sin của b là gì. sin là gì và cosin là phần trăm. Mối quan hệ với các hàm lượng giác khác

Tôi nghĩ bạn xứng đáng được nhiều hơn thế. Đây là chìa khóa của tôi để lượng giác:

• Vẽ mái vòm, tường và trần nhà
• Các hàm lượng giác không là gì ngoài tỷ lệ phần trăm của ba dạng này.

Ẩn dụ cho sin và cosin: mái vòm

Thay vì chỉ nhìn vào các hình tam giác, hãy tưởng tượng chúng hoạt động bằng cách tìm một số ví dụ thực tế cụ thể.

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở giữa một mái vòm và muốn treo một màn hình máy chiếu phim lên. Bạn chỉ tay vào mái vòm ở một góc "x" nào đó và một màn hình sẽ được treo từ điểm đó.

Góc bạn chỉ để xác định:

• sin(x) = sin(x) = chiều cao màn hình (điểm gắn từ sàn đến mái vòm)
• cosine(x) = cos(x) = khoảng cách từ bạn đến màn hình (theo tầng)
• cạnh huyền, khoảng cách từ bạn đến đỉnh màn hình, luôn bằng nhau, bằng bán kính của mái vòm

Bạn có muốn màn hình càng lớn càng tốt? Treo nó ngay phía trên bạn.

Bạn có muốn màn hình treo càng xa bạn càng tốt không? Treo thẳng vuông góc. Màn hình sẽ có chiều cao bằng 0 tại vị trí này và sẽ treo về phía sau như bạn yêu cầu.

Chiều cao và khoảng cách so với màn hình tỷ lệ nghịch: màn hình treo càng gần thì chiều cao của màn hình càng cao.

Sine và cosine là phần trăm

Than ôi, không ai trong những năm học của tôi giải thích cho tôi rằng các hàm lượng giác sin và cosin chẳng là gì ngoài tỷ lệ phần trăm. Giá trị của chúng nằm trong khoảng từ +100% đến 0 đến -100% hoặc từ mức tối đa dương đến 0 đến mức tối đa âm.

Giả sử tôi đã nộp thuế 14 rúp. Bạn không biết nó là bao nhiêu. Nhưng nếu bạn nói rằng tôi đã trả 95% tiền thuế, bạn sẽ hiểu rằng tôi chỉ đơn giản là bị lột da như keo.

Chiều cao tuyệt đối có nghĩa là không có gì. Nhưng nếu giá trị sin là 0,95, thì tôi hiểu rằng TV gần như được treo trên mái vòm của bạn. Nó sẽ sớm đạt đến độ cao tối đa ở trung tâm của mái vòm, và sau đó lại bắt đầu giảm xuống.

Làm thế nào chúng ta có thể tính toán tỷ lệ phần trăm này? Rất đơn giản: chia chiều cao màn hình hiện tại cho mức tối đa có thể (bán kính của mái vòm, còn được gọi là cạnh huyền).

đó là lý do tại sao chúng ta được biết rằng “cosine = cạnh đối diện / cạnh huyền”. Đây là tất cả để có được một tỷ lệ phần trăm! Cách tốt nhất để xác định sin là "tỷ lệ phần trăm của chiều cao hiện tại từ mức tối đa có thể". (Sine trở nên âm nếu góc của bạn chỉ "dưới đất". Cosin trở nên âm nếu góc hướng tới điểm mái vòm phía sau bạn.)

Hãy đơn giản hóa các tính toán bằng cách giả sử rằng chúng ta đang ở tâm của vòng tròn đơn vị (bán kính = 1). Chúng ta có thể bỏ qua phép chia và chỉ lấy sin bằng chiều cao.

Trên thực tế, mỗi vòng tròn là một vòng tròn duy nhất, được mở rộng hoặc giảm tỷ lệ theo kích thước mong muốn. Vì vậy, hãy xác định các mối quan hệ trên vòng tròn đơn vị và áp dụng kết quả cho kích thước vòng tròn cụ thể của bạn.

Thử nghiệm: lấy bất kỳ góc nào và xem nó hiển thị bao nhiêu phần trăm chiều cao so với chiều rộng:

Biểu đồ tăng trưởng giá trị của sin không chỉ là một đường thẳng. 45 độ đầu tiên bao phủ 70% chiều cao và 10 độ cuối cùng (từ 80° đến 90°) chỉ bao phủ 2%.

Điều này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn: nếu bạn đi theo vòng tròn, ở 0 °, bạn tăng gần như thẳng đứng, nhưng khi bạn tiến gần đến đỉnh của mái vòm, chiều cao ngày càng thay đổi ít hơn.

Tiếp tuyến và secant. Tường

Một hôm người hàng xóm xây bức tường quay lại ngayđến mái vòm của bạn. Khóc xem cửa sổ của bạn và giá bán lại tốt!

Nhưng có thể bằng cách nào đó để giành chiến thắng trong tình huống này?

Tất nhiên là có. Nếu chúng ta treo màn hình chiếu phim ngay trên tường nhà hàng xóm thì sao? Bạn nhắm vào góc (x) và nhận được:

• tan(x) = tan(x) = chiều cao màn hình trên tường
• khoảng cách từ bạn đến bức tường: 1 (đây là bán kính mái vòm của bạn, bức tường không di chuyển khỏi bạn, phải không?)
• secant(x) = sec(x) = “chiều dài của thang” từ bạn đứng ở giữa mái vòm đến đỉnh của màn hình treo

Hãy làm rõ một số điều về tiếp tuyến hoặc chiều cao màn hình.

• nó bắt đầu từ 0 và có thể tăng cao vô hạn. Bạn có thể kéo dài màn hình ngày càng cao hơn trên tường để có được một bức tranh vô tận để xem bộ phim yêu thích của mình! (Đối với một cái lớn như vậy, tất nhiên, bạn sẽ phải chi rất nhiều tiền).
• tiếp tuyến chỉ là một phiên bản mở rộng của sin! Và trong khi sự phát triển của hình sin chậm lại khi bạn di chuyển về phía đỉnh của mái vòm, thì tiếp tuyến vẫn tiếp tục phát triển!

Sekansu cũng có vài điều để khoe:

• secant bắt đầu từ 1 (thang nằm trên sàn, cách xa bạn về phía bức tường) và bắt đầu đi lên từ đó
• Cát tuyến luôn dài hơn tiếp tuyến. Cái thang dốc mà bạn treo màn hình cần phải dài hơn bản thân màn hình, phải không? (Ở kích thước không thực tế, khi màn hình quá dài và thang cần được đặt gần như thẳng đứng, kích thước của chúng gần như giống nhau. Nhưng ngay cả khi đó, secant sẽ dài hơn một chút).

Hãy nhớ các giá trị là phần trăm. Nếu bạn quyết định treo màn hình ở góc 50 độ, tan(50)=1,19. Màn hình của bạn lớn hơn 19% so với khoảng cách đến tường (bán kính vòm).

(Nhập x=0 và kiểm tra trực giác của bạn - tan(0) = 0 và sec(0) = 1.)

Cotang và cosecant. Trần nhà

Thật đáng kinh ngạc, hàng xóm của bạn giờ đã quyết định xây trần nhà trên mái vòm của bạn. (Có chuyện gì với anh ta vậy? Anh ta rõ ràng không muốn bạn nhìn trộm anh ta khi anh ta đi dạo quanh sân trần truồng...)

Chà, đã đến lúc xây lối thoát hiểm lên mái nhà và nói chuyện với hàng xóm. Bạn chọn góc nghiêng, và bắt đầu xây dựng:

• khoảng cách thẳng đứng giữa cửa xả mái và sàn luôn là 1 (bán kính của mái vòm)
• cotang(x) = cot(x) = khoảng cách giữa đỉnh vòm và điểm thoát
• cosecant(x) = csc(x) = chiều dài đường dẫn lên mái nhà của bạn

Tiếp tuyến và secant mô tả bức tường, trong khi cotang và cosecant mô tả sàn nhà.

Kết luận trực quan của chúng tôi lần này tương tự như những lần trước:

• Nếu bạn nghiêng một góc 0°, lối ra mái nhà của bạn sẽ kéo dài mãi mãi vì nó sẽ không bao giờ chạm tới trần nhà. Vấn đề.
• "Cầu thang" ngắn nhất lên mái nhà sẽ thu được nếu bạn xây dựng nó ở một góc 90 độ so với sàn nhà. Cotang sẽ bằng 0 (chúng ta hoàn toàn không di chuyển dọc theo mái nhà, chúng ta thoát ra hoàn toàn vuông góc) và cosecant sẽ bằng 1 (“chiều dài của thang” sẽ là nhỏ nhất).

Trực quan hóa các kết nối

Nếu cả ba trường hợp được vẽ dưới dạng kết hợp mái vòm-tường-sàn, sẽ thu được kết quả sau:

Ồ, ồ, tất cả đều là cùng một hình tam giác, được phóng to lên để chạm tới tường và trần nhà. Chúng ta có các cạnh thẳng đứng (sin, tiếp tuyến), các cạnh nằm ngang (cosine, cotang) và “các cạnh huyền” (secant, cosecant). (Bạn có thể thấy từ các mũi tên khoảng cách mà mỗi phần tử đạt được. Cosecant là tổng khoảng cách từ bạn đến mái nhà).

Một chút ma thuật. Tất cả các tam giác đều có chung các điểm bằng nhau:

Từ định lý Pitago (a 2 + b 2 = c 2) chúng ta thấy các cạnh của mỗi tam giác được nối với nhau như thế nào. Ngoài ra, tỷ lệ chiều cao trên chiều rộng cũng phải giống nhau đối với tất cả các hình tam giác. (Chỉ cần chuyển từ hình tam giác lớn nhất sang hình tam giác nhỏ hơn. Đúng, kích thước đã thay đổi, nhưng tỷ lệ các cạnh sẽ không thay đổi).

Biết cạnh nào trong mỗi tam giác bằng 1 (bán kính của vòm), ta dễ dàng tính được "sin/cos = tan/1".

Tôi đã luôn cố gắng ghi nhớ những sự kiện này thông qua hình dung đơn giản. Trong hình, bạn có thể thấy rõ những phụ thuộc này và hiểu chúng đến từ đâu. Kỹ thuật này tốt hơn nhiều so với việc ghi nhớ các công thức khô khan.

Đừng Quên Góc Khác

Suỵt… Không cần phải treo trên một biểu đồ, nghĩ rằng tiếp tuyến luôn nhỏ hơn 1. Nếu bạn tăng góc, bạn có thể chạm tới trần nhà mà không chạm tới tường:

Các kết nối Pythagore luôn hoạt động, nhưng kích thước tương đối có thể khác nhau.

(Bạn có thể nhận thấy rằng tỷ số của sin và cosin luôn nhỏ nhất vì chúng được bao bọc trong một hình vòm.)

Tóm lại: chúng ta cần nhớ điều gì?

Đối với hầu hết chúng ta, tôi sẽ nói rằng điều này là đủ:

• lượng giác giải thích giải phẫu của các đối tượng toán học như đường tròn và khoảng thời gian lặp lại
• sự tương tự mái vòm/tường/mái nhà cho thấy mối quan hệ giữa các hàm lượng giác khác nhau
• kết quả của các hàm lượng giác là tỷ lệ phần trăm mà chúng tôi áp dụng cho kịch bản của mình.

Bạn không cần phải ghi nhớ các công thức như 1 2 + cot 2 = csc 2 . Chúng chỉ thích hợp cho các bài kiểm tra ngu ngốc trong đó kiến ​​​​thức về một sự kiện được trình bày dưới dạng hiểu biết về nó. Hãy dành một phút để vẽ một hình bán nguyệt ở dạng mái vòm, tường và mái nhà, ký tên vào các phần tử và tất cả các công thức sẽ được yêu cầu cho bạn trên giấy.

Ứng dụng: Hàm nghịch đảo

Bất kỳ hàm lượng giác nào cũng lấy một góc làm đầu vào và trả về kết quả dưới dạng phần trăm. tội lỗi(30) = 0,5. Điều này có nghĩa là góc 30 độ chiếm 50% chiều cao tối đa.

Hàm lượng giác nghịch đảo được viết là sin -1 hoặc arcsin (“arxine”). Nó cũng thường được viết asin bằng các ngôn ngữ lập trình khác nhau.

Nếu chiều cao của chúng ta bằng 25% chiều cao của mái vòm thì góc của chúng ta là bao nhiêu?

Trong bảng tỷ lệ của chúng tôi, bạn có thể tìm thấy tỷ lệ trong đó cát tuyến chia cho 1. Ví dụ: cát tuyến bằng 1 (cạnh huyền so với phương ngang) sẽ bằng 1 chia cho cosin:

Giả sử secant của chúng ta là 3,5, tức là 350% bán kính đường tròn đơn vị. Giá trị này tương ứng với góc nghiêng của tường nào?

Phụ lục: Một số ví dụ

Nhiệm vụ nhàm chán. Chúng ta hãy phức tạp hóa tầm thường “tìm sin” thành “Chiều cao tính theo phần trăm của giá trị tối đa (cạnh huyền) là bao nhiêu?”.

Đầu tiên, lưu ý rằng hình tam giác được xoay. Chẳng có vấn đề gì với việc đấy cả. Hình tam giác cũng có chiều cao, nó được thể hiện bằng màu xanh lục trong hình.

cạnh huyền bằng bao nhiêu? Theo định lý Pythagore, chúng ta biết rằng:

3 2 + 4 2 = cạnh huyền 2 25 = cạnh huyền 2 5 = cạnh huyền

Tốt! Sin là tỷ lệ phần trăm của chiều cao từ cạnh dài nhất của tam giác, hoặc cạnh huyền. Trong ví dụ của chúng tôi, sin là 3/5 hoặc 0,60.

Tất nhiên, chúng ta có thể đi theo nhiều cách. Bây giờ chúng ta biết rằng sin là 0,60 và chúng ta có thể tìm arcsine một cách đơn giản:

Asin(0,6)=36,9

Và đây là một cách tiếp cận khác. Lưu ý rằng tam giác là "mặt đối mặt với bức tường", vì vậy chúng ta có thể sử dụng tiếp tuyến thay vì sin. Chiều cao là 3, khoảng cách đến tường là 4, vì vậy tiếp tuyến là ¾ hoặc 75%. Chúng ta có thể sử dụng tiếp tuyến của cung để đi từ tỷ lệ phần trăm trở lại góc:

Tân = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Ví dụ: Bạn sẽ bơi vào bờ chứ?

Bạn đang ở trong một chiếc thuyền và bạn có đủ nhiên liệu để đi được 2 km. Bây giờ bạn đang cách bờ biển 0,25 km. Bạn có thể bơi vào bờ ở góc tối đa bao nhiêu để có đủ nhiên liệu? Bổ sung thêm điều kiện của bài toán: ta chỉ có bảng giá trị cung cosin.

Chúng ta có gì? Đường bờ biển có thể được biểu diễn dưới dạng “bức tường” trong tam giác nổi tiếng của chúng ta và “chiều dài của cầu thang” gắn vào tường có thể được biểu thị bằng khoảng cách tối đa có thể đi bằng thuyền đến bờ biển (2 km). Một secant xuất hiện.

Trước tiên, bạn cần chuyển sang tỷ lệ phần trăm. Ta có 2/0,25 = 8, nghĩa là bơi được 8 lần quãng đường thẳng vào bờ (hoặc vào tường).

Câu hỏi đặt ra là "secant 8 là gì?". Nhưng chúng ta không thể đưa ra câu trả lời cho nó, vì chúng ta chỉ có cung cosin.

Chúng tôi sử dụng các phụ thuộc dẫn xuất trước đây của mình để ánh xạ secant thành cosin: “sec/1 = 1/cos”

Sec của 8 bằng cosin của ⅛. Góc có cosin ⅛ là acos(1/8) = 82,8. Và đây là góc nghiêng lớn nhất mà chúng ta có thể mua được trên một chiếc thuyền với lượng nhiên liệu quy định.

Không tệ, phải không? Nếu không có sự tương tự mái vòm-tường-trần, tôi sẽ bối rối trong một đống công thức và phép tính. Việc trực quan hóa vấn đề giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tìm kiếm giải pháp, bên cạnh đó, thật thú vị khi xem hàm lượng giác nào cuối cùng sẽ giúp ích.

Đối với mỗi nhiệm vụ, hãy suy nghĩ như sau: tôi có quan tâm đến mái vòm (sin/cos), bức tường (tan/sec) hay trần nhà (cũi/csc) không?

Và lượng giác sẽ trở nên dễ chịu hơn nhiều. tính toán dễ dàng cho bạn!

Một trong những nhánh toán học mà học sinh gặp khó khăn lớn nhất là lượng giác. Không có gì lạ: để tự do nắm vững lĩnh vực kiến ​​​​thức này, bạn cần có tư duy không gian, khả năng tìm sin, cosin, tiếp tuyến, cotang bằng công thức, đơn giản hóa biểu thức và có thể sử dụng số pi trong các phép tính. Ngoài ra, bạn cần có khả năng áp dụng lượng giác khi chứng minh các định lý và điều này đòi hỏi trí nhớ toán học phát triển hoặc khả năng suy luận các chuỗi logic phức tạp.

Nguồn gốc của lượng giác

Làm quen với môn khoa học này nên bắt đầu với định nghĩa về sin, cosin và tang của góc, nhưng trước tiên bạn cần tìm hiểu xem lượng giác nói chung làm gì.

Về mặt lịch sử, tam giác vuông là đối tượng nghiên cứu chính trong phần khoa học toán học này. Sự hiện diện của một góc 90 độ giúp có thể thực hiện các thao tác khác nhau cho phép xác định giá trị của tất cả các tham số của hình đang xem xét bằng cách sử dụng hai cạnh và một góc hoặc hai góc và một cạnh. Trước đây, mọi người đã chú ý đến mô hình này và bắt đầu tích cực sử dụng nó trong việc xây dựng các tòa nhà, điều hướng, thiên văn học và thậm chí cả nghệ thuật.

Giai đoạn đầu

Ban đầu, mọi người chỉ nói về mối quan hệ của các góc và cạnh trên ví dụ về tam giác vuông. Sau đó, các công thức đặc biệt đã được phát hiện giúp mở rộng ranh giới sử dụng trong cuộc sống hàng ngày của phần toán học này.

Nghiên cứu về lượng giác ở trường ngày nay bắt đầu với các tam giác vuông, sau đó kiến ​​​​thức thu được được học sinh sử dụng trong vật lý và giải các phương trình lượng giác trừu tượng, công việc bắt đầu từ trường trung học.

lượng giác mặt cầu

Sau đó, khi khoa học đạt đến trình độ phát triển tiếp theo, các công thức sin, cosin, tiếp tuyến, cotang bắt đầu được sử dụng trong hình học cầu, áp dụng các quy tắc khác và tổng các góc trong một tam giác luôn lớn hơn 180 độ. Phần này không được nghiên cứu ở trường, nhưng cần phải biết về sự tồn tại của nó, ít nhất là vì bề mặt trái đất và bề mặt của bất kỳ hành tinh nào khác là lồi, có nghĩa là bất kỳ dấu vết bề mặt nào cũng sẽ có dạng "hình vòng cung" trong không gian ba chiều.

Lấy quả địa cầu và sợi chỉ. Gắn sợi chỉ vào hai điểm bất kỳ trên quả địa cầu sao cho căng. Hãy chú ý - nó đã có hình dạng của một vòng cung. Chính với các dạng như vậy mà hình học cầu, được sử dụng trong trắc địa, thiên văn học, và các lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng khác, đề cập đến.

tam giác vuông

Sau khi tìm hiểu một chút về cách sử dụng lượng giác, chúng ta hãy quay lại lượng giác cơ bản để hiểu thêm sin, cosin, tiếp tuyến là gì, những phép tính nào có thể được thực hiện với sự trợ giúp của chúng và sử dụng công thức nào.

Bước đầu nắm được các khái niệm liên quan đến tam giác vuông. Đầu tiên, cạnh huyền là cạnh đối diện với góc 90 độ. Cô ấy là người dài nhất. Chúng ta nhớ rằng, theo định lý Pythagore, trị số của nó bằng căn của tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Ví dụ: nếu hai cạnh lần lượt là 3 và 4 cm thì độ dài của cạnh huyền sẽ là 5 cm. Nhân tiện, người Ai Cập cổ đại đã biết về điều này khoảng bốn nghìn rưỡi năm trước.

Hai cạnh còn lại tạo thành một góc vuông được gọi là chân. Ngoài ra, chúng ta phải nhớ rằng tổng các góc trong một tam giác trong hệ tọa độ hình chữ nhật là 180 độ.

Sự định nghĩa

Cuối cùng, với sự hiểu biết chắc chắn về cơ sở hình học, chúng ta có thể chuyển sang định nghĩa sin, cosin và tang của một góc.

Sin của một góc là tỷ lệ của cạnh đối diện (tức là cạnh đối diện với góc mong muốn) với cạnh huyền. Cosin của một góc là tỷ số của cạnh kề với cạnh huyền.

Hãy nhớ rằng cả sin và cosin đều không thể lớn hơn một! Tại sao? Vì cạnh huyền mặc định là dài nhất, cạnh huyền dài bao nhiêu thì cũng sẽ ngắn hơn cạnh huyền bấy nhiêu, nghĩa là tỉ số của chúng sẽ luôn nhỏ hơn 1. Do đó, nếu bạn nhận được một sin hoặc cosin có giá trị lớn hơn 1 trong câu trả lời cho vấn đề, hãy tìm lỗi trong tính toán hoặc suy luận. Câu trả lời này rõ ràng là sai.

Cuối cùng, tiếp tuyến của một góc là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh kề. Kết quả tương tự sẽ cho phép chia sin cho cosin. Nhìn: theo công thức, chúng ta chia độ dài của cạnh cho cạnh huyền, sau đó chúng ta chia cho độ dài của cạnh thứ hai và nhân với cạnh huyền. Do đó, chúng ta có được tỷ lệ tương tự như trong định nghĩa về tiếp tuyến.

Cotang tương ứng là tỷ số của cạnh kề với góc so với cạnh đối diện. Ta được kết quả tương tự khi chia đơn vị cho tiếp tuyến.

Vì vậy, chúng tôi đã xem xét các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là gì và chúng tôi có thể xử lý các công thức.

Các công thức đơn giản nhất

Trong lượng giác, người ta không thể làm gì nếu không có công thức - làm thế nào để tìm sin, cosin, tiếp tuyến, cotang mà không có chúng? Và đây chính xác là những gì được yêu cầu khi giải quyết vấn đề.

Công thức đầu tiên mà bạn cần biết khi bắt đầu học lượng giác là tổng bình phương sin và cosin của một góc bằng một. Công thức này là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore, nhưng nó giúp tiết kiệm thời gian nếu bạn muốn biết giá trị của góc chứ không phải cạnh.

Nhiều học sinh không nhớ được công thức thứ hai, cũng là công thức rất phổ biến khi giải toán ở trường: tổng của một và bình phương một tiếp tuyến của một góc bằng một chia cho bình phương cosin của góc. Hãy xem xét kỹ hơn: xét cho cùng, đây là mệnh đề giống như trong công thức đầu tiên, chỉ có bình phương của cosin chia cho cả hai vế của đẳng thức. Nó chỉ ra rằng một phép toán đơn giản làm cho công thức lượng giác hoàn toàn không thể nhận ra. Hãy nhớ rằng: biết sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là gì, các quy tắc chuyển đổi và một vài công thức cơ bản, bất cứ lúc nào bạn cũng có thể tự mình rút ra các công thức phức tạp hơn cần thiết trên một tờ giấy.

Công thức góc kép và cộng các đối số

Hai công thức nữa mà bạn cần học liên quan đến giá trị của sin và cosin cho tổng và hiệu của các góc. Chúng được thể hiện trong hình bên dưới. Xin lưu ý rằng trong trường hợp đầu tiên, sin và cosin được nhân cả hai lần và trong trường hợp thứ hai, tích theo cặp của sin và cosin được cộng vào.

Ngoài ra còn có các công thức liên quan đến các đối số góc kép. Chúng hoàn toàn bắt nguồn từ những cái trước đó - theo thông lệ, hãy cố gắng tự lấy chúng, lấy góc alpha bằng góc beta.

Cuối cùng, lưu ý rằng các công thức góc đôi có thể được chuyển đổi để hạ thấp mức độ của sin, cosin, tiếp tuyến alpha.

định lý

Hai định lý chính trong lượng giác cơ bản là định lý sin và định lý cosin. Với sự trợ giúp của các định lý này, bạn có thể dễ dàng hiểu cách tìm sin, cosin và tiếp tuyến, cũng như diện tích của hình và kích thước của mỗi cạnh, v.v.

Định lý sin phát biểu rằng khi chia độ dài của mỗi cạnh của tam giác cho giá trị của góc đối diện, chúng ta sẽ nhận được cùng một số. Hơn nữa, số này sẽ bằng hai bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tức là đường tròn chứa tất cả các điểm của tam giác đã cho.

Định lý cosin tổng quát hóa định lý Pytago, chiếu nó lên bất kỳ tam giác nào. Nó chỉ ra rằng từ tổng bình phương của hai cạnh, trừ tích của chúng nhân với cosin kép của góc kề với chúng - giá trị kết quả sẽ bằng bình phương của cạnh thứ ba. Do đó, định lý Pythagore hóa ra là một trường hợp đặc biệt của định lý cosin.

Sai lầm do không chú ý

Ngay cả khi biết sin, cosin và tiếp tuyến là gì, bạn vẫn dễ mắc lỗi do đãng trí hoặc mắc lỗi trong các phép tính đơn giản nhất. Để tránh những sai lầm như vậy, hãy làm quen với những lỗi phổ biến nhất trong số chúng.

Đầu tiên, bạn không nên chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân cho đến khi có kết quả cuối cùng - bạn có thể để đáp án ở dạng phân số thông thường, trừ khi điều kiện quy định khác. Sự biến đổi như vậy không thể gọi là sai lầm, nhưng cần nhớ rằng ở mỗi giai đoạn của vấn đề, những gốc rễ mới có thể xuất hiện, theo ý tưởng của tác giả, nên giảm bớt. Trong trường hợp này, bạn sẽ lãng phí thời gian cho các phép toán không cần thiết. Điều này đặc biệt đúng đối với các giá trị như gốc của ba hoặc hai, vì chúng xuất hiện trong các tác vụ ở mọi bước. Điều tương tự cũng áp dụng cho việc làm tròn số "xấu xí".

Hơn nữa, lưu ý rằng định lý cosin áp dụng cho bất kỳ tam giác nào, nhưng không áp dụng cho định lý Pythagore! Nếu bạn quên trừ hai lần tích của các cạnh nhân với cosin của góc giữa chúng, bạn sẽ không chỉ nhận được một kết quả hoàn toàn sai mà còn thể hiện sự hiểu sai hoàn toàn về chủ đề. Điều này còn tồi tệ hơn một sai lầm bất cẩn.

Thứ ba, không nhầm lẫn giữa các giá trị của góc 30 độ và 60 độ cho sin, cosin, tiếp tuyến, cotang. Hãy nhớ những giá trị này, vì sin 30 độ bằng cosin 60 và ngược lại. Thật dễ dàng để trộn lẫn chúng với nhau, kết quả là bạn chắc chắn sẽ nhận được một kết quả sai.

Ứng dụng

Nhiều sinh viên không vội bắt đầu học lượng giác, vì họ không hiểu ý nghĩa ứng dụng của nó. sin, cosin, tiếp tuyến là gì đối với một kỹ sư hay nhà thiên văn học? Đây là những khái niệm nhờ đó bạn có thể tính toán khoảng cách đến các ngôi sao ở xa, dự đoán sự sụp đổ của một thiên thạch, gửi một tàu thăm dò nghiên cứu đến một hành tinh khác. Không có chúng, không thể xây dựng tòa nhà, thiết kế ô tô, tính toán tải trọng trên bề mặt hoặc quỹ đạo của vật thể. Và đây chỉ là những ví dụ rõ ràng nhất! Rốt cuộc, lượng giác ở dạng này hay dạng khác được sử dụng ở mọi nơi, từ âm nhạc đến y học.

Cuối cùng

Vì vậy, bạn là sin, cosin, tiếp tuyến. Bạn có thể sử dụng chúng trong các phép tính và giải thành công các bài toán ở trường.

Toàn bộ bản chất của lượng giác tóm lại là các tham số chưa biết phải được tính từ các tham số đã biết của tam giác. Tổng cộng có sáu tham số: độ dài của ba cạnh và độ lớn của ba góc. Toàn bộ sự khác biệt trong các nhiệm vụ nằm ở chỗ dữ liệu đầu vào khác nhau được cung cấp.

Bây giờ bạn đã biết cách tìm sin, cosin, tiếp tuyến dựa trên độ dài đã biết của các cạnh hoặc cạnh huyền. Vì các thuật ngữ này không có nghĩa gì khác hơn là một tỷ lệ và tỷ lệ là một phân số, nên mục tiêu chính của bài toán lượng giác là tìm nghiệm của một phương trình thông thường hoặc một hệ phương trình. Và ở đây toán học bình thường sẽ giúp bạn.

xoang góc nhọn α của tam giác vuông là tỉ số đối diệnống thông đến cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: sin α.

Cô sin góc nhọn α của tam giác vuông là tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: cos α.

Đường tiếp tuyến góc nhọn α là tỷ lệ của chân đối diện với chân liền kề.
Nó được ký hiệu như sau: tg α.

cotang góc nhọn α là tỷ số của chân liền kề với chân đối diện.
Nó được ký hiệu như sau: ctg α.

sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Quy tắc:

Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác vuông:

(α - góc nhọn đối diện với chân b và liền kề với chân một . Cạnh Với - cạnh huyền. β - góc nhọn thứ hai).

Khi góc nhọn tăngsinα vàtăng tg α, vàcos α giảm.

Với mọi góc nhọn α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

ví dụ giải thích:

Cho tam giác vuông ABC
AB = 6,
BC = 3,
góc A = 30º.

Tìm sin của góc A và cosin của góc B.

Phán quyết .

1) Đầu tiên, chúng ta tìm giá trị của góc B. Mọi thứ ở đây thật đơn giản: vì trong một tam giác vuông, tổng các góc nhọn là 90º, thì góc B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Tính sin A. Ta biết rằng sin bằng tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền. Đối với góc A có cạnh đối diện là cạnh BC. Vì thế:

trước công nguyên 3 1
tội A = -- = - = -
AB 6 2

3) Bây giờ chúng ta tính cos B. Chúng ta biết rằng cosin bằng tỷ số của cạnh kề với cạnh huyền. Cho góc B có cạnh kề là cạnh BC. Điều này có nghĩa là chúng ta lại cần chia BC thành AB - nghĩa là thực hiện các thao tác tương tự như khi tính sin của góc A:

trước công nguyên 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Kết quả là:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Từ đó suy ra rằng trong một tam giác vuông, sin của một góc nhọn bằng cosin của một góc nhọn khác - và ngược lại. Đây chính xác là ý nghĩa của hai công thức của chúng ta:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Hãy kiểm tra lại lần nữa:

1) Cho α = 60º. Thay giá trị của α vào công thức sin, ta được:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Cho α = 30º. Thay giá trị của α vào công thức cosin, ta được:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Để biết thêm về lượng giác, hãy xem phần Đại số)

Lượng giác là một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và ứng dụng của chúng trong hình học. Sự phát triển của lượng giác bắt đầu từ thời Hy Lạp cổ đại. Trong thời Trung cổ, các nhà khoa học từ Trung Đông và Ấn Độ đã đóng góp quan trọng cho sự phát triển của khoa học này.

Bài viết này được dành cho các khái niệm và định nghĩa cơ bản của lượng giác. Nó thảo luận về các định nghĩa của các hàm lượng giác chính: sin, cosin, tangent và cotang. Ý nghĩa của chúng trong bối cảnh hình học được giải thích và minh họa.

Ban đầu, các định nghĩa về hàm số lượng giác có đối số là góc được biểu thị thông qua tỉ số các cạnh của một tam giác vuông.

Các định nghĩa hàm lượng giác

Sin của một góc (sin α) là tỷ số của chân đối diện với góc này với cạnh huyền.

Cosin của góc (cos α) là tỷ số của cạnh kề với cạnh huyền.

Tang của góc (t g α) là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh liền kề.

Cotang của góc (c t g α) là tỷ số của cạnh liền kề với cạnh đối diện.

Những định nghĩa này được đưa ra cho một góc nhọn của một tam giác vuông!

Hãy đưa ra một minh họa.

Cho tam giác ABC vuông góc C, sin của góc A bằng tỉ số cạnh góc BC và cạnh huyền AB.

Các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang giúp tính toán giá trị của các hàm này từ độ dài đã biết của các cạnh của một tam giác.

Điều quan trọng cần nhớ!

Phạm vi giá trị sin và cosin: từ -1 đến 1. Nói cách khác, sin và cosin nhận giá trị từ -1 đến 1. Phạm vi giá trị tiếp tuyến và cotang là toàn bộ trục số, nghĩa là các các hàm có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Các định nghĩa được đưa ra ở trên đề cập đến các góc nhọn. Trong lượng giác, khái niệm góc quay được giới thiệu, giá trị của nó, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn bởi các khung từ 0 đến 90. Góc quay tính bằng độ hoặc radian được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ - ∞ đến + ∞.

Trong ngữ cảnh này, người ta có thể định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc có độ lớn tùy ý. Hãy tưởng tượng một đường tròn đơn vị có tâm là gốc của hệ tọa độ Descartes.

Điểm đầu A có tọa độ (1 , 0) quay quanh tâm đường tròn đơn vị một góc α và đi đến điểm A 1 . Định nghĩa cho qua tọa độ của điểm A 1 (x, y).

Sin (sin) của góc quay

Sin của góc quay α là tung độ của điểm A 1 (x, y). sinα = y

Cosin (cos) của góc quay

Côsin của góc quay α là hoành độ của điểm A 1 (x, y). cos α = x

Tang (tg) của góc quay

Tang của góc quay α là tỉ số giữa tung độ của điểm A 1 (x, y) với trục hoành của nó. t g α = y x

Cotang (ctg) của góc quay

Cotang của góc quay α là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 (x, y) với hoành độ của nó. c t g α = x y

Sine và cosine được xác định cho bất kỳ góc quay nào. Điều này là hợp lý, bởi vì trục hoành và tọa độ của điểm sau khi xoay có thể được xác định ở bất kỳ góc nào. Tình hình là khác nhau với tiếp tuyến và cotang. Tiếp tuyến không được xác định khi điểm sau phép quay đi tới điểm có hoành độ bằng 0 (0 , 1) và (0 , - 1). Trong những trường hợp như vậy, biểu thức cho tiếp tuyến t g α = y x đơn giản là vô nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Tình hình tương tự với cotang. Sự khác biệt là cotang không được xác định trong trường hợp tọa độ của điểm biến mất.

Điều quan trọng cần nhớ!

Sine và cosine được xác định cho mọi góc α.

Tiếp tuyến được xác định cho mọi góc trừ α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotang được xác định cho mọi góc trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Khi giải các ví dụ thực tế, không được nói "sin của góc quay α". Các từ "góc quay" chỉ đơn giản là bị bỏ qua, ngụ ý rằng từ ngữ cảnh, đã rõ ràng những gì đang bị đe dọa.

số

Thế còn định nghĩa của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một số chứ không phải góc quay thì sao?

sin, cosin, tang, cotang của một số

Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một số t một số được gọi là số tương ứng bằng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang trong t rađian.

Ví dụ, sin của 10 π bằng với sin của góc quay 10 π rad.

Có một cách tiếp cận khác để định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một số. Hãy xem xét nó chi tiết hơn.

Mọi số thực t một điểm trên đường tròn đơn vị được đặt tương ứng với tâm tại gốc tọa độ Descartes hình chữ nhật. Sine, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định theo tọa độ của điểm này.

Điểm bắt đầu trên đường tròn là điểm A có tọa độ (1 , 0).

số dương t

Số âm t tương ứng với điểm mà điểm xuất phát sẽ di chuyển nếu nó di chuyển ngược chiều kim đồng hồ quanh đường tròn và đi qua đường t .

Bây giờ mối liên hệ giữa số và điểm trên đường tròn đã được thiết lập, chúng ta tiến hành định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.

Sin (sin) của số t

sin của một số t- tung độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. tội lỗi t = y

cosin (cos) của t

cosin của một số t- trục hoành của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. cos t = x

Tiếp tuyến (tg) của t

Tiếp tuyến của một số t- tỷ lệ giữa tung độ và hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. t g t = y x = sin t cos t

Các định nghĩa sau nhất quán và không mâu thuẫn với định nghĩa được đưa ra ở phần đầu của phần này. Chỉ vào một vòng tròn tương ứng với một số t, trùng với điểm mà điểm xuất phát đi sau khi quay qua góc t rađian.

Các hàm lượng giác của đối số góc và số

Mỗi giá trị của góc α tương ứng với một giá trị sin và cosin nhất định của góc này. Cũng như mọi góc α khác α = 90° + 180° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ứng với một giá trị nào đó của tiếp tuyến. Cotang, như đã đề cập ở trên, được xác định cho tất cả α, ngoại trừ α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Chúng ta có thể nói rằng sin α , cos α , t g α , c t g α là các hàm của góc alpha hoặc các hàm của đối số góc.

Tương tự, người ta có thể nói sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là các hàm của một đối số. Mỗi số thực t tương ứng với một giá trị cụ thể của sin hoặc cosin của một số t. Tất cả các số khác với π 2 + π · k , k ∈ Z, tương ứng với giá trị của tiếp tuyến. Cotang được xác định tương tự cho tất cả các số ngoại trừ π · k , k ∈ Z.

Các hàm cơ bản của lượng giác

Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là các hàm lượng giác cơ bản.

Thông thường, rõ ràng từ ngữ cảnh mà đối số của hàm lượng giác (đối số góc hoặc đối số số) mà chúng ta đang xử lý.

Hãy quay lại dữ liệu ở phần đầu của các định nghĩa và góc alpha, nằm trong phạm vi từ 0 đến 90 độ. Các định nghĩa lượng giác của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa hình học được đưa ra bằng cách sử dụng tỷ số các cạnh của một tam giác vuông. Hãy cho thấy nó.

Lấy một đường tròn đơn vị có tâm là hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Hãy xoay điểm bắt đầu A (1, 0) một góc lên tới 90 độ và vẽ từ điểm kết quả A 1 (x, y) vuông góc với trục x. Trong tam giác vuông tạo thành, góc A 1 O H bằng góc quay α, độ dài cạnh O H bằng trục hoành của điểm A 1 (x, y) . Độ dài của chân đối diện với góc bằng tung độ của điểm A 1 (x, y) và độ dài của cạnh huyền bằng một, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị.

Theo định nghĩa từ hình học, sin của góc α bằng tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Điều này có nghĩa là định nghĩa sin của một góc nhọn trong một tam giác vuông thông qua tỷ lệ khung hình tương đương với định nghĩa sin của góc quay α, với alpha nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.

Tương tự, sự tương ứng của các định nghĩa có thể được chỉ ra cho cosin, tiếp tuyến và cotang.

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Thế nào là sin, cosin, tang, cotang của một góc sẽ giúp các em hiểu về tam giác vuông.

Các cạnh của tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh nằm đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng tôi, đây là cạnh \ (AC \) ); chân là hai cạnh còn lại \ (AB \) và \ (BC \) (các cạnh kề với góc vuông), hơn nữa nếu xét chân đối với góc \ (BC \) thì chân \ (AB \) là chân liền kề và chân \ (BC \) là đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì?

sin của một góc- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

cosin của một góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

góc tiếp tuyến- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với chân liền kề (gần).

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotang của một góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) so với chân đối diện (xa).

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ chân nào chia cho gì, bạn cần hiểu rõ điều đó trong đường tiếp tuyến và cotang chỉ có chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện trong xoang và cô sin. Và sau đó bạn có thể đưa ra một chuỗi các hiệp hội. Ví dụ, cái này:

cosin→chạm→chạm→liền kề;

Cotang→chạm→chạm→kề.

Trước hết, cần nhớ rằng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở một góc). Đừng tin? Sau đó, hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, hãy xem xét cosin của góc \(\beta \) . Theo định nghĩa, từ một tam giác \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), nhưng chúng ta có thể tính cosin của góc \(\beta \) từ tam giác \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị của cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, thì hãy tiếp tục và sửa chúng!

Đối với tam giác \(ABC \) , được hiển thị trong hình bên dưới, chúng tôi tìm thấy \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó, hãy tự mình thử: tính tương tự cho góc \(\beta \) .

câu trả lời: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Đường tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng tôi đã xem xét một vòng tròn có bán kính bằng \ (1 \) . Một vòng tròn như vậy được gọi là Độc thân. Nó rất hữu ích trong việc nghiên cứu lượng giác. Do đó, chúng tôi tập trung vào nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng tròn này được xây dựng trong hệ tọa độ Descartes. Bán kính của hình tròn bằng một, trong khi tâm của hình tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo chiều dương của trục \(x \) (trong ví dụ của chúng ta, đây là bán kính \(AB \) ).

Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục \(x \) và tọa độ dọc theo trục \(y \) . Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, họ phải làm gì với chủ đề hiện tại? Để làm điều này, hãy nhớ về tam giác vuông được xem xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Xét tam giác \(ACG \) . Nó là hình chữ nhật vì \(CG \) vuông góc với trục \(x \).

\(\cos \ \alpha \) từ tam giác \(ACG \) là gì? Đúng rồi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ngoài ra, chúng ta biết rằng \(AC \) là bán kính của đường tròn đơn vị, vì vậy \(AC=1 \) . Thay thế giá trị này vào công thức cosine của chúng tôi. Đây là những gì xảy ra:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Và \(\sin \ \alpha \) từ tam giác \(ACG \) là gì? Tất nhiên, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Thay thế giá trị của bán kính \ (AC \) trong công thức này và nhận được:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Vì vậy, bạn có thể cho tôi biết tọa độ của điểm \(C \) thuộc đường tròn là gì không? Vâng, không có cách nào? Nhưng nếu bạn nhận ra rằng \(\cos \ \alpha \) và \(\sin \alpha \) chỉ là những con số thì sao? \(\cos \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Tất nhiên, tọa độ \(x \) ! Và \(\sin \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, tọa độ \(y \)! Vì vậy, điểm \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Vậy thì \(tg \alpha \) và \(ctg \alpha \) là gì? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa thích hợp về tiếp tuyến và cotang và hiểu điều đó \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), một \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Nếu góc lớn hơn thì sao? Ở đây, ví dụ, như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy hình dung nó ra. Để làm điều này, chúng ta lại chuyển sang hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : một góc (như kề với góc \(\beta \) ). Giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Đúng vậy, chúng tôi tuân thủ các định nghĩa tương ứng của các hàm lượng giác:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(mảng) \)

Chà, như bạn có thể thấy, giá trị của sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ \ (y \) ; giá trị cosin của góc - tọa độ \ (x \) ; và các giá trị của tiếp tuyến và cotang với các tỷ lệ tương ứng. Do đó, các mối quan hệ này được áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo chiều dương của trục \(x \). Cho đến giờ chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có kích thước nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc dương, và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính quanh hình tròn là \(360()^\circ \) hoặc \(2\pi \) . Có thể xoay vectơ bán kính bằng \(390()^\circ \) hoặc bằng \(-1140()^\circ \) không? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Trong trường hợp đầu tiên, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), do đó, vectơ bán kính sẽ thực hiện một vòng quay hoàn chỉnh và dừng tại \(30()^\circ \) hoặc \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Trong trường hợp thứ hai, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), nghĩa là vectơ bán kính sẽ thực hiện ba vòng quay hoàn chỉnh và dừng lại ở vị trí \(-60()^\circ \) hoặc \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Như vậy, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bởi \(360()^\circ \cdot m \) hoặc \(2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là số nguyên bất kỳ ) ứng với cùng một vị trí của véc tơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy góc \(\beta =-60()^\circ \) . Hình ảnh giống nhau tương ứng với góc \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vân vân. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức chung \(\beta +360()^\circ \cdot m\) hoặc \(\beta +2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là số nguyên bất kỳ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Bây giờ, khi biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng đường tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị bằng:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Có khó khăn gì không? Sau đó, hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(mảng) \)

Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm ứng với số đo góc nào đó. Chà, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc trong \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tương ứng với một điểm có tọa độ \(\left(0;1 \right) \) , do đó:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- không tồn tại;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Hơn nữa, tuân theo cùng một logic, chúng tôi phát hiện ra rằng các góc trong \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tương ứng với các điểm có tọa độ \(\left(-1;0 \right),\text()\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text()\left(0 ;1 \right) \), tương ứng. Biết được điều này ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm số lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự làm thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

câu trả lời:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- không tồn tại

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- không tồn tại

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- không tồn tại

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \ left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- không tồn tại

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ của các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của các hàm lượng giác:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Cần nhớ hoặc có thể xuất!! \) !}

Và đây là giá trị của các hàm lượng giác của các góc trong và \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) trong bảng dưới đây, bạn phải nhớ:

Không cần phải sợ hãi, bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra một trong những ví dụ về cách ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin cho cả ba số đo góc ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), cũng như giá trị của tang của góc trong \(30()^\circ \) . Khi biết các giá trị \(4\) này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá dễ dàng - các giá trị cosin được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

\(\begin(mảng)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(mảng) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), biết điều này, có thể khôi phục các giá trị cho \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Tử số “\(1 \) ” sẽ khớp với \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) và mẫu số “\(\sqrt(\text(3)) \) ” sẽ khớp với \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên thể hiện trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ bằng các mũi tên, thì chỉ cần nhớ các giá trị \(4 \) từ bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn khi biết tọa độ tâm, bán kính và góc quay của nó không? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Hãy rút ra công thức tổng quát để tìm tọa độ của một điểm. Ở đây, ví dụ, chúng ta có một vòng tròn như vậy:

Chúng tôi được cho điểm đó \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn là \(1,5 \) . Cần tìm tọa độ của điểm \(P \) thu được bằng cách xoay điểm \(O \) theo \(\delta \) độ.

Như có thể thấy trong hình, tọa độ \ (x \) của điểm \ (P \) tương ứng với độ dài của đoạn \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Độ dài của đoạn \ (UK \) tương ứng với tọa độ \ (x \) của tâm hình tròn, nghĩa là nó bằng \ (3 \) . Độ dài của đoạn \(KQ \) có thể được biểu thị bằng định nghĩa của cosin:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sau đó, chúng ta có tọa độ cho điểm \(P \) \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Theo logic tương tự, chúng tôi tìm thấy giá trị của tọa độ y cho điểm \(P \) . Bằng cách này,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Vì vậy, nói chung, tọa độ của các điểm được xác định bởi các công thức:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(mảng) \), ở đâu

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - tọa độ tâm đường tròn,

\(r\) - bán kính hình tròn,

\(\delta \) - góc quay của bán kính véc tơ.

Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đi đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(mảng) \)