Jednadžbe s negativnim moćima primjeri su rješenja. Izrazi moći (izrazi s moćima) i njihova transformacija. Dizanje broja na stepen

Negativna eksponencijacija jedan je od osnovnih elemenata matematike koji se često susreće pri rješavanju algebarskih zadataka. Ispod je detaljna uputa.

Kako podići na negativnu snagu – teorija

Kad smo broj na uobičajenu snagu, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. S negativnim razlomkom vrijedi suprotno. Opći oblik prema formuli bit će sljedeći: a -n = 1 / a n. Dakle, da biste broj podigli na negativan stepen, trebate jedinicu podijeliti zadanim brojem, ali već na pozitivnu potenciju.

Kako podići na negativnu snagu - primjeri za obične brojeve

Imajući na umu gore navedeno pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor je -4 -2 = 1/16.

Ali zašto je odgovor u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na parnu snagu (2, 4, 6 itd.), Znak postaje pozitivan. Ako je stupanj paran, minus je ostao:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako podići na negativnu snagu - brojevi od 0 do 1

Podsjetimo se da kada broj u rasponu od 0 do 1 podignete na pozitivnu vrijednost, vrijednost se smanjuje s povećanjem snage. Na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (slijed radnji):

• Pretvorite decimalni razlomak 0,5 u razlomljeni 1/2. Lakše je ovako.
  Podignite 1/2 na negativnu snagu. 1 / (2) -2. Podijelimo 1 s 1 / (2) 2, dobivamo 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na temelju 4. i 5. primjera izvući ćemo nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), povišen na negativnu snagu, ravnomjernost ili neparnost stupnja nije važna, vrijednost izraza bit će pozitivna. Štoviše, što je veći stupanj, veća je i vrijednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 5), povišen na negativnu snagu, ravnomjernost ili neparnost stepena nije bitna, vrijednost izraza bit će negativna. Štoviše, što je stupanj veći, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativnu moć - stepen kao razlomačni broj

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m / n, gdje je a običan broj, m brojnik stupnja, n nazivnik stupnja.

Razmotrimo primjer:
Izračunajte: 8 -1/3

Rješenje (slijed radnji):

• Zapamtite pravilo za podizanje broja na negativan stepen. Dobivamo: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Uočite da je nazivnik 8 kao razlomljena snaga. Opći pogled na izračunavanje frakcijske snage je sljedeći: a m / n = n √8 m.
• Dakle, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Dobivamo kubni korijen od osam, što je 2. Na temelju toga, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Izrazi, pretvaranje izraza

Izrazi moći (izrazi s moćima) i njihovo pretvaranje

U ovom ćemo članku govoriti o pretvaranju izraza moći. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode izrazima bilo koje vrste, uključujući eksponencijalne izraze, kao što su proširenje zagrada, bacanje sličnih pojmova. Zatim ćemo analizirati transformacije svojstvene izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenje svojstava stupnjeva itd.

Navigacija po stranici.

Što su eksponencijalni izrazi?

Pojam "eksponencijalni izrazi" praktički se ne nalazi u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno onih namijenjenih pripremi za ispit i ispit, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvesti bilo koju radnju s eksponencijalnim izrazima, postaje jasno da se izrazi shvaćaju kao izrazi koji u svojim zapisima sadrže stupnjeve. Stoga za sebe možete prihvatiti sljedeću definiciju:

Definicija.

Izrazi moći Jesu li izrazi koji sadrže stupnjeve.

Dajmo primjeri eksponencijalnih izraza... Štoviše, predstavit ćemo ih prema tome kako se razvoj pogleda na događaje odvija od stupnja s prirodnim pokazateljem do stupnja s stvarnim pokazateljem.

Kao što znate, prvo dolazi do upoznavanja s potencijom broja s prirodnim eksponentom, u ovoj fazi prvi najjednostavniji izrazi za stepen tipa 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, itd.

Nešto kasnije proučava se moć broja s cjelobrojnom eksponentom, što dovodi do pojave izraza moći s negativnim cijelim brojevima, poput sljedećih: 3 -2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

U srednjoj školi opet se vraćaju diplomama. Tu se uvodi stupanj s racionalnim eksponentom koji podrazumijeva pojavu odgovarajućih izraza za stepen: , , itd. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim pokazateljima i izrazi koji ih sadrže:,.

Stvar nije ograničena na navedene izraze stepena: varijabla prodire dalje u eksponent, a npr. takvi izrazi 2 x 2 +1 ili ... Nakon sastanka s, počinju se pojavljivati ​​izrazi s moćima i logaritmi, na primjer, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Dakle, shvatili smo pitanje što su eksponencijalni izrazi. Zatim ćemo naučiti kako ih transformirati.

Osnovne vrste transformacija izraza moći

S eksponencijalnim izrazima možete izvesti bilo koju od osnovnih identičnih transformacija izraza. Na primjer, možete proširiti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, navesti slične izraze itd. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćeni postupak za obavljanje radnji. Evo nekoliko primjera.

Primjer.

Procijenite vrijednost eksponencijalnog izraza 2 3 · (4 2 −12).

Riješenje.

Prema redoslijedu izvođenja radnji prvo izvodimo radnje u zagradama. Tu prvo zamjenjujemo stupanj 4 2 s njegovom vrijednošću 16 (vidi ako je potrebno), a zatim izračunavamo razliku 16−12 = 4. Imamo 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

U rezultirajućem izrazu zamijenite stepen 2 3 njegovom vrijednošću 8, nakon čega izračunavamo umnožak 8 4 = 32. Ovo je željena vrijednost.

Tako, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Odgovor:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Primjer.

Pojednostavite izraze snage 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Riješenje.

Očito, ovaj izraz sadrži slične pojmove 3 · a 4 · b −7 i 2 · a 4 · b −7, te ih možemo donijeti :.

Odgovor:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Primjer.

Zamislite izraz s moćima kao proizvod.

Riješenje.

Da biste se nosili sa zadatkom, prikaz broja 9 u obliku stepena 3 2 i naknadna upotreba formule za skraćeno množenje razlika je kvadrata:

Odgovor:

Također postoji niz identičnih transformacija svojstvenih izrazima moći. Zatim ćemo ih analizirati.

Rad s bazom i eksponentom

Postoje stupnjevi čija baza i / ili eksponent nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer navodimo zapise (2 + 0,37) 5-3,7 i (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Kada radite s takvim izrazima, možete zamijeniti i izraz na temelju stupnja i izraz u eksponentu identično jednakim izrazom na ODZ -u njegovih varijabli. Drugim riječima, možemo, prema nama poznatim pravilima, zasebno transformirati bazu stupnja, a zasebno - eksponent. Jasno je da će se kao rezultat ove transformacije dobiti izraz koji je identično jednak izvornom.

Takve transformacije omogućuju nam da pojednostavimo izraze s ovlastima ili postignemo druge ciljeve koji su nam potrebni. Na primjer, u gornjem eksponencijalnom izrazu (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, možete izvoditi radnje s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti da prijeđete na stepen 4.1 1.3. A nakon što proširimo zagrade i smanjimo slične članove u bazi stupnja (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1), dobivamo potencijski izraz jednostavnijeg oblika a 2

Korištenje svojstava stupnja

Jedan od glavnih alata za pretvaranje izraza s moćima je jednakost, reflektiranje. Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realne brojeve r i s vrijede sljedeća svojstva snage:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Imajte na umu da za prirodne, cjelobrojne i pozitivne eksponente ograničenja za brojeve a i b možda nisu tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m a n = a m + n vrijedi ne samo za pozitivne a, već i za negativne te za a = 0.

U školi je glavna pažnja pri transformaciji izraza moći usmjerena upravo na sposobnost odabira odgovarajućeg svojstva i ispravne primjene. U ovom slučaju, baze stupnjeva su obično pozitivne, što omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama stupnjeva - raspon dopuštenih vrijednosti varijabli obično je takav da na njemu baze uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava stupnjeva. Općenito, morate se stalno pitati je li u ovom slučaju moguće primijeniti bilo koje svojstvo stupnjeva, jer netočna upotreba svojstava može dovesti do sužavanja ODV-a i drugih problema. Ove se točke detaljno i s primjerima raspravljaju u članku o pretvaranju izraza pomoću svojstava stupnja. Ovdje se ograničavamo na nekoliko jednostavnih primjera.

Primjer.

Zamislite izraz a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 kao stepen s bazom a.

Riješenje.

Prvo, drugi faktor (a 2) −3 transformira se svojstvom dizanja stupnja na stepen: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Izvorni eksponencijalni izraz tada će imati oblik a 2,5 · a −6: a −5,5. Očito, ostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, imamo
a 2,5 a −6: a −5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a −3,5 - ( - 5,5) = a 2.

Odgovor:

a 2,5 (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

Svojstva moći koriste se slijeva nadesno i zdesna nalijevo pri transformaciji eksponencijalnih izraza.

Primjer.

Pronađi vrijednost eksponencijalnog izraza.

Riješenje.

Jednakost (a b) r = a r b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućuje vam da prijeđete od izvornog izraza do proizvoda oblika i dalje. A kada se množe stupnjevi s istim bazama, pokazatelji se zbrajaju: .

Transformaciju izvornog izraza bilo je moguće izvesti na drugi način:

Odgovor:

.

Primjer.

S obzirom na eksponencijalni izraz a 1,5 −a 0,5 −6, unesite novu varijablu t = a 0,5.

Riješenje.

Stupanj a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 · 3 i dalje, na temelju svojstva stupnja na stupanj (ar) s = ar · s, primijenjen s desna na lijevo, transformirati ga u oblik (a 0,5) 3 . Tako, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Sada je lako uvesti novu varijablu t = a 0,5, dobivamo t 3 −t − 6.

Odgovor:

t 3 −t - 6.

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Izrazi moći mogu sadržavati razlomke s moćima ili biti takvi razlomci. Bilo koja od osnovnih transformacija razlomaka koja je svojstvena razlomcima bilo koje vrste u potpunosti je primjenjiva na takve razlomke. Odnosno, razlomci koji sadrže ovlasti mogu se poništiti, reducirati na novi nazivnik, raditi zasebno sa svojim brojnikom i odvojeno s nazivnikom itd. Za ilustraciju izgovorenih riječi razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pojednostavite eksponencijalni izraz .

Riješenje.

Ovaj eksponencijalni izraz je razlomak. Poradimo na njegovom brojniku i nazivniku. U brojniku otvaramo zagrade i pojednostavljujemo izraz dobiven nakon toga koristeći svojstva potencija, a u nazivniku dajemo slične pojmove:

Mi također mijenjamo predznak nazivnika stavljajući minus ispred razlomka: .

Odgovor:

.

Redukcija razlomaka koji sadrže potencije na novi nazivnik provodi se slično kao i redukcija racionalnih razlomaka na novi nazivnik. U ovom slučaju također se pronalazi dodatni faktor i s njim se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedno je zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja ODV-a. Da bi se to spriječilo, potrebno je da dodatni faktor ne nestane za bilo koju vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer.

Smanjite razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) na nazivnik.

Riješenje.

a) U ovom je slučaju prilično lako shvatiti koji dodatni faktor pomaže u postizanju željenog rezultata. To je faktor 0,3, budući da je 0,7 · a 0,3 = 0,7 + 0,3 = a. Imajte na umu da na rasponu dopuštenih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva) stupanj a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik danog razlomka s ovaj dodatni faktor:

b) Ako pažljivije pogledate nazivnik, to možete pronaći

i množenjem ovog izraza dobit će se zbroj kocki i, to jest ,. A ovo je novi nazivnik na koji trebamo smanjiti izvorni razlomak.

Ovako smo pronašli dodatni faktor. Na rasponu valjanih vrijednosti varijabli x i y izraz ne nestaje, stoga možemo brojnik i nazivnik razlomka pomnožiti s njim:

Odgovor:

a) , b) .

Kratica razlomka koji sadrže potencije također nije ništa novo: brojnik i nazivnik predstavljeni su kao brojni čimbenici, a isti čimbenici brojnika i nazivnika se poništavaju.

Primjer.

Smanjite razlomak: a) , b).

Riješenje.

a) Prvo, brojnik i nazivnik se mogu smanjiti za brojeve 30 i 45, što je 15. Također, očito se može izvesti smanjenje za x 0,5 +1 i za ... Evo što imamo:

b) U ovom slučaju isti faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morat ćete izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje od faktoriranja nazivnika u faktore prema formuli za razliku kvadrata:

Odgovor:

a)

b) .

Svođenje razlomaka na novi nazivnik i smanjenje razlomaka uglavnom se koriste za izvođenje radnji s razlomacima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Prilikom zbrajanja (oduzimanja) razlomaka dovode se do zajedničkog nazivnika, nakon čega se zbrajaju (oduzimaju) brojnici, a nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomka množi se s obrnutim dijelom razlomka.

Primjer.

Prati korake .

Riješenje.

Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih do zajedničkog nazivnika, a to je , nakon čega oduzimamo brojnike:

Sada množimo razlomke:

Očigledno, moguće je otkazati za x 1/2, nakon čega imamo .

Također možete pojednostaviti eksponencijalni izraz u nazivniku pomoću formule razlike kvadrata: .

Odgovor:

Primjer.

Pojednostavite eksponencijalni izraz .

Riješenje.

Očigledno, ovaj se razlomak može poništiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak ... Jasno je da sa stupnjevima x treba još nešto učiniti. Da bismo to učinili, dobivenu frakciju transformiramo u proizvod. To nam daje mogućnost korištenja svojstva dijeljenja stupnjeva s istim osnovama: ... I na kraju procesa prelazimo s posljednjeg proizvoda na djelić.

Odgovor:

.

Također dodajemo da je moguće i u mnogim slučajevima poželjno prenijeti množitelje s negativnim eksponentima iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik, mijenjajući predznak eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, eksponencijalni izraz može se zamijeniti s.

Pretvaranje izraza s korijenima i moćima

Često u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz potencije s razlomcima, također postoje korijeni. Da bi se takav izraz preobrazio u željeni oblik, u većini slučajeva dovoljno je ići samo do korijena ili samo do moći. No, budući da je prikladnije raditi s diplomama, obično idu od korijena do stupnjeva. Međutim, preporučljivo je izvršiti takav prijelaz kada vam ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena s moćima bez potrebe za upućivanjem na modul ili podjelom ODV -a u nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak prijelaz s korijena na stupnjeve i natrag uvodi se stupanj s iracionalnim pokazateljem, što omogućuje govoriti o diplomi s proizvoljnim realnim pokazateljem. eksponencijalna funkcija, koji je analitički postavljen stupnjem, u čijem je temelju broj, a u pokazatelju - varijablom. Dakle, suočeni smo s eksponencijalnim izrazima koji sadrže brojeve u bazi stupnja, au eksponentu - izraze s varijablama, te je, naravno, potrebna transformacija takvih izraza.

Treba reći da se transformacija izraza ovog tipa obično mora izvršiti pri rješavanju eksponencijalne jednadžbe i eksponencijalne nejednakosti a te su pretvorbe prilično jednostavne. U velikoj većini slučajeva temelje se na svojstvima stupnja i uglavnom imaju za cilj uvođenje nove varijable u budućnosti. Možemo ih pokazati jednadžbom 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Prvo, stupnjevi u kojima se nalazi zbroj varijable (ili izrazi s varijablama) i broj zamjenjuju se proizvodima. To se odnosi na prvi i zadnji izraz izraza s lijeve strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Nadalje, obje strane jednakosti podijeljene su izrazom 7 2 x, koji uzima samo pozitivne vrijednosti na ODZ varijable x za izvornu jednadžbu (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ove vrste, mi nismo govoreći o tome sada, pa se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ):

Razlomci s ovlastima sada su poništeni, što daje .

Konačno, omjer stupnjeva s istim eksponentima zamjenjuje se stupnjevima odnosa, što dovodi do jednadžbe što je ekvivalentno ... Izvedene transformacije omogućuju nam uvođenje nove varijable koja rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe

Lekcija i prezentacija na temu: "Stupanj s negativnim pokazateljem. Definicija i primjeri rješavanja problema"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u internet trgovini Integral za 8. razred
Priručnik za udžbenik Muravin G.K. Priručnik za udžbenik Alimov Sh.A.

Određivanje stupnja s negativnim eksponentom

Dobro znamo da je svaki broj u nultom stupnju jednak jedan. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Postavlja se pitanje što će se dogoditi ako se broj podigne na negativan stepen? Na primjer, čemu je jednak broj $ 2 ^ (- 2) $?
Prvi matematičari koji su postavili ovo pitanje odlučili su da se ponovno izmišljanje kotača ne isplati, a dobro je da su sva svojstva stupnjeva ostala ista. Odnosno, pri množenju stupnjeva s istom bazom dodaju se eksponenti.
Razmotrimo ovaj slučaj: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Dobili smo da bi umnožak takvih brojeva trebao dati jedan. Jedinica u umnošku dobivena je množenjem recipročnih brojeva, to jest, $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Ovo zaključivanje dovelo je do sljedeće definicije.
Definicija. Ako je $ n $ prirodan broj i $ a ≠ 0 $, tada vrijedi jednakost: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Važan identitet koji se često koristi: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Konkretno, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

Primjeri rješenja

Riješenje.
Razmotrimo svaki pojam zasebno.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Ostaje izvršiti operacije zbrajanja i oduzimanja: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) $.
Odgovor: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Primjer 2.
Predstavite zadani broj kao prost stepen $ \ frac (1) (729) $.

Riješenje.
Očito je $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Ali 729 nije prost broj koji završava na 9. Može se pretpostaviti da je taj broj potencija tri. Podijelimo redom 729 sa 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Izvršeno je šest operacija, što znači: 729 $ = 3 ^ 6 $.
Za naš zadatak:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Odgovor: $ 3 ^ (- 6) $.

Primjer 3. Predstavite izraz kao stepen: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Riješenje. Prva radnja se uvijek izvodi unutar zagrada, zatim množenje $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = a ^ (-4 - (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
Odgovor: $ a $.

Primjer 4. Dokažite identitet:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Riješenje.
S lijeve strane razmotrit ćemo svaki faktor u zagradama zasebno.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ razlomak (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ prijelom (y) (x) + \ razlom (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ razlomak (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x ) ) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Prijeđimo na razlomak po kojem dijelimo.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Napravimo podjelu.
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
Dobili smo točan identitet, što je bilo potrebno dokazati.

Na kraju lekcije još ćemo jednom zapisati pravila rada s moćima, ovdje je eksponent cijeli broj.
$ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Zadaci za samostalno rješavanje

U ovom članku ćemo shvatiti što je stupanj od... Ovdje ćemo dati definicije stupnja broja, pri čemu ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog i završavajući s iracionalnim. U materijalu ćete pronaći mnogo primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje nastaju.

Navigacija po stranici.

Stupanj s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, brojčana kocka

Počnimo s. Gledajući unaprijed, kažemo da je za a data definicija stupnja broja a s prirodnom eksponentom n, koju ćemo nazvati osnovni stupanj, i n, koje ćemo nazvati eksponent... Također napominjemo da se stupanj s prirodnim eksponentom određuje kroz proizvod, pa da biste razumjeli materijal u nastavku, morate imati ideju o množenju brojeva.

Definicija.

Potencija broja a s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a, tj.
Konkretno, snaga broja a s eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 = a.

Odmah treba reći o pravilima za čitanje stupnjeva. Univerzalni način čitanja zapisa a n je sljedeći: "a na snagu n". U nekim slučajevima su prihvatljive i sljedeće opcije: "a na n-tu stepen" i "n-ta snaga broja a". Na primjer, uzmimo snagu 8 12, koja je "osam do snage dvanaest" ili "osam do dvanaestog stupnja" ili "dvanaesta snaga osam".

Drugi stupanj broja, kao i treći stupanj broja, imaju svoja imena. Drugi stupanj broja naziva se po kvadratu broja na primjer, 7 2 glasi "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treća snaga broja naziva se brojevi kocke na primjer, 5 3 se može čitati kao "kocka pet" ili reći "kocka broja 5".

Vrijeme je za vođenje primjeri stupnjeva s prirodnim pokazateljima... Počnimo s potencijom 5 7, ovdje je 5 baza potencije, a 7 eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4.32 je baza, a prirodni broj 9 eksponent (4.32) 9.

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru baza stepena 4,32 zapisana u zagradama: kako bismo izbjegli zabunu, stavit ćemo u zagrade sve osnove stupnja koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer navodimo sljedeće stupnjeve s prirodnim pokazateljima , njihove baze nisu prirodni brojevi pa su zapisane u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće u ovom trenutku, prikazat ćemo razliku između unosa oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je moć −2 s prirodnom eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao - (2 3)) odgovara broju, vrijednosti snage 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka stupnja broja a s eksponentom n oblika a ^ n. Štoviše, ako je n višeznačan prirodni broj, eksponent se uzima u zagrade. Na primjer, 4 ^ 9 je još jedan zapis moći 4 9. I evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola " ^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). U nastavku ćemo se uglavnom služiti zapisom stupnja oblika a n.

Jedan od zadataka, inverzni dizanju na stepen s prirodnim eksponentom, je problem pronalaženja baze stupnja iz poznate vrijednosti stupnja i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do.

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih i razlomaka, a svaki razlomak se može predstaviti kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj smo definirali cijelim eksponentom u prethodnom odlomku, stoga, da bismo dovršili definiciju stupnja s racionalnim eksponentom, moramo dati smisao stupnju broja a s razlomačkom eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s razlomnim eksponentom oblika. Da bi svojstvo stupnja do stupnja vrijedilo, jednakost ... Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i način na koji smo je odredili, onda je logično prihvatiti, pod uvjetom da za zadane m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da li za sva svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku o svojstvima stupnja s racionalnim eksponentom).

Gore navedeno zaključivanje omogućuje nam sljedeće. izlaz: ako za zadane m, n i a izraz ima smisla, tada se snaga broja a s razlomačkom eksponentom m / n naziva n -ti korijen a do stepena m.

Ova tvrdnja nas dovodi vrlo blizu određivanja stupnja s razlomkom eksponenta. Ostaje samo opisati za koje m, n i a izraz ima smisla. Postoje dva glavna pristupa, ovisno o ograničenjima na m, n i a.

Najjednostavniji način je ograničiti a pretpostavkom da je a≥0 za pozitivan m i a> 0 za negativan m (budući da za m≤0 stupanj 0 m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju razlomljenog eksponenta.

Definicija.

Moć pozitivnog broja a s razlomačkom eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodni broj, naziva se n-ti korijen od a na stepen m, tj.

Ulomljena snaga nule također se određuje samo uz uvjet da pokazatelj mora biti pozitivan.

Definicija.

Snaga nule s pozitivnom frakcijskom eksponentom m / n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kada stupanj nije određen, odnosno stupanj broja nula s razlomkom negativnim eksponentom nema smisla.

Valja napomenuti da uz takvu definiciju stupnja s razlomačkom eksponentom postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n izraz ima smisla, te smo te slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, ima smisla pisati ili, a gore navedena definicija nas tjera da kažemo da stupnjevi s razlomkom eksponenta oblika nemaju smisla, jer baza ne smije biti negativna.

Drugi pristup određivanju eksponenta s frakcijskim eksponentom m / n je da se odvojeno razmatraju neparni i parni eksponenti korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: stupanj broja a, čiji je pokazatelj, smatra se potencijom broja a, čiji je pokazatelj odgovarajući nesmanjivi razlomak (važnost ovog uvjeta bit će objašnjena u nastavku). Odnosno, ako je m / n neumanjivi razlomak, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj prethodno zamjenjuje sa.

Za paran n i pozitivno m, izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (parni korijen negativnog broja nema smisla), za negativan m broj a i dalje mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja s nulom ). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (neparni korijen je definiran za bilo koji realni broj), a za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nulom).

Navedeno razmišljanje dovodi nas do takve definicije stupnja s razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka je m / n nesvodljivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za bilo koji razlomak koji se može poništiti, eksponent se zamjenjuje s. Moć broja s nesvodivom frakcijskom eksponentom m / n je za



Objasnimo zašto se stupanj s reducibilnim razlomljenim eksponentom prethodno zamjenjuje stupnjem s nesvodivim eksponentom. Kada bismo jednostavno definirali stupanj kao, a ne rezervisali se o nesvodljivosti razlomka m/n, tada bismo se suočili sa situacijama sličnim sljedećoj: budući da je 6/10 = 3/5, onda bi jednakost trebala vrijediti , ali , a .

U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli stupanj broja. Danas ćemo se pokušati orijentirati u procesu pronalaženja njegova značenja. Znanstveno govoreći, smislit ćemo kako pravilno podići na potenciju. Shvatit ćemo kako se taj proces provodi, a pritom ćemo se dotaknuti svih mogućih pokazatelja stupnja: prirodni, iracionalni, racionalni, cjeloviti.

Pa pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

1. Definicija pojma.
2. Uzdizanje do negativne umjetnosti.
3. Cijeli indikator.
4. Povećanje broja na iracionalni stepen.

Definicija pojma

Evo definicije koja točno odražava značenje: "Postavljanje u eksponencijal je definicija značenja potencije broja."

U skladu s tim, podizanjem broja a na čl. r i postupak pronalaženja vrijednosti eksponenta a s eksponentom r identični su pojmovi. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost snage (0,6) 6 ″, tada se to može pojednostaviti do izraza „Podignite broj 0,6 na stepen 6“.

Nakon toga možete izravno pristupiti pravilima izgradnje.

Negativno eksponencijaliranje

Radi jasnoće, trebali biste obratiti pozornost na sljedeći lanac izraza:

110 = 0,1 = 1 * 10 u minus 1 st.,

1100 = 0,01 = 1 * 10 u minus 2 koraka.,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 minus 3 st.,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 u minus 4 stupnja.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 na bilo koju minus snagu. U tu svrhu, prilično je otrcano pomaknuti decimalnu komponentu:

• 10 do -1 stupnjeva - prije jedinice 1 nula;
• na -3 - tri nule prije jedan;
• u -9 je 9 nula i tako dalje.

Jednako je lako razumjeti prema ovoj shemi, koliko će biti 10 do minus 5 žlica. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići prirodan broj

Pozivajući se na definiciju, uzimamo u obzir da je prirodni broj a u čl. n je jednako umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrirajmo: (a * a * ... a) n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se a podiglo na n, potrebno je izračunati umnožak sljedećeg oblika: a * a *… i podijeliti s n puta.

Iz ovoga postaje očito da erekcija u prirodnoj umjetnosti. oslanja se na sposobnost množenja(Ovaj materijal obrađen je u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Podignite -2 u 4. st.

Imamo posla s prirodnim pokazateljem. Sukladno tome, tijek odluke bit će sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Sada ostaje samo izvršiti množenje cijelih brojeva: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Dobijamo 16.

Odgovor na problem:

(-2) u čl. 4 = 16.

Primjer:

Izračunajte vrijednost: tri boda dva sedam na kvadrat.

Ovaj primjer jednak je sljedećem proizvodu: tri točke dvije sedmine pomnoženo s tri točke dvije sedmine. Sjećajući se kako se vrši množenje mješovitih brojeva, dovršavamo konstrukciju:

• 3 točka 2 sedmice same se množe;
• jednako je 23 sedmice pomnoženo s 23 sedmine;
• jednako 529 četrdeset i deveto;
• režemo i dobivamo 10 trideset devet četrdeset devet.

Odgovor: 10 39/49

S obzirom na pitanje podizanja na iracionalni pokazatelj, valja napomenuti da se izračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stupnja u bilo koju kategoriju koja bi omogućila dobivanje vrijednosti s zadanom točnošću. Na primjer, moramo kvadrat P (pi).

Počinjemo sa zaokruživanjem P na stotinke i dobivamo:

P na kvadrat = (3.14) 2 = 9.8596. Međutim, smanjimo li P na deset tisućinki, dobivamo P = 3,14159. Tada kvadriranje dobiva potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe povećavati iracionalne brojeve na stepen. U pravilu, odgovor se piše ili u obliku stupnja, na primjer, korijen od 6 na stepen od 3, ili, ako izraz dopušta, provodi se njegova transformacija: korijen od 5 na 7. stepen = 125 korijena od 5.

Kako podići broj na cijeli stepen

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

• za cijele brojeve;
• za nulti indikator;
• za cijeli pozitivan pokazatelj.

Budući da se praktički svi pozitivni cijeli brojevi podudaraju s masom prirodnih brojeva, tada je postavljanje na pozitivnu cijelu snagu isti proces kao i postavljanje u čl. prirodnim. Ovaj proces opisali smo u prethodnom odlomku.

Razgovarajmo sada o izračunavanju čl. null. Gore smo već doznali da se nulti stupanj broja a može odrediti za svako ne nula a (realno), dok se a u čl. 0 će biti jednako 1.

U skladu s tim, podizanjem bilo kojeg realnog broja na nulu st. dat će jedan.

Na primjer, 10 u st. 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Kako bismo dovršili podizanje na cjelobrojni stepen, ostaje odlučiti o opcijama za cjelobrojne negativne vrijednosti. Sjećamo se da je čl. iz s s cjelobrojnim eksponentom -z bit će definiran kao razlomak. Nazivnik razlomka je čl. s pozitivnom cjelobrojnom vrijednošću čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo razmotriti primjer izgradnje.

Primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 u kocki s negativnim cijelim eksponentom.

Proces rješenja:

Prema definiciji stupnja s negativnim pokazateljem, označavamo: dva pri minus 3 žlice. jednako jedan prema dva u trećem stupnju.

Nazivnik se izračunava jednostavno: dva kockasta;

3 = 2*2*2=8.

Odgovor: dvije u minus 3. žlica. = jedna osmina.

Video

Ovaj video će vam pokazati što učiniti ako je stupanj negativan.