Рівняння з негативними ступенями приклади розв'язання. Статечні вираження (вирази зі ступенями) і їх перетворення. Зведення числа в ступінь

Піднесення до негативну ступінь - один з основних елементів математики, який часто зустрічається при розв'язуванні алгебраїчних задач. Нижче наведена докладна інструкція.

Як зводити в негативну ступінь - теорія

Коли ми число в звичайну ступінь, ми множимо його значення кілька разів. Наприклад, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. З негативною дробом все навпаки. Загальний вигляд за формулою матиме такий вигляд: a -n = 1 / a n. Таким чином, щоб звести число в негативну ступінь, потрібно одиницю поділити на дане число, але вже в позитивній ступеня.

Як зводити в негативну ступінь - приклади на звичайних числах

Тримаючи вищенаведене правило на думці, вирішимо кілька прикладів.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Відповідь: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Відповідь -4 -2 = 1/16.

Але чому відповідь в першому і другому прикладах однаковий? Справа в тому, що при зведенні негативного числа в парну ступінь (2, 4, 6 і т.д.), знак стає позитивним. Якби ступінь була парній, то мінус зберігся:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Як зводити в негативну ступінь - числа від 0 до 1

Згадаймо, що при зведенні числа в проміжку від 0 до 1 в позитивну ступінь, значення зменшується зі зростанням ступеня. Так наприклад, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Приклад 3: Обчислити 0,5 -2
Рішення: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Відповідь: 0,5 -2 = 4

Розбір (послідовність дій):

• Переводимо десяткову дріб 0,5 в дробову 1/2. Так легше.
  Зводимо 1/2 в негативну ступінь. 1 / (2) -2. Ділимо 1 на 1 / (2) 2, отримуємо 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Приклад 4: Обчислити 0,5 -3
Рішення: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Приклад 5: Обчислити -0,5 -3
Рішення: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Відповідь: -0,5 -3 = -8

Виходячи з 4-го і 5-ого прикладів, зробимо кілька висновків:

• Для позитивного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 4), що зводиться в негативну ступінь, парність або непарність ступеня не важлива, значення виразу буде позитивним. При цьому, чим більше ступінь, тим більше значення.
• Для негативного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 5), що зводиться в негативну ступінь, парність або непарність ступеня неважлива, значення виразу буде негативним. При цьому, чим більше ступінь, тим менше значення.

Як зводити в негативну ступінь - ступінь у вигляді дробового числа

Вирази даного типу мають такий вигляд: a -m / n, де a - звичайне число, m - чисельник ступеня, n - знаменник ступеня.

Розглянемо приклад:
Обчислити: 8 -1/3

Рішення (послідовність дій):

• Згадуємо правило зведення числа в негативну ступінь. Отримаємо: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Зауважте, в знаменнику число 8 в дробової ступеня. Загальний вигляд обчислення дробової ступеня такий: a m / n = n √8 m.
• Таким чином, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Отримуємо кубічний корінь з восьми, що дорівнює 2. Виходячи звідси, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Відповідь: 8 -1/3 = 2

Вирази, перетворення виразів

Статечні вираження (вирази зі ступенями) і їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі і з статечними виразами, таких як розкриття дужок, зведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразами зі ступенями: робота з підставою і показником ступеня, використання властивостей ступенів і т.д.

Навігація по сторінці.

Що таке статечні вираження?

Термін «статечні вираження» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він досить часто фігурує в збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ і ОГЕ, наприклад,. Після аналізу завдань, в яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять в своїх записах ступеня. Тому, для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

статечні вираження- це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти згідно з тим, як відбувається розвиток поглядів на від ступеня з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні висловлювання на кшталт 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · a 2 -a + a 2, x 3-1, (a 2) 3 і т.п.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з цілими негативними ступенями, на зразок таких: 3 -2, , A -2 + 2 · b -3 + c 2.

У старших класах знову повертаються до ступенями. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що спричиняє появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і містять їх вираження:,.

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з, починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 · lgx -5 · x lgx.

Отже, ми розібралися з питанням, що представляють собою статечні вираження. Далі будемо вчитися перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

З статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, приводити подібні доданки і т.д. Природно, при цьому варто треба дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

Приклад.

Розрахуйте значення статечного вираження 2 3 · (4 2 -12).

Рішення.

Згідно з порядком виконання дій спочатку виконуємо дії в дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (при необхідності дивіться), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12 = 4. маємо 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16-12) = 2 3 · 4.

В отриманому виразі замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8, після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32. Це і є шукане значення.

Отже, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16-12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

відповідь:

2 3 · (4 2 -12) = 32.

Приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3 · a 4 · b -7 -1 + 2 · a 4 · b -7.

Рішення.

Очевидно, що цей вислів містить подібні доданки 3 · a 4 · b -7 і 2 · a 4 · b -7, і ми можемо привести їх:.

відповідь:

3 · a 4 · b -7 -1 + 2 · a 4 · b -7 = 5 · a 4 · b -7 -1.

Приклад.

Уявіть вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різницю квадратів:

відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, притаманних саме статечним виразами. Далі ми їх і розберемо.

Робота з основою і показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в підставі і / або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 і (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1).

При роботі з подібними виразами можна як вираз в підставі ступеня, так і вираження в показнику замінити тотожне рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо по відомим нам правилам окремо перетворювати підставу ступеня, і окремо - показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, тотожно рівний вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 можна виконати дії з числами в підставі і показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3. А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз більш простого виду a 2 · (x + 1).

Використання властивостей ступенів

Один з головних інструментів перетворення виразів зі ступенями - це рівності, що відображають. Нагадаємо основні з них. Для будь-яких позитивних чисел a і b і довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r-s;
• (A · b) r = a r · b r;
• (A: b) r = a r: b r;
• (A r) s = a r · s.

Зауважимо, що при натуральних, цілих, а також позитивні показники ступеня обмеження на числа a і b можуть бути не настільки суворими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m · a n = a m + n вірно не тільки для позитивних a, але і для негативних, і для a = 0.

У школі основна увага при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідне властивість і правильно його застосувати. При цьому підстави ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це ж стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні - область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави приймають лише позитивні значення, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно шукати відповіді на запитання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-який властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ і інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані в статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут же ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

Приклад.

Уявіть вираз a 2,5 · (a 2) -3: a -5,5 у вигляді ступеня з основою a.

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) -3 перетворимо по властивості зведення ступеня в ступінь: (A 2) -3 = a 2 · (-3) = a -6. Початкове статечне вираз при цьому прийме вид a 2,5 · a -6: a -5,5. Очевидно, залишається скористатися властивостями множення і ділення ступенів з однаковим підставою, маємо
a 2,5 · a -6: a -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a -3,5 - (- 5,5) = a 2.

відповідь:

a 2,5 · (a 2) -3: a -5,5 = a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і справа наліво.

Приклад.

Знайти значення статечного вираження.

Рішення.

Рівність (a · b) r = a r · b r, застосоване справа наліво, дозволяє від вихідного вираження перейти до твору виду і далі. А при множенні ступенів з підставами показники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного вираження і інакше:

відповідь:

.

Приклад.

Дано статечне вираз a 1,5 -a 0,5 -6, введіть нову змінну t = a 0,5.

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна представити як a 0,5 · 3 і далі на основі характеристики ступеня в ступеня (a r) s = a r · s, застосованого справа наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3. Таким чином, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Тепер легко ввести нову змінну t = a 0,5, отримуємо t 3 -t-6.

відповідь:

t 3 -t-6.

Перетворення дробів, що містять ступеня

Статечні вираження можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробям в повній мірі застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробям будь-якого виду. Тобто, дробу, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх числителем і окремо зі знаменником і т.д. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо рішення кількох прикладів.

Приклад.

Спростити статечне вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником і знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отримане після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо подібні доданки:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

відповідь:

.

Приведення містять ступеня дробів до нового знаменника проводиться аналогічно приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому також знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може призводити до звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль ні при яких значеннях змінних з ОДЗ змінних для вихідного вираження.

Приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, так як a 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається до нуль, тому, ми маємо право виконати множення чисельника і знаменника заданої дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу на дасть суму кубів і, тобто,. А це і є новий знаменник, до якого нам потрібно привести вихідну дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На області допустимих значень змінних x і y вираження не звертається в нуль, тому, ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

відповідь:

а) , Б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді певної кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника і знаменника.

Приклад.

Скоротіть дріб: а) , Б).

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, що дорівнює 15. Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5 +1 і на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників в чисельнику і знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. В даному випадку вони полягають в розкладанні знаменника на множники за формулою різниці квадратів:

відповідь:

а)

б) .

Зведення дробів до нового знаменника і скорочення дробів в основному використовується для виконання дій з дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При додаванні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) числители, а знаменник залишається колишнім. В результаті виходить дріб, чисельник якого є твір числителей, а знаменник - добуток знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

Приклад.

виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , Після чого віднімаємо числители:

Тепер множимо дробу:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2, після якого маємо .

Ще можна спростити статечне вираз в знаменнику, скориставшись формулою різницю квадратів: .

відповідь:

Приклад.

Спростіть статечне вираз .

Рішення.

Очевидно, цю дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2, це дає дріб . Зрозуміло, що треба ще щось зробити зі ступенями ікси. Для цього перетворимо отриману дріб в твір. Це дає нам можливість скористатися властивістю ділення ступенів з однаковими підставами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.

відповідь:

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечне вираз можна замінити на.

Перетворення виразів з коренями і ступенями

Часто в виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками присутні і коріння. Щоб перетворити подібне вираз до потрібного вигляду, в більшості випадків досить перейти тільки до коріння або тільки до ступенями. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коренів до ступенями. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного вираження дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми детально розібрали в статті перехід від коренів до ступенями і назад Після знайомства зі ступенем з раціональним показником вводиться ступінь з ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь з довільним дійсним показником. На цьому етапі в школі починає вивчатися показова функція, Яка аналітично задається ступенем, в основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа в підставі ступеня, а в показнику - вираження зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати при вирішенні показових рівняньі показових нерівностей, І ці перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені здебільшого на те, щоб в подальшому ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2 × x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 × x-1 = 0.

По-перше, ступеня, в показниках яких знаходиться сума деякої змінної (або виразу зі змінними) і числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього складовою виразу з лівої частини:
5 2 × x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 × x · 7 -1 = 0,
5 · 5 2 × x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 × x = 0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2 × x, яке на ОПЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом рішення рівнянь такого виду, мова зараз не про нього, так що зосередьте увагу на наступних перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , Яке рівносильне . Виконані перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення вихідного показового рівняння до вирішення квадратного рівняння

Урок і презентація на тему: "Ступінь з негативним показником. Визначення та приклади розв'язання задач"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Муравіна Г.К. Посібник до підручника Алімова Ш.А.

Визначення ступеня з негативним показником

Ми добре знаємо, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці. $ A ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Виникає питання, а що буде, якщо звести число в негативну ступінь? Наприклад, чому дорівнюватиме число $ 2 ^ (- 2) $?
Перші математики, задаються цим питанням, вирішили, що винаходити велосипед заново не варто, і добре, щоб всі властивості ступенів залишалися колишніми. Тобто при множенні ступенів з однаковим підставою, показники ступеня складаються.
Давайте розглянемо такий випадок: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Отримали, що твір таких чисел повинно давати одиницю. Одиниця в творі виходить при перемножуванні зворотних чисел, тобто $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Такі міркування привели до наступного визначення.
Визначення. Якщо $ n $ - натуральне число і $ а ≠ 0 $, то виконується рівність: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Важливе тотожність, яке часто використовується: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Зокрема, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

приклади розв'язання

Рішення.
Розглянемо кожний доданок окремо.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Залишилося виконати операції додавання і віднімання: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac (1) (4) $.
Відповідь: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Приклад 2.
Уявити заданий число у вигляді ступеня простого числа $ \ frac (1) (729) $.

Рішення.
Очевидно, що $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Але 729 - не проста число, що закінчуються на 9. Можна припустити, що це число є ступенем трійки. Послідовно розділимо 729 на 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Виконано шість операцій і означає: $ 729 = 3 ^ 6 $.
Для нашої задачі:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Відповідь: $ 3 ^ (- 6) $.

Приклад 3. Уявіть вираз у вигляді ступеня: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Рішення. Перша дія виконується завжди всередині дужок, потім множення $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5))) = a ^ (-4 - (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
Відповідь: $ a $.

Приклад 4. Доведіть тотожність:
$ (\ Frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Рішення.
У лівій частині розглянемо кожен співмножник в дужках окремо.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x) ) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Перейдемо до дробу, на яку ділимо.
$ \ Frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1 \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Виконаємо поділ.
$ \ Frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
Отримали вірне тотожність, що й треба було довести.

В кінці уроку ще раз запишемо правила дій зі ступенями, тут показник ступеня - це ціле число.
$ A ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ Frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (A ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (Ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ Frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Завдання для самостійного рішення

У цій статті ми розберемося, що таке степінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, при цьому детально розглянемо всі можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете безліч прикладів ступенів, що покривають всі виникаючі тонкощі.

Навігація по сторінці.

Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

Для початку дамо. Забігаючи наперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a, яке будемо називати підставою ступеня, І n, яке будемо називати показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через твір, так що для розуміння викладеного нижче матеріалу потрібно мати уявлення про примноження чисел.

Визначення.

Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожний з яких дорівнює a, тобто,.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a, тобто, a 1 = a.

Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосіб читання записи a n такий: «a у ступені n». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-го ступеня» і «n -а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12, це «вісім в ступеня дванадцять», або «вісім в дванадцятому ступені», або «дванадцята ступінь восьми».

Друга ступінь числа, а також третя ступінь числа мають свої назви. Другий ступінь числа називають квадратом числа, Наприклад, 7 2 читається як «сім в квадраті» або «квадрат числа сім». Третя ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як «п'ять в кубі» або сказати «куб числа 5».

Прийшов час привести приклади ступенів з натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7, тут 5 - підстава ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є підставою, а натуральне число 9 - показником ступеня (4,32) 9.

Зверніть увагу, що в останньому прикладі підставу ступеня 4,32 записано в дужках: щоб уникнути різночитань ми будемо брати в дужки всі підстави ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо наступні ступені з натуральними показниками , Їх підстави не є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, укладену в записах виду (-2) 3 і -2 3. Вираз (-2) 3 - це ступінь -2 з натуральним показником 3, а вираз -2 3 (його можна записати як - (2 3)) відповідає числу, значенням ступені 2 3.

Зауважимо, що зустрічається позначення ступеня числа a з показником n виду a ^ n. При цьому, якщо n - багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться в дужки. Наприклад, 4 ^ 9 - це інша запис ступеня 4 9. А ось ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^»: 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). Надалі ми переважно будемо користуватися позначенням ступеня виду a n.

Одним із завдань, зворотної зведенню в ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження підстави ступеня за відомим значенням ступеня і відомому показнику. Це завдання призводить до.

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове число може бути представлено у вигляді позитивної або негативної звичайного дробу. Ступінь з цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенс ступеня числа a з дробовим показником m / n, де m - ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь з дробовим показником виду. Щоб зберігало силу властивість ступеня в ступеня, має виконуватися рівність . Якщо врахувати отриману рівність і то, як ми визначили, то логічно прийняти за умови, що при даних m, n і a вираз має сенс.

Нескладно перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено в розділі властивості ступеня з раціональним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: Якщо при даних m, n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m / n називають корінь n-го ступеня з a в ступеня m.

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дробовим показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n і a існують два основні підходи.

Найпростіше накласти обмеження на a, прийнявши a≥0 для позитивних m і a> 0 для негативних m (так як при m≤0 ступінь 0 m не визначена). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дробовим показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m / n, Де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n -ої з числа a у ступені m, тобто,.

Також визначається подрібнена ступінь нуля з тією лише застереженням, що показник повинен бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля з дробовим позитивним показником m / n, Де m - ціле позитивне, а n - натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто, ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що при такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умова a≥0. Наприклад, мають сенс записи або, а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду не мають сенсу, так як основа не повинна бути негативним.

Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m / n полягає в роздільному розгляді парних і непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткового умови: ступінь числа a, показником якої є, вважається ступенем числа a, показником якої є відповідна нескоротний дріб (важливість цього умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m / n - нескоротний дріб, то для будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на.

При парних n і позитивних m вираз має сенс при будь-якому неотрицательную a (корінь парного степеня з від'ємного числа не має сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде поділ на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарного степеня визначено для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).

Наведені міркування приводять нас до такого визначення ступеня з дробовим показником.

Визначення.

Нехай m / n - нескоротний дріб, m - ціле, а n - натуральне число. Для будь-якої сократимостью звичайного дробу ступінь замінюється на. Ступінь числа a з нескоротних дробовим показником m / n - це для



Пояснимо, навіщо ступінь з сократимостью дробовим показником попередньо замінюється ступенем з нескоротних показником. Якби ми просто визначили ступінь як, і не обмовилися про нескоротного дробу m / n, то ми б зіткнулися з ситуаціями, подібними наступною: так як 6/10 = 3/5, то повинно виконуватися рівність , але , А.

В одній з попередніх статей ми вже згадували про ступінь числа. Сьогодні ми постараємося зорієнтуватися в процесі знаходження її значення. Науково кажучи, ми будемо з'ясовувати, як правильно підносити до степеня. Ми розберемося, як проводиться цей процес, одночасно торкнемося всі можливі показники ступеня: натуральний, ірраціональний, раціональний, цілий.

Отже, давайте детально розглянемо рішення прикладів і з'ясуємо, що означає:

1. Визначення поняття.
2. Піднесення до негативну ст.
3. Цілий показник.
4. Зведення числа в ірраціональну ступінь.

визначення поняття

Ось точно відображає зміст визначення: «Зведенням в ступінь називають визначення значення ступеня числа».

Відповідно, зведення числа a в ст. r і процес знаходження значення ступеня a з показником r - це ідентичні поняття. Наприклад, якщо потрібно обчислити значення ступеня (0,6) 6 ", то її можна спростити до вираження« Звести число 0,6 в ступінь 6 ».

Після цього можна приступати безпосередньо до правил зведення.

Піднесення до негативну ступінь

Для наочності слід звернути увагу на такий ланцюжок виразів:

110 = 0,1 = 1 * 10 в мінус 1 ст.,

1100 = 0,01 = 1 * 10 в мінус 2 степ.,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 в мінус 3 ст.,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 в мінус 4 степeні.

Завдяки цими прикладами можна чітко побачити можливість моментально обчислити 10 в будь-який мінусовій ступеня. Для цієї мети досить банально зрушувати десяткову складову:

• 10 в -1 степeні - перед одиницею 1 нуль;
• в -3 - три нуля перед одиницею;
• в -9 - це 9 нулів та ін.

Так само легко зрозуміти за даною схемою, скільки буде складати 10 в мінус 5 ст. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Як звести число в натуральну степeнь

Згадуючи визначення, враховуємо, що натуральне число a в ст. n дорівнює добутку з n множників, при цьому кожен з них дорівнює a. Проілюструємо: (а * а * ... а) n, де n - це кількість чисел, які множаться. Відповідно, щоб a звести в n, необхідно розрахувати твір такого вигляду: а * а * ... а розділити на n раз.

Звідси стає очевидно, що зведення в натуральну ст. спирається на вміння здійснювати множення(Цей матеріал висвітлений в розділі про множення дійсних чисел). Давайте розглянемо задачу:

Зведіть -2 до 4-ї ст.

Ми маємо справу з натуральним показником. Відповідно, хід рішення буде наступним: (-2) в cт. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Тепер залишилося тільки здійснити множення цілих численностей: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Отримуємо 16.

Відповідь на задачу:

(-2) в ст. 4 = 16.

приклад:

Розрахуйте значення: три цілих дві сьомих в квадраті.

Даний приклад дорівнює наступного добутку: три цілих дві сьомих помножити на три цілих дві сьомих. Пригадавши, як здійснюється множення мішаних чисел, завершуємо зведення:

• 3 цілих 2 сьомих помножити на самих себе;
• дорівнює 23 сьомих помножити на 23 сьомих;
• одно 529 сорока дев'яти;
• скорочуємо і отримуємо 10 тридцять дев'ять сорок дев'ятих.

відповідь: 10 39/49

Що стосується питання зведення в ірраціональний показник, слід зазначити що розрахунки починають проводити після завершення попереднього округлення основи ступеня до будь-якого розряду, який дозволив би отримати величину з заданою точністю. Наприклад, нам необхідно звести число П (пі) в квадрат.

Починаємо з того, що округляем П до сотих і отримуємо:

П в квадраті = (3,14) 2 = 9,8596. Однак якщо скоротити П до десятитисячних, отримаємо П = 3,14159. Тоді зведення в квадрат отримує зовсім інше чиcле: +9,8695877281.

Тут слід зазначити, що в багатьох задачах немає потреби зводити ірраціональні числа в cтeпeнь. Як правило, відповідь вписується або у вигляді, власне, ступеня, наприклад, корінь з 6 в ступеня 3, або, якщо дозволить вираз, проводиться його перетворення: корінь з 5 в 7 cтепeні = 125 корінь з 5.

Як звести чиcле в цілу ступінь

Цю алгебраїчну маніпуляцію доречно брати до уваги для наступних випадків:

• для цілих чисел;
• для нульового показника;
• для цілого позитивного показника.

Оскільки практично всі цілі позитивні числа збігаються з масою чисел натуральних, то постановка в позитивну цілу ступінь - це той же процес, що і постановка в ст. натуральну. Даний процес ми описали в попередньому пункті.

Тепер поговоримо про обчисленні ст. нульовий. Ми вже з'ясували вище, що нульову ступінь числа a можна визначити для будь-якого відмінного від нуля a (дійсного), при цьому a в ст. 0 дорівнюватиме 1.

Відповідно, зведення якого завгодно дійсного числа в нульову ст. буде давати одиницю.

Наприклад, 10 в Ст.0 = 1, (-3,65) 0 = 1, а 0 в ст. 0 не можна визначити.

Для того щоб завершити зведення в цілу ступінь, залишається визначитися з варіантами цілих від'ємних значень. Ми пам'ятаємо, що ст. від a з цілим показником -z буде визначатися як дріб. У знаменнику дробу розташовується ст. з цілим позитивним значенням, значення якої ми вже навчилися знаходити. Тепер залишається лише розглянути приклад зведення.

приклад:

Обчислити значення числа 2 в кубі з цілим від'ємним показником.

Процес рішення:

Згідно з визначенням стeпeні з негативним показником позначаємо: два в мінус 3 ст. дорівнює один до двох у третій cтепeні.

Знаменник розраховується просто: два в кубі;

3 = 2*2*2=8.

відповідь: два в мінус 3-й ст. = Одна восьма.

Відео

З цього відео ви дізнаєтеся, що робити, якщо ступінь з негативним показником.