Відлік кутів на тригонометричному колі. Позитивні і негативні кути. Розподіл кутів по чвертях. Вимірювання кутів можуть градуси бути негативними

кут: ° π rad =

Перетворити в: радіани градуси 0 - 360 ° 0 - 2π позитивне негативне Обчислювати

Коли прямі перетинаються, то виходить чотири різні області по відношенню до точки перетину.
Ці нові області називають кутами.

На зображенні видно 4 різних кута, утворених перетином прямих AB і CD

Зазвичай кути вимірюються в градусах, що позначається як °. Коли об'єкт здійснює повне коло, тобто рухається з точки D через B, C, A, а потім назад до D, то кажуть що він повернувся на 360 градусів (360 °). Таким чином, градус - це $ \ frac (1) (360) $ кола.

Кути більше 360 градусів

Ми говорили про те, що коли об'єкт робить повне коло навколо точки, то він проходить 360 °, однак, коли об'єкт робить більше одного кола, то він робить кут більше 360 градусів. Це звичайне явище в повсякденному житті. Колесо проходить багато кола, коли автомобіль рухається, тобто воно утворює кут більше 360 °.

Для того, щоб дізнатися кількість циклів (пройдених кіл) при обертанні об'єкта, ми вважаємо кількість разів, яке потрібно додати 360 до самого себе, щоб отримати число, що дорівнює або менша, ніж даний кут. Точно так само ми знаходимо число, яке ми множимо на 360, щоб отримати число менше, але найбільш близьке до даного кутку.

приклад 2
1. Знайти кількість кіл, описаних об'єктом, що утворює кут
a) 380 °
b) 770 °
c) 1000 °
Рішення
a) 380 = (1 × 360) + 20
Об'єкт описав один круг і 20 °
Так як $ 20 ^ (\ circ) = \ frac (20) (360) = \ frac (1) (18) $ кола
Об'єкт описав $ 1 \ frac (1) (18) $ кіл.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Об'єкт описав два кола і 50 °
$ 50 ^ (\ circ) = \ frac (50) (360) = \ frac (5) (36) $ кола
Об'єкт описав $ 2 \ frac (5) (36) $ кола
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$ 280 ^ (\ circ) = \ frac (260) (360) = \ frac (7) (9) $ кіл
Об'єкт описав $ 2 \ frac (7) (9) $ кіл

Коли об'єкт обертається по годинникової стрілки, то він утворює негативний кут обертання, а коли обертається проти годинникової стрілки - позитивний кут. До цього моменту ми розглядали тільки позитивні кути.

У формі діаграми негативний кут може бути зображений так, як це показано нижче.

Малюнок нижче показує знак кута, який вимірюється від загальної прямий, 0 осі (осі абсцис - х осі)

Це означає, що при наявності негативного кута, ми можемо отримати відповідний йому позитивний кут.
Наприклад, нижня частина вертикальної прямої це 270 °. Коли вимірюється в негативну сторону, то отримаємо -90 °. Ми просто віднімаємо 270 з 360. Маючи негативний кут, ми додаємо 360, для того щоб отримати соотвествующий позитивний кут.
Коли кут дорівнює -360 °, це означає, що об'єкт здійснив понад одного кола за годинниковою стрілкою.

приклад 3
1. Знайти відповідний позитивний кут
a) -35 °
b) -60 °
c) -180 °
d) - 670 °

2. Знайти відповідний негативний кут 80 °, 167 °, 330 ° і 1300 °.
Рішення
1. Для того, щоб знайти відповідний позитивний кут ми додаємо 360 до значення кута.
a) -35 ° = 360 + (-35) = 360 - 35 = 325 °
b) -60 ° = 360 + (-60) = 360 - 60 = 300 °
c) -180 ° = 360 + (-180) = 360 - 180 = 180 °
d) -670 ° = 360 + (-670) = -310
Це означає одне коло за годинниковою стрілкою (360)
360 + (-310) = 50 °
Кут дорівнює 360 + 50 = 410 °

2. Для того, щоб отримати відповідний негативний кут ми віднімаємо 360 від значення кута.
80 ° = 80 - 360 = - 280 °
167 ° = 167 - 360 = -193 °
330 ° = 330 - 360 = -30 °
1300 ° = 1300 - 360 = 940 (пройдено одне коло)
940 - 360 = 580 (пройдено друге коло)
580 - 360 = 220 (пройдено третє коло)
220 - 360 = -140 °
Кут дорівнює -360 - 360 - 360 - 140 = -1220 °
Таким чином 1300 ° = -1220 °

Радіан

Радіан - це кут з центру кола, в який поміщена дуга, довжина якої дорівнює радіусу даного кола. Це одиниця виміру кутовий величини. Такий кут приблизно дорівнює 57.3 °.
У більшості випадків, це позначається як радий.
Таким чином $ 1 рад \ approx 57.3 ^ (\ circ) $

Радіус = r = OA = OB = AB
Кут BOA дорівнює одному радіану

Оскільки довжина кола задається як $ 2 \ pi r $, то в окружності $ 2 \ pi $ радіусів, а значить в цілому колі $ 2 \ pi $ радіан.

Радіани зазвичай виражаються через $ \ pi $ щоб уникнути десяткових частин в обчисленнях. У більшості книг, абревіатура радий (rad)не зустрічається, але читач повинен знати, що, коли мова йде про вугілля, то він заданий через $ \ pi $, а одиницями вимірювання автоматично стають радіани.

$ 360 ^ (\ circ) = 2 \ pi \ rad $
$ 180 ^ (\ circ) = \ pi \ rad $,
$ 90 ^ (\ circ) = \ frac (\ pi) (2) rad $,
$ 30 ^ (\ circ) = \ frac (30) (180) \ pi = \ frac (\ pi) (6) rad $,
$ 45 ^ (\ circ) = \ frac (45) (180) \ pi = \ frac (\ pi) (4) rad $,
$ 60 ^ (\ circ) = \ frac (60) (180) \ pi = \ frac (\ pi) (3) rad $
$ 270 ^ (\ circ) = \ frac (270) (180) \ pi = \ frac (27) (18) \ pi = 1 \ frac (1) (2) \ pi \ rad $

приклад 4
1. Перетворити 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° і 390 ° в радіани через $ \ pi $.
Рішення
Помножимо кути на $ \ frac (\ pi) (180) $.
$ 240 ^ (\ circ) = 240 \ times \ frac (\ pi) (180) = \ frac (4) (3) \ pi = 1 \ frac (1) (3) \ pi $
$ 120 ^ (\ circ) = 120 \ times \ frac (\ pi) (180) = \ frac (2 \ pi) (3) $
$ 270 ^ (\ circ) = 270 \ times \ frac (1) (180) \ pi = \ frac (3) (2) \ pi = 1 \ frac (1) (2) \ pi $
$ 750 ^ (\ circ) = 750 \ times \ frac (1) (180) \ pi = \ frac (25) (6) \ pi = 4 \ frac (1) (6) \ pi $
$ 390 ^ (\ circ) = 390 \ times \ frac (1) (180) \ pi = \ frac (13) (6) \ pi = 2 \ frac (1) (6) \ pi $

2. Перетворити такі кути в градуси.
a) $ \ frac (5) (4) \ pi $
b) $ 3.12 \ pi $
c) 2.4 радіан
Рішення
$ 180 ^ (\ circ) = \ pi $
a) $ \ frac (5) (4) \ pi = \ frac (5) (4) \ times 180 = 225 ^ (\ circ) $
b) $ 3.12 \ pi = 3.12 \ times 180 = 561.6 ^ (\ circ) $
c) 1 рад = 57.3 °
$ 2.4 = \ frac (2.4 \ times 57.3) (1) = 137.52 $

Отріцаетльние кути і кути більше, ніж $ 2 \ pi $ радіан

Для того щоб перетворити негативний кут в позитивний, ми складаємо його з $ 2 \ pi $.
Для того щоб перетворити позитивний кут в негативний, ми віднімаємо з нього $ 2 \ pi $.

приклад 5
1. Перетворити $ - \ frac (3) (4) \ pi $ і $ - \ frac (5) (7) \ pi $ в позитивні кути в радіанах.

Рішення
Додаємо до кута $ 2 \ pi $
$ - \ frac (3) (4) \ pi = - \ frac (3) (4) \ pi + 2 \ pi = \ frac (5) (4) \ pi = 1 \ frac (1) (4) \ pi $

$ - \ frac (5) (7) \ pi = - \ frac (5) (7) \ pi + 2 \ pi = \ frac (9) (7) \ pi = 1 \ frac (2) (7) \ pi $

Коли об'єкт обертається на кут більший, ніж $ 2 \ pi $ ;, то він робить більше одного кола.
Для того, щоб визначити кількість оборотів (кіл або циклів) в такому вугіллі, ми знаходимо таке число, множачи яке на $ 2 \ pi $, результат дорівнює або менше, але як можна ближче до даного числа.

приклад 6
1. Знайти кількість кіл пройдених об'єктом при даних кутах
a) $ -10 \ pi $
b) $ 9 \ pi $
c) $ \ frac (7) (2) \ pi $

Рішення
a) $ -10 \ pi = 5 (-2 \ pi) $;
$ -2 \ pi $ увазі один цикл в напрямку за годинниковою стрілкою, то це означає, що
об'єкт зробив 5 циклів за годинниковою стрілкою.

b) $ 9 \ pi = 4 (2 \ pi) + \ pi $, $ \ pi = $ підлогу циклу
об'єкт зробив чотири з половиною циклу проти годинникової стрілки

c) $ \ frac (7) (2) \ pi = 3.5 \ pi = 2 \ pi + 1.5 \ pi $, $ 1.5 \ pi $ одно три чверті циклу $ (\ frac (1.5 \ pi) (2 \ pi) = \ frac (3) (4)) $
об'єкт пройшов один і три чверті циклу проти годинникової стрілки

Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря і орієнтування по зірках. Дані обчислення ставилися до сферичної тригонометрії, в той час як в шкільному курсі вивчають співвідношення сторін і кута плоского трикутника.

Тригонометрія - це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій і залежністю між сторонами і кутами трикутників.

У період розквіту культури і науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу в Грецію. Але основні відкриття тригонометрії - це заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс і котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів і котангенсів. Поняття синуса і косинуса введені індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги в працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда і Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу - це синус, косинус, тангенс і котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косинусоид, тангенсоіда і котангенсоіда.

В основі формул для розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома в формулюванні: «Піфагорови штани, однієї ширини», так як доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус і інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами і сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язку тригонометричних функцій:

Як видно, tg і ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як твір sin A і гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо такі формули для тангенса і котангенс:

тригонометричний коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна представити таким чином:

Окружність, в даному випадку, є всі можливі значення кута α - від 0 ° до 360 °. Як видно з малюнка, кожна функція приймає негативне або позитивне значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить I і II чверті кола, тобто, знаходиться в проміжку від 0 ° до 180 °. При α від 180 ° до 360 ° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.

Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів і дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° і так далі - називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій для них прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Дані кути обрані аж ніяк не випадково. Позначення π в таблицях варто для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках в радіанах не має значення дійсна довжина радіуса в см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повна окружність або 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус і косинус

Для того, щоб розглянути і порівняти основні властивості синуса і косинуса, тангенса і котангенс, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої в двовимірної системі координат.

Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди і косинусоид:

Визначити чи є функція парному чи ні дуже просто. Досить уявити тригонометричний коло зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, в іншому випадку - непарна.

Введення радіан і перелік основних властивостей синусоїди і косинусоид дозволяють привести таку закономірність:

Переконатися у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π / 2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоіди і котангенсоіди

Графіки функцій тангенса і котангенс значно відрізняються від синусоїди і косинусоид. Величини tg і ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне до значень y при x = π / 2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (- x) = - tg x, т. Е. Функція непарна.
5. Tg x = 0, при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x> 0, при x ε (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x <0, при x ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x) '= 1 / cos 2 ⁡x.

Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче по тексту.

Основні властивості котангенсоіди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіде Y може набувати значень безлічі всіх дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне до значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, т. Е. Функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π / 2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x> 0, при x ε (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x <0, при x ε (π / 2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x) '= - 1 / sin 2 ⁡x Виправити

Пара різних променів Оа і Оb, що виходять з однієї точки О, називається кутом і позначається символом (а, b). Точка О називається вершиною кута, а промені Оа u Оb - сторонами кута. Якщо А і В - дві точки променів Оа і Оb, то (а, b) позначається також символом АОВ (рис. 1.1).

Кут (а, Ь) називають розгорнутим, якщо промені Оа і Ob, що виходять з однієї точки, лежать на одній прямій і не збігаються (т. Е. Протилежно спрямовані).

рис.1.1

Два кута вважаються рівними, якщо один кут можна накласти на інший так, щоб сторони кутів збігалися. Биссектрисой кута називається промінь з початком в вершині кута, який ділив кут на два рівних кута.

Кажуть, що промінь ОС, що виходить із вершини кута АОВ, лежить між його сторонами, якщо він перетинає відрізок АВ (рис. 1.2). Кажуть, що точка С лежить між сторонами кута, якщо через цю точку можна провести промінь з початком в вершині кута, що лежить між сторонами кута. Безліч всіх точок площини, що лежать між сторонами кута, утворює внутрішню область кута (рис. 1.3). Безліч точок площини, які не належать внутрішньої області та сторонам кута, утворює зовнішню область кута.

Кут (а, b) вважають більше кута (c, d), якщо кут (с, d) можна накласти на кут (а, b) так, що після суміщення однієї пари сторін друга сторона кута (с, d) буде лежати між сторонами кута (а, b). На рис. 1.4 АОВ більше АОС.

Нехай промінь з лежить між сторонами кута (а, b) (рис. 1.5). Пари променів а, з і з, b утворюють два кута. Про вугіллі (а, b) говорять, що він є сумою двох кутів (а, с) і (с, b), і пишуть: (а, b) = (а, с) + (с, b).

рис.1.3

Зазвичай в геометрії мають справу з кутами, меншими розгорнутого. Однак в результаті складання двох кутів може вийти кут, більший розгорнутого. В цьому випадку ту частину площині, яка вважається внутрішньою областю кута, відзначають дугою. На рис. 1.6 внутрішня частина кута АОВ, отриманого в результаті складання кутів АОС і СОВ і більшого розгорнутого, відзначена дугою.

рис.1.5

Існують також кути великі 360 °. Такі кути утворюються, наприклад, обертанням пропелера літака, обертанням барабана, на який намотується канат, і т. Д.

Надалі при розгляді кожного кута домовимося вважати одну зі сторін цього кута його початковій стороною, а іншу - кінцевої стороною.

Будь-який кут, наприклад кут АОВ (рис. 1.7), можна отримати в результаті обертання рухомого променя навколо вершини Про від початкової сторони кута (ОА) до його кінцевої сторони (ОВ). Ми будемо вимірювати цей кут, з огляду на загальну кількість оборотів, зроблених при цьому навколо точки О, а також і напрямок, в якому відбувалося обертання.

Позитивні і негативні кути.

Нехай ми маємо кут, утворений променями ОА і ОВ (рис.1.8). Рухомий промінь, обертаючись навколо точки О від свого початкового положення (ОА), може зайняти кінцеве положення (ОВ) при двох різних напрямках обертання. Ці напрямки показані на малюнку 1.8 відповідними стрілками.

ріс.1.7

Подібно до того, як на числової осі одне з двох напрямків вважається позитивним, а інше негативним, розрізняють і два різних напрямки обертання рухомого променя. Домовилися вважати позитивним напрямком обертання той напрямок, який протилежно напрямку обертання годинникової стрілки. Напрямок обертання, що збігається з напрямком обертання годинникової стрілки, вважається негативним.

Відповідно до цих визначень кути також підрозділяються на позитивні і негативні.

Позитивним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки в позитивному напрямку.

На малюнку 1.9 дано деякі позитивні кути. (Напрям обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)

Негативним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки в негативному напрямку.

На малюнку 1.10 зображені деякі негативні кути. (Напрям обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)

Але два співпадаючих променя можуть також утворити і кути +360 ° п і -360 ° п (п = 0,1,2,3, ...). Позначимо через б найменший можливий ненегативний кут повороту, що переводить промінь ОА в положення ОВ. Якщо тепер промінь ОВ зробить додатково повний оборот навколо точки О, то отримаємо іншу величину кута, а саме: АВО = б +360 °.

Вимірювання кутів дугами окружності. Одиниці виміру дуг і кутів

У ряді випадків виявляється зручним вимірювати кути за допомогою дуг окружності. Можливість такого виміру основа на відомому пропозиції планіметрії про те, що в одному колі (або в рівних колах) центральні кути і відповідні їм дуги знаходяться в прямій пропорційній залежності.

Нехай деяка дуга даної окружності прийнята за одиницю виміру дуг. Відповідний цієї дузі центральний кут приймемо за одиницю вимірювання кутів. За такої умови будь-яка дуга окружності і відповідний цій дузі центральний кут будуть містити одне і те ж число одиниць виміру. Тому, вимірюючи дуги окружності, можна визначати і величину відповідних цим дуг центральних кутів.

Розглянемо дві найбільш поширені системи вимірювання дуг і кутів.

Градусна міра вимірювання кутів

При градусному вимірі кутів в якості основної одиниці виміру кутів (еталонного кута, з яким порівнюються різні кути) береться кут в один градус (позначається 1?). Кут в один градус - це кут, рівний 1/180 частини розгорнутого кута. Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в 1 °, - це кут в одну хвилину (позначається 1 "). Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в одну хвилину, - це кут в одну секунду (позначається 1").

Радіанна міра вимірювання кутів

Поряд з градусної мірою вимірювання кутів в геометрії і тригонометрії вживається й інша міра вимірювання кутів, звана радіанної. Розглянемо коло радіуса R з центром О. Проведемо два радіусу Про А і ОВ так, щоб довжина дуги АВ дорівнювала радіусу кола (рис. 1.12). Одержаний при цьому центральний кут АОВ буде кутом в один радіан. Кут в 1 радіан приймається за одиницю виміру радіанної заходи вимірювання кутів. При Радіан вимірі кутів розгорнутий кут дорівнює р радіан.

Градусна і Радіанна одиниці виміру кутів пов'язані рівністю:

1 радіан = 180? / Р57 ° 17 "45"; 1? = Р / 180 радіана0,017453радіана;

1 "= р / 180 * 60 радіана0,000291 радіана;

1 "" = р / 180 * 60 * 60 радіана0,000005 радіана.

Градусну (або Радіан) міру кута також називають величиною кута. Величину кута АОВ іноді позначають /

Класифікація кутів

Кут, що дорівнює 90 °, або в радіанної міру р / 2, називається прямим кутом; його часто позначають буквою d. Кут, менший 90 °, називається гострим; кут, більший 90 °, але менший 180 °, називається тупим.

Два кута, мають одну спільну сторону і в сумі становлять 180 °, називаються суміжними кутами. Два кута, мають одну спільну сторону і в сумі складають 90 °, називаються додатковими кутами.

Відлік кутів на тригонометричному колі.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Він майже такий, як у попередньому уроці. Є осі, окружність, кут, все чин-чінарём. Додані номери чвертей (в куточках великого квадрата) - від першої, до четвертої. А то раптом хто не знає? Як бачите, чверті (їх ще називають красивим словом "квадранти") нумеруються проти годинникової стрілки. Додані значення кута на осях. Все зрозуміло, ніяких проблем.

І додана зелена стрілка. З плюсом. Що вона означає? Нагадаю, що нерухома сторона кута завжди прибита до позитивної півосі ОХ. Так ось, якщо рухливу сторону кута ми будемо крутити по стрілці з плюсом, Тобто по зростанню номерів чвертей, кут буде вважатися позитивним.Для прикладу на зображенні показаний позитивний кут + 60 °.

Якщо будемо відкладати кути в зворотну сторону, по ходу годинникової стрілки, кут буде вважатися негативним.Наведіть курсор на картинку (або торкніться картинки на планшеті), побачите синю стрілку з мінусом. Це - напрям негативного відліку кутів. Для прикладу показаний негативний кут (- 60 °). А ще ви побачите, як змінилися циферки на осях ... Я їх теж перевів в негативні кути. Нумерація квадрантів не змінюється.

Ось тут, звичайно, починаються перші непонятки. Як так!? А якщо негативний кут на колі співпаде з позитивним !? Та й взагалі, виходить що, одне і те ж положення рухомої боку (або точки на числовій окружності) можна обізвати як негативним кутом, так і позитивним !?

Так. Саме так. Скажімо, позитивний кут 90 градусів займає на колі точно таке ж становище, що і негативний кут в мінус 270 градусів. Позитивний кут, наприклад, + 110 ° градусів займає точно таке ж становище, що і негативний кут -250 °.

Не питання. Всяко правильно.) Вибір позитивного чи негативного обчислення кута залежить від умови завдання. Якщо в умові нічого не сказано відкритим текстом про знак кута, (типу "визначити найменший позитивнийкут "і т.д.), то працюємо з зручними нам величинами.

Винятком (а як без них ?!) є тригонометричні нерівності, але там ми цю фішку освоїмо.

А тепер питання вам. Як я дізнався, що положення кута 110 ° збігається з положенням кута -250 °?
Натякну, що це пов'язано з повним оборотом. У 360 ° ... Незрозуміло? Тоді малюємо коло. Самі малюємо, на папері. відзначаємо кут приблизно 110 °. І вважаємо, Скільки залишається до повного обороту. Чи залишиться якраз 250 ° ...

Вловили? А тепер - увага! Якщо кути 110 ° і -250 ° займають на колі одне і теж становище, то що? Так то, що у кутів 110 ° і -250 ° абсолютно однакові синус, косинус, тангенс і котангенс!
Тобто sin110 ° = sin (-250 °), ctg110 ° = ctg (-250 °) і так далі. Ось це вже дійсно важливо! І саме по собі - є маса завдань, де треба спростити вирази, і як база для подальшого освоєння формул приведення і інших премудростей тригонометрії.

Ясна річ, 110 ° і -250 ° я взяв навмання, чисто для прикладу. Все ці рівності працюють для будь-яких кутів, що займають одне положення на колі. 60 ° і -300 °, -75 ° і 285 °, ну і так далі. Зазначу відразу, що кути в цих парочки - різні.А ось тригонометричні функції у них - однакові.

Думаю, що таке негативні кути ви зрозуміли. Це зовсім просто. Проти годинникової стрілки - позитивний відлік. По ходу - негативний. Вважати кут позитивним, або негативним залежить від нас. Від нашого бажання. Ну, і ще від завдання, звичайно ... Сподіваюся, ви зрозуміли і як переходити в тригонометричних функціях від негативних кутів до позитивних і назад. Намалювати коло, приблизний кут, та подивитися, скільки бракує до повного обороту, тобто до 360 °.

Кути більше 360 °.

Займемося кутами які більше 360 °. А такі бувають? Бувають, звичайно. Як їх намалювати на колі? Та не проблема! Припустимо, нам треба зрозуміти, в яку чверть потрапить кут в 1000 °? Легко! Робимо один повний оборот проти годинникової стрілки (кут-то нам дали позитивний!). Відмотав 360 °. Ну і мотаємо далі! Ще оборот - вже вийшло 720 °. Скільки залишилось? 280 °. На повний оборот не вистачає ... Але кут більше 270 ° - а це межа між третьою і четвертою чвертю. Стало бути наш кут в 1000 ° потрапляє в четверту чверть. Всі.

Як бачите, це зовсім просто. Ще раз нагадаю, що кут 1000 ° і кут 280 °, який ми отримали шляхом відкидання "зайвих" повних обертів - це, строго кажучи, різнікути. Але тригонометричні функції у цих кутів абсолютно однакові! Тобто sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° і т.д. Якби я був синусом, я б не помітив різниці між цими двома кутами ...

Навіщо все це потрібно? Навіщо нам переводити кути з одного в інший? Так все за тим же.) З метою спрощення виразів. Спрощення виразів, власне, головне завдання шкільної математики. Ну і, попутно, голова тренується.)

Ну що, потренуємося?)

Відповідаємо на питання. Спочатку прості.

1. В яку чверть потрапляє кут -325 °?

2. В яку чверть потрапляє кут 3000 °?

3. В яку чверть потрапляє кут -3000 °?

Є проблеми? Або невпевненість? Йдемо до Розділу 555, Практична робота з тригонометричним колом. Там, в першому уроці цієї самої "Практичної роботи ..." все подробненько ... В такихпитаннях невпевненості бути не повинно!

4. Який знак має sin555 °?

5. Який знак має tg555 °?

Визначили? Відмінно! Сумніваєтеся? Треба в Розділ 555 ... До речі, там навчитеся малювати тангенс і котангенс на тригонометричному колі. Дуже корисна штучка.

А тепер питання помудрёнее.

6. Привести вираз sin777 ° до синусу найменшого позитивного кута.

7. Привести вираз cos777 ° до косинусу найбільшого негативного кута.

8. Привести вираз cos (-777 °) до косинусу найменшого позитивного кута.

9. Привести вираз sin777 ° до синусу найбільшого негативного кута.

Що, питання 6-9 спантеличили? Звикайте, на ЄДІ і не такі формуліровочкі зустрічаються ... Так і бути, переведу. Тільки для вас!

Слова "привести вираз до ..." означають перетворити вираз так, щоб його значення не змінилося,а зовнішній вигляд змінився відповідно до завдання. Так, в завданні 6 і 9 ми повинні отримати синус, всередині якого стоїть наменьшій позитивний кут.Все інше - не має значення.

Відповіді видам по порядку (в порушення наших правил). А що робити, знака всього два, а чверті всього чотири ... Не розженешся в варіантах.

6. sin57 °.

7. cos (-57 °).

8. cos57 °.

9. -sin (-57 °)

Припускаю, що відповіді на питання 6 -9 декого збентежили. особливо -sin (-57 °), Правда?) Дійсно, в елементарні правила відліку кутів є місце для помилок ... Саме тому довелося зробити урок: "Як визначати знаки функцій і приводити кути на тригонометричному колі?" В Розділі 555. Там завдання 4 - 9 розібрані. Добре розібрані, з усіма підводними каменями. А вони тут є.)

У наступному уроці ми розберемося з загадковими радіанами і числом "Пі". Навчимося легко і правильно переводити градуси в радіани і назад. І з подивом виявимо, що цієї елементарної інформації на сайті вже вистачає , Щоб вирішувати деякі нестандартні завдання з тригонометрії!

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

У тригонометрії важливим поняттям є кут повороту. Нижче ми послідовно будемо давати уявлення про повороті, і вводити всі супутні поняття. Почнемо з загального уявлення про повороті, скажімо про повну обороті. Далі перейдемо до поняття кута повороту і розглянемо його основні характеристики, такі як напрямок і величина повороту. Нарешті, дамо визначення повороту фігури навколо точки. Всю теорію по тексту будемо постачати пояснювальними прикладами і графічними ілюстраціями.

Навігація по сторінці.

Що називають поворотом точки навколо точки?

Відразу відзначимо, що поряд з фразою «поворот навколо точки» будемо також використовувати словосполучення «поворот близько точки» і «поворот щодо точки», що позначає один і той же.

введемо поняття повороту точки навколо точки.

Спочатку дамо визначення центру повороту.

Визначення.

Точку, щодо якої здійснюється поворот, називають центром повороту.

Тепер скажімо, що виходить в результаті повороту точки.

В результаті повороту деякої точки A щодо центру повороту O виходить точка A 1 (яка в разі деякої кількості може збігатися з A), причому точка A 1 лежить на окружності з центром в точці O радіуса OA. Іншими словами, при повороті щодо точки O точка A переходить в точку A 1, що лежить на колі з центром в точці O радіуса OA.

Вважають, що точка O при повороті навколо самої себе переходить в саму себе. Тобто, в результаті повороту навколо центру повороту O точка O переходить в саму себе.

Також варто відзначити, що поворот точки А навколо точки O варто розглядати як переміщення в результаті руху точки А по колу з центром в точці O радіуса OA.

Для наочності наведемо ілюстрації повороту точки А навколо точки O, на малюнках, розташованих нижче, переміщення точки А в точку А 1 покажемо за допомогою стрілки.

повний оборот

Можна виконати такий поворот точки A щодо центру повороту O, що точка А, пройшовши всі точки кола, виявиться на колишньому місці. При цьому говорять, що точка А зробила навколо точки O.

Дамо графічну ілюстрацію повного обороту.

Якщо ж не зупинятися на одному обороті, а продовжувати рух точки по колу, то можна виконати два, три і так далі повних обертів. На кресленні нижче праворуч показано, як можуть бути зроблені два повних оберти, а зліва - три оберти.

Поняття кута повороту

З введеного в першому пункті поняття повороту точки зрозуміло, що існує безліч варіантів повороту точки А навколо точки O. Дійсно, будь-яку точку кола з центром в точці O радіуса OA можна розглядати як точку A 1, отриману в результаті повороту точки А. Тому, щоб відрізняти один поворот від іншого, вводиться поняття кута повороту.

Однією з характеристик кута повороту є напрямок повороту. У напрямку повороту судять про те, як здійснюється поворот точки - за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки.

Іншою характеристикою кута повороту є його величина. Кути повороту вимірюються в тих же одиницях, що і: найбільш поширені градуси і радіани. Тут варто зауважити, що кут повороту може виражатися в градусах будь-яким дійсним числом з проміжку від мінус нескінченності до плюс нескінченності, на відміну від кута в геометрії, величина якого в градусах позитивна і не перевищує 180.

Для позначення кутів повороту зазвичай використовуються малі літери грецького алфавіту: і т.д. Для позначення великої кількості кутів повороту часто застосовують одну букву з нижніми індексами, наприклад, .

Тепер поговоримо про характеристики кута повороту докладніше і по порядку.

напрямок повороту

Нехай на окружності з центром в точці O відзначені точки A і A 1. В точку А 1 можна потрапити з точки A, виконавши поворот навколо центру O або за годинниковою стрілкою, або - проти годинникової стрілки. Ці повороти логічно вважати різними.

Проілюструємо повороти в позитивному і негативному напрямку. На кресленні нижче зліва показаний поворот в позитивному напрямку, а праворуч - в негативному.

Величина кута повороту, кут довільної величини

Кут повороту точки, відмінною від центру повороту, повністю визначається зазначенням його величини, з іншого боку, за величиною кута повороту можна судити про те, як цей поворот був здійснений.

Як ми вже згадували вище, величина кута повороту в градусах виражається числом від -∞ до + ∞. При цьому знак плюс відповідає повороту за годинниковою стрілкою, а знак мінус - повороту проти годинникової стрілки.

Тепер залишилося встановити відповідність між величиною кута повороту і тим, яким повороту вона відповідає.

Почнемо з кута повороту, рівного нулю градусів. Цьому куту повороту відповідає переміщення точки А в себе. Іншими словами, при повороті на 0 градусів навколо точки O точка А залишається на місці.

Переходимо до повороту точки А навколо точки O, при якому поворот відбувається в межах половини обороту. Будемо вважати, що точка А переходить в точку А 1. В цьому випадку абсолютна величина кута AOA 1 в градусах не перевищує 180. Якщо поворот відбувався в позитивному напрямку, то величина кута повороту вважається дорівнює величині кута AOA 1, а якщо поворот відбувався в негативному напрямку, то його величина вважається дорівнює величині кута АОА 1 зі знаком мінус. Для прикладу наведемо малюнок, що показує кути повороту в 30, 180 і -150 градусів.

Кути повороту великі 180 градусів і менші -180 градусів визначаються на основі наступного досить очевидного властивості послідовних поворотів: Кілька послідовних поворотів точки A навколо центру O рівносильні одному повороту, величина якого дорівнює сумі величин цих поворотів.

Наведемо приклад, який ілюструє дане властивість. Виконаємо поворот точки А відносно точки O на 45 градусів, а потім ще повернемо цю точку на 60 градусів, після чого повернемо цю точку на -35 градусів. Позначимо проміжні точки при цих поворотах як A 1, A 2 і A 3. У цю ж точку А 3 ми могли потрапити, виконавши один поворот точки A на кут 45 + 60 + (- 35) = 70 градусів.

Отже, кути повороту, великі 180 градусів, ми будемо представляти як кілька послідовних поворотів на кути, сума величин яких дає величину вихідного кута повороту. Наприклад, кут повороту 279 градусів відповідає послідовним поворотам на 180 і 99 градусів, або на 90, 90, 90 і 9 градусів, або на 180, 180 і -81 градус, або на 279 послідовних поворотів по 1 градусу.

Аналогічно визначаються і кути повороту, менші -180 градусів. Наприклад, кут повороту -520 градусів можна інтерпретувати як послідовні повороти точки на -180, -180 і -160 градусів.

Підведемо підсумок. Ми визначили кут повороту, величина якого в градусах виражається деяким дійсним числом з проміжку від -∞ до + ∞. У тригонометрії ми будемо працювати саме з кутами повороту, хоча слово «поворот» часто опускають, і кажуть просто «кут». Таким чином, в тригонометрії ми будемо працювати з кутами довільної величини, під якими будемо розуміти кути повороту.

На закінчення цього пункту відзначимо, що повний оборот в позитивному напрямку відповідає куту повороту в 360 градусів (або 2 · π радіанів), а в негативному - куту повороту в -360 градусів (або -2 · π рад). При цьому зручно великі кути повороту представляти як деяку кількість повних обертів і ще один поворот на кут величиною від -180 до 180 градусів. Для прикладу візьмемо кут повороту 1 340 градусів. Нескладно 1 340 уявити як 360 · 4 + (- 100). Тобто, вихідного куту повороту відповідають 4 повних обороту в позитивному напрямку і подальший поворот на -100 градусів. Інший приклад: кут повороту -745 градусів можна інтерпретувати як два оберти проти годинникової стрілки і подальший поворот на 25 градусів, так як -745 = (- 360) · 2 + (- 25).

Поворот фігури навколо точки на кут

Поняття повороту точки легко розширюється на поворот будь-якої фігури навколо точки на кут(Мова йде про такий поворот, що і точка, відносно якої здійснюється поворот, і фігура, яку повертають, лежать в одній площині).

Під поворотом фігури будемо розуміти поворот всіх точок фігури навколо заданої точки на даний кут.

Як приклад наведемо ілюстрацію наступного кроку: виконаємо поворот відрізка AB на кут відносно точки O, це відрізок при повороті перейде в відрізок A 1 B 1.

Список літератури.

• алгебра:Учеб. для 9 кл. середовищ. шк. / Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; Під ред. С. А. Теляковского.- М .: Просвещение, 1990.- 272 с .: іл.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-е изд. - М .: Просвещение, 1993. - 351 с .: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• алгебраі початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.