एक भिन्न को एक समझदार संख्या में बदलना। दशमलव भिन्नों को भिन्नों में बदलना

बहुत शुरुआत में, आपको अभी भी यह पता लगाना होगा कि भिन्न क्या है और यह किस प्रकार की है। और यह तीन प्रकार का होता है। और उनमें से पहला एक साधारण अंश है, उदाहरण के लिए, ½, 3 / 7.3 / 432, आदि। इन संख्याओं को क्षैतिज डैश का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है। पहला और दूसरा दोनों समान रूप से सत्य होंगे। ऊपर की संख्या को अंक कहते हैं, और नीचे की आकृति को हर कहा जाता है। इन दोनों नामों को लगातार भ्रमित करने वालों के लिए एक कहावत भी है। ऐसा लगता है: "ज़ज़्ज़ज़ याद है! Zzzzzdenominator - downzzzzzu! ". इससे आपको भ्रम से बचने में मदद मिलेगी। एक साधारण भिन्न केवल दो संख्याएँ होती हैं जो एक दूसरे से विभाज्य होती हैं। उनमें डैश विभाजन चिन्ह को दर्शाता है। इसे कोलन से बदला जा सकता है। यदि प्रश्न "एक भिन्न को एक संख्या में कैसे परिवर्तित किया जाए" है, तो यह बहुत आसान है। आपको बस इतना करना है कि अंश को हर से विभाजित करना है। और बस यही। अंश अनुवादित।

दूसरे प्रकार के भिन्नों को दशमलव कहते हैं। यह अल्पविराम के साथ अंकों की एक श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 0.5, 3.5, आदि। उन्होंने उन्हें दशमलव कहा, केवल इसलिए कि एकान्त के बाद, पहले अंक का अर्थ "दहाई" है, दूसरा "सौ" से दस गुना अधिक है और इसी तरह। और दशमलव बिंदु से पहले के पहले अंक पूरे कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 2.4 इस तरह लगती है, बारह पूर्ण और दो सौ चौंतीस हज़ारवां। इस तरह के अंश मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण प्रकट होते हैं कि दो संख्याओं को बिना शेष के विभाजित करने से काम नहीं चलता है। और अधिकांश सामान्य भिन्न, जब संख्याओं में परिवर्तित होते हैं, तो दशमलव भिन्न के रूप में समाप्त हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक सेकंड शून्य दशमलव पांच के बराबर होता है।

और अंतिम तीसरा दृश्य। ये मिश्रित संख्याएं हैं। इसका एक उदाहरण ढाई है। ऐसा लगता है, दो पूरे और एक सेकंड। हाई स्कूल में, इस प्रकार के अंश का अब उपयोग नहीं किया जाता है। उन्हें शायद या तो एक भिन्न के सामान्य रूप में, या दशमलव में लाने की आवश्यकता होगी। यह करना उतना ही आसान है। आपको बस पूरी संख्या को हर से गुणा करना है और परिणामी पदनाम को संख्या में जोड़ना है। हमारा उदाहरण 2½ लें। दो बार दो चार बनाता है। चार जमा एक पांच के बराबर होता है। और 2½ के रूप का एक भिन्न 5/2 में बनता है। और पाँच को दो से भाग देने पर आप दशमलव भिन्न प्राप्त कर सकते हैं। 2½ = 5/2 = 2.5। यह पहले से ही स्पष्ट हो गया है कि भिन्नों को संख्याओं में कैसे अनुवादित किया जाए। आपको बस अंश को हर से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो आप कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि यह पूर्ण संख्या नहीं निकलता है और दशमलव बिंदु के बाद बहुत सारे अंक हैं, तो इस मान को गोल किया जा सकता है। सब कुछ बहुत ही सरलता से गोल किया गया है। सबसे पहले, आपको यह तय करने की ज़रूरत है कि आपको किस आंकड़े को गोल करना है। एक उदाहरण पर विचार करें। एक व्यक्ति को संख्या शून्य पूर्ण, नौ हजार सात सौ छप्पन दस हजारवां, या संख्यात्मक मान 0.6 में पूर्णांकित करने की आवश्यकता है। गोलाई निकटतम सौवें हिस्से में की जानी चाहिए। इसका मतलब है कि फिलहाल सात सौवें हिस्से तक। भिन्न में सात नंबर के बाद पांच आता है। अब आपको गोलाई के लिए नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है। पाँच से बड़े अंकों को गोल किया जाता है, और छोटी संख्याओं को नीचे की ओर गोल किया जाता है। उदाहरण में, एक व्यक्ति के पास पाँच होते हैं, वह सीमा पर खड़ा होता है, लेकिन ऐसा माना जाता है कि गोलाई ऊपर की ओर होती है। इसका मतलब है कि हम सात के बाद की सभी संख्याओं को हटा देते हैं और उसमें एक जोड़ देते हैं। यह 0.8 निकला।

ऐसी स्थितियाँ भी उत्पन्न होती हैं जब किसी व्यक्ति को एक साधारण अंश को शीघ्रता से एक संख्या में बदलने की आवश्यकता होती है, लेकिन पास में कोई कैलकुलेटर नहीं होता है। ऐसा करने के लिए, यह लंबे विभाजन का उपयोग करने लायक है। पहला कदम एक कागज के टुकड़े पर अंश और हर को एक दूसरे के बगल में लिखना है। उनके बीच एक डिवाइडिंग एंगल रखा गया है, यह अक्षर "T" जैसा दिखता है, केवल इसकी तरफ पड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, दस-छठा लें। और इसलिए, दस को छह से विभाजित किया जाना चाहिए। एक दर्जन में कितने छक्के लग सकते हैं, सिर्फ एक। इकाई कोने के नीचे लिखी गई है। दस घटाव छह चार बनाता है। चार में कितने छक्के होंगे, कई। इसका मतलब है कि उत्तर में एक के बाद एक अल्पविराम लगाया जाता है, और चार को दस से गुणा किया जाता है। छियालीस छक्के। उत्तर में, एक छक्का जोड़ा जाता है, और छत्तीस को चालीस से घटाया जाता है। यह फिर से चार निकला।

इस उदाहरण में, एक लूप हुआ है, यदि आप सब कुछ ठीक उसी तरह करना जारी रखते हैं, तो आपको उत्तर मिलेगा 1.6 (6) नंबर छह अनंत के लिए जारी है, लेकिन राउंडिंग नियम को लागू करने से आप संख्या को 1.7 पर ला सकते हैं। जो बहुत अधिक सुविधाजनक है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी साधारण भिन्नों को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। कुछ में एक लूप होता है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी दशमलव भिन्न को अभाज्य में बदला जा सकता है। एक प्राथमिक नियम यहां मदद करेगा कि इसे कैसे सुना और लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 1.5 को एक दशमलव पच्चीस सौवां भाग सुना जाता है। तो आपको लिखने की जरूरत है, एक संपूर्ण, पच्चीस को सौ से विभाजित। एक पूर्ण एक सौ है, जिसका अर्थ है कि एक साधारण अंश एक सौ पच्चीस प्रति सौ (125/100) होगा। सब कुछ सरल और सीधा भी है।

तो सबसे बुनियादी नियमों और भिन्नों से जुड़े परिवर्तनों का विश्लेषण किया गया है। वे सभी सरल हैं, लेकिन आपको उन्हें जानना चाहिए। भिन्न, विशेष रूप से दशमलव, लंबे समय से रोजमर्रा की जिंदगी में शामिल किए गए हैं। यह दुकानों में मूल्य टैग पर स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। गोल कीमतों को लंबे समय से नहीं लिखा गया है, और अंशों के साथ कीमत दृष्टिगत रूप से बहुत सस्ती लगती है। इसके अलावा, सिद्धांतों में से एक कहता है कि मानवता रोमन अंकों से दूर हो गई और अरबी अंकों को अपनाया, केवल इसलिए कि रोमन अंकों में कोई अंश नहीं थे। और कई वैज्ञानिक इस धारणा से सहमत हैं। आखिरकार, भिन्नों के साथ, आप गणना अधिक सटीक रूप से कर सकते हैं। और अंतरिक्ष प्रौद्योगिकियों के हमारे युग में, गणना में सटीकता पहले से कहीं अधिक आवश्यक है। इसलिए कई विज्ञान और तकनीकी प्रगति को समझने के लिए गणित विद्यालय में भिन्नों का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है।

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बीजगणित और गणित जटिल विज्ञान हैं जो उन लोगों के लिए भी आसान नहीं हैं जो उन्हें बहुत समय देते हैं। किसी भी कार्य में परेशानी आ सकती है। उदाहरण के लिए, हर कोई नहीं जानता कि दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदला जाए।

अंश विशेषताएं

एक प्रकार के भिन्न को दूसरे में आसानी से अनुवाद करने के लिए, यह समझना सबसे अच्छा है कि यह क्या है। उन्हें एक गैर-पूर्णांक संख्या कहा जा सकता है। इसमें एक इकाई के एक या अधिक भाग होते हैं।

सबसे पहले, साधारण या तथाकथित साधारण अंशों को प्रतिष्ठित किया जाता है। किसी भी प्रजाति के लिए नियम यह है कि हर शून्य नहीं हो सकता... यदि ऐसा है, तो इसका अर्थ है कि मान पूर्णांक है, अर्थात यह भिन्न नहीं हो सकता।

इस नंबर को लिखने के कई तरीके हैं। एक क्षैतिज रेखा या तिरछी पट्टी का उपयोग किया जाता है, दूसरे विकल्प को तीन अलग-अलग तरीकों से मुद्रित किया जाता है। स्कूल नोटबुक में, एक नियम के रूप में, साधारण अंश एक क्लासिक क्षैतिज रेखा के साथ लिखे जाते हैं।

साधारण के अलावा, मिश्रित और मिश्रित अंशों को प्रतिष्ठित किया जाता है। पहले वाले इस मायने में भिन्न हैं कि उनके पास शुरुआत में एक पूर्णांक भी लिखा है। सम्मिश्र के लिए, अंश और हर सिर्फ एक और भिन्न प्रतीत होते हैं।

दशमलव भिन्न को भिन्न में कैसे बदलें?

दशमलव भिन्न को नियमित भिन्न में बदलना इतना कठिन नहीं है, क्योंकि बाह्य परिवर्तनों के बावजूद, संख्या का सार वही रहेगा। मुख्य अंतर यह है कि दशमलव को अल्पविराम का उपयोग करके लिखा जाता है, डैश नहीं। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि अंश ½ 1.2 के बराबर होगा।

दशमलव भिन्न दो घटकों से बनता है। पहला संकेत से पहले स्थित है और एक पूर्णांक को दर्शाता है। दूसरा, उसके बाद वाला, दसवां, सौवां और अन्य अंक है। उनका नाम इस बात पर निर्भर करता है कि वे अल्पविराम से कितनी दूर हैं।

कभी-कभी एक भिन्न को दूसरे में बदलना बहुत आसान होता है, खासकर यदि गैर-पूर्णांक भाग दसवां हो, न कि सौवां या हज़ारवां। क्लासिक उदाहरण 0.5 है। सबसे पहले, इसे सही ढंग से पढ़ने लायक है, फिर यह शून्य बिंदु, पांच दसवां हो जाएगा। शून्य पूर्णांक लिखने का कोई तरीका नहीं है, लेकिन पांच दसवां हिस्सा आसानी से 5/10 में बदल जाता है। जो कुछ बचा है वह पांच से विभाजित करके काटना है। परिणाम ½ है।

पूर्णांक के साथ अंश

बढ़ी हुई जटिलता के साथ अन्य उदाहरणों पर विचार करना आवश्यक है। 2.25 लेने लायक है। पहले की तरह, शुरू करने के लिए, भिन्न के नाम को सही ढंग से निर्दिष्ट करना सबसे अच्छा है। इस बार दो अंक हैं, पच्चीस सौवां। इस तथ्य के कारण कि चिन्ह के बाद दो अंक होते हैं, वे सौवें होते हैं।

दशमलव भिन्न को भिन्न में कैसे बदलें:

• गैर-पूर्णांक भाग को 25/100 के रूप में लिखा जाता है।
• यह दो पूर्णांक जोड़ने के लिए बनी हुई है। उन्हें शुरुआत में रखा जाता है, और इस प्रकार एक मिश्रित अंश प्राप्त होता है।
• 25/100 काटा जा सकता है। सरलता के लिए, 5 से विभाजित करके शुरू करना यथार्थवादी है, लेकिन 25 का तुरंत उपयोग करना एक अच्छा विचार है। संक्षिप्त नाम ¼ है।
• केवल के दो पूर्णांकों पर हस्ताक्षर करना शेष है। परिणाम 2 है।

अंत में, हजारों के साथ काम करने की प्रक्रिया पर विचार करना उचित है। आइए विश्लेषण के लिए 4.112 लें। दोबारा, काम सही पठन के साथ शुरू होना चाहिए। वह चार अंक है, एक सौ बारह हजारवां। आप आसानी से पहली संख्या, 4 का चयन कर सकते हैं, और फिर उसके स्थान पर एक सौ बारह हजारवें स्थान को रख सकते हैं। वे इस तरह दिखते हैं - 112/100।

बेहतर लुक देने के लिए जो कुछ बचा है उसे काटना है। इस विशेष उदाहरण में, सामान्य गुणनखंड छह है। परिणाम एक साधारण भिन्न 4 14/125 है।

भिन्नों को प्रतिशत में बदलना

लगभग किसी भी अंश को आसानी से प्रतिशत में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि प्रतिशत सौवां है... दूसरे शब्दों में, 1% तुरंत भिन्नात्मक रूप में आसानी से लिखा जा सकता है - 1/100 या 0.01।

अन्य विकल्पों के मामले में, आपको दशमलव भिन्नों की ओर मुड़ना होगा, जो कि अल्पविराम से अलग लिखी गई हैं। उनके साथ, समस्या बहुत सरलता से हल हो जाती है। दशमलव अंश को 100 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और आपको वांछित प्रतिशत मिलता है।

• 0,27 * 100% = 27%

यदि किसी साधारण भिन्न का अनुवाद करना आवश्यक है, तो पहले उसे दशमलव में बदलना होगा।

• उदाहरण के लिए, 2/5 बराबर 0.4 है।
• 0,4 * 100% = 40%.

यदि ब्याज में बदलने की प्रक्रिया अभी भी कठिनाइयों का कारण बनती है, तो, यदि वांछित है, तो आप विभिन्न स्वचालित सेवाओं का उपयोग कर सकते हैं, जिनमें से इंटरनेट पर बहुत कुछ है। संबंधित क्षेत्रों में अंश और हर दर्ज करने के बाद, यह पता लगाना आसान होगा कि इसका कितना प्रतिशत निकलेगा।

सामान्य तौर पर, अंशों का प्रतिशत में रूपांतरण हमेशा 100 से गुणा से जुड़ा होता है। इससे आसानी से निपटने के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि एक साधारण अंश को दशमलव में कैसे बदला जाए, लेकिन, पहले, यह विपरीत प्रक्रिया को समझने लायक है .

वीडियो निर्देश

ऐसा होता है कि गणना की सुविधा के लिए, आपको एक साधारण अंश को दशमलव में बदलना होगा और इसके विपरीत। यह कैसे करना है, हम इस लेख में बात करेंगे। हम साधारण भिन्नों को दशमलव और इसके विपरीत में बदलने के नियमों का विश्लेषण करेंगे, साथ ही उदाहरण भी देंगे।

हम एक निश्चित क्रम का पालन करते हुए साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलने पर विचार करेंगे। सबसे पहले, आइए देखें कि 10: 10, 100, 1000, आदि से विभाज्य भाजक वाले साधारण अंशों का दशमलव आदि में अनुवाद कैसे किया जाता है। ऐसे हर वाले भिन्न, वास्तव में, दशमलव अंशों के लिए अधिक बोझिल संकेतन हैं।

इसके बाद, हम इस बात पर विचार करेंगे कि साधारण भिन्नों को किसी के साथ कैसे परिवर्तित किया जाए, न कि केवल 10 के गुणज के साथ, हर को दशमलव भिन्नों में। ध्यान दें कि साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलने पर, न केवल परिमित दशमलव भिन्न, बल्कि अनंत आवधिक दशमलव अंश भी प्राप्त होते हैं।

आएँ शुरू करें!

10, 100, 1000, आदि हर के साथ सामान्य अंशों का अनुवाद। दशमलव भिन्न में

सबसे पहले, मान लें कि कुछ भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने से पहले कुछ तैयारी की आवश्यकता होती है। यह क्या है? अंश में अंक से पहले, उतने शून्य जोड़ना आवश्यक है जिससे अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। उदाहरण के लिए, भिन्न 3100 के लिए, संख्या 0 को अंश में 3 के बाईं ओर एक बार जोड़ा जाना चाहिए। उपरोक्त नियम के अनुसार भिन्न 610 में सुधार करने की आवश्यकता नहीं है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसके बाद हम एक नियम तैयार करेंगे जो पहली बार में उपयोग करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है, जबकि भिन्नों को संभालने में ज्यादा अनुभव नहीं है। तो, अंश में शून्य जोड़ने के बाद अंश 1610000 001510000 जैसा दिखेगा।

एक साधारण भिन्न को हर 10, 100, 1000, आदि के साथ कैसे परिवर्तित करें। दशमलव में?

साधारण नियमित भिन्नों को दशमलव में बदलने का नियम

1. हम 0 लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं।
2. हम अंश से वह संख्या लिखते हैं, जो शून्य जोड़ने के बाद निकली है।

अब आइए उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 1. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 39 100 को दशमलव में बदलें।

सबसे पहले, हम भिन्न को देखते हैं और देखते हैं कि किसी भी प्रारंभिक क्रिया को करने की कोई आवश्यकता नहीं है - अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या के साथ मेल खाती है।

नियम का पालन करते हुए 0 लिखिए, उसके बाद दशमलव बिंदु रखिए और अंश से संख्या लिखिए। हमें दशमलव भिन्न 0, 39 प्राप्त होता है।

आइए इस विषय पर एक और उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण 2. उभयनिष्ठ भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए 105 10000000 भिन्न को दशमलव भिन्न के रूप में लिखें।

हर में शून्यों की संख्या 7 होती है और अंश में केवल तीन अंक होते हैं। आइए अंश में संख्या से पहले 4 और शून्य जोड़ें:

0000105 10000000

अब हम 0 लिखते हैं, उसके बाद दशमलव बिंदु डालते हैं और अंश से संख्या लिख ​​देते हैं। हमें दशमलव भिन्न 0, 0000105 प्राप्त होता है।

सभी उदाहरणों में मानी गई भिन्न नियमित नियमित भिन्न हैं। लेकिन आप एक अनियमित भिन्न को दशमलव में कैसे बदलते हैं? आइए तुरंत कहें कि ऐसे भिन्नों के लिए शून्य के योग के साथ तैयारी करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आइए एक नियम बनाते हैं।

साधारण अनियमित भिन्नों को दशमलव में बदलने का नियम

1. हम वह संख्या लिखते हैं जो अंश में होती है।
2. दशमलव बिंदु से दायीं ओर जितने अंक हैं उतने ही अलग करें क्योंकि मूल साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

नीचे इस नियम का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है।

उदाहरण 3. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

भिन्न 56888038009 100000 को सामान्य अनियमित भिन्न से दशमलव में बदलें।

सबसे पहले, अंश से संख्या लिख ​​लें:

अब, दाईं ओर, पांच अंकों को दशमलव बिंदु से अलग करते हैं (हर में शून्य की संख्या पांच है)। हम पाते हैं:

अगला प्रश्न, जो स्वाभाविक रूप से उठता है: मिश्रित संख्या को दशमलव अंश में कैसे परिवर्तित किया जाए, यदि इसके भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 10, 100, 1000, आदि है। ऐसी संख्या को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए, आप निम्न नियम का उपयोग कर सकते हैं।

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलने का नियम

1. यदि आवश्यक हो, तो हम संख्या का भिन्नात्मक भाग तैयार करते हैं।
2. हम मूल संख्या के पूरे भाग को लिख लेते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं।
3. हम जोड़े गए शून्य के साथ भिन्नात्मक भाग के अंश से संख्या लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 4. मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलना

मिश्रित संख्या 23 17 10000 को दशमलव में बदलें।

भिन्नात्मक भाग में, हमारे पास व्यंजक 17 10000 है। आइए इसे तैयार करें और अंश के बाईं ओर दो और शून्य जोड़ें। हमें मिलता है: 0017 10000।

अब हम संख्या के पूरे भाग को लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं: 23,. ...

दशमलव बिंदु के बाद, अंश से शून्य सहित संख्या लिखें। हमें परिणाम मिलता है:

23 17 10000 = 23 , 0017

साधारण भिन्नों को परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों में बदलना

बेशक, आप दशमलव अंशों और भिन्नों में परिवर्तित कर सकते हैं जिसमें हर के बराबर 10, 100, 1000, आदि नहीं है।

अक्सर, एक अंश को आसानी से एक नए हर में घटाया जा सकता है, और फिर इस लेख के पहले पैराग्राफ में निर्धारित नियम का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 25 के अंश और हर को 2 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और हमें भिन्न 410 प्राप्त होता है, जिसे आसानी से दशमलव रूप 0.4 तक घटाया जा सकता है।

हालांकि, साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने की इस पद्धति का उपयोग करना हमेशा संभव नहीं होता है। नीचे हम विचार करेंगे कि क्या करना है यदि माना विधि को लागू करना असंभव है।

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने का एक मौलिक रूप से नया तरीका एक कॉलम में हर द्वारा अंश को विभाजित करने के लिए कम किया जाता है। यह ऑपरेशन प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने के समान ही है, लेकिन इसकी अपनी ख़ासियतें हैं।

विभाजित करते समय, अंश को दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है - अंश के अंतिम अंक के दाईं ओर एक अल्पविराम लगाया जाता है और शून्य जोड़ा जाता है। परिणामी भागफल में दशमलव बिंदु तब रखा जाता है जब अंश के पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है। यह विधि वास्तव में कैसे काम करती है यह उदाहरणों को देखने के बाद स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण 5. उभयनिष्ठ भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 621 4 को दशमलव में बदलें।

आइए दशमलव अंश के रूप में अंश से संख्या 621 का प्रतिनिधित्व करते हैं, दशमलव बिंदु के बाद कुछ शून्य जोड़ते हैं। 621 = 621, 00

अब कॉलम 621, 00 को 4 से विभाजित करें। विभाजन के पहले तीन चरण वही होंगे जो प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय होते हैं, और हम प्राप्त करते हैं।

जब हम लाभांश में दशमलव बिंदु पर पहुंचते हैं, और शेष शून्य नहीं होता है, तो हम दशमलव बिंदु को भागफल में रखते हैं, और विभाजित करना जारी रखते हैं, अब लाभांश में अल्पविराम पर ध्यान नहीं देते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें दशमलव भिन्न 155, 25 प्राप्त होता है, जो साधारण भिन्न 621 4 के व्युत्क्रमण का परिणाम है।

621 4 = 155 , 25

आइए सामग्री को ठोस बनाने के लिए एक अन्य उदाहरण को हल करें।

उदाहरण 6. उभयनिष्ठ भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए हम उभयनिष्ठ भिन्न 21 800 को उल्टा करें।

ऐसा करने के लिए, एक कॉलम में भिन्न 21,000 को 800 से विभाजित करें। पूर्णांक भाग का विभाजन पहले चरण में समाप्त हो जाएगा, इसलिए इसके तुरंत बाद हम भागफल में एक दशमलव बिंदु डालते हैं और विभाजन को जारी रखते हैं, लाभांश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, जब तक कि हमें शेष शून्य के बराबर न मिल जाए।

परिणामस्वरूप, हमें मिला: 21 800 = 0, 02625।

लेकिन क्या होगा अगर विभाजन के दौरान भी हमें शेष 0 नहीं मिलता है। ऐसे मामलों में, विभाजन को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। हालांकि, एक निश्चित चरण से शुरू होकर, बचे हुए समय-समय पर दोहराए जाएंगे। तदनुसार, भागफल में संख्याओं को भी दोहराया जाएगा। इसका अर्थ है कि एक साधारण भिन्न को दशमलव अनंत आवर्त भिन्न में बदल दिया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 7. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए सामान्य भिन्न 19 44 को दशमलव में बदलें। ऐसा करने के लिए, हम कॉलम डिवीजन करेंगे।

हम देखते हैं कि भाग देने पर शेषफल 8 और 36 की पुनरावृत्ति होती है। इस स्थिति में, संख्या 1 और 8 को भागफल में दोहराया जाता है। यह दशमलव काल है। लिखते समय, इन नंबरों को कोष्ठक में लिया जाता है।

इस प्रकार, मूल भिन्न को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न में बदल दिया जाता है।

19 44 = 0 , 43 (18) .

आइए हम एक इरेड्यूसिबल साधारण भिन्न प्राप्त करें। इसे किस रूप में घटाया जाएगा? कौन से साधारण अंशों को परिमित दशमलव में परिवर्तित किया जाता है, और कौन से - अनंत आवधिक अंशों में?

सबसे पहले, मान लें कि यदि भिन्न को हर 10, 100, 1000 .. में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो यह अंतिम दशमलव भिन्न का रूप होगा। किसी भिन्न को इन हरों में से किसी एक में कम करने के लिए, इसका हर 10, 100, 1000, आदि संख्याओं में से कम से कम एक का भाजक होना चाहिए। संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के नियमों से, यह इस प्रकार है कि संख्याओं का भाजक 10, 100, 1000, आदि है। अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर, केवल 2 और 5 संख्याएँ होनी चाहिए।

आइए संक्षेप में बताएं कि क्या कहा गया है:

1. एक साधारण भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में घटाया जा सकता है यदि उसके हर को 2 और 5 के अभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित किया जा सकता है।
2. यदि, संख्या 2 और 5 के अतिरिक्त, हर के विस्तार में अन्य अभाज्य संख्याएँ मौजूद हों, तो भिन्न एक अनंत आवधिक दशमलव भिन्न के रूप में कम हो जाती है।

आइए एक उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 8. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

दिए गए भिन्नों में से कौन सा अंश 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जाता है, और कौन-सा - केवल एक आवर्त में। हम इस प्रश्न का उत्तर एक साधारण भिन्न का सीधे दशमलव में अनुवाद किए बिना देंगे।

अंश 47 20, जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, अंश और हर को 5 से गुणा करके नए हर 100 में घटाया जाता है।

47 20 = 235 100। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में बदल दिया जाता है।

भिन्न 7 12 के हर का गुणनखंड करने पर 12 = 2 · 2 · 3 प्राप्त होता है। चूँकि अभाज्य गुणनखंड 3 2 और 5 से भिन्न है, इस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन यह एक अनंत आवधिक भिन्न की तरह दिखाई देगा।

भिन्न 21 56, सबसे पहले, आपको कम करने की आवश्यकता है। 7 से कम करने के बाद, हमें अप्रासंगिक अंश 3 8 मिलता है, जिसके हर का गुणनखंड 8 = 2 · 2 · 2 देता है। इसलिए, यह अंतिम दशमलव अंश है।

भिन्न 31 17 के मामले में, हर का गुणनखंड अभाज्य 17 ही है। तदनुसार, इस भिन्न को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है।

एक साधारण भिन्न को अनंत और गैर-आवधिक दशमलव भिन्न में नहीं बदला जा सकता

ऊपर, हमने केवल परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों के बारे में बात की। लेकिन क्या किसी साधारण भिन्न को अनंत गैर-आवधिक भिन्न में बदला जा सकता है?

जवाब न है!

जरूरी!

अनंत भिन्न को दशमलव में बदलने पर या तो एक परिमित दशमलव भिन्न या एक अनंत आवर्त दशमलव भिन्न प्राप्त होता है।

भाग का शेष भाग हमेशा भाजक से छोटा होता है। दूसरे शब्दों में, विभाज्यता प्रमेय के अनुसार, यदि हम किसी प्राकृत संख्या को q से भाग दें, तो किसी भी स्थिति में भाग का शेष भाग q-1 से बड़ा नहीं हो सकता। विभाजन की समाप्ति के बाद, निम्न स्थितियों में से एक संभव है:

1. हमें शेषफल 0 मिलता है, और यहीं पर विभाजन समाप्त होता है।
2. हमें शेषफल मिलता है, जिसे बाद के विभाजन के दौरान दोहराया जाता है, परिणामस्वरूप हमारे पास एक अनंत आवर्त भिन्न होता है।

साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने पर कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है। यह भी मान लें कि अनंत आवर्त भिन्न में आवर्त की लंबाई (अंकों की संख्या) हमेशा संबंधित साधारण भिन्न के हर में अंकों की संख्या से कम होती है।

दशमलव भिन्नों को भिन्नों में बदलना

अब दशमलव को भिन्न में बदलने की रिवर्स प्रक्रिया पर विचार करने का समय आ गया है। आइए एक अनुवाद नियम बनाते हैं जिसमें तीन चरण शामिल हैं। दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?

दशमलव भिन्न को भिन्न में बदलने का नियम

1. हम दशमलव अंश को मूल दशमलव अंश से अंश में लिखते हैं, अल्पविराम और बाईं ओर के सभी शून्य, यदि कोई हो, को छोड़ देते हैं।
2. हम हर में एक इकाई लिखते हैं, उसके बाद उतने ही शून्य होते हैं जितने दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव भिन्न में होते हैं।
3. यदि आवश्यक हो, तो हम परिणामी साधारण अंश को कम करते हैं।

आइए उदाहरणों द्वारा इस नियम के आवेदन पर विचार करें।

उदाहरण 8. दशमलव भिन्नों को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलना

आइए संख्या 3.025 को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करें।

1. हम अल्पविराम को छोड़कर दशमलव अंश को अंश में लिखते हैं: 3025।
2. हम हर में एक लिखते हैं, और उसके बाद तीन शून्य - यानी दशमलव बिंदु के बाद मूल अंश में कितने अंक होते हैं: 3025 1000।
3. परिणामी भिन्न 3025 1000 को 25 से घटाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप: 3025 1000 = 121 40.

उदाहरण 9. दशमलव भिन्नों को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलना

आइए भिन्न 0, 0017 को दशमलव से साधारण में बदलें।

1. अंश में, अल्पविराम और शून्य को छोड़कर अंश 0, 0017 लिखें। यह 17 हो जाएगा।
2. हम हर में एक लिखते हैं, और उसके बाद हम चार शून्य लिखते हैं: 17,000,000। यह अंश अपूरणीय है।

यदि दशमलव भिन्न में पूर्ण भाग हो तो ऐसे भिन्न को तुरंत मिश्रित संख्या में बदला जा सकता है। यह कैसे करना है?

आइए एक और नियम बनाते हैं।

दशमलव अंशों को मिश्रित संख्याओं में बदलने का नियम।

1. अंश से बिंदु तक की संख्या को मिश्रित संख्या के पूरे भाग के रूप में लिखा जाता है।
2. अंश में, दशमलव बिंदु के बाद भिन्न में संख्या लिखें, बाईं ओर के शून्यों को हटा दें, यदि कोई हो।
3. भिन्नात्मक भाग के हर में एक और उतने ही शून्य जोड़ें जितने दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग में अंक हों।

आइए एक उदाहरण लेते हैं

उदाहरण 10. दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलना

आइए भिन्न 155, 06005 को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें।

1. हम संख्या 155 को एक पूर्णांक भाग के रूप में लिखते हैं।
2. अंश में शून्य को छोड़ते हुए दशमलव बिंदु के बाद के अंक लिखें।
3. हम हर में एक और पांच शून्य लिखते हैं।

हम मिश्रित संख्या सिखाते हैं: 155 6005 100000

भिन्नात्मक भाग को 5 से कम किया जा सकता है। हम छोटा करते हैं, और हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

155 , 06005 = 155 1201 20000

अनंत आवर्त दशमलव भिन्नों को भिन्नों में बदलना

आइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें कि कैसे आवधिक दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित किया जाए। शुरू करने से पहले, आइए स्पष्ट करें: किसी भी आवधिक दशमलव अंश को सामान्य में बदला जा सकता है।

सबसे सरल स्थिति यह है कि भिन्न का आवर्त शून्य होता है। एक शून्य अवधि के साथ एक आवधिक अंश को अंतिम दशमलव अंश से बदल दिया जाता है, और इस तरह के अंश को परिवर्तित करने की प्रक्रिया को अंतिम दशमलव अंश में परिवर्तित करने के लिए कम किया जाता है।

उदाहरण 11. एक आवर्त दशमलव भिन्न को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदलना

आवर्त भिन्न को पलटें 3.75 (0)।

शून्य को दाईं ओर छोड़ने पर अंतिम दशमलव 3.75 प्राप्त होता है।

पिछले पैराग्राफ में विश्लेषण किए गए एल्गोरिथम के अनुसार इस अंश को सामान्य में परिवर्तित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

क्या होगा यदि भिन्न की अवधि शून्येतर है? आवधिक भाग को एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के रूप में माना जाना चाहिए जो घटता है। आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए एक सूत्र है। यदि प्रगति का पहला पद b है और हर q ऐसा है कि 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

आइए इस सूत्र का उपयोग करते हुए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 12. एक आवर्त दशमलव को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदलना

मान लीजिए कि हमारे पास आवधिक अंश 0, (8) है और हमें इसे एक साधारण में बदलने की जरूरत है।

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

यहां हमारे पास पहले पद 0, 8 और हर 0, 1 के साथ एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति है।

आइए सूत्र लागू करें:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

यह वांछित साधारण अंश है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 13. एक आवर्त दशमलव भिन्न को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदलना

भिन्न 0, 43 (18) को उल्टा करें।

सबसे पहले, हम भिन्न को अनंत योग के रूप में लिखते हैं:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

कोष्ठक में शर्तों पर विचार करें। इस ज्यामितीय प्रगति को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

हम परिणामी को अंतिम भिन्न 0, 43 = 43 100 में जोड़ते हैं और परिणाम प्राप्त करते हैं:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

इन भिन्नों को जोड़ने और घटाने के बाद, हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

0 , 43 (18) = 19 44

इस लेख के अंत में, हम कहते हैं कि गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।

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भिन्न को पूर्णांक या दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है। एक अनियमित अंश, जिसका अंश हर से बड़ा होता है और बिना शेष के विभाज्य होता है, एक पूर्णांक में परिवर्तित हो जाता है, उदाहरण के लिए: 20/5। 20 को 5 से विभाजित करें और संख्या 4 प्राप्त करें। यदि भिन्न सही है, अर्थात अंश हर से छोटा है, तो इसे एक संख्या (दशमलव भिन्न) में परिवर्तित करें। आप हमारे अनुभाग से भिन्नों के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं -।

भिन्न को संख्या में बदलने की विधि

• किसी भिन्न को किसी संख्या में बदलने का पहला तरीका उस भिन्न के लिए उपयुक्त है जिसे एक संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है जो कि एक दशमलव भिन्न है। सबसे पहले, आइए जानें कि क्या दिए गए भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना संभव है। ऐसा करने के लिए, हर पर ध्यान दें (वह संख्या जो रेखा के नीचे या तिरछी के दाईं ओर है)। यदि हर को कारकों में विस्तारित किया जा सकता है (हमारे उदाहरण में, 2 और 5), जिसे दोहराया जा सकता है, तो यह अंश वास्तव में अंतिम दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 11/40 = 11 / (2 2 2 5)। यह साधारण अंश दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या के साथ एक संख्या (दशमलव अंश) में परिवर्तित हो जाएगा। लेकिन अंश 17/60 = 17 / (5 ∙ 2 2 3) दशमलव स्थानों की एक अनंत संख्या के साथ एक संख्या में अनुवाद किया जाएगा। यही है, जब एक संख्यात्मक मान की सटीक गणना की जाती है, तो अंतिम दशमलव स्थान निर्धारित करना मुश्किल होता है, क्योंकि ऐसे संकेतों की अनंत संख्या होती है। इसलिए, समस्याओं को हल करने के लिए, आमतौर पर मान को सौवें या हज़ारवें हिस्से में गोल करना आवश्यक होता है। इसके अलावा, अंश और हर दोनों को इतनी संख्या से गुणा करना आवश्यक है कि हर संख्या 10, 100, 1000, आदि बन जाए। उदाहरण के लिए: 11/40 = (11 25) / (40) 25) = 275/1000 = 0.275
• भिन्न को किसी संख्या में बदलने का दूसरा तरीका सरल है: आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। इस पद्धति को लागू करने के लिए, हम केवल विभाजन करते हैं, और परिणामी संख्या वांछित दशमलव अंश होगी। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 2/15 को एक संख्या में बदलने की आवश्यकता है। हम 2 को 15 से भाग देते हैं। हमें 0, 1333 ... - एक अनंत भिन्न प्राप्त होता है। हम इसे इस तरह लिखते हैं: 0.13 (3)। यदि भिन्न गलत है, अर्थात अंश हर से बड़ा है (उदाहरण के लिए, 345/100), तो इसे एक संख्या में बदलने से एक पूर्णांक संख्यात्मक मान या एक पूर्णांक भिन्नात्मक भाग वाला दशमलव अंश प्राप्त होगा। हमारे उदाहरण में, यह 3.45 होगा। मिश्रित भिन्न जैसे 3 2/7 को एक संख्या में बदलने के लिए, आपको पहले इसे एक अनुचित भिन्न में बदलना होगा: (3 7 + 2) / 7 = 23/7। फिर हम 23 को 7 से विभाजित करते हैं और संख्या 3.2857143 प्राप्त करते हैं, जिसे हम घटाकर 3.29 कर देते हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या में बदलने का सबसे आसान तरीका कैलकुलेटर या अन्य गणना उपकरण का उपयोग करना है। सबसे पहले, भिन्न का अंश निर्दिष्ट करें, फिर "डिवाइड" आइकन के साथ बटन दबाएं और हर टाइप करें। "=" कुंजी दबाने के बाद, हमें अपेक्षित संख्या प्राप्त होती है।