Mlinganyo wa cosine x ni sawa na a. Equations Trigonometric - formula, ufumbuzi, mifano. Factorization
Unaweza kuagiza suluhisho la kina kwa shida yako !!!
Usawa ulio na kitu kisichojulikana chini ya ishara ya chaguo za kukokotoa za trigonometriki (`sin x, cos x, tan x` au` ctg x`) inaitwa mlinganyo wa trigonometric, na tutazingatia fomula zao zaidi.
Milinganyo rahisi zaidi inaitwa `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, ambapo` x` ndiyo pembe inayopatikana, `a` ni nambari yoyote. Hebu tuandike kanuni za mizizi kwa kila mmoja wao.
1. Mlinganyo `dhambi x = a`.
Kwa `| a |> 1` haina suluhu.
Kwa `| a | \ leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.
Mfumo wa mizizi: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ katika Z`
2. Mlinganyo `cos x = a`
Kwa `| a |> 1` - kama ilivyo kwa sine, haina suluhu kati ya nambari halisi.
Kwa `| a | \ leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.
Mfumo wa mizizi: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ katika Z`
Kesi maalum za sine na cosine katika grafu. 
3. Mlinganyo `tg x = a`
Ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu za thamani zozote za `a`.
Mfumo wa mizizi: `x = arctan a + \ pi n, n \ katika Z`
4. Mlinganyo `ctg x = a`
Pia ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.
Mfumo wa mizizi: `x = arcctg a + \ pi n, n \ katika Z`
Fomula za mizizi ya milinganyo ya trigonometric katika jedwali
Kwa sine: 
Kwa cosine: 
Kwa tangent na cotangent: 
Fomula za kutatua milinganyo iliyo na vitendaji kinyume vya trigonometriki:
Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric
Suluhisho la equation yoyote ya trigonometric lina hatua mbili:
- kwa kutumia kuibadilisha kuwa rahisi zaidi;
- suluhisha mlinganyo rahisi unaotokana kwa kutumia kanuni na majedwali yaliyoandikwa hapo juu.
Hebu tuangalie mifano ya njia kuu za kutatua.
Mbinu ya algebra.
Kwa njia hii, uingizwaji tofauti na uingizwaji katika usawa unafanywa.
Mfano. Tatua mlingano: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`
`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,
tunafanya mabadiliko: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, kisha` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,
tunapata mizizi: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, ambapo visa viwili vinafuata:
1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.
2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.
Jibu: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.
Factorization.
Mfano. Tatua mlingano: `sin x + cos x = 1`.
Suluhisho. Sogeza masharti yote ya usawa upande wa kushoto: `sin x + cos x-1 = 0`. Kutumia, kubadilisha na kuashiria upande wa kushoto:
`dhambi x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,
`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,
`2sin x / 2 (cos x / 2-dhambi x / 2) = 0`,
- `dhambi x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
- `cos x / 2-dhambi x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.
Jibu: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.
Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous
Kwanza, unahitaji kuleta equation hii ya trigonometric kwa moja ya aina mbili:
`a sin x + b cos x = 0` (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza) au` dhambi ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (mlingano wa homogeneous wa shahada ya pili).
Kisha ugawanye sehemu zote mbili kwa `cos x \ ne 0` - kwa kesi ya kwanza, na kwa` cos ^ 2 x \ ne 0` - kwa pili. Tunapata milinganyo ya `tg x`:` a tg x + b = 0` na `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, ambayo inahitaji kutatuliwa kwa mbinu zinazojulikana.
Mfano. Tatua mlingano: `2 dhambi ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.
Suluhisho. Andika upya upande wa kulia kama `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:
`2 dhambi ^ 2 x + dhambi x cos x - cos ^ 2 x =` `dhambi ^ 2 x + cos ^ 2 x`,
`2 dhambi ^ 2 x + dhambi x cos x - cos ^ 2 x -` `dhambi ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`
`dhambi ^ 2 x + dhambi x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.
Huu ni mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya pili, tunagawanya pande zake za kushoto na kulia na `cos ^ 2 x \ ne 0`, tunapata:
`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`
`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Tunatanguliza uingizwaji `tg x = t`, kwa matokeo,` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Mizizi ya mlingano huu ni `t_1 = -2` na` t_2 = 1`. Kisha:
- `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ katika Z`
- `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ katika Z`.
Jibu. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ katika Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ katika Z`.
Nenda kwenye kona ya nusu
Mfano. Tatua mlingano: `11 dhambi x - 2 cos x = 10`.
Suluhisho. Tumia fomula za pembe mbili, kama matokeo: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`
`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`
Kwa kutumia njia ya algebraic hapo juu, tunapata:
- `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 aktani 2 + 2 \ pi n`, `n \ katika Z`,
- `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ katika Z`.
Jibu. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ katika Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ katika Z`.
Tambulisha pembe ya msaidizi
Katika mlinganyo wa trigonometriki `a sin x + b cos x = c`, ambapo a, b, c ni vigawo na x ni kigezo, tunagawanya pande zote mbili kwa` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:
`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.
Coefficients upande wa kushoto ina mali ya sine na cosine, yaani, jumla ya mraba wao ni sawa na 1 na maadili yao kamili sio zaidi ya 1. Tunawaashiria kama ifuatavyo: `\ frac a (sqrt (sqrt) a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, kisha:
`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.
Hebu tuangalie kwa makini mfano ufuatao:
Mfano. Tatua mlingano: `3 dhambi x + 4 cos x = 2`.
Suluhisho. Gawa pande zote mbili za usawa kwa `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, tunapata:
`\ frac (3 dhambi x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `
`3/5 dhambi x + 4/5 cos x = 2 / 5`.
Hebu tuashiria `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Kwa kuwa `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, basi tunachukua `\ varphi = arcsin 4 / 5` kama pembe msaidizi. Kisha tunaandika usawa wetu katika fomu:
`cos \ varphi dhambi x + dhambi \ varphi cos x = 2 / 5`
Kutumia fomula ya jumla ya pembe za sine, tunaandika usawa wetu katika fomu ifuatayo:
`dhambi (x + \ varphi) = 2 / 5`,
`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ katika Z`,
`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ katika Z`.
Jibu. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ katika Z`.
Milinganyo ya trigonometriki ya kimaumbile-ya kimantiki
Hizi ni usawa na sehemu zilizo na kazi za trigonometric katika nambari na denominators.
Mfano. Tatua mlinganyo. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.
Suluhisho. Zidisha na ugawanye upande wa kulia wa usawa kwa `(1 + cos x)`. Kama matokeo, tunapata:
`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`
`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`
`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`
`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`
`\ frac (dhambi x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`
Kwa kuzingatia kwamba denominator haiwezi kuwa sawa na sifuri, tunapata `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ katika Z`.
Sawazisha nambari ya sehemu kuwa sufuri: `dhambi x-sin ^ 2 x = 0`,` dhambi x (1-dhambi x) = 0`. Kisha `dhambi x = 0` au` 1-dhambi x = 0`.
- `dhambi x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ katika Z`
- `1-dhambi x = 0`,` dhambi x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ katika Z`.
Kwa kuzingatia kwamba `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ katika Z`, suluhu ni` x = 2 \ pi n, n \ katika Z` na `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ katika Z`.
Jibu. `x = 2 \ pi n`,` n \ katika Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ katika Z`.
Trigonometry, na equations trigonometric hasa, hutumiwa katika karibu maeneo yote ya jiometri, fizikia, uhandisi. Utafiti unaanza katika daraja la 10, hakika kuna kazi za mtihani, kwa hivyo jaribu kukumbuka fomula zote za hesabu za trigonometric - hakika zitakuja kwa manufaa!
Hata hivyo, huna haja hata ya kukariri, jambo kuu ni kuelewa kiini na kuwa na uwezo wa kuwatambua. Sio ngumu kama inavyosikika. Jionee mwenyewe kwa kutazama video.
Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki hutatuliwa kwa fomula. Acha nikukumbushe kwamba milinganyo ifuatayo ya trigonometric inaitwa rahisi zaidi:
dhambi = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x ndio pembe inayopatikana,
a - nambari yoyote.
Na hapa kuna fomula ambazo unaweza kuandika mara moja suluhisho za hesabu hizi rahisi.
Kwa sine:
Kwa cosine:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Kwa tangent:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Kwa Cotangent:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Kwa kweli, hii ni sehemu ya kinadharia ya kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Aidha, kila kitu!) Hakuna chochote. Walakini, idadi ya makosa kwenye mada hii iko nje ya kiwango. Hasa ikiwa mfano unatoka kidogo kutoka kwa template. Kwa nini?
Ndiyo, kwa sababu watu wengi huandika barua hizi, sielewi maana yao hata kidogo! Kwa tahadhari anaandika, bila kujali jinsi kitu kinatokea ...) Hili lazima lishughulikiwe. Trigonometry kwa wanadamu, au wanadamu kwa trigonometry baada ya yote!?)
Je, tufikirie?
Pembe moja itakuwa sawa na arccos a, pili: -arccos a.
Na itafanya kazi kwa njia hiyo kila wakati. Kwa yoyote a.
Ikiwa huniamini, weka kipanya chako juu ya picha, au gusa picha kwenye kompyuta kibao.) Nilibadilisha nambari. a kwa baadhi hasi. Hata hivyo, tuna kona moja arccos a, pili: -arccos a.
Kwa hivyo, jibu linaweza kuandikwa kila wakati katika mfumo wa safu mbili za mizizi:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Tunachanganya safu hizi mbili kuwa moja:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Na hiyo ndiyo yote. Nina fomula ya jumla ya kutatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometric na cosine.
Ikiwa unaelewa kuwa hii sio aina fulani ya hekima ya juu ya kisayansi, lakini nukuu fupi tu ya safu mbili za majibu, wewe na kazi "C" itakuwa kwenye bega. Kwa kukosekana kwa usawa, na uteuzi wa mizizi kutoka kwa muda fulani ... Kuna jibu na plus / minus haina roll. Na ikiwa unashughulikia jibu kwa namna ya biashara, na kuivunja katika majibu mawili tofauti, kila kitu kimeamua.) Kwa kweli, kwa hili tunaelewa. Nini, vipi na wapi.
Katika equation rahisi zaidi ya trigonometric
dhambi = a
pia safu mbili za mizizi hupatikana. Daima. Na safu hizi mbili pia zinaweza kurekodiwa mstari mmoja. Mstari huu tu ndio utakuwa ujanja zaidi:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Lakini kiini kinabakia sawa. Wanahisabati waliunda tu fomula ya kutengeneza moja badala ya rekodi mbili za safu ya mizizi. Na ndivyo hivyo!
Hebu tuangalie wanahisabati? Na kisha haujui ...)
Katika somo lililopita, suluhu (bila fomula zozote) la mlinganyo wa trigonometric na sine lilichambuliwa kwa kina:
Jibu lilitoa safu mbili za mizizi:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Ikiwa tutatatua equation sawa kwa kutumia fomula, tunapata jibu:
x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z
Kwa kweli, hili ni jibu ambalo halijakamilika.) Mwanafunzi lazima ajue hilo arcsin 0.5 = π / 6. Jibu kamili litakuwa:
x = (-1) n π / 6+ π n, n ∈ Z
Hii inazua swali la kuvutia. Jibu kupitia x 1; x 2 (hilo ndilo jibu sahihi!) na kwa njia ya upweke NS (na hii ndiyo jibu sahihi!) - kitu kimoja, au la? Tutajua sasa.)
Badilisha kwa kujibu na x 1 maana n = 0; 1; 2; na kadhalika, tunahesabu, tunapata safu ya mizizi:
x 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 na kadhalika.
Kwa uingizwaji sawa katika jibu na x 2 , tunapata:
x 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 na kadhalika.
Sasa tunabadilisha maadili n (0; 1; 2; 3; 4 ...) katika fomula ya jumla ya upweke NS ... Hiyo ni, tunaongeza minus moja hadi sifuri, kisha kwa ya kwanza, ya pili, nk. Na, bila shaka, tunabadilisha 0 katika muhula wa pili; 1; 2 3; 4, nk. Na tunahesabu. Tunapata mfululizo:
x = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 na kadhalika.
Hiyo ndiyo tu unaweza kuona.) Fomula ya jumla inatupa matokeo sawa kabisa, kama majibu mawili tofauti. Tu wote kwa mara moja, kwa utaratibu. Usidanganywe na wanahisabati.)
Fomula za kutatua milinganyo ya trigonometric na tanjiti na kotanjiti pia inaweza kuangaliwa. Lakini hatutafanya hivyo.) Ni rahisi sana.
Nimeelezea uingizwaji na uthibitishaji huu wote kwa makusudi. Ni muhimu kuelewa jambo moja rahisi hapa: kuna fomula za kutatua hesabu za msingi za trigonometric, rekodi fupi tu ya majibu. Kwa ufupi huu, ilibidi niweke plus/minus kwenye suluhisho la cosine na (-1) n kwenye suluhisho la sine.
Viingilio hivi haviingilii kwa njia yoyote katika kazi ambapo unahitaji tu kuandika jibu la equation ya msingi. Lakini ikiwa unahitaji kutatua usawa, au basi unahitaji kufanya kitu na jibu: chagua mizizi kwa muda, angalia ODZ, nk, kuingiza hizi kunaweza kumsumbua mtu kwa urahisi.
Na nini cha kufanya? Ndio, ama andika jibu katika safu mbili, au suluhisha equation / usawa kwenye mduara wa trigonometric. Kisha viingilio hivi hupotea na maisha inakuwa rahisi.)
Tunaweza kufupisha.
Kuna fomula za majibu zilizotengenezwa tayari za kusuluhisha milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Vipande vinne. Ni nzuri kwa kurekodi suluhisho la mlinganyo mara moja. Kwa mfano, unahitaji kutatua equations:
sinx = 0.3
Kwa urahisi: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
Hakuna shida: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
Kwa urahisi: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Mmoja kushoto: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1.8
Ikiwa wewe, unang'aa na maarifa, andika jibu mara moja:
x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
basi tayari unang'aa, hii ... hiyo ... kutoka kwenye dimbwi.) Jibu sahihi: hakuna masuluhisho. Je, unaelewa kwa nini? Soma arccosine ni nini. Kwa kuongezea, ikiwa maadili ya tabular ya sine, cosine, tangent, cotangent iko upande wa kulia wa equation ya asili, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 na kadhalika. - jibu kupitia matao itakuwa haijakamilika. Arches lazima kutafsiriwa katika radians.
Na ukikutana na usawa kama
basi jibu ni:
х πn, n ∈ Z
kuna upuuzi wa nadra, ndiyo ...) Hapa ni muhimu kuamua juu ya mzunguko wa trigonometric. Tutafanya nini katika mada husika.
Kwa wale ambao wamesoma kishujaa hadi mistari hii. Siwezi kusaidia lakini kuthamini juhudi zako za titanic. Wewe ni bonasi.)
Ziada:
Wakati wa kuandika fomula katika mazingira ya kutisha ya mapigano, hata wasomi walio ngumu kielimu mara nyingi huchanganyikiwa kuhusu wapi πn, Na wapi 2p n. Hapa kuna hila rahisi. Katika ya yote thamani ya fomula πn. Isipokuwa fomula pekee iliyo na kosini kinyume. Inasimama pale 2pn. Mbili pini. Neno kuu - mbili. Formula sawa ina mbili saini mwanzoni. Plus na minus. Hapa na pale - mbili.
Kwa hivyo ikiwa uliandika mbili ishara mbele ya cosine inverse, ni rahisi kukumbuka nini itakuwa mwishoni mbili pini. Na hata kinyume chake hutokea. Ruka ishara ya mtu ± , hufika mwisho, huiandika sawa mbili pien, na itarudi kwenye fahamu zake. Mbele ya kitu mbili ishara! Mtu atarudi mwanzo, lakini atarekebisha kosa! Kama hii.)
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Jaribio la uthibitishaji wa papo hapo. Kujifunza - kwa riba!)
unaweza kufahamiana na vitendaji na derivatives.
Zakharova Ludmila Vladimirovna
MBOU "Shule ya Sekondari Na. 59" huko Barnaul
mwalimu wa hisabati
[barua pepe imelindwa]
№1 Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki
Lengo: 1. Pata fomula za suluhisho za milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric ya fomu sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a;
2. Jifunze kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric kwa kutumia fomula.
Vifaa: 1) Majedwali yenye grafu za kazi za trigonometric y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 2) Jedwali la maadili ya kazi tofauti za trigonometric; 3) Jedwali la muhtasari wa fomula za kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki.
Mpango wa somo la somo:
1 Utoaji wa fomula za mizizi ya mlingano
a) dhambi = a,
b) cosx = a,
c) tgx = a,
d) ctgx = a.
2 ... Kazi ya mdomo ya mbele ili kuunganisha fomula zilizopatikana.
3 ... Kazi iliyoandikwa ili kuunganisha nyenzo zilizosomwa
Wakati wa madarasa.Katika algebra, jiometri, fizikia na masomo mengine, tunakabiliwa na matatizo mbalimbali, suluhisho ambalo linahusishwa na ufumbuzi wa equations. Tumesoma mali ya kazi za trigonometric, kwa hivyo ni kawaida kugeukia equations ambayo haijulikani iko chini ya ishara ya kazi.
Ufafanuzi: Milinganyo ya fomu sinx = a , cosx= a , tgx= a , ctgx= a huitwa milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric.
Ni muhimu sana kujifunza jinsi ya kutatua equations rahisi zaidi za trigonometric, kwa kuwa njia zote na mbinu za kutatua equations yoyote ya trigonometric ni kupunguza kwa wale rahisi zaidi.
Wacha tuanze kwa kupata fomula zinazofanya kazi "kwa bidii" wakati wa kusuluhisha milinganyo ya trigonometric.
1.Equations ya fomu sinx = a.
Wacha tusuluhishe equation sinx = a kwa picha. Ili kufanya hivyo, katika mfumo mmoja wa kuratibu, tunapanga grafu za kazi y = sinx na y = a.
1) Kama a> 1 na a dhambi x = a haina ufumbuzi, kwa kuwa mstari wa moja kwa moja na sinusoid hawana pointi sawa.
2) Ikiwa -1a a huvuka sinusoid mara nyingi sana. Hii ina maana kwamba equation dhambi = a ina masuluhisho mengi sana.
Kwa kuwa kipindi cha sine ni 2 
, kisha kutatua equation dhambi = a inatosha kupata suluhisho zote kwenye sehemu yoyote ya urefu wa 2.
Kwa kutatua mlinganyo wa [- / 2; / 2] kwa ufafanuzi wa arcsine x = arcsin a, na kwenye x = -arcsin a... Kwa kuzingatia upimaji wa kazi y = sinx, tunapata maneno yafuatayo
x = -arcsin a+ 2n, n Z.
Suluhisho zote mbili zinaweza kuunganishwa
X = (-1) n arcsin a+ n, nZ.
Katika visa vitatu vifuatavyo, wanapendelea kutumia sio fomula ya jumla, lakini uhusiano rahisi zaidi:
Kama a= -1, kisha dhambi x = -1, x = - / 2 + 2n
Kama a= 1, kisha dhambi x = 1, x = / 2 + 2n
Kama a = 0, kisha dhambi x = 0. x = n,
Mfano: Tatua Mlinganyo sinx = 1/2.
Wacha tutengeneze fomula za suluhisho x = arcsin 1/2 + 2n
X = - arcsin a + 2n
Hebu tuhesabu thamani arcsin1 / 2. Badilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula za suluhisho
x = 5/6 + 2 n
au kwa formula ya jumla
X = (-1) n arcsin 1/2 + n,
X = (-1) n / 6 + n,
2. Milinganyo ya fomu cosx = a.
Wacha tusuluhishe equation cosx = a pia graphically, kupanga grafu ya kazi y = cosx na y = a.
1) Ikiwa 1, basi equation cosx = a haina suluhisho, kwani grafu hazina alama za kawaida.
2) Ikiwa -1 a cosx = a ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.
Tutapata masuluhisho yote cosx = a kwa muda wa urefu wa 2 tangu kipindi cha cosine ni 2.
Juu ya suluhisho la equation kwa ufafanuzi wa arccosine itakuwa x = arcos a. Kwa kuzingatia usawa wa kitendakazi cha kosini, suluhu la mlinganyo kwenye [-; 0] litakuwa x = -arcos a.
Kwa hivyo, suluhisho za equation cosx = a x = + arcos a+ 2 n,
Katika visa vitatu, hatutatumia fomula ya jumla, lakini uhusiano rahisi zaidi:
Kama a= -1, kisha cosx = -1, x = - / 2 + 2n
Kama a= 1, kisha cosx = 1, x = 2n,
Ikiwa a = 0, basi cosx = 0. x = / 2 + n
Mfano: Tatua Mlinganyo cos x = 1/2,
Wacha tutengeneze fomula za suluhisho x = arccos 1/2 + 2n
Hebu tuhesabu thamani arccos1 / 2.
Badilisha thamani iliyopatikana kwenye fomula za suluhisho
X = + /3+ 2n, nZ.
Milinganyo ya fomu tgx = a.
Kwa kuwa kipindi cha tangent ni sawa, basi ili kupata suluhisho zote za equation tgx = a, inatosha kupata suluhisho zote kwa muda wowote wa urefu. Kwa ufafanuzi wa arctangent, suluhisho la equation kwenye (- / 2; / 2) ni arctan. a. Kwa kuzingatia kipindi cha kazi, suluhisho zote za equation zinaweza kuandikwa kwa fomu
x = actg a+ n, nZ.
Mfano: Tatua mlinganyo tg x = 3/3
Wacha tutengeneze fomula ya kutatua x = arctan 3/3 + n, nZ.
Tunahesabu thamani ya arctangent arctan 3/3 = / 6, basi
X = / 6 + n, nZ.
Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlinganyo na tgx= a inaweza kutolewa kwa wanafunzi.
Mfano.
Tatua mlinganyo ctg x = 1.
x = arcstg 1 + n, nZ,
X = / 4 + n, nZ.
Kama matokeo ya nyenzo zilizosomwa, wanafunzi wanaweza kujaza meza:
"Kutatua milinganyo ya trigonometric."
mlingano
Mazoezi ya kuunganisha nyenzo zilizosomwa.
(Kwa mdomo) Ni ipi kati ya milinganyo iliyoandikwa inayoweza kutatuliwa kwa fomula:
a) x = (-1) n arcsin a+ n, nZ;
b) x = + arcos a + 2 n?
cos x = 2/2, tg x = 1, sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x = 2/3, sin x = 3, cos x = 2 ...
Ni hesabu gani kati ya zilizoorodheshwa ambazo hazina suluhu?
Tatua milinganyo:
a) dhambi x = 0; e) dhambi x = 2/2; h) dhambi x = 2;
b) cos x = 2/2; f) cos x = -1/2; i) cos x = 1;
d) tg x = 3; g) ctg x = -1; j) tg x = 1/3.
3. Tatua milinganyo:
a) dhambi 3x = 0; e) 2cos x = 1;
b) cos x / 2 = 1/2; f) 3 tan 3x = 1;
d) dhambi x / 4 = 1; g) 2cos (2x + / 5) = 3.
Wakati wa kutatua equations hizi, ni muhimu kuandika sheria za kutatua equations za fomu dhambi v x = a, na na dhambi v x = a, | a|1.
Dhambi v x = a, | 1.
v x = (-1) n arcsin a+ n, nZ,
x = (-1) n 1 / v arcsin a+ n / v, nZ.
Muhtasari wa matokeo ya somo:
Leo katika somo tumeunda fomula za kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric.
Mifano iliyovunjwa ya kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki.
Tulijaza jedwali ambalo tutatumia kutatua milinganyo.
Kazi ya nyumbani.
№2 Kutatua milinganyo ya trigonometriki
Lengo: Kusoma mbinu za kutatua milinganyo ya trigonometric: 1) inayoweza kupunguzwa hadi quadratic; 2) inayoweza kupunguzwa hadi milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.
Kukuza ujuzi wa uchunguzi wa wanafunzi wakati wa kutumia mbinu mbalimbali za kutatua milinganyo ya trigonometriki.
Kazi ya mbele na wanafunzi.
Je, ni kanuni gani za mizizi ya milinganyo ya trigonometric? maana x = a, dhambi x = a, tgx = a, ctg x = a.
Tatua milinganyo (kwa mdomo):
cos x = -1, sin x = 0, tgx = 0, ctg x = 1, cos x = 1.5, sin x = 0.
Tafuta makosa na fikiria juu ya sababu za makosa.
cos x = 1/2, x = +
/ 6 + 2k, k 
Z.
dhambi x = 3/2, x = / 3 + k, kZ.
tgx = / 4, x = 1 + k, kZ.
2. Kujifunza nyenzo mpya.
Somo hili litashughulikia baadhi ya mbinu za kawaida za kutatua milinganyo ya trigonometriki.
Milinganyo ya trigonometric imepunguzwa hadi quadratic.
Darasa hili linaweza kujumuisha milinganyo inayojumuisha chaguo za kukokotoa moja (sine au cosine) au chaguo mbili za kukokotoa za hoja moja, lakini mojawapo hupunguzwa hadi la pili kwa kutumia vitambulisho vya msingi vya trigonometriki.
Kwa mfano, ikiwa cosх imejumuishwa katika equation katika nguvu hata, basi tunaibadilisha na 1- dhambi 2 x, ikiwa dhambi 2 x, basi tunaibadilisha na 1-cos 2 x.
Mfano.
Tatua mlingano: 8 dhambi 2 x - 6sin x -5 = 0.
Suluhisho: Tunaashiria dhambi x = t, kisha 8t 2 - 6t - 5 = 0,
D = 196,
T 1 = -1/2, t 2 = -5/4.
Wacha tufanye mabadiliko ya nyuma na tusuluhishe milinganyo ifuatayo.
X = (- 1) k + 1/6 + k, kZ.
Tangu -5/4> 1, equation haina mizizi.
Jibu: x = (- 1) k + 1/6 + k, kZ.
Suluhisho la mazoezi ya kuimarisha.
Tatua mlinganyo:
1) 2sin 2 x + 3cos x = 0;
2) 5sin 2 x + 6cos x -6 = 0;
3) 2sin 2 x + 3cos 2 x = -2sin x;
4) 3 tg 2 x +2 tgx-1 = 0.
Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.
Ufafanuzi: 1) Mlinganyo wa fomua sinx + b cosx= 0, (a = 0, b = 0) inaitwa equation ya homogeneous ya shahada ya kwanza kwa heshima ya dhambi x na cos x.
Mlinganyo huu unatatuliwa kwa kugawanya sehemu zake zote mbili kwa cosx 
0. Matokeo yake ni mlinganyo atgx + b = 0.
2) Mlinganyo wa fomua dhambi 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x =0 inaitwa equation homogeneous ya shahada ya pili, ambapo a, b, c ni namba yoyote.
Ikiwa a = 0, basi equation inatatuliwa kwa kugawa sehemu zote mbili na kwa 2 x 0. Matokeo yake, tunapata equation atg 2 x + btgx + c = 0.
Maoni: Mlinganyo wa fomua dhambi mx + b cos mx=0 au
a dhambi 2 mx + b dhambi mx cos mx + c cos 2 mx =0 pia ni homogeneous. Ili kuzitatua, pande zote mbili za equation zimegawanywa na cos mx=0 au cos 2 mx=0
3) Milinganyo mbalimbali inaweza kupunguzwa kwa milinganyo ya homogeneous, ambayo mwanzoni sio hivyo. Kwa mfano,dhambi 2 mx + b dhambi mx cos mx + c cos 2 mx = d, na a sinx + b cosx= d. Ili kutatua hesabu hizi, unahitaji kuzidisha upande wa kulia "Kitengo cha Trigonometric" hizo. juu dhambi 2 x + cos 2 x na kufanya mabadiliko ya hisabati.
Mazoezi ya kuunganisha nyenzo zilizosomwa:
1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 dhambi 2 x - sin2x = 3;
2) dhambi 2x + cos2x = 0; 6) 3 dhambi 2 x + sinx cosx = 2 cos 2 x;
3) dhambi x + 3cos x = 0; 7) 3 dhambi 2 x- sinx cosx = 2;
4) dhambi 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0
3. Kujumlisha matokeo ya somo. Kazi ya nyumbani.
Katika somo hili, kulingana na utayari wa kikundi, unaweza kufikiria kusuluhisha milinganyo ya fomu dhambi mx + b cos mx = c, ambapo a, b, c si sawa na sifuri kwa wakati mmoja.
Mazoezi ya kuimarisha:
1.3sin x + cos x = 2;
2.3sin 2x + cos 2x = 2;
3.sin x / 3 + cos x / 3 = 1;
4.12 dhambi x +5 cos x + 13 = 0.
№ 3 Kutatua milinganyo ya trigonometriki
Lengo: 1) Soma njia ya kutatua milinganyo ya trigonometric kwa factorization; jifunze kutatua milinganyo ya trigonometriki kwa kutumia fomula mbalimbali za trigonometric;
2) Angalia: ujuzi wa wanafunzi wa fomula za kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric; uwezo wa kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric.
Mpango wa somo:
Ukaguzi wa kazi za nyumbani.
Imla ya hisabati.
Kujifunza nyenzo mpya.
Kazi ya kujitegemea.
Muhtasari wa matokeo ya somo. Kazi ya nyumbani.
Kozi ya somo:
Ukaguzi wa kazi za nyumbani (suluhisho la milinganyo ya trigonometric imeandikwa kwa ufupi ubaoni).
Imla ya hisabati.
KATIKA 1
1. Ni milinganyo gani inayoitwa milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric?
2. Jina la equation ya fomu ni ninia dhambi + b cosx = 0? Tafadhali onyesha njia ya kulitatua.
3.Andika fomula ya mizizi ya mlinganyo tgx = a(ctg x = a).
4. Andika kanuni za mizizi ya equations ya fomu cosx = a, wapi a=1, a=0, a=-1.
5. Andika formula ya jumla ya mizizi ya equation dhambi x = a, | a|
6. Jinsi milinganyo ya fomua cosx = b, | b|
KATIKA 2
1. Andika kanuni za mizizi ya milinganyo cosx = a,| a|
2. Andika formula ya jumla ya mizizi ya equation
= a, | a|
3. Majina ya milinganyo ya fomu ni nini dhambi x = a, tgx = a, dhambi x = a?
4. Andika kanuni za mizizi ya equation dhambi x = a, kama a=1, a=0, a=-1.
5.Mlinganyo wa fomu ukoje dhambi a x = b, | b|
6. Ni milinganyo gani inayoitwa milinganyo ya homogeneous ya shahada ya pili? Je, yanatatuliwaje?
Kujifunza nyenzo mpya.
Mbinu ya kuainisha.
Mojawapo ya njia zinazotumiwa sana za kutatua milinganyo ya trigonometric ni njia ya uainishaji.
Ikiwa equation f (x) = 0 inaweza kuwakilishwa kama f 1 (x) f 2 (x) = 0, basi tatizo linapunguzwa kwa kutatua milinganyo miwili f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 .
(Pamoja na wanafunzi, ni muhimu kukumbuka sheria " Bidhaa ya sababu ni sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sifuri, wakati zingine zina maana»)
Ujumuishaji wa nyenzo zilizosomwa kupitia suluhisho la hesabu za ugumu tofauti.
(dhambi x-1/2) (dhambi x + 1) = 0; 2) (cosx- 2/2) (dhambi x + 2/2) = 0; (binafsi)
3) dhambi 2 x + dhambi x cosx = 0; 4) dhambi 2 x - dhambi x = 0;
5) dhambi 2x - cosx = 0; 6) 4 cos 2 x -1 = 0; (Kwa njia 2)
7) cosx + cos3x = 0; 8) dhambi 3x = dhambi 17x;
9) dhambi x + dhambi 2x + dhambi 3x = 0; 10) cos3x cos5x
11) dhambi x cos5x = dhambi 9x cos3x dhambi 2x dhambi 2x
12) 3 cosx sin x + cos 2 x = 0 (binafsi)
13) 2 cos 2 x - dhambi (x- / 2) + tgx tg (x + / 2) = 0.
Kazi ya kujitegemea.
Chaguo-1 Chaguo-2
1) 6 dhambi 2 x + 5sin x -1 = 0; 1) 3 cos 2 x + 2 cosx -5 = 0;
2) dhambi 2x - cos2x = 0; 2) 3 cos x / 2 - dhambi x / 2 = 0;
3) 5 dhambi 2 x + dhambi x cosx -2 cos 2 x = 2; 3) 4sin 2 x- dhambi x cosx + 7cos 2 x = 5;
4) dhambi x + sin5x = sin3x + sin7x; 4) dhambi x-dhambi 2x + dhambi 3x-dhambi 4x = 0;
5) dhambi x + cosx = 1. 5) dhambi x + cosx = 2.
8. Kufanya muhtasari wa somo. Kazi ya nyumbani.
