Објаснување на темата конвертирање на изрази кои содржат квадратни корени. Користење на својствата на корените при трансформација на ирационални изрази, примери, решенија. Vii. Пишување тест

§ 1 Конверзија на изрази што ја содржат операцијата на вадење квадратен корен

Да се ​​потсетиме на својствата на квадратните корени: ако a, b се ненегативни броеви a, b ≥ 0, тогаш следните еднаквости се вистинити:

Користејќи ги овие формули, можете да извршите различни трансформации на изрази кои ја содржат операцијата на екстракција на квадратен корен, но под услов променливите на овие изрази да земаат само ненегативни вредности. Откако ја направивме оваа претпоставка, разгледајте неколку примери.

Пример 1: Поедноставете го изразот:

Бидејќи изразот содржи дропка, ќе го користиме второто својство за да го трансформираме:

Третото својство беше искористено за трансформирање на именителот:

Како резултат на тоа, почетниот израз добива форма:

Пример 2: Одземете фактор од знакот на квадратен корен:

При решавање на примерот под буквата А, ќе ги користиме првите и третите својства на квадратниот корен:

Слично на тоа, го трансформираме изразот претставен во задачата под буквата Б:

Пример 3: Фактор во квадратен корен за

За да го земеме предвид коренскиот знак, го користиме третото својство од десно кон лево:

Ајде да решиме неколку проблеми на трансформација на изрази што ја содржат операцијата на извлекување квадратен корен, користејќи ги формулите за скратено множење. Прво, да се потсетиме и да ги напишеме:

(а + б) 2 = a2 + 2ab + b2

(а - б) 2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Пример 4: Поедноставете го изразот:

За да го решиме проблемот, да го претставиме бројот три како квадратен корен од три квадрати:

а во именителот ја користиме формулата за разлика на квадрати, па добиваме:

Пример 5: Поедноставете го изразот:

За да го решите, прво, разгледајте го изразот:

Под претпоставка дека

тогаш

користејќи ја формулата за сума на коцки

Добиваме

Ајде да ја направиме соодветната замена.

Второ, од операцијата на делење со (а - б), се свртуваме кон операцијата на множење со реципрочното:

Трето, ќе ја намалиме првата дропка во заградата со изразот:

а потоа ќе ја извршиме операцијата за множење.

Да претпоставиме:

користејќи ја формулата за разликата на квадратите, добиваме:

Изразот во броителот на првата дропка според формулата за квадрат на разликата може да се напише:

Ајде да ги направиме соодветните замени. Има заеднички фактор во броителот и именителот на првата дропка, затоа, по намалувањето, како заклучок, останува само да се соберат дропките со исти именители.

Ако именителот на алгебарската дропка содржи знак од квадратен корен, тогаш се вели дека именителот содржи ирационалност. Трансформацијата на израз во таква форма што нема знаци на квадратен корен во именителот на дропката се нарекува ослободување од ирационалноста во именителот.

§ 2 Алгоритам за ослободување од ирационалност во именителот на дропка

1. Извадете го именителот на дропката;

2. Ако именителот е:

Ако именителот е:

или содржи фактор од овој тип, тогаш броителот и именителот на дропката треба да се помножат, соодветно, со:

3. Конвертирај ги броителот и именителот на дропката, ако е можно, а потоа намали ја добиената дропка. Изрази како:

Ајде да размислиме како да се ослободиме од ирационалноста во именителот користејќи примери:

А) Го трансформираме изразот:

Да го искористиме алгоритмот за ослободување од ирационалноста во именителот на дропката: множи со:

броител и именител. Добиваме:

Б) Го трансформираме изразот:

Во овој пример, броителот и именителот на дропката се множат со конјугираниот израз:

Значи, анализиравме неколку примери за да ги поедноставиме изразите што содржат квадратни корени.

Список на користена литература:

1. Мордкович А.Г. „Алгебра“ 8 одделение. Во 14 часот Дел 1 Учебник за образовни институции / А.Г. Мордкович. - 9-ти изд., Rev. - М .: Мнемосина, 2007 .-- 215 стр.: Ил.
2. Мордкович А.Г. „Алгебра“ 8 одделение. Во 14 часот Дел 2 Проблем книга за образовни институции / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тулчинскаја. - 8. издание, - М .: Мнемосина, 2006 .-- 239 стр.
3. Алгебра. 8-мо одделение. Тест трудови за студенти од образовните институции Л.А. Александров, ед. А.Г. Мордкович 2. изд., Избришано. - М .: Мнемосина, 2009 .-- 40-ти.
4. Алгебра. 8-мо одделение. Самостојна работа за студенти на образовни институции: до учебникот од А.Г. Мордкович, Л.А. Александров, ед. А.Г. Мордкович. 9-то издание, Избришано. - М .: Мнемосина, 2013 .-- 112s.

Алгебра. 8-мо одделение

Наставник: Кулешова Татјана Николаевна

Тема: Конвертирање на изрази што содржат квадратни корени

Тип на лекција: генерализација и систематизација на знаењето

Целта на лекцијата: формирањето на вештините на учениците за трансформирање на изрази кои содржат квадратни корени

Задачи:

Образовни:ги знае својствата на аритметичкиот квадратен корен; научете како да трансформирате изрази што содржат квадратни корени, како што е отстранување на фактор од под знакот на коренот, додавање фактор на коренскиот знак и ослободување од ирационалноста во именителот на дропка;

Развивање: развиваат когнитивни и креативни способности, размислување, набљудување, генијалност и вештини за самостојна активност; поттикнување интерес за математика;

Образовни: способност за работа во тим (група), желба за активно учење со интерес; јасност и организација во работата; да се оспособи секој ученик да постигне успех;

Опрема: Училишен прибор, табла, креда, учебник, ливчиња.

План за лекција

1. Време на организирање
2. Поставување на цел
3. Повторување
4. Самостојна работа
5. Диктат
6. Тест
7. Работа со учебници
8. Брифинг за домашна задача
9. Резиме на лекција. Рефлексија

Напредок

1. Време на организирање

Мотивација за лекција

„Затворете ги очите, седете удобно. Замислете нешто многу пријатно за вас. Се чувствувате добро, удобно. Има многу пријатели околу вас. Меѓу нив се и природните броеви со кои сме многу запознаени. Се зголемуваат редовите на нашите пријатели и им се придружуваат и дробни броеви. Но, негативните бројки се појавија. И сега ќе сретнете рационални и ирационални броеви. Ќе помине време, и ќе ве запознаеме со нови бројки, и додека постои математика во светот, овие бројки се бесконечни“.

„Знаењето е само знаење кога се стекнува со напорите на сопствената мисла, а не со меморијата. Н. Толстој.-Овие зборови на Л.Н. Ваша задача е да ги покажете вашите знаења и вештини во процесот на усна работа, тестирање, работа на табла.

Секој од вас има лист со оценување на маса, по секоја завршена задача не забораваме да дадеме оценки, а на крајот од часот ја ставаме конечната оценка.

1. Поставување на цел

Решавање анаграм (Групна работа)

ЗА - ЗО - РА - ПРЕТХОДНА - VA КОНВЕРЗИЈА

NIY - RA - ИСТО - ВИЕ ИЗРАЗИ

ШИХ - ДЕР - ЖА - СО СОДРЖИ

РАТ - КВ - ЊЕ - ПЕКОЛОТ ПЛОШТАД

НЕ - CO - R КОРЕНИ

Откако го решија анаграмот, учениците ја одредуваат темата на лекцијата.

Што мислите дека ќе правиме на лекцијата?

Ајде заедно да ја формулираме целта на нашата лекција.

1. Повторување на претходно научен материјал

А 1) Вербално броење:

Тестирање на теоријата: Поврзете линија со соодветните делови од дефиницијата.

освој -2 поени

2). Целосно одобрување.

а) Коренот на производот на ненегативни фактори епроизвод на корените на овие фактори.(резултат -2 поени)

б) Се нарекува секоја бесконечна непериодична децимална дропкаирационален број.(резултат -2 поени)

в) Коренот на дропка чиј броител е ненегативен број, а именителот позитивен, екоренот на броителот поделен со коренот на именителот.резултат -2 поени)

3) Утврдете усогласеност (2 поени)

В. 3 ученици добиваат изрази што содржат квадратни корени според алгоритмот за трансформација. Задача: прикажување, цртање, пишување, прикажување итн. и заштити (звучник).

3) Извлечете го коренот

1. Факторирајте го именителот на дропка.
2. Ако именителот еили содржи фактор, тогаш броителот и именителот треба да се помножат со или во.
3. Претворете ги броителите и именителот на дропката, ако е можно, потоа намалете ја добиената дропка.

1. Самостојна работа

Извадете го факторот од под знакот на коренот:

(2 поени)

3)

Поедностави го изразот (4 поени)

1. Тест на лаптоп (оценката се поставува автоматски)

1) 6 =

а бе це де) .

2) 5 =

3) 3 =

а бе це де) .

1. Диктат:

За секоја правилно завршена задача 0,5 поени.

1. Работа на учебникот - работа на табла: секој ученик добива конкретен пример, за возврат одлучува за таблата, запишува сè во тетратка. (1 поен)
2. Информации за домашна задача
3. Сумирајќи ја лекцијата. Рефлексија

Евалуација

Хартија за евалуација. Име и ученик ______________________ Одделение _____

Конвертирање на поени во одделение

25 поени или повеќе - оценка „5“

24 - 18 поени - резултат "4"

17 - 9 поени - резултат "3"

0 - 8 поени - резултат "2"

За да се оцени целата работа за лекција, се користи „Пренесување на поени во одделение“ - на задната страна од листот за оценување.

Пополнете го резултатот. Оценки од лекцијата.

Сакам да ја завршам лекцијатапесна на големата математичарка Софија Ковалевскаја.

Ако во животот сте макар и за момент

Ја почувствував вистината во моето срце

Ако зрак светлина низ темнината и сомнежот

Твојот пат се осветли со силен сјај:

Што би било во вашата одлука непроменето

Рок не те назначи напред,

Сеќавање на овој свет момент

Чувај го засекогаш, како светилиште во твоите гради.

Облаците ќе се соберат во нескладен волумен,

Небото ќе биде покриено со црна магла

Со јасна решителност, со мирна вера

Запознајте ја бурата и соочете се со бурата со грмотевици.

Оваа песна ја изразува желбата за знаење, способноста да се надминат сите препреки што се среќаваат на патот. Како ги надминавме пречките денес? Што направивме на лекцијата?

- Денес ја повторивме дефиницијата и својствата на аритметичкиот квадратен корен; земање фактор надвор од коренскиот знак, внесување фактор под знакот за корен, скратени формули за множење; се запознал и консолидирал некои методи за претворање на изрази кои содржат квадратни корени.

Сите работеа плодно, активно и колективно во текот на часот.

Лекцијата заврши. Ви благодариме на сите за лекцијата!

Внесете го множителот под знакот за корен:

1) 6 =

а бе це де) .

2) 5 =

3) 3 =

а бе це де) .

Тест F.I. ___________________

Внесете го множителот под знакот за корен:

1) 6 =

а бе це де) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

а бе це де) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

а бе це де) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

а бе це де) .

2) 5 =

3) 3 =

а бе це де) .

Алгоритам за отстранување на факторот од коренскиот знак

1) Радикалниот израз го претставуваме во вид на производ од такви фактори што од еден може да се извлече квадратниот корен.

2) Примени ја теоремата за коренот на производот.

3) Извлечете го коренот

Алгоритам за воведување фактор под знакот на коренот

1) Го претставуваме производот во форма на аритметички квадратен корен.

2) Претворете го производот од квадратните корени во квадратниот корен од производот на радикалните изрази.

3) Изведете множење под знакот на коренот.

Алгоритам за ослободување од ирационалност во именителот на дропката:

1) Факторирајте го именителот на дропката.

ОТВОРЕН ЧАС НА ДАЛЕЧИНА

на тема: „Конвертирање на изрази што содржат квадратни корени“.

Наставник по математика - Ветохина Антонина Сергеевна

Место на работа : ОГКУ „Интернат № 88 „Насмевка“ Улјановск, Уљановск

регион

Работа: алгебра

Класа: 8

Основен туторијал: « Алгебра одделение 8" : Учебник за образовни институции. Ју.Н. Макаричев, Н.Г.

Миндјук, К.И. Нешков, С.Б. Суворов. - М .: Образование, 2011 година

TDC:

Образовни:

продолжи да гради вештини:

преземање фактор надвор од радикалниот знак;

воведување фактор под радикален знак;

факторизација;

намалување на фракции;

го научи ученикот да ги применува првичните знаења: својствакорен.

Развивање : продолжи со развојот:

практични вештини и способности;

правилни математички говорни вештини;

когнитивна активност на ученикот;

логично размислување на ученик при пресметување во задачи.

Образовни: продолжи со формирање:

култура на комуникација и култура на одговарање на прашања;

култура на ментална работа;

да формира позитивен став кон предметот, интерес за знаење.

Тип на лекција: комбинирано.

Наставни методи : визуелно-вербално, репродуктивно.

Форми на организирање на когнитивна активност на часот : самостојна и индивидуална работа.

Опрема, дизајн и техничка опрема на лекцијата:

Материјали на страницата на i-school « Алгебра - II (8 одделение) » ( http://iclass.home-edu.ru );

материјали на локацијата „ЈаКлас“ ( http://www.yaklass.ru );

компјутер, мултимедијален проектор.

ПЛАН ЗА ЛЕКЦИЈА

1. Време на организирање.

2. Ажурирање на знаењето.

3. Физичко образование за очи.

4. Учење нов материјал.

5. Физичка обука.

6. Консолидација на стекнатото знаење. Практична работа.

7. Рефлексија.Сумирајќи ја лекцијата.

8. Домашна задача.

СТРУКТУРА И ПРОЦЕС НА ЧАСОТ

Пред почетокот на часот, ученикот „Најави се“ на страницата јас -училишта под вашето најавување и одете на курсот « Алгебра - II (8 одделение) » .

Потоа се отвора програма Skype да учествуваат на часот.

Материјалот во оваа статија треба да се смета како дел од темата за трансформирање на ирационални изрази. Овде ќе користиме примери за да ги анализираме сите суптилности и нијанси (од кои има многу) што се појавуваат при извршување на трансформации врз основа на својствата на корените.

Навигација на страница.

Потсетете се на својствата на корените

Веднаш штом ќе се занимаваме со трансформација на изразите користејќи ги својствата на корените, не е повредено да се потсетиме на главните, или уште подобро, да ги запишеме на хартија и да ги поставиме пред нас.

Прво, ги проучуваме квадратните корени и нивните следни својства (a, b, a 1, a 2, ..., a k се реални броеви):

А подоцна, концептот на коренот се проширува, се воведува дефиниција за n-тиот корен и се разгледуваат такви својства (a, b, a 1, a 2, ..., ak се реални броеви, m, n , n 1, n 2, ... , nk се природни броеви):

Конвертирајте изрази со броеви под знаците на коренот

Како и обично, прво учат да работат со нумерички изрази, па дури потоа преминуваат на изрази со променливи. Ние ќе го направиме истото, а прво ќе се занимаваме со трансформација на ирационални изрази кои содржат само нумерички изрази под знаците на корените, а потоа во следниот пасус ќе воведеме променливи под знаците на корените.

Како може ова да се искористи за трансформирање на изрази? Многу е едноставно: на пример, можеме да замениме ирационален израз со израз или обратно. Односно, ако изразот што треба да се конвертира содржи израз што се совпаѓа со формата на изразот од левата (десната) страна на која било од наведените својства на корените, тогаш може да се замени со соодветниот израз од десната страна (лево ) страна. Ова е трансформација на изразите користејќи ги својствата на корените.

Еве уште неколку примери.

Ајде да го поедноставиме изразот ... Броевите 3, 5 и 7 се позитивни, така што можеме безбедно да ги примениме својствата на корените. Овде можете да дејствувате на различни начини. На пример, корен базиран на својство може да се претстави како, а корен кој користи својство со k = 3 - како, со овој пристап, решението ќе изгледа вака:

Можеше да се постапи поинаку, заменувајќи и понатаму со, во овој случај решението би изгледало вака:

Можни се и други решенија, на пример, ова:

Да го погледнеме решението на уште еден пример. Ајде да го трансформираме изразот. Откако го погледнавме списокот со својства на корените, од него ги избираме својствата што ни се потребни за да го решиме примерот, јасно е дека две од нив се корисни овде и, кои важат за кое било а. Ние имаме:

Алтернативно, на почетокот беше можно да се конвертираат изрази под знаците на корените користејќи

а потоа се применуваат својствата на корените

До овој момент, ние ги трансформиравме изразите кои содржат само квадратни корени. Време е да се работи со корени кои имаат различни индикатори.

Пример.

Претворете ирационален израз .

Решение.

По имот првиот фактор од дадениот производ може да се замени со бројот -2:

Само напред. Вториот фактор врз основа на имотот може да се претстави како, и нема да му наштети да се замени 81 со четворна моќност од тројка, бидејќи во останатите фактори под знаците на корените, се појавува бројот 3:

Препорачливо е да се замени коренот на фракцијата со односот на корените на формата, кој може дополнително да се трансформира: ... Ние имаме

Резултирачкиот израз по извршувањето на дејствата со двојки ќе добие форма , и останува да се трансформира производот на корените.

За да се трансформираат производите на корените, тие обично се сведуваат на еден индикатор, за што е препорачливо да се земат индикатори за сите корени. Во нашиот случај, LCM (12, 6, 12) = 12, а само коренот ќе треба да се сведе на овој индикатор, бидејќи другите два корени веќе го имаат овој индикатор. За да се справите со оваа задача овозможува еднаквост, која се применува од десно кон лево. Значи ... Земајќи го предвид овој резултат, имаме

Сега производот од корените може да се замени со коренот на производот и да се извршат останатите, веќе очигледни, трансформации:

Ајде да подготвиме кратко решение:

Одговор:

.

Одделно, нагласуваме дека за да се применат својствата на корените, неопходно е да се земат предвид ограничувањата што се наметнуваат на броевите под знаците на корените (a≥0 итн.). Игнорирањето на истите може да предизвика неточни резултати. На пример, знаеме дека својството важи за не-негативно a. Врз основа на него, можеме безбедно да одиме, на пример, од до, бидејќи 8 е позитивен број. Но, ако земеме значаен корен од негативен број, на пример, и, врз основа на горенаведеното својство, го замениме со, тогаш всушност го заменуваме -2 со 2. Навистина, а. Односно, за негативното a, еднаквоста може да биде погрешна, исто како што другите својства на корените можат да бидат погрешни без да се земат предвид условите што се предвидени за нив.

Но, она што беше кажано во претходниот пасус воопшто не значи дека изразите со негативни броеви под знаците на корените не можат да се трансформираат користејќи ги својствата на корените. Тие само треба прво да се „подготват“ со примена на правилата за дејствување со бројки или со користење на дефиницијата за непарен корен од негативен број, што одговара на еднаквоста , каде што −a е негативен број (додека a е позитивен). На пример, не можете веднаш да замените со, бидејќи −2 и −3 се негативни броеви, но тоа ни овозможува да одиме од коренот до, а потоа да го примениме својството на коренот од производот: ... И во еден од претходните примери, не беше неопходно да се оди од корен до корен од осумнаесеттиот степен. и така .

Значи, за да ги трансформирате изразите користејќи ги својствата на корените, ви треба

• изберете соодветна сопственост од списокот,
• проверете дали броевите под коренот ги задоволуваат условите за избраното својство (во спротивно, треба да извршите прелиминарни конверзии),
• и да се изврши планираната трансформација.

Трансформирање на изрази со променливи под знаците на коренот

За да се трансформираат ирационални изрази што содржат не само броеви, туку и променливи под знакот на коренот, мора внимателно да се применат својствата на корените наведени во првиот став од овој член. Ова главно се должи на условите што мора да ги исполнуваат броевите што учествуваат во формулите. На пример, врз основа на формулата, изразот може да се замени со израз само за оние вредности на x кои ги задоволуваат условите x≥0 и x + 1≥0, бидејќи наведената формула е наведена за a≥0 и b ≥0.

Зошто е опасно да се игнорираат овие услови? Следниот пример го илустрира одговорот на ова прашање. Да речеме дека треба да ја пресметаме вредноста на изразот на x = −2. Ако веднаш го замениме бројот −2 наместо променливата x, тогаш ја добиваме вредноста што ни треба ... И сега да замислиме дека ние, поради некоја причина, го конвертиравме дадениот израз во форма и дури после тоа решивме да ја пресметаме вредноста. Заменете го −2 за x и дојдете до изразот што нема смисла.

Ајде да видиме што се случува со опсегот на валидни вредности (ADV) на променливата x додека се движиме од израз до израз. ОДЗ не го спомнавме случајно, бидејќи тоа е сериозна алатка за контрола на допуштеноста на направените трансформации, а промената на ОДЗ по трансформацијата на изразот треба барем да алармира. Не е тешко да се најде ODZ за наведените изрази. За изразување на ODV се одредува од неравенката x · (x + 1) ≥0, неговото решение го дава нумеричкото множество (−∞, −1] ∪∪)