नकारात्मक शक्तियों वाले समीकरण समाधान के उदाहरण हैं। शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका परिवर्तन। किसी संख्या को घात में बढ़ाना

ऋणात्मक घातांक गणित के मूल तत्वों में से एक है, जो अक्सर बीजीय समस्याओं को हल करते समय सामने आता है। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

नकारात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाएं - सिद्धांत

जब हम सामान्य घात के लिए एक संख्या होते हैं, तो हम इसके मान को कई बार गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. ऋणात्मक भिन्न के साथ, विपरीत सत्य है। सूत्र के अनुसार सामान्य दृश्य इस प्रकार होगा: a -n = 1 / a n। इस प्रकार, किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाने के लिए, आपको इकाई को दी गई संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, लेकिन पहले से ही एक सकारात्मक शक्ति से।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - सामान्य संख्या पर उदाहरण

उपरोक्त नियम को ध्यान में रखते हुए, आइए कुछ उदाहरण हल करते हैं।

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
उत्तर: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
उत्तर है -4 -2 = 1/16।

लेकिन पहले और दूसरे उदाहरणों में उत्तर एक ही क्यों है? तथ्य यह है कि जब एक ऋणात्मक संख्या को सम घात (2, 4, 6, आदि) तक बढ़ा दिया जाता है, तो चिन्ह धनात्मक हो जाता है। डिग्री सम होती तो माइनस रह जाता:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

नकारात्मक शक्ति कैसे बढ़ाएं - 0 से 1 तक की संख्या

याद रखें कि जब आप 0 से 1 की सीमा में एक संख्या को सकारात्मक शक्ति तक बढ़ाते हैं, तो बढ़ती शक्ति के साथ मूल्य घट जाता है। उदाहरण के लिए, 0.5 2 = 0.25। 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

उदाहरण 3: 0.5 -2 . की गणना करें
हल: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4
उत्तर: 0.5 -2 = 4

विश्लेषण (क्रियाओं का क्रम):

• दशमलव भिन्न 0.5 को भिन्नात्मक 1/2 में बदलें। यह इस तरह आसान है।
  एक नकारात्मक शक्ति के लिए 1/2 बढ़ाएँ। १/(२) -2। 1 को 1 / (2) 2 से भाग देने पर हमें 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4 . मिलता है

उदाहरण 4: 0.5 -3 . की गणना करें
हल: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

उदाहरण 5: परिकलित करें -0.5 -3
हल: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
उत्तर:-0.5 -3 = -8

चौथे और पांचवें उदाहरण के आधार पर, हम कई निष्कर्ष निकालेंगे:

• 0 से 1 की सीमा में एक सकारात्मक संख्या के लिए (उदाहरण 4), एक नकारात्मक शक्ति के लिए उठाया गया, शक्ति की समता या विषमता महत्वपूर्ण नहीं है, अभिव्यक्ति का मूल्य सकारात्मक होगा। इसके अलावा, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही अधिक होगा।
• 0 से 1 (उदाहरण 5) की सीमा में ऋणात्मक संख्या के लिए, ऋणात्मक घात तक बढ़ाए जाने पर, घात की समता या विषमता कोई मायने नहीं रखती, व्यंजक का मान ऋणात्मक होगा। इसके अलावा, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही कम होगा।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - एक शक्ति एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में

इस प्रकार के व्यंजकों के निम्नलिखित रूप हैं: a -m/n, जहाँ a एक साधारण संख्या है, m अंश का अंश है, n अंश का हर है।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:
गणना करें: 8 -1 / 3

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाने का नियम याद रखें। हमें मिलता है: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3।
• ध्यान दें कि भाजक भिन्नात्मक घात के रूप में 8 है। भिन्नात्मक शक्ति की गणना का सामान्य दृष्टिकोण इस प्रकार है: a m / n = n 8 m।
• इस प्रकार, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1)। हमें आठ का घनमूल प्राप्त होता है, जो 2 होता है। इसके आधार पर 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 होता है।
• उत्तर: 8 -1/3 = 2

भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका रूपांतरण

इस लेख में, हम शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें घातीय अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक का विस्तार करना, समान शब्दों को कास्ट करना। और फिर हम शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना, आदि।

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घातीय अभिव्यक्ति क्या हैं?

शब्द "घातीय अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से गणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर समस्याओं के संग्रह में दिखाई देता है, विशेष रूप से परीक्षा और परीक्षा की तैयारी के लिए, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें आपको घातीय अभिव्यक्तियों के साथ कोई क्रिया करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि अभिव्यक्तियों को उनके रिकॉर्ड में डिग्री वाले भाव के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा को स्वीकार कर सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तिडिग्री वाले भाव हैं।

आइए हम देते हैं घातीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण... इसके अलावा, हम इस आधार पर उनका प्रतिनिधित्व करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री पर विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति से परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0,) की पहली सरलतम शक्ति अभिव्यक्ति होती है। १) ४, ३ a २ −a + a २, x ३−१, (a २) ३, आदि।

थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, , ए -2 + 2 बी -3 + सी 2।

हाई स्कूल में, वे फिर से डिग्री पर लौट आते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति पर जोर देती है: , , आदि। अंत में, अपरिमेय संकेतकों और उनसे युक्त भावों वाली डिग्री पर विचार किया जाता है:,।

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: चर आगे घातांक में प्रवेश करता है, और, उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या ... और मिलने के बाद, घातों और लघुगणक वाले व्यंजक होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 · lgx −5 · x lgx।

इसलिए, हमने इस सवाल का पता लगाया कि घातीय अभिव्यक्ति क्या हैं। इसके बाद, हम उन्हें बदलना सीखेंगे।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मूल प्रकार के परिवर्तन

घातीय अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल समान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मूल्यों से बदल सकते हैं, समान शब्द प्रदान कर सकते हैं, आदि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक 2 3 · (4 2 -12) के मान का मूल्यांकन करें।

समाधान।

क्रियाओं को करने के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम डिग्री 4 2 को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर 16−12 = 4 की गणना करते हैं। हमारे पास है 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

परिणामी व्यंजक में, घात २ ३ को उसके मान ८ से बदलें, और फिर गुणनफल ८ ४ = ३२ की गणना करें। यह वांछित मूल्य है।

इसलिए, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

उत्तर:

2 3 (4 2 -12) = 32.

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

समाधान।

जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b −7 और 2 · a 4 · b −7 हैं, और हम उन्हें ला सकते हैं:।

उत्तर:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति की कल्पना करें।

समाधान।

कार्य से निपटने के लिए, ३ २ की शक्ति के रूप में संख्या ९ का प्रतिनिधित्व और संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का बाद में उपयोग वर्गों का अंतर है:

उत्तर:

शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। फिर हम उनका विश्लेषण करेंगे।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनका आधार और/या घातांक केवल संख्याएँ या चर नहीं होते, बल्कि कुछ व्यंजक होते हैं। उदाहरण के तौर पर, हम रिकॉर्ड (2 + 0.37) 5-3.7 और (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1) देते हैं।

ऐसे व्यंजकों के साथ कार्य करते समय, आप घात के आधार पर व्यंजक और घातांक में व्यंजक दोनों को उसके चरों के ODZ पर समान रूप से समान व्यंजक से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हम ज्ञात नियमों के अनुसार, डिग्री के आधार को अलग से बदल सकते हैं, और अलग से - प्रतिपादक। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाएगी जो मूल रूप से समान रूप से समान है।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त घातीय अभिव्यक्ति (2 + 0.3 · 7) 5-3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ क्रिया कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की शक्ति पर जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों का विस्तार करने और डिग्री (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1) के आधार में समान पदों को कम करने के बाद, हमें एक सरल रूप a 2 का घातांक व्यंजक प्राप्त होता है।

शक्ति गुणों का उपयोग करना

अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ परिवर्तित करने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानता, प्रतिबिंबित करना है। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, निम्नलिखित शक्ति गुण सत्य हैं:

• ए आर ए एस = ए आर + एस;
• ए आर: ए एस = ए आर - एस;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक, और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं m और n के लिए, समानता a m a n = a m + n न केवल धनात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए और a = 0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों को बदलते समय मुख्य ध्यान एक उपयुक्त संपत्ति चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर केंद्रित होता है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको डिग्री के गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है . सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी भी संपत्ति को लागू करना संभव है, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ओडीवी का संकुचन और अन्य परेशानियां हो सकती हैं। डिग्री गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों के रूपांतरण पर लेख में इन बिंदुओं पर विस्तार से और उदाहरणों के साथ चर्चा की गई है। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5 को आधार a के साथ एक घात के रूप में कल्पना करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (ए 2) −3 = ए 2 (−3) = ए −6... मूल घातांकीय व्यंजक तब 2.5 · a −6: a −5.5 का रूप लेगा। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए २.५ ए −6: ए −5.5 =
a 2.5−6: a −5.5 = a −3.5: a −5.5 =
ए -3.5 - (- 5.5) = ए 2.

उत्तर:

ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 = ए 2.

घातीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय शक्ति गुणों का उपयोग बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों में किया जाता है।

उदाहरण।

घातीय व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

समानता (ए बी) आर = ए आर बी आर, दाएं से बाएं से लागू, आपको मूल अभिव्यक्ति से फॉर्म के उत्पाद तक और आगे जाने की अनुमति देता है। और जब एक ही आधार के साथ डिग्री गुणा करते हैं, तो संकेतक जोड़ते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था:

उत्तर:

.

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक 1.5 −a 0.5 −6 को देखते हुए, नया चर t = a 0.5 दर्ज करें।

समाधान।

डिग्री a 1.5 को ०.५ · ३ और आगे के रूप में दर्शाया जा सकता है, डिग्री के गुण के आधार पर (ar) s = ar · s, दाएँ से बाएँ लागू किया जाता है, इसे रूप में रूपांतरित किया जाता है (a ०.५) ३ . इस प्रकार, एक 1.5 −a 0.5 −6 = (a 0.5) 3 −a 0.5 −6... अब एक नया चर t = a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 -t - 6 मिलता है।

उत्तर:

टी 3 -टी - 6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

घात व्यंजकों में घातों के साथ भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्न हो सकते हैं। भिन्नों का कोई भी मूल परिवर्तन जो किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित होता है, ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, जिन अंशों में शक्तियाँ होती हैं, उन्हें रद्द किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। बोले गए शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक को सरल बनाएं .

समाधान।

यह घातीय अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान पद देते हैं:

और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: .

उत्तर:

.

एक नए हर के लिए शक्तियों वाले अंशों की कमी उसी तरह की जाती है जैसे तर्कसंगत अंशों को एक नए हर में घटाना। इस मामले में, एक अतिरिक्त कारक भी पाया जाता है और अंश के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। इस क्रिया को करते समय, यह याद रखने योग्य है कि एक नए हर में कमी से ODV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में कम करें: a) हर से a, b) भाजक को।

समाधान।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि कौन सा अतिरिक्त कारक वांछित परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। यह ०.३ का गुणनखंड है, क्योंकि ०.७ · a ०.३ = a ०.७ + ०.३ = a. ध्यान दें कि चर के अनुमेय मूल्यों की सीमा पर (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है) डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है यह अतिरिक्त कारक:

ख) हर को अधिक बारीकी से देखने पर, आप पा सकते हैं कि

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर, घनों का योग और, अर्थात्, प्राप्त हो जाएगा। और यह नया हर है जिससे हमें मूल भिन्न को कम करने की आवश्यकता है।

इस तरह हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के मान्य मानों की सीमा पर, व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

उत्तर:

ए) , बी) .

घातांक वाले भिन्नों का संक्षिप्त नाम भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को कई कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान गुणनखंड रद्द कर दिए जाते हैं।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी)।

समाधान।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो कि 15 है। इसके अलावा, जाहिर है, कोई व्यक्ति x 0.5 +1 और by . की कमी कर सकता है ... यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्गों के अंतर के लिए सूत्र के अनुसार भाजक को कारकों में विभाजित करते हैं:

उत्तर:

ए)

बी) .

भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों के साथ क्रिया करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ते (घटाना) करते समय, उन्हें एक सामान्य हर में लाया जाता है, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए जाते हैं), और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग करना भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करना है।

उदाहरण।

चरणों का पालन करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम कोष्ठकों में भिन्नों को घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक आम भाजक के पास लाते हैं, जो है , जिसके बाद हम अंश घटाते हैं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, x 1/2 की शक्ति से रद्द करना संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घातांकीय व्यंजक को भी सरल बना सकते हैं: .

उत्तर:

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक को सरल बनाएं .

समाधान।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 द्वारा रद्द किया जा सकता है, यह भिन्न देता है ... यह स्पष्ट है कि x की डिग्री के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में बदल देते हैं। यह हमें समान आधारों के साथ अंशों को विभाजित करने के गुण का उपयोग करने का अवसर देता है: ... और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से एक अंश तक जाते हैं।

उत्तर:

.

और हम यह भी जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में ऋणात्मक घातांक वाले गुणकों को अंश से हर या हर से अंश में स्थानांतरित करना वांछनीय है, जिससे घातांक का चिह्न बदल जाता है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक घातीय अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

अक्सर उन अभिव्यक्तियों में जिनमें कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, भिन्नात्मक घातांक वाली शक्तियों के साथ, जड़ें भी मौजूद होती हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए, ज्यादातर मामलों में केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक ही जाना पर्याप्त होता है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, इसलिए वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालाँकि, इस तरह के संक्रमण को अंजाम देना उचित है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ODZ आपको मॉड्यूल को संदर्भित करने या ODV को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देते हैं (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है लेख जड़ों से शक्तियों और पीठ में संक्रमण एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमाना वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में बात करना संभव बनाता है। घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसके आधार पर संख्या होती है, और संकेतक में - चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि इस प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणतथा घातीय असमानताएँऔर ये रूपांतरण बहुत सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और मुख्य रूप से भविष्य में एक नए चर को पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। हम उन्हें समीकरण द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

सबसे पहले, जिस डिग्री में एक चर (या चर के साथ अभिव्यक्ति) और एक संख्या का योग पाया जाता है, उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x = 0.

इसके अलावा, समानता के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति 7 2 x से विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं इसके बारे में अभी बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें):

शक्तियों वाले अंश अब रद्द कर दिए गए हैं, जो देता है .

अंत में, समान घातांक के साथ डिग्री के अनुपात को संबंधों की डिग्री से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर जाता है जो के बराबर है ... प्रदर्शन किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान में कम कर देता है

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एक नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री। समस्या समाधान की परिभाषा और उदाहरण"

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पाठ्यपुस्तक के लिए मैनुअल मुराविन जी.के. पाठ्यपुस्तक के लिए एक मैनुअल अलीमोव श.ए.

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण

हम अच्छी तरह जानते हैं कि शून्य अंश में कोई भी संख्या एक के बराबर होती है। $ ए ^ 0 = 1 $, $ ए ≠ 0 $।
प्रश्न उठता है कि यदि संख्या को ऋणात्मक शक्ति तक बढ़ा दिया जाए तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, संख्या $ 2 ^ (- 2) $ किसके बराबर है?
यह प्रश्न पूछने वाले पहले गणितज्ञों ने फैसला किया कि पहिया को फिर से खोजना इसके लायक नहीं था, और यह अच्छा था कि डिग्री के सभी गुण समान रहे। अर्थात्, समान आधार से अंशों को गुणा करने पर घातांक जोड़े जाते हैं।
आइए इस मामले पर विचार करें: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $।
हमने पाया कि ऐसी संख्याओं का गुणनफल एक देना चाहिए। गुणनफल में इकाई पारस्परिक संख्याओं को गुणा करके प्राप्त की जाती है, अर्थात $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $।

इस तर्क ने निम्नलिखित परिभाषा को जन्म दिया।
परिभाषा। यदि $ n $ एक प्राकृतिक संख्या है और $ a ≠ 0 $ है, तो समानता रखती है: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $।

एक महत्वपूर्ण पहचान जो अक्सर उपयोग की जाती है: $ (\ फ्रैक (ए) (बी)) ^ (- एन) = (\ फ्रैक (बी) (ए)) ^ एन $।
विशेष रूप से, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $।

समाधान उदाहरण

समाधान।
आइए प्रत्येक शब्द पर अलग से विचार करें।
1.$ 2 ^ (- 3) = \ फ्रैक (1) (2 ^ 3) = \ फ्रैक (1) (2 * 2 * 2) = \ फ्रैक (1) (8) $।
2. $ (\ फ्रैक (2) (5)) ^ (- 2) = (\ फ्रैक (5) (2)) ^ 2 = \ फ्रैक (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ फ्रैक (25) (4) $।
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $।
यह जोड़ और घटाव संचालन करने के लिए बनी हुई है: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( १) (४) $.
उत्तर: $6 \ फ़्रेक (1) (4) $.

उदाहरण २।
दी गई संख्या को अभाज्य घात $ \ frac (1) (729) $ के रूप में निरूपित करें।

समाधान।
जाहिर है, $\ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $।
लेकिन 729 9 में समाप्त होने वाली एक अभाज्य संख्या नहीं है। यह माना जा सकता है कि यह संख्या तीन की शक्ति है। आइए हम क्रमानुसार 729 को 3 से भाग दें।
१) $ \ फ़्रेक (७२९) (३) = २४३ $;
2) $ \ फ़्रेक (243) (3) = 81 $;
3) $ \ फ़्रेक (81) (3) = 27 $;
4) $ \ फ़्रेक (27) (3) = 9 $;
५) $ \ फ़्रेक (९) (३) = ३ $;
६) $ \ फ़्रेक (३) (३) = १ $।
छह ऑपरेशन किए गए, जिसका अर्थ है: $ 729 = 3 ^ 6 $।
हमारे कार्य के लिए:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
उत्तर: $ 3 ^ (- 6) $।

उदाहरण 3. व्यंजक को घात के रूप में प्रस्तुत करें: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $।
समाधान। पहली क्रिया हमेशा कोष्ठक के अंदर की जाती है, फिर गुणन $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ फ्रैक (ए ^ 6 * ए ^ (- 10)) ((ए ^ 5) ^ (- 1)) = \ फ्रैक (ए ^ ((- 4))) (ए ^ ((- 5)) ) = ए ^ (-4 - (- 5)) = ए ^ (- 4 + 5) = ए $।
उत्तर: $ ए $।

उदाहरण 4. पहचान साबित करें:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (१-x ^ (- १) y) (xy ^ (- १) ) +1) = \ फ़्रेक (xy) (x + y) $।

समाधान।
बाईं ओर, हम कोष्ठक में प्रत्येक कारक पर अलग से विचार करेंगे।
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x) ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ फ़्रेक (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x ) ) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $।
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x)) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ फ्रैक (वाई) (एक्स ^ 2) $।
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x) ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $।
4. अब हम उस भिन्न की ओर बढ़ते हैं जिससे हम भाग देते हैं।
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ फ़्रेक (\ फ़्रेक (xy) (x)) (\ फ़्रेक (x + y) (y)) = \ फ़्रेक (xy) (x) * \ फ़्रेक (y) (x + y) = \ फ़्रेक ( वाई (एक्सवाई)) (एक्स (एक्स + वाई)) $।
5. चलो विभाजन करते हैं।
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $।
हमें सही पहचान मिली, जिसे साबित करना जरूरी था।

पाठ के अंत में, हम एक बार फिर शक्तियों के साथ संचालन के नियमों को लिखेंगे, यहाँ घातांक एक पूर्णांक है।
$ ए ^ एस * ए ^ टी = ए ^ (एस + टी) $।
$ \ फ़्रेक (ए ^ एस) (ए ^ टी) = ए ^ (एस-टी) $।
$ (ए ^ एस) ^ टी = ए ^ (सेंट) $।
$ (एबी) ^ एस = ए ^ एस * बी ^ एस $।
$ (\ फ्रैक (ए) (बी)) ^ एस = \ फ्रैक (ए ^ एस) (बी ^ एस) $।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

इस लेख में हम यह पता लगाएंगे कि क्या है की उपाधि... यहां हम सभी संभावित घातांकों पर विस्तार से विचार करते हुए एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देंगे, जो एक प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर एक अपरिमेय पर समाप्त होता है। सामग्री में आपको डिग्री के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे, जो उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री, संख्या का वर्ग, संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि प्राकृतिक घातांक n के साथ एक संख्या की डिग्री की परिभाषा एक के लिए दी गई है, जिसे हम कहेंगे आधार डिग्री, और n, जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक... यह भी ध्यान दें कि प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन का विचार होना चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ संख्या a की शक्तिफॉर्म ए एन की अभिव्यक्ति है, जिसका मूल्य एन कारकों के उत्पाद के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है, यानी।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात संख्या स्वयं ही है, अर्थात 1 = a।

डिग्री पढ़ने के नियमों के बारे में तुरंत कहा जाना चाहिए। रिकॉर्ड a n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका इस प्रकार है: "a to power of n"। कुछ मामलों में, निम्नलिखित विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "a से n-th power" और "n-th power of the number a"। उदाहरण के लिए, 8 12 की शक्ति लें, जो "आठ से बारह की शक्ति" या "आठ से बारहवीं डिग्री" या "आठ की बारहवीं शक्ति" है।

किसी संख्या की दूसरी डिग्री के साथ-साथ किसी संख्या की तीसरी डिग्री के भी अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है संख्या के वर्ग द्वाराउदाहरण के लिए, 7 2 "सात वर्ग" या "संख्या सात का वर्ग" पढ़ता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घन संख्याउदाहरण के लिए, 5 3 को "घन पांच" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यह नेतृत्व करने का समय है प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण... आइए 5 7 की शक्ति से शुरू करें, यहां 5 शक्ति का आधार है, और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले उदाहरण में, 4.32 डिग्री का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: भ्रम से बचने के लिए, हम कोष्ठक में डिग्री के सभी आधारों को रखेंगे जो प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न हैं। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृत संख्या नहीं हैं, इसलिए वे कोष्ठकों में लिखे गए हैं। खैर, इस क्षण में पूर्ण स्पष्टता के लिए, हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 की प्रविष्टियों के बीच का अंतर दिखाएंगे। व्यंजक (−2) ३, −२ की घात है जिसका प्राकृतिक घातांक ३ है, और व्यंजक −२ ३ (इसे - (२ ३) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाती है, घात २ ३ का मान .

ध्यान दें कि एक ^ n के रूप में घातांक n के साथ एक संख्या की डिग्री के लिए एक संकेतन है। इसके अतिरिक्त, यदि n एक बहुमान प्राकृत संख्या है, तो घातांक को कोष्ठकों में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, ४ ^ ९ ४ ९ की शक्ति का एक और संकेत है। और यहां "^" प्रतीक का उपयोग करके डिग्री लिखने के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं: 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155)। निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म एन की डिग्री के लिए नोटेशन का उपयोग करेंगे।

कार्यों में से एक, एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति को बढ़ाने के विपरीत, डिग्री के एक ज्ञात मूल्य और एक ज्ञात घातांक से एक डिग्री का आधार खोजने की समस्या है। इस कार्य की ओर ले जाता है।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक संख्या की डिग्री को एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ समझने की आवश्यकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। हो जाए।

फॉर्म के भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री से डिग्री की संपत्ति के वैध होने के लिए, समानता ... यदि हम प्राप्त समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने इसे कैसे निर्धारित किया है, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए एम, एन और ए के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आता है।

यह जांचना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुणों के लिए (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित करने की अनुमति देता है। उत्पादन: यदि दिए गए m, n और a के लिए व्यंजक समझ में आता है, तो भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात, m की घात के लिए a का nवां मूल है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात निर्धारित करने के बहुत करीब लाता है। यह केवल वर्णन करने के लिए रहता है जिसके लिए m, n और a व्यंजक समझ में आता है। एम, एन और ए पर बाधाओं के आधार पर दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

सबसे आसान तरीका है a≥0 को सकारात्मक m के लिए और a> 0 को ऋणात्मक m के लिए स्वीकार करके प्रतिबंधित करना (चूंकि m≤0 के लिए डिग्री 0 m परिभाषित नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m / n . के साथ एक धनात्मक संख्या a की शक्ति, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, m के घात के लिए a का nवाँ मूल कहलाता है, अर्थात्।

शून्य की एक भिन्नात्मक शक्ति भी केवल परंतुक के साथ निर्धारित की जाती है कि संकेतक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

धनात्मक भिन्नात्मक घातांक m / n . के साथ शून्य की घात, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है .
जब डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक वाली संख्या शून्य की डिग्री का कोई अर्थ नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की इस तरह की परिभाषा के साथ, एक बारीकियां है: कुछ नकारात्मक a और कुछ m और n के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने a≥0 की स्थिति पेश करके इन मामलों को त्याग दिया। उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और ऊपर दी गई परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ घातांक को निर्धारित करने का एक अन्य तरीका मूल के विषम और सम घातांक पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या ए की डिग्री, जिसका संकेतक है, को संख्या ए की शक्ति माना जाता है, जिसका संकेतक संबंधित अपरिवर्तनीय अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। अर्थात्, यदि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, तो किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए, घात को प्रारंभिक रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है।

सम n और धनात्मक m के लिए, व्यंजक किसी भी गैर-ऋणात्मक a (ऋणात्मक संख्या की सम जड़ का कोई अर्थ नहीं है) के लिए समझ में आता है, ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य नहीं होनी चाहिए (अन्यथा शून्य से विभाजन होगा ) और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या कोई भी हो सकती है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए एक विषम डिग्री की जड़ को परिभाषित किया जाता है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a को गैर-शून्य होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो) .

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लें कि m / n एक अपरिमेय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी रद्द करने योग्य अंश के लिए, घातांक को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ एक संख्या की शक्ति के लिए है



आइए हम बताते हैं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक के साथ एक डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हम केवल डिग्री को परिभाषित करते हैं, और अंश m / n की अप्रासंगिकता के बारे में आरक्षण नहीं करते हैं, तो हमें निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करना पड़ेगा: 6/10 = 3/5 के बाद से, समानता होनी चाहिए , लेकिन , ए ।

पिछले लेखों में से एक में, हमने पहले ही संख्या की डिग्री का उल्लेख किया था। आज हम इसका अर्थ खोजने की प्रक्रिया में स्वयं को उन्मुख करने का प्रयास करेंगे। वैज्ञानिक रूप से बोलते हुए, हम यह पता लगाएंगे कि किसी शक्ति को ठीक से कैसे बढ़ाया जाए। हम यह पता लगाएंगे कि यह प्रक्रिया कैसे की जाती है, साथ ही हम डिग्री के सभी संभावित संकेतकों को छूएंगे: प्राकृतिक, तर्कहीन, तर्कसंगत, संपूर्ण।

तो, आइए उदाहरणों के समाधानों पर करीब से नज़र डालें और पता करें कि इसका क्या अर्थ है:

1. अवधारणा की परिभाषा।
2. नकारात्मक कला की ओर बढ़ना।
3. संपूर्ण संकेतक।
4. एक संख्या को एक अपरिमेय शक्ति तक बढ़ाना।

अवधारणा की परिभाषा

यहाँ एक परिभाषा है जो सटीक रूप से अर्थ को दर्शाती है: "घातांक एक संख्या की शक्ति के अर्थ की परिभाषा है।"

तदनुसार, संख्या को बढ़ाकर कला। r और घातांक r के साथ घातांक a का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया समान अवधारणाएँ हैं। उदाहरण के लिए, यदि कार्य शक्ति (0.6) 6 के मूल्य की गणना करना है, तो इसे अभिव्यक्ति के लिए सरल बनाया जा सकता है "संख्या 0.6 को 6 की शक्ति तक बढ़ाएं"।

उसके बाद, आप सीधे निर्माण नियमों के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

नकारात्मक घातांक

स्पष्टता के लिए, आपको अभिव्यक्ति की निम्नलिखित श्रृंखला पर ध्यान देना चाहिए:

११० = ०.१ = १ * १० माइनस १ सेंट में,

११०० = ०.०१ = १ * १० माइनस २ स्टेप्स में।

११००० = ०.०००१ = १ * १० घटा ३ सेंट,

११०००० = ०.००००१ = १ * १० माइनस ४ डिग्री में।

इन उदाहरणों के लिए धन्यवाद, आप स्पष्ट रूप से 10 से किसी भी माइनस पावर की गणना करने की क्षमता को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं। इस उद्देश्य के लिए, दशमलव घटक को स्थानांतरित करना बहुत ही हास्यास्पद है:

• 10 से -1 डिग्री - इकाई 1 शून्य से पहले;
• -3 पर - एक से पहले तीन शून्य;
• में -9 9 शून्य है और इसी तरह।

इस योजना के अनुसार यह समझना उतना ही आसान है कि 10 से माइनस 5 बड़े चम्मच कितना होगा। -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

प्राकृतिक संख्या कैसे बढ़ाएं

परिभाषा को याद करते हुए, हम ध्यान में रखते हैं कि कला में प्राकृतिक संख्या ए। n, n कारकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक एक के बराबर है। आइए उदाहरण दें: (a * a * ... a) n, जहां n गुणा की गई संख्याओं की संख्या है। तदनुसार, a को n तक बढ़ाने के लिए, निम्न रूप के उत्पाद की गणना करना आवश्यक है: a * a *… और n गुणा से विभाजित करें।

इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि प्राकृतिक कला में निर्माण। गुणा करने की क्षमता पर निर्भर करता है(यह सामग्री वास्तविक संख्याओं को गुणा करने पर अनुभाग में शामिल है)। आइए समस्या पर एक नज़र डालें:

इरेक्ट -2 चौथे सेंट में।

हम एक प्राकृतिक संकेतक के साथ काम कर रहे हैं। तदनुसार, निर्णय की प्रक्रिया इस प्रकार होगी: (-2) कला में। 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2)। अब केवल पूर्ण संख्याओं का गुणन करना शेष रह गया है: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2)। हमें 16 मिलते हैं।

समस्या का उत्तर:

(-2) कला में। 4 = 16.

उदाहरण:

मान की गणना करें: तीन दशमलव दो सात वर्ग।

यह उदाहरण निम्नलिखित गुणनफल के बराबर है: तीन दशमलव दो सातवें को तीन दशमलव दो सातवें से गुणा किया जाता है। मिश्रित संख्याओं का गुणन कैसे किया जाता है, यह याद करते हुए, हम निर्माण पूरा करते हैं:

• 3 दशमलव 2 सातवें अपने आप से गुणा करें;
• 23 सातवें से गुणा करके 23 सातवें के बराबर;
• 529 उनतालीसवें के बराबर;
• संक्षिप्त करें और 10 उनतीस उनतालीस प्राप्त करें।

उत्तर: 10 39/49

एक अपरिमेय संकेतक को बढ़ाने के मुद्दे के संबंध में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी श्रेणी के लिए डिग्री के आधार के प्रारंभिक दौर के पूरा होने के बाद गणना शुरू की जाती है जो किसी दिए गए सटीकता के साथ मूल्य प्राप्त करने की अनुमति देगी। उदाहरण के लिए, हमें संख्या P (pi) का वर्ग करना होगा।

हम P को सौवां पूर्णांक बनाकर प्रारंभ करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी वर्ग = (3.14) 2 = 9.8596। हालाँकि, यदि हम P को घटाकर दस हज़ारवां कर दें, तो हमें P = 3.14159 प्राप्त होता है। फिर स्क्वेरिंग को एक पूरी तरह से अलग संख्या मिलती है: 9.8695877281।

यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई समस्याओं में एक शक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को बढ़ाने की आवश्यकता नहीं होती है। एक नियम के रूप में, उत्तर या तो एक डिग्री के रूप में लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, 6 की जड़ से 3 की शक्ति तक, या, यदि अभिव्यक्ति की अनुमति देता है, तो इसका परिवर्तन किया जाता है: शक्ति में 5 की जड़ 7 = 125 5 की जड़।

किसी संख्या को पूरी शक्ति तक कैसे बढ़ाएं

यह बीजगणितीय हेरफेर उपयुक्त है निम्नलिखित मामलों को ध्यान में रखें:

• पूर्ण संख्याओं के लिए;
• शून्य संकेतक के लिए;
• पूरे सकारात्मक संकेतक के लिए।

चूंकि व्यावहारिक रूप से सभी सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के द्रव्यमान के साथ मेल खाते हैं, फिर एक सकारात्मक पूर्णांक डिग्री पर सेट करना कला में सेटिंग के समान प्रक्रिया है। प्राकृतिक। हमने पिछले पैराग्राफ में इस प्रक्रिया का वर्णन किया है।

अब बात करते हैं कला की गणना की। शून्य। हम पहले ही ऊपर पता लगा चुके हैं कि संख्या की शून्य डिग्री किसी भी गैर-शून्य (वास्तविक) के लिए निर्धारित की जा सकती है, जबकि कला में। 0 बराबर होगा 1.

तदनुसार, किसी भी वास्तविक संख्या को शून्य सेंट तक बढ़ाना। एक देंगे।

उदाहरण के लिए, सेंट में १० = १, (-३.६५) ० = १ और सेंट में ०। 0 निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

पूर्णांक घात तक वृद्धि को पूरा करने के लिए, यह पूर्णांक ऋणात्मक मानों के विकल्पों पर निर्णय लेने के लिए बना रहता है। हमें वह कला याद है। पूर्णांक घातांक के साथ a से -z को भिन्न के रूप में परिभाषित किया जाएगा। अंश का हर कला है। एक सकारात्मक पूर्णांक मान के साथ, जिसका मूल्य हम पहले ही खोजना सीख चुके हैं। अब यह केवल निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण:

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाले घन में संख्या 2 के मान की गणना करें।

समाधान प्रक्रिया:

एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हम निरूपित करते हैं: दो शून्य से 3 बड़े चम्मच। तीसरी डिग्री में एक से दो के बराबर होता है।

भाजक की गणना सरलता से की जाती है: दो घन;

3 = 2*2*2=8.

उत्तर: दो माइनस 3 बड़ा चम्मच। = एक आठवां।

वीडियो

यह वीडियो आपको दिखाएगा कि अगर डिग्री नेगेटिव है तो क्या करें।