Bách khoa toàn thư về an toàn cháy nổ

Phương trình với lũy thừa âm là ví dụ về các giải pháp. Biểu thức lũy thừa (biểu thức với lũy thừa) và sự biến đổi của chúng. Nâng số thành lũy thừa

Luỹ thừa là một trong những yếu tố cơ bản của toán học, thường gặp khi giải các bài toán đại số. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết.

Làm thế nào để nâng lên thành một quyền lực tiêu cực - lý thuyết

Khi chúng ta là một số với lũy thừa thông thường, chúng ta nhân giá trị của nó lên vài lần. Ví dụ, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Với một phân số âm, điều ngược lại là đúng. Hình chiếu tổng quát theo công thức sẽ như sau: a -n = 1 / a n. Do đó, để nâng một số lên lũy thừa âm, bạn cần chia đơn vị cho số đã cho, nhưng đã có lũy thừa dương.

Cách nâng lên lũy thừa âm - ví dụ về số thông thường

Với quy tắc trên, hãy giải một vài ví dụ.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Đáp số: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Câu trả lời là -4 -2 = 1/16.

Nhưng tại sao câu trả lời trong ví dụ thứ nhất và thứ hai lại giống nhau? Thực tế là khi một số âm được nâng lên thành lũy thừa chẵn (2, 4, 6, v.v.), dấu sẽ trở thành dương. Nếu mức độ là số chẵn, thì số trừ vẫn còn:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)


Cách nâng lên lũy thừa âm - các số từ 0 đến 1

Nhớ lại rằng khi bạn tăng một số trong phạm vi từ 0 đến 1 lên một lũy thừa dương, giá trị sẽ giảm khi công suất tăng dần. Ví dụ: 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Ví dụ 3: Tính 0,5 -2
Bài giải: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Đáp số: 0,5 -2 = 4

Phân tích (chuỗi hành động):

  • Chuyển phân số thập phân 0,5 thành phân số 1/2. Nó dễ dàng hơn theo cách này.
    Tăng 1/2 thành công suất âm. 1 / (2) -2. Chia 1 cho 1 / (2) 2, ta được 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4


Ví dụ 4: Tính 0,5 -3
Bài giải: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Ví dụ 5: Tính -0,5 -3
Giải: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Đáp số: -0,5 -3 = -8


Dựa trên ví dụ thứ 4 và thứ 5, chúng tôi sẽ rút ra một số kết luận:

  • Đối với một số dương trong khoảng từ 0 đến 1 (ví dụ 4), được nâng lên thành lũy thừa, thì độ chẵn hay lẻ của lũy thừa không quan trọng, giá trị của biểu thức sẽ là số dương. Hơn nữa, độ càng lớn thì giá trị càng lớn.
  • Đối với một số âm trong phạm vi từ 0 đến 1 (ví dụ 5), được nâng lên thành lũy thừa, tính chẵn hay lẻ của lũy thừa không quan trọng, giá trị của biểu thức sẽ là số âm. Hơn nữa, bằng cấp càng cao thì giá trị càng giảm.


Cách nâng lên lũy thừa âm - lũy thừa dưới dạng số phân số

Biểu thức loại này có dạng sau: a -m / n, trong đó a là số thường, m là tử số của bậc, n là mẫu số của bậc.

Hãy xem xét một ví dụ:
Tính: 8 -1/3

Giải pháp (chuỗi hành động):

  • Hãy nhớ quy tắc nâng một số lên lũy thừa âm. Ta được: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
  • Chú ý rằng mẫu số là 8 dưới dạng lũy ​​thừa phân số. Quan điểm chung của việc tính lũy thừa phân số như sau: a m / n = n √8 m.
  • Như vậy, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Ta nhận được căn bậc hai của tám, là 2. Dựa vào đây, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
  • Đáp số: 8 -1/3 = 2


Biểu thức, chuyển đổi biểu thức

Biểu thức lũy thừa (biểu thức có lũy thừa) và chuyển đổi của chúng

Trong bài này, chúng ta sẽ nói về việc chuyển đổi biểu thức lũy thừa. Đầu tiên, chúng ta sẽ tập trung vào các phép biến đổi được thực hiện với các biểu thức thuộc bất kỳ loại nào, bao gồm cả biểu thức hàm mũ, chẳng hạn như mở rộng dấu ngoặc, ép các số hạng tương tự. Và sau đó chúng ta sẽ phân tích các phép biến đổi vốn có trong các biểu thức với độ: làm việc với cơ số và số mũ, sử dụng các thuộc tính của độ, v.v.

Điều hướng trang.

Biểu thức mũ là gì?

Thuật ngữ "biểu thức mũ" thực tế không được tìm thấy trong sách giáo khoa toán học ở trường, nhưng nó xuất hiện khá thường xuyên trong các bộ sưu tập các bài toán, đặc biệt là các bài toán được thiết kế để chuẩn bị cho kỳ thi và OGE chẳng hạn. Sau khi phân tích các tác vụ mà bạn cần thực hiện bất kỳ hành động nào với biểu thức hàm mũ, rõ ràng là hàm số mũ được hiểu là biểu thức chứa độ trong bản ghi của chúng. Do đó, đối với bản thân, bạn có thể chấp nhận định nghĩa sau:

Sự định nghĩa.

Biểu thức quyền lực Là các biểu thức chứa độ.

Hãy để chúng tôi cung cấp cho ví dụ về biểu thức số mũ... Hơn nữa, chúng tôi sẽ đại diện cho chúng theo cách sự phát triển của các quan điểm trên xảy ra từ mức độ có chỉ số tự nhiên đến mức độ có chỉ số thực.

Như bạn đã biết, đầu tiên có một người làm quen với lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên, ở giai đoạn này, biểu thức lũy thừa đơn giản nhất đầu tiên của loại 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, v.v.

Sau đó một chút, lũy thừa của một số với số mũ nguyên được nghiên cứu, dẫn đến sự xuất hiện của biểu thức lũy thừa với lũy thừa nguyên âm, như sau: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

Ở trường trung học, họ quay trở lại bằng cấp một lần nữa. Ở đó, một bậc với số mũ hữu tỉ được đưa ra, kéo theo sự xuất hiện của các biểu thức lũy thừa tương ứng: , , Vân vân. Cuối cùng, các mức độ với các chỉ số và biểu thức không hợp lý chứa chúng được coi là:,.

Vấn đề không giới hạn đối với các biểu thức lũy thừa được liệt kê: biến thâm nhập sâu hơn vào số mũ và, ví dụ, các biểu thức như vậy 2 x 2 +1 hoặc ... Và sau khi làm quen, các biểu thức với lũy thừa và logarit bắt đầu xuất hiện, ví dụ, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra câu hỏi về biểu thức hàm mũ là gì. Tiếp theo, chúng ta sẽ học cách biến đổi chúng.

Các dạng biến đổi cơ bản của biểu thức lũy thừa

Với biểu thức mũ, bạn có thể thực hiện bất kỳ phép biến đổi cơ bản nào giống hệt biểu thức. Ví dụ: bạn có thể mở rộng dấu ngoặc đơn, thay thế các biểu thức số bằng các giá trị của chúng, cung cấp các thuật ngữ tương tự, v.v. Đương nhiên, trong trường hợp này, cần phải tuân theo thủ tục được chấp nhận để thực hiện các hành động. Dưới đây là một số ví dụ.

Thí dụ.

Đánh giá giá trị của biểu thức mũ 2 3 · (4 2 −12).

Dung dịch.

Theo thứ tự thực hiện các thao tác, đầu tiên chúng ta thực hiện các thao tác trong ngoặc. Ở đó, đầu tiên, chúng tôi thay thế lũy thừa của 4 2 bằng giá trị 16 của nó (xem nếu cần), và thứ hai, chúng tôi tính toán sự khác biệt 16−12 = 4. Chúng ta có 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Trong biểu thức kết quả, thay lũy thừa 2 3 bằng giá trị 8 của nó, rồi tính tích 8 4 = 32. Đây là giá trị mong muốn.

Vì thế, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Bài giải:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Thí dụ.

Đơn giản hóa biểu thức quyền lực 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Dung dịch.

Rõ ràng, biểu thức này chứa các số hạng tương tự 3 · a 4 · b −7 và 2 · a 4 · b −7, và chúng ta có thể mang chúng:.

Bài giải:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Thí dụ.

Hãy tưởng tượng một biểu thức với quyền hạn như một sản phẩm.

Dung dịch.

Để đối phó với nhiệm vụ, việc biểu diễn số 9 dưới dạng lũy ​​thừa của 3 2 và việc sử dụng công thức nhân viết tắt sau đó là sự khác biệt của các bình phương:

Bài giải:

Ngoài ra còn có một số phép biến đổi giống hệt nhau vốn có trong biểu thức lũy thừa. Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích chúng.

Làm việc với cơ số và số mũ

Có độ, cơ số và / hoặc số mũ của chúng không chỉ là số hoặc biến, mà là một số biểu thức. Ví dụ, chúng tôi cung cấp các bản ghi (2 + 0,37) 5-3,7 và (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Khi làm việc với các biểu thức như vậy, bạn có thể thay thế cả biểu thức dựa trên mức độ và biểu thức trong số mũ bằng một biểu thức giống hệt nhau trên ODZ của các biến của nó. Nói cách khác, chúng ta có thể, theo các quy tắc mà chúng ta đã biết, biến đổi riêng biệt cơ số của mức độ, và riêng biệt - số mũ. Rõ ràng là kết quả của phép biến đổi này, sẽ thu được một biểu thức giống hệt biểu thức ban đầu.

Những biến đổi như vậy cho phép chúng ta đơn giản hóa các thử nghiệm với quyền hạn hoặc đạt được các mục tiêu khác mà chúng ta cần. Ví dụ, trong biểu thức mũ (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 ở trên, bạn có thể thực hiện các hành động với các số trong cơ số và số mũ, điều này sẽ cho phép bạn đi đến lũy thừa 4.1 1.3. Và sau khi mở rộng dấu ngoặc và giảm các số hạng tương tự trong cơ sở bậc (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1), chúng ta nhận được biểu thức lũy thừa có dạng đơn giản hơn a 2

Sử dụng thuộc tính quyền lực

Một trong những công cụ chính để chuyển đổi hiệu năng thành lũy thừa là bình đẳng, phản ánh. Hãy để chúng tôi nhớ lại những điều chính. Đối với bất kỳ số dương a và b và các số thực r và s tùy ý, các tính chất lũy thừa sau đây là đúng:

  • a r a s = a r + s;
  • a r: a s = a r - s;
  • (a b) r = a r b r;
  • (a: b) r = a r: b r;
  • (a r) s = a r s.

Lưu ý rằng đối với số mũ tự nhiên, số nguyên và số mũ dương, các hạn chế đối với số a và b có thể không quá nghiêm ngặt. Ví dụ, đối với các số tự nhiên m và n, đẳng thức a m a n = a m + n không chỉ đúng với a dương mà còn đúng với các số âm và a = 0.

Ở trường, sự chú ý chính khi biến đổi biểu thức lũy thừa tập trung chính xác vào khả năng chọn một tính chất phù hợp và áp dụng nó một cách chính xác. Trong trường hợp này, các cơ sở của độ thường dương, cho phép sử dụng các thuộc tính của độ mà không bị hạn chế. Điều tương tự cũng áp dụng cho việc chuyển đổi các biểu thức có chứa các biến trong cơ sở là độ - phạm vi giá trị có thể chấp nhận của các biến thường sao cho cơ sở chỉ nhận các giá trị dương trên đó, điều này cho phép bạn tự do sử dụng các thuộc tính của độ . Nói chung, bạn cần liên tục tự hỏi mình liệu trong trường hợp này có thể áp dụng bất kỳ thuộc tính nào của độ hay không, bởi vì việc sử dụng không chính xác các thuộc tính có thể dẫn đến thu hẹp ODV và các rắc rối khác. Những điểm này được thảo luận chi tiết và với các ví dụ trong bài viết về chuyển đổi các biểu thức sử dụng thuộc tính mức độ. Ở đây chúng tôi giới hạn bản thân trong một vài ví dụ đơn giản.

Thí dụ.

Hãy tưởng tượng biểu thức a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 là một lũy thừa với cơ số a.

Dung dịch.

Đầu tiên, thừa số thứ hai (a 2) −3 được biến đổi theo tính chất nâng lũy ​​thừa thành lũy thừa: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Khi đó, biểu thức mũ ban đầu sẽ có dạng 2,5 · a −6: a −5,5. Rõ ràng, vẫn sử dụng các tính chất của phép nhân và phép chia các lũy thừa cùng cơ số, chúng ta có
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a −3,5 - (- 5,5) = a 2.

Bài giải:

a 2,5 (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

Thuộc tính lũy thừa được sử dụng cả từ trái sang phải và từ phải sang trái khi biến đổi biểu thức hàm mũ.

Thí dụ.

Tìm giá trị của biểu thức số mũ.

Dung dịch.

Đẳng thức (a b) r = a r b r, áp dụng từ phải sang trái, cho phép bạn đi từ biểu thức ban đầu đến tích của dạng và xa hơn nữa. Và khi nhân các độ với cùng một cơ sở, các chỉ số sẽ cộng lại: .

Có thể thực hiện việc chuyển đổi biểu thức ban đầu theo một cách khác:

Bài giải:

.

Thí dụ.

Cho biểu thức lũy thừa a 1,5 −a 0,5 −6, nhập biến mới t = a 0,5.

Dung dịch.

Mức độ a 1,5 có thể được biểu diễn dưới dạng 0,5 · 3 và hơn thế nữa, dựa trên tính chất của mức độ thành mức độ (ar) s = ar · s, áp dụng từ phải sang trái, biến đổi nó thành dạng (a 0,5) 3 . Vì vậy, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Bây giờ có thể dễ dàng giới thiệu một biến mới t = a 0,5, ta được t 3 −t - 6.

Bài giải:

t 3 −t - 6.

Chuyển đổi phân số có chứa lũy thừa

Biểu thức lũy thừa có thể chứa các phân số với lũy thừa hoặc là các phân số như vậy. Mọi phép biến đổi cơ bản của phân số vốn có ở dạng phân số đều hoàn toàn có thể áp dụng được cho các phân số đó. Nghĩa là, các phân số có chứa lũy thừa có thể bị hủy bỏ, rút ​​gọn thành một mẫu số mới, làm việc riêng với tử số của chúng và riêng biệt với mẫu số, v.v. Để minh họa các từ được nói, hãy xem xét các giải pháp của một số ví dụ.

Thí dụ.

Đơn giản hóa biểu thức hàm mũ .

Dung dịch.

Biểu thức hàm mũ này là một phân số. Hãy làm việc với tử số và mẫu số của nó. Trong tử số, chúng ta mở dấu ngoặc và đơn giản hóa biểu thức thu được sau đó bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa và ở mẫu số, chúng ta đưa ra các thuật ngữ tương tự:

Và chúng ta cũng thay đổi dấu của mẫu số bằng cách đặt dấu trừ trước phân số: .

Bài giải:

.

Việc quy đổi phân số có chứa lũy thừa xuống mẫu số mới được thực hiện tương tự như quy trình rút gọn phân số hữu tỉ về mẫu số mới. Trong trường hợp này, một thừa số bổ sung cũng được tìm thấy và tử số và mẫu số của phân số được nhân với nó. Khi thực hiện hành động này, cần nhớ rằng việc giảm xuống một mẫu số mới có thể dẫn đến việc thu hẹp ODV. Để ngăn điều này xảy ra, điều cần thiết là yếu tố bổ sung không biến mất đối với bất kỳ giá trị nào của các biến từ các biến ODZ đối với biểu thức ban đầu.

Thí dụ.

Rút gọn phân số về mẫu số mới: a) xuống mẫu số a, b) sang mẫu số.

Dung dịch.

a) Trong trường hợp này, khá dễ dàng để tìm ra yếu tố bổ sung nào giúp đạt được kết quả mong muốn. Đây là hệ số của 0,3, vì 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Lưu ý rằng trên phạm vi giá trị cho phép của biến a (đây là tập hợp tất cả các số thực dương) thì bậc a 0,3 không biến mất, do đó, ta có quyền nhân tử số và mẫu số của phân số đã cho với yếu tố bổ sung này:

b) Nhìn kỹ hơn ở mẫu số, bạn có thể thấy rằng

và nhân biểu thức này với sẽ cho tổng các hình lập phương và nghĩa là,. Và đây là mẫu số mới mà chúng ta cần rút gọn phân số ban đầu.

Đây là cách chúng tôi tìm thấy một yếu tố bổ sung. Trên phạm vi giá trị hợp lệ của các biến x và y, biểu thức không biến mất, do đó, chúng ta có thể nhân tử số và mẫu số của phân số với nó:

Bài giải:

Một) , NS) .

Cách viết tắt của phân số chứa lũy thừa cũng không có gì mới: tử số và mẫu số được biểu diễn dưới dạng một số thừa số, đồng thời các thừa số giống nhau của tử số và mẫu số bị hủy bỏ.

Thí dụ.

Rút gọn phân số: a) , NS).

Dung dịch.

a) Trước hết, có thể lấy bớt tử số và mẫu số của hai số 30 và 45, được 15. Ngoài ra, rõ ràng, người ta có thể thực hiện giảm x 0,5 +1 và bằng ... Đây là những gì chúng tôi có:

b) Trong trường hợp này, các thừa số giống nhau ở tử số và mẫu số không được nhìn thấy ngay lập tức. Để có được chúng, bạn sẽ phải thực hiện các phép biến đổi sơ bộ. Trong trường hợp này, trên thực tế, chúng bao gồm mẫu số thành các thừa số theo công thức tính hiệu của các bình phương:

Bài giải:

Một)

NS) .

Rút gọn phân số về mẫu số mới và rút gọn phân số chủ yếu dùng để thực hiện các thao tác với phân số. Các hành động được thực hiện theo các quy tắc đã biết. Khi cộng (trừ) các phân số, chúng được quy về một mẫu số chung, sau đó các tử số được cộng (trừ), và mẫu số vẫn giữ nguyên. Kết quả là một phân số, tử số là tích của các tử số và mẫu số là tích của các mẫu số. Phép chia cho một phân số là phép nhân với nghịch đảo của phân số.

Thí dụ.

Làm theo các bước .

Dung dịch.

Đầu tiên, chúng ta trừ các phân số trong ngoặc đơn. Để làm được điều này, chúng tôi đưa chúng về một mẫu số chung, đó là , sau đó chúng tôi trừ các tử số:

Bây giờ chúng ta nhân các phân số:

Rõ ràng, có thể hủy bỏ theo lũy thừa x 1/2, sau đó chúng ta có .

Bạn cũng có thể đơn giản hóa biểu thức lũy thừa ở mẫu số bằng cách sử dụng công thức bình phương sai khác: .

Bài giải:

Thí dụ.

Đơn giản hóa biểu thức hàm mũ .

Dung dịch.

Rõ ràng, phân số này có thể bị hủy bởi (x 2.7 +1) 2, điều này cho thấy phân số ... Rõ ràng là cần phải làm một việc khác với các bậc của x. Để làm điều này, chúng tôi biến phân số kết quả thành một tích. Điều này mang lại cho chúng tôi cơ hội sử dụng thuộc tính của các độ phân chia với các cơ sở giống nhau: ... Và vào cuối quá trình, chúng tôi chuyển từ sản phẩm cuối cùng thành một phần nhỏ.

Bài giải:

.

Và chúng tôi cũng nói thêm rằng có thể và trong nhiều trường hợp mong muốn chuyển các cấp số nhân có số mũ âm từ tử số sang mẫu số hoặc từ mẫu số sang tử số, thay đổi dấu của số mũ. Các biến đổi như vậy thường đơn giản hóa các hành động tiếp theo. Ví dụ, một biểu thức mũ có thể được thay thế bằng.

Chuyển đổi biểu thức có gốc và lũy thừa

Thường trong các biểu thức yêu cầu một số phép biến đổi, cùng với lũy thừa với số mũ phân số, các căn cũng có mặt. Để biến đổi một biểu thức như vậy thành dạng mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, chỉ cần đi đến gốc hoặc chỉ đến lũy thừa là đủ. Nhưng vì nó thuận tiện hơn để làm việc với độ, chúng thường đi từ gốc đến độ. Tuy nhiên, bạn nên thực hiện quá trình chuyển đổi như vậy khi ODZ của các biến cho biểu thức gốc cho phép bạn thay thế gốc bằng lũy ​​thừa mà không cần tham chiếu đến mô-đun hoặc chia ODV thành nhiều khoảng (chúng tôi đã thảo luận chi tiết về vấn đề này trong Bài báo về quá trình chuyển đổi từ gốc sang quyền hạn và ngược lại. một mức độ với một chỉ số không hợp lý được giới thiệu, điều này làm cho nó có thể nói về một mức độ với một chỉ số thực tùy ý. hàm mũ, được thiết lập một cách phân tích theo mức độ, ở cơ sở là con số và trong chỉ số - biến số. Vì vậy, chúng ta phải đối mặt với các biểu thức hàm mũ chứa các số trong cơ sở của mức độ và trong số mũ - biểu thức với các biến, và tự nhiên nó trở nên cần thiết để thực hiện các phép biến đổi của các biểu thức đó.

Cần nói rằng các phép biến đổi biểu thức dạng này thường phải thực hiện khi giải phương trình mũ và bất bình đẳng hàm mũ và những chuyển đổi này khá đơn giản. Trong phần lớn các trường hợp, chúng dựa trên các thuộc tính của mức độ và chủ yếu nhằm mục đích giới thiệu một biến mới trong tương lai. Chúng ta có thể chứng minh chúng bằng phương trình 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Đầu tiên, mức độ trong đó tổng của một biến (hoặc biểu thức có biến) và một số được tìm thấy được thay thế bằng tích. Điều này áp dụng cho các điều khoản đầu tiên và cuối cùng của biểu thức ở phía bên trái:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Hơn nữa, cả hai vế của đẳng thức đều được chia cho biểu thức 7 2 x, biểu thức này chỉ nhận các giá trị dương trên ODZ của biến x đối với phương trình ban đầu (đây là một kỹ thuật tiêu chuẩn để giải phương trình loại này, chúng tôi không nói về nó ngay bây giờ, vì vậy hãy tập trung vào các phép biến đổi tiếp theo của biểu thức với lũy thừa):

Các phân số có lũy thừa hiện đã bị hủy bỏ, điều này mang lại cho .

Cuối cùng, tỷ lệ độ với cùng số mũ được thay thế bằng quan hệ độ, dẫn đến phương trình tương đương ... Các phép biến đổi đã thực hiện cho phép chúng ta đưa vào một biến mới, biến nghiệm của phương trình mũ ban đầu thành nghiệm của phương trình bậc hai

  • I. V. Boykov, L. D. Romanova Tuyển tập các nhiệm vụ chuẩn bị cho kỳ thi. Phần 1. Penza 2003.

    • Bài và thuyết trình về chủ đề: "Độ bằng chỉ âm. Định nghĩa và ví dụ về giải bài"

    Tài liệu bổ sung
    Người dùng thân mến, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, mong muốn của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bởi một chương trình chống vi-rút.

    Đồ dùng dạy học và trình mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral cho lớp 8
    Sách hướng dẫn sử dụng giáo trình Muravin G.K. Hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa Sh.A. Alimov

    Xác định tung độ với số mũ âm

    Các bạn, bạn và tôi giỏi nâng cao số lượng.
    Ví dụ: $ 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16 $ $ ((- 3)) ^ 3 = (- 3) * (- 3) * (- 3) = 27 $.

    Chúng ta biết rõ rằng bất kỳ số nào ở bậc 0 đều bằng một. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
    Câu hỏi được đặt ra, điều gì sẽ xảy ra nếu con số được nâng lên thành lũy thừa? Ví dụ, số $ 2 ^ (- 2) $ bằng bao nhiêu?
    Các nhà toán học đầu tiên đặt câu hỏi này đã quyết định rằng việc phát minh lại bánh xe là không đáng, và thật tốt là tất cả các thuộc tính của độ vẫn được giữ nguyên. Nghĩa là, khi nhân các độ với cùng một cơ số, các số mũ sẽ được thêm vào.
    Hãy xem xét trường hợp này: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
    Chúng tôi nhận thấy rằng tích của những con số như vậy sẽ cho một. Đơn vị trong tích nhận được bằng cách nhân các số nghịch đảo, nghĩa là, $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

    Lý luận này đã dẫn đến định nghĩa sau đây.
    Sự định nghĩa. Nếu $ n $ là một số tự nhiên và $ a ≠ 0 $ thì đẳng thức là: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

    Một danh tính quan trọng thường được sử dụng: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
    Đặc biệt, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

    Ví dụ giải pháp

    Ví dụ 1.
    Tính: $ 2 ^ (- 3) + (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) -8 ^ (- 1) $.

    Dung dịch.
    Chúng ta hãy xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.
    1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
    2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
    3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
    Nó vẫn để thực hiện các phép tính cộng và trừ: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) $.
    Trả lời: $ 6 \ frac (1) (4) $.

    Ví dụ 2.
    Biểu diễn một số đã cho dưới dạng lũy ​​thừa nguyên tố $ \ frac (1) (729) $.

    Dung dịch.
    Rõ ràng, $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
    Nhưng 729 không phải là số nguyên tố kết thúc bằng 9. Có thể giả định rằng số này là một lũy thừa của ba. Hãy tuần tự chúng ta chia 729 cho 3.
    1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
    2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
    3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
    4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
    5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
    6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
    Sáu phép toán đã được thực hiện, có nghĩa là: $ 729 = 3 ^ 6 $.
    Đối với nhiệm vụ của chúng tôi:
    $729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
    Đáp số: $ 3 ^ (- 6) $.

    Ví dụ 3. Trình bày biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
    Dung dịch. Hành động đầu tiên luôn được thực hiện bên trong dấu ngoặc đơn, sau đó là phép nhân $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = a ^ (-4 - (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
    Trả lời: $ a $.

    Ví dụ 4. Chứng minh danh tính:
    $ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

    Dung dịch.
    Ở bên trái, chúng tôi sẽ xem xét từng yếu tố trong ngoặc đơn riêng biệt.
    1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
    2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
    3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
    4. Hãy chuyển sang phân số mà chúng ta chia.
    $ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
    5. Hãy thực hiện phép chia.
    $ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
    Chúng tôi đã có danh tính chính xác, được yêu cầu để chứng minh.

    Cuối bài, một lần nữa chúng ta sẽ viết lại các quy tắc hoạt động với lũy thừa, ở đây số mũ là một số nguyên.
    $ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
    $ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
    $ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
    $ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
    $ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

    Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

    1. Tính: $ 3 ^ (- 2) + (\ frac (3) (4)) ^ (- 3) +9 ^ (- 1) $.
    2. Biểu diễn một số đã cho dưới dạng lũy ​​thừa nguyên tố $ \ frac (1) (16384) $.
    3. Trình bày biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa:
    $ \ frac (b ^ (- 8) * (b ^ 3) ^ (- 4)) ((b ^ 2 * b ^ (- 7)) ^ 3) $.
    4. Chứng minh danh tính:
    $ (\ frac (b ^ (- m) -c ^ (- m)) (b ^ (- m) + c ^ (- m)) + \ frac (b ^ (- m) + c ^ (- m )) (c ^ (- m) -b ^ (- m))) = \ frac (4) (b ^ mc ^ (- m) -b ^ (- m) c ^ m) $.

    Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tìm ra mức độ... Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa về bậc của một số, đồng thời xem xét chi tiết tất cả các số mũ có thể có, bắt đầu bằng số mũ tự nhiên, kết thúc bằng số vô tỉ. Trong tài liệu, bạn sẽ tìm thấy rất nhiều ví dụ về độ, bao hàm tất cả những điều tinh tế nảy sinh.

    Điều hướng trang.

    Mức độ với số mũ tự nhiên, bình phương của số, lập phương của số

    Hãy bắt đầu với. Nhìn về phía trước, chúng ta nói rằng định nghĩa bậc của một số a với số mũ tự nhiên n được cho cho a, chúng ta sẽ gọi là mức độ cơ bản và n, mà chúng ta sẽ gọi là số mũ... Cũng lưu ý rằng mức độ với một số mũ tự nhiên được xác định thông qua tích, vì vậy để hiểu tài liệu dưới đây, bạn cần phải có một ý tưởng về phép nhân các số.

    Sự định nghĩa.

    Lũy thừa của số a với số mũ tự nhiên n là một biểu thức có dạng a n, giá trị của nó bằng tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a, nghĩa là,.
    Đặc biệt, lũy thừa của một số a với số mũ 1 là chính số a, tức là, a 1 = a.

    Ngay lập tức nó là giá trị đề cập đến các quy tắc đọc độ. Cách phổ biến để đọc bản ghi a n như sau: "a theo lũy thừa của n". Trong một số trường hợp, các tùy chọn sau cũng được chấp nhận: "a đến lũy thừa thứ n" và "lũy thừa thứ n của số a". Ví dụ, chúng ta hãy lấy lũy thừa của 8 12, là "tám đến lũy thừa của mười hai" hoặc "tám đến độ mười hai" hoặc "lũy thừa thứ mười hai của tám".

    Mức độ thứ hai của một số, cũng như mức độ thứ ba của một số, có tên riêng của chúng. Lũy thừa thứ hai của một số được gọi là bình phương của số ví dụ, 7 2 đọc là "bảy bình phương" hoặc "bình phương của số bảy". Lũy thừa thứ ba của một số được gọi là số khối ví dụ: 5 3 có thể được đọc là "khối năm" hoặc nói "khối số 5".

    Đã đến lúc dẫn đầu ví dụ về độ với các chỉ số tự nhiên... Hãy bắt đầu với lũy thừa của 5 7, ở đây 5 là cơ số của lũy thừa, và 7 là số mũ. Hãy đưa ra một ví dụ khác: 4,32 là cơ số, và số tự nhiên 9 là số mũ (4,32) 9.

    Xin lưu ý rằng trong ví dụ cuối cùng, cơ số 4,32 được viết trong ngoặc đơn: để tránh nhầm lẫn, chúng tôi sẽ đặt trong ngoặc đơn tất cả các cơ số của độ khác với số tự nhiên. Ví dụ, chúng tôi đưa ra các mức độ sau đây với các chỉ số tự nhiên , cơ số của chúng không phải là số tự nhiên nên viết trong ngoặc đơn. Vâng, để hoàn toàn rõ ràng trong thời điểm này, chúng ta sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa các phần tử có dạng (−2) 3 và −2 3. Biểu thức (−2) 3 là lũy thừa của −2 với số mũ tự nhiên là 3, và biểu thức −2 3 (có thể viết là - (2 3)) tương ứng với một số, giá trị của lũy thừa 2 3 .

    Lưu ý rằng có một ký hiệu cho bậc của một số a với số mũ n có dạng a ^ n. Hơn nữa, nếu n là số tự nhiên có nhiều giá trị thì số mũ được lấy trong dấu ngoặc đơn. Ví dụ, 4 ^ 9 là một ký hiệu khác cho lũy thừa của 4 9. Và đây là một số ví dụ khác về cách viết độ bằng ký hiệu "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chủ yếu sử dụng ký hiệu bậc của dạng a n.

    Một trong những nhiệm vụ, nghịch đảo của việc nâng lên lũy thừa với số mũ tự nhiên, là vấn đề tìm cơ sở của một mức độ từ một giá trị đã biết của mức độ và một số mũ đã biết. Nhiệm vụ này dẫn đến.

    Đã biết rằng tập hợp các số hữu tỉ bao gồm các số nguyên và các số phân số, và mỗi số phân số có thể được biểu diễn dưới dạng một phân số thông thường dương hoặc âm. Chúng ta đã xác định bậc với một số mũ nguyên trong đoạn trước, do đó, để hoàn thành định nghĩa bậc với số mũ hữu tỉ, chúng ta cần đưa ra ý thức bậc của một số a với số mũ phân số m / n, với m là số nguyên và n là số tự nhiên. Hãy làm nó.

    Hãy xem xét một mức độ với số mũ phân số của biểu mẫu. Để tài sản của mức độ có giá trị, sự bình đẳng phải được thực hiện ... Nếu chúng ta tính đến đẳng thức thu được và cách chúng tôi xác định nó, thì nó là hợp lý để chấp nhận, với điều kiện là đối với m, n và a đã cho, biểu thức có ý nghĩa.

    Dễ dàng xác minh điều đó đối với tất cả các thuộc tính của bậc với số mũ nguyên (điều này được thực hiện trong phần các thuộc tính của bậc với số mũ hữu tỉ).

    Suy luận trên cho phép chúng ta thực hiện những điều sau đây. đầu ra: nếu với m, n cho trước và biểu thức có nghĩa, thì lũy thừa của số a với số mũ phân số m / n được gọi là căn bậc n của a với lũy thừa của m.

    Câu lệnh này đưa chúng ta đến rất gần với việc xác định mức độ với số mũ phân số. Nó vẫn chỉ để mô tả m, n và một biểu thức nào có ý nghĩa. Có hai cách tiếp cận chính phụ thuộc vào các ràng buộc đối với m, n và a.

      Cách dễ nhất là hạn chế a bằng cách giả sử a≥0 đối với m dương và a> 0 đối với m âm (vì đối với m≤0, độ 0 m không được xác định). Sau đó, chúng tôi nhận được định nghĩa sau đây về một số mũ phân số.

      Sự định nghĩa.

      Lũy thừa của một số dương a với một số mũ phân số m / n, với m là số nguyên và n là số tự nhiên, được gọi là căn thứ n của số a với lũy thừa của m, nghĩa là,.

      Công suất phân số bằng 0 cũng được xác định với điều kiện duy nhất là chỉ báo phải dương.

      Sự định nghĩa.

      Lũy thừa 0 với số mũ phân số dương m / n, trong đó m là số nguyên dương và n là số tự nhiên, được định nghĩa là .
      Khi mức độ không được xác định, nghĩa là, mức độ của một số 0 với số mũ âm phân số không có ý nghĩa.

      Cần lưu ý rằng với định nghĩa như vậy về bậc với số mũ phân số, có một sắc thái: đối với một số âm a và một số m và n, biểu thức có ý nghĩa, và chúng tôi loại bỏ các trường hợp này bằng cách đưa ra điều kiện a≥0. Ví dụ, rất hợp lý khi viết hoặc, và định nghĩa được đưa ra ở trên buộc chúng ta phải nói rằng độ với số mũ phân số của dạng không có ý nghĩa, vì cơ sở không được tiêu cực.

      Một cách tiếp cận khác để xác định số mũ với số mũ phân số m / n là xem xét riêng lẻ các số mũ chẵn và lẻ của căn. Cách tiếp cận này yêu cầu một điều kiện bổ sung: bậc của số a, chỉ số của nó, được coi là lũy thừa của số a, chỉ số của nó là phân số bất khả quy tương ứng (tầm quan trọng của điều kiện này sẽ được giải thích bên dưới). Tức là, nếu m / n là phân số bất khả quy thì với bất kỳ số tự nhiên k nào, bậc được thay sơ bộ bằng.

      Đối với n chẵn và m dương, biểu thức có ý nghĩa với mọi a không âm (căn chẵn của số âm không có nghĩa), đối với m âm, số a vẫn phải là số khác (nếu không sẽ có phép chia cho 0 ). Và đối với n lẻ và m dương, số a có thể là bất kỳ (căn bậc lẻ được xác định cho bất kỳ số thực nào), và đối với m âm, số a phải khác không (để không có phép chia cho số 0) .

      Suy luận trên dẫn chúng ta đến một định nghĩa như vậy về mức độ với số mũ phân số.

      Sự định nghĩa.

      Gọi m / n là phân số bất khả quy, m là số nguyên và n là số tự nhiên. Đối với bất kỳ phân số có thể hủy bỏ nào, số mũ được thay thế bằng. Lũy thừa của một số với một số mũ phân số bất khả quy m / n là cho

      Hãy để chúng tôi giải thích tại sao một mức độ với số mũ phân số giảm được trước đây được thay thế bằng một mức độ có số mũ bất khả quy. Nếu chúng ta chỉ đơn giản xác định bậc là, và không bảo lưu về tính bất khả quy của phân số m / n, thì chúng ta sẽ phải đối mặt với các tình huống tương tự như sau: vì 6/10 = 3/5, nên đẳng thức sẽ được giữ nguyên. , nhưng , Một .

    Trong một trong những bài viết trước, chúng tôi đã đề cập đến mức độ của số. Hôm nay chúng ta sẽ cố gắng định hướng cho mình trong quá trình tìm kiếm ý nghĩa của nó. Nói một cách khoa học, chúng ta sẽ tìm ra cách tính lũy thừa đúng cách. Chúng tôi sẽ tìm ra cách thức thực hiện quá trình này, đồng thời chúng tôi sẽ đánh giá tất cả các chỉ số có thể có về mức độ: tự nhiên, phi lý, hợp lý, toàn bộ.

    Vì vậy, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các giải pháp của các ví dụ và tìm hiểu ý nghĩa của nó:

    1. Định nghĩa khái niệm.
    2. Nâng tầm nghệ thuật âm bản.
    3. Toàn bộ chỉ số.
    4. Nâng một số thành lũy thừa phi lý.

    Định nghĩa khái niệm

    Dưới đây là một định nghĩa phản ánh chính xác ý nghĩa: "Luỹ thừa là định nghĩa về ý nghĩa của lũy thừa của một số."

    Theo đó, nâng số a lên Art. r và quá trình tìm giá trị của số mũ a với số mũ r là hai khái niệm giống hệt nhau. Ví dụ: nếu nhiệm vụ là tính giá trị của lũy thừa (0,6) 6 ″, thì nó có thể được đơn giản hóa thành biểu thức “Nâng số 0,6 lên lũy thừa 6”.

    Sau đó, bạn có thể tiến hành trực tiếp các quy tắc xây dựng.

    Lũy thừa âm

    Để rõ ràng, bạn nên chú ý đến chuỗi biểu thức sau:

    110 = 0,1 = 1 * 10 trong trừ 1 st.,

    1100 = 0,01 = 1 * 10 trừ 2 bước.,

    11000 = 0,0001 = 1 * 10 trừ 3 st.,

    110000 = 0,00001 = 1 * 10 trong âm 4 độ.

    Nhờ những ví dụ này, bạn có thể thấy rõ khả năng tính toán ngay lập tức 10 cho bất kỳ lũy thừa nào. Vì mục đích này, việc thay đổi thành phần thập phân là khá khó khăn:

    • 10 đến -1 độ - trước đơn vị 1 số 0;
    • tại -3 - ba số không trước một;
    • trong -9 là 9 số không, v.v.

    Cũng dễ hiểu theo sơ đồ này, 10 đến trừ 5 muỗng canh sẽ là bao nhiêu. -

    1100000=0,000001=(1*10)-5.

    Làm thế nào để nâng cao một số tự nhiên

    Nhắc lại định nghĩa, chúng ta lưu ý rằng số tự nhiên a trong Nghệ thuật. n bằng tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a. Hãy minh họa: (a * a * ... a) n, với n là số các số được nhân. Theo đó, để nâng từ a lên n, cần tính tích có dạng sau: a * a * ... và chia cho n lần.

    Từ đó trở nên rõ ràng rằng dựng trong nghệ thuật tự nhiên. dựa vào khả năng nhân lên(Tài liệu này được đề cập trong phần nhân các số thực). Hãy xem xét vấn đề:

    Dựng -2 ở st thứ 4.

    Chúng tôi đang đối phó với một chỉ báo tự nhiên. Theo đó, quá trình quyết định sẽ như sau: (-2) trong lĩnh vực nghệ thuật. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Bây giờ nó chỉ còn để thực hiện phép nhân các số nguyên: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Chúng tôi nhận được 16.

    Câu trả lời cho vấn đề:

    (-2) trong nghệ thuật. 4 = 16.

    Thí dụ:

    Tính giá trị: ba điểm hai phần tử bình phương.

    Ví dụ này bằng tích sau: ba phẩy hai bảy mươi nhân với ba phẩy hai bảy mươi. Ghi nhớ cách thực hiện phép nhân hỗn số, chúng ta hoàn thành việc xây dựng:

    • 3 phẩy 2 bảy nhân với chính nó;
    • bằng 23 phần bảy nhân với 23 phần bảy;
    • bằng 529 bốn mươi chín;
    • viết tắt và nhận được 10 ba mươi chín bốn mươi chín.

    Bài giải: 10 39/49

    Đối với câu hỏi nâng cao thành một chỉ số không hợp lý, cần lưu ý rằng các phép tính bắt đầu được thực hiện sau khi hoàn thành việc làm tròn sơ bộ cơ sở của mức độ đối với bất kỳ loại nào cho phép thu được một giá trị với độ chính xác nhất định. Ví dụ, chúng ta cần bình phương số P (pi).

    Chúng ta bắt đầu bằng cách làm tròn số P đến hàng trăm và nhận được:

    P bình phương = (3,14) 2 = 9,8596. Tuy nhiên, nếu chúng ta giảm P xuống một phần nghìn, chúng ta nhận được P = 3,14159. Sau đó bình phương thu được một số hoàn toàn khác: 9,8695877281.

    Ở đây cần lưu ý rằng trong nhiều bài toán, không cần thiết phải nâng các số vô tỉ lên một lũy thừa. Theo quy tắc, câu trả lời được viết dưới dạng bậc, ví dụ, căn của 6 thành lũy thừa của 3, hoặc, nếu biểu thức cho phép, phép biến đổi của nó được thực hiện: căn của 5 thành lũy thừa 7 = 125 căn của 5.

    Cách nâng một số thành lũy thừa toàn phần

    Thao tác đại số này là thích hợp tính đến các trường hợp sau:

    • cho các số nguyên;
    • cho một chỉ báo số không;
    • cho một chỉ số tích cực hoàn toàn.

    Vì thực tế tất cả các số nguyên dương đều trùng với khối lượng của các số tự nhiên, nên việc đặt thành lũy thừa số nguyên dương cũng giống như quá trình thiết lập trong Art. tự nhiên. Chúng tôi đã mô tả quá trình này trong đoạn trước.

    Bây giờ hãy nói về Nghệ thuật tính toán. vô giá trị. Ở trên, chúng tôi đã phát hiện ra rằng độ 0 của số a có thể được xác định cho bất kỳ số khác không a (thực), trong khi a trong Nghệ thuật. 0 sẽ bằng 1.

    Theo đó, nâng bất kỳ số thực nào lên số không. sẽ cho một.

    Ví dụ: 10 ở st. 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 và 0 ở st. 0 không thể được xác định.

    Để hoàn thành việc nâng lên lũy thừa số nguyên, bạn vẫn phải quyết định các tùy chọn cho các giá trị nguyên âm. Chúng tôi nhớ rằng Nghệ thuật. từ a với số mũ nguyên -z sẽ được định nghĩa là một phân số. Mẫu số của phân số là Art. với một giá trị nguyên dương, giá trị mà chúng ta đã học để tìm. Bây giờ nó vẫn chỉ để xem xét một ví dụ về xây dựng.

    Thí dụ:

    Tính giá trị của số 2 trong một hình lập phương với số mũ nguyên âm.

    Quy trình giải pháp:

    Theo định nghĩa của một mức độ với một chỉ số âm, chúng tôi biểu thị: hai ở trừ 3 muỗng canh. bằng một đến hai ở mức độ thứ ba.

    Mẫu số được tính đơn giản: hai khối;

    3 = 2*2*2=8.

    Bài giải: hai trong trừ 3 muỗng canh. = một phần tám.

    Băng hình

    Video này sẽ hướng dẫn bạn phải làm gì nếu mức độ âm.

    Để chia sẻ với bạn bè:
    Các ấn phẩm tương tự