Usawa na nguvu hasi ni mifano ya suluhisho. Maneno ya nguvu (misemo na nguvu) na mabadiliko yao. Kuongeza idadi kwa nguvu

Ufafanuzi hasi ni moja ya mambo ya msingi ya hisabati, ambayo mara nyingi hukutana wakati wa kutatua shida za algebra. Chini ni maagizo ya kina.

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - nadharia

Tunapokuwa nambari kwa nguvu ya kawaida, tunazidisha thamani yake mara kadhaa. Kwa mfano, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Na sehemu hasi, kinyume ni kweli. Mtazamo wa jumla kulingana na fomula itakuwa kama ifuatavyo: a -n = 1 / a n. Kwa hivyo, kuongeza nambari kwa nguvu hasi, unahitaji kugawanya kitengo kwa nambari iliyopewa, lakini tayari kwa nguvu chanya.

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - mifano kwa nambari za kawaida

Kwa kuzingatia sheria hapo juu, wacha tutatue mifano michache.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jibu: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jibu ni -4 -2 = 1/16.

Lakini kwa nini jibu katika mifano ya kwanza na ya pili ni sawa? Ukweli ni kwamba wakati nambari hasi imeinuliwa kwa nguvu hata (2, 4, 6, nk), ishara inakuwa chanya. Ikiwa kiwango kilikuwa sawa, basi minus ilibaki:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - nambari kutoka 0 hadi 1

Kumbuka kwamba unapoinua nambari katika masafa kutoka 0 hadi 1 hadi nguvu chanya, thamani hupungua na nguvu inayoongezeka. Kwa mfano, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Mfano 3: Hesabu 0.5 -2
Suluhisho: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Jibu: 0.5 -2 = 4

Uchambuzi (mlolongo wa vitendo):

• Badilisha decimal 0.5 kuwa sehemu 1/2. Ni rahisi kwa njia hii.
  Ongeza 1/2 kwa nguvu hasi. 1 / (2) -2. Gawanya 1 kwa 1 / (2) 2, tunapata 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Mfano 4: Hesabu 0.5 -3
Suluhisho: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Mfano 5: Hesabu -0.5 -3
Suluhisho: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Jibu: -0.5 -3 = -8

Kulingana na mifano ya 4 na 5, tutapata hitimisho kadhaa:

• Kwa nambari chanya katika masafa kutoka 0 hadi 1 (mfano 4), iliyoinuliwa kuwa nguvu hasi, usawa au kutokuwa na kawaida kwa nguvu sio muhimu, thamani ya usemi itakuwa nzuri. Kwa kuongezea, kadri kiwango kinavyoongezeka, ndivyo thamani inavyokuwa kubwa.
• Kwa nambari hasi katika masafa kutoka 0 hadi 1 (mfano 5), iliyoinuliwa kuwa nguvu hasi, usawa au uzani wa nguvu haijalishi, thamani ya usemi itakuwa hasi. Kwa kuongezea, kadiri kiwango kinavyokuwa cha juu, thamani ya chini hupungua.

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - nguvu kama nambari ya sehemu

Maneno ya aina hii yana fomu ifuatayo: a -m / n, ambapo a ni nambari ya kawaida, m ni hesabu ya digrii, n ndio dhehebu la digrii.

Wacha tuangalie mfano:
Mahesabu: 8 -1/3

Suluhisho (mlolongo wa vitendo):

• Kumbuka kanuni ya kuongeza idadi kwa nguvu hasi. Tunapata: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Kumbuka kuwa dhehebu ni 8 kama nguvu ya sehemu. Mtazamo wa jumla wa kuhesabu nguvu ya sehemu ni kama ifuatavyo: m / n = n √8 m.
• Kwa hivyo, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 -8 1). Tunapata mzizi wa mchemraba wa nane, ambayo ni 2. Kulingana na hii, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Jibu: 8 -1/3 = 2

Maneno, uongofu wa kujieleza

Maneno ya nguvu (misemo na nguvu) na ubadilishaji wao

Katika nakala hii, tutazungumza juu ya kubadilisha misemo ya nguvu. Kwanza, tutazingatia mabadiliko ambayo hufanywa na misemo ya aina yoyote, pamoja na misemo ya ufafanuzi, kama vile kupanua mabano, kutuma maneno sawa. Na kisha tutachambua mabadiliko yaliyomo haswa katika misemo na nguvu: kufanya kazi na msingi na kielelezo, kwa kutumia mali ya digrii, nk.

Urambazaji wa ukurasa.

Maneno ya ufafanuzi ni nini?

Neno "misemo ya ufafanuzi" haipatikani katika vitabu vya shule vya hesabu, lakini mara nyingi huonekana katika mkusanyiko wa shida, haswa zile zilizokusudiwa kutayarisha mtihani na mtihani, kwa mfano ,. Baada ya kuchanganua majukumu ambayo unahitaji kutekeleza vitendo vyovyote na misemo ya kielelezo, inakuwa wazi kuwa maonyesho hueleweka kama maneno yaliyo na digrii kwenye rekodi zao. Kwa hivyo, kwako mwenyewe, unaweza kukubali ufafanuzi ufuatao:

Ufafanuzi.

Maneno ya nguvu Je! Ni misemo iliyo na digrii.

Wacha tutoe mifano ya misemo ya ufafanuzi... Kwa kuongezea, tutawawakilisha kulingana na jinsi maendeleo ya maoni yanavyotokea kutoka kwa kiwango na kiashiria cha asili hadi kiwango na kiashiria halisi.

Kama unavyojua, kwanza kuna kufahamiana na nguvu ya nambari na kielelezo cha asili, katika hatua hii maneno ya kwanza rahisi ya nguvu ya aina 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 +a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, nk.

Baadaye kidogo, nguvu ya nambari iliyo na nambari ya nambari inasoma, ambayo inasababisha kuonekana kwa misemo ya nguvu na nguvu hasi za nambari, kama ifuatavyo: 3 −, , −2 + 2 b -3 + c 2.

Katika shule ya upili, wanarudi kwa digrii tena. Huko, digrii na mtaalam wa busara huletwa, ambayo inajumuisha kuonekana kwa maneno yanayofanana ya nguvu: , , na kadhalika. Mwishowe, digrii zilizo na viashiria visivyo na maana na misemo iliyo nazo huzingatiwa:,.

Suala hilo halizuiliwi na misemo ya nguvu iliyoorodheshwa: ubadilishaji huingia zaidi kwenye kiboreshaji, na, kwa mfano, semi kama hizo 2 x 2 +1 au ... Na baada ya kufahamiana, maneno na nguvu na logarithms zinaanza kutokea, kwa mfano, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Kwa hivyo, tuligundua swali la maneno gani ya ufafanuzi. Ifuatayo, tutajifunza kuibadilisha.

Aina za kimsingi za mabadiliko ya maneno ya nguvu

Kwa misemo ya ufafanuzi, unaweza kufanya mabadiliko yoyote ya msingi yanayofanana ya misemo. Kwa mfano, unaweza kupanua mabano, kubadilisha misemo ya nambari na maadili yao, kutoa masharti sawa, nk. Kwa kawaida, katika kesi hii ni muhimu kufuata utaratibu uliokubalika wa kufanya vitendo. Hapa kuna mifano.

Mfano.

Tathmini thamani ya usemi wa ufafanuzi 2 3 · (4 2 -12).

Suluhisho.

Kulingana na utaratibu wa kufanya vitendo, sisi kwanza hufanya vitendo kwenye mabano. Hapo, kwanza, tunachukua nafasi ya digrii 4 2 na thamani yake 16 (angalia ikiwa ni lazima), na pili, tunahesabu tofauti 16−12 = 4. Tuna 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Katika usemi unaosababisha, badilisha nguvu 2 3 na thamani yake 8, baada ya hapo tunahesabu bidhaa 8 4 = 32. Hii ndio thamani inayotakikana.

Kwa hivyo, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Jibu:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Mfano.

Kurahisisha Maneno ya Nguvu 3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7.

Suluhisho.

Kwa wazi, usemi huu una maneno yanayofanana 3 · a 4 · b −7 na 2 · a 4 · b −7, na tunaweza kuwaletea:.

Jibu:

3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7 = 5 kwa 4 b -7 -1.

Mfano.

Fikiria usemi na nguvu kama bidhaa.

Suluhisho.

Ili kukabiliana na kazi hiyo, uwakilishi wa nambari 9 kwa njia ya nguvu ya 3 2 na matumizi ya baadaye ya fomula ya kuzidisha kwa kifupi ni tofauti ya mraba:

Jibu:

Pia kuna idadi ya mabadiliko yanayofanana yaliyomo katika usemi wa nguvu. Kisha tutawachambua.

Kufanya kazi na msingi na upeo

Kuna digrii, msingi na / au kiboreshaji ambacho sio tu nambari au vigeuzi, lakini maneno mengine. Kama mfano, tunatoa rekodi (2 + 0.37) 5-3.7 na (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Wakati wa kufanya kazi na misemo kama hiyo, unaweza kuchukua nafasi ya usemi wote kulingana na kiwango na usemi katika kionyeshi na usemi sawa sawa kwenye ODZ ya anuwai zake. Kwa maneno mengine, tunaweza, kulingana na sheria zinazojulikana kwetu, kando kubadilisha kiwango cha shahada, na kando - kielelezo. Ni wazi kuwa kama matokeo ya mabadiliko haya, maelezo yatapatikana ambayo ni sawa na ile ya asili.

Mabadiliko kama hayo yanaturuhusu kurahisisha maonyesho na nguvu au kufikia malengo mengine tunayohitaji. Kwa mfano, katika usemi wa ufafanuzi hapo juu (2 + 0.3 · 7) 5-3.7, unaweza kufanya vitendo na nambari zilizo kwenye msingi na kiboreshaji, ambacho kitakuruhusu uende kwa nguvu 4.1 1.3. Na baada ya kupanua mabano na kupunguza maneno sawa katika msingi wa digrii (a (1 + )a 2) 2 (x + 1), tunapata usemi wa nguvu wa fomu rahisi 2

Kutumia mali ya nguvu

Moja ya zana kuu ya kubadilisha matumizi na nguvu ni usawa, kuonyesha. Wacha tukumbuke zile kuu. Kwa nambari zozote nzuri a na b na nambari halisi za kiholela r na s, mali zifuatazo za nguvu ni halali:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Kumbuka kuwa kwa viongeza asili, nambari kamili, na pia chanya, vizuizi kwa nambari a na b vinaweza kuwa sio kali sana. Kwa mfano, kwa nambari za asili m na n, usawa m a n = a m + n ni kweli sio tu kwa chanya a, bali pia kwa hasi, na kwa = 0.

Shuleni, umakini mkubwa wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu unazingatia haswa uwezo wa kuchagua mali inayofaa na kuitumia kwa usahihi. Katika kesi hii, besi za digrii kawaida huwa nzuri, ambayo inaruhusu kutumia mali ya digrii bila vizuizi. Vile vile hutumika kwa mabadiliko ya misemo iliyo na vigeu katika viwango vya digrii - anuwai ya maadili yanayokubalika ya vigeu kawaida ni kwamba juu yake besi huchukua maadili mazuri tu, ambayo hukuruhusu kutumia mali ya digrii kwa uhuru. Kwa ujumla, unahitaji kujiuliza kila wakati ikiwa inawezekana katika kesi hii kutumia mali yoyote ya digrii, kwa sababu utumiaji sahihi wa mali unaweza kusababisha kupungua kwa ODV na shida zingine. Hoja hizi zinajadiliwa kwa kina na kwa mifano katika kifungu juu ya ubadilishaji wa misemo kwa kutumia mali ya kiwango. Hapa tunajizuia kwa mifano michache rahisi.

Mfano.

Fikiria usemi wa 2.5 · (a 2) -3: -5.5 kama nguvu yenye msingi a.

Suluhisho.

Kwanza, tunabadilisha sababu ya pili (a 2) -3 na mali ya kuinua nguvu kuwa nguvu: (a 2) −3 = a 2 (−3) = −6... Maneno ya ufafanuzi wa asili kisha yatachukua fomu 2.5 · a -6: a -5.5. Kwa wazi, inabaki kutumia mali ya kuzidisha na kugawanya nguvu na msingi huo huo, tunayo
2.5 a -6: a -5.5 =
2.5-6: a -5.5 = a -3.5: a -5.5 =
-3.5 - (- 5.5) = 2.

Jibu:

2.5 (a 2) -3: a -5.5 = a 2.

Mali ya nguvu hutumiwa wote kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto wakati wa kubadilisha misemo ya ufafanuzi.

Mfano.

Pata thamani ya usemi wa ufafanuzi.

Suluhisho.

Usawa (a b) r = a r b r, kutumika kutoka kulia kwenda kushoto, hukuruhusu kwenda kutoka kwa usemi wa asili kwenda kwa bidhaa ya fomu na zaidi. Na wakati wa kuzidisha digrii na besi zile zile, viashiria vinaongeza: .

Iliwezekana kufanya mabadiliko ya usemi wa asili kwa njia nyingine:

Jibu:

.

Mfano.

Kwa kuzingatia usemi wa ufafanuzi 1.5 −a 0.5 −6, ingiza ubadilishaji mpya t = a 0.5.

Suluhisho.

Kiwango cha 1.5 kinaweza kuwakilishwa kama 0.5 · 3 na zaidi, kulingana na mali ya digrii kwa kiwango (ar) s = ar · s, inayotumiwa kutoka kulia kwenda kushoto, ibadilishe kuwa fomu (0.5) 3 . Kwa hivyo, 1.5 0.5a 0.5 −6 = (a 0.5) 3 0.5a 0.5 −6... Sasa ni rahisi kuanzisha tofauti mpya t = a 0.5, tunapata t 3 −t - 6.

Jibu:

t 3 −t - 6.

Kubadilisha vipande vyenye nguvu

Maneno ya nguvu yanaweza kuwa na sehemu ndogo na nguvu au kuwa sehemu kama hizo. Mabadiliko yoyote ya kimsingi ya visehemu ambavyo ni asili ya visehemu vya aina yoyote hutumika kikamilifu kwa sehemu kama hizo. Hiyo ni, sehemu ambazo zina nguvu zinaweza kufutwa, kupunguzwa kuwa dhehebu mpya, ikifanya kazi kando na nambari yao na kando na dhehebu, nk. Ili kuonyesha maneno yaliyosemwa, fikiria suluhisho za mifano kadhaa.

Mfano.

Rahisi kujieleza kwa ufafanuzi .

Suluhisho.

Usemi huu wa ufafanuzi ni sehemu. Wacha tufanye kazi na nambari na dhehebu lake. Katika nambari, tunafungua mabano na kurahisisha usemi uliopatikana baada ya hapo kwa kutumia mali ya mamlaka, na katika dhehebu tunatoa maneno sawa:

Na pia tunabadilisha ishara ya dhehebu kwa kuweka minus mbele ya sehemu: .

Jibu:

.

Kupunguzwa kwa sehemu zenye nguvu kwa dhehebu mpya hufanywa vivyo hivyo na kupunguzwa kwa sehemu ndogo za busara kwa dhehebu mpya. Katika kesi hii, sababu ya ziada pia inapatikana na hesabu na nambari ya sehemu hiyo huzidishwa nayo. Wakati wa kufanya kitendo hiki, ni muhimu kukumbuka kuwa kupunguzwa kwa dhehebu mpya kunaweza kusababisha kupungua kwa ODV. Ili kuzuia hili kutokea, ni muhimu kwamba sababu ya ziada isitoweke kwa maadili yoyote ya vigeuzi kutoka kwa vigeuzi vya ODZ kwa usemi wa asili.

Mfano.

Punguza sehemu kwa dhehebu jipya: a) kwa denominator a, b) kwa dhehebu.

Suluhisho.

a) Katika kesi hii, ni rahisi kujua ni sababu gani ya ziada inasaidia kufikia matokeo unayotaka. Hii ni sababu ya 0.3, kwani 0.7 · a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a. Kumbuka kuwa kwenye anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya ubadilishaji a (hii ni seti ya nambari halisi halisi) kiwango cha 0.3 hakitoweki, kwa hivyo, tuna haki ya kuzidisha hesabu na dhehebu la sehemu iliyopewa na sababu hii ya nyongeza:

b) Ukiangalia kwa karibu dhehebu, unaweza kupata hiyo

na kuzidisha usemi huu kwa kutoa jumla ya cubes na, ambayo ni ,. Na hii ndio dhehebu mpya ambayo tunahitaji kupunguza sehemu ya asili.

Hivi ndivyo tulipata sababu ya ziada. Kwenye anuwai ya maadili halali ya anuwai x na y, usemi hautowi, kwa hivyo, tunaweza kuzidisha hesabu na dhehebu la sehemu hiyo nayo:

Jibu:

a) , b) .

Kifupisho cha vipande vyenye nguvu pia sio kitu kipya: hesabu na dhehebu zinawakilishwa kama sababu kadhaa, na sababu zile zile za hesabu na dhehebu zimeghairiwa.

Mfano.

Punguza sehemu: a) , b).

Suluhisho.

a) Kwanza, nambari na dhehebu linaweza kupunguzwa na nambari 30 na 45, ambayo ni 15. Pia, ni wazi, mtu anaweza kupunguza kwa x 0.5 +1 na kwa ... Hapa ndio tunayo:

b) Katika kesi hii, sababu sawa katika hesabu na dhehebu hazionekani mara moja. Ili kuzipata, itabidi ufanye mabadiliko ya awali. Katika kesi hii, zinajumuisha kuweka dhehebu katika sababu kulingana na fomula ya tofauti ya mraba:

Jibu:

a)

b) .

Kupunguza sehemu kwa dhehebu jipya na kupunguza sehemu hutumiwa hasa kufanya vitendo na vipande. Vitendo vinafanywa kulingana na sheria zinazojulikana. Wakati wa kuongeza (kutoa) vipande, huletwa kwa dhehebu la kawaida, baada ya hapo hesabu zinaongezwa (kutolewa), na dhehebu hubakia ile ile. Matokeo yake ni sehemu, nambari ambayo ni bidhaa ya hesabu, na dhehebu ni bidhaa ya madhehebu. Mgawanyiko kwa sehemu ni kuzidisha na ubadilishaji wa sehemu hiyo.

Mfano.

Fuata hatua .

Suluhisho.

Kwanza, tunaondoa sehemu kwenye mabano. Ili kufanya hivyo, tunawaleta kwa dhehebu ya kawaida, ambayo ni , baada ya hapo tunaondoa hesabu:

Sasa tunazidisha sehemu:

Kwa wazi, inawezekana kufuta kwa nguvu ya x 1/2, baada ya hapo tunayo .

Unaweza pia kurahisisha usemi wa ufafanuzi katika dhehebu kwa kutumia tofauti ya fomula ya mraba: .

Jibu:

Mfano.

Rahisi kujieleza kwa ufafanuzi .

Suluhisho.

Kwa wazi, sehemu hii inaweza kufutwa na (x 2.7 +1) 2, hii inatoa sehemu ... Ni wazi kuwa kitu kingine kinahitajika kufanywa na digrii za x. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha sehemu inayosababisha kuwa bidhaa. Hii inatupa fursa ya kutumia mali ya digrii za kugawanya na besi zile zile: ... Na mwisho wa mchakato, tunapita kutoka kwa bidhaa ya mwisho kwenda kwa sehemu.

Jibu:

.

Na pia tunaongeza kuwa inawezekana na katika hali nyingi kuhitajika kuhamisha kuzidisha na visukuzi hasi kutoka kwa hesabu kwenda kwa dhehebu au kutoka kwa dhehebu kwenda kwa hesabu, kubadilisha ishara ya mtoaji. Mabadiliko kama hayo mara nyingi hurahisisha vitendo zaidi. Kwa mfano, usemi wa ufafanuzi unaweza kubadilishwa na.

Kubadilisha misemo na mizizi na nguvu

Mara nyingi katika misemo ambayo mabadiliko mengine yanahitajika, pamoja na nguvu zilizo na sehemu za sehemu, pia kuna mizizi. Kubadilisha usemi kama huo kuwa fomu unayotaka, katika hali nyingi inatosha kwenda tu kwenye mizizi au kwa nguvu tu. Lakini kwa kuwa ni rahisi kufanya kazi na digrii, kawaida huenda kutoka mizizi hadi digrii. Walakini, inashauriwa kutekeleza mpito kama hii wakati ODZ ya vigeuzi vya usemi wa asili hukuruhusu kubadilisha mizizi na nguvu bila hitaji la kurejelea moduli au kugawanya ODV katika vipindi kadhaa (tulijadili hii kwa undani katika kifungu cha mpito kutoka mizizi kwenda kwa nguvu na nyuma. digrii iliyo na kiashiria kisicho na maana huletwa, ambayo inafanya uwezekano wa kuzungumza juu ya digrii na kiashiria halisi cha kiholela. kazi ya ufafanuzi, ambayo imewekwa kiuchambuzi na kiwango, ambayo msingi wake ni nambari, na kwenye kiashiria - tofauti. Kwa hivyo tunakabiliwa na misemo ya kielelezo iliyo na nambari katika msingi wa digrii, na kwa kionyeshi - misemo iliyo na anuwai, na kwa kawaida inakuwa muhimu kufanya mabadiliko ya misemo kama hiyo.

Inapaswa kuwa alisema kuwa mabadiliko ya maneno ya aina hii kawaida yanapaswa kufanywa wakati wa kutatua hesabu za kielelezo na usawa wa kielelezo na mabadiliko haya ni rahisi sana. Katika idadi kubwa ya kesi, zinategemea mali ya kiwango hicho na zinalenga kuletea tofauti mpya katika siku zijazo. Tunaweza kuwaonyesha kwa equation 5 2 x + 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x - 1 = 0.

Kwanza, digrii, ambazo jumla ya ubadilishaji (au misemo iliyo na vigeugeu) na nambari hupatikana, hubadilishwa na bidhaa. Hii inatumika kwa maneno ya kwanza na ya mwisho ya usemi upande wa kushoto:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Kwa kuongezea, pande zote mbili za usawa zimegawanywa na usemi 7 2 x, ambayo inachukua maadili mazuri tu kwenye ODZ ya variable x kwa equation ya asili (hii ni mbinu ya kawaida ya kutatua milingano ya aina hii, sisi sio kuzungumza juu yake sasa, kwa hivyo zingatia mabadiliko ya baadaye ya misemo na nguvu):

Sehemu na nguvu sasa zimeghairiwa, ambayo inatoa .

Mwishowe, uwiano wa digrii na viongeza sawa hubadilishwa na digrii za uhusiano, ambayo inasababisha equation ambayo ni sawa na ... Mabadiliko yaliyofanywa yanaturuhusu kuanzisha mabadiliko anuwai, ambayo hupunguza suluhisho la equation ya kielelezo cha asili kwa suluhisho la equation ya quadratic

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Shahada na kiashiria hasi. Ufafanuzi na mifano ya utatuzi wa shida"

Vifaa vya ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa. Vifaa vyote vimechunguzwa na programu ya antivirus.

Misaada ya kufundisha na simulators katika Duka Jumuishi mkondoni kwa daraja la 8
Mwongozo wa kitabu cha maandishi Muravin G.K. Mwongozo wa kitabu cha maandishi Alimov Sh.A.

Uamuzi wa kiwango na kielelezo hasi

Tunajua vizuri kwamba nambari yoyote katika kiwango cha sifuri ni sawa na moja. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Swali linatokea, itakuwaje ikiwa nambari imeinuliwa kwa nguvu hasi? Kwa mfano, ni nini nambari $ 2 ^ (- 2) $ sawa na?
Wataalamu wa hesabu wa kwanza ambao waliuliza swali hili waliamua kuwa kuijenga tena gurudumu haikustahili, na ilikuwa nzuri kwamba mali zote za digrii zilibaki sawa. Hiyo ni, wakati wa kuzidisha digrii na msingi huo huo, viongeza vinaongezwa.
Wacha tuchunguze kesi hii: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Tulipata kwamba bidhaa ya nambari kama hizo inapaswa kutoa moja. Kitengo katika bidhaa kinapatikana kwa kuzidisha nambari za kurudia, ambayo ni $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Hoja hii ilisababisha ufafanuzi ufuatao.
Ufafanuzi. Ikiwa $ n $ ni nambari ya asili na $ a ≠ 0 $, basi usawa unashikilia: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Kitambulisho muhimu ambacho hutumiwa mara nyingi: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Hasa, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

Mifano ya suluhisho

Suluhisho.
Wacha tuchunguze kila kipindi kando.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Inabaki kufanya shughuli za kuongeza na kutoa: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) $.
Jibu: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Mfano 2.
Wakilisha nambari iliyopewa kama nguvu kuu $ \ frac (1) (729) $.

Suluhisho.
Kwa wazi, $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Lakini 729 sio nambari kuu inayoishia kwa 9. Inaweza kudhaniwa kuwa nambari hii ni nguvu ya tatu. Wacha tugawanye sequentially 729 na 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Operesheni sita zimefanywa, ambayo inamaanisha: $ 729 = 3 ^ 6 $.
Kwa kazi yetu:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jibu: $ 3 ^ (- 6) $.

Mfano 3. Wasilisha usemi kama nguvu: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Suluhisho. Kitendo cha kwanza kila wakati hufanywa ndani ya mabano, halafu kuzidisha $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) = = frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) (= 4 - (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = $.
Jibu: $ $.

Mfano 4. Thibitisha utambulisho:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) 1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Suluhisho.
Kushoto, tutazingatia kila jambo kwenye mabano kando.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x) ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x =) frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y)) = = frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2) = = frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x (x ^ 2 2xy + y ^ 2)) ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Wacha tuendelee kwa sehemu ambayo tunagawanya.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Wacha tufanye mgawanyiko.
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): frac (y (xy)) (x (x + y)) = frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = frac (xy) (x + y) $.
Tulipata kitambulisho sahihi, ambacho kilihitajika kuthibitisha.

Mwisho wa somo, tutaandika tena sheria za kufanya kazi na nguvu, hapa kielelezo ni nambari kamili.
$ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Kazi za suluhisho huru

Katika nakala hii tutaona ni nini kiwango cha... Hapa tutatoa ufafanuzi wa kiwango cha nambari, wakati tunazingatia kwa undani viboreshaji vyote vinavyowezekana, tukianza na kielelezo cha asili, tukimaliza na kisicho na mantiki. Katika nyenzo utapata mifano mingi ya digrii, inayofunika ujanja wote unaotokea.

Urambazaji wa ukurasa.

Shahada na kielelezo asili, mraba wa nambari, mchemraba wa nambari

Wacha tuanze na. Kuangalia mbele, tunasema kuwa ufafanuzi wa kiwango cha nambari a na kielezi asili hutolewa kwa a, ambayo tutaiita shahada ya msingi, na n, ambayo tutaiita kionyeshi... Tunakumbuka pia kwamba kiwango na kiboreshaji cha asili huamuliwa kupitia bidhaa, kwa hivyo kuelewa nyenzo hapa chini, unahitaji kuwa na wazo la kuzidisha idadi.

Ufafanuzi.

Nguvu ya nambari a na kibainishi asili n ni usemi wa fomu a n, ambayo thamani yake ni sawa na bidhaa ya n sababu, ambayo kila moja ni sawa na a, ambayo ni ,.
Hasa, nguvu ya nambari a na kiboreshaji 1 ni nambari yenyewe, ambayo ni 1 = a.

Mara moja inafaa kutaja sheria za digrii za kusoma. Njia ya ulimwengu ya kusoma rekodi n ni kama ifuatavyo: "a to the power of n". Katika visa vingine, chaguzi zifuatazo zinakubalika pia: "a to the n-th power" na "n-th nguvu ya nambari a". Kwa mfano, wacha tuchukue nguvu ya 8 12, ambayo ni "nane kwa nguvu ya kumi na mbili", au "nane hadi nguvu ya kumi na mbili", au "nguvu ya kumi na mbili ya nane".

Kiwango cha pili cha nambari, pamoja na kiwango cha tatu cha nambari, zina majina yao wenyewe. Nguvu ya pili ya nambari inaitwa nambari ya mraba kwa mfano, 7 2 inasomeka "mraba saba" au "mraba wa namba saba". Nguvu ya tatu ya nambari inaitwa nambari za mchemraba kwa mfano, 5 3 inaweza kusomwa kama "mchemraba wa tano" au sema "mchemraba wa nambari 5".

Ni wakati wa kuongoza mifano ya digrii zilizo na viashiria vya asili... Wacha tuanze na nguvu ya 5 7, hapa 5 ndio msingi wa nguvu, na 7 ndio kielelezo. Wacha tupe mfano mwingine: 4.32 ndio msingi, na nambari ya asili 9 ni kionyeshi (4.32) 9.

Tafadhali kumbuka kuwa katika mfano wa mwisho, msingi wa nguvu ya 4.32 umeandikwa katika mabano: ili kuzuia kuchanganyikiwa, tutaweka kwenye mabano mabesi yote ya digrii ambayo ni tofauti na nambari za asili. Kwa mfano, tunatoa digrii zifuatazo na viashiria vya asili , besi zao sio nambari za asili, kwa hivyo zimeandikwa kwenye mabano. Kweli, kwa ufafanuzi kamili katika wakati huu, tutaonyesha tofauti kati ya maingizo ya fomu (-2) 3 na -2 3. Maneno (−2) 3 ni nguvu ya −2 na kiboreshaji asili cha 3, na usemi −2 3 (inaweza kuandikwa kama - (2 3)) inalingana na nambari, thamani ya nguvu 2 3 .

Kumbuka kuwa kuna notation ya kiwango cha nambari a na kielelezo n cha fomu a ^ n. Kwa kuongezea, ikiwa n ni nambari ya asili yenye viwango vingi, basi kielelezo kinachukuliwa kwa mabano. Kwa mfano, 4 ^ 9 ni alama nyingine ya nguvu ya 4 9. Na hapa kuna mifano zaidi ya digrii za uandishi kwa kutumia alama ya "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Katika ifuatayo, tutatumia nukuu kwa kiwango cha fomu n.

Moja ya kazi, inverse ya kuinua nguvu na kiboreshaji asili, ni shida ya kupata msingi wa digrii kutoka kwa thamani inayojulikana ya digrii na kidokezo kinachojulikana. Kazi hii inaongoza kwa.

Inajulikana kuwa seti ya nambari za busara zina nambari kamili na nambari, na kila nambari inaweza kugawanywa kama sehemu nzuri au hasi ya kawaida. Tulielezea kiwango hicho na kiboreshaji kamili katika aya iliyotangulia, kwa hivyo, ili kukamilisha ufafanuzi wa digrii na kielelezo cha busara, unahitaji kutoa maana ya kiwango cha nambari na kipenyo cha sehemu m / n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari ya asili. Wacha tufanye.

Fikiria kiwango na kiboreshaji cha fomu. Ili mali ya kiwango hadi kiwango ibaki halali, usawa lazima utimizwe ... Ikiwa tutazingatia usawa uliopatikana na jinsi tulivyoamua, basi ni busara kukubali, mradi tu kwa m, n na a, usemi huo una maana.

Ni rahisi kuangalia kwamba kwa mali zote za digrii na nambari kamili (hii imefanywa katika sehemu ya mali ya digrii na ufafanuzi wa busara).

Hoja hapo juu inatuwezesha kufanya yafuatayo. pato: ikiwa kwa m aliyopewa, n na usemi una mantiki, basi nguvu ya nambari a na kiboreshaji cha sehemu m / n ni mzizi wa nth kwa nguvu ya m.

Kauli hii inatuleta karibu sana kuamua kiwango na kiboreshaji cha sehemu. Inabaki tu kuelezea ambayo m, n na usemi una maana. Kuna njia kuu mbili kulingana na vikwazo kwenye m, n na a.

Njia rahisi ni kuzuia a kwa kukubali a0 kwa chanya m na> 0 kwa hasi m (kwani kwa m≤0 kiwango cha 0 m hakijafafanuliwa). Halafu tunapata ufafanuzi ufuatao wa sehemu ya sehemu.

Ufafanuzi.

Nguvu ya nambari nzuri na kipenyo cha sehemu m / n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari ya asili, inaitwa mzizi wa nth kwa nguvu ya m, ambayo ni ,.

Nguvu ya sifuri ya sifuri pia imedhamiriwa na dhana tu kwamba kiashiria lazima kiwe chanya.

Ufafanuzi.

Nguvu ya sifuri na kiboreshaji cha sehemu nzuri m / n, ambapo m ni nambari chanya na n ni nambari asili, hufafanuliwa kama .
Wakati kiwango hakijaamuliwa, ambayo ni kwamba, kiwango cha nambari ya sifuri na kiboreshaji hasi cha sehemu haina maana.

Ikumbukwe kwamba kwa ufafanuzi kama huo wa digrii na kiboreshaji cha sehemu, kuna nuance moja: kwa hasi a na m na n, usemi huo una maana, na tulitupa kesi hizi kwa kuanzisha hali a≥0. Kwa mfano, ni busara kuandika au, na ufafanuzi uliopewa hapo juu unalazimisha sisi kusema kwamba digrii zilizo na sehemu ndogo ya fomu sio mantiki, kwani msingi haupaswi kuwa hasi.

Njia nyingine ya kuamua kiboreshaji na kipenyo cha sehemu m / n ni kuzingatia kando visivyo vya kawaida na hata vya mizizi. Njia hii inahitaji hali ya ziada: kiwango cha nambari a, kiashiria ambacho ni, inachukuliwa kuwa nguvu ya nambari a, kiashiria ambacho ni sehemu inayofanana isiyoweza kutolewa (umuhimu wa hali hii utaelezewa hapo chini). Hiyo ni, ikiwa m / n ni sehemu isiyoweza kutolewa, basi kwa nambari yoyote ya asili k, digrii hiyo imebadilishwa hapo awali na.

Kwa hata n na chanya m, usemi huo una maana kwa yoyote isiyo hasi a (mzizi hata wa nambari hasi hauna maana), kwa hasi m, nambari lazima bado iwe nonzero (vinginevyo kutakuwa na mgawanyiko kwa sifuri ). Na kwa m isiyo ya kawaida n na chanya m, nambari inaweza kuwa yoyote (mzizi isiyo ya kawaida hufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi), na kwa hasi m, nambari lazima iwe nonzero (kwa hivyo hakuna mgawanyiko kwa sifuri).

Hoja hapo juu inatuongoza kwa ufafanuzi kama huo wa kiwango na kiboreshaji cha sehemu.

Ufafanuzi.

Wacha m / n iwe sehemu isiyoweza kubatilika, m nambari kamili, na n nambari ya asili. Kwa sehemu yoyote inayoweza kufutwa, kionyeshi hubadilishwa na. Nguvu ya nambari iliyo na kipenyo cha sehemu isiyoweza kushuka m / n ni ya



Wacha tueleze ni kwanini digrii iliyo na kipunguzaji cha sehemu inayoweza kupunguzwa hapo awali ilibadilishwa na digrii na kionyeshi kisichoweza kutolewa. Ikiwa tulielezea tu kiwango kama hicho, na hatukuweka akiba juu ya kutokubalika kwa sehemu m / n, basi tutakabiliwa na hali kama hii ifuatayo: tangu 6/10 = 3/5, basi usawa unapaswa kushikilia , lakini , a.

Katika moja ya nakala zilizopita, tayari tumetaja kiwango cha idadi. Leo tutajaribu kujielekeza katika mchakato wa kupata maana yake. Kuzungumza kisayansi, tutakuwa tukifikiria jinsi ya kuinua nguvu. Tutagundua jinsi mchakato huu unafanywa, wakati huo huo tutagusa viashiria vyote vya digrii: asili, isiyo ya busara, busara, nzima.

Kwa hivyo, wacha tuangalie kwa karibu suluhisho za mifano na tujue inamaanisha nini:

1. Ufafanuzi wa dhana.
2. Mwinuko kwa sanaa hasi.
3. Kiashiria kizima.
4. Kuongeza idadi kwa nguvu isiyo na sababu.

Ufafanuzi wa dhana

Hapa kuna ufafanuzi ambao unaonyesha kwa usahihi maana: "Exponentiation ni ufafanuzi wa maana ya nguvu ya nambari."

Ipasavyo, kuongeza idadi kuwa Art. r na mchakato wa kutafuta thamani ya kionyeshi a na kielelezo r ni dhana zinazofanana. Kwa mfano, ikiwa kazi ni kuhesabu thamani ya nguvu (0.6) 6 ″, basi inaweza kurahisishwa kwa usemi "Pandisha nambari 0.6 kwa nguvu ya 6".

Baada ya hapo, unaweza kuendelea moja kwa moja na sheria za ujenzi.

Upungufu hasi

Kwa uwazi, unapaswa kuzingatia mlolongo ufuatao wa misemo:

110 = 0.1 = 1 * 10 chini ya 1 st.,

1100 = 0.01 = 1 * 10 kwa kuchukua hatua 2.,

11000 = 0.0001 = 1 * 10 ukiondoa 3 st.,

110000 = 0.00001 = 1 * 10 chini ya digrii 4.

Shukrani kwa mifano hii, unaweza kuona wazi uwezo wa kuhesabu mara 10 kwa nguvu yoyote ya chini. Kwa kusudi hili, ni corny kabisa kuhamisha sehemu ya desimali:

• Digrii 10 hadi -1 - kabla ya kitengo 1 sifuri;
• saa -3 - zero tatu kabla ya moja;
• katika -9 ni zero 9 na kadhalika.

Ni rahisi tu kuelewa kulingana na mpango huu, ni kiasi gani kitakuwa 10 hadi min 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Jinsi ya kuongeza idadi ya asili

Kukumbuka ufafanuzi huo, tunazingatia kuwa nambari ya asili katika Sanaa. n ni sawa na bidhaa ya n sababu, ambayo kila moja ni sawa na a. Kwa mfano: (a * a * ... a) n, ambapo n ni idadi ya nambari ambazo zimezidishwa. Ipasavyo, ili kuinua hadi n, ni muhimu kuhesabu bidhaa ya fomu ifuatayo: a * a *… na ugawanye kwa nyakati n.

Kutoka kwa hii inakuwa dhahiri kuwa ujenzi wa sanaa ya asili. inategemea uwezo wa kuzidisha(Nyenzo hii imefunikwa katika sehemu ya kuzidisha nambari halisi). Wacha tuangalie shida:

Eleza -2 katika st 4.

Tunashughulika na kiashiria cha asili. Ipasavyo, mwendo wa uamuzi utakuwa kama ifuatavyo: (-2) katika sanaa. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Sasa inabaki tu kutekeleza kuzidisha kwa idadi kamili: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Tunapata 16.

Jibu kwa shida:

(-2) katika sanaa. 4 = 16.

Mfano:

Hesabu thamani: nukta tatu mbili saba zenye mraba.

Mfano huu ni sawa na bidhaa ifuatayo: tatu kumweka saba saba kuzidishwa na nukta tatu mbili ya saba. Kukumbuka jinsi kuzidisha kwa nambari mchanganyiko kunafanywa, tunakamilisha ujenzi:

• 3 kumweka 2 saba huzidisha na wao wenyewe;
• sawa na saba saba zilizozidishwa na saba saba;
• sawa na 529 arobaini na tisa;
• tunakata na kupata 10 thelathini na tisa arobaini na tisa.

Jibu: 10 39/49

Kuhusiana na suala la kuinua kiashiria kisicho na mantiki, ikumbukwe kwamba mahesabu huanza kufanywa baada ya kukamilika kwa mzunguko wa awali wa msingi wa digrii kwa kitengo chochote kitakachoruhusu kupata thamani kwa usahihi uliopewa. Kwa mfano, tunahitaji kuweka mraba P (pi).

Tunaanza kwa kuzungusha P hadi mia na kupata:

P mraba = (3.14) 2 = 9.8596. Walakini, ikiwa tunapunguza P hadi elfu kumi, tunapata P = 3.14159. Kisha mraba hupata nambari tofauti kabisa: 9.8695877281.

Ikumbukwe hapa kwamba katika shida nyingi hakuna haja ya kuongeza idadi isiyo ya kawaida kwa nguvu. Kama sheria, jibu limeandikwa ama kwa njia ya digrii, kwa mfano, mzizi wa 6 kwa nguvu ya 3, au, ikiwa usemi unaruhusu, mabadiliko yake hufanywa: mzizi wa 5 kwa nguvu 7 = 125 mzizi wa 5.

Jinsi ya kuongeza idadi kwa nguvu nzima

Udanganyifu huu wa algebra unafaa kuzingatia kesi zifuatazo:

• kwa idadi kamili;
• kwa kiashiria sifuri;
• kwa kiashiria chanya kabisa.

Kwa kuwa karibu nambari zote chanya zinapatana na wingi wa nambari za asili, kisha kuweka nguvu nzuri kamili ni mchakato sawa na kuweka kwenye Sanaa. asili. Tulielezea mchakato huu katika aya iliyotangulia.

Sasa wacha tuzungumze juu ya kuhesabu Sanaa. batili. Tayari tumegundua hapo juu kuwa kiwango cha sifuri cha nambari a inaweza kuamua kwa nonzero yoyote (halisi), wakati katika Sanaa. 0 itakuwa sawa 1.

Ipasavyo, kuinua nambari yoyote halisi hadi sifuri st. atatoa moja.

Kwa mfano, 10 katika st. 0 = 1, (-3.65) 0 = 1, na 0 kwa st. 0 haiwezi kuamua.

Ili kukamilisha kuinua kwa nguvu kamili, inabaki kuamua juu ya chaguzi za nambari hasi za nambari. Tunakumbuka Sanaa hiyo. kutoka kwa nambari ya nambari -z itafafanuliwa kama sehemu. Dhehebu ya sehemu hiyo ni Sanaa. na nambari nzuri ya nambari, dhamana ambayo tayari tumejifunza kupata. Sasa inabaki tu kuzingatia mfano wa ujenzi.

Mfano:

Hesabu thamani ya nambari 2 kwenye mchemraba na nambari hasi ya nambari.

Mchakato wa suluhisho:

Kulingana na ufafanuzi wa digrii na kiashiria hasi, tunaashiria: mbili chini ya 3 tbsp. sawa na moja hadi mbili katika digrii ya tatu.

Dhehebu imehesabiwa kwa urahisi: cubed mbili;

3 = 2*2*2=8.

Jibu: mbili kwa minus 3 tbsp. = moja ya nane.

Video

Video hii itakuonyesha nini cha kufanya ikiwa kiwango ni hasi.