Negatiivisen tehon yhtälöt ovat esimerkkejä ratkaisuista. Voima -ilmentymät (lausekkeet, joilla on valtuuksia) ja niiden muuntaminen. Numeron nostaminen tehoon

Negatiivinen eksponentiaatio on yksi matematiikan perustekijöistä, joka esiintyy usein algebrallisten tehtävien ratkaisemisessa. Alla on yksityiskohtainen ohje.

Kuinka nostaa negatiiviseen voimaan - teoria

Kun olemme luku tavalliseen potenssiin, kerromme sen arvon useita kertoja. Esimerkiksi 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Negatiivisella murto -osalla on päinvastoin. Yleinen näkemys kaavan mukaan on seuraava: a -n = 1 / a n. Näin ollen, jos haluat nostaa luvun negatiiviseen potenssiin, sinun on jaettava yksikkö annetulla numerolla, mutta jo positiiviseksi.

Kuinka nostaa negatiiviseen voimaan - esimerkkejä tavallisista numeroista

Yllä oleva sääntö huomioon ottaen ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastaus: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastaus on -4 -2 = 1/16.

Mutta miksi vastaus ensimmäisessä ja toisessa esimerkissä on sama? Tosiasia on, että kun negatiivinen luku nostetaan tasaiseksi (2, 4, 6 jne.), Merkki muuttuu positiiviseksi. Jos tutkinto oli tasainen, miinus pysyi:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuinka nostaa negatiiviseen voimaan - numerot 0: sta 1: een

Muista, että kun nostat luvun 0: sta 1: een positiiviseen tehoon, arvo pienenee tehon kasvaessa. Esimerkiksi 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Esimerkki 3: Laske 0,5 -2
Ratkaisu: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Vastaus: 0,5 -2 = 4

Analyysi (toimintojen järjestys):

• Muunna desimaali 0,5: stä 1/2: ksi. Se on helpompaa näin.
  Nosta 1/2 negatiiviseen tehoon. 1 / (2) -2. Jaa 1 1/(2) 2: lla, saamme 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Esimerkki 4: Laske 0,5 -3
Ratkaisu: 0,5-3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Esimerkki 5: Laske -0,5 -3
Ratkaisu: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/( -1/2) 3 = 1/( -1/8) = -8
Vastaus: -0,5 -3 = -8

Teemme neljännen ja viidennen esimerkin perusteella useita johtopäätöksiä:

• Jos positiivinen luku on välillä 0 - 1 (esimerkki 4), korotettuna negatiiviseksi potenssiksi, tehon tasaisuus tai parittomuus ei ole tärkeä, lausekkeen arvo on positiivinen. Lisäksi mitä suurempi aste, sitä suurempi arvo.
• Jos negatiivinen luku väliltä 0 - 1 (esimerkki 5) on korotettu negatiiviseksi potenssiksi, tehon tasaisuudella tai parittomuudella ei ole väliä, lausekkeen arvo on negatiivinen. Lisäksi mitä korkeampi aste, sitä pienempi arvo.

Kuinka nostaa negatiiviseen voimaan - teho murto -osana

Tämän tyyppisillä lausekkeilla on seuraava muoto: a -m / n, jossa a on tavallinen luku, m on asteen osoittaja, n on asteen nimittäjä.

Tarkastellaan esimerkkiä:
Laske: 8 -1/3

Ratkaisu (toimintojen järjestys):

• Muista sääntö numeron nostamisesta negatiiviseksi. Saamme: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Huomaa, että nimittäjä on murtovoima 8. Yleinen näkemys murtotehon laskemisesta on seuraava: a m / n = n √8 m.
• Näin ollen 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Saamme kahdeksan kuutiojuuren, joka on 2. Tämän perusteella 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Vastaus: 8 -1/3 = 2

Lausekkeet, lausekkeen muuntaminen

Voimalausekkeet (lausekkeet, joilla on valtuuksia) ja niiden muuntaminen

Tässä artikkelissa puhumme voimalausekkeiden muuntamisesta. Ensinnäkin keskitymme muutoksiin, jotka suoritetaan kaikenlaisilla lausekkeilla, mukaan lukien eksponentiaaliset lausekkeet, kuten sulkeiden laajentaminen, samankaltaisten termien valu. Ja sitten analysoimme muutoksia, jotka ovat luonteenomaisia ​​asteille: työskenteleminen kannan ja eksponentin kanssa, käyttämällä asteiden ominaisuuksia jne.

Sivujen navigointi.

Mitä ovat eksponentiaaliset ilmaisut?

Termiä "eksponentiaaliset ilmaisut" ei käytännössä löydy matematiikan koulukirjoista, mutta se esiintyy melko usein ongelmakokoelmissa, erityisesti sellaisissa, jotka on suunniteltu valmistautumaan tenttiin ja esimerkiksi OGE: hen. Kun olet analysoinut tehtävät, joissa sinun on suoritettava mitä tahansa toimintoja eksponentiaalisilla lausekkeilla, käy selväksi, että lausekkeet ymmärretään lausekkeina, jotka sisältävät asteita niiden tietueissa. Siksi voit hyväksyä itsellesi seuraavan määritelmän:

Määritelmä.

Voimailmaukset Ovatko lausekkeet, jotka sisältävät astetta.

Annakaamme esimerkkejä eksponentiaalisista ilmaisuista... Lisäksi edustamme heitä sen mukaan, miten näkemysten kehittyminen tapahtuu luonnollisen indikaattorin asteesta todelliseen indikaattoriin.

Kuten tiedätte, ensin tutustutaan luonnollisen eksponentin omaavan luvun voimaan, tässä vaiheessa ensimmäiset yksinkertaisimmat voimalausekkeet tyypistä 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 jne.

Hieman myöhemmin tutkitaan luvun tehoa, jolla on kokonaisluku eksponentti, mikä johtaa negatiivisten kokonaislukutehoisten voimalausekkeiden esiintymiseen, kuten seuraava: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

Lukiossa he palaavat jälleen tutkintoihin. Siellä otetaan käyttöön tutkinto, jolla on järkevä eksponentti, mikä merkitsee vastaavien voimalausekkeiden ilmestymistä: , , jne. Lopuksi tarkastellaan asteita, joissa on irrationaalisia indikaattoreita ja niitä sisältäviä ilmaisuja:,.

Asia ei rajoitu lueteltuihin tehonlausekkeisiin: muuttuja tunkeutuu edelleen eksponenttiin, ja esimerkiksi tällaiset lausekkeet 2 x 2 +1 tai ... Ja tutustumisen jälkeen alkaa ilmaantua voimia ja logaritmeja, esimerkiksi x 2 · lgx –5 · x lgx.

Niinpä keksimme kysymyksen siitä, mitkä ovat eksponentiaalisia ilmauksia. Seuraavaksi opimme muuttamaan ne.

Voima -ilmentymien muunnosten perustyypit

Eksponentiaalisilla lausekkeilla voit suorittaa minkä tahansa lausekkeiden samanlaisista perusmuunnoksista. Voit esimerkiksi laajentaa sulkuja, korvata numeeriset lausekkeet arvoillaan, tarjota samanlaisia ​​termejä jne. Luonnollisesti tässä tapauksessa on noudatettava hyväksyttyä menettelytapaa toimenpiteiden suorittamiseksi. Tässä muutamia esimerkkejä.

Esimerkki.

Arvioi eksponentiaalisen lausekkeen 2 3 · (4 2 −12) arvo.

Ratkaisu.

Toimintojen suoritusjärjestyksen mukaan suoritamme ensin toiminnot suluissa. Siellä ensiksi korvataan aste 4 2 sen arvolla 16 (katso tarvittaessa) ja toiseksi laskemme eron 16−12 = 4. Meillä on 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Korvaa tuloksena olevassa lausekkeessa teho 2 3 sen arvolla 8, jonka jälkeen laskemme tulon 8 4 = 32. Tämä on haluttu arvo.

Niin, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Vastaus:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expressions 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Ratkaisu.

Ilmeisesti tämä ilmaisu sisältää samanlaisia ​​termejä 3 · a · 4 · b −7 ja 2 · a · 4 · b −7, ja voimme tuoda ne :.

Vastaus:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Esimerkki.

Kuvittele ilmentymä, jolla on voimaa tuotteena.

Ratkaisu.

Selvittääksesi tehtävän, luvun 9 esitys tehon 3 2 muodossa ja sitä seuraava lyhennetyn kertolaskun käyttö on neliöiden ero:

Vastaus:

Voima -ilmentymiin liittyy myös useita identtisiä muunnoksia. Sitten analysoimme niitä.

Työskentely pohjan ja eksponentin kanssa

On astetta, joiden perusta ja / tai eksponentti eivät ole vain numeroita tai muuttujia, vaan joitain ilmauksia. Annamme esimerkkinä tietueet (2 + 0,37) 5-3,7 ja (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Kun työskentelet tällaisten lausekkeiden kanssa, voit korvata sekä asteen että eksponentin lausekkeen samalla muuttujien ODZ -lausekkeella. Toisin sanoen, me voimme tunnettujen sääntöjen mukaisesti muuttaa tutkinnon perustan erikseen ja eksponentin erikseen. On selvää, että tämän muutoksen tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.

Tällaisten muutosten avulla voimme yksinkertaistaa ilmaisuja voimilla tai saavuttaa muita tarvitsemiamme tavoitteita. Esimerkiksi yllä olevassa eksponentiaalisessa lausekkeessa (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 voit suorittaa toimintoja perus- ja eksponentin numeroilla, joiden avulla voit siirtyä teholle 4.1 1.3. Ja kun olemme laajentaneet sulkuja ja vähentäneet vastaavia termejä asteen (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1) pohjassa, saamme yksinkertaisemman muodon a 2 (x + 1) voimalausekkeen.

Virtaominaisuuksien käyttäminen

Yksi tärkeimmistä työkaluista lausekkeiden muuntamiseen valtuuksilla on tasa-arvo, mikä heijastaa. Muistakaamme tärkeimmät. Kaikki positiiviset luvut a ja b sekä mielivaltaiset reaaliluvut r ja s seuraavat tehoominaisuudet ovat totta:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Huomaa, että luonnollisille, kokonaislukuisille ja myös positiivisille eksponenteille numeroiden a ja b rajoitukset eivät ehkä ole niin tiukat. Esimerkiksi luonnollisilla luvuilla m ja n yhtäläisyys a m a n = a m + n pätee paitsi positiivisiin a myös negatiivisiin ja a = 0.

Koulussa valta -ilmaisuja muunnettaessa keskitytään erityisesti kykyyn valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein. Tässä tapauksessa asteiden perusteet ovat yleensä positiivisia, mikä mahdollistaa asteiden ominaisuuksien käytön ilman rajoituksia. Sama koskee muuttujia sisältävien lausekkeiden muuntamista asteina - muuttujien sallittujen arvojen alue on yleensä sellainen, että sillä on vain positiiviset arvot, minkä ansiosta voit vapaasti käyttää asteiden ominaisuuksia. Yleensä sinun on jatkuvasti kysyttävä itseltäsi, onko tässä tapauksessa mahdollista käyttää mitä tahansa astetta, koska ominaisuuksien virheellinen käyttö voi johtaa ODV: n kaventumiseen ja muihin ongelmiin. Näitä kohtia käsitellään yksityiskohtaisesti ja esimerkkien avulla lausekkeiden muuntamista käsittelevässä artikkelissa asteen ominaisuuksien avulla. Tässä rajoitumme muutamiin yksinkertaisiin esimerkkeihin.

Esimerkki.

Kuvittele lauseke a 2,5 · (a 2) −3: a –5,5 potenssina, jonka kanta on a.

Ratkaisu.

Ensinnäkin toinen tekijä (a 2) −3 muuttuu ominaisuudella, joka nostaa tehon tehoksi: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Alkuperäinen eksponentiaalinen lauseke tulee tällöin muotoon 2,5 · a – 6: a –5,5. On selvää, että on edelleen käytettävä kertomisen ja vallanjaon ominaisuuksia samalla pohjalla, meillä on
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5−6: a –5,5 = a –3,5: a –5,5 =
a −3,5 - ( - 5,5) = a 2.

Vastaus:

a 2,5 (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

Teho -ominaisuuksia käytetään sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle eksponentiaalisia lausekkeita muunnettaessa.

Esimerkki.

Etsi eksponentiaalisen lausekkeen arvo.

Ratkaisu.

Tasa -arvo (a b) r = a r b r, sovellettu oikealta vasemmalle, mahdollistaa siirtymisen alkuperäisestä lausekkeesta lomakkeen tuotteeseen ja edelleen. Ja kun astetta kerrotaan samoilla perusteilla, indikaattorit yhdistyvät: .

Alkuperäisen lausekkeen muuntaminen oli mahdollista toisella tavalla:

Vastaus:

.

Esimerkki.

Antaen eksponentiaalisen lausekkeen a 1,5 −a 0,5 −6, syötä uusi muuttuja t = a 0,5.

Ratkaisu.

Asteen a 1,5 voidaan esittää muodossa 0,5 · 3, ja lisäksi, joka perustuu asteen ominaisuuteen asteessa (ar) s = ar · s, jota käytetään oikealta vasemmalle, muunnetaan se muotoon (a 0,5) 3 . Täten, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Nyt on helppo ottaa käyttöön uusi muuttuja t = a 0,5, saamme t 3 −t - 6.

Vastaus:

t 3 −t - 6.

Muuttaa murtoluvut, jotka sisältävät voimia

Voimalausekkeet voivat sisältää murtolukuja, joilla on potensseja, tai olla sellaisia ​​murtolukuja. Kaikki fraktioiden perusmuunnokset, jotka ovat luontaisia ​​minkä tahansa murto -osille, ovat täysin sovellettavissa tällaisiin murtoihin. Toisin sanoen murtoluvut, jotka sisältävät valtuuksia, voidaan peruuttaa, pienentää uuteen nimittäjään, käsitellä erikseen niiden osoittimen kanssa ja erikseen nimittäjän kanssa jne. Tarkastellaksesi sanojasi, harkitse useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Yksinkertaista eksponentiaalinen lauseke .

Ratkaisu.

Tämä eksponentiaalinen lauseke on murto -osa. Työskentelemme sen osoittimen ja nimittäjän kanssa. Osoittimessa avaamme hakasulkeet ja yksinkertaistamme sen jälkeen saatua lauseketta voimien ominaisuuksien avulla, ja nimittäjässä annamme samanlaisia ​​termejä:

Ja muutamme myös nimittäjän merkkiä asettamalla miinusmerkin eteen: .

Vastaus:

.

Voimia sisältävien murto -osien pienentäminen uuteen nimittäjään suoritetaan samalla tavalla kuin järkevien murto -osien pienentäminen uuteen nimittäjään. Tässä tapauksessa löydetään myös lisäkerroin ja jakeen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan sillä. Tätä toimintoa suoritettaessa on syytä muistaa, että pienentäminen uuteen nimittäjään voi johtaa ODV: n kaventumiseen. Tämän estämiseksi on välttämätöntä, että lisätekijä ei katoa mihinkään muuttujien arvoon alkuperäisen lausekkeen ODZ -muuttujista.

Esimerkki.

Pienennä murtoluvut uuteen nimittäjään: a) nimittäjään a, b) nimittäjään.

Ratkaisu.

a) Tässä tapauksessa on melko helppoa selvittää, mikä lisätekijä auttaa saavuttamaan halutun tuloksen. Tämä on kerroin 0,3, koska 0,7 · 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Huomaa, että muuttujan a sallittujen arvojen alueella (tämä on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko) aste a 0,3 ei häviä, joten meillä on oikeus kertoa annetun murto -osan osoittaja ja nimittäjä tämä lisätekijä:

b) Löydät nimittäjän tarkemmin

ja kertomalla tämä lauseke luvulla saadaan kuutioiden summa, eli. Ja tämä on uusi nimittäjä, johon meidän on vähennettävä alkuperäinen murto -osa.

Näin löysimme lisätekijän. Muuttujien x ja y kelvollisten arvojen alueella lauseke ei katoa, joten voimme kertoa jakeen osoittimen ja nimittäjän sillä:

Vastaus:

a) , b) .

Myös tehon sisältävien murtolukujen lyhenne ei ole mikään uusi: osoittaja ja nimittäjä esitetään useina tekijöinä, ja samat osoittimen ja nimittäjän tekijät peruutetaan.

Esimerkki.

Vähennä murto -osaa: a) , b).

Ratkaisu.

a) Ensinnäkin osoittajaa ja nimittäjää voidaan pienentää numeroilla 30 ja 45, joka on 15. On myös selvää, että vähennys voidaan suorittaa x 0,5 +1 ja by ... Tässä on mitä meillä on:

b) Tässä tapauksessa samat tekijät osoittimessa ja nimittäjässä eivät ole heti näkyvissä. Niiden saamiseksi sinun on suoritettava alustavat muunnokset. Tässä tapauksessa ne koostuvat nimittäjän jakamisesta tekijöiksi neliöiden eron kaavan mukaisesti:

Vastaus:

a)

b) .

Murtolukujen pienentämistä uuteen nimittäjään ja murto -osien pienentämistä käytetään pääasiassa fraktioiden kanssa suoritettavien toimintojen suorittamiseen. Toimet suoritetaan tunnettujen sääntöjen mukaisesti. Kun jakeita lisätään (vähennetään), ne tuodaan yhteiseen nimittäjään, jonka jälkeen laskimet lisätään (vähennetään) ja nimittäjä pysyy samana. Tuloksena on murtoluku, jonka osoittaja on laskijoiden tulo ja nimittäjä on nimittäjien tulos. Jakaminen murto -osalla on kertolasku murto -osan käänteisarvolla.

Esimerkki.

Seuraa vaiheita .

Ratkaisu.

Ensinnäkin vähennämme suluissa olevat murtoluvut. Tätä varten tuomme ne yhteiseen nimittäjään, joka on , jonka jälkeen vähennämme laskurit:

Kerrotaan nyt murtoluvut:

On selvää, että on mahdollista peruuttaa teholla x 1/2, jonka jälkeen meillä on .

Voit myös yksinkertaistaa nimittäjän eksponentiaalista lauseketta käyttämällä neliöeron kaavaa: .

Vastaus:

Esimerkki.

Yksinkertaista eksponentiaalinen lauseke .

Ratkaisu.

On selvää, että tämä murto voidaan peruuttaa (x 2,7 +1) 2, jolloin saadaan murtoluku ... On selvää, että x: n asteilla on tehtävä jotain muuta. Tätä varten muunnamme syntyneen jakeen tuotteeksi. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää ominaisuutta jakaa astetta samoilla perusteilla: ... Ja prosessin lopussa siirrymme viimeisestä tuotteesta murto -osaan.

Vastaus:

.

Lisäksi lisäämme, että on mahdollista ja monissa tapauksissa toivottavaa siirtää kertoimet negatiivisilla eksponenteilla osoittimesta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan muuttamalla eksponentin merkkiä. Tällaiset muutokset yksinkertaistavat usein jatkotoimia. Esimerkiksi eksponentiaalinen lauseke voidaan korvata sanalla.

Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimilla

Usein ilmaisuissa, joissa vaaditaan joitain muunnoksia, sekä murtolukuisten eksponenttien lisäksi myös juuret. Jos haluat muuttaa tällaisen ilmaisun haluttuun muotoon, useimmissa tapauksissa riittää mennä vain juurille tai vain voimille. Mutta koska astetta on helpompi käsitellä, ne menevät yleensä juurista asteisiin. On kuitenkin suositeltavaa suorittaa tällainen siirtyminen, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien ODZ sallii sinun korvata juuret teholla ilman tarvetta viitata moduuliin tai jakaa ODV useisiin aikaväleihin (keskustelimme tästä yksityiskohtaisesti artikkeli siirtyminen juurista voimiin ja takaisin. tutkinto, jolla on irrationaalinen indikaattori, esitetään, mikä mahdollistaa puhumisen tutkinnosta, jolla on mielivaltainen reaalinen indikaattori. eksponentti funktio, joka asetetaan analyyttisesti asteen perusteella, jonka pohja on numero, ja indikaattorissa - muuttuja. Joten kohtaamme eksponentiaalisia lausekkeita, jotka sisältävät lukuja asteen pohjassa, ja eksponentissa - lausekkeita muuttujilla, ja luonnollisesti on tarpeen suorittaa tällaisten lausekkeiden muunnokset.

On sanottava, että tämäntyyppisten lausekkeiden muuntaminen on yleensä suoritettava ratkaistaessa eksponentiaaliset yhtälöt ja eksponentiaalista epätasa -arvoa ja nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia. Suurimmassa osassa tapauksista ne perustuvat tutkinnon ominaisuuksiin ja niillä pyritään pääasiassa ottamaan käyttöön uusi muuttuja tulevaisuudessa. Voimme osoittaa ne yhtälöllä 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Ensinnäkin asteet, joista muuttujan (tai muuttujia sisältävien lausekkeiden) ja luvun summa löydetään, korvataan tuotteilla. Tämä koskee vasemmalla olevan lausekkeen ensimmäistä ja viimeistä termiä:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Lisäksi tasa -arvon molemmat puolet on jaettu lausekkeella 7 2 x, joka ottaa vain positiiviset arvot muuttujan x ODZ -arvolle alkuperäiselle yhtälölle (tämä on vakiomenetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, emme ole puhu siitä nyt, joten keskity seuraaviin muutoksiin ilmaisuilla, joilla on valtuudet):

Murtoluvut, joilla on voima, on nyt peruttu, mikä antaa .

Lopuksi samojen eksponenttien asteiden suhde korvataan suhteiden asteilla, mikä johtaa yhtälöön joka vastaa ... Suoritetut muunnokset antavat meille mahdollisuuden ottaa käyttöön uusi muuttuja, joka pienentää alkuperäisen eksponentiaalisen yhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön ratkaisuun

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Asteen negatiivinen indikaattori. Määritelmä ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, arvosteluja, toiveita. Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit Integral -verkkokaupassa luokka 8
Oppikirjan käsikirja Muravin G.K. Oppikirjan käsikirja Alimov Sh.A.

Asteen määrittäminen negatiivisella eksponentilla

Tiedämme hyvin, että mikä tahansa nollan asteen luku on yhtä. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Herää kysymys, mitä tapahtuu, jos numero nostetaan negatiiviseksi? Mikä on esimerkiksi luku $ 2 ^ (- 2) $?
Ensimmäiset tämän kysymyksen esittäneet matemaatikot päättivät, että pyörän keksiminen uudelleen ei ollut sen arvoista, ja oli hyvä, että kaikki asteiden ominaisuudet pysyivät samana. Toisin sanoen, kun astetta kerrotaan samalla kantalla, eksponentit lisätään.
Tarkastellaan tätä tapausta: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Saimme, että tällaisten numeroiden tuloksen pitäisi antaa yksi. Tuotteen yksikkö saadaan kertomalla vastavuoroiset luvut eli $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Tämä päättely johti seuraavaan määritelmään.
Määritelmä. Jos $ n $ on luonnollinen luku ja $ a ≠ 0 $, yhtälö pätee: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Tärkeä identiteetti, jota usein käytetään: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Erityisesti $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

Esimerkkejä ratkaisuista

Ratkaisu.
Tarkastellaan jokaista termiä erikseen.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) dollaria.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Jäljellä on vielä summaus- ja vähennysoperaatioiden suorittaminen: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) dollaria.
Vastaus: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Esimerkki 2.
Esitä tietty luku alkutehona $ \ frac (1) (729) $.

Ratkaisu.
On selvää, että $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Mutta 729 ei ole alkuluku, joka päättyy yhdeksään. Voidaan olettaa, että tämä luku on kolmen potenssi. Jaetaan 729 3: lla peräkkäin.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Kuusi toimintoa on suoritettu, mikä tarkoittaa: $ 729 = 3 ^ 6 $.
Tehtävämme varten:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Vastaus: $ 3 ^ (- 6) $.

Esimerkki 3. Esitä lauseke tehona: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Ratkaisu. Ensimmäinen toiminto suoritetaan aina suluissa, sitten kertolasku $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = a ^ (-4- (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
Vastaus: $ a $.

Esimerkki 4. Todista henkilöllisyys:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Ratkaisu.
Vasemmalla tarkastellaan jokaista suluissa olevaa tekijää erikseen.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^) 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Siirrytään murto -osaan, jolla jaamme.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Tehdään jako.
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
Saimme oikean henkilöllisyyden, joka vaadittiin todistamaan.

Oppitunnin lopussa kirjoitamme jälleen teholla toimimisen säännöt, tässä eksponentti on kokonaisluku.
$ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Tässä artikkelissa selvitämme, mikä on aste... Tässä annamme luvun asteen määritelmät ja tarkastelemme yksityiskohtaisesti kaikkia mahdollisia eksponentteja, alkaen luonnollisesta eksponentista ja päättyen irrationaaliseen. Materiaalista löydät paljon esimerkkejä tutkintoista, jotka kattavat kaikki esiin tulevat hienovaraisuudet.

Sivujen navigointi.

Aste luonnollisella eksponentilla, luvun neliö, kuutio

Aloitetaan. Tulevaisuudessa sanomme, että luvun a asteen määritelmä, jolla on luonnollinen eksponentti n, annetaan a: lle, jota kutsumme perusasteen tutkinto ja n, jota kutsumme eksponentti... Huomaa myös, että aste, jolla on luonnollinen eksponentti, määritetään tuotteen kautta, joten alla olevan materiaalin ymmärtämiseksi sinulla on oltava käsitys numeroiden kertolaskuista.

Määritelmä.

Numeron a teho luonnollisella eksponentilla n on muotoa a n, jonka arvo on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a, eli ,.
Erityisesti luvun a teho, jolla on eksponentti 1, on itse luku a, eli a 1 = a.

Olisi sanottava heti tutkintojen lukemista koskevista säännöistä. Yleinen tapa lukea tietue a n on seuraava: "a n: n tehoon". Joissakin tapauksissa myös seuraavat vaihtoehdot ovat hyväksyttäviä: "a n: nteen potenssiin" ja "luvun a n: nnen tehon". Otetaan esimerkiksi voima 8 12, joka on "kahdeksan kahdentoista voimaan" tai "kahdeksan kahdennentoista voimaan" tai "kahdestoista voima kahdeksasta".

Numeron toisella asteella ja luvun kolmannella asteella on omat nimensä. Numeron toista astetta kutsutaan neliön numero esimerkiksi 7 2 lukee "seitsemän neliötä" tai "luvun seitsemän neliötä". Numeron kolmas voima kutsutaan kuution numerot esimerkiksi 5 3 voidaan lukea "kuutio viisi" tai sanoa "kuutio numero 5".

On aika johtaa esimerkkejä asteista, joissa on luonnollisia indikaattoreita... Aloitetaan teholla 5 7, tässä 5 on tehon perusta ja 7 on eksponentti. Annetaan toinen esimerkki: 4.32 on perusta ja luonnollinen luku 9 on eksponentti (4.32) 9.

Huomaa, että viimeisessä esimerkissä 4,32: n tehon perusta on kirjoitettu suluissa: sekaannusten välttämiseksi laitamme sulkeisiin kaikki asteen perusteet, jotka eroavat luonnollisista numeroista. Annamme esimerkkinä seuraavat asteet luonnollisilla indikaattoreilla , niiden perusteet eivät ole luonnollisia numeroita, joten ne on kirjoitettu suluissa. No, täyden selvyyden vuoksi tällä hetkellä näytämme muodon (−2) 3 ja −2 3 merkintöjen välisen eron. Lauseke (−2) 3 on −2, jonka luonnollinen eksponentti on 3, ja lauseke −2 3 (se voidaan kirjoittaa muodossa - (2 3)) vastaa lukua, tehon arvoa 2 3 .

Huomaa, että numeron a asteikolla on merkintä, jonka eksponentti on muotoa a ^ n. Lisäksi jos n on moniarvoinen luonnollinen luku, eksponentti otetaan suluissa. Esimerkiksi 4 ^ 9 on toinen merkintä 4: n tehosta. Ja tässä on vielä muutamia esimerkkejä tutkintotodistusten kirjoittamisesta käyttämällä symbolia " ^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Seuraavassa käytämme pääasiassa muotoilua a n.

Yksi tehtävistä, päinvastoin kuin eksponentti luonnollisella eksponentilla, on ongelma tutkinnon perustan löytämisessä tutkinnon tunnetusta arvosta ja tunnetusta eksponentista. Tämä tehtävä johtaa.

Tiedetään, että rationaalilukujen joukko koostuu kokonaisluvuista ja murtolukuista, ja jokainen murtoluku voidaan esittää positiivisena tai negatiivisena tavallisena murto -osana. Määritelimme asteen kokonaislukuisella eksponentilla edellisessä kappaleessa, joten voidaksemme täydentää asteen määrittelyn järkevällä eksponentilla, meidän on annettava tunne luvun a asteelle, jolla on murto -eksponentti m / n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Tehdään se.

Harkitse tutkintoa, jossa lomakkeen murto -osainen eksponentti on. Jotta aste asteen ominaisuus olisi pätevä, tasa -arvo ... Jos otamme huomioon saadun tasa -arvon ja sen, miten määritimme sen, on loogista hyväksyä, edellyttäen, että lausekkeella on merkitystä annetuille m, n ja a.

On helppo tarkistaa, että kaikki tutkinnon ominaisuudet, joilla on kokonaisluku eksponentti (tämä tehdään osiossa, jossa on järkevän eksponentin tutkinnon ominaisuudet).

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden tehdä seuraavaa. lähtö: jos annetuilla m, n ja a lausekkeilla on järkeä, niin luvun a tehoa, jolla on murto -eksponentti m / n, kutsutaan a: n n: nneksi juureksi m: n potenssiin.

Tämä lausunto vie meidät hyvin lähelle asteen määrittämistä murto -eksponentilla. Jää vain kuvata, millä lausekkeilla m, n ja a on järkeä. On olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa riippuen m, n ja a rajoituksista.

Helpoin tapa on rajoittaa a olettamalla a≥0 positiiviselle m: lle ja a> 0 negatiiviselle m (koska m≤0: lle astetta 0 m ei ole määritelty). Sitten saamme seuraavan murto -eksponentin määritelmän.

Määritelmä.

Positiivisen luvun a teho murtolukuisella eksponentilla m / n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, sitä kutsutaan luvun n n: nneksi juuriksi m: n voimaksi.

Murtoteho nolla määritetään myös sillä ehdolla, että indikaattorin on oltava positiivinen.

Määritelmä.

Nollateho positiivisella murto -eksponentilla m / n, jossa m on positiivinen kokonaisluku ja n on luonnollinen luku, määritellään .
Kun astetta ei ole määritetty, toisin sanoen luvun nollan aste, jossa on murto -osainen negatiivinen eksponentti, ei ole järkevää.

On huomattava, että tällaisella murto -eksponentin tutkinnon määritelmällä on yksi vivahde: ​​joillekin negatiivisille a ja joillekin m ja n lauseke on järkevä, ja hylkäsimme nämä tapaukset lisäämällä ehdon a≥0. Esimerkiksi kirjoittaminen on järkevää tai, ja edellä annettu määritelmä pakottaa meidät sanomaan, että asteet, joilla on murto -osainen eksponentti ei ole järkevää, koska pohja ei saa olla negatiivinen.

Toinen lähestymistapa eksponentin määrittämiseen murto -eksponentilla m / n on tarkastella erikseen juuren parittomia ja parillisia eksponentteja. Tämä lähestymistapa edellyttää lisäehtoa: luvun a astetta, jonka indikaattori on, pidetään luvun a tehona, jonka indikaattori on vastaava pelkistämätön murto -osa (tämän ehdon merkitys selitetään alla). Toisin sanoen, jos m / n on pelkistämätön murto -osa, minkä tahansa luonnollisen luvun k tapauksessa aste korvataan alustavasti arvolla.

Jopa n: n ja positiivisen m: n tapauksessa lauseke on järkevä kaikille ei-negatiivisille a (negatiivisen luvun parillinen juuri ei ole järkevä), negatiivisille m, luvun a on oltava edelleen nolla (muuten jako on nolla ). Ja parittomille n ja positiivisille m, luku a voi olla mikä tahansa (pariton juuri määritetään mille tahansa reaaliluvulle), ja negatiiviselle m, luvun a on oltava nolla (niin, ettei jakoa ole nollalla).

Yllä oleva päättely johtaa meidät tällaiseen asteen määritelmään murto -eksponentilla.

Määritelmä.

Olkoon m / n pelkistymätön murto, m kokonaisluku ja n luonnollinen luku. Minkä tahansa peruutettavan murto -osan osalta eksponentti korvataan numerolla. Numeron, jolla on pelkistämätön murto -eksponentti m / n, teho on tarkoitettu



Selitämme, miksi aste, jolla on pelkistettävä murto -eksponentti, korvataan aiemmin asteella, jolla on pelkistämätön eksponentti. Jos määrittäisimme asteen yksinkertaisesti ja emme tekisi varausta murto -osan m/n pelkistymättömyydestä, joutuisimme samanlaisiin tilanteisiin: koska 6/10 = 3/5, tasa -arvon pitäisi olla voimassa , mutta , a.

Yhdessä edellisistä artikkeleista mainitsimme jo lukumäärän. Tänään yritämme orientoitua sen merkityksen löytämisprosessiin. Tieteellisesti ottaen aiomme selvittää, kuinka nostaa valtaan oikein. Selvitämme, miten tämä prosessi suoritetaan, samalla kosketamme kaikkia mahdollisia asteikon indikaattoreita: luonnollista, irrationaalista, järkevää, kokonaista.

Katsotaanpa siis tarkemmin esimerkkien ratkaisuja ja selvitetään, mitä se tarkoittaa:

1. Käsitteen määritelmä.
2. Nousu negatiiviseen taiteeseen.
3. Koko indikaattori.
4. Numeron nostaminen irrationaaliseen voimaan.

Käsitteen määritelmä

Tässä on määritelmä, joka heijastaa tarkasti merkityksen: "Eksponointi on luvun voiman merkityksen määritelmä."

Näin ollen numeron a nostaminen Art. r ja eksponentin a ja eksponentin r arvon löytämisprosessi ovat identtisiä käsitteitä. Jos esimerkiksi tehtävänä on laskea tehon arvo (0,6) 6 ", se voidaan yksinkertaistaa lausekkeeksi" Nosta luku 0.6 asteeseen 6 ".

Tämän jälkeen voit siirtyä suoraan rakennussääntöihin.

Negatiivinen eksponointi

Selvyyden vuoksi sinun on kiinnitettävä huomiota seuraaviin ilmaisuketjuihin:

110 = 0,1 = 1 * 10 miinus 1 s,

1100 = 0,01 = 1 * 10 miinus 2 askelta,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 miinus 3 st,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 miinus 4 astetta.

Näiden esimerkkien ansiosta näet selvästi kyvyn laskea välittömästi 10 mihin tahansa miinustehoon. Tätä tarkoitusta varten desimaalikomponentin siirtäminen on melko tylsää:

• 10 - -1 astetta - ennen yksikköä 1 nolla;
• -3 - kolme nollaa ennen yhtä;
• in -9 on 9 nollaa ja niin edelleen.

Tämän järjestelmän mukaan on yhtä helppo ymmärtää, kuinka paljon on 10 - miinus 5 rkl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuinka nostaa luonnollinen luku

Muistuttaessamme määritelmää otamme huomioon, että luonnollinen luku a Art. n on yhtä suuri kuin n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Havainnollistamiseksi: (a * a * ... a) n, jossa n on kerrottavien numeroiden lukumäärä. Niinpä a: n korottamiseksi n: ksi on laskettava seuraavan muodon tulo: a * a * ... ja jaettava n kertaa.

Tästä käy ilmi, että erektio luonnon taiteessa. perustuu kykyyn lisääntyä(Tätä materiaalia käsitellään reaalilukujen kertomista käsittelevässä osassa). Katsotaanpa ongelmaa:

Pysty -2 4. krs: ssa.

Käsittelemme luonnollista indikaattoria. Näin ollen päätöksen kulku on seuraava: (-2) taiteessa. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Nyt on vain suoritettava kokonaislukujen kertolasku: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Saamme 16.

Vastaus ongelmaan:

(-2) taiteessa. 4 = 16.

Esimerkki:

Laske arvo: kolmen pisteen kaksi seitsemän neliö.

Tämä esimerkki vastaa seuraavaa tuotetta: kolme pistettä kaksi seitsemännestä kerrottuna kolmella pisteellä kaksi seitsemättä. Muistamme kuinka sekoitettujen lukujen kertominen suoritetaan, viimeistelemme rakentamisen:

• 3 piste 2 seitsemäsosa kerrotaan itsestään;
• on 23 seitsemättä kerrottuna 23 seitsemännessä osassa;
• yhtä kuin 529 neljäkymmentäyhdeksäs;
• lyhennä ja saat 10 kolmekymmentäyhdeksän neljäkymmentäyhdeksän.

Vastaus: 10 39/49

Mitä tulee irrationaaliseen indikaattoriin nostamiseen, on huomattava, että laskelmat alkavat suorittaa sen jälkeen, kun tutkintopohjan alustava pyöristys on saatu päätökseen mihin tahansa luokkaan, mikä mahdollistaisi arvon saamisen annetulla tarkkuudella. Esimerkiksi meidän täytyy neliöidä luku P (pi).

Aloitamme pyöristämällä P sadasosiksi ja saamme:

P neliössä = (3,14) 2 = 9,8596. Kuitenkin, jos pienennämme P kymmeneen tuhannesosaan, saamme P = 3,14159. Sitten neliöinti saa täysin eri numeron: 9.8695877281.

Tässä on huomattava, että monissa ongelmissa ei ole tarvetta nostaa irrationaalisia lukuja valtaan. Yleensä vastaus kirjoitetaan joko asteen muodossa, esimerkiksi 6: n juurena 3: n potenssiin, tai jos lauseke sallii, sen muunnos suoritetaan: 5: n ja 7: n = 125 juuri viidestä.

Kuinka nostaa luku kokonaiseksi

Tämä algebrallinen manipulointi on tarkoituksenmukaista ota huomioon seuraavat tapaukset:

• kokonaisluvuille;
• nolla -indikaattorille;
• koko positiiviseksi indikaattoriksi.

Koska käytännössä kaikki positiiviset kokonaisluvut vastaavat luonnollisten lukujen massaa, positiivisen kokonaislukutehon asettaminen on sama prosessi kuin art. luonnollinen. Kuvasimme tämän prosessin edellisessä kappaleessa.

Puhutaan nyt taiteen laskemisesta. tyhjä. Olemme jo havainneet edellä, että luvun a nollapiste voidaan määrittää mille tahansa nollasta poikkeavalle a (todellinen), kun taas art. 0 on 1.

Näin ollen mikä tahansa reaaliluku nostetaan nollaan. antaa yhden.

Esimerkiksi 10 st: ssä 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ja 0 st. 0 ei voida määrittää.

Jotta korotus voidaan suorittaa kokonaislukuun, on vielä päätettävä vaihtoehtoista kokonaisluvun negatiivisille arvoille. Muistamme, että Art. alkaen kokonaisluku eksponentti -z määritellään murto. Murtoluvun nimittäjä on Art. positiivisella kokonaislukuarvolla, jonka arvon olemme jo oppineet löytämään. Nyt on vain tarkasteltava esimerkkiä rakentamisesta.

Esimerkki:

Laske luvun 2 arvo kuutiossa, jossa on negatiivinen kokonaisluku eksponentti.

Ratkaisuprosessi:

Negatiivisen asteen tutkinnon määritelmän mukaan merkitsemme: kaksi miinus 3 rkl. on yksi tai kaksi kolmannessa asteessa.

Nimittäjä lasketaan yksinkertaisesti: kaksi kuutiota;

3 = 2*2*2=8.

Vastaus: kaksi miinus 3. rkl. = yksi kahdeksasosa.

Video

Tämä video näyttää, mitä tehdä, jos tutkinto on negatiivinen.