvatun kohteen toimintatapaa (dynaaminen ja staattinen) ja toiminnallisen yhteyden tyyppiä (lineaarinen tai epälineaarinen).

Esimerkiksi tämän perusteella on mahdollista luokitella teknisten esineiden ja laitteiden matemaattiset mallit korostaen kahdeksan malliryhmää

V Näytettävien ominaisuuksien luonteesta riippuen matemaattiset mallit jaetaan toiminnallisiin ja rakenteellisiin. Toiminnalliset mallit näyttävät objektissa tapahtuvat prosessit. Useimmiten nämä mallit annetaan yhtälöjärjestelmien muodossa.

Rakennemalleja käytetään tuotteen ulkonäön kuvaukseen liittyvissä suunnitteluongelmissa, suunnittelutehtävissä. Nämä ovat malleja, jotka näyttävät kohteen geometriset ominaisuudet (kohteen muodostavat elementit ja elementtien välisten suhteiden luonne). Nämä matemaattiset mallit ovat matriisien, kaavioiden ja vastaavien muodossa.

Matemaattisten mallien konstruointimenetelmän mukaan erotetaan muodollisten (kokeellis-tilastollisten) matemaattisten mallien luokka ja epämuodollisten (analyyttisten) mallien luokka.

Muodollisia matemaattisia malleja luodaan jonkin analogisen kohteen kokeellisten havaintojen tulosten perusteella. Kytkentäyhtälöt Y=F(X, Z) ovat ehdollisia eivätkä kuvasta kohteen sisäistä rakennetta, suunnittelua tai teknisiä ominaisuuksia.

Teknisten esineiden ja laitteiden matemaattiset mallit

Kuva 1.4. Matemaattisten mallien luokittelu

Epäviralliset mallit luodaan universaalien säilymisyhtälöiden (massa, energia, liikemäärä) perusteella. Kytkentäyhtälöt Y=F(X, Z) heijastavat kappaleessa tapahtuvia yleisiä säilymislakeja, alkeisfysikaalisia ja kemiallisia prosesseja.

Tulo- ja lähtöparametrien välisen toiminnallisen suhteen tyypin mukaan (F(X, Z)) on tapana erottaa lineaariset ja epälineaariset matemaattiset mallit.

Objektin tutkimisen tehtävät voidaan rajoittaa tiettyyn sen toimintatapaan. Tämän ominaisuuden mukaisesti erotetaan staattisen ja dynamiikan mallit.

Dynaamiikan matemaattinen malli kuvaa kohteen siirtymätilaa ja näyttää objektin lähtökoordinaattien (Y(t)) ajanmuutoksen.

Kun kehitetään matemaattista mallia deterministisen kohteen dynamiikasta, käytetään erilaisia ​​differentiaaliyhtälöitä.

1. Kiinteän kohteen dynamiikkamallin kuvaamiseen niputetuilla koordinaatteilla käytetään tavallisia differentiaaliyhtälöitä tai siirtofunktioita:

2. Kuvaa kiinteän kohteen dynamiikan malli jakaumalla, differentiaaliyhtälöt osittaisderivaataina:

3. Ei-stationaarisen objektin dynamiikkamallin kuvaamiseen niputetuilla koordinaatteilla käytetään tavallisia differentiaaliyhtälöitä tai siirtofunktioita ajallisesti muuttuvilla kertoimilla:

4. Ei-stationaarisen objektin dynamiikkamallin kuvaamiseen hajautetuilla koordinaatteilla käytetään osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ajallisesti muuttuvilla kertoimilla:

Statiikan matemaattinen malli kuvaa objektin vakaan tilan toimintatapaa (dY dt = 0 ) ja näyttää kohteen lähtökoordinaattien riippuvuuden

projekti (Y) syötekoordinaateistaan ​​(X).

Kehitettäessä matemaattista mallia deterministisen objektin statiikasta käytetään erilaisia ​​äärellisiä ja differentiaaliyhtälöitä.

5. Kuvaamaan kiinteän kohteen staattista mallia niputetuilla koordinaatteilla käytetään algebrallisia (äärellisiä) yhtälöitä

f (Y, X, B) = 0.

Tarkat koordinaatit käyttävät äärellisiä yhtälöitä ajassa vaihtelevilla kertoimilla:

1.4 Matemaattisen mallin riittävyyden käsite

Esitetään matemaattinen malli staattisen yhtälönä: (1.12)

On objekti (alkuperäinen), jolle voidaan syöttää jonkin verran häiriötä asettamalla uusi arvo tulokoordinaattivektorille X = X * . Käyttämällä näitä yhtälön (1.12) arvoja voidaan löytää laskelma

lähtökoordinaattivektoriarvot Y kilpailut (X * , B * ) . Vertaamalla tätä

vektori vastaavilla arvoilla, jotka on saatu kohteen kokeen aikana (alkuperäinen), voimme päätellä mallin läheisyysasteen alkuperäiseen (kuva 1.5).

Y-rodun (X * , B * ) ja vektorin Y esp (X * ) välillä, joka on saatu objektista kohdassa X = X *, on pienempi kuin annettu luku, ts.

ρ [ Y (X * , B* ), Y (X * ) ]< .

missä ρ on jäännösfunktio, määrittää etäisyyden laskentakaavan;

– Sallittu virhe kuvaa mallin riittävyyden astetta.

Kuva 1.5. Kohdemallin riittävyyden määrittäminen

Mallin riittävyys riippuu tutkittavaa kohdetta koskevien tietojen täydellisyydestä ja luotettavuudesta, mallin yksityiskohtaisuudesta, mallin parametrien tunnistamisen tarkkuudesta, tutkijan koulutustasosta ja kokemuksesta.

1.5. Matemaattisten mallien laatimismenetelmien yleiset ominaisuudet

Minkä tahansa menetelmän analyysi matemaattisen mallin kehittämiseksi antaa meille mahdollisuuden tunnistaa kolme tarpeellista vaihetta tämän ongelman ratkaisemisessa:

tulon X ja kohteen Y-ulostulon kytkentäfunktion f rakenteen määrittäminen (matemaattisen mallin yhtälön yleinen muodostus);

malliparametrien (matemaattisen mallin yhtälön kertoimet) määrittäminen B. Parametrien B vektorin tunnistamisongelma;

matemaattisen mallin riittävyyden tarkistaminen.

Ensimmäisen ja toisen vaiheen ongelmien ratkaisumenetelmistä riippuen erotetaan kolme menetelmäryhmää matemaattisten mallien laatimiseksi: formaaliset (kokeelliset-tilastolliset menetelmät), epämuodolliset (analyyttiset menetelmät) ja yhdistetyt menetelmät.

Muodollisia (kokeellis-tilastollisia) menetelmiä käytetään matemaattisten mallien rakentamiseen kiinteistä ja ei-stationaarisista objekteista, vain niputetuilla koordinaatteilla. Näiden menetelmien pääominaisuudet ovat:

identtiset B-muodollisiin matemaattisiin malleihin asti

osaa kuvata erilaisia ​​BTS:itä; mallinnetun kohteen ominaisuuksien syvällistä tutkimista ei vaadita;

matemaattisen mallin tarkkuus saavutetaan suurentamalla parametrien (kertoimien) vektorin B mittaa.

Matemaattisten mallien muodostamisen muodollisten menetelmien perustana on mallinnusobjektin kyberneettinen esittäminen eräänlaisena mustana laatikkona (kuva 1.6).

Kuva 1.6. Simulaatioobjektin lohkokaavio

V Tämä käsite olettaa, että:

- esineen sisäistä rakennetta ei tunneta,

- kaikki kohteen tulot (X) ja lähdöt (Y) ovat havainnoitavissa,

- objektin syötteeseen voidaan soveltaa erilaisia ​​häiriöitä,

- X:n ja Y:n havaintojen perusteella on mahdollista muodostaa kommunikaatioyhtälöitä, joita pidetään jatkossa kohteen matemaattisen mallin yhtälöinä.

Yksi tämän menetelmäryhmän tärkeimmistä eduista on niiden universaalisuus ja täydellinen muuttumattomuus tutkittavalle aihealueelle. Niiden käyttö tarkoittaa, että kehittäjällä on huomattava määrä kokeellista tietoa: kohteen havaintojen tulokset (X ja Y). On selvää, että kokeellis-tilastollisilla menetelmillä ei voida rakentaa uusia objekteja, kohteita, jotka ovat suunnitteluvaiheessa ja joita ei ole olemassa todellisuudessa.

Epävirallisten (analyyttisten) menetelmien ominaisuuksia matemaattisten mallien laatimiseksi ovat mm.

Sisääntulon X ja lähdön Y koordinaattien yhteysfunktio f johdetaan simulaatioobjektissa tapahtuvien fysikaalisten ja kemiallisten alkeisprosessien analyysin perusteella;

Malliparametrien vektorin B komponentit (yhtälökertoimet) sisältävät mallinnettavan kohteen tärkeimmät suunnittelu- ja teknologiset ominaisuudet;

Näiden menetelmien perusteella saadut matemaattiset mallit ovat pääsääntöisesti epälineaarisia.

Analyyttisten menetelmien tärkein etu mallien rakentamisessa

on mahdollisuus yksityiskohtaiseen (täydelliseen) analyysiin kohteen ominaisuuksista useissa lähtötiedoissa tapahtuvissa muutoksissa. Analyyttinen lähestymistapa matemaattisten mallien kehittämiseen on kuitenkin mahdollista vain suhteellisen yksinkertaisia ​​objekteja tarkasteltaessa, muissa tapauksissa se vaatii merkittäviä yksinkertaistuksia (oletuksia) todellisten prosessien kuvauksissa, mikä johtaa mallinnuksen tarkkuuden heikkenemiseen. Analyyttiset menetelmät matemaattisten mallien kehittämiseksi eivät vaadi kokeita ja niitä voidaan käyttää esiprojektitutkimuksissa sekä uuden tilan suunnittelussa.

Yhdistetyt menetelmät ovat analyyttisten ja muodollis-statististen lähestymistapojen yhdistäminen matemaattisten mallien kehittämiseen. Esimerkiksi matemaattisen mallin yhtälöiden muodostaminen yleisessä muodossa tapahtuu yleismaailmallisten säilymislakien perusteella (analyyttinen lähestymistapa) ja mallin parametrien määritys kokeellisilla ja tilastollisilla menetelmillä. Tällä lähestymistavalla heikennetään muodollisten mallien konstruointimenetelmien päähaitta: yhtälöiden rakenteessa ei ole tutkittavassa objektissa tapahtuvien fysikaalisten ja kemiallisten prosessien heijastusta.

Kontrollikysymykset

1. Millaisia ​​mallinnustyyppejä tunnet?

2. Mikä periaate on fyysisen mallinnuksen taustalla?

3. Mikä periaate on matemaattisen mallintamisen taustalla?

4. Miten fyysinen malli voidaan esittää?

5. Fyysisen mallinnuksen tärkeimmät edut ja haitat.

6. Miten matemaattinen malli voidaan esittää?

7. Matemaattisen mallinnuksen edut ja haitat.

8. Simulaatiomallinnuksen tunnusomaisia ​​piirteitä.

9. Mitä luokitusominaisuuksia käytetään tunnistamaan yksittäisiä matemaattisten mallien luokkia?

10. Mitä dynamiikan matemaattinen malli kuvaa?

11. Mitä dynamiikan matemaattisten mallien luokkia tiedät?

12. Mitä stiikan matemaattinen malli kuvaa?

13. Mitä staattisten matemaattisten mallien luokkia tunnet?

14. Luettele objektin matemaattisen mallin kehittämisen vaiheet.

15. Miten ymmärrät väitteen "Malli on riittävä kohteeseen"?

16. Nimeä menetelmäryhmät matemaattisten mallien laatimiseksi.

17. Mitä matemaattisten mallien muodostamismenetelmien ominaisuuksia tiedät?

18. Analyyttisten menetelmien ominaisuudet mallien rakentamiseen.

Lähetä hyvä työsi tietokanta on yksinkertainen. Käytä alla olevaa lomaketta

Opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, ovat sinulle erittäin kiitollisia.

Lähetetty http://www.allbest.ru/

HUOMAUTUS

Tässä työssä tarkastellaan matemaattisten mallien tyyppejä, niiden luokittelua, matemaattisten mallien päätyyppejä, niiden kaavioita. Esimerkkejä matemaattisten mallien rakentamisesta annetaan useiden esimerkkien avulla. Tämä työ auttaa opiskelijoita ymmärtämään erilaisia ​​matemaattisten mallien tyyppejä ja tyyppejä, ymmärtämään, millä periaatteella matemaattiset mallit voidaan luokitella, mikä määrää tietyn matemaattisen mallin valinnan. Täältä saamme selville, mitkä ovat matemaattisten mallien kaaviot ja mitkä ovat niiden ominaisuudet.

ABSTRAKTI

Tietyssä lopputyössä tarkastellaan matemaattisten mallien tyyppejä, niiden luokittelua. Matemaattisten mallien päätyypit, niiden kaaviot. Lainaa esimerkiksi matemaattisten mallien rakennuksia useissa esimerkeissä.

Johdanto

1. Simulointi

1.1 Mallintamisen tavoitteet ja tavoitteet

1.2 Mallin vaatimukset

2. Mallien luokittelu

3. Matemaattinen mallinnus

3.1 Jatkuvasti deterministiset mallit (D-skeemat)

3.2 Diskreetti-deterministiset mallit (F-skeemat)

3.3 Jonoteoriamenetelmät

4. Matemaattisen mallin valinta

4.1 Matemaattisten mallien konstruointimenetelmien vertailu

4.2 Mallin pätevyys ja yksinkertaisuus

4.3 Validointi ja mallin tunnistaminen

4.4 Matemaattisen mallin valinta

5. Esimerkkejä matemaattisten mallien laatimisesta

Johtopäätös

Luettelo tietolähteistä

JOHDANTO

Tasavallan nykyisessä taloudellisen ja sosiaalisen kehityksen vaiheessa taloudellisen työn tasolle asetetaan korkeat vaatimukset kaikilla tasoilla. Nykyään taloudessa tarvitaan erityisesti laadullisia muutoksia, merkittävää tehokkuuden lisäystä talousjärjestelmän kaikkien osien: yritysten, yhdistysten, toimialojen. Tuotannon ja taloudellisen toiminnan alalla yritysten laajentuvien oikeuksien yhteydessä on erityisen tärkeää, että asiantuntijat hankkivat syvän tietämyksen taloustieteen viimeisimmistä saavutuksista, matemaattisen mallintamisen menetelmistä ja talouden ennustamisesta. tietotekniikkaan perustuvia prosesseja optimaalisten päätösten tekemiseksi. Nämä olosuhteet asettavat kohonneita vaatimuksia sellaisten asiantuntijoiden koulutuksen laadulle, joiden on hallittava tieteen viimeisimmät saavutukset ja kyettävä rikasta menetelmäarsenaaliaan käyttämällä löytämään tehokkaimmat johtamispäätökset, ja tämä puolestaan ​​​​määrittää roolin ja matemaattisten optimointimenetelmien paikka koulutusprosessissa. simulointipalvelu deterministinen

Matemaattisilla mallinnusmenetelmillä, jotka ovat tehokas työkalu taloudellisten prosessien tutkimiseen, on erittäin tärkeä rooli taloudellisen kehityksen analysoinnissa ja synteesissä. Määritelmä tarjoaa monitasoisen optimoinnin, joka kaappaa toimialojen, alueiden ja yritysten väliset suhteet.

Tieteessä, tekniikassa ja taloustieteessä käytetään malleja, jotka kuvaavat järjestelmien tunnusomaisia ​​piirteitä yleisesti hyväksytyllä, muodollisella tavalla ja mahdollistavat niiden käyttäytymisen melko luotettavan ennustamisen. Yksinkertaisimmat mallit voivat olla taulukoita tai kaavioita, jotka yhdistävät järjestelmään kohdistuvan vaikutuksen suuruuden arvoihin, jotka kuvastavat sen reagointia näihin vaikutuksiin. Korkeamman tason mallit ovat yhtälöt, jotka heijastavat tällaista yhteyttä (algebrallinen, differentiaali, integraali jne.). monimutkaisen järjestelmän ominaisuudet heijastavat eri yhtälöiden yhdistelmää. Tällaisia ​​malleja kutsutaan matemaattisiksi ja ne kuvaavat systeemiluokkia. Riippumatta menetelmästä, jolla matemaattinen malli luodaan, se kuvastaa aina suunnilleen tutkittavaa järjestelmää. Tämä johtuu tietojemme epätäydellisyydestä järjestelmässä tapahtuvien prosessien luonteesta, kyvyttömyydestä ottaa huomioon kaikkia prosesseja ja niiden ominaisuuksia (liian hankala matemaattinen malli) sekä järjestelmää koskevien tietojen epätarkkuudesta ja sen elementtejä. Järjestelmän matemaattisen mallin avulla on mahdollista ennustaa sen käyttäytymistä eri tilanteissa (suorittaa järjestelmän matemaattista mallintamista).

1. MALLINTA

Mallintaminen - tämä on objektin tutkimusta rakentamalla ja tutkimalla sen mallia, joka suoritetaan tiettyä tarkoitusta varten ja koostuu kokeilun korvaamisesta alkuperäisellä mallilla tehdyllä kokeella. Malli tulee rakentaa siten, että se toistaa mahdollisimman täydellisesti ne kohteen ominaisuudet, joita tavoitteen mukaisesti on tutkittava. Mallin tulee olla kaikilta osin yksinkertaisempi kuin kohde ja helpompi tutkia. Siten samalle objektille voi olla erilaisia ​​malleja, malliluokkia, jotka vastaavat sen tutkimuksen eri tarkoitusta. Mallintamisen välttämätön ehto on kohteen ja sen mallin samankaltaisuus. Nuo. mallinnus on objektin (alkuperäisen) korvaamista toisella (mallilla) ja mallin ominaisuuksien kiinnittämistä ja tutkimista. Vaihto tehdään tätä tarkoitusta varten yksinkertaistaminen, halpenee, nopeuttaa alkuperäisen ominaisuuksien tutkimista.

Yleensä alkuperäinen esine voi olla luonnollinen tai keinotekoinen, todellinen tai kuvitteellinen järjestelmä. Sillä on monia parametreja, ja sille on ominaista tietyt ominaisuudet. Ominaisuusjoukko toimii kvantitatiivisena mittana järjestelmän ominaisuuksille; järjestelmä ilmentää ominaisuuksiaan ulkoisten vaikutusten vaikutuksesta. Rakennusmallien asiantuntijalta vaaditaan seuraavat perusominaisuudet:

o selkeä ymmärrys esineessä esiintyvien fysikaalisten ja kemiallisten ilmiöiden olemuksesta;

o kyky kuvata matemaattisesti käynnissä olevia prosesseja ja soveltaa mallinnusmenetelmiä;

o pystyä tuottamaan mielekkäitä tuloksia mallista.

1.1 Mallintamisen tavoitteet ja tavoitteet

Mallintamisen päätavoitteet ja tavoitteet ovat seuraavat:

1. Optimaalinen uusien suunnittelu ja olemassa olevien teknisten prosessien tehostaminen.

2. Prosessin edistymisen seuranta, siitä tarvittavien tietojen hankkiminen ja saatujen tietojen käsittely teknologisen prosessin edistymisen hallitsemiseksi.

3. Sellaisten objektien tutkimusongelmien ratkaiseminen, joissa aktiivisten kokeiden suorittaminen on mahdotonta - reaktorien toimintatilat, avaruusobjektien liikeradat jne.

4. Maksiminopeus laboratoriotutkimustulosten siirtämisessä teolliseen mittakaavaan.

1.2 Mallivaatimukset

1. Mallin luomiskustannusten tulee olla huomattavasti alhaisemmat kuin alkuperäisen luomiskustannukset.

2. Säännöt laskennallisen kokeen tulosten tulkitsemiseksi on määriteltävä selkeästi.

3. Päävaatimus on, että mallin on oltava merkittävä. Tämä vaatimus on, että mallin tulee heijastaa kohteen ominaisuuksia, jotka ovat välttämättömiä tietyn ongelman ratkaisemiseksi. Samalle objektille on vaikea luoda yleistettyä mallia, joka heijastaa sen kaikkia ominaisuuksia. Siksi on tärkeää varmistaa mallin olennaisuus.

Mallintaminen on tarkoituksenmukaista, kun mallissa ei ole niitä alkuperäisen ominaisuuksia, jotka estävät sen tutkimisen.

Mallinnusteoria -- yhteenliitetty joukko säännöksiä, määritelmiä, menetelmiä ja työkaluja mallien luomiseen. Itse mallit ovat mallinnusteorian aiheita.

Mallinnusteoria on yleisen järjestelmäteorian - systemologian - pääkomponentti, jossa toteutettavissa olevat mallit oletetaan pääperiaatteeksi: järjestelmää edustaa äärellinen joukko malleja, joista jokainen heijastaa tiettyä puolta sen olemuksesta.

2 . MALLIEN LUOKITUS

Mallien luokittelu voidaan suorittaa erityyppisten ominaisuuksien mukaan:

- kognition menetelmän mukaan: tieteellinen ja tekninen, taiteellinen, maallinen;

- mallien luonteen mukaan: aihe (fyysinen / aineellinen), symbolinen (henkinen).

Kuva 1 Mallien luokittelu luonteen mukaan

- ajan suhteen erotetaan staattiset ja dynaamiset mallit;

- Lähtöparametrien tulon riippuvuuden luonteen mukaan mallit jaetaan deterministisiin ja stokastisiin.

Materiaalimallit - alennettu (suurennettu) heijastus alkuperäisestä säilyttäen samalla fyysisen olemuksen (reaktori - koeputki). Mentaalinen malli on heijastus alkuperäisestä, heijastaa oleellisia piirteitä ja syntyy ihmisen mieleen kognitioprosessissa. Kuvalliset mallit ovat luonteeltaan kuvailevia. Symboliset mallit - ovat matemaattisia kuvauksia prosesseista, ilmiöistä, objekteista ja niitä kutsutaan yleensä matemaattisiksi malleiksi. Ikoniset mallit voivat sisältää myös kaavioita ja piirustuksia.

Vmallitunnukset ajan suhteenja lähtöparametrien luonteen perusteella

Kuva 2.

fyysisiä malleja. Luokittelu perustuu mallin abstraktioasteeseen alkuperäisestä. Aiemmin kaikki mallit voidaan jakaa kahteen ryhmään - fyysiseen ja abstraktiin (matemaattiseen).

Fyysinen malli on yleensä järjestelmä, joka on samanlainen tai samankaltainen kuin alkuperäinen, mutta mahdollisesti luonteeltaan erilainen. Fyysisten mallien tyypit:

luonnollinen;

lähes luonnollinen;

laajamittainen;

analoginen.

Luonnolliset mallit ovat todellisia tutkittavia järjestelmiä (malleja, prototyyppejä). Ne ovat täysin riittäviä (yhteensopivia) alkuperäisen järjestelmän kanssa, mutta ovat kalliita.

Kvasi-luonnolliset mallit ovat luonnollisia ja matemaattisia malleja. Tätä tyyppiä käytetään, kun järjestelmän osan malli ei voi olla matemaattinen sen kuvauksen monimutkaisuuden vuoksi (ihmisoperaattorimalli) tai kun järjestelmän osaa on tutkittava vuorovaikutuksessa muiden osien kanssa, mutta niitä ei vielä ole olemassa. tai niiden sisällyttäminen on erittäin kallista (laskennalliset polygonit, automaattiset ohjausjärjestelmät).

Mittakaavamalli on järjestelmä, joka on fyysisesti samanlainen kuin alkuperäinen, mutta eroaa siitä mittakaavaltaan. Mittakaavamallinnuksen metodologinen perusta on samankaltaisuusteoria. Laskentajärjestelmiä suunniteltaessa mittakaavamallien avulla voidaan analysoida layoutratkaisujen vaihtoehtoja.

Analogisia malleja kutsutaan järjestelmiksi, joiden fyysinen luonne eroaa alkuperäisestä, mutta toimintaprosessit ovat samanlaisia ​​kuin alkuperäiset. Analogisen mallin luomiseksi tarvitaan matemaattinen kuvaus tutkittavasta järjestelmästä. Analogisina malleina käytetään mekaanisia, hydraulisia, pneumaattisia ja sähköisiä järjestelmiä. Analogista mallintamista käytetään tietotekniikan tutkimuksessa loogisten elementtien ja sähköpiirien tasolla sekä järjestelmätasolla, kun järjestelmän toimintaa kuvataan esimerkiksi differentiaali- tai algebrallisilla yhtälöillä.

Matemaattiset mallit ovat järjestelmän formalisoitu esitys abstraktilla kielellä, jossa käytetään matemaattisia suhteita, jotka heijastavat järjestelmän toimintaprosessia. Matemaattisten mallien kokoamiseen voit käyttää mitä tahansa matemaattisia työkaluja - algebrallista, differentiaalista, integraalilaskua, joukkoteoriaa, algoritmiteoriaa jne. Pohjimmiltaan kaikki matematiikka on luotu esineiden ja prosessien mallien kokoamista ja tutkimista varten.

Järjestelmien abstraktin kuvauksen välineitä ovat myös kemiallisten kaavojen, kaavioiden, piirustusten, karttojen, kaavioiden jne. kielet. Mallin tyypin valinnan määrää tutkittavan järjestelmän ominaisuudet ja mallinnuksen tavoitteet, koska mallin tutkimisen avulla voit saada vastauksia tiettyyn kysymysryhmään. Muut tiedot voivat vaatia toisenlaisen mallin. Matemaattiset mallit voidaan luokitella deterministisiin ja probabilistisiin, analyyttisiin, numeerisiin ja simulaatioihin.

Analyyttinen malli on sellainen formalisoitu kuvaus järjestelmästä, jonka avulla voit saada ratkaisun yhtälöön eksplisiittisessä muodossa käyttämällä tunnettua matemaattista laitteistoa.

Numeeriselle mallille on ominaista sellaisen muotoinen riippuvuus (1.2), joka sallii vain tietyt ratkaisut tietyille lähtöolosuhteille ja mallien kvantitatiivisille parametreille.

Simulaatiomalli on joukko kuvauksia järjestelmästä ja ulkoisista vaikutuksista, järjestelmän toiminnan algoritmeja tai sääntöjä järjestelmän tilan muuttamisesta ulkoisten ja sisäisten häiriöiden vaikutuksesta. Nämä algoritmit ja säännöt eivät mahdollista käytettävissä olevien matemaattisten menetelmien käyttöä analyyttiseen ja numeeriseen ratkaisuun, mutta mahdollistavat järjestelmän toimintaprosessin simuloinnin ja kiinnostavien ominaisuuksien laskemisen. Simulaatiomalleja voidaan luoda paljon laajemmalle kohteiden ja prosessien luokalle kuin analyyttisiä ja numeerisia malleja. Koska IS:ää käytetään simulaatiomallien toteuttamiseen, yleismaailmalliset ja erikoisalgoritmiset kielet toimivat IM:n formalisoidun kuvauksen keinona. MI:t soveltuvat parhaiten VS:n tutkimukseen systeemitasolla.

3 . MATEMAATTINEN MALLINTA

Tämä on nykyaikaisen tieteellisen tutkimuksen tärkein menetelmä, järjestelmäanalyysin päälaite. Matemaattinen mallintaminen on objektin käyttäytymisen tutkimusta tietyissä olosuhteissa ratkaisemalla sen matemaattisen mallin yhtälöt. Kemiantekniikassa matemaattista mallintamista käytetään lähes kaikilla tutkimuksen, kehityksen ja toteutuksen tasoilla. Tämä menetelmä perustuu matemaattiseen samankaltaisuuteen. Matemaattisesti samankaltaisille objekteille prosesseilla on erilainen fyysinen luonne, mutta niitä kuvataan identtisillä yhtälöillä.

Matemaattista mallintamista kutsuttiin sen kehityksen alussa analogiseksi. Lisäksi analogiamenetelmän käyttö johti analogisten tietokoneiden syntymiseen - AVM. Nämä ovat elektronisia laitteita, jotka koostuvat integraattoreista, erottimista, summaimista ja vahvistimista. Fysikaaliset ilmiöt mallinnetaan AVM:llä, jotka ovat samanlaisia ​​kuin sähköisen luonteen vaikutukset. Fysikaaliseen verrattuna matemaattinen mallinnus on universaalimpi menetelmä.

Matemaattinen mallinnus:

- mahdollistaa yhden laitteen (tietokoneen) avulla kokonaisen luokan tehtävien ratkaisun, joilla on sama matemaattinen kuvaus;

- helpottaa siirtymistä tehtävästä toiseen, voit syöttää muuttuvia parametreja, häiriöitä ja erilaisia ​​alkuehtoja;

- mahdollistaa mallinnuksen suorittamisen osissa ("alkeisprosessit"), mikä on erityisen tärkeää tutkittaessa monimutkaisia ​​kemiallisen tekniikan kohteita;

- taloudellisempi kuin fyysinen mallinnusmenetelmä sekä kustannusten että kustannusten suhteen.

Lähtötietona järjestelmien toimintaprosessien matemaattisen mallin rakentamisessa on tietoa tutkitun (suunnitellun) järjestelmän S tarkoituksesta ja toimintaolosuhteista. Nämä tiedot määrittelevät mallinnuksen päätarkoituksen, matemaattisen mallin vaatimukset, abstraktion taso ja matemaattisen mallinnusjärjestelmän valinta.

konsepti matemaattinen kaavio antaa meille mahdollisuuden pitää matematiikkaa ei laskentamenetelmänä, vaan ajattelumenetelmänä, käsitteiden muotoilun keinona, mikä on tärkeintä siirtyessä sanallisesta kuvauksesta sen toimintaprosessin formalisoituun esitykseen. tietty matemaattinen malli.

Matemaattista kaaviota käytettäessä järjestelmän tutkijan tulee ensinnäkin olla kiinnostunut kysymyksestä näytön riittävyydestä tutkittavan järjestelmän todellisten prosessien erityisten kaavioiden muodossa, eikä mahdollisuudesta saada vastaus. (ratkaisutulos) tiettyyn tutkimuskysymykseen.

Matemaattinen skeema voidaan määritellä linkiksi siirtymisessä mielekkäästä järjestelmän toimintaprosessin formalisoituun kuvaukseen ottaen huomioon ulkoisen ympäristön vaikutukset. Nuo. on ketju: kuvaava malli - matemaattinen malli - simulaatiomalli.

Deterministisinä malleina, kun satunnaista tosiasiaa ei oteta huomioon tutkimuksessa, käytetään differentiaali-, integraali- ja muita yhtälöitä kuvaamaan jatkuvassa ajassa toimivia järjestelmiä ja äärellisillä automaateilla ja äärellisillä erotusmenetelmillä diskreetissä ajassa toimivia järjestelmiä. .

Stokastisten mallien alussa (satunnaistekijä huomioiden) käytetään todennäköisyysautomaatteja edustamaan diskreettiaikaisia ​​järjestelmiä ja jonojärjestelmiä (QS) kuvaamaan jatkuvaaikaisia ​​järjestelmiä. Suuri käytännön merkitys monimutkaisten yksittäisten hallintajärjestelmien tutkimuksessa, joihin kuuluvat myös automatisoidut ohjausjärjestelmät, on niin sanotuilla aggregatiivisilla malleilla.

Aggregatiiviset mallit (järjestelmät) mahdollistavat laajan joukon tutkimuskohteita kuvailemalla näiden objektien systeemisyyttä. Juuri aggregatiivisen kuvauksen aikana monimutkainen objekti jaetaan äärelliseen määrään osia (alijärjestelmiä), säilyttäen samalla yhteydet, mikä varmistaa osien vuorovaikutuksen.

3 .1 Jatkuvasti määrätty m O delhi (D - suunnitelmat)

Tarkastellaan jatkuvasti deterministisen lähestymistavan piirteitä esimerkin avulla käyttäen differentiaaliyhtälöitä matemaattisena mallina.

Differentiaaliyhtälöiksi kutsutaan sellaisia ​​yhtälöitä, joissa tuntemattomat ovat yhden muuttujan tai useamman muuttujan funktioita, ja yhtälö ei sisällä vain niiden funktioita, vaan niiden eri luokkaa olevat johdannaiset.

Jos tuntemattomat ovat useiden muuttujien funktioita, yhtälöitä kutsutaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiksi. Jos yhden riippumattoman muuttujan tuntemattomat funktiot, niin tapahtuu tavallisia differentiaaliyhtälöitä.

Matemaattinen suhde deterministisille järjestelmille yleisessä muodossa:

Esimerkiksi heilurin pienten värähtelyjen prosessia kuvataan tavallisella differentiaaliyhtälöllä, jossa m 1 , l 1 on massa, heilurin jousituksen pituus, on heilurin poikkeama kulma tasapainoasennosta. Tästä yhtälöstä voidaan löytää arvioita kiinnostavista ominaisuuksista, esimerkiksi värähtelyjaksosta

Differentiaaliyhtälöt, D - kaaviot ovat automaattisten ohjausjärjestelmien teorian, ohjauksen, matemaattista laitteistoa.

Automaattisia ohjausjärjestelmiä (ACS) suunniteltaessa ja käytettäessä on valittava sellaiset järjestelmäparametrit, jotka takaavat vaaditun ohjaustarkkuuden.

On huomattava, että ACS:ssä usein käytetyt differentiaaliyhtälöjärjestelmät määritetään linearisoimalla objektin (järjestelmän) ohjaus, monimutkaisempi muoto, jolla on epälineaarisuutta:

3 .2 Diskreetti - deterministiset mallit ( F -kaavio)

Diskreetti - deterministiset mallit (DDM) ovat automaatioteorian (TA) tarkastelun kohteena. TA on teoreettisen kybernetiikan osa, joka tutkii laitteita, jotka käsittelevät diskreettiä tietoa ja muuttavat sisäisiä tilojaan vain sallittuina aikoina.

Tilakoneella on joukko sisäisiä tiloja ja tulosignaaleja, jotka ovat äärellisiä joukkoja. Automaatti määritellään F-kaaviolla:

F= ,

missä z,x,y ovat vastaavasti tulo- ja lähtösignaalien äärellisiä joukkoja (aakkoset) ja sisäisten tilojen äärellinen joukko (aakkoset). z 0 Z - alkutila; (z,x) - siirtymäfunktio; (z,x) - poistu funktiosta. Automaatti toimii diskreetissä automaatioajassa, jonka hetket ovat syklejä, eli. yhtäläiset aikavälit vierekkäin, joista jokainen vastaa tulo-, lähtösignaalin ja sisäisen tilan vakioarvoja. Abstraktissa automaatissa on yksi tulo- ja yksi lähtökanava.

Tällä hetkellä t ollessaan tilassa z(t) automaatti pystyy havaitsemaan signaalin x(t) ja antamaan signaalin y(t)= siirtyen tilaan z(t+1)=, z( t)Z; y(t)Y; x(t)X. Abstrakti KA alkutilassa z 0, vastaanottaen signaaleja x(0), x(1), x(2) …, tuottaa signaalit y(0), y(1), y(2)… (lähtösana).

Siellä on 1. tyyppinen F-automaatti (Mil), joka toimii seuraavan kaavan mukaan:

z(t+1)= , t=0,1,2…(1)

y(t)=, t=0,1,2…(2)

2. tyyppinen automaatti:

z(t+1)= , t=0,1,2…(3)

y(t)=, t=1,2,3…(4)

2. tyyppinen automaatti, jolle y(t)=, t=0,1,2,…(5)

nuo. lähtöfunktio ei riipu tulomuuttujasta x(t), sitä kutsutaan Mooren automaatiksi.

Että. Yhtälöt 1-5, jotka määrittelevät F-automaatin täysin, ovat yhtälön erikoistapaus

(6)

missä on tilavektori, on riippumattomien tulomuuttujien vektori, on ympäristövaikutusten vektori, on järjestelmän omien sisäisten parametrien vektori, on alkutilavektori, t on aika; ja yhtälö, (7)

kun järjestelmä S on nimetty ja sen sisääntuloon saapuu diskreetti signaali x.

Tilojen lukumäärän mukaan äärelliset automaatit ovat muistilla ja ilman muistia. Automaateilla, joissa on muisti, on useampi tila, kun taas automaattisilla ilman muistia (yhdistelmä- tai logiikkapiireillä) on vain yksi tila. Lisäksi kohdan (2) mukaan yhdistelmäpiirin toiminta on niin, että se liittää jokaisen tulosignaalin x(t) tiettyyn lähtösignaaliin y(t), ts. toteuttaa lomakkeen loogisen funktion:

y(t)=, t=0,1,2,…

Tätä funktiota kutsutaan Boolen, jos aakkoset X ja Y, joihin x- ja y-signaalien arvot kuuluvat, koostuvat kahdesta kirjaimesta.

Aikareferenssin luonteen (diskreetti) mukaan F-automaatit jaetaan synkronisiin ja asynkronisiin. Synkronisissa automaattisissa ajat, jolloin automaatti "lukee" tulosignaalit, määräytyvät pakotetuilla synkronointisignaaleilla. Automaatti reagoi jokaiseen tulosignaalin arvoon päättyy yhteen kellojaksoon. Asynkroninen F-automaatti lukee tulosignaalia jatkuvasti ja siksi se voi reagoida riittävän pitkään vakioarvon x tulosignaaliin, kuten 1-5 seuraa, muuttaa tilaansa useita kertoja antamalla sopivan määrän lähtösignaaleja, kunnes siitä tulee vakaa.

F-automaatin määrittämiseksi on kuvattava kaikki joukon F= elementit , eli syöttö-, sisäiset ja lähtöaakkoset sekä siirtymä- ja lähtötoiminnot. F-automaattien toiminnan asettamiseen käytetään yleisimmin käytettyjä taulukko-, graafisia ja matriisimenetelmiä.

Taulukkoasetusmenetelmässä käytetään siirtymien ja lähtöjen taulukoita, joiden rivit vastaavat automaatin tulosignaaleja ja sarakkeet sen tiloja. Tällöin yleensä 1. sarake vasemmalla vastaa alkutilaa z 0 . Siirtymätaulukon i:nnen rivin ja j:nnen sarakkeen leikkauskohtaan sijoitetaan siirtymäfunktion vastaava arvo (zk ,xi) ja tulosfunktion tulostaulukkoon - (zk , xi) . F-Moore-automaatissa molemmat taulukot voidaan yhdistää, jolloin saadaan ns merkitty siirtymätaulukko, jossa kunkin taulukon saraketta osoittavan automaatin tilan z k päällä on tätä tilaa vastaava lähtösignaali (z i) kohdan (5) mukaisesti.

Mealy F-automaatin toiminnan kuvaus siirtymä- ja lähtötaulukoiden mukaan on kuvattu taulukossa 3.1. ja Moore F-automaatin kuvaus siirtymätaulukossa 3.2..

Taulukko 3.1.Kuvaus Mealy-koneen toiminnasta

Taulukko 3.2.Kuvaus Mooren koneen toiminnasta

Esimerkkejä taulukkomenetelmästä F-Mile-koneen F1 määrittämiseksi kolmella tilassa, kahdella sisääntulolla ja kahdella lähtösignaalilla on esitetty taulukossa 3.3 ja F-Mooren koneelle F2 - taulukossa 3.4.

Taulukko 3.3.Kuinka määritellä kolmen tilan Mealy-kone

Taulukko 3.4.Kuinka määritellä kolmen tilan Moore-kone

Toinen tapa määritellä äärellinen automaatti käyttää käsitettä suunnattu graafi. Automaattin kuvaaja on joukko pisteitä, jotka vastaavat automaatin eri tiloja ja yhdistävät automaatin tiettyjä siirtymiä vastaavien graafikaarien kärjet. Jos tulosignaali x k aiheuttaa siirtymän tilasta z i tilaan z j , niin automaatin kuvaajalla on kaari, joka yhdistää kärjen z i kärkeen z j :llä x k . Siirtymäfunktion määrittelemiseksi graafin kaaret on merkittävä vastaavilla lähtösignaaleilla. Mealy-automaateille tämä merkintä tehdään seuraavasti: jos tulosignaali x k vaikuttaa tilaan z i, niin sanotun mukaan saadaan kaari, joka tulee z i:stä ja merkitään x k ; tämä kaari on lisäksi merkitty lähtösignaalilla y=(z i , x k). Mooren automaatilla samanlainen graafin merkintä on seuraava: jos tulosignaali xk , joka vaikuttaa johonkin automaatin tilaan, aiheuttaa siirtymisen tilaan zj , niin zj:lle suunnattu kaari, joka on merkitty xk:lla, on lisäksi merkitty. lähtösignaali y=(zj, xk). Kuvassa Kuvassa 3 on esitetty aiemmin taulukoissa annetut Mealy F1- ja Moore F2 -automaatit.

Riisi.3 . Graafit Mealyn (a) ja Mooren (b) automaateista

Mallinnusongelmia ratkaistaessa äärellisen automaatin matriisimäärittely on usein kätevämpi muoto. Tässä tapauksessa automaatin kytkentämatriisi on neliömatriisi С=|| c ij ||, jonka rivit vastaavat alkutiloja ja sarakkeet vastaavat siirtymätiloja. Elementti c ij =x k /y S Mealy-automaatin tapauksessa vastaa tulosignaalia x k, joka aiheuttaa siirtymän tilasta z i tilaan z j ja tämän siirtymän aikana annettavaa lähtösignaalia y S. Yllä käsitellylle Mealy-koneelle F1 liitäntämatriisi on muotoa:

Jos siirtyminen tilasta z i tilaan z j tapahtuu useiden signaalien vaikutuksesta, matriisielementti cij on joukko "tulo/lähtö"-pareja tälle siirtymälle, jotka on yhdistetty disjunktiomerkillä.

F-Mooren automaatissa elementti c ij on yhtä suuri kuin siirtymän tulosignaalien joukko (z i z j), ja lähtö kuvataan lähtövektorilla:

jonka i:s komponentti on tilan z i merkitsevä lähtösignaali

Esimerkki. Aiemmin tarkastelulle Moore-automaatille F2 kirjoitetaan tilamatriisi ja lähtövektori:

;

Deterministisille automaateille siirtymät ovat yksiselitteisiä. Mitä tulee F-automaatin graafiseen määrittelytapaan, tämä tarkoittaa, että F-automaatin kuvaajassa 2 tai useampi samalla tulosignaalilla merkittyä reunaa ei voi poistua mistään kärjestä. Vastaavasti automaatin C kytkentämatriisissa kullakin rivillä minkään tulosignaalin ei tulisi esiintyä useammin kuin kerran.

Harkitse asynkronisen tilakoneen hyppytaulukon ja kaavion ulkoasua. F-automaatilla tilaa z k kutsutaan stabiiliksi , jos mille tahansa syötteelle x i X, jolle (z k ,x i)=z k meillä on (z k x i)=y k . Että. F-automaattia kutsutaan asynkroniseksi, jos jokainen sen tila z k Z on stabiili.

Käytännössä automaatit ovat aina asynkronisia, ja niiden tilojen stabiilius varmistetaan tavalla tai toisella, esimerkiksi ottamalla käyttöön synkronointisignaaleja. Abstraktin teorian tasolla on kätevää usein toimia synkronisten äärellisten automaattien kanssa.

Esimerkki. Tarkastellaan asynkronista F-Moore-automaattia, joka on kuvattu taulukossa. 3.5 ja näkyy kuvassa. 4.

Taulukko 3.5.Asynkroninen Mooren kone

Riisi.4 . Kuvaaja asynkronisesta Moore-automaatista

Jos asynkronisen automaatin siirtymätaulukossa jokin tila z k on rivin x S ja sarakkeen z S (Sk) leikkauskohdassa, niin tämän tilan z k tulee välttämättä esiintyä samalla rivillä sarakkeessa z k .

F-kaavioiden avulla kuvataan sähköisten laskentajärjestelmien solmuja ja elementtejä, ohjaus-, säätö- ja ohjauslaitteita, tiedonvaihtotekniikan ajallisen ja tilallisen kytkennän järjestelmiä. F-piirien laajuus ei tarkoita niiden yleismaailmallisuutta. Tämä lähestymistapa ei sovellu kuvaamaan päätöksentekoprosesseja, prosesseja dynaamisissa järjestelmissä, joissa on transientteja prosesseja ja stokastisia elementtejä.

3.3 Jatkuvat stokastiset mallit (Q-skeemat)

Näitä ovat jonojärjestelmät, joita kutsutaan Q-skeemoiksi.

Jonoteorian aiheena ovat jonojärjestelmät (QS) ja jonoverkot. QS ymmärretään dynaamiseksi järjestelmäksi, joka on suunniteltu tehokkaasti palvelemaan satunnaista sovellusvirtaa rajoitetuilla järjestelmäresursseilla. QS:n yleinen rakenne on esitetty kuvassa 5.

Riisi.5 . SMO-järjestelmä

QS:n sisäänmenoon saapuvat homogeeniset sovellukset jaetaan tyyppeihin generoivan syyn mukaan, tyypin i sovellusten virtauksen intensiteetti (i=1…M) on merkitty i:llä. Kaikkien tyyppisten sovellusten joukko on saapuva QS-virta.

Sovelluksia huolletaan m kanavia. Erottele yleispalvelukanavat ja erikoispalvelukanavat. Tyypin j yleiskanavalle katsotaan mielivaltaisen tyyppisten huoltovaatimusten keston jakautumisfunktiot Fji () tunnetuiksi. Erikoistuneille kanaville joidenkin vaatimustyyppien kanavien palvelun keston jakelutoiminnot ovat määrittelemättömiä, näiden vaatimusten kohdistaminen tietylle kanavalle.

Palveluprosessina voidaan esittää fyysisiltä luonteeltaan erilaisia ​​taloudellisten, teollisten, teknisten ja muiden järjestelmien toimintaprosesseja, esimerkiksi tuotevirtoja tietylle yritykselle, osien ja komponenttien virtoja kokoonpanolinjalla. työpaja, sovellukset tietojen käsittelyyn sähköisistä laskentajärjestelmistä etäpäätteistä jne. Samanaikaisesti tällaisten objektien toiminnalle on ominaista huoltopyyntöjen (vaatimusten) satunnainen käyttäytyminen ja palvelun suorittaminen satunnaisina aikoina.

Q - kaavioita voidaan tutkia analyyttisesti ja simulaatiomalleilla. Jälkimmäinen tarjoaa enemmän monipuolisuutta.

Harkitse jonotuksen käsitettä.

Missä tahansa peruspalvelutoiminnassa voidaan erottaa kaksi pääkomponenttia: sovelluksen palvelun odotus ja sovelluksen varsinainen palvelu. Tämä voidaan esittää jonkin i:nnen palvelulaitteen P i muodossa, joka koostuu pyyntöakusta, jossa voi olla samanaikaisesti li =0…L i H pyyntöjä, missä L i H on i:nnen kapasiteetti. akku ja pyyntöpalvelukanava, ki .

Riisi.6 . SMO-laitekaavio

Tapahtumavirrat saapuvat palvelulaitteen P i jokaiseen elementtiin: pyyntövirta w i saapuu akkuun Hi, ja palveluvirta u i saapuu kanavalle ki.

Tapahtumavirta (TS) on tapahtumasarja, joka tapahtuu peräkkäin jonakin satunnaisena ajankohtana. On olemassa homogeenisten ja epähomogeenisten tapahtumien virtoja. Homogeeniselle PS:lle (HPS) on tunnusomaista vain näiden tapahtumien saapumishetki (aiheuttavat hetket) ja se saadaan sekvenssillä (tn )=(0t 1 t 2 ...tn ...), missä tn on tapahtuman hetki. n:nnen tapahtuman saapuminen - ei-negatiivinen reaaliluku. OPS voidaan määrittää myös n:nnen ja n-1:nnen tapahtuman välisenä aikajaksona ( n ).

Epähomogeeninen PS on sekvenssi (t n , f n ) , jossa t n ovat laukaisumomentteja; f n - tapahtumamerkkien joukko. Voidaan määrittää esimerkiksi kuuluminen yhteen tai toiseen pyyntölähteeseen, prioriteetin olemassaolo, mahdollisuus palvella yhden tai toisen tyyppisen kanavan kautta jne.

Tarkastellaan OPS:ää, jolle i (n) ovat toisistaan ​​riippumattomia satunnaismuuttujia. Silloin PS:tä kutsutaan virtaukseksi, jolla on rajoitettu jälkivaikutus.

PS:tä kutsutaan tavalliseksi, jos todennäköisyys, että useampi kuin yksi tapahtuma Р 1 (t, t) osuu pienelle aikavälille t, joka on ajan t vieressä, on merkityksettömän pieni.

Jos jollakin aikavälillä t tapahtuma P 0 (t, t) + P 1 (t, t) + Р 1 (t, t)=1, P 1 (t, t) on todennäköisyys, että täsmälleen yksi tapahtuma putoaa intervalli t. Täydellisen ryhmän muodostavien ja yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summana tavalliselle tapahtumavirralle P 0 (t, t) + P 1 (t, t) 1, P 1 (t, t) \u003d (t), missä (t) - määrä, jonka pienuusaste on suurempi kuin t, ts. lim((t))=0 kohdassa t0.

Kiinteä PS on virtaus, jonka todennäköisyys tietyn tai toisen tapahtumamäärän esiintymiselle aikavälissä riippuu tämän jakson pituudesta eikä riipu siitä, missä tämä osio on otettu aika-akselilla 0 - t. OPS:lle 0*P 0 (t, t) + 1*P 1 (t, t)= P 1 (t, t) on tapahtumien keskimääräinen lukumäärä välissä t. Jaksolla t esiintyvien tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti on P 1 (t, t)/t. Tarkastellaan tämän lausekkeen rajaa kohdassa t0

lim P 1 (t, t)/t=(t)*(1/kerta).

Jos tämä raja on olemassa, sitä kutsutaan OPS:n intensiteetiksi (tiheydeksi). Normaalille PS:lle (t)==vakio.

Mitä tulee peruspalvelukanavaan k i, voidaan olettaa, että pyyntöjen virta w i W, ts. pyyntöjen tulohetkien väliset aikavälit syötteessä k i muodostavat hallitsemattomien muuttujien osajoukon ja palveluvuon u i U, ts. palvelupyynnön alun ja lopun väliset aikavälit muodostavat ohjattujen muuttujien osajoukon.

Kanavan k i palvelemat vaatimukset ja laitteelta P i eri syistä lähteneet vaatimukset eivät toimitettu, muodostavat lähtövirran y i Y.

Palvelulaitteen P i toimintaprosessi voidaan esittää prosessina, jossa sen elementtien tilat muuttuvat ajassa Z i (t). P i:n siirtyminen uuteen tilaan tarkoittaa muutosta siinä olevien pyyntöjen määrässä (kanavassa k i ja akussa H i). Että. P i:n tilavektorilla on muoto: varattu).

Reaaliobjektien Q-skeemat muodostuvat monien peruspalvelulaitteiden P i koostumuksesta. Jos ki eri palvelulaitteita kytketään rinnan, niin monikanavapalvelu (monikanavainen Q-piiri) tapahtuu ja jos laitteet P i ja niiden rinnakkaiskokoonpanot kytketään sarjaan, niin monivaiheinen palvelu tapahtuu (moni- vaihe Q-piiri).

Että. Q-kaavion määrittämiseen tarvitaan konjugaatiooperaattori R, joka kuvastaa rakenteen elementtien suhdetta.

Q-kaavion linkit on kuvattu nuolina (virtausviivat, jotka heijastavat sovellusten liikesuuntaa). On olemassa avoimia ja suljettuja Q-piirejä. Avoimessa silmukassa lähtövirta ei voi enää saapua mihinkään elementtiin, ts. palautetta ei ole.

Q-kaavion omat (sisäiset) parametrit ovat vaiheiden lukumäärä L Ф, kanavien lukumäärä kussakin vaiheessa, L kj , j=1 ... L Ф, kunkin vaiheen taajuusmuuttajien lukumäärä L kj , k =1 ... L Ф, kapasiteetti i. käyttölaite L i H . On huomattava, että jonoteoriassa käytetään tallennuskapasiteetista riippuen seuraavaa terminologiaa:

häviölliset järjestelmät (L i H =0, tallennustilaa ei ole);

odotusjärjestelmät (L i H);

järjestelmät, joiden tallennuskapasiteetti on rajoitettu H i (sekoitettu).

Nimetään koko Q-kaavion ominaisparametrien joukko osajoukoksi H.

Q-skeeman määrittämiseksi on myös tarpeen kuvata sen toiminnan algoritmit, jotka määrittävät säännöt sovellusten käyttäytymiselle erilaisissa epäselvissä tilanteissa.

Tällaisten tilanteiden esiintymispaikasta riippuen on olemassa algoritmeja (kursseja) sovellusten odottamiseen tallennustilassa Hi ja sovellusten palvelemiseen kanavalla k. Pyyntövirran heterogeenisuus otetaan huomioon ottamalla käyttöön prioriteettiluokka.

Prioriteettien dynamiikasta riippuen Q-skeemat jaetaan staattisiin ja dynaamisiin. Staattiset prioriteetit on määritetty etukäteen eivätkä ne riipu Q-skeeman tiloista, ts. ne kiinnitetään tietyn mallinnusongelman ratkaisuun. Dynaamiset prioriteetit syntyvät simuloinnin aikana. Sääntöjen perusteella, jotka koskevat pyyntöjen valintaa tallennustilasta Hi palvelua varten kanavan ki mukaan, suhteellinen ja absoluuttinen prioriteetti voidaan erottaa. Suhteellinen prioriteetti tarkoittaa sitä, että korkeamman prioriteetin vaatimus, joka on saapunut muistiin H, odottaa lähettävän vaatimuksen palvelun päättymistä kanavalla k i ja vasta sen jälkeen varaa kanavan. Absoluuttinen prioriteetti tarkoittaa, että taajuusmuuttajaan tuleva asiakas, jolla on korkeampi prioriteetti, katkaisee kanavalla ki alhaisemman prioriteetin omaavan asiakkaan palvelun ja varaa itse kanavan (samaan aikaan ki:stä työnnetty asiakas voi joko poistua järjestelmästä tai kirjoitetaan takaisin johonkin kohtaan H i).

On myös tarpeen tietää säännöt, joiden mukaan asiakkaat poistuvat H i:stä ja k i:stä: H i:lle - joko ylivuotosäännöt tai poistumissäännöt, jotka liittyvät asiakkaan odotusajan päättymiseen H i:ssä; k i -säännöt reittien tai poistumissuuntien valitsemiseksi. Lisäksi on tarpeen asettaa pyynnöille säännöt, joiden mukaan ne jäävät kanavalle k i eli pyyntöihin. kanavan estosäännöt. Samanaikaisesti lukot k i erotetaan ulostulon ja tulon perusteella. Tällaiset lukot heijastavat ohjauslinkkien läsnäoloa Q_schemessa, jotka säätelevät pyyntöjen kulkua Q_scheme:n tiloista riippuen. Q_scheme:n pyyntöjen käyttäytymisen mahdollisten algoritmien joukko voidaan esittää tiettynä algoritmien operaattorina pyyntöjen A käyttäytymiselle .

Että. Q_scheme, joka kuvaa minkä tahansa monimutkaisen QS-toiminnan prosessia, on yksilöllisesti määritelty joukkona: Q = .

4 . MATEMAATTISEN MALLIN VALINTA

4 .1 Kartoitusmenetelmiä vartenmatemaattisten mallien rakenteet

Menetelmän valinta riippuu prosessin tärkeydestä ja monimutkaisuudesta. Suurtuotantoon tarvitaan hyviä malleja, tässä käytetään teoreettista menetelmää. Samalla menetelmällä luodaan täysin uusia teknologisia prosesseja.

Pienillä teollisuudenaloilla, joiden prosessi on luonteeltaan monimutkainen, käytetään kokeellista menetelmää. Käytännössä käytetään pääsääntöisesti kaikkien menetelmien järkevää yhdistelmää.

4 .2 Luotettavuus jayksinkertaisuusmallit

Yllä mainitulla menetelmällä rakennetun matemaattisen mallin tulee samanaikaisesti täyttää luotettavuuden ja yksinkertaisuuden vaatimukset.

Luotettava malli, joka kuvaa oikein kohteen käyttäytymistä, voi olla hyvin monimutkainen. Mallin monimutkaisuus määräytyy pääsääntöisesti tutkittavan kohteen monimutkaisuuden ja käytännön vaatiman laskentatulosten tarkkuuden perusteella. On välttämätöntä, että tämä monimutkaisuus ei ylitä tiettyä nykyisen matemaattisen laitteen kykyjen määräämää rajaa. Siksi mallin tulee olla matemaattisesti riittävän yksinkertainen, jotta se voidaan ratkaista käytettävissä olevilla menetelmillä ja työkaluilla.

4 . 3 Tutkimusajoulukuuvajahenkilöllisyystodistusmallit

Riittävyyden todentaminen on arvio rakennetun matemaattisen mallin luotettavuudesta, tutkimus sen yhteensopivuudesta tutkittavan kohteen kanssa.

Riittävyyden tarkistus suoritetaan testikokeissa vertaamalla mallin mukaisen laskennan tuloksia tutkittavalla kohteella samoissa olosuhteissa suoritetun kokeen tuloksiin. Näin voit asettaa rakennetun mallin sovellettavuusrajat.

Päävaihe riittävän mallin rakentamisessa on esineen matemaattisen kuvauksen matemaattisen kuvauksen tunnistaminen. Tunnistamisen tehtävänä on määrittää mallin tyyppi ja löytää sen tuntemattomat parametrit - yksittäiset vakiot tai niiden kompleksit, jotka kuvaavat kohteen ominaisuuksia. Tunnistaminen on mahdollista, jos tarvittava kokeellinen tieto tutkittavasta kohteesta on saatavilla.

4.4 Matemaattisen mallin valinta

Mallin valintaongelma syntyy, kun samalle objektille on olemassa malliluokka. Mallin valinta on yksi mallinnuksen tärkeimmistä vaiheista. Viime kädessä tietyn mallin etu määrittää käytännön kriteerin laajasti ymmärrettynä. Mallia valittaessa on lähdettävä kohtuullisesta kompromissista mallin monimutkaisuuden, sen avulla saadun kohteen ominaisuuksien täydellisyyden ja näiden ominaisuuksien tarkkuuden välillä. Eli jos malli ei ole riittävän tarkka, sitä on täydennettävä, jalostettava ottamalla käyttöön uusia tekijöitä, voi myös osoittautua, että ehdotettu malli on liian monimutkainen ja samat tulokset voidaan saada yksinkertaisemmalla mallilla.

Joskus käytettävissä olevien resurssien rajallisuuden vuoksi on tarpeen yksinkertaistaa matemaattista kuvausta. Tässä tapauksessa on tarpeen arvioida tässä tapauksessa tehty virhe.

Ratkaistaessa matemaattisen kuvauksen yhtälöitä elektronisilla laskentajärjestelmillä on tarpeen luoda mallinnusalgoritmi ("kone"-malli). Mallinnusalgoritmi on muunnettu matemaattinen kuvaus ja se on sarja aritmeettisia ja loogisia ratkaisuoperaatioita, jotka on kirjoitettu ohjelman muodossa.

Tällaista algoritmia kehitettäessä on ensinnäkin tarpeen valita menetelmä matemaattisen kuvauksen yhtälöiden ratkaisemiseksi - analyyttinen tai numeerinen. Muista tarkistaa valitun laskentatavan tarkkuus.

5. ESIMERKKEJÄ MATEMAATTISTEN MALLIEN KÄYTTÄMISESTÄ

Tässä osiossa tarkastellaan tyypillisiä esimerkkejä matemaattisten mallien kokoamisesta erilaisten matematiikan ongelmien ratkaisemiseksi, sekä kansantalouden että koulun ongelmien ratkaisemiseksi.

ESIMERKKI 1

Rakenna matemaattinen malli tuotantosuunnitelman muodostamista varten.

Taulukko 5.1.Alkutiedot

Määritä tuotantomäärä, joka takaa suurimman voiton.

Matemaattisen mallin rakentaminen

Päästää X 1 - A-tyypin tuotteiden lukumäärä ja X 2 - tuotannon määrä B. Sitten X 1 + 4x 2 - tuotteiden valmistukseen tarvittava luokan 1 materiaalin määrä ja ongelman tilanteen mukaan tämä määrä ei ylitä 320

X 1 + 4x 2 <=320 (1)

3x 1 + 4x 2 - tuotteiden valmistukseen tarvittava luokan 2 materiaalin määrä ja ongelman tilanteen mukaan tämä määrä ei ylitä 360

3x 1 + 4x 2 <=360 (2)

X 1 + 2x 2 - tuotteiden valmistukseen tarvittavan luokan 2 materiaalin määrä ja ongelman tilanteen mukaan tämä määrä ei ylitä 180

X 1 + 2x 2 <=180 (3)

lisäksi siitä lähtien X 1 ja X 2 ilmaisevat tuotannon volyymiä, ne eivät voi olla negatiivisia, eli

X 1 > 0, x 2 > 0 (4)

F= X 1 + 2x 2 - voitto, jonka tulisi olla suurin. Näin ollen meillä on seuraava matemaattinen malli tälle ongelmalle

F= x 1 + 2 x 2 > max

ESIMERKKI 2

kuljetustehtävä. Kaupunkeja on n. Poistuttuaan yhdestä myyjän täytyy kiertää ne kaikki ja palata lähtökaupunkiin. Jokaisessa kaupungissa voi vierailla vain kerran, ja siksi matkustavan myyjän reitin tulee muodostaa suljettu silmukka ilman silmukoita. Liikkuvan myyjän lyhin suljettu reitti on löydettävä, jos kaupunkien välisten etäisyyksien matriisi tunnetaan.

Tarkasteltavan ongelman matemaattinen malli on muotoa:

Tässä muuttuja x ij saa arvon 1, jos myyjä siirtyy kaupungista i kaupunkiin j (i,j = 1,2,…,n, i ? j) ja muuten 0. Ehto (1) on optimoitu funktio, jossa c ij ovat kaupunkien väliset etäisyydet (i, j = 1,2,…, n, i ? j), ja yleisessä tapauksessa c ij ? ij:n kanssa; ehto (2) tarkoittaa, että myyjä lähtee kustakin kaupungista vain kerran; (3) - että hän saapuu jokaiseen kaupunkiin vain kerran; (4) varmistaa reitin sulkeutumisen ja silmukoiden puuttumisen, missä u i ja u j ovat joitain reaaliarvoja (i,j = 1,2,…,n, i ? j) (5).

ESIMERKKI 3

Tietty yritys valmistaa 5 tyyppisiä tuotteita käyttäen 7 tyypin A, B, C, D, E, F, G komponentteja. Yrityksen varastot on rajoitettu tiettyyn määrään komponentteja. Tiedetään, kuinka monta komponenttia tarvitaan kunkin tyypin tuotantoyksikön valmistukseen ja kunkin tyypin tuotantoyksikön tuotannosta saatava voitto. Määritä, kuinka monta tuotetta kustakin tyypistä tarvitaan, jotta yritys saa suurimman voiton.

Taulukko 5.2.Tuotantotiedot

F= 2x 1 + 3x 2 + X 3 + 5x 4 + 4x 5 -

voittoa, jonka pitäisi olla suurin. Näin ollen meillä on useita komponentteja optimaalisen määrän tuotteita varten:

2x 1 + 2x 2 + x 5 ? 10

komponenttien A lukumäärä tuotteiden valmistuksessa;

X 1 + 2x 2 + X 4 ? 7

komponenttien B lukumäärä tuotteiden valmistuksessa;

4x 1 + X 4 ? 12

komponenttien C lukumäärä tuotteiden valmistuksessa;

4x 4 ? 12

komponenttien D määrä tuotteiden tuotantoa varten;

X 3 + 2x 4 + x 5 ? 15

komponenttien E lukumäärä tuotteiden valmistuksessa;

X 4 + 3x 5 ? 12

komponenttien F lukumäärä tuotteiden valmistuksessa;

2x 1 + X 4 ? 8

komponenttien G lukumäärä tuotteiden tuotantoa varten;

ja kaikki muuttujat X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 - on oltava ei-negatiivinen ja kokonaisluku.

Näin ollen meillä on seuraava matemaattinen tuotosmalli voiton maksimoimiseksi:

2x 1 + 3x 2 + X 3 + 5x 4 + 4x 5 > max

ESIMERKKI 4

Tuotantoa on kahdentyyppisten A- ja B-tuotteiden valmistukseen rajoitetulla määrällä kolmea laatuluokkaa olevia materiaaleja, joista tuotteet valmistetaan. Alkutiedot on annettu taulukossa.

Taulukko 5.3.Alkutiedot

Samanlaisia ​​asiakirjoja

Mallintamisen tavoitteen asettaminen. Todellisten esineiden tunnistaminen. Mallityyppien valinta, matemaattinen kaavio. Jatkuvan stokastisen mallin rakentaminen. Jonoteorian peruskäsitteet. Määrittele tapahtumien kulku. Algoritmien lausunto.

lukukausityö, lisätty 20.11.2008


Matemaattisen mallin muodostamisen päämenetelmien analyysi. Sosioekonomisten prosessien matemaattinen mallintaminen osana taloudellisia menetelmiä, ominaisuuksia. Lineaaristen matemaattisten mallien rakentamisen esimerkkien yleiset ominaisuudet.

lukukausityö, lisätty 23.6.2013


Matemaattisten tieteenalojen taloudellisten sovellusten tutkimus taloudellisten ongelmien ratkaisemiseksi: matemaattisten mallien käyttö taloustieteessä ja johtamisessa. Esimerkkejä lineaarisista ja dynaamisista ohjelmointimalleista taloudellisen mallinnuksen työkaluna.

lukukausityö, lisätty 21.12.2010


Mallintaminen. Determinismi. Deterministisen tekijäanalyysin ongelmat. Tapoja mitata tekijöiden vaikutusta deterministisessä analyysissä. Determinististen talousmatemaattisten mallien ja tekijäanalyysimenetelmien laskeminen RUE "GZlin" -mallin esimerkissä.

lukukausityö, lisätty 12.5.2008


Taloudellisten ja matemaattisten mallien tehtävät, toiminnot ja rakentamisen vaiheet. Analyyttiset, anioniset, numeeriset ja algoritmiset mallit. Urheilutilojen taloudellinen malli. Aikasarjamallit: trendit ja kausivaihtelu. Jonotusteoriat.

tiivistelmä, lisätty 22.7.2009


Mallien peruskäsitteet ja tyypit, niiden luokittelu ja luomistarkoitus. Sovellettujen taloudellisten ja matemaattisten menetelmien ominaisuudet. Taloudellisen ja matemaattisen mallinnuksen päävaiheiden yleiset ominaisuudet. Stokastisten mallien soveltaminen taloustieteessä.

tiivistelmä, lisätty 16.5.2012


Taloudellisen ja matemaattisen mallin laatiminen tuotantosuunnitelmasta. Jonon teoria. Varastonhallintamallit. Puutteeton yksinkertainen malli. Staattiset deterministiset mallit alijäämillä. Korrelaatio-regressioanalyysi.

testi, lisätty 7.2.2013


Taloudellisten ja matemaattisten menetelmien teoreettiset perusteet. Päätöksenteon vaiheet. Optimointiongelmien luokittelu. Lineaarisen, epälineaarisen, konveksin, neliöllisen, kokonaisluku-, parametrisen, dynaamisen ja stokastisen ohjelmoinnin ongelmat.

lukukausityö, lisätty 5.7.2013


Jonoteorian yleiskäsitteet. Jonojärjestelmien mallintamisen ominaisuudet. QS-tilakaaviot, niitä kuvaavat yhtälöt. Mallilajikkeiden yleiset ominaisuudet. Supermarketin jonotusjärjestelmän analyysi.

lukukausityö, lisätty 17.11.2009


Kuvaus hydrologisten prosessien matemaattisten mallien luomisen perusperiaatteista. Kuvaus divergenssi-, muunnos- ja konvergenssiprosessista. Johdatus hydrologisen mallin peruskomponentteihin. Simulaatiomallinnuksen ydin.