Eksamiks valmistumine lihtsate võrrandite lahendamisel. Ettevalmistus matemaatika põhi- ja erialase taseme eksamiks

Demo versioonid KASUTA 2018 aastate ülesanded lihtsate võrrandite lahendamiseks asuvad numbri all 7 algtaseme ja numbri all 5 profiili taseme jaoks.

Üldiselt saab ühe muutujaga võrrandi kirjutada järgmiselt f(x) = g(x) , st. võrdsusena, mis võib (kuid ei pea) sisaldama mõlemas osas muutujat x... Näiteks:

patt x = 0,5; 15 = x 2 − 4x; x + 8 = √ x − 18______ ; log 2 ( x+ 5) = log 0,5 8.

Mida tähendab "võrrandi lahendamine"? Võrrandi lahendamine tähendab kõigi selle juurte leidmist või tõestamist, et neid pole olemas.

Määratlus: Võrrandi juur ühe muutujaga nimetatakse selle muutuja sellist väärtust, mis muudab selle tõeliseks numbriliseks võrdsuseks.

Võrrandeid nimetatakse samade juurtega samaväärne... Võrrandit lahendades püüame muuta selle lihtsamaks. Ärge unustage veenduda, et lihtsam võrrand jääb samaks kui algne. Kuidas seda erinevat tüüpi võrrandite puhul teha, mainin näiteid lugedes. Kõigi võrrandite jaoks on ühised järgmised, teile hästi teada,

samaväärsete teisenduste reeglid:

Kui võrrandis kantakse mõni termin ühest osast teise, muutes selle märki, saadakse antud valemiga samaväärne võrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saadakse võrrand, mis on samaväärne antud väärtusega.

Võttes arvesse eksami selle osa eripära, järeldame, et selles ülesandes ei saa olla juurteta võrrandeid, sest vastuse formaat ei võimalda nõutavat tõestust. Ja kui võrrandil on rohkem kui üks juur, siis sõnastatakse probleemi tingimus seda fakti arvesse võttes. Näiteks "märkige oma vastuses juurtest väiksem (suurim, suurim negatiivne, väikseim positiivne ...)".

Ja kasutades juure mõistet, järeldame, et saadud vastust on lihtne iseseisvalt kontrollida. Seetõttu on USE matemaatikaülesande lahendamisel oluline etapp kontrollimine.

Kontroll tuleks läbi viia otse vastavalt vormile trükitud probleemi tingimustele. Vastasel juhul ei kontrolli te võimalust, et võisite kogemata mustandis oleva tingimuse ümber kirjutada.

Seega leitud vastus on x 0 tuleb asendada probleemi olekuga ja veenduda, et võrdsuse paremal ja vasakul küljel olevad avaldised võtaksid võrdsed arvväärtused.

Näide.

Leidke võrrandi juur x − 119 ______ x + 7 = −5.

See võrrand on murdosa-ratsionaalne. Selliste võrrandite lihtsaim vorm lk(x) ___ q(x) = 0.

Sest kui teatud murdosa on võrdne nulliga, siis võime loogiliselt põhjendada: see on võimalik juhul, kui murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null, sest te ei saa nulliga jagada. Viimasega tuleb arvestada, et vabaneda võimalikest "vale" ("lisa") juurtest.

Lahendus.

1) Teisendame murdosa lihtsaks vormiks.
Selleks liigutame kõik paremale poole (ärge unustage võrdusmärgi läbimisel termini märgi muutmist!). Seejärel toome murdosa ühisnimetaja juurde.

x − 119 ______ x + 7 + 5 = 0.

x − 119 ______ x + 7 + x + 7 / 5 = 0.

x − 119 + 5(x + 7) x + 7 _______________ = 0.

x − 119 + 5x + 35 _______________ x + 7 = 0.

6x − 84 ______ x + 7 = 0.

2) Võrdsime murru lugeja nulliga:
6x − 84 = 0;
6x = 84;
x = 84/6 = 14.

3) Nimetaja jaoks kirjutage tingimus üles
x + 7 ≠ 0.
Järgmisena valime lihtsama,
- asendaja viimases ebavõrdsuses x= 14 veendumaks, et leitud juur ei ole "vale": x + 7 = 14 + 7 = 21 ≠ 0,
või
- lahendage vastupidine võrrand, et siis lugejad ja nimetaja kattuvad juured ära visata: x + 7 = 0; x = −7; −7 ≠ 14.
Sel juhul on mõlemad meetodid lihtsad ja arusaadavad.

4) Teeme järelduse - muutuja väärtus x= 14, mis muudab lugeja nulliks ja on võrrandi soovitud juur.

Enne vastuse vormile ümberkirjutamist teeme kontrolli.

Eksam.

1) Võtame probleemi algseisundi.

x − 119 ______ x + 7 = −5.

2) Selle asemel x asendage meie vastus: 14.

14 − 119 _______ 14 + 7 = −5.

3) Arvutame võrdsuse iga osa arvväärtused eraldi. Selles näites on paremal küljel juba number, seega arvutame ainult vasaku külje.
14 − 119 = −105; 14 + 7 = 21; −105/21 = −5.

4) Kuna −5 = −5, siis x= 14 on võrrandi juur ja saate vastuse vormis turvaliselt ümber kirjutada.

Lihtsad võrrandid ühes muutuja.

Kõik võrrandid, mille koolis lahendasite ja mis vastavalt sellele USE ülesandele matemaatikas leiate, võib jagada mitmeks põhitüübiks - ratsionaalne, irratsionaalne, eksponentsiaalne, logaritmiline, trigonomeetriline. Nende mõistete täpsed määratlused leiate õpetusest. Siin oleme huvitatud ainult klassifikatsioonist nende võrranditüüpide järgi, mis on USE ülesannete pangas esitatud lühikese vastusega probleemide korral. Seda on vaja selleks, et oleks võimalik võrrandit nägemise järgi ära tunda ja kohe ära arvata, kust seda lahendama hakata.

Ja tavaliselt peate alustama mis tahes võrrandi lahendamist, teisendades selle kõige lihtsamasse vormi. Kõige lihtsam on reeglina selline võrrandi kirjutamise viis, mis langeb kokku õpikus esitatud "üldvaatega". Kuna selle kirjutamisviisi jaoks on vastuse saamiseks soovitusi. Ja just need soovitused andsite tundides läbi, need on toodud õpikutes.

Allpool näete tabelit, mis aitab teil navigeerida sellel matemaatika eksamil pakutavate võrrandite valikus. Selles sümbol x tähistab muutujat, mille tundmatu väärtus tuleb leida. Valdav enamus võrranditest kasutab sama märget. Kuid ärge unustage, et teised tegelased, näiteks y, z, u, v, t,..., on õigus eksisteerida tundmatutena, sealhulgas ühe muutujaga võrrandites. Muud sümbolid veerus „Üldvaade” - a, b, c- näidatud on konstandid, s.t. selle võrrandi kirje konstandid on kogused. Lihtsamalt öeldes seisavad numbrid konkreetsel juhul lihtsalt nende asemel.

Ja lõpuks märge sulgudega - lk(x), q(x), f(x), g(x) on väljendid. Klassiruumis oleksite pidanud rohkem kui üks kord kuulma terminit "matemaatiline väljend". Kui see siiski teile midagi ei ütle, helistage ise, näiteks valem alates x.

Esialgu võib midagi selles tabelis teile segadust tekitada. Jätke see vahele ja tulge selle juurde tagasi pärast järgmise näitegrupi analüüsimist, samuti vahetult enne eksamit, et kiiresti üle vaadata kõik võimalikud valikud, mida selle ülesande täitmisel ette tuleb.

Tähelepanu: Tabel on klõpsatav. Kui klõpsate kolmanda veeru ühel võrrandil vasakklõpsuga, laaditakse selle näite lahendus. Kuid ärge kiirustage seda tegema. Kõigepealt mõtle, kuidas sa ise selle lahendad. Seejärel võrrelge vastuseid. Teie lahendus ei pea olema sama, mis minu oma. Korrektsuse peamine kriteerium on identiteedi saamine algse võrrandi juure asendamisel.

Võrrandi tüüp		Üldine vorm	Näited ülesannetest	Märgid
Ratsionaalne	Lineaarne	kirves = b		Võrdsus sisaldab ainult numbreid ja x esimeses astmes.
	kirves 2 + bx + c = 0		Numbrid, x ja x 2. Kohalolek x 2 on nõutav.
	Ratsionaalsed täisarvud, mis sisaldavad n> 2 astme polünoomi	lk(x) = 0, Kus lk(x) - polünoom		Numbrid ja x erineval määral. Kraad on suurem kui 2.
	Fraktsionaalne ratsionaalne.	lk(x) ___ q(x) = 0.		Seal on NS nimetajas.
Irratsionaalne		n √ f(x)____ = n √ g(x)____ ; N √ f(x)____ = φ (x)

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja salvestame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Kui te meiega ühendust võtate, võidakse teil igal ajal paluda esitada oma isiklikud andmed.

Allpool on mõned näited isikuandmete tüüpidest, mida võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui jätate saidile päringu, võime koguda mitmesugust teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e -posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teatada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg -ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste märguannete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite tegemiseks, andmete analüüsimiseks ja erinevateks uuringuteks, et parandada meie pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhindade loosimisel, konkursil või sarnasel reklaamüritusel, võime kasutada teie edastatud teavet nende programmide haldamiseks.

Teabe avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele osapooltele.

Erandid:

• Kui on vaja - vastavalt seadusele, kohtumäärusele, kohtumenetluses ja / või Vene Föderatsiooni territooriumi riigiasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada teie isikuandmeid. Samuti võime teie kohta teavet avaldada, kui leiame, et selline avalikustamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude sotsiaalselt oluliste põhjuste tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed asjakohasele kolmandale isikule - õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Võtame ettevaatusabinõusid - sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi -, et kaitsta teie isikuandmeid kadumise, varguse ja väärkohtlemise eest, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Austa oma privaatsust ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks tutvustame oma töötajatele konfidentsiaalsuse ja turvalisuse reegleid ning jälgime rangelt konfidentsiaalsusmeetmete rakendamist.

Võrrandid, osa $ C $

Võrdsust, mis sisaldab tähega tähistatud tundmatut numbrit, nimetatakse võrrandiks. Võrdusmärgist vasakul olevat avaldist nimetatakse võrrandi vasakuks küljeks ja paremat avaldist võrrandi paremaks pooleks.

Keeruliste võrrandite lahendamise skeem:

1. Enne võrrandi lahendamist on vaja selle jaoks kirja panna lubatud väärtuste vahemik (ODV).
2. Lahendage võrrand.
3. Valige võrrandi juurtest see, mis vastab ODZ -le.

Erinevate väljendite ODZ (väljenduse all peame silmas tähtnumbrilist märget):

1. Väljend nimetajas ei tohi olla null.

$ (f (x)) / (g (x)); g (x) ≠ 0 $

2. Radikaalne väljend ei tohi olla negatiivne.

$ √ (g (x)); g (x) ≥ 0 $.

3. Radikaalne väljendus nimetajas peab olema positiivne.

$ (f (x)) / (√ (g (x))); g (x)> 0 $

4. Logaritmi puhul: alamlogaritmiline avaldis peab olema positiivne; alus peab olema positiivne; alus ei saa olla võrdne ühega.

$ log_ (f (x)) g (x) \ tabel \ (\ g (x)> 0; \ f (x)> 0; \ f (x) ≠ 1; $

Logaritmilised võrrandid

Logaritmilised võrrandid on võrrandid kujul $ log_ (a) f (x) = log_ (a) g (x) $, kus $ a $ on muu positiivne arv kui $ 1 $, ja võrrandid, mis taanduvad sellele vormile.

Logaritmiliste võrrandite lahendamiseks on vaja teada logaritmide omadusi: kaalume kõiki logaritmide omadusi, kui $ a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, m $ - mis tahes reaalarv.

1. Mis tahes reaalarvude $ m $ ja $ n $ puhul on võrdsus tõene:

$ log_ (a) b ^ m = mlog_ (a) b; $

$ log_ (a ^ m) b = (1) / (m) log_ (a) b. $

$ log_ (a ^ n) b ^ m = (m) / (n) log_ (a) b $

$ log_ (3) 3 ^ (10) = 10log_ (3) 3 = 10; $

$ log_ (5 ^ 3) 7 = (1) / (3) log_ (5) 7; $

$ log_ (3 ^ 7) 4 ^ 5 = (5) / (7) log_ (3) 4; $

2. Toote logaritm on võrdne iga teguri samas aluses olevate logaritmide summaga.

$ log_a (bc) = log_ (a) b + log_ (a) c $

3. Jagatise logaritm on võrdne sama aluse lugeja ja nimetaja logaritmide erinevusega

$ log_ (a) (b) / (c) = log_ (a) b-log_ (a) c $

4. Kahe logaritmi korrutamisel saate nende alused vahetada

$ log_ (a) b ∙ log_ (c) d = log_ (c) b ∙ log_ (a) d $, kui $ a, b, c $ ja $ d> 0, a ≠ 1, b ≠ 1. $

5. $ c ^ (log_ (a) b) = b ^ (log_ (a) b) $, kus $ a, b, c> 0, a ≠ 1 $

6. Uuele baasile ülemineku valem

$ log_ (a) b = (log_ (c) b) / (log_ (c) a) $

7. Eelkõige juhul, kui on vaja vahetada alus ja alam-logaritmiline avaldis

$ log_ (a) b = (1) / (log_ (b) a) $

Logaritmilisi võrrandeid on mitu peamist tüüpi:

Lihtsaimad logaritmilised võrrandid: $ log_ (a) x = b $. Seda tüüpi võrrandite lahendus tuleneb logaritmi definitsioonist, s.t. $ x = a ^ b $ ja $ x> 0 $

Me kujutame võrrandi mõlemat poolt logaritmi kujul alusele $ 2 $

$ log_ (2) x = log_ (2) 2 ^ 3 $

Kui logaritmid on samas aluses võrdsed, siis on ka alamlogaritmilised avaldised võrdsed.

Vastus: $ x = 8 $

Vormi võrrandid: $ log_ (a) f (x) = log_ (a) g (x) $. Sest põhjused on samad, siis võrdsustame alam-logaritmilised avaldised ja võtame arvesse ODZ-i:

$ \ tabel \ (\ f (x) = g (x); \ f (x)> 0; \ g (x)> 0, а> 0, а ≠ 1; $

$ log_ (3) (x ^ 2-3x-5) = log_ (3) (7-2x) $

Sest alused on samad, siis võrdsustame sublogaritmilised avaldised

Me kanname kõik terminid võrrandi vasakule poole ja esitame sarnased terminid

Kontrollime leitud juuri vastavalt tingimustele $ \ table \ (\ x ^ 2-3x-5> 0; \ 7-2x> 0; $

Teise ebavõrdsuse asendamisel ei vasta juur $ x = 4 $ tingimusele, seega on see võõras juur

Vastus: $ x = -3 $

• Muutuv asendusmeetod.

Selle meetodi puhul vajate:

1. Kirjutage üles ODZ võrrand.
2. Logaritmide omaduste kohaselt saavutage võrrandis samad logaritmid.
3. Asenda $ log_ (a) f (x) $ mis tahes muutujaga.
4. Lahendage uue muutuja võrrand.
5. Naaske 3. sammu juurde, asendage muutuja väärtus ja saate vormi lihtsaima võrrandi: $ log_ (a) x = b $
6. Lahendage lihtsaim võrrand.
7. Pärast logaritmilise võrrandi juurte leidmist on vaja need panna punkti 1 ja kontrollida ODZ seisundit.

Lahendage võrrand $ log_ (2) √x + 2log_ (√x) 2-3 = 0 $

1. Kirjutame üles ODZ võrrandi:

$ \ table \ (\ x> 0, \ text "kuna see asub juure ja logaritmi märgi all"; \ √x ≠ 1 → x ≠ 1; $

2. Teeme logaritmid baasi $ 2 $, selleks kasutame teisel perioodil uuele baasile ülemineku reeglit:

$ log_ (2) √x + (2) / (log_ (2) √x) -3 = 0 $

4. Saame murdosa - ratsionaalse võrrandi muutuja t suhtes

Vähendagem kõik terminid ühisnimetajaks $ t $.

$ (t ^ 2 + 2-3t) / (t) = 0 $

Murd on null, kui lugeja on null ja nimetaja on null.

$ t ^ 2 + 2-3t = 0 $, $ t ≠ 0 $

5. Lahendame saadud ruutvõrrandi Vieta teoreemi abil:

6. Naaseme punkti 3 juurde, teeme vastupidise muudatuse ja saame kaks lihtsat logaritmilist võrrandit:

$ log_ (2) √x = 1 $, $ log_ (2) √x = 2 $

Logaritme võrrandite paremaid külgi

$ log_ (2) √x = log_ (2) 2 $, $ log_ (2) √x = log_ (2) 4 $

Sub-logaritmiliste avaldiste võrdsustamine

$ √x = 2 $, $ √x = 4 $

Juurest vabanemiseks ruuduge võrrandi mõlemad pooled

$ x_1 = 4 $, x_2 = 16 $

7. Asenda logaritmilise võrrandi juured punktis 1 ja kontrolli AED seisundit.

$ \ (\ tabel \ 4> 0; \ 4 ≠ 1; $

Esimene juur rahuldab ODV -d.

$ \ (\ table \ 16> 0; \ 16 ≠ 1; $ Teine juur rahuldab ka ODV -d.

Vastus: 4 dollarit; 16 dollarit

• Vormid $ log_ (a ^ 2) x + log_ (a) x + c = 0 $. Sellised võrrandid lahendatakse uue muutuja sisseviimisega ja tavalisele ruutvõrrandile üleminekuga. Pärast võrrandi juurte leidmist on vaja need valida, võttes arvesse ODV -d.

Ratsionaalsed murdvõrrandid

• Kui murdosa on null, siis lugeja on null ja nimetaja ei ole null.
• Kui vähemalt üks osa ratsionaalsest võrrandist sisaldab murdosa, nimetatakse võrrandit murdosa ratsionaalseks.

Rõhulise ratsionaalse võrrandi lahendamiseks vajate:

1. Leidke selle muutuja väärtused, mille puhul võrrandil pole mõtet (ODV)
2. Leidke võrrandist murdude ühisosa;
3. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga;
4. Lahendage saadud kogu võrrand;
5. Välistada oma juurtest need, mis ei vasta DHS -i tingimustele.

• Kui võrrand hõlmab kahte murru ja nende lugejad on võrdsed avaldised, siis saab nimetajad üksteisega võrdsustada ja saadud võrrandi lahendada ilma lugejatele tähelepanu pööramata. AGA arvestades kogu algse võrrandi ODV -d.

Eksponentsiaalsed võrrandid

Võrrandeid, milles eksponent sisaldab tundmatut, nimetatakse eksponentsiaalseteks.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse kraadide omadusi, tuletame meelde mõnda neist:

1. Kraadide korrutamisel samade alustega jääb alus samaks ja lisatakse näitajad.

$ a ^ n a ^ m = a ^ (n + m) $

2. Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus samaks ja näitajad lahutatakse

$ a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) $

3. Võimsuse suurendamisel võimsuseks jääb alus samaks ja näitajad korrutatakse

$ (a ^ n) ^ m = a ^ (n ∙ m) $

4. Toote võimsusele tõstmisel tõstetakse iga tegur selle võimsuseni

$ (a b) ^ n = a ^ n b ^ n $

5. Murru astmesse tõstmisel tõstetakse lugeja ja nimetaja sellele astmele

$ ((a) / (b)) ^ n = (a ^ n) / (b ^ n) $

6. Mis tahes aluse tõstmisel nullnäitajaks on tulemus võrdne ühega

7. Alust mis tahes negatiivses astmes võib esitada alusena samas positiivses astmes, muutes aluse asendit murdosa suhtes

$ a ^ (- n) = (1) / (a ​​^ n) $

$ (a ^ (- n)) / (b ^ (- k)) = (b ^ k) / (a ​​^ n) $

8. Radikaali (juurt) saab kujutada murdosa astendajaga võimuna

$ √ ^ n (a ^ k) = a ^ ((k) / (n)) $

Eksponentvõrrandite tüübid:

1. Lihtsad eksponentsiaalsed võrrandid:

a) Vorm $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, kus $ a> 0, a ≠ 1, x $ pole teada. Selliste võrrandite lahendamiseks kasutame kraadide omadust: sama alusega kraadid ($ a> 0, a ≠ 1 $) on võrdsed ainult siis, kui nende astendajad on võrdsed.

b) Vormi $ a ^ (f (x)) = b, b> 0 $ võrrand

Selliste võrrandite lahendamiseks peavad mõlemad pooled olema logaritmid alusele $ a $, selgub

$ log_ (a) a ^ (f (x)) = log_ (a) b $

2. Aluste võrdsustamise meetod.

3. Faktoriseerimismeetod ja muutuja muutmine.

• Selle meetodi puhul on kogu võrrandis kraadide omaduse järgi vaja muuta kraadid üheks vormiks $ a ^ (f (x)) $.
• Muutke muutujat $ a ^ (f (x)) = t, t> 0 $.
• Saame ratsionaalse võrrandi, mis tuleb lahendada avaldise faktoriseerimisega.
• Teeme vastupidise asendamise, võttes arvesse asjaolu, et $ t>

Lahendage võrrand $ 2 ^ (3x) -7 2 ​​^ (2x -1) + 7 2 ^ (x -1) -1 = 0 $

Kraadide omaduse järgi muudame avaldise nii, et saame astme 2 ^ x.

$ (2 ^ x) ^ 3- (7 (2 ^ x) ^ 2) / (2) + (7 2 ^ x) / (2-1) = 0 $

Muutame muutujat $ 2 ^ x = t; t> 0 dollarit

Saame vormi kuupvõrrandi

$ t ^ 3- (7 t ^ 2) / (2) + (7 t) / (2) -1 = 0 $

Nimetajatest vabanemiseks korrutage kogu võrrand 2 dollariga

2 t ^ 3-7 t ^ 2 + 7 t-2 = 0 $

Laiendage võrrandi vasakut külge rühmitamismeetodi abil

$ (2t ^ 3-2)-(7 t ^ 2-7 t) = 0 $

Võtke esimesest sulgust välja ühine tegur $ 2 $, teisest $ 7t $

2 dollarit (t ^ 3-1) -7 t (t-1) = 0 dollarit

Lisaks näeme esimeses sulgudes kuubikute valemi erinevust

$ (t-1) (2t ^ 2 + 2t + 2-7t) = 0 $

Toode on null, kui vähemalt üks teguritest on null

1) $ (t-1) = 0; $ 2) $ 2t ^ 2 + 2t + 2-7t = 0 $

Lahendame esimese võrrandi

Lahendame teise võrrandi diskrimineerija osas

$ D = 25-4 2 2 = 9 = 3 ^ 2 $

$ t_2 = (5-3) / (4) = (1) / (2) $

$ t_3 = (5 + 3) / (4) = 2 dollarit

2 dollarit ^ x = 1; 2 ^ x = (1) / (2); 2 ^ x = 2 $

2 dollarit ^ x = 2 ^ 0; 2 ^ x = 2 ^ (- 1); 2 ^ x = 2 ^ 1 $

$ x_1 = 0; x_2 = -1; x_3 = 1 dollar

Vastus: -1 dollarit; 0; 1 $

4. Ruutmeetriline teisendusmeetod

• Meil on võrrand kujul $ A a ^ (2f (x)) + B a ^ (f (x)) + C = 0 $, kus $ A, B $ ja $ C $ on koefitsiendid.
• Teeme asenduse $ a ^ (f (x)) = t, t> 0 $.
• Saadud ruutvõrrand $ A t ^ 2 + B t + C = 0 $. Lahendame saadud võrrandi.
• Teeme vastupidise asendamise, võttes arvesse asjaolu, et $ t> 0 $. Saame lihtsaima eksponentsiaalvõrrandi $ a ^ (f (x)) = t $, lahendame selle ja kirjutame tulemuse vastusesse.

Faktooringumeetodid:

• Eemaldage ühine tegur.

Polünoomi faktoriseerimiseks, lähtudes ühisest tegurist väljaspool sulgusid, vajate:

1. Määrake ühine tegur.
2. Jagage antud polünoom sellega.
3. Kirjutage ühisteguri korrutis ja sellest tulenev jagatis (lisades selle jagatise sulgudesse).

Polünoomi tegur: $ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a $.

Selle polünoomi ühine tegur on $ 2a $, kuna kõik tingimused jagunevad $ 2 $ ja "a" -ga. Järgmisena leiame algse polünoomi jagamise jagatise "2a", saame:

$ 10a ^ (3) b -8a ^ (2) b ^ 2 + 2a = 2a ((10a ^ (3) b) / (2a) - (8a ^ (2) b ^ 2) / (2a) + ( 2a) / (2a)) = 2a (5a ^ (2) b-4ab ^ 2 + 1) $

See on faktoriseerimise lõpptulemus.

Lühendatud korrutamisvalemite rakendamine

1. Summa ruut lagundatakse esimese numbri ruuduks pluss kahekordne esimese numbri korrutis teise numbriga ja pluss teise numbri ruut.

$ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 $

2. Vahe ruut lagundatakse esimese numbri ruuduks, millest on lahutatud esimese arvu korrutis kahekordne teisega ja pluss teise numbri ruut.

$ (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 $

3. Ruutude erinevus lagundatakse arvude ja nende summa korrutise korrutiseks.

$ a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) $

4. Summa kuup on võrdne esimese numbri kuubikuga pluss kolmekordne esimese numbri ruut teise numbriga pluss kolmekordne esimese korrutis ja teise numbri ruut pluss teise kuup number.

$ (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 $

5. Vahe kuup on võrdne esimese numbri kuubiga, millest on lahutatud esimese numbri ruudu kolmekordne korrutis teise numbriga, pluss esimese ja kolmekordse korrutise korrutis ja miinus teise numbri kuup.

$ (a-b) ^ 3 = a ^ 3-3a ^ 2b + 3ab ^ 2-b ^ 3 $

6. Kuubikute summa on võrdne arvude summa korrutisega mittetäieliku ruudu võrra.

$ a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) $

7. Kuubikute vahe on võrdne summa mittetäieliku ruudu arvude erinevuse korrutisega.

$ a ^ 3-b ^ 3 = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $

Rühmitamise meetod

Rühmitamismeetodit on mugav kasutada, kui on vaja paarisarvuliste tingimustega polünoomi faktoriseerida. Selle meetodi puhul on vaja koguda terminid rühmadesse ja võtta ühine tegur igast rühmast väljapoole. Mitmel rühmal peaksid pärast sulgudes asetamist olema samad avaldised, seejärel liigutage see sulg ühise tegurina edasi ja korrutage saadud jagatise sulgudega.

Faktori polünoom $ 2a ^ 3-a ^ 2 + 4a-2 $

Selle polünoomi lagundamiseks kasutame terminite rühmitamise meetodit, selleks rühmitame esimesed kaks ja kaks viimast terminit, samas kui on oluline märk õigesti teise grupi ette panna, paneme + märgi ja seetõttu kirjutage terminid sulgudes oma märkidega.

$ (2a ^ 3-a ^ 2) + (4a-2) = a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) $

Pärast ühiste tegurite väljavõtmist saime paari identseid sulgusid. Nüüd võtame selle kronsteini ühise tegurina välja.

$ a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) = (2a-1) (a ^ 2 + 2) $

Nende sulgude produkt on faktoriseerimise lõpptulemus.

Kasutades ruudukolmevalemit.

Kui on ruudukujuline kolmnurk kujul $ ax ^ 2 + bx + c $, siis saab seda laiendada valemiga

$ ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) $, kus $ x_1 $ ja $ x_2 $ on kolmnurkse ruudu juured

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale Google'i konto (konto) ja logige sellele sisse: https://accounts.google.com

Slaidiallkirjad:

VÕRDLUSED KASUTAMISEKS MATEMÄNÄITELE JA LAHENDUSELE Kravchenko N.А. Matemaatikaõpetaja GBOU SOSH №891, Moskva Õppetöö ühtse riigieksami ettevalmistamiseks

SISUKORD Ülesande märkused Näide 1 (irratsionaalne võrrand) Näide 2 (eksponentsiaalvõrrand) Näide 3 (irratsionaalne võrrand) Näide 4 (murdosa ratsionaalne võrrand) Näide 5 (logaritmiline võrrand) Näide 6 (logaritmiline võrrand) Näide 7 (trigonomeetriline võrrand) Näide 8 (eksponentsiaalne näide 9 (irratsionaalne võrrand) Näide 10 (logaritmiline võrrand)

VIIDE TÜÜP: Võrrand. ÜLESANDE TUNNUS: Lihtne eksponentsiaalne, logaritmiline, trigonomeetriline või irratsionaalne võrrand. KOMMENTAAR: Võrrand taandatakse ühe toiminguga lineaarseks või ruudukujuliseks (sel juhul tuleb vastuses märkida ainult üks juur - suurem või väiksem). Valed vastused tulenevad peamiselt aritmeetilistest vigadest.

Lahendage võrrand. NÄIDE 1 Lahendus. Võtame ruudu: Siis saame vastuse: -2

NÄIDE 2 Lahendage võrrand. Lahendus. Liigume edasi astme ühe aluse juurde: Aluste võrdsusest astmete võrdsuseni: Kust vastus: 3

NÄIDE 3 Lahendage võrrand. Lahendus. Tõstame võrrandi mõlemad pooled kolmandale astmele: Pärast elementaarseid teisendusi saame: Vastus: 23

NÄIDE 4 Lahendage võrrand. Kui teie võrrandil on rohkem kui üks juur, märkige vastuses väiksem. Lahendus. Kehtivate väärtuste vahemik: x ≠ 10. Sellel alal korrutame nimetajaga: mõlemad juured asuvad ODZ -s. Väiksem neist on −3. Vastus: -3

NÄIDE 5 Lahendage võrrand. Lahendus. Valemit kasutades saame: Vastus: 6

NÄIDE 6 Lahendage võrrand. Lahendus. Kahe avaldise logaritmid on võrdsed, kui avaldised ise on võrdsed ja samal ajal positiivsed: kust saame vastuse: 6

NÄIDE 7 Lahendage võrrand. Märkige oma vastuses väikseim positiivne juur. Lahendus. Lahendame võrrandi:

Väärtused vastavad suurtele positiivsetele juurtele. Kui k = 1, siis x 1 = 6,5 ja x 2 = 8,5. Kui k = 0, siis x 3 = 0,5 ja x 4 = 2,5. Väärtused vastavad juurte väiksematele väärtustele. Väikseim positiivne otsus on 0,5. Vastus: 0, 5

NÄIDE 8 Lahendage võrrand. Lahendus. Taandades võrrandi vasaku ja parema külje 6 -le, saame: Kust see tähendab, Vastus: 2

NÄIDE 9 Lahendage võrrand. Lahendus. Võrrandi mõlemat külge ruudutades saame: Ilmselgelt kust Vastus: 5

NÄIDE 10 Lahendage võrrand. Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber nii, et mõlemal küljel on aluse logaritm 4: Lisaks on ilmne, kus vastus on: -11

Kasutatud materjal on võetud saidilt: http://reshuege.ru Pilt on võetud aadressilt: http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&uinfo=sw-1263-sh-677-fw- 1038-fh-471- pd-1 & p = 3 & text = equations% 20pictures & noreask = 1 & pos = 100 & rpt = simage & lr = 213 & img_url = http% 3A% 2F% 2Fwww.presentermedia.com% 2Ffiles% 2Fclipart% 2F00003000% 2F3804% 2Fquing_path_math_epg

Teemal: metoodilised arengud, ettekanded ja märkmed

Projektitöö Metoodika õpilaste ettevalmistamiseks probleemide lahendamiseks teemadel "Liikumisprobleemid" ja "Probleemid segudele ja sulamitele", mis sisalduvad eksamil matemaatikas.

Matemaatika riikliku haridusstandardi föderaalse komponendi domineeriv idee on loogilise mõtlemise, ruumilise kujutlusvõime, ...

TEEMA-SUUNDATUD PROBLEEMID KASUTAMISES matemaatikas.

Teadmiste, oskuste ja võimete kujundamise ülesannete väljatöötamine ja valimine on väga oluline ülesanne. Selle eesmärgi saavutamiseks kasutatakse kahte tüüpi probleeme - puhtalt matemaatilisi ja praktikale orienteeritud. Päev ...

Videokursus "Hangi A" sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika eksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik matemaatika ühtse riigieksami ülesanded 1-13. Sobib ka matemaatika põhieksami sooritamiseks. Kui soovite eksami sooritada 90-100 punkti eest, peate 1. osa lahendama 30 minutiga ja vigadeta!

Eksami ettevalmistuskursus 10.-11. Klassile, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja ülesande 13 (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on rohkem kui 70 punkti eksamil ning ilma sajapunktiline ega humanitaarteaduste üliõpilane ei saa ilma nendeta hakkama.

Kõik teooria, mida vajate. Kiired lahendused, lõksud ja eksami saladused. Kõik FIPI ülesannete panga 1. osa asjakohased ülesanded on lahti võetud. Kursus vastab täielikult eksami-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtne ja arusaadav.

Sajad eksamitööd. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtne ja kergesti meeldejääv probleemide lahendamise algoritm. Geomeetria. Teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi USE -ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, abivalmid petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Mõistmise asemel punnitamine. Keerukate mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.