Compter les coins sur un cercle trigonométrique. Angles positifs et négatifs. La distribution des coins dans les quartiers. Mesure de coin peut être négatif

Angle: ° π rad \u003d

Convertir en: degrés de radians 0 - 360 ° 0 - 2π Calcul positif négatif

Lorsque des intersections directes, quatre zones différentes sont obtenues par rapport au point d'intersection.
Ces nouveaux domaines sont appelés coins.

La photo montre 4 angle différent formé par l'intersection de Direct AB et CD

Typiquement, les angles sont mesurés en degrés, indiqués sous la forme. Lorsque l'objet effectue un cercle complet, c'est-à-dire passer du point D via B, C, A, puis de retour à D, puis dit qu'il a tourné 360 degrés (360 °). Ainsi, le degré est $ \\ frac (1) (360) $ cercle.

Angles plus de 360 \u200b\u200bdegrés

Nous avons parlé du moment où l'objet fait un cercle complet autour du point, puis il passe à 360 °, cependant, lorsque l'objet fait plus d'un cercle, cela fait un angle de plus de 360 \u200b\u200bdegrés. C'est un phénomène commun dans la vie quotidienne. La roue passe de nombreux cercles lorsque la voiture se déplace, c'est-à-dire qu'elle forme un angle supérieur à 360 °.

Afin de trouver le nombre de cycles (cercles couverts) lorsque l'objet est tourné, nous considérons le nombre de fois que vous devez ajouter 360 à vous-même pour obtenir un numéro égal ou inférieur à cet angle. De même, nous trouvons le numéro que nous multiplions sur 360 pour obtenir un certain nombre de plus petits, mais les plus proches de ce coin.

Exemple 2.
1. Trouvez le nombre de cercles décrits par l'angle
a) 380 °
b) 770 °
c) 1000 °
Décision
a) 380 \u003d (1 × 360) + 20
L'objet décrit un cercle et 20 °
Depuis 20 $ (\\ CIRC) \u003d \\ frac (20) (360) \u003d \\ frac (1) (18) $ Cercle
L'objet décrit 1 \\ frc (1) (18) $ cercles.

B) 2 × 360 \u003d 720
770 \u003d (2 × 360) + 50
L'objet décrit deux cercles et 50 °
50 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (50) (360) \u003d \\ frac (5) (36) $ cercle
L'objet décrit 2 \\ frag (5) (36) $ cercle
c) 2 × 360 \u003d 720
1000 \u003d (2 × 360) + 280
280 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (260) (360) \u003d \\ frac (7) (9) $ cercles
L'objet décrit 2 \\ frag (7) (9) $ cercles

Lorsque l'objet tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, il constitue un angle de rotation négatif, et lorsqu'il tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre - un angle positif. Jusqu'à ce point, nous n'avons considéré que des angles positifs.

Sous la forme d'un diagramme, un angle négatif peut être décrit comme indiqué ci-dessous.

La figure ci-dessous montre le signe de l'angle, qui est mesuré à partir de la ligne totale, 0 axe (axe d'axe abscaissatif)

Cela signifie que, en présence d'un angle négatif, nous pouvons obtenir l'angle positif correspondant.
Par exemple, la partie inférieure du direct vertical est de 270 °. Lorsqu'il est mesuré dans une direction négative, nous obtenons -90 °. Nous soustrayons simplement 270 sur 360. Avoir un angle négatif, nous ajoutons 360 afin d'obtenir un angle positif correspondant.
Lorsqu'un angle est -360 °, cela signifie que l'objet a fait plus d'un cercle dans le sens des aiguilles d'une montre.

Exemple 3.
1. Trouver l'angle positif approprié
a) -35 °
b) -60 °
C) -180 °
D) - 670 °

2. Recherchez l'angle négatif correspondant de 80 °, 167 °, 330 ° et 1300 °.
Décision
1. Afin de trouver l'angle positif approprié, nous ajoutons 360 à la valeur de coin.
a) -35 ° \u003d 360 + (-35) \u003d 360 - 35 \u003d 325 °
b) -60 ° \u003d 360 + (-60) \u003d 360 - 60 \u003d 300 °
c) -180 ° \u003d 360 + (-180) \u003d 360 - 180 \u003d 180 °
d) -670 ° \u003d 360 + (-670) \u003d -310
Cela signifie un cercle dans le sens des aiguilles d'une montre (360)
360 + (-310) \u003d 50 °
L'angle est 360 + 50 \u003d 410 °

2. Afin d'obtenir un angle négatif approprié, nous soustrayons 360 de la valeur angulaire.
80 ° \u003d 80 - 360 \u003d - 280 °
167 ° \u003d 167 - 360 \u003d -193 °
330 ° \u003d 330 - 360 \u003d -30 °
1300 ° \u003d 1300 - 360 \u003d 940 (un cercle passé)
940 - 360 \u003d 580 (le deuxième tour passé)
580 - 360 \u003d 220 (le troisième cercle a passé)
220 - 360 \u003d -140 °
L'angle est -360 - 360 - 360 - 140 \u003d -1220 °
Ainsi, 1300 ° \u003d -1220 °

Radian

Radine est un angle du centre du cercle dans lequel l'arc est conclu, dont la longueur est égale au rayon de ce cercle. Ceci est une unité de mesure d'une valeur angulaire. Un tel angle est d'environ 57,3 °.
Dans la plupart des cas, il est indiqué comme heureux.
Ainsi 1 rad \\ environ 57,3 ^ (\\ circ) $

Rayon \u003d r \u003d oa \u003d ob \u003d ab
BOA Angle est égal à une radia

Étant donné que la longueur de la circonférence est définie comme $ 2 \\ pi R $, puis dans la circonférence de 2 \\ PI $ Radii, ce qui signifie en général le cercle $ 2 \\ pi $ radian.

Les radians sont généralement exprimés par $ \\ PI $ pour éviter les pièces décimales dans les calculs. Dans la plupart des livres, abréviation rad (rad) Non trouvé, mais le lecteur doit savoir que lorsqu'il s'agit d'un angle, il est défini par $ \\ PI $, et les unités de mesure deviennent automatiquement des radians.

$ 360 ^ (\\ circ) \u003d 2 \\ pi \\ rad $
180 $ ^ (\\ circ) \u003d \\ pi \\ rad $
90 $ ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (\\ pi) (2) rad $
30 $ ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (30) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (6) rad $
45 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (45) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (4) rad $
60 $ ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (60) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (3) rad $
270 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (270) (180) \\ pi \u003d \\ frac (27) (18) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi \\ rad $

Exemple 4.
1. Convertissez 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° et 390 ° des radians grâce à $ \\ PI $.
Décision
Je multiplie les coins sur $ \\ frac (\\ pi) (180) $.
240 ^ (\\ circ) \u003d 240 \\ fois \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (4) (3) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (3) \\ pi $
120 $ ^ (\\ circ) \u003d 120 \\ fois \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (2 \\ pi) (3) $
270 ^ (\\ circ) \u003d 270 \\ fois \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (3) (2) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi $
750 $ ^ (\\ circ) \u003d 750 \\ fois \\ fois \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (25) (6) \\ pi \u003d 4 \\ frac (1) (6) \\ pi $
390 ^ (\\ circ) \u003d 390 \\ fois \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (13) (6) \\ pi \u003d 2 \\ frac (1) (6) \\ pi $

2. Convertissez les angles suivants en degrés.
a) $ \\ frc (5) (4) \\ pi $
b) 3,12 $ \\ pi $
c) 2.4 Radians
Décision
180 $ ^ (\\ circ) \u003d \\ pi $
a) $ \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ fois 180 \u003d 225 ^ (\\ circ) $ $
b) 3,12 \\ pi \u003d 3.12 \\ fois 180 \u003d 561.6 ^ (\\ circ) $
c) 1 rad \u003d 57,3 °
$ 2.4 \u003d \\ frac (2.4 \\ fois 57.3) (1) \u003d 137.52 $

Angles et angles négatifs Plus de 2 \\ PI $ Radian

Afin de convertir un angle négatif en une position positive, nous le plions avec 2 \\ PI $.
Afin de convertir un angle positif en négatif, nous déduirons 2 \\ pi $ $ de celui-ci.

Exemple 5.
1. Convertir $ - \\ frac (3) (4) \\ PI $ $ et $ - \\ frac (5) (7) \\ PI $ en angles positifs dans les radians.

Décision
Ajoutez au coin de 2 \\ pi $
$ - \\ frac (3) (4) \\ pi \u003d - \\ frac (3) (4) \\ PI + 2 \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (4) \\ PI $

$ - \\ frac (5) (7) \\ pi \u003d - \\ frac (5) (7) \\ PI + 2 \\ pi \u003d \\ frac (9) (7) \\ pi \u003d 1 \\ frac (2) (7) \\ PI $

Lorsque l'objet fait pivoter un angle supérieur à 2 $ \\ pi $;, puis il fait plus d'un cercle.
Afin de déterminer le nombre de révolutions (cercles ou cycles) sousbles angle, nous trouvons un tel nombre, qui multiplique quels $ 2 \\ PI $ est égal ou inférieur, mais aussi près que possible de ce nombre.

Exemple 6.
1. Trouvez le nombre de cercles couverts par l'objet dans ces coins
a) $ -10 \\ pi $
b) 9 $ \\ pi $
c) $ \\ frac (7) (2) \\ pi $

Décision
a) $ -10 \\ pi \u003d 5 (-2 \\ pi) $;
$ -2 \\ pi $ implique un cycle vers la direction de la montre dans le sens des aiguilles d'une montre, alors cela signifie que
L'objet a fait 5 cycles dans le sens des aiguilles d'une montre.

b) 9 \\ pi \u003d 4 (2 \\ pi) + \\ pi $, $ \\ pi \u003d $ cycle
L'objet a fait quatre et demi cycle dans le sens antihoraire

c) $ \\ frac (7) (2) \\ pi \u003d 3,5 \\ pi \u003d 2 \\ pi + 1.5 \\ pi $, $ 1.5 \\ PI $ est trois quarts de cycle de $ (\\ frac (1,5 \\ pi) (2 \\ \\ Pi) \u003d \\ frac (3) (4)) $
L'objet a passé un et trois quarts du cycle dans le sens antihoraire

La trigonométrie, comme la science, est originaire de l'ancienne Est. Les premiers ratios trigonométriques ont été dérivés d'astronomes pour créer un calendrier précis et se concentrer sur les étoiles. Ces calculs appartenaient à la trigonométrie sphérique, tandis que dans le cours de l'école, les ratios des parties et un angle d'un triangle plat sont étudiés.

La trigonométrie est une section de mathématiques engagées dans les propriétés des fonctions trigonométriques et de la dépendance entre les parties et les coins des triangles.

Pendant l'apogée de la culture et de la science du premier millénaire, notre ère de la connaissance s'est répandue de l'ancien est de la Grèce. Mais les principales découvertes de la trigonométrie sont le mérite des maris du califat arabe. En particulier, le scientifique turkmène Al-Marazvi est entré dans les fonctions telles que Tangent et Kotangent, compilée des premières tables de valeurs sinusales, de tangentes et de catalles. Le concept de sinus et de cosinus est introduit par des scientifiques indiens. La trigonométrie est consacrée à beaucoup d'attention aux écrits de si grands leaders de l'Antiquité, tels que l'euclidea, les Archimédes et l'eratosthène.

Les principales valeurs de la trigonométrie

Les principales fonctions trigonométriques de l'argument numérique sont des sinus, cosinus, tangents et catangents. Chacun d'entre eux a son propre emploi du temps: sinusoïde, cosinéide, tangensoïde et catangensoïde.

La base des formules pour calculer les valeurs des quantités spécifiées est le théorème Pythagoreo. Les écoliers sont plus connus dans le libellé: «Ptaliers Pythagore, dans toutes les directions sont égaux», étant donné que la preuve est donnée sur un exemple d'un triangle rectangulaire de taille égale.

Les sinus, cosinus et autres dépendances établissent un lien entre les coins tranchants et les côtés de tout triangle rectangulaire. Nous donnons des formules pour calculer ces valeurs pour angle A et tracer la relation des fonctions trigonométriques:

Comme on peut le voir, TG et CTG sont des fonctions inverse. Si vous soumettez CATAT A comme un morceau de péché A et des hypoténus avec et roulez B sous la forme de COS A * C, nous recevrons les formules suivantes pour Tangent et Kotangent:

Cercle trigonométrique

Graphique, le rapport desdites valeurs peut être représenté comme suit:

Dans ce cas, le cercle est tout possible d'angle α - de 0 ° à 360 °. Comme on peut le voir sur la figure, chaque fonction prend une valeur négative ou positive en fonction de la valeur de coin. Par exemple, le péché α sera avec le signe "+", si α appartient aux I et II du quart du cercle, c'est-à-dire qu'il est compris entre 0 ° et 180 °. Avec des α de 180 ° à 360 ° (III et IV Quarters), le péché α ne peut être qu'une valeur négative.

Essayons de construire des tables trigonométriques pour des angles spécifiques et de trouver la valeur des valeurs.

Les valeurs α sont de 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 °, et ainsi de suite - sont appelées cas spéciaux. Les valeurs des fonctions trigonométriques sont calculées pour elles et sont présentées sous la forme de tables spéciales.

Ces angles ne sont choisis par aucun accident. La désignation π dans les tables représente des radians. Rad est un angle auquel la longueur de l'arc de circonférence correspond à son rayon. Cette valeur a été introduite afin d'établir une dépendance universelle, lors du calcul des radians, la longueur réelle du rayon en cm n'a pas d'importance.

Les coins des tableaux pour les fonctions trigonométriques correspondent aux valeurs de radian:

Donc, il n'est pas difficile de deviner que 2π est un cercle complet ou à 360 °.

Propriétés des fonctions trigonométriques: sinus et cosinus

Afin de considérer et de comparer les principales propriétés de sinus et de cosinus, de tangents et de Catangens, il est nécessaire de tirer leurs fonctions. Cela peut être fait sous la forme d'une courbe située dans un système de coordonnées bidimensionnel.

Considérez un tableau comparatif des propriétés pour les sinusoïdes et les cosinéides:

Déterminez si la fonction est même ou non très simple. Il suffit de présenter un cercle trigonométrique avec des signes de valeurs trigonométriques et de "plié mentalement" le planning relatif à l'axe de bœuf. Si les signes coïncident, la fonction est même, sinon - un étrange.

L'introduction de radians et de transfert des principales propriétés des sinusoïdes et des cosinesids vous permettent d'apporter la régularité suivante:

Assurez-vous que la formule est très simple. Par exemple, pour x \u003d π / 2 sinus est 1, ainsi que cosinus x \u003d 0. Vous pouvez vérifier les tables ou la traçage des fonctions des fonctions pour les valeurs spécifiées.

Propriétés des tangensoïdes et des kottangensoïdes

Les graphiques des fonctions de tangente et de kotangent diffèrent considérablement de sinusoïdes et de cosinéides. Les valeurs de TG et de CTG sont de retour les unes aux autres.

1. Y \u003d tg x.
2. Les tangentsoïdes ont tendance à valider y à x \u003d π / 2 + πk, mais ne les atteintes jamais.
3. La période positive la plus basse du tangensoïde est égale à π.
4. TG (- x) \u003d - Tg x, c'est-à-dire, la fonction est impair.
5. Tg x \u003d 0, à x \u003d πk.
6. La fonction augmente.
7. Tg x\u003e 0, à x ε (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x \u003c0, à x ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Dérivé (TG X) '\u003d 1 / COS 2 \u2061X.

Considérez l'image graphique des catangensoïdes sous le texte.

Les principales propriétés des kotangensoïdes:

1. Y \u003d ctg x.
2. Contrairement aux fonctions de sinus et de cosinus, dans des tangentsoïde y, il peut prendre les valeurs de nombreux nombres valides.
3. KothagenSoïde a tendance à valider Y à x \u003d πk, mais ne les atteintes jamais.
4. La plus petite période positive du catangensoïde est égale à π.
5. CTG (- x) \u003d - CTG X, c'est-à-dire impair.
6. Ctg x \u003d 0, à x \u003d π / 2 + πk.
7. La fonction est décroissante.
8. CTG X\u003e 0, à x ε (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x \u003c0, à x ε (π / 2 + πk, πk).
10. Dérivé (CTG X) '\u003d - 1 / SIN 2 \u2061X Fix

Une paire de faisceaux différents d'oa et d'OB, émergeant d'un point O, est appelé angle et est indiqué par le symbole (A, B). Le point O est appelé le pic de l'angle et les rayons de l'UB UB - les côtés de l'angle. Si A et B - deux points des rayons OA et OB, alors (A, B) est également indiqué par le symbole des AOS (Fig. 1.1).

L'angle (A, B) est appelé élargi si les rayons de l'oe et de l'OB, émergeant d'un point sur une ligne droite et ne coïncident pas (c'est-à-dire dirigé de manière opposée).

Fig.1.1

Deux angle sont considérés comme égaux si un angle peut être appliqué à un autre afin que le côté des coins coïncide. L'angle de bissecteur est appelé faisceau avec le début en haut de l'angle, divisant l'angle en deux coins égaux.

On dit qu'un rayon d'exploitation, venant du haut de l'angle AO, réside entre ses partis s'il traverse le segment d'av (Fig. 1.2). On dit que le point C se situe entre les côtés de l'angle, si un rayon peut être maintenu à travers ce point avec le début au sommet de l'angle, allongé entre les côtés de coin. L'ensemble de tous les points de l'avion menant entre les côtés de l'angle forme une zone interne de l'angle (Fig. 1.3). L'ensemble de points de l'avion n'appartenant pas à la région intérieure et les côtés de l'angle forme une zone extérieure de l'angle.

Un angle (A, B) est considéré comme plus d'angle (C, D) si l'angle (C, D) peut être imposé sur un angle (A, B) de sorte qu'après la combinaison d'une paire de côtés, le deuxième côté de L'angle (C, D) se situera entre les côtés de l'angle (A, B). En figue. 1.4 AOS plus AOS.

Laissez le faisceau avec des mensonges entre les côtés de l'angle (A, B) (Fig. 1.5). Les couples de rayons A, C et C, B forment deux coins. À propos de l'angle (A, B) Ils disent que c'est la somme de deux angles (A, C) et (C, B), et écrivez: (A, B) \u003d (A, C) + (C, B) .

Fig.1.3

Habituellement dans la géométrie, ils traitent des angles plus petits que ceux déployés. Cependant, à la suite de l'ajout de deux angles, un angle peut être évacué pour être plus déployé. Dans ce cas, la partie de l'avion, considérée comme une zone interne de l'angle, est marquée d'arc. En figue. 1.6 L'intérieur de l'angle AOS, obtenu à la suite de l'ajout des angles d'AOC et de OV et de plus déployé, est marqué par Arc.

Fig.1.5.

Il y a aussi des angles de grande 360 \u200b\u200b°. Ces angles sont formés, par exemple, par la rotation de l'hélice de plan, la rotation du tambour, sur laquelle la corde est enroulée, etc.

À l'avenir, lorsque vous envisagez chaque angle, nous acceptons de considérer l'un des côtés de cet angle de sa part initiale, et l'autre est la partie ultime.

N'importe quel angle, par exemple, l'angle d'AOS (figure 1.7), peut être obtenu à la suite de la rotation du faisceau mobile autour du sommet du côté initial de l'angle (OA) à son côté d'extrémité. Nous allons mesurer cet angle, en tenant compte du nombre complet de révolutions effectuées autour du point O, ainsi que de la direction dans laquelle la rotation s'est produite.

Angles positifs et négatifs.

Laissons un angle formé par les rayons de l'OA et de l'OI (fig.1.8). Le rayon mobile, tournant autour du point O de sa position initiale (OA) peut prendre la ou les positions finales à deux directions de rotation différentes. Ces directions sont illustrées à la figure 1.8 avec les flèches correspondantes.

Fig.1.7

Tout comme sur un axe numérique, l'une des deux directions est considérée comme positive, et l'autre est négative, deux directions différentes de rotation du faisceau mobile sont distinguées. Il a été convenu d'être considéré comme une direction positive de rotation que la direction opposée à la direction de la rotation du sens des aiguilles d'une montre. La direction de rotation coïncide avec la direction de rotation du sens des aiguilles d'une montre, est considérée comme négative.

Conformément à ces définitions, les angles sont également divisés en positif et négatif.

Un angle positif est appelé angle formé par la rotation du faisceau mobile autour du point de départ dans la direction positive.

La figure 1.9 a quelques angles positifs. (La direction de rotation du faisceau mobile est représentée dans les dessins des flèches.)

Un angle négatif est appelé angle formé par la rotation du faisceau mobile autour du point de départ dans la direction négative.

La figure 1.10 montre des angles négatifs. (La direction de rotation du faisceau mobile est représentée dans les dessins des flèches.)

Mais les deux rayons coïncidants peuvent également se former et les angles de + 360 ° P et -360 ° C (n \u003d 0,1,2,3, ...). Noter par l'a utilisé le plus petit angle de rotation non négatif possible, qui a transféré le rayon de l'oa à la position du système d'exploitation. Si maintenant, le rayon d'ov est fabriqué en plus un virage complet autour du point O, alors nous obtenons une autre valeur de l'angle, à savoir: avo \u003d B + 360 °.

Mesure des coins des arcs de cercle. Unités de mesure des arcs et des coins

Dans certains cas, il s'avère commode pour mesurer les angles à l'aide de l'arc de cercle. La possibilité d'une telle mesure de la base sur la proposition bien connue de la planification selon laquelle les angles centraux et les arcs correspondants sont en dépendance directe proportionnelle à ce sujet sont en un cercle.

Soit un arc de ce cercle adopté par unité de mesure de l'arc. L'angle central correspondant à cet arc prendra l'unité de mesure des angles. Avec cette condition, toute arc de circonférence et l'angle central correspondant correspondant à cet arc contiendront le même nombre d'unités de mesure. Par conséquent, mesurer les arcs de cercle, il est possible de déterminer la magnitude des coins centraux correspondant à ces arcs.

Considérez les deux systèmes les plus courants pour mesurer les arcs et les angles.

Diplôme mesurant les coins

Au cours d'une mesure de degrés sur les angles comme unité principale de mesure des angles (l'angle de référence, avec lequel différents angles sont comparés) un angle est pris en un degré (désigné 1?). L'angle d'un degré est un angle égal à 1/180 de l'angle élargi. Un angle égal à 1/60 d'un angle de 1 ° est un angle d'une minute (désigné 1 "). L'angle égal à 1/60 partie d'un angle en une minute est un angle en une seconde (désigné 1").

Mesure de mesure du coin radian

Parallèlement à la mesure de mesure des angles de la géométrie et de la trigonométrie, l'autre mesure de mesure est également utilisée, appelée radian. Considérons le cercle du rayon r avec le centre de O. Nous effectuerons deux rayons d'A et OB afin que la longueur de l'arc AV soit égale au rayon de cercle (Fig. 1.12). L'angle central des AOS obtenus en même temps sera un angle d'un radian. L'angle de 1 radian est adopté par unité de mesure de la mesure de mesure de la mesure radiculaire. Lorsque les angles sont radicaux, l'angle détaillé est égal aux radians R.

Le degré et les unités radianes de mesure des angles sont associées à des égalités:

1 radian \u003d 180? / P57 ° 17 "45"; 1? \u003d P / 180 radian0.017453radian;

1 "\u003d p / 180 * 60 radian0.000291 radian;

1 "" \u003d r / 180 * 60 * 60 radian0.000005 radian.

La mesure de degré (ou de radian) de l'angle est également appelée coin. La valeur angulaire des AOS est parfois notée /

Classification des coins

Un angle égal à 90 °, ou dans la mesure radiculaire de P / 2, est appelé angle direct; Il est souvent désigné par la lettre d. Un angle inférieur à 90 ° s'appelle Sharp; L'angle supérieur à 90 °, mais plus 180 ° est appelé stupide.

Deux angles ayant un côté commun et de la quantité de composants à 180 ° sont appelés angles adjacents. Deux angles ayant un côté commun et de la quantité de composants de 90 ° sont appelés coins supplémentaires.

Compter les coins sur un cercle trigonométrique.

Attention!
Ce sujet a plus
Matériaux dans une section spéciale 555.
Pour ceux qui sont fortement "pas très ..."
Et pour ceux qui sont "très ...")

Il est presque comme dans la leçon précédente. Il y a des axes, un cercle, un angle, tout rang chinar. Des quartiers ajoutés (dans les coins d'une grande place) - du premier à quatrième. Et puis et si quelqu'un ne sait pas? Comme vous pouvez le constater, un quart (ils sont également appelés les numéros de «quadrants» «quadrants») par rapport au cours du sens des aiguilles d'une montre. Ajout de valeurs d'angle sur les axes. Tout est clair, pas de problèmes.

Et la flèche verte a été ajoutée. Avec un plus. Qu'est-ce que ça veut dire? Laissez-moi vous rappeler que le côté stationnaire du coin toujours Il est cloué sur le semi-axe positif oh. Donc, si nous allons tourner le côté mouvement de l'angle sur la flèche avec un plus. Nombres de quarta ascendants, l'angle sera considéré comme positif. Par exemple, l'image montre un angle positif + 60 °.

Si nous retenons les coins dans la direction opposée, le long de la flèche dans le sens des aiguilles d'une montre, l'angle sera considéré comme négatif. Souris sur la photo (ou tapez sur les images sur la tablette), voir la flèche bleue avec un moins. C'est la direction de la référence négative des coins. Par exemple, un angle négatif est représenté (60 °). Et vous verrez comment les diqus ont changé sur les axes ... Je les ai également transférés aux angles négatifs. La numérotation des quadrants ne change pas.

Ici, généralement, les premiers malentendus commencent. Comment!? Et si l'angle négatif sur le cercle coïncide avec positif !? Et en général, il s'avère que la même position du côté mobile (ou du point sur le cercle numérique) peut être appelée angle négatif et positif !?

Oui. Exactement. Disons qu'un angle positif de 90 degrés occupe un cercle exactement le même La situation est comme un angle négatif en moins de 270 degrés. Angle positif, par exemple, + 110 ° degrés occupe exactement le même position comme angle négatif -250 °.

Aucun problème. Ci-dessus correctement.) Le choix d'un calcul positif ou négatif de l'angle dépend de la condition de la tâche. Si rien n'est dit à l'état texte ouvert sur le panneau de coin, (type »pour déterminer le plus petit positif Corner ", etc.), nous travaillons avec des valeurs confortables.

Sauf (et comment sans eux ?!) sont des inégalités trigonométriques, mais nous maîtriserons cette puce.

Et maintenant la question que vous. Comment ai-je reconnu que la position de l'angle de 110 ° coïncide avec la position de l'angle -250 °?
Surnom que cela est dû au tour complet. À 360 ° ... pas clair? Puis dessinez un cercle. Nous tirons sur papier. Nous marquons le coin à propos de 110 °. ET considérercombien il reste à un chiffre d'affaires complet. Il ne restera que 250 ° ...

Pris? Et maintenant - attention! Si les angles sont de 110 ° et -250 ° occuper dans un cercle même position, quoi? Oui que les angles sont de 110 ° et -250 ° complètement identique Sinus, Kosinus, Tangent et Cotangent!
Ceux. SIN110 ° \u003d péché (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °) et ainsi de suite. C'est déjà vraiment important! Et en soi - il y a beaucoup de tâches, où il est nécessaire de simplifier les expressions et, comme une base pour le développement ultérieur des formules d'apport et d'une autre sagesse de la trigonométrie.

Clear Case, 110 ° et -250 ° J'ai pris l'autoamum, purement par exemple. Toutes ces égalités fonctionnent pour tous les coins qui occupent une position dans le cercle. 60 ° et -300 °, -75 ° et 285 °, et ainsi de suite. Je note immédiatement que les angles de ces couples - différent. Et voici les fonctions trigonométriques d'entre eux - le même.

Je pense que de tels angles négatifs que vous comprenez. C'est assez simple. Contre les progrès dans le sens des aiguilles d'une montre - un compte à rebours positif. Dans le cours - négatif. Lire l'angle positif ou négatif dépend de nous. De notre désir. Eh bien, et de la tâche, bien sûr ... J'espère que vous comprenez et comment vous déplacer dans des fonctions trigonométriques des angles négatifs à positif et à l'arrière. Dessinez un cercle, un angle approximatif, mais voyez combien de manque de chiffre d'affaires complet, c'est-à-dire jusqu'à 360 °.

Les coins sont supérieurs à 360 °.

Coins qui sont plus de 360 \u200b\u200b°. Y a-t-il de tel? Il y a bien sûr. Comment les dessiner dans un cercle? Oui, pas un problème! Supposons que nous ayons besoin de comprendre quel quartier aura un angle de 1000 °? Facilement! Nous faisons un tour complet contre le temps du sens des aiguilles d'une montre (l'angle a été donné positif!). Déplacé à 360 °. Eh bien, et vent! Un autre tour - déjà il s'est avéré 720 °. Combien en reste-t-il? 280 °. Il n'y a pas assez pour un tour complet ... mais l'angle est supérieur à 270 ° - et c'est la frontière entre le troisième et le quatrième trimestre. C'était notre angle en 1000 ° entre dans le quatrième trimestre. Tout.

Comme vous pouvez le constater, c'est assez simple. Encore une fois, je vous rappelle que l'angle est de 1000 ° et un angle de 280 °, que nous avons traversé les révolutions complètes "inutiles inutiles" - c'est, à proprement parler, différent Coins. Mais les fonctions trigonométriques de ces coins complètement identique! Ceux. SIN1000 ° \u003d SIN280 °, COS1000 ° \u003d COS280 °, etc. Si j'étais sinus, je ne remarquerais pas la différence entre ces deux coins ...

Pourquoi avez-vous besoin de tout cela? Pourquoi avons-nous besoin de traduire les coins de l'un à l'autre? Oui, tout est pareil.) Afin de simplifier les expressions. Simplification des expressions, en fait, la tâche principale des mathématiques scolaires. Eh bien, dans la voie, la tête est une formation.)

Bien, pratique?)

Répondez aux questions. Premier simple.

1. Quel trimestre le coin -325 ° est-il tombé?

2. Quel trimestre l'angle de 3000 ° tombe-t-il?

3. Quel trimestre l'angle -3000 est-il tombé?

Il ya un problème? Ou incertitude? Nous allons à la section 555, travail pratique avec un cercle trigonométrique. Là, dans la première leçon, ce très "travail pratique ..." Tout est détaillé ... dans tel Problèmes d'insécurité à être pas!

4. Quel signe SIN555 °?

5. Quel signe est TG555 °?

Défini? Excellent! Doute? Il est nécessaire de faire l'article 555 ... Au fait, ils apprendront à dessiner tangente et cotangente sur un cercle trigonométrique. Chose très utile.

Et maintenant des questions à la racine.

6. Certifiez l'expression SIN777 ° au sinus du plus petit angle positif.

7. Créez une expression COS777 ° au cosinus du plus grand angle négatif.

8. Fournir l'expression de la COS (-777 °) au cacinus du plus petit angle positif.

9. Certifiez l'expression SIN777 ° au sinus de l'angle négatif le plus élevé.

Quelles sont les questions 6-9 perplexe? Habituez-vous à, lors de l'examen et non de telles performances de formulation ... SO SO, je vais traduire. Seulement pour toi!

Les mots "apportent une expression à ..." signifie convertir une expression de sorte que sa valeur inchangé Et l'apparence a changé conformément à la tâche. Donc, dans la tâche 6 et 9, nous devons avoir des sinus, dans lesquels cela coûte coin positif muet. Tout le reste - cela n'a pas d'importance.

Les réponses seront émises dans l'ordre (en violation de nos règles). Et que faire, le signe est seulement deux, et le quart n'est que quatre ... vous ne fonctionnerez pas dans les options.

6. SIN57 °.

7. COS (-57 °).

8. COS57 °.

9. -Sin (-57 °)

Je suppose que les réponses aux questions 6 -9 une personne confuse. Spécial -sin (-57 °)Est-ce vrai?) En effet, dans les règles élémentaires de coins de référence, il y a une place pour les erreurs ... C'est pourquoi j'ai dû faire une leçon: «Comment identifier les signes de fonctions et amener les coins sur un cercle trigonométrique? " Dans la section 5555. Il y a 4 à 9 tâches désassemblées. Bien désassemblé, avec toutes les pierres sous-marines. Et ils sont là.)

Dans la prochaine leçon, nous allons traiter avec des radians mystérieux et le nombre "PI". Nous allons apprendre à traduire facilement et correctement de degrés en radians et en arrière. Et avec surprise, vous constaterez que cette information élémentaire sur le site sais déjà Pour résoudre des tâches de trigonométrie non standard!

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Au fait, j'ai un autre couple de sites intéressants pour vous.)

Il est possible d'accéder à des exemples de résolution et de résolution de votre niveau. Test avec contrôle instantané. Apprendre - avec intérêt!)

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En trigonométrie, un concept important est angle de rotation. Ci-dessous, nous donnerons systématiquement une idée de la rotation et entrez tous les concepts concomitants. Commençons par la présentation générale du virage, disons à tout tour. Ensuite, nous passons au concept d'angle de rotation et considérons ses caractéristiques principales, telles que la direction et l'ampleur de la rotation. Enfin, nous donnerons la définition de la forme de la figure autour du point. Toute théorie du texte sera fournie avec des exemples explicatifs et des illustrations graphiques.

Navigation de la page.

Qu'est-ce qu'on appelle tourner le point autour du point?

Immédiatement, nous notons que, avec la phrase "Tournant autour du point", nous utiliserons également la phrase "Tournez autour du point" et "Tourner par rapport au point", ce qui signifie la même chose.

Nous introduisons le concept de rotation du point autour du point.

Nous donnons d'abord la définition du centre de rotation.

Définition.

Point relatif que le virage est appelé centre de tournage.

Disons maintenant ce qui est obtenu à la suite de la rotation du point.

À la suite de la rotation de certains points, un par rapport au centre de tournage O, le point A 1 est obtenu (lequel dans le cas d'une certaine quantité peut coïncider avec a), et le point A 1 se situe sur le cercle avec la centre au point de rayon OA. En d'autres termes, lors du tournant relatif au point O Pointez un processus au point A 1, allongé sur le cercle avec le centre au point de rayon OA.

On croit que le point O lorsqu'il est tourné autour de lui-même se rend dans lui-même. C'est-à-dire que le fait de tourner autour du centre de rotation, le point O passe en soi.

Il convient également de noter que la rotation du point A autour du point O devrait être considérée comme bougeant du mouvement du point A autour du cercle avec le centre du rayon de l'OA.

Pour plus de clarté, nous présentons une illustration de la rotation du point et autour du point O, sur les figures ci-dessous, déplacez le point A au point A 1, nous montrons à l'aide d'une flèche.

Tour à pied

Vous pouvez effectuer une telle rotation du point A par rapport au centre du virage O, qui pointez A, ayant passé tous les points du cercle, se révélera être au même endroit. Dans le même temps, ils disent que le point A accompli autour du point O.

Donnons une illustration graphique d'un chiffre d'affaires complet.

Si vous ne vous arrêtez pas d'un tour, mais de continuer le mouvement du point autour de la circonférence, vous pouvez effectuer deux, trois et ainsi de suite sur des révolutions complètes. Dans le dessin ci-dessous, indique comment deux tours complètes peuvent être produites et la gauche est de trois tours.

Le concept d'angle de rotation

Du point introduit dans le premier paragraphe, le point de rotation est clair qu'il existe un ensemble infini de points de rotation du point et autour du point O. En effet, tout point de la circonférence avec le centre du rayon OA peut être considéré comme un point A 1 obtenu à la suite de la rotation du point A. Par conséquent, pour distinguer un tour de l'autre, introduit le concept d'angle de rotation.

L'une des caractéristiques de l'angle de rotation est tourner la direction. Dans le sens de la rotation, juge comment la rotation du point est effectuée dans le sens contraire ou inverse des aiguilles d'une montre.

Une autre caractéristique de l'angle de rotation est sa valeur. Les angles de rotation sont mesurés dans les mêmes unités que: les degrés et les radians les plus courants. Il convient de noter ici que l'angle de rotation peut être exprimé en degrés par un nombre réel de l'intervalle du moins de l'infini au plus d'infini, contrairement au coin de la géométrie, dont la valeur est positive en degrés et ne fait pas dépasser 180.

Pour faire référence aux angles de rotation, les lettres minuscules de l'alphabet grec sont couramment utilisées: etc. Pour faire référence à un grand nombre de coins du tournage, une lettre avec des index inférieurs utilisez souvent, par exemple, .

Parlons maintenant des caractéristiques de l'angle de rotation plus et dans l'ordre.

Tourner la direction

Laissez le cercle avec le centre au point O points marqués A et A 1. Au point A 1, vous pouvez obtenir du point A en tournant autour du centre O soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens antihoraire. Ces virages sont logiquement considérés comme différents.

Nous illustrons les virages dans la direction positive et négative. Dans le dessin ci-dessous, le tour est indiqué dans la direction positive et à droite - dans le négatif.

La magnitude de l'angle de rotation, un angle d'arbitraire

L'angle de rotation du point autre que le centre de rotation est entièrement déterminé par l'indication de sa valeur, d'autre part, la valeur du coin du virage peut être jugée sur la manière dont ce tour a été effectué.

Comme nous l'avons déjà mentionné ci-dessus, l'ampleur de l'angle de rotation en degrés est exprimée par le nombre de -∞ à + ∞. Dans ce cas, le signe plus correspond à tourner dans le sens des aiguilles d'une montre et que le signe moins tourne en rotation dans le sens anti-horaire.

Il reste maintenant à établir une correspondance entre la valeur de l'angle de rotation et le fait qu'il correspond à.

Commençons par un angle de rotation égal à zéro degrés. Ce coin transforme le mouvement du point et en soi. En d'autres termes, lors de la tournure de 0 degrés autour du point O Pointe A Reste en place.

Allez à la rotation du point et autour du point O, dans lequel la rotation se produit dans la moitié du chiffre d'affaires. Nous supposerons que le point A va au point A 1. Dans ce cas, l'angle absolu d'AOA 1 en degrés ne dépasse pas 180. Si la rotation s'est produite dans la direction positive, la magnitude de l'angle de rotation est considérée comme égale à l'angle de l'AOA 1, et si la rotation s'est produite dans la direction négative, sa valeur est considérée comme étant égale à l'angle de l'AOA. 1 avec un signe moins. Par exemple, nous présentons un dessin montrant les angles de rotation de 30, 180 et de -150 degrés.

Les angles de rotation sont de grandes 180 degrés et moins -180 degrés sont déterminés sur la base des éléments suivants suffisamment évidents. propriétés des virages successifs: Plusieurs virages en série du point A autour du centre o sont équivalents à un tour, dont la valeur est égale à la somme des valeurs de ces virages.

Donnons un exemple illustrant cette propriété. Nous allons faire pivoter le point A par rapport au point de 45 degrés, puis transformer ce point de 60 degrés, après quoi nous tournons ce point sur -35 degrés. Notez les points intermédiaires à ces virages comme un 1, A 2 et A 3. Dans le même point et 3, nous pourrions obtenir, en effectuant un tour du point A à l'angle de 45 + 60 + (- 35) \u003d 70 degrés.

Ainsi, les angles de rotation, de grande hauteur de 180 degrés, nous représenterons quelques virages consécutifs sur les coins, dont la somme des valeurs donne la valeur de l'angle de rotation initial. Par exemple, un angle de rotation de 279 degrés correspond aux virages séquentiels de 180 et 99 degrés, ou 90, 90, 90 et 9 degrés, ou 180, 180 et -81 degrés, ou 279 tours consécutifs de 1 degré.

Les angles de rotation sont définis de la même manière, moins de 180 degrés. Par exemple, un angle de rotation -520 degrés peut être interprété comme des virages cohérents du point de -180, -180 et -160 degrés.

Résumer. Nous avons déterminé l'angle de rotation, dont la magnitude de laquelle en degrés est exprimée par un nombre valide de l'écart de -∞ à + ∞. En trigonométrie, nous travaillerons avec des angles tournants, bien que le mot "tour" soit souvent abaissé et disent simplement "angle". Ainsi, dans la trigonométrie, nous opérerons avec des angles d'angle, dans lesquels nous comprendrons les angles de tour.

En conclusion de ce paragraphe, nous notons que le chiffre d'affaires total dans la direction positive correspond à l'angle de rotation de 360 \u200b\u200bdegrés (ou 2 · π radians), et dans le négatif - l'angle de rotation dans -360 degrés (ou -2 · C'est content). Dans le même temps, il est pratique pour les grands angles de transformation pour représenter une certaine quantité de tours complètes et un autre tour d'un angle de grandeur de -180 à 180 degrés. Par exemple, prenez un angle de rotation de 1 340 degrés. Il est facile de représenter 1 340 comme 360 \u200b\u200b· 4 + (- 100). C'est-à-dire que l'angle initial de rotation correspond à 4 tours complètes dans la direction positive et le prochain tour-de -100 degrés. Un autre exemple: un angle de rotation -745 degrés peut être interprété comme deux tours contre une flèche dans le sens des aiguilles d'une montre et une rotation ultérieure de -25 degrés, depuis -745 \u003d (- 360) · 2 + (- 25).

Faites pivoter la forme autour du point à l'angle

Le concept de rotation du point se développe facilement sur faites pivoter n'importe quelle forme autour du point à l'angle (Il s'agit d'un tel tour que le point relatif à laquelle le tour est effectué et la figure qui tourne, se situe dans le même plan).

À titre de tournant de la figure, nous comprendrons la rotation de tous les points de la figure autour du point spécifié à l'angle donné.

Par exemple, nous donnons une illustration de l'action suivante: Effectuer une rotation de la coupe AB sur l'angle par rapport au point O, ce segment lors du tournant tourne en segment A 1 B 1.

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