Bách khoa toàn thư về an toàn cháy nổ

Chuẩn bị cho kỳ thi giải phương trình đơn giản. Luyện thi đại học môn toán cơ bản và chuyên ngữ

Phiên bản demo SỬ DỤNG 2018 năm nhiệm vụ giải các phương trình đơn giản nằm dưới số 7 cho cấp độ cơ bản và dưới số 5 cho cấp độ hồ sơ.

Nói chung, một phương trình với một biến có thể được viết dưới dạng NS(NS) = NS(NS) , I E. dưới dạng bình đẳng, có thể (nhưng không bắt buộc) chứa một biến trong cả hai phần NS... Ví dụ:

tội NS = 0,5; 15 = NS 2 − 4NS; NS + 8 = √ NS − 18______ ; log 2 ( NS+ 5) = log 0,5 8.

"Giải phương trình" nghĩa là gì? Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của nó hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại.

Sự định nghĩa: Căn của phương trình với một biến, một giá trị như vậy của biến này được gọi, biến nó thành một đẳng thức số thực sự.

Các phương trình có cùng căn được gọi là tương đương với... Giải phương trình, chúng tôi cố gắng biến nó thành một dạng đơn giản hơn. Đừng quên đảm bảo rằng phương trình đơn giản hơn vẫn giống như phương trình ban đầu. Làm thế nào để làm điều này cho các loại phương trình khác nhau, tôi sẽ đề cập khi tôi xem qua các ví dụ. Các phương trình chung cho tất cả các phương trình sau đây, bạn cũng biết,

quy tắc của các phép biến đổi tương đương:

Nếu trong phương trình bất kỳ số hạng nào được chuyển từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, thì sẽ nhận được một phương trình tương đương với một số hạng đã cho.

Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác không, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

Xem xét các chi tiết cụ thể của phần này của kỳ thi, chúng tôi kết luận rằng không thể có phương trình không có gốc trong nhiệm vụ này, bởi vì định dạng của câu trả lời không cho phép chứng minh bắt buộc. Và nếu phương trình có nhiều hơn một căn, thì điều kiện của bài toán sẽ được lập có tính đến thực tế này. Ví dụ, "trong câu trả lời của bạn chỉ ra các gốc nhỏ hơn (lớn nhất, âm lớn nhất, dương nhỏ nhất ...)".

Và sử dụng khái niệm gốc, chúng tôi kết luận rằng câu trả lời thu được rất dễ kiểm tra độc lập. Vì vậy, khi giải bài tập này của phần SỬ DỤNG trong toán học, một khâu quan trọng là xác minh.

Việc kiểm tra nên được thực hiện trực tiếp theo tình trạng của vấn đề được in trên biểu mẫu. Nếu không, bạn không kiểm tra khả năng bạn đã vô tình viết lại điều kiện trong bản nháp.

Vì vậy, câu trả lời được tìm thấy là NS Phải thay 0 vào điều kiện của bài toán và đảm bảo rằng các biểu thức ở vế phải và vế trái của đẳng thức nhận các giá trị số bằng nhau.

Thí dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình NS − 119 ______ NS + 7 = −5.

Phương trình này thuộc loại phân số hữu tỉ. Dạng đơn giản nhất của các phương trình như vậy P(NS) ___ NS(NS) = 0.

Bởi vì nếu một phân số nào đó bằng 0, thì chúng ta có thể suy luận một cách logic: điều này có thể xảy ra trong trường hợp tử số của phân số bằng 0 và mẫu số không bằng 0, bởi vì bạn không thể chia cho không. Sau này phải được tính đến để loại bỏ các gốc "sai" ("phụ") có thể xảy ra.

Dung dịch.

1) Ta biến đổi phân số về dạng đơn giản.
Để làm điều này, hãy di chuyển mọi thứ sang phía bên phải (đừng quên thay đổi dấu của số hạng khi đi qua dấu bằng!). Sau đó, chúng ta đưa phân số về một mẫu số chung.

NS − 119 ______ NS + 7 + 5 = 0.

NS − 119 ______ NS + 7 + NS + 7 / 5 = 0.

NS − 119 + 5(NS + 7) NS + 7 _______________ = 0.

NS − 119 + 5NS + 35 _______________ NS + 7 = 0.

6NS − 84 ______ NS + 7 = 0.

2) Lập phương trình tử số của phân số bằng 0:
6NS − 84 = 0;
6NS = 84;
NS = 84/6 = 14.

3) Đối với mẫu số, ghi điều kiện
NS + 7 ≠ 0.
Tiếp theo, chúng tôi chọn cái nào đơn giản hơn,
- thay thế trong bất bình đẳng cuối cùng NS= 14 để đảm bảo rằng gốc giả định được tìm thấy không phải là "false": NS + 7 = 14 + 7 = 21 ≠ 0,
hoặc
- giải phương trình ngược lại, để sau đó loại bỏ các nghiệm thức trùng với tử số và mẫu số: NS + 7 = 0; NS = −7; −7 ≠ 14.
Trong trường hợp này, cả hai cách tiếp cận đều đơn giản và dễ hiểu.

4) Chúng tôi rút ra một kết luận - giá trị của biến NS= 14, biến tử số thành 0, và là căn mong muốn của phương trình.

Bài giải: 14.

Trước khi viết lại câu trả lời vào biểu mẫu, chúng tôi kiểm tra.

Kiểm tra.

1) Chúng tôi lấy điều kiện ban đầu của vấn đề.

NS − 119 ______ NS + 7 = −5.

2) Thay vì NS thay thế câu trả lời của chúng tôi: 14.

14 − 119 _______ 14 + 7 = −5.

3) Chúng tôi tính các giá trị số của từng phần của đẳng thức một cách riêng biệt. Trong ví dụ này, đã có một số ở phía bên phải, vì vậy chúng tôi chỉ tính phía bên trái.
14 − 119 = −105; 14 + 7 = 21; −105/21 = −5.

4) Vì −5 = −5 nên NS= 14 là gốc của phương trình và bạn có thể viết lại câu trả lời ở dạng này một cách an toàn.

Phương trình đơn giản trong một biến.

Tất cả các phương trình bạn đã giải ở trường và theo đó, có thể được tìm thấy trong bài tập SỬ DỤNG này trong toán học, có thể được chia thành một số dạng cơ bản - hữu tỉ, vô tỉ, mũ, logarit, lượng giác. Bạn có thể tìm định nghĩa chính xác của các thuật ngữ này trong hướng dẫn. Ở đây chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến việc phân loại theo các dạng của phương trình được trình bày trong ngân hàng bài tập SỬ DỤNG cho các bài toán có đáp án ngắn gọn. Nó là cần thiết để có thể "nhận ra phương trình bằng mắt" và ngay lập tức đoán được nơi bắt đầu giải nó.

Và bạn thường cần bắt đầu giải bất kỳ phương trình nào bằng cách chuyển nó về dạng đơn giản nhất. Đơn giản nhất, như một quy luật, là cách viết phương trình như vậy, nó trùng với "Cách nhìn tổng quát" được trình bày trong sách giáo khoa. Bởi vì đối với phương pháp viết này, có những khuyến nghị để nhận được câu trả lời. Và đó là những khuyến nghị mà bạn đã thông qua trong các bài học, chúng được đưa ra trong sách giáo khoa.

Dưới đây, bạn sẽ thấy một bảng sẽ giúp bạn điều hướng nhiều loại phương trình được đưa ra trong kỳ thi toán học này. Trong đó, biểu tượng NS biểu thị một biến có giá trị chưa biết sẽ được tìm thấy. Phần lớn các phương trình sử dụng cùng một ký hiệu. Tuy nhiên, đừng quên rằng các nhân vật khác, chẳng hạn như y, z, u, v, t,..., có quyền tồn tại dưới dạng ẩn số, kể cả trong phương trình với một biến. Các ký hiệu khác trong cột "Chế độ xem chung" - a, b, c- các hằng số được chỉ ra, tức là các hằng số cho bản ghi này của phương trình là các đại lượng. Nói một cách đơn giản, trong một trường hợp cụ thể, các con số sẽ đơn giản đứng ở vị trí của chúng.

Và cuối cùng, ký hiệu bằng dấu ngoặc - P(NS), NS(NS), NS(NS), NS(NS) là các biểu thức. Trong lớp học, bạn hẳn đã nghe thuật ngữ "biểu thức toán học" nhiều hơn một lần. Tuy nhiên, nếu điều này vẫn không có ý nghĩa gì đối với bạn, thì hãy gọi nó cho chính bạn, chẳng hạn như công thức từ NS.

Ban đầu, một cái gì đó trong bảng này có vẻ khó hiểu đối với bạn. Bỏ qua phần này và quay lại lần nữa sau khi phân tích nhóm ví dụ tiếp theo, cũng như ngay trước kỳ thi, để nhanh chóng xem lại tất cả các tùy chọn khả thi có thể gặp phải trong nhiệm vụ này.

Chú ý: Bảng có thể nhấp được. Nếu bạn nhấp chuột trái vào một trong các phương trình ở cột thứ ba, lời giải của ví dụ này sẽ được tải. Nhưng đừng vội làm điều đó. Đầu tiên, hãy nghĩ xem bản thân bạn sẽ giải quyết nó như thế nào. Sau đó so sánh các câu trả lời. Giải pháp của bạn không nhất thiết phải giống với giải pháp của tôi. Tiêu chí chính cho tính đúng đắn là nhận dạng khi thay thế một căn trong phương trình ban đầu.

Quảng trường
Loại phương trình Hình thức chung Ví dụ về nhiệm vụ Dấu hiệu

Hợp lý

 Tuyến tính cây rìu = NS
Đẳng thức chỉ chứa các số và NSở mức độ đầu tiên.
cây rìu 2 + bx + NS = 0
Những con số, NS và NS 2. Sự có mặt NS 2 là bắt buộc.
Số nguyên hữu tỉ chứa đa thức bậc n> 2

P(NS) = 0,

Ở đâu P(NS) - đa thức
Số và NSở các mức độ khác nhau. Có độ lớn hơn 2.
Hợp lý phân số. P(NS) ___ NS(NS) = 0. Có NSở mẫu số.
Không hợp lý

n √ NS(NS)____ = n √ NS(NS)____ ;

n √ NS(NS)____ = φ (NS)

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

  • Khi bạn để lại yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

  • Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và báo cáo các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
  • Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và tin nhắn quan trọng.
  • Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
  • Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc sự kiện khuyến mại tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

  • Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tòa, theo thủ tục tòa án, và / hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do an ninh, thực thi pháp luật hoặc các lý do xã hội quan trọng khác.
  • Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho một bên thứ ba thích hợp - bên kế thừa hợp pháp.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm cắp và lạm dụng, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được an toàn, chúng tôi đưa ra các quy tắc bảo mật và an toàn cho nhân viên của mình, đồng thời giám sát chặt chẽ việc thực hiện các biện pháp bảo mật.

Phương trình, phần $ C $

Đẳng thức chứa một số chưa biết ký hiệu bằng một chữ cái được gọi là một đẳng thức. Biểu thức ở bên trái của dấu bằng được gọi là vế trái của phương trình, và biểu thức ở bên phải được gọi là vế phải của phương trình.

Sơ đồ giải các phương trình phức tạp:

  1. Trước khi giải phương trình, cần phải viết ra dải giá trị cho phép (ODV) đối với nó.
  2. Giải phương trình.
  3. Chọn từ các nghiệm thu được của phương trình thỏa mãn ODZ.

ODZ của các biểu thức khác nhau (theo biểu thức, chúng tôi có nghĩa là một ký hiệu chữ và số):

1. Biểu thức ở mẫu số không được bằng không.

$ (f (x)) / (g (x)); g (x) ≠ 0 $

2. Biểu thức căn không được âm.

$ √ (g (x)); g (x) ≥ 0 $.

3. Biểu thức căn ở mẫu số phải là số dương.

$ (f (x)) / (√ (g (x))); g (x)> 0 $

4. Đối với một lôgarit: biểu thức lôgarit con phải là số dương; cơ sở phải tích cực; cơ số không thể bằng một.

$ log_ (f (x)) g (x) \ table \ (\ g (x)> 0; \ f (x)> 0; \ f (x) ≠ 1; $

Phương trình lôgarit

Phương trình logarit là phương trình có dạng $ log_ (a) f (x) = log_ (a) g (x) $, trong đó $ a $ là một số dương khác với $ 1 $ và là phương trình rút gọn về dạng này.

Để giải phương trình logarit, cần phải biết các tính chất của logarit: chúng ta sẽ xét tất cả các tính chất của logarit cho $ a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, m $ - bất kỳ số thực nào.

1. Với mọi số thực $ m $ và $ n $, các số bằng nhau là đúng:

$ log_ (a) b ^ m = mlog_ (a) b; $

$ log_ (a ^ m) b = (1) / (m) log_ (a) b. $

$ log_ (a ^ n) b ^ m = (m) / (n) log_ (a) b $

$ log_ (3) 3 ^ (10) = 10log_ (3) 3 = 10; $

$ log_ (5 ^ 3) 7 = (1) / (3) log_ (5) 7; $

$ log_ (3 ^ 7) 4 ^ 5 = (5) / (7) log_ (3) 4; $

2. Lôgarit của tích bằng tổng của các lôgarit trong cùng một cơ số của mỗi thừa số.

$ log_a (bc) = log_ (a) b + log_ (a) c $

3. Lôgarit của thương bằng hiệu giữa lôgarit của tử số và mẫu số đối với cùng một cơ số

$ log_ (a) (b) / (c) = log_ (a) b-log_ (a) c $

4. Khi nhân hai logarit, bạn có thể hoán đổi cơ số của chúng

$ log_ (a) b ∙ log_ (c) d = log_ (c) b ∙ log_ (a) d $, nếu $ a, b, c $ và $ d> 0, a ≠ 1, b ≠ 1. $

5. $ c ^ (log_ (a) b) = b ^ (log_ (a) b) $, trong đó $ a, b, c> 0, a ≠ 1 $

6. Công thức chuyển đổi sang cơ sở mới

$ log_ (a) b = (log_ (c) b) / (log_ (c) a) $

7. Đặc biệt, nếu cần hoán đổi cơ số và biểu thức logarit phụ.

$ log_ (a) b = (1) / (log_ (b) a) $

Có một số loại phương trình logarit chính:

Phương trình logarit đơn giản nhất: $ log_ (a) x = b $. Giải pháp của loại phương trình này tuân theo định nghĩa của lôgarit, tức là $ x = a ^ b $ và $ x> 0 $

Chúng ta biểu diễn cả hai vế của phương trình dưới dạng logarit với cơ số $ 2 $

$ log_ (2) x = log_ (2) 2 ^ 3 $

Nếu các logarit bằng nhau trong cùng một cơ số, thì các biểu thức logarit phụ cũng bằng nhau.

Trả lời: $ x = 8 $

Phương trình có dạng: $ log_ (a) f (x) = log_ (a) g (x) $. Tại vì các cơ sở giống nhau, sau đó chúng tôi cân bằng các biểu thức logarit phụ và tính đến ODZ:

$ \ table \ (\ f (x) = g (x); \ f (x)> 0; \ g (x)> 0, а> 0, а ≠ 1; $

$ log_ (3) (x ^ 2-3x-5) = log_ (3) (7-2x) $

Tại vì các cơ số giống nhau, sau đó chúng ta đánh đồng các biểu thức lôgarit

Chúng tôi chuyển tất cả các thuật ngữ sang vế trái của phương trình và đưa ra các thuật ngữ tương tự

Hãy để chúng tôi kiểm tra các gốc tìm được theo các điều kiện $ \ table \ (\ x ^ 2-3x-5> 0; \ 7-2x> 0; $

Khi được thay thế vào bất đẳng thức thứ hai, căn $ x = 4 $ không thỏa mãn điều kiện, do đó, nó là một căn không liên quan

Trả lời: $ x = -3 $

  • Phương pháp thay thế biến đổi.

Trong phương pháp này, bạn cần:

  1. Viết phương trình ODZ.
  2. Theo các tính chất của logarit, đạt được các logarit giống nhau trong phương trình.
  3. Thay $ log_ (a) f (x) $ bằng bất kỳ biến nào.
  4. Giải phương trình cho biến mới.
  5. Quay lại bước 3, thay thế giá trị cho biến và nhận được phương trình đơn giản nhất có dạng: $ log_ (a) x = b $
  6. Giải phương trình đơn giản nhất.
  7. Sau khi tìm được nghiệm nguyên của phương trình logarit, cần đưa chúng vào mục 1 và kiểm tra điều kiện của ODZ.

Giải phương trình $ log_ (2) √x + 2log_ (√x) 2-3 = 0 $

1. Hãy để chúng tôi viết phương trình ODZ:

$ \ table \ (\ x> 0, \ text "vì nó đứng dưới dấu của căn và logarit"; \ √x ≠ 1 → x ≠ 1; $

2. Hãy tạo logarit đến cơ số $ 2 $, đối với điều này, chúng ta sử dụng quy tắc chuyển đổi sang cơ số mới trong số hạng thứ hai:

$ log_ (2) √x + (2) / (log_ (2) √x) -3 = 0 $

4. Chúng ta thu được một phương trình phân số - hữu tỉ đối với biến t

Hãy để chúng tôi giảm tất cả các số hạng về một mẫu số chung $ t $.

$ (t ^ 2 + 2-3t) / (t) = 0 $

Phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 và mẫu số khác không.

$ t ^ 2 + 2-3t = 0 $, $ t ≠ 0 $

5. Hãy giải phương trình bậc hai theo định lý Vieta:

6. Hãy quay lại bước 3, thực hiện biến đổi ngược lại và thu được hai phương trình logarit đơn giản:

$ log_ (2) √x = 1 $, $ log_ (2) √x = 2 $

Hãy để chúng tôi lôgarit hóa các vế phải của các phương trình

$ log_ (2) √x = log_ (2) 2 $, $ log_ (2) √x = log_ (2) 4 $

Lập phương trình biểu thức logarit phụ

$ √x = 2 $, $ √x = 4 $

Để loại bỏ căn thức, chúng ta bình phương cả hai vế của phương trình

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = 16 $

7. Thay các nghiệm của phương trình logarit trong mục 1 và kiểm tra điều kiện của AED.

$ \ (\ table \ 4> 0; \ 4 ≠ 1; $

Gốc đầu tiên thỏa mãn ODV.

$ \ (\ table \ 16> 0; \ 16 ≠ 1; $ Căn thứ hai cũng thỏa mãn ODV.

Trả lời: $ 4; 16 đô la

  • Phương trình có dạng $ log_ (a ^ 2) x + log_ (a) x + c = 0 $. Các phương trình như vậy được giải bằng cách đưa vào một biến mới và chuyển về phương trình bậc hai thông thường. Sau khi tìm được nghiệm nguyên của phương trình, cần phải chọn chúng có tính đến ODV.

Phương trình hữu tỉ phân số

  • Nếu phân số bằng 0 thì tử số là 0 và mẫu số khác 0.
  • Nếu ít nhất một phần của phương trình hữu tỉ chứa phân số thì phương trình đó được gọi là phân số hữu tỉ.

Để giải một phương trình hữu tỉ phân số, bạn cần:

  1. Tìm các giá trị của biến mà phương trình không có nghĩa (ODV)
  2. Tìm mẫu số chung của các phân số trong phân thức;
  3. Nhân cả hai vế của phân thức với một mẫu số chung;
  4. Giải toàn bộ phương trình kết quả;
  5. Để loại trừ tận gốc những sản phẩm không thỏa mãn điều kiện DHS.
  • Nếu phương trình liên quan đến hai phân số và tử số của chúng là biểu thức bằng nhau, thì các mẫu số có thể được quy đổi với nhau và phương trình kết quả có thể được giải mà không cần chú ý đến các tử số. NHƯNG đã cho ODV của toàn bộ phương trình ban đầu.

Phương trình mũ

Phương trình trong đó ẩn số được chứa trong số mũ được gọi là cấp số nhân.

Khi giải phương trình mũ, các tính chất của độ được sử dụng, hãy nhớ lại một số trong số chúng:

1. Khi nhân các độ với các cơ số giống nhau, cơ số đó được giữ nguyên, và các chỉ số được thêm vào.

$ a ^ n a ^ m = a ^ (n + m) $

2. Khi chia độ với các cơ số giống nhau, cơ số vẫn giữ nguyên, và các chỉ số bị trừ đi

$ a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) $

3. Khi nâng một sức mạnh lên một sức mạnh, cơ bản vẫn giữ nguyên, và các chỉ số được nhân lên

$ (a ^ n) ^ m = a ^ (n ∙ m) $

4. Khi nâng lên sức mạnh của một sản phẩm, mỗi hệ số được nâng lên thành sức mạnh này

$ (a b) ^ n = a ^ n b ^ n $

5. Khi nâng lên lũy thừa của một phân số, tử số và mẫu số được nâng lên lũy thừa này

$ ((a) / (b)) ^ n = (a ^ n) / (b ^ n) $

6. Khi nâng bất kỳ cơ số nào lên số mũ 0, kết quả bằng một

7. Cơ số trong bất kỳ số mũ âm nào có thể được biểu diễn dưới dạng cơ số trong cùng một số mũ dương bằng cách thay đổi vị trí của cơ số so với dòng phân số

$ a ^ (- n) = (1) / (a ​​^ n) $

$ (a ^ (- n)) / (b ^ (- k)) = (b ^ k) / (a ​​^ n) $

8. Căn (gốc) có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ phân số

$ √ ^ n (a ^ k) = a ^ ((k) / (n)) $

Các dạng phương trình mũ:

1. Phương trình mũ đơn giản:

a) Dạng $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, trong đó $ a> 0, a ≠ 1, x $ là ẩn số. Để giải các phương trình như vậy, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của độ: độ cùng cơ sở ($ a> 0, a ≠ 1 $) chỉ bằng nhau nếu số mũ của chúng bằng nhau.

b) Phương trình có dạng $ a ^ (f (x)) = b, b> 0 $

Để giải các phương trình như vậy, cả hai vế phải là logarit với cơ số $ a $, nó thành ra

$ log_ (a) a ^ (f (x)) = log_ (a) b $

2. Phương pháp cân bằng các bazơ.

3. Phương pháp phân tích nhân tử và đổi biến số.

  • Đối với phương pháp này, trong toàn bộ phương trình theo tính chất của độ, cần phải biến đổi các độ về một dạng $ a ^ (f (x)) $.
  • Đổi biến $ a ^ (f (x)) = t, t> 0 $.
  • Chúng ta nhận được một phương trình hữu tỉ, phương trình này phải được giải bằng cách tính vào biểu thức.
  • Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại, có tính đến $ t>

Giải phương trình $ 2 ^ (3x) -7 2 ​​^ (2x-1) + 7 2 ^ (x-1) -1 = 0 $

Theo tính chất của độ, chúng ta biến đổi biểu thức để chúng ta có được bậc 2 ^ x.

$ (2 ^ x) ^ 3- (7 (2 ^ x) ^ 2) / (2) + (7 2 ^ x) / (2-1) = 0 $

Hãy đổi biến $ 2 ^ x = t; t> 0 $

Ta thu được một phương trình bậc ba có dạng

$ t ^ 3- (7 t ^ 2) / (2) + (7 t) / (2) -1 = 0 $

Nhân toàn bộ phương trình với $ 2 $ để loại bỏ các mẫu số

$ 2t ^ 3-7 t ^ 2 + 7 t-2 = 0 $

Mở rộng vế trái của phương trình bằng phương pháp nhóm

$ (2t ^ 3-2) - (7 t ^ 2-7 t) = 0 $

Lấy ra từ dấu ngoặc nhọn đầu tiên thừa số chung $ 2 $, từ $ 7t $ thứ hai

2 đô la (t ^ 3-1) -7t (t-1) = 0 đô la

Ngoài ra, trong dấu ngoặc đơn đầu tiên, chúng ta thấy sự khác biệt về công thức của các hình khối

$ (t-1) (2t ^ 2 + 2t + 2-7t) = 0 $

Sản phẩm bằng 0 khi có ít nhất một trong các yếu tố bằng 0

1) $ (t-1) = 0; $ 2) $ 2t ^ 2 + 2t + 2-7t = 0 $

Hãy giải phương trình đầu tiên

Hãy để chúng tôi giải phương trình thứ hai theo dạng phân biệt

$ D = 25-4 2 2 = 9 = 3 ^ 2 $

$ t_2 = (5-3) / (4) = (1) / (2) $

$ t_3 = (5 + 3) / (4) = 2 $

$ 2 ^ x = 1; 2 ^ x = (1) / (2); 2 ^ x = 2 $

$ 2 ^ x = 2 ^ 0; 2 ^ x = 2 ^ (- 1); 2 ^ x = 2 ^ 1 $

$ x_1 = 0; x_2 = -1; x_3 = 1 đô la

Trả lời: $ -1; 0; 1 đô la

4. Phương pháp chuyển đổi bậc hai

  • Ta có phương trình dạng $ A a ^ (2f (x)) + B a ^ (f (x)) + C = 0 $, trong đó $ A, B $ và $ C $ là các hệ số.
  • Ta thực hiện phép thay thế $ a ^ (f (x)) = t, t> 0 $.
  • Ta thu được phương trình bậc hai có dạng $ A t ^ 2 + B t + C = 0 $. Chúng tôi giải phương trình kết quả.
  • Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại, có tính đến thực tế là $ t> 0 $. Ta nhận được phương trình mũ đơn giản nhất $ a ^ (f (x)) = t $, giải nó và ghi kết quả vào câu trả lời.

Phương thức bao thanh toán:

  • Nhân tố ra nhân tố chung.

Để nhân tử một đa thức bằng cách trừ nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, bạn cần:

  1. Xác định nhân tử chung.
  2. Chia đa thức đã cho cho nó.
  3. Viết tích của nhân tử chung và thương kết quả (đặt thương này trong ngoặc).

Nhân tử của đa thức: $ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a $.

Nhân tử chung của đa thức này là $ 2a $, vì tất cả các số hạng đều chia hết cho $ 2 $ và cho "a". Tiếp theo, chúng ta tìm thương của phép chia đa thức ban đầu cho "2a", chúng ta nhận được:

$ 10a ^ (3) b-8a ^ (2) b ^ 2 + 2a = 2a ((10a ^ (3) b) / (2a) - (8a ^ (2) b ^ 2) / (2a) + ( 2a) / (2a)) = 2a (5a ^ (2) b-4ab ^ 2 + 1) $

Đây là kết quả cuối cùng của quá trình phân tích nhân tử.

Áp dụng các công thức nhân rút gọn

1. Bình phương của tổng được chia thành bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai.

$ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 $

2. Bình phương của hiệu được chia thành bình phương của số thứ nhất trừ hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai.

$ (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 $

3. Hiệu của các bình phương được phân tích thành tích của hiệu của các số và tổng của chúng.

$ a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) $

4. Lập phương của tổng bằng lập phương của số thứ nhất cộng ba lần bình phương của số thứ nhất với số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất và bình phương của số thứ hai cộng với lập phương của số thứ hai. con số.

$ (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 $

5. Lập phương của hiệu bằng lập phương của số thứ nhất trừ tích ba của bình phương của số thứ nhất bằng số thứ hai, cộng với tích ba của số thứ nhất và bình phương của số thứ hai, rồi trừ đi lập phương của số thứ hai.

$ (a-b) ^ 3 = a ^ 3-3a ^ 2b + 3ab ^ 2-b ^ 3 $

6. Tổng của các lập phương bằng tích của tổng các số bằng bình phương không đầy đủ của hiệu.

$ a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) $

7. Hiệu của các hình lập phương bằng tích của hiệu của các số với bình phương không đầy đủ của tổng.

$ a ^ 3-b ^ 3 = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $

Phương pháp phân nhóm

Phương pháp phân nhóm rất thuận tiện để sử dụng khi cần phân tích nhân tử của một đa thức với một số hạng chẵn. Trong phương pháp này, cần phải thu thập các số hạng theo nhóm và lấy ra nhân tử chung của mỗi nhóm bên ngoài dấu ngoặc. Một số nhóm, sau khi đặt chúng trong dấu ngoặc đơn, sẽ có các biểu thức giống nhau, khi đó dấu ngoặc đơn này như một thừa số chung được chuyển về phía trước và nhân với dấu ngoặc đơn của thương số kết quả.

Đa thức thừa số $ 2a ^ 3-a ^ 2 + 4a-2 $

Để mở rộng đa thức này, chúng tôi sử dụng phương pháp nhóm các số hạng, đối với phương pháp này chúng tôi nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối cùng, trong khi điều quan trọng là phải đặt dấu trước nhóm thứ hai một cách chính xác, chúng tôi đặt dấu + và do đó viết các thuật ngữ có dấu hiệu riêng trong ngoặc.

$ (2a ^ 3-a ^ 2) + (4a-2) = a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) $

Sau khi loại bỏ các thừa số chung, chúng tôi nhận được một cặp dấu ngoặc đơn giống hệt nhau. Bây giờ chúng ta lấy dấu ngoặc này như một hệ số chung.

$ a ^ 2 (2a-1) +2 (2a-1) = (2a-1) (a ^ 2 + 2) $

Tích của các dấu ngoặc này là kết quả cuối cùng của quá trình phân tích nhân tử.

Sử dụng công thức tam thức bình phương.

Nếu có một tam thức vuông có dạng $ ax ^ 2 + bx + c $, thì nó có thể được khai triển bằng công thức

$ ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) $, trong đó $ x_1 $ và $ x_2 $ là căn của tam thức bình phương

Để sử dụng bản xem trước của bản trình bày, hãy tạo cho mình một tài khoản Google (account) và đăng nhập vào đó: https://accounts.google.com


Chú thích trang trình bày:

CÁC CÂU HỎI TRONG VIỆC SỬ DỤNG CÁC VÍ DỤ VÀ GIẢI PHÁP TOÁN Kravchenko N.А. Giáo viên Toán học GBOU SOSH №891, Moscow Bài thuyết trình về giáo dục để chuẩn bị cho Kỳ thi Quốc gia Thống nhất

NỘI DUNG Chú thích Nhiệm vụ Ví dụ 1 (phương trình vô tỉ) Ví dụ 2 (phương trình mũ) Ví dụ 3 (phương trình vô tỉ) Ví dụ 4 (phương trình hữu tỉ phân số) Ví dụ 5 (phương trình logarit) Ví dụ 6 (phương trình logarit) Ví dụ 7 (phương trình lượng giác) Ví dụ 8 (hàm mũ phương trình) Ví dụ 9 (phương trình vô tỉ) Ví dụ 10 (phương trình logarit)

LOẠI TÀI LIỆU THAM KHẢO: Phương trình. ĐẶC ĐIỂM CỦA BÀI TOÁN: Phương trình mũ, logarit, lượng giác hoặc vô tỉ đơn giản. NHẬN XÉT: Phương trình được rút gọn trong một thao tác thành tuyến tính hoặc bình phương (trong trường hợp này, câu trả lời chỉ cần chỉ ra một trong các căn - lớn hơn hoặc nhỏ hơn). Các câu trả lời sai chủ yếu do lỗi số học.

Giải phương trình. VÍ DỤ 1 Giải pháp. Hãy bình phương: Sau đó, chúng ta nhận được nơi Đáp án là: -2

VÍ DỤ 2 Giải phương trình. Dung dịch. Hãy chuyển sang một cơ sở của bậc: Từ đẳng thức của cơ sở đến đẳng thức về bậc: Khi nào Đáp án: 3

VÍ DỤ 3 Giải phương trình. Dung dịch. Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa thứ ba: Sau các phép biến đổi cơ bản ta nhận được: Đáp số: 23

VÍ DỤ 4 Giải phương trình. Nếu phương trình của bạn có nhiều hơn một căn, hãy chỉ ra căn nhỏ hơn trong câu trả lời của bạn. Dung dịch. Dãy giá trị hợp lệ: x ≠ 10. Trên diện tích này, chúng tôi nhân với mẫu số: Cả hai gốc đều nằm trong ODZ. Giá trị nhỏ hơn của chúng là −3. Trả lời: -3

VÍ DỤ 5 Giải phương trình. Dung dịch. Sử dụng công thức ta được: Đáp số: 6

VÍ DỤ 6 Giải phương trình. Dung dịch. Logarit của hai biểu thức bằng nhau nếu chính các biểu thức đó bằng nhau và đồng thời dương: Từ đó ta nhận được Đáp số: 6

VÍ DỤ 7 Giải phương trình. Chỉ ra gốc dương nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn. Dung dịch. Hãy giải phương trình:

Các gốc dương lớn tương ứng với các giá trị. Nếu k = 1 thì x 1 = 6,5 và x 2 = 8,5. Nếu k = 0 thì x 3 = 0,5 và x 4 = 2,5. Các giá trị tương ứng với các giá trị nhỏ hơn của các gốc. Quyết định tích cực nhỏ nhất là 0,5. Trả lời: 0, 5

VÍ DỤ 8 Giải phương trình. Dung dịch. Giảm vế trái và vế phải của phương trình thành lũy thừa của số 6, ta được: Nghĩa là ở đâu, Đáp số: 2

VÍ DỤ 9 Giải phương trình. Dung dịch. Bình phương cả hai vế của phương trình, ta nhận được: Rõ ràng là từ đâu Đáp số: 5

VÍ DỤ 10 Giải phương trình. Dung dịch. Hãy viết lại phương trình sao cho cả hai vế đều có logarit đến cơ số 4: Hơn nữa, rõ ràng là Đáp án là: -11

Tư liệu sử dụng được lấy từ trang: http://reshuege.ru Hình lấy từ địa chỉ: http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&uinfo=sw-1263-sh-677-fw- 1038-fh-471- pd-1 & p = 3 & text = domains% 20pictures & noreask = 1 & pos = 100 & rpt = simage & lr = 213 & img_url = http% 3A% 2F% 2Fwww.presentermedia.com% 2Ffiles% 2Fclipart% 2F00003000% 2F3804% 2Fquation_path_math_epg


Về chủ đề: phát triển phương pháp luận, trình bày và ghi chú

Công việc dự án Phương pháp chuẩn bị cho học sinh giải các bài toán về chủ đề "Các bài toán về chuyển động" và "Các bài toán về hỗn hợp và hợp kim" có trong đề thi môn Toán.

Ý tưởng chủ đạo của thành phần liên bang của tiêu chuẩn giáo dục tiểu bang về toán học là sự phát triển chuyên sâu của tư duy logic, trí tưởng tượng không gian, ...

CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH HƯỚNG CHỦ ĐỀ TRONG VIỆC VẬN DỤNG trong toán học.

Việc xây dựng và lựa chọn các nhiệm vụ để hình thành kiến ​​thức, kỹ năng và năng lực là một nhiệm vụ rất quan trọng. Để đạt được mục tiêu này, hai dạng bài toán được sử dụng - thuần túy là toán học và định hướng thực hành. Ngày ...

Khóa học video "Đạt điểm A" bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua kỳ thi thành công môn toán ở mức 60-65 điểm. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Kỳ thi Trạng thái Thống nhất Hồ sơ trong Toán học. Cũng thích hợp để vượt qua kỳ thi Cơ bản trong toán học. Nếu bạn muốn vượt qua kỳ thi với 90-100 điểm, bạn cần giải quyết phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!

Khoá học luyện thi vào lớp 10-11 của thầy cũng như các thầy cô. Mọi thứ bạn cần để giải phần 1 của kỳ thi toán học (12 bài toán đầu tiên) và bài toán 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong kỳ thi, và không một sinh viên trăm điểm hay sinh viên khoa nhân văn nào có thể làm được nếu không có chúng.

Tất cả lý thuyết bạn cần. Giải pháp nhanh, bẫy và bí mật của kỳ thi. Tất cả các nhiệm vụ liên quan của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ của FIPI đã được tháo rời. Khóa học đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của kỳ thi-2018.

Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và dễ hiểu.

Hàng trăm bài tập SỬ DỤNG. Bài toán đố và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các dạng bài tập SỬ DỤNG. Phép đo lập thể. Các giải pháp khó, bảng lừa đảo hữu ích, phát triển trí tưởng tượng không gian. Lượng giác từ đầu đến vấn đề 13. Hiểu biết thay vì nhồi nhét. Giải thích trực quan các khái niệm phức tạp. Đại số học. Gốc, độ và logarit, hàm và đạo hàm. Cơ sở để giải các bài toán phức tạp của phần 2 trong đề thi.

Để chia sẻ với bạn bè:
Các ấn phẩm tương tự