Explication de la rubrique conversion d'expressions contenant des racines carrées. Utiliser les propriétés des racines lors de la transformation d'expressions irrationnelles, d'exemples, de solutions. VII. Rédaction d'un test

§ 1 Conversion d'expressions contenant l'opération d'extraction d'une racine carrée

Rappelons les propriétés des racines carrées : si a, b sont des nombres non négatifs a, b 0, alors les égalités suivantes sont vraies :

A l'aide de ces formules, vous pouvez effectuer diverses transformations d'expressions contenant l'opération d'extraction de racine carrée, mais à la condition que les variables de ces expressions ne prennent que des valeurs non négatives. Après avoir fait cette hypothèse, considérons quelques exemples.

Exemple 1 : Simplifiez l'expression :

Puisque l'expression contient une fraction, nous utiliserons la deuxième propriété pour la transformer :

La troisième propriété a été utilisée pour transformer le dénominateur :

En conséquence, l'expression initiale prend la forme :

Exemple 2 : soustraire un facteur du signe de la racine carrée :

Lors de la résolution de l'exemple sous la lettre A, nous utiliserons les première et troisième propriétés de la racine carrée :

De même, nous transformons l'expression présentée dans la tâche sous la lettre B :

Exemple 3 : factoriser la racine carrée de

Pour prendre en compte le signe racine, nous utilisons la troisième propriété de droite à gauche :

Résolvons plusieurs problèmes de transformation d'expressions contenant l'opération d'extraction d'une racine carrée, en utilisant les formules de multiplication abrégées. Tout d'abord, rappelons-nous et écrivons-les :

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Exemple 4 : Simplifiez l'expression :

Pour résoudre le problème, représentons le nombre trois comme la racine carrée de trois au carré :

et au dénominateur on utilise la formule de la différence des carrés, alors on obtient :

Exemple 5 : Simplifiez l'expression :

Pour résoudre, considérons d'abord l'expression :

En admettant que

alors

en utilisant la formule de la somme des cubes

On a

Faisons le remplacement approprié.

Deuxièmement, de l'opération de division par (a - b), nous passons à l'opération de multiplication par l'inverse :

Troisièmement, nous réduirons la première fraction entre parenthèses par l'expression :

puis nous effectuerons l'opération de multiplication.

Assumons:

en utilisant la formule de la différence des carrés, on obtient :

L'expression au numérateur de la première fraction selon la formule du carré de la différence peut s'écrire :

Faisons les remplacements appropriés. Il y a un facteur commun dans le numérateur et le dénominateur de la première fraction, donc, après la réduction, en conclusion, il ne reste plus qu'à additionner les fractions avec les mêmes dénominateurs.

Si le dénominateur d'une fraction algébrique contient un signe de racine carrée, alors le dénominateur est dit contenir l'irrationalité. La transformation d'une expression en une forme telle qu'il n'y a pas de signe de racine carrée dans le dénominateur de la fraction est appelée libération de l'irrationalité dans le dénominateur.

§ 2 Algorithme de libération de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction

1. Factoriser le dénominateur de la fraction ;

2. Si le dénominateur est :

Si le dénominateur est :

ou contient un facteur de ce type, le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés, respectivement, par :

3. Convertissez le numérateur et le dénominateur de la fraction, si possible, puis réduisez la fraction résultante. Des expressions comme :

Voyons comment éliminer l'irrationalité dans le dénominateur à l'aide d'exemples :

A) On transforme l'expression :

Utilisons l'algorithme pour se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : multiplier par :

numérateur et dénominateur. On a:

B) On transforme l'expression :

Dans cet exemple, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par l'expression conjuguée :

Nous avons donc analysé plusieurs exemples pour simplifier les expressions contenant des racines carrées.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mordkovitch A.G. "Algèbre" niveau 8. À 14 heures Partie 1 Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. - 9e éd., Rév. - M. : Mnemosina, 2007 .-- 215p. : Ill.
2. Mordkovitch A.G. "Algèbre" niveau 8. À 14h Partie 2 Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaïa. - 8e éd., - M. : Mnemosina, 2006 .-- 239p.
3. Algèbre. 8e année. Documents de test pour les étudiants des établissements d'enseignement L.A. Alexandrov, éd. A.G. Mordkovich 2e éd., Effacé. - M. : Mnemosina, 2009 .-- 40s.
4. Algèbre. 8e année. Travail indépendant pour les étudiants des établissements d'enseignement: au manuel de A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, éd. A.G. Mordkovitch. 9e éd., Effacé. - M. : Mnemosina, 2013 .-- 112s.

Algèbre. 8e année

Prof: Koulechova Tatiana Nikolaïevna

Sujet : Conversion d'expressions contenant des racines carrées

Type de cours : généralisation et systématisation des connaissances

Le but de la leçon : la formation des compétences des élèves pour transformer des expressions contenant des racines carrées

Tâches:

Éducatif:connaître les propriétés de la racine carrée arithmétique; apprendre à transformer des expressions contenant des racines carrées, comme retirer un facteur sous le signe racine, ajouter un facteur au signe racine et se libérer de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction ;

Développement: développer les capacités cognitives et créatives, la réflexion, l'observation, l'ingéniosité et les compétences d'activité indépendante; susciter l'intérêt pour les mathématiques;

Éducatif: capacité à travailler en équipe (groupe), désir d'étudier activement avec intérêt; clarté et organisation du travail; permettre à chaque élève de réussir ;

Équipement: Fournitures scolaires, tableau noir, craie, manuel, documents à distribuer.

Plan de cours

1. Organisation du temps
2. Fixation d'objectifs
3. Répétition
4. Travail indépendant
5. Dictation
6. Test
7. Travail manuel
8. Briefing des devoirs
9. Résumé de la leçon. Réflexion

Le progrès

1. Organisation du temps

Motivation de la leçon

« Fermez les yeux, asseyez-vous confortablement. Imaginez quelque chose de très agréable pour vous. Vous vous sentez bien, à l'aise. Il y a beaucoup d'amis autour de vous. Parmi eux se trouvent des nombres naturels avec lesquels nous sommes très familiers. Les rangs de nos amis grandissent et des nombres fractionnaires les ont rejoints. Mais les nombres négatifs sont arrivés. Et maintenant, vous allez rencontrer des nombres rationnels et irrationnels. Le temps passera, et nous apprendrons à vous connaître avec de nouveaux nombres, et tant qu'il y aura des mathématiques dans le monde, ces nombres seront infinis."

"La connaissance n'est connaissance que lorsqu'elle est acquise par les efforts de sa propre pensée, et non par la mémoire." N. Tolstoï.-Ces paroles de L. N. Tolstoï sont importantes et pertinentes dans l'étude des mathématiques, car les mathématiques sont l'une des rares sciences où vous devez constamment réfléchir. Votre tâche est de montrer vos connaissances et vos compétences dans le processus de travail oral, de test, de travail au tableau.

Chacun de vous a une feuille d'évaluation sur la table, après chaque devoir terminé, nous n'oublions pas de donner des notes, et à la fin de la leçon, mettre la note finale.

1. Fixation d'objectifs

Résoudre l'anagramme (Travail de groupe)

À PROPOS - ZO - RA - PRÉCÉDENT - CONVERSION VA

NIY - RA - MÊME - VOUS EXPRESSIONS

SHIH - DER - ZHA - AVEC CONTENANT

RAT - KV - NYE - HELL SQUARE

NO - CO - R RACINES

Après avoir résolu l'anagramme, les élèves déterminent le sujet de la leçon.

Que pensez-vous que nous allons faire dans la leçon?

Formulons ensemble le but de notre leçon.

1. Répétition de matériel appris précédemment

A 1) Comptage verbal :

Tester la théorie : Connectez une ligne aux parties appropriées de la définition.

marquer -2 points

2). Approbation complète.

a) La racine du produit de facteurs non négatifs estle produit des racines de ces facteurs.(note -2 points)

b) Toute fraction décimale non périodique infinie est appeléeun nombre irrationnel.(note -2 points)

c) La racine d'une fraction dont le numérateur est un nombre non négatif et le dénominateur positif estracine du numérateur divisée par la racine du dénominateur. ( score -2 points)

3) Établir la conformité (2 points)

C. 3 élèves reçoivent des expressions contenant des racines carrées selon l'algorithme de transformation. Mission : représenter, dessiner, écrire, montrer, etc. et protéger (l'orateur).

3) Extraire la racine

1. Factoriser le dénominateur d'une fraction.
2. Si le dénominateur estou contient un facteur, alors le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par ou à .
3. Convertissez le numérateur et le dénominateur de la fraction, si possible, puis réduisez la fraction résultante.

1. Travail indépendant

Retirez le facteur sous le signe racine :

(2 points)

3)

Simplifier l'expression (4 points)

1. Test sur ordinateur portable (le score est défini automatiquement)

1) 6 =

a B c d) .

2) 5 =

3) 3 =

a B c d) .

1. Dictation:

Pour chaque tâche correctement complétée 0,5 points.

1. Travail au manuel - travail au tableau : chaque élève reçoit un exemple précis, décide à son tour au tableau, note le tout dans un cahier. (1 point)
2. Informations sur les devoirs
3. Résumant la leçon. Réflexion

Évaluation

Document d'évaluation. Nom et élève _______________________ Année _____

Conversion de points en note

25 points ou plus - note "5"

24 - 18 points - note "4"

17 - 9 points - note "3"

0 - 8 points - note "2"

Pour évaluer tout le travail d'une leçon, le « Transfert des points à la note » est utilisé - au dos de la feuille d'évaluation.

Complétez la carte de pointage. Notes de cours.

je veux finir la leçonun poème de la grande mathématicienne Sophia Kovalevskaya.

Si dans la vie tu es même pour un instant

J'ai senti la vérité dans mon cœur

Si un rayon de lumière à travers les ténèbres et le doute

Votre chemin s'illumine d'un éclat lumineux :

Quelle serait votre décision inchangée

Rock ne t'a pas nommé d'avance,

Souvenir de ce moment sacré

Gardez-le pour toujours, comme un sanctuaire dans votre poitrine.

Les nuages ​​se rassembleront en une masse discordante,

Le ciel sera couvert de brume noire

Avec une détermination claire, avec une foi calme

Rencontrez la tempête et affrontez l'orage.

Ce poème exprime le désir de connaissance, la capacité de surmonter tous les obstacles rencontrés sur le chemin. Comment avons-nous surmonté les obstacles aujourd'hui ? Qu'avons-nous fait dans la leçon?

- Aujourd'hui, nous avons réitéré la définition et les propriétés de la racine carrée arithmétique ; prendre un facteur au-delà du signe racine, entrer un facteur sous le signe racine, formules de multiplication abrégées; pris connaissance et consolidé de certaines méthodes de conversion d'expressions contenant des racines carrées.

Tous ont travaillé fructueusement, activement et collectivement pendant la leçon.

La leçon est terminée. Merci à tous pour la leçon !

Entrez le multiplicateur sous le signe racine :

1) 6 =

a B c d) .

2) 5 =

3) 3 =

a B c d) .

Test F.I. ____________________

Entrez le multiplicateur sous le signe racine :

1) 6 =

a B c d) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B c d) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B c d) .

2) 5 =

3) 3 =

a B C) - =

a B c d) .

2) 5 =

3) 3 =

a B c d) .

Algorithme pour supprimer le facteur du signe racine

1) Nous représentons l'expression radicale sous la forme d'un produit de tels facteurs que d'un on pourrait extraire la racine carrée.

2) Appliquer le théorème de la racine du produit.

3) Extraire la racine

Algorithme pour introduire un facteur sous le signe racine

1) Nous représentons le produit sous la forme d'une racine carrée arithmétique.

2) Convertir le produit des racines carrées en la racine carrée du produit des expressions radicales.

3) Effectuez la multiplication sous le signe racine.

Algorithme de libération de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction :

1) Factoriser le dénominateur de la fraction.

LEÇON À DISTANCE OUVERTE

sur le sujet : "Conversion d'expressions contenant des racines carrées."

Professeur de mathématiques - Vetohina Antonina Sergeevna

Lieu de travail : OGKOU "Internat 88 "Sourire" Oulianovsk, Oulianovsk

Région

Article: algèbre

Classer: 8

Tutoriel de base : « Algèbre grade 8 " : Manuel pour les établissements d'enseignement. Yu.N. Makarychev, N.G.

Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Souvorov. - M. : Éducation, 2011

PMH :

Éducatif:

continuer à développer les compétences :

prendre un facteur au-delà du signe radical ;

introduire un facteur sous le signe radical ;

factorisation;

réduction des fractions;

apprendre à l'étudiant à appliquer les connaissances initiales : propriétés racine.

Développement : continuer le développement :

compétences et aptitudes pratiques;

habiletés mathématiques correctes de la parole ;

activité cognitive de l'élève;

pensée logique d'un étudiant lors du calcul dans les devoirs.

Éducatif: continuer à former :

culture de communication et culture de réponse aux questions ;

culture du travail mental;

pour former une attitude positive envers le sujet, intérêt pour la connaissance.

Type de cours : combiné.

Méthodes d'enseignement : visuel-verbal, reproductif.

Formes d'organisation de l'activité cognitive dans la leçon : travail indépendant et individuel.

Matériel, conception et équipement technique de la leçon :

matériel du site i-school « Algèbre - II (grade 8) » ( http://iclass.home-edu.ru );

matériaux du site "YaKlass" ( http://www.yaklass.ru );

ordinateur, projecteur multimédia.

PLAN DE COURS

1. Organisation du temps.

2. Mise à jour des connaissances.

3. Education physique pour les yeux.

4. Apprendre du nouveau matériel.

5. Entraînement physique.

6. Consolidation des connaissances acquises. Travaux pratiques.

7. Réflexion.Résumant la leçon.

8. Devoirs.

STRUCTURE ET PROCESSUS DE LA LEÇON

Avant le début de la leçon, l'étudiant "Se connecter" au site je -écoles sous votre login et allez au cours « Algèbre - II (grade 8) » .

Puis il ouvre programme Skype pour participer à la leçon.

Le contenu de cet article doit être considéré comme faisant partie du sujet de la transformation des expressions irrationnelles. Ici, nous utiliserons des exemples pour analyser toutes les subtilités et nuances (dont il y en a beaucoup) qui surviennent lors de la réalisation de transformations basées sur les propriétés des racines.

Navigation dans les pages.

Rappeler les propriétés des racines

Dès qu'on va s'occuper de la transformation d'expressions utilisant les propriétés des racines, cela ne fait pas de mal de se souvenir des principales, ou mieux encore, de les noter sur papier et de les placer devant nous.

Tout d'abord, nous étudions les racines carrées et leurs propriétés suivantes (a, b, a 1, a 2, ..., a k sont des nombres réels) :

Et plus tard, le concept de racine est développé, la définition de la racine n-ième est introduite et de telles propriétés sont prises en compte (a, b, a 1, a 2, ..., ak sont des nombres réels, m, n , n 1, n 2, ... , nk sont des nombres naturels) :

Convertir des expressions avec des nombres sous des signes de racine

Comme d'habitude, ils apprennent d'abord à travailler avec des expressions numériques, et ce n'est qu'après cela qu'ils passent aux expressions avec des variables. Nous ferons de même, et nous traiterons d'abord de la transformation d'expressions irrationnelles ne contenant que des expressions numériques sous les signes des racines, puis dans le paragraphe suivant nous introduirons des variables sous les signes des racines.

Comment cela peut-il être utilisé pour transformer des expressions ? C'est très simple : par exemple, on peut remplacer une expression irrationnelle par une expression ou vice versa. Autrement dit, si l'expression en cours de conversion contient une expression qui correspond à la forme de l'expression du côté gauche (droit) de l'une des propriétés répertoriées des racines, elle peut être remplacée par l'expression correspondante du côté droit (gauche) côté. Il s'agit de la transformation d'expressions utilisant les propriétés des racines.

Voici d'autres exemples.

Simplifions l'expression ... Les nombres 3, 5 et 7 sont positifs, nous pouvons donc appliquer en toute sécurité les propriétés des racines. Ici, vous pouvez agir de différentes manières. Par exemple, une racine basée sur une propriété peut être représentée comme et une racine utilisant une propriété avec k = 3 - comment, avec cette approche, la solution ressemblera à ceci :

On aurait pu agir différemment, en remplaçant par, et plus loin par, dans ce cas la solution ressemblerait à ceci :

D'autres solutions sont possibles, par exemple celle-ci :

Regardons la solution d'un autre exemple. Transformons l'expression. Après avoir regardé la liste des propriétés des racines, nous en sélectionnons les propriétés dont nous avons besoin pour résoudre l'exemple, il est clair que deux d'entre elles sont utiles ici et, qui sont valables pour tout a. Nous avons:

Alternativement, au début, il était possible de convertir des expressions sous les signes de racines en utilisant

puis appliquer les propriétés des racines

Jusqu'à présent, nous avons transformé des expressions qui ne contiennent que des racines carrées. Il est temps de travailler avec des racines qui ont des indicateurs différents.

Exemple.

Convertir une expression irrationnelle .

Solution.

Par propriété le premier facteur du produit donné peut être remplacé par le nombre −2 :

Passez. Le deuxième facteur en vertu de la propriété peut être représenté comme, et cela ne fera pas de mal de remplacer 81 par une puissance quadruple de triple, puisque dans les facteurs restants sous les signes des racines, le nombre 3 apparaît :

Il convient de remplacer la racine de la fraction par la relation des racines de la forme, qui peut encore être transformée : ... Nous avons

L'expression résultante après avoir effectué des actions avec deux prendra la forme , et il reste à transformer le produit des racines.

Pour transformer les produits de racines, ils sont généralement réduits à un seul indicateur, pour lequel il convient de prendre des indicateurs de toutes les racines. Dans notre cas, le LCM (12, 6, 12) = 12, et seule la racine devra être réduite à cet indicateur, puisque les deux autres racines ont déjà cet indicateur. Faire face à cette tâche permet l'égalité, qui est appliquée de droite à gauche. Donc ... Compte tenu de ce résultat, nous avons

Maintenant le produit des racines peut être remplacé par la racine du produit et le reste, déjà évident, des transformations peuvent être effectuées :

Élaborons une courte solution :

Réponse:

.

Séparément, nous soulignons que pour appliquer les propriétés des racines, il est nécessaire de prendre en compte les restrictions imposées aux nombres sous les signes des racines (a≥0, etc.). Les ignorer peut provoquer des résultats incorrects. Par exemple, nous savons que la propriété est vraie pour a non négatif. Sur cette base, nous pouvons passer en toute sécurité, par exemple, de à, puisque 8 est un nombre positif. Mais si nous prenons une racine significative d'un nombre négatif, par exemple, et, sur la base de la propriété ci-dessus, la remplaçons par, alors nous remplaçons réellement -2 par 2. En effet, un. C'est-à-dire que pour a négatif, l'égalité peut être fausse, tout comme d'autres propriétés des racines peuvent être fausses sans tenir compte des conditions stipulées pour elles.

Mais ce qui a été dit dans le paragraphe précédent ne signifie pas du tout que les expressions avec des nombres négatifs sous les signes des racines ne peuvent pas être transformées en utilisant les propriétés des racines. Il suffit de les "préparer" d'abord en appliquant les règles d'action avec les nombres ou en utilisant la définition d'une racine impaire d'un nombre négatif, ce qui correspond à l'égalité , où −a est un nombre négatif (tandis que a est positif). Par exemple, vous ne pouvez pas remplacer immédiatement par, puisque -2 et -3 sont des nombres négatifs, mais cela nous permet d'aller de la racine à, puis d'appliquer la propriété de la racine du produit : ... Et dans l'un des exemples précédents, il n'était pas nécessaire d'aller de racine en racine du dix-huitième degré. et donc .

Ainsi, pour transformer des expressions en utilisant les propriétés des racines, vous avez besoin

• sélectionnez une propriété appropriée dans la liste,
• assurez-vous que les nombres sous la racine satisfont aux conditions de la propriété sélectionnée (sinon, vous devez effectuer des conversions préliminaires),
• et réaliser la transformation envisagée.

Transformer des expressions avec des variables sous des signes de racine

Pour transformer des expressions irrationnelles contenant non seulement des nombres, mais aussi des variables sous le signe racine, les propriétés des racines énumérées dans le premier paragraphe de cet article doivent être appliquées avec soin. Ceci est principalement dû aux conditions que doivent remplir les nombres participant aux formules. Par exemple, en fonction de la formule, l'expression peut être remplacée par une expression uniquement pour les valeurs de x qui satisfont aux conditions x≥0 et x + 1≥0, car la formule spécifiée est spécifiée pour a≥0 et b 0.

Pourquoi est-il dangereux d'ignorer ces conditions ? L'exemple suivant illustre la réponse à cette question. Disons que nous devons calculer la valeur d'une expression à x = −2. Si nous substituons immédiatement le nombre −2 au lieu de la variable x, alors nous obtenons la valeur dont nous avons besoin ... Et maintenant, imaginons que nous ayons, pour une raison quelconque, converti l'expression donnée sous la forme, et seulement après cela, nous avons décidé de calculer la valeur. Remplacez -2 par x et arrivez à l'expression ce qui n'a pas de sens.

Voyons ce qu'il advient de la plage de valeurs valides (ADV) de la variable x lorsque nous passons d'une expression à l'autre. Nous n'avons pas mentionné l'ODZ par hasard, car c'est un outil sérieux pour contrôler l'admissibilité des transformations effectuées, et changer l'ODZ après avoir transformé l'expression devrait au moins alerter. Il n'est pas difficile de trouver l'ODZ pour les expressions spécifiées. Pour exprimer l'ODV est déterminé à partir de l'inégalité x · (x + 1) ≥0, sa solution donne l'ensemble numérique (−∞, −1] ∪∪)