Kaldtasand ja sellele mõjuvad jõud. Keha liikumine kaldtasandil üles. Kaldtasandil liikumise ülesande lahendus

Lihtsate mehhanismide hulka kuuluvad lisaks kangile ja plokile ka kaldtasapind ja selle variandid: kiil ja kruvi.

KALLUTASAND

Kaldtasapinda kasutatakse raskete esemete tõstmiseks kõrgemale tasemele ilma neid otse tõstmata.
Selliste seadmete hulka kuuluvad kaldteed, eskalaatorid, tavalised trepid ja konveierid.

Kui teil on vaja koormat kõrgele tõsta, on alati lihtsam kasutada lauget kallakut kui järsku. Pealegi, mida madalam on kalle, seda lihtsam on seda tööd teha. Kui aeg ja vahemaa pole olulised, vaid oluline on koormat võimalikult väikese pingutusega tõsta, on kaldtasand asendamatu.

Need joonised võivad aidata selgitada, kuidas lihtne TILT PLANE mehhanism töötab.
Klassikalised arvutused kaldtasandi ja muude lihtsate mehhanismide toimimise kohta kuuluvad silmapaistvale iidsele mehaanikule Archimedesele Siracusast.

Egiptlased vedasid, tõstsid ja paigaldasid templite ehitamise ajal kolossaalseid obeliske ja kujusid, mille kaal oli kümneid ja sadu tonne! Seda kõike sai teha muude lihtsate mehhanismide hulgas ka kaldtasapinna abil.

Egiptlaste peamine tõsteseade oli kaldtasand - kaldtee. Kaldtee raam, see tähendab selle küljed ja vaheseinad. Püramiidi kasvades ehitati kaldtee peale. Neid kaldteid mööda tassiti kelkudel kive. Kaldtee kaldenurk oli väga väike - 5 või 6 kraadi.

Vana-Egiptuse templi sambad Teebas.

Orjad lohistasid kõiki neid tohutuid kolonne mööda kaldteed - kaldtasandit. Kui sammas süvendisse roomas, riisutati läbi augu liiv välja, seejärel võeti lahti telliskivisein ja eemaldati muldkeha. Nii oli näiteks kaldtee Khafre püramiidini, mille kõrgus on 46 meetrit, umbes pool kilomeetrit pikk.

Kaldtasandil olevat keha hoiab kinni jõud, mis on sama mitu korda väiksem kui selle keha kaal suurusjärgus, kui mitu korda on kaldtasandi pikkus suurem kui selle kõrgus.
Selle kaldtasandi jõudude tasakaalu tingimuse sõnastas Hollandi teadlane Simon Stevin (1548-1620).

Joonis S. Stevini raamatu tiitellehele, millega ta oma sõnastust kinnitab.

Krasnojarski hüdroelektrijaama kaldlennuk on väga leidlikult ära kasutatud. Siin on lüüside asemel mööda kaldteed liikuv laevakamber. Selle liikumiseks on vaja 4000 kN veojõudu.

Ja miks mägiteed looklevad õrnas "serpentiinis"?

Kiil on lihtsa mehhanismi variatsioon, mida nimetatakse "kaldtasandiks". Kiil koosneb kahest kaldtasapinnast, mille alused on kontaktis. Seda kasutatakse tugevuse suurendamiseks, st väiksema jõu abil suurema jõu vastu võitlemiseks.

Küttepuude lõhkumisel pistetakse tööde hõlbustamiseks palgi praosse metallkiil ja lüüakse sellele kirve tagumikuga.

Ideaalne tugevuse suurenemine kiilu poolt on võrdne selle pikkuse ja tömbi otsa paksuse suhtega. Tänu suurele hõõrdumisele on selle kasutegur nii väike, et ideaalsel võimendusel pole tegelikult tähtsust.

Teist tüüpi kaldtasapind on kruvi.
Kruvi on ümber telje keritud kaldtasapind. Kruvi keere on kaldtasapind, mis on korduvalt mähitud ümber silindri.

Tänu suurele hõõrdumisele on selle kasutegur nii väike, et ideaalsel võimendusel pole suurt tähtsust. Sõltuvalt kaldtasandi tõusu suunast võib kruvikeere olla vasak- või parempoolne.
Lihtsad kruvikeermega seadmed on näiteks tungraud, mutriga polt, mikromeeter, kruustang.

Keha liikumine piki kaldtasapinda on klassikaline näide keha liikumisest mitme mittesuunatud jõu mõjul. Seda tüüpi liikumise probleemide lahendamise standardmeetod on kõigi jõudude vektorite laiendamine koordinaattelgedele suunatud komponentideks. Sellised komponendid on lineaarselt sõltumatud. See võimaldab Newtoni teise seaduse iga telje komponentide jaoks eraldi üles kirjutada. Seega muutub Newtoni teine seadus, mis on vektorvõrrand, kahe (kolmemõõtmelise juhtumi puhul kolme) algebralise võrrandi süsteemiks.

Plokile mõjuvad jõud
kiirendatud allapoole liikumise korral

Mõelge kehale, mis libiseb kaldtasandil alla. Sel juhul mõjutavad seda järgmised jõud:

Gravitatsioon m g , suunatud vertikaalselt alla;
Toetage reaktsioonijõudu N , suunatud tasapinnaga risti;
libisev hõõrdejõud F tr, mis on suunatud kiirusele vastupidises suunas (keha libisemisel mööda kaldtasapinda üles)

Kaldtasapinnaga seotud ülesannete lahendamisel on sageli mugav kasutusele võtta kaldkoordinaatsüsteem, mille OX-telg on suunatud piki tasandit allapoole. See on mugav, sest sel juhul tuleb komponentideks lagundada ainult üks vektor - gravitatsiooni vektor m g ja hõõrdejõu vektorid F tr ja toetada reaktsioonivägesid N juba mööda telgi suunatud. Selle laienemise korral on gravitatsiooni x-komponent võrdne mg patt ( α ) ja vastab "tõmbejõule", mis vastutab kiirendatud allapoole liikumise eest, ja y-komponendile - mg cos( α ) = N tasakaalustab toe reaktsioonijõudu, kuna keha ei liigu mööda OY-telge.
libisev hõõrdejõud F tr = µN võrdeline toe reaktsioonijõuga. See võimaldab meil saada hõõrdejõu järgmise avaldise: F tr = mmg cos( α ). See jõud on vastupidine gravitatsiooni "tõmbava" komponendile. Seetõttu jaoks keha libiseb alla , saame kogu resultantjõu ja kiirenduse avaldised:

F x= mg(patt( α ) – µ cos( α ));
a x= g(patt( α ) – µ cos( α )).

Pole raske näha, et kui µ < tg(α ), siis on avaldis positiivse märgiga ja tegemist on ühtlaselt kiirendatud liikumisega kaldtasandil allapoole. Kui µ >tg( α ), siis on kiirendusel negatiivne märk ja liikumine on sama aeglane. Selline liikumine on võimalik ainult siis, kui kehale antakse algkiirus nõlvast alla. Sel juhul peatub keha järk-järgult. Kui, tingimusel µ >tg( α ) on objekt algul puhkeasendis, siis ei hakka see alla libisema. Siin kompenseerib staatiline hõõrdejõud täielikult gravitatsiooni "tõmbava" komponendi.

Kui hõõrdetegur on täpselt võrdne tasapinna kaldenurga puutujaga: µ = tg( α ), tegeleme kõigi kolme jõu vastastikuse kompenseerimisega. Sel juhul võib keha Newtoni esimese seaduse järgi olla kas puhkeasendis või liikuda püsiva kiirusega (Sellisel juhul on ühtlane liikumine võimalik ainult allapoole).

Plokile mõjuvad jõud
libisemine kaldtasandil:
üles aegluubis juhtum

Keha võib aga ka kaldtasapinnast üles sõita. Sellise liikumise näiteks on hokipalli liikumine liumäelt üles. Kui keha liigub ülespoole, on nii hõõrdejõud kui ka gravitatsiooni "tõmbav" komponent suunatud allapoole piki kaldtasapinda. Sel juhul on alati tegemist ühtlaselt aeglase liikumisega, kuna kogujõud on suunatud kiirusele vastupidises suunas. Selle olukorra kiirenduse avaldis saadakse sarnasel viisil ja erineb ainult märgi poolest. Nii et keha libiseb kaldtasandil üles , meil on.

Kaldtasand on tasane pind, mis on horisontaalse suhtes teatud nurga all. See võimaldab teil koormat tõsta väiksema jõuga kui seda koormat vertikaalselt ülespoole tõstes. Kaldtasapinnal tõuseb koormus mööda seda tasapinda. Samal ajal ületab ta suurema distantsi kui vertikaalselt tõustes.

Märkus 1

Veelgi enam, mitu korda on jõudu juurde tulnud, nii mitu korda on koormuse ületatav vahemaa suurem.

Joonis 1. Kaldtasapind

Kui kõrgus, kuhu koorem tuleb tõsta, on võrdne $h$ ja seega kuluks jõud $F_h$ ning kaldtasandi pikkus on $l$ ning kuluks jõud $F_l$, siis $l$ on seotud väärtusega $h $, kuna $F_h$ on seotud väärtusega $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... $F_h$ on aga koorma kaal ($P$). Seetõttu kirjutatakse see tavaliselt järgmiselt: $l/h = P/F$, kus $F$ on koormust tõstev jõud.

Jõu suurus $F$, mida tuleb rakendada koormusele $P$, et keha oleks kaldtasandil tasakaalus, on võrdne $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ kui jõud $P$ rakendatakse paralleelselt kaldtasandiga (joonis 2, a) ja $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, kui jõud $Р$ rakendatakse paralleelselt kaldtasandi aluse külge (joonis 2, b).

Joonis 2. Koorma liikumine kaldtasandil

a) jõud on paralleelne tasapinnaga b) jõud on paralleelne alusega

Kaldtasand annab jõudu juurde, selle abil on kergem koormat kõrgusele tõsta. Mida väiksem on nurk $\alpha $, seda suurem on tugevuse kasv. Kui nurk $\alpha $ on väiksem kui hõõrdenurk, siis koormus ei liigu iseenesest ja selle alla tõmbamiseks on vaja pingutada.

Kui võtta arvesse hõõrdejõude koormuse ja kaldtasandi vahel, saadakse $F_1$ ja $F_2$ jaoks järgmised väärtused: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Plussmärk viitab üles liikumisele, miinusmärk koorma langetamisele. Kaldtasandi efektiivsus $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) kui jõud $P$ on suunatud tasapinnaga paralleelselt ja $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$), kui jõud $P$ on suunatud paralleelselt kaldtasandi põhjaga.

Kaldtasand järgib "mehaanika kuldreeglit". Mida väiksem on pinna ja kaldtasandi vaheline nurk (st mida lamedam see on, mitte ei tõuse järsult), seda vähem tuleb koormuse tõstmiseks rakendada jõudu, kuid seda suurem on vahemaa ületamine.

Hõõrdejõudude puudumisel on jõu võimendus $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. Reaalsetes tingimustes on hõõrdejõu mõjul kaldtasandi kasutegur väiksem kui 1, jõuvõimendus väiksem kui suhe $l/h$.

Näide 1

40 kg kaaluv koorem tõstetakse piki kaldtasapinda 10 m kõrgusele, rakendades jõudu 200 N (joonis 3). Kui pikk on kaldtasapind? Ignoreeri hõõrdumist.

$(\mathbf \eta )$ = 1

Kui keha liigub mööda kaldtasapinda, on rakendatud jõu ja keha massi suhe võrdne kaldtasandi pikkuse ja kõrguse suhtega: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Seega $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\m$.

Vastus: Kaldtasandi pikkus on 5,1 m

Näide 2

Kaks keha massiga $m_1$ = 10 g ja $m_2$ = 15 g on ühendatud keermega, mis on visatud üle kaldtasandile paigaldatud fikseeritud ploki (joonis 4). Tasapind moodustab horisondiga nurga $\alpha $ = 30$()^\circ$. Leidke kiirendus, millega need kehad liiguvad.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 kraadi

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Suuname OX-telje piki kaldtasapinda ja sellega risti OY-telge ning projekteerime nendele telgedele vektorid $\ (\overrightarrow(Р))_1\ ja\ (\overrightarrow(Р))_2$. Nagu jooniselt näha, on igale kehale rakendatud jõudude resultant võrdne vektorite $\ (\overrightarrow(Р))_1\ ja\ (\overrightarrow(Р)) projektsioonide erinevusega. _2$ OX-teljele:

Vastus: Kehade kiirendused $a_1=2,45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1,63\ m/s^2$

Keha, mis libiseb kaldtasapinnast alla. Sel juhul mõjutavad seda järgmised jõud:

Gravitatsioon mg vertikaalselt allapoole suunatud;

Toe reaktsioonijõud N, mis on suunatud tasapinnaga risti;

Libisemishõõrdejõud Ftr on suunatud kiirusele vastupidiselt (keha libisemisel piki kaldtasapinda üles).

Tutvustame kaldkoordinaatsüsteemi, mille OX-telg on suunatud piki tasandit allapoole. See on mugav, kuna sel juhul on vaja komponentideks lagundada ainult üks vektor - gravitatsioonivektor mg ning hõõrdejõu Ftr ja toe N reaktsioonijõu vektorid on juba suunatud piki telge. Selle laienemise korral on gravitatsiooni x-komponent võrdne mg sin(α) ja vastab "tõmbejõule", mis vastutab kiirendatud allapoole liikumise eest, ning y-komponent - mg cos(α) = N tasakaalustab tugireaktsiooni. jõud, kuna keha liikumine mööda OY-telge puudub.

Libmishõõrdejõud Ftr = µN on võrdeline toe reaktsioonijõuga. See võimaldab saada järgmise hõõrdejõu avaldise: Ffr = µmg cos(α). See jõud on vastupidine gravitatsiooni "tõmbava" komponendile. Seetõttu saame alla libiseva keha jaoks kogu resultantjõu ja kiirenduse avaldised:

Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));

ax = g(sin(α) – μ cos(α)).

kiirendus:

kiirus on

v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))

pärast t=0,2 s

kiirus on

v=0,2*9,8(sin(45)-0,4*cos(45))=0,83 m/s

Jõudu, millega keha Maa gravitatsioonivälja mõjul Maa poole tõmbab, nimetatakse gravitatsiooniks. Universaalse gravitatsiooniseaduse kohaselt mõjutab gravitatsioonijõud Maa pinnal (või selle pinna lähedal) keha massiga m.

Fт = GMm/R2 (2,28)

kus M on Maa mass; R on Maa raadius.

Kui kehale mõjub ainult gravitatsioon ja kõik muud jõud on omavahel tasakaalus, on keha vabalanguses. Newtoni teise seaduse ja valemi (2.28) järgi leitakse vabalangemise kiirenduse moodul g valemiga

g = Ft/m = GM/R2. (2.29)

Valemist (2.29) järeldub, et vabalangemise kiirendus ei sõltu langeva keha massist m, s.t. kõigi kehade jaoks antud kohas Maal on see sama. Valemist (2.29) järeldub, et Fт = mg. Vektorkujul

Paragrahvis 5 märgiti, et kuna Maa ei ole kera, vaid pöördeellipsoid, on selle polaarraadius väiksem kui ekvatoriaalne. Valemist (2.28) on näha, et sel põhjusel on poolusel raskusjõud ja sellest põhjustatud vabalangemise kiirendus suurem kui ekvaatoril.

Gravitatsioonijõud mõjub kõigile Maa gravitatsiooniväljas olevatele kehadele, kuid mitte kõik kehad ei lange Maale. See on seletatav asjaoluga, et paljude kehade liikumist takistavad teised kehad, nagu toed, rippkeermed jne. Teiste kehade liikumist piiravaid kehasid nimetatakse sidemeteks. Gravitatsiooni mõjul sidemed deformeeruvad ja deformeerunud sideme reaktsioonijõud, vastavalt Newtoni kolmandale seadusele, tasakaalustab gravitatsioonijõudu.

Paragrahvis 5 märgiti ka, et vabalangemise kiirendust mõjutab Maa pöörlemine. Seda mõju selgitatakse järgmiselt. Maa pinnaga seotud tugiraamid (välja arvatud need kaks, mis on seotud Maa poolustega) ei ole rangelt võttes inertsiaalsed tugiraamid - Maa pöörleb ümber oma telje ja liigub koos sellega mööda ringjooni tsentripetaaliga. kiirendus ja sellised tugisüsteemid. See võrdlussüsteemide ebainertsus avaldub eelkõige selles, et vaba langemise kiirenduse väärtus osutub Maa erinevates kohtades erinevaks ja sõltub selle koha geograafilisest laiuskraadist, kuhu võrdlusraam seostub. koos Maaga asub, mille suhtes määratakse gravitatsioonikiirendus.

Erinevatel laiuskraadidel tehtud mõõtmised näitasid, et gravitatsioonikiirenduse arvväärtused erinevad üksteisest vähe. Seetõttu võib mitte väga täpsete arvutustega jätta tähelepanuta nii Maa pinnaga seotud võrdlussüsteemide mitteinertsuse kui ka Maa kuju erinevuse sfäärilisest kujust ning eeldada, et vaba langemise kiirendus mis tahes koht Maal on sama ja võrdne 9,8 m/s2.

Universaalse gravitatsiooniseadusest järeldub, et Maast kaugenedes väheneb gravitatsioonijõud ja sellest tingitud vabalangemise kiirendus. Kõrgusel h Maa pinnast määratakse gravitatsioonikiirenduse moodul valemiga

On kindlaks tehtud, et 300 km kõrgusel maapinnast on vaba langemise kiirendus 1 m/s2 võrra väiksem kui Maa pinnal.

Järelikult Maa lähedal (kuni mitme kilomeetri kõrguseni) gravitatsioonijõud praktiliselt ei muutu ja seetõttu on kehade vabalangemine Maa lähedal ühtlaselt kiirenenud liikumine.

Kehakaal. Kaalutus ja ülekoormus

Jõudu, milles keha Maa poole tõmbumise tõttu oma toele või vedrustusele mõjub, nimetatakse keha raskuseks. Erinevalt gravitatsioonist, mis on kehale rakendatav gravitatsioonijõud, on kaal toele või vedrustusele (st ühendusele) rakenduv elastsusjõud.

Vaatlused näitavad, et vedrukaaluga määratud keha P kaal on võrdne kehale mõjuva gravitatsioonijõuga Ft ainult siis, kui tasakaal kehaga Maa suhtes on puhkeasendis või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt; Sel juhul

Kui keha liigub kiirendusega, siis sõltub selle kaal selle kiirenduse väärtusest ja selle suunast vabalangemise kiirenduse suuna suhtes.

Kui keha riputatakse vedru skaalal, mõjuvad sellele kaks jõudu: raskusjõud Ft=mg ja vedru elastsusjõud Fyp. Kui keha liigub samal ajal vertikaalselt üles või alla vabalangemise kiirenduse suuna suhtes, siis jõudude Ft ja Fup vektorsumma annab resultandi, mis põhjustab keha kiirenduse, s.o.

Ft + Fup \u003d ma.

Vastavalt ülaltoodud mõiste "kaal" määratlusele võime kirjutada, et Р=-Fyп. võttes arvesse asjaolu, et Ft=mg, järeldub, et mg-ma=-Fyp. Seetõttu P \u003d m (g-a).

Jõud Ft ja Fup on suunatud piki üht vertikaalset sirget. Seega, kui keha a kiirendus on suunatud allapoole (st see langeb kokku vabalangemise kiirendusega g), siis moodul

Kui keha kiirendus on suunatud ülespoole (st vastupidiselt vabalangemise kiirenduse suunale), siis

P \u003d m \u003d m (g + a).

Järelikult on keha kaal, mille kiirendus kattub vaba langemise kiirendusega, väiksem kui puhkeasendis oleva keha kaal ja keha kaal, mille kiirendus on vastupidine vaba langemise kiirenduse suunale, on suurem kui keha kaal puhkeolekus. Selle kiirenenud liikumisest tingitud kehakaalu suurenemist nimetatakse ülekoormuseks.

Vabalangemisel a=g. sellest järeldub, et sel juhul P=0, st kaalu pole. Seega, kui kehad liiguvad ainult gravitatsiooni mõjul (s.t. vabalt langevad), on nad kaaluta olekus. Selle oleku iseloomulikuks tunnuseks on deformatsioonide ja sisepingete puudumine vabalt langevates kehades, mis tekivad puhkeasendis raskusjõu mõjul. Kehade kaaluta oleku põhjus on selles, et raskusjõud annab vabalt langevale kehale ja selle toele (või vedrustusele) samasugused kiirendused.