Matin odotus voi olla suurempi kuin 1. Todennäköisyys ja tilastot - perustiedot

Satunnaismuuttujan seuraavaksi tärkein ominaisuus matemaattisen odotuksen jälkeen on sen varianssi, joka määritellään keskiarvosta poikkeaman keskineliönä:

Jos merkitsemme siihen mennessä varianssia VX, on odotettu arvo. Tämä on X:n jakauman "leveyden" ominaisuus.

Kuten yksinkertainen esimerkki Varianssin laskeminen Oletetaan, että meille on juuri tehty tarjous, josta emme voi kieltäytyä: joku antoi meille kaksi todistusta osallistuaksemme samaan arvontaan. Lottojärjestäjät myyvät 100 lippua viikossa ja osallistuvat erilliseen arvontaan. Arvonnassa yksi näistä lipuista valitaan yhtenäisellä satunnaisella prosessilla - jokaisella lipulla on yhtäläinen mahdollisuus tulla valituksi - ja tämän onnenlipun haltija saa sata miljoonaa dollaria. Muut 99 lottolipun haltijaa eivät voittaneet mitään.

Voimme käyttää lahjan kahdella tavalla: ostaa joko kaksi lippua yhdessä arvontaan tai yksi kerrallaan osallistuaksesi kahteen eri arvontaan. Mikä strategia on paras? Yritetään analysoida. Tätä varten merkitään satunnaismuuttujilla, jotka edustavat voittomme kokoa ensimmäisessä ja toisessa lipussa. Odotettu arvo miljoonissa on

ja sama pätee odotettujen arvojen summautumiseen, joten keskimääräinen kokonaisvoittomme on

valitusta strategiasta riippumatta.

Nämä kaksi strategiaa näyttävät kuitenkin olevan erilaisia. Mennään odotettujen arvojen ulkopuolelle ja tutkitaan koko todennäköisyysjakauma

Jos ostamme kaksi lippua samassa lotossa, todennäköisyytemme olla voittamatta mitään on 98% ja 2% - mahdollisuus voittaa 100 miljoonaa. Jos ostamme lippuja eri painoksiin, luvut ovat seuraavat: 98,01% - mahdollisuus olla voittamatta mitään, mikä on hieman enemmän kuin ennen; 0,01% - mahdollisuus voittaa 200 miljoonaa, myös hieman enemmän kuin ennen; ja mahdollisuus voittaa 100 miljoonaa on nyt 1,98%. Siten toisessa tapauksessa määrän jakauma on jonkin verran hajautetumpi; keskiarvo, 100 miljoonaa dollaria, on hieman epätodennäköisempi, kun taas äärimmäisyydet ovat todennäköisempiä.

Varianssin on tarkoitus heijastaa tätä satunnaismuuttujan leviämisen käsitettä. Mittaamme leviämisen satunnaismuuttujan matemaattisesta odotuksesta poikkeaman neliön läpi. Näin ollen tapauksessa 1, varianssi on

tapauksessa 2 varianssi on

Kuten odotimme, jälkimmäinen arvo on hieman suurempi, koska jakauma tapauksessa 2 on jonkin verran hajautetumpi.

Kun työskentelemme varianssien kanssa, kaikki on neliöity, joten tulos voi olla hyvin suuria lukuja. (Kerroin on biljoona, tämän pitäisi olla vaikuttava

jopa suurille vedonlyöjille.) Arvojen muuttamiseksi merkityksellisempään alkuasteikkoon käytetään usein varianssin neliöjuuria. Tuloksena olevaa numeroa kutsutaan keskihajonnaksi ja se merkitään yleensä kreikkalaisella kirjaimella a:

Kahden arpajaisstrategiamme arvojen keskihajonnat ovat. Tavallaan toinen vaihtoehto on noin 71 247 dollaria riskialtisempi.

Miten varianssi auttaa strategian valinnassa? Ei ole selvää. Strategia, jossa on enemmän varianssia, on riskialtisempi; mutta kumpi on parempi lompakollemme - riski vai turvallinen peli? Meillä on mahdollisuus ostaa ei kaksi lippua, vaan sata. Silloin voisimme taata yhden lottovoiton (ja varianssi olisi nolla); tai oli mahdollista pelata sadoissa erilaisissa arvonnoissa, jolloin todennäköisyydellä ei saatu mitään, mutta mahdollisuus voittaa jopa dollareita ei ollut nolla. Yhden näistä vaihtoehdoista valitseminen ei kuulu tämän kirjan soveltamisalaan. tässä voimme vain selittää, kuinka laskelmat tehdään.

Itse asiassa on helpompi tapa laskea varianssi kuin käyttää määritelmää (8.13) suoraan. (Tässä on täysi syy epäillä jonkinlaista kätkettyä matematiikkaa; muuten, miksi lottoesimerkkien varianssi osoittautuisi kokonaislukukerrannaksi.

koska se on vakio; siten,

"Varianssi on neliön keskiarvo miinus keskiarvon neliö"

Esimerkiksi arpatehtävässä keskiarvo on tai Vähennys (keskiarvon neliö) antaa tulokset, jotka olemme jo saaneet vaikeammalla tavalla.

Niitä on kuitenkin vielä enemmän yksinkertainen kaava, sovelletaan, kun laskemme riippumattomia X ja Y. Meillä on

koska, kuten tiedämme, riippumattomille satunnaismuuttujille näin ollen

"Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa" Joten esimerkiksi yhdellä arpalipulla voitettavan summan varianssi on

Näin ollen kahden arpalipun kokonaisvoittojen vaihtelu kahdessa eri (riippumattomassa) arpajaisessa on

Kahdella noppaa pudonneiden pisteiden summan varianssi saadaan samalla kaavalla, koska on olemassa kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summa. Meillä on

oikealle kuutiolle; siksi siirretyn massakeskuksen tapauksessa

siksi, jos molempien kuutioiden massakeskus siirtyy. Huomaa, että jälkimmäisessä tapauksessa varianssi on suurempi, vaikka se kestää keskimäärin 7 useammin kuin oikealla noppalla. Jos tavoitteemme on heittää enemmän onnenseitsemiä, niin varianssi ei ole paras indikaattori menestys.

Okei, olemme selvittäneet kuinka varianssi lasketaan. Mutta emme ole vielä antaneet vastausta kysymykseen, miksi varianssi on tarpeen laskea. Kaikki tekevät niin, mutta miksi? Pääsyynä on Chebyshevin epätasa-arvo, joka vahvistaa tärkeä omaisuus varianssi:

(Tämä epäyhtälö eroaa Tšebyševin epäyhtälöistä summille, jotka kohtasimme luvussa 2.) Kvalitatiivisesti (8.17) väittää, että satunnaismuuttuja X saa harvoin arvoja, jotka ovat kaukana sen keskiarvosta, jos sen varianssi VX on pieni. Todiste

ratkaisu on epätavallisen yksinkertainen. Todella,

jako luvulla viimeistelee todistuksen.

Jos merkitsemme matemaattisen odotuksen a:lla ja keskihajonnan a:lla ja korvaamme kohdan (8.17) ehdolla, saamme tuloksesta (8.17)

Siten X on keskiarvonsa keskihajonnan sisällä, paitsi jos todennäköisyys ei ylitä: Satunnaismuuttuja on 2a:n sisällä vähintään 75 % kokeista; välillä - - vähintään 99 %. Nämä ovat tapauksia Tšebyshevin epätasa-arvosta.

Jos heittää pari noppaa, kaikkien heittojen pisteiden kokonaismäärä on lähes aina lähellä.

Siksi Chebyshevin epäyhtälöstä huomaamme, että pisteiden summa on välillä

vähintään 99 % kaikista oikeista nopanheitoista. Esimerkiksi miljoonan heiton kokonaismäärä päätyy yli 99 % todennäköisyydellä 6,976 ja 7,024 miljoonan välillä.

Yleisessä tapauksessa olkoon X mikä tahansa satunnaismuuttuja todennäköisyysavaruudessa P, jolla on äärellinen matemaattinen odotus ja äärellinen keskihajonta a. Sitten voidaan ottaa huomioon todennäköisyysavaruus Пп, jonka alkeistapahtumat ovat -sekvenssit, joissa jokainen, ja todennäköisyys määritellään

Jos nyt määritellään satunnaismuuttujat kaavalla

sitten arvo

on riippumattomien satunnaismuuttujien summa, joka vastaa prosessia, jossa arvon X riippumattomat realisaatiot summataan P:llä. Matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin ja keskihajonta -; siksi realisaatioiden keskiarvo,

vaihtelee välillä vähintään 99 % ajanjakso... Toisin sanoen, jos valitsemme riittävän suuren, niin riippumattomien testien aritmeettinen keskiarvo on lähes aina hyvin lähellä odotettua arvoa (Todennäköisyysteorian oppikirjoissa todistetaan vieläkin vahvempi lause, jota kutsutaan suurten lukujen vahvistetuksi laiksi; vaan yksinkertainen seuraus Tšebyshevin epätasa-arvosta, jonka juuri poistimme.)

Joskus emme tiedä todennäköisyysavaruuden ominaisuuksia, mutta meidän on arvioitava satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus käyttämällä toistuvia havaintoja sen arvosta. (Voimme esimerkiksi haluta keskimääräisen tammikuun keskilämpötilan San Franciscossa; tai saatamme haluta tietää elinajanodotteen, johon laskelmamme perustuu vakuutusasiamiehet.) Jos meillä on käytettävissämme riippumattomia empiirisiä havaintoja, voimme olettaa, että todellinen matemaattinen odotus on suunnilleen yhtä suuri kuin

Voit myös arvioida varianssin kaavan avulla

Tätä kaavaa tarkasteltaessa saatat ajatella, että se on typografinen virhe; näyttäisi siltä, että sen pitäisi olla siinä kuten kohdassa (8.19), koska varianssin todellinen arvo määräytyy kohdassa (8.15) odotusarvojen kautta. Kuitenkin korvaamalla tässä mahdollista saada paras arvosana, koska määritelmä (8.20) viittaa siihen

Tässä todiste:

(Tässä laskelmassa luotamme havaintojen riippumattomuuteen, kun korvaamme havainnoilla)

Käytännössä satunnaismuuttujalla X tehdyn kokeen tulosten arvioimiseksi lasketaan yleensä empiirinen keskiarvo ja empiirinen keskihajonta ja sitten kirjoitetaan vastaus muotoon Tässä esimerkiksi noppaparin heiton tulokset, oletettavasti oikein.

Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien numeeriset perusominaisuudet: matemaattinen odotus, varianssi ja keskihajonta. Niiden ominaisuudet ja esimerkit.

Jakaumalaki (jakaumafunktio ja jakauman sarja tai todennäköisyystiheys) kuvaavat täysin satunnaismuuttujan käyttäytymistä. Mutta useissa ongelmissa riittää, että tiedetään jotkin tutkitun suuren numeeriset ominaisuudet (esimerkiksi sen keskiarvo ja mahdollinen poikkeama siitä), jotta voidaan vastata esitettyyn kysymykseen. Tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien tärkeimpiä numeerisia ominaisuuksia.

Määritelmä 7.1.Matemaattinen odotus diskreetti satunnaismuuttuja on sen mahdollisten arvojen tulojen summa vastaavilla todennäköisyyksillä:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p s.(7.1)

Jos satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön, niin jos tuloksena oleva sarja konvergoi absoluuttisesti.

Huomautus 1. Matemaattista odotusta kutsutaan joskus painotettu keskiarvo, koska se on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo suurelle määrälle kokeita.

Huomautus 2. Matemaattisen odotuksen määritelmästä seuraa, että sen arvo ei ole pienempi kuin satunnaismuuttujan pienin mahdollinen arvo eikä suurempi kuin suurin.

Huomautus 3. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei sattumaa(vakio. Seuraavassa näemme, että sama pätee jatkuviin satunnaismuuttujiin.

Esimerkki 1. Etsi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- vakioosien lukumäärä kolmen joukosta, jotka on valittu 10 osan erästä, joista 2 on viallisia. Tehdään jakelusarja X... Ongelmapuheenvuorosta seuraa, että X voi ottaa arvot 1, 2, 3. Sitten

Esimerkki 2. Määritä satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- kolikonheittojen määrä ennen vaakunan ensimmäistä ilmestymistä. Tämä arvo voi ottaa äärettömän määrän arvoja (mahdollisten arvojen joukko on joukko luonnolliset luvut). Sen jakelusarja on seuraava:

X			…	P	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)P	…

+ (laskennassa käytettiin kahdesti loputtomasti pienenevän summan kaavaa geometrinen eteneminen: , missä ).

Matemaattiset odotusominaisuudet.

1) Vakion matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin vakio:

M(KANSSA) = KANSSA.(7.2)

Todiste. Ottaen huomioon KANSSA diskreetti satunnaismuuttuja, joka ottaa vain yhden arvon KANSSA todennäköisyydellä R= 1 siis M(KANSSA) = KANSSA?1 = KANSSA.

2) Vakiotekijä voidaan ottaa pois matemaattisen odotuksen merkistä:

M(SH) = CM(X). (7.3)

Todiste. Jos satunnaismuuttuja X jakelusarjan antama

Sitten M(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = KANSSA(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p s) = CM(X).

Määritelmä 7.2. Kutsutaan kahta satunnaismuuttujaa riippumaton, jos yhden niistä jakautumislaki ei riipu siitä, mitkä arvot toinen otti. Muuten satunnaismuuttujat riippuvainen.

Määritelmä 7.3. Soitetaan riippumattomien satunnaismuuttujien tulo X ja Y Satunnaismuuttuja XY, joiden mahdolliset arvot ovat yhtä suuret kuin kaikkien mahdollisten arvojen tulot X kaikille mahdollisille arvoille Y, ja vastaavat todennäköisyydet ovat yhtä suuria kuin tekijöiden todennäköisyyksien tulot.

3) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Todiste. Laskelmien yksinkertaistamiseksi rajoitamme tapaukseen, jolloin X ja Y ota vain kaksi mahdollista arvoa:

Siten, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Huomautus 1. Vastaavasti tämä ominaisuus voidaan todistaa suuremmalle määrälle mahdollisia tekijöiden arvoja.

Huomautus 2. Ominaisuus 3 pätee minkä tahansa määrän riippumattomien satunnaismuuttujien tulolle, mikä todistetaan matemaattisen induktion menetelmällä.

Määritelmä 7.4. Me määrittelemme satunnaismuuttujien summa X ja Y satunnaismuuttujana X + Y, joiden mahdolliset arvot ovat yhtä suuret kuin kunkin mahdollisen arvon summat X kaikilla mahdollisilla arvoilla Y; tällaisten summien todennäköisyydet ovat yhtä suuria kuin termien todennäköisyyksien tulot (riippuvaisille satunnaismuuttujille yhden termin todennäköisyyden ja toisen ehdollisen todennäköisyyden tulot).

4) Kahden satunnaismuuttujan (riippuvaisen tai riippumattoman) summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Todiste.

Tarkastellaan uudelleen ominaisuuden 3 todistuksessa annettujen jakaumasarjojen antamia satunnaismuuttujia. Sitten mahdolliset arvot X + Y ovat X 1 + klo 1 , X 1 + klo 2 , X 2 + klo 1 , X 2 + klo 2. Merkitään niiden todennäköisyydet, vastaavasti, as R 11 , R 12 , R 21 ja R 22. löytö M(X+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Todistakaamme se R 11 + R 22 = R yksi . Todellakin, tapahtuma, joka X + Y ottaa arvoja X 1 + klo 1 tai X 1 + klo 2 ja jonka todennäköisyys on R 11 + R 22 osuu samaan tapahtumaan X = X 1 (sen todennäköisyys on R yksi). Samoin se on todistettu p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. tarkoittaa,

M(X + Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Kommentti... Ominaisuus 4 tarkoittaa, että minkä tahansa määrän satunnaismuuttujia summa on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa.

Esimerkki. Etsi viisi noppaa heittämällä pudonneiden pisteiden summan matemaattinen odotus.

Etsitään matemaattinen odotus yhtä noppaa heittämällä pudotettujen pisteiden määrästä:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Sama luku on yhtä suuri kuin minkä tahansa noppaa pudonneiden pisteiden lukumäärän matemaattinen odotus. Siksi kiinteistön 4 mukaan M(X)=

Dispersio.

Saadakseen käsityksen satunnaismuuttujan käyttäytymisestä ei riitä, että tietää vain sen matemaattinen odotus. Harkitse kahta satunnaismuuttujaa: X ja Y annetaan lomakkeen jakelusarjoina

X
R	0,1	0,8	0,1

Y
p	0,5	0,5

löytö M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0? 0,5 + 100? 0,5 = 50. Kuten näette, molempien suureiden matemaattiset odotukset ovat samat, mutta jos HM(X) kuvaa hyvin satunnaismuuttujan käyttäytymistä, koska se on sen todennäköisin mahdollinen arvo (lisäksi muut arvot eivät juurikaan poikkea 50:stä), niin arvot Y merkittävästi kaukana M(Y). Siksi matemaattisen odotuksen ohella on toivottavaa tietää, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot poikkeavat siitä. Varianssia käytetään karakterisoimaan tätä indikaattoria.

Määritelmä 7.5.Dispersio (sironta) satunnaismuuttujaa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi neliöstä, jolla se poikkeaa sen matemaattisesta odotuksesta:

D(X) = M (X - M(X))². (7.6)

Etsi satunnaismuuttujan varianssi X(vakioosien lukumäärä valittujen joukossa) tämän luennon esimerkissä 1. Lasketaan kunkin mahdollisen arvon neliöllisen poikkeaman arvot matemaattisesta odotuksesta:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Siten,

Huomautus 1. Varianssia määritettäessä ei arvioida itse poikkeamaa keskiarvosta, vaan sen neliö. Tämä tehdään siten, että eri merkkien poikkeamat eivät kompensoi toisiaan.

Huomautus 2. Varianssin määritelmästä seuraa, että tämä suure saa vain ei-negatiivisia arvoja.

Huomautus 3. Varianssin laskemiseen on kätevämpi kaava, jonka pätevyys todistetaan seuraavalla lauseella:

Lause 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Todiste.

Käyttämällä mitä M(X) on vakio, ja matemaattisen odotuksen ominaisuudet, muunnamme kaavan (7.6) muotoon:

D(X) = M(X - M(X))² = M(X² - 2 X? M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), tarvittaessa.

Esimerkki. Laskemme satunnaismuuttujien varianssit X ja Y keskusteltu tämän osan alussa. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Toisen satunnaismuuttujan varianssi on siis useita tuhansia kertoja suurempi kuin ensimmäisen. Näin ollen jopa tietämättä näiden suureiden jakautumislakeja, voimme väittää tunnetuista dispersioarvoista, että X poikkeaa vähän matemaattisista odotuksistaan, kun taas for Y tämä poikkeama on varsin merkittävä.

Dispersioominaisuudet.

1) Vakion dispersio KANSSA on yhtä kuin nolla:

D (C) = 0. (7.8)

Todiste. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Vakiotekijä voidaan ottaa pois varianssimerkistä neliöimällä se:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Todiste. D(CX) = M((CX - M(CX))²) = M((CX - CM(X))²) = M(C²( X - M(X))²) =

= C² D(X).

3) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Todiste. D(X + Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Seuraus 1. Useiden toisistaan riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa.

Seuraus 2. Vakion ja satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssi.

4) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa:

D(X - Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Todiste. D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1) ² D(Y) = D(X) + D(X).

Varianssi antaa satunnaismuuttujan keskiarvosta poikkeaman neliön keskiarvon; Itse poikkeaman arvioimiseksi käytetään suureksi, jota kutsutaan keskihajotukseksi.

Määritelmä 7.6.Keskimääräinen neliöpoikkeama satunnaismuuttujan σ X kutsutaan varianssin neliöjuureksi:

Esimerkki. Edellisessä esimerkissä keskihajonnat X ja Y vastaavasti yhtä suuret

Satunnainen arvo kutsutaan muuttujaksi, joka jokaisen testin tuloksena saa yhden aiemmin tuntemattoman arvon, riippuen satunnaisista syistä. Satunnaismuuttujat on merkitty isoilla kirjaimilla latinalaisilla kirjaimilla: $ X, \ Y, \ Z, \ \ dots $ Satunnaismuuttujat voivat olla tyypiltään diskreetti ja jatkuva.

Diskreetti satunnaismuuttuja on satunnaismuuttuja, jonka arvot eivät voi olla enempää kuin laskettavia, eli joko äärellisiä tai laskettavia. Lasketettavuus tarkoittaa, että satunnaismuuttujan arvot voidaan numeroida.

Esimerkki 1 ... Tässä on joitain esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista:

a) osumien määrä kohteeseen $ n $ laukauksella, tässä mahdolliset arvot ovat $ 0, \ 1, \ \ pistettä, \ n $.

b) kolikkoa heitettäessä pudonneiden vaakunoiden määrä, tässä mahdolliset arvot ovat $ 0, \ 1, \ \ pistettä, \ n $.

c) alukselle saapuvien alusten lukumäärä (laskettavissa olevat arvot).

d) PBX:ään saapuvien puheluiden määrä (laskettavissa oleva arvosarja).

1. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman laki.

Diskreetti satunnaismuuttuja $ X $ voi ottaa arvot $ x_1, \ dots, \ x_n $ todennäköisyyksillä $ p \ vasen (x_1 \ oikea), \ \ pisteet, \ p \ vasen (x_n \ oikea) $. Näiden arvojen ja niiden todennäköisyyksien välistä vastaavuutta kutsutaan diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki... Tämä vastaavuus asetetaan pääsääntöisesti taulukolla, jonka ensimmäisellä rivillä on arvot $ x_1, \ dots, \ x_n $ ja toisella rivillä todennäköisyydet $ p_1, \ dots, \ p_n $ vastaa näitä arvoja.

$ \ alkaa (taulukko) (| c | c |)
\ hline
X_i & x_1 & x_2 & \ pisteet & x_n \\
\ hline
p_i & p_1 & p_2 & \ pisteet & p_n \\
\ hline
\ end (taulukko) $

Esimerkki 2 ... Olkoon satunnaismuuttuja $ X $ noppaa heittäessäsi pudonneiden pisteiden lukumäärä. Tällainen satunnaismuuttuja $ X $ voi saada seuraavat arvot $ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 $. Kaikkien näiden arvojen todennäköisyydet ovat $ 1/6 $. Sitten satunnaismuuttujan $ X $ todennäköisyysjakauman laki:

$ \ alkaa (taulukko) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline

\ hline
\ end (taulukko) $

Kommentti... Koska diskreetin satunnaismuuttujan $ X $ jakautumislaissa tapahtumat $ 1, \ 2, \ \ pistettä, \ 6 $ muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän, todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi, eli $ \ summa (p_i) = 1 $.

2. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus asettaa sen "keskeisen" merkityksen. Diskreetille satunnaismuuttujalle odotusarvo lasketaan arvojen $ x_1, \ dots, \ x_n $ tulojen summana vastaavilla todennäköisyyksillä $ p_1, \ dots, \ p_n $, eli $ M \ vasen (X \ oikea) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään erilaista merkintää, $ E \ vasen (X \ oikea) $.

Matemaattiset odotusominaisuudet$ M \ vasen (X \ oikea) $:

$ M \ vasen (X \ oikea) $ on pienimmän ja välissä korkeimmat arvot satunnaismuuttuja $ X $.
Vakion matemaattinen odotus on sama kuin itse vakio, ts. $ M \ vasen (C \ oikea) = C $.
Vakiotekijä voidaan ottaa matemaattisen odotusmerkin ulkopuolelle: $ M \ vasen (CX \ oikea) = CM \ vasen (X \ oikea) $.
Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: $ M \ vasen (X + Y \ oikea) = M \ vasen (X \ oikea) + M \ vasen (Y \ oikea) $.
Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: $ M \ vasen (XY \ oikea) = M \ vasen (X \ oikea) M \ vasen (Y \ oikea) $.

Esimerkki 3 ... Etsitään satunnaismuuttujan $ X $ matemaattinen odotus esimerkistä $ 2 $.

$$ M \ vasen (X \ oikea) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ yli (6)) + 2 \ cdot ((1) \ yli (6) ) +3 \ cdot ((1) \ yli (6)) + 4 \ cdot ((1) \ yli (6)) + 5 \ cdot ((1) \ yli (6)) + 6 \ cdot ((1) ) \ yli (6)) = 3,5. $$

Voimme huomata, että $ M \ vasen (X \ oikea) $ on satunnaismuuttujan $ X $ pienimmän ($ 1 $) ja suurimman ($ 6 $) arvojen välissä.

Esimerkki 4 ... Tiedetään, että satunnaismuuttujan $ X $ matemaattinen odotus on $ M \ vasen (X \ oikea) = 2 $. Etsi satunnaismuuttujan $ 3X + 5 $ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saadaan $ M \ vasen (3X + 5 \ oikea) = M \ vasen (3X \ oikea) + M \ vasen (5 \ oikea) = 3M \ vasen (X \ oikea) + 5 = 3 \ cdot 2 + 5 = 11 $.

Esimerkki 5 ... Tiedetään, että satunnaismuuttujan $ X $ matemaattinen odotus on $ M \ vasen (X \ oikea) = 4 $. Etsi satunnaismuuttujan $ 2X-9 $ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saadaan $ M \ vasen (2X-9 \ oikea) = M \ vasen (2X \ oikea) -M \ vasen (9 \ oikea) = 2M \ vasen (X \ oikea) -9 = 2 \ cdot 4 -9 = -1 $.

3. Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio.

Satunnaismuuttujien mahdolliset arvot, joilla on samat matemaattiset odotukset, voivat sirota eri tavoin keskiarvojensa ympärille. Esimerkiksi kahdessa opiskelijaryhmässä todennäköisyysteorian tentin keskiarvo oli 4, mutta yhdessä ryhmässä kaikki osoittautuivat hyviksi ja toisessa ryhmässä vain C ja A. Siksi tarvitaan sellainen satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus, joka näyttäisi satunnaismuuttujan arvojen leviämisen sen matemaattisen odotuksen ympärille. Tämä ominaisuus on varianssi.

Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio$ X $ on yhtä suuri kuin:

$$ D \ vasen (X \ oikea) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_i (\ vasen (x_i-M \ vasen (X \ oikea) \ oikea)) ^ 2). \ $$

Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään merkintää $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Hyvin usein varianssi $ D \ vasen (X \ oikea) $ lasketaan kaavalla $ D \ vasen (X \ oikea) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ vasen (M \ ) vasen (X \ oikea) \ oikea)) ^ 2 $.

Dispersioominaisuudet$ D \ vasen (X \ oikea) $:

Varianssi on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. $ D \ vasen (X \ oikea) \ ge 0 $.
Vakion varianssi on nolla, ts. $ D \ vasen (C \ oikea) = 0 $.
Vakiokerroin voidaan ottaa pois varianssimerkistä, jos se on neliöity, ts. $ D \ vasen (CX \ oikea) = C ^ 2D \ vasen (X \ oikea) $.
Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $ D \ vasen (X + Y \ oikea) = D \ vasen (X \ oikea) + D \ vasen (Y \ oikea) $.
Riippumattomien satunnaismuuttujien eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $ D \ vasen (X-Y \ oikea) = D \ vasen (X \ oikea) + D \ vasen (Y \ oikea) $.

Esimerkki 6 ... Lasketaan satunnaismuuttujan $ X $ varianssi esimerkistä $ 2 $.

$$ D \ vasen (X \ oikea) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_i (\ vasen (x_i-M \ vasen (X \ oikea) \ oikea)) ^ 2) = ((1) \ yli (6)) \ cdot (\ vasen (1-3,5 \ oikea)) ^ 2 + ((1) \ yli (6)) \ cdot (\ vasen (2-3,5 \ oikea)) ^ 2+ \ pistettä + ( (1) \ yli (6)) \ cdot (\ vasen (6-3,5 \ oikea)) ^ 2 = ((35) \ yli (12)) \ noin 2,92. $$

Esimerkki 7 ... Tiedetään, että satunnaismuuttujan $ X $ varianssi on yhtä suuri kuin $ D \ vasen (X \ oikea) = 2 $. Etsi satunnaismuuttujan varianssi $ 4X + 1 $.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $ D \ vasen (4X + 1 \ oikea) = D \ vasen (4X \ oikea) + D \ vasen (1 \ oikea) = 4 ^ 2D \ vasen (X \ oikea) + 0 = 16D \ vasen (X \ oikea) = 16 \ cdot 2 = 32 $.

Esimerkki 8 ... Tiedetään, että satunnaismuuttujan $ X $ varianssi on yhtä suuri kuin $ D \ vasen (X \ oikea) = 3 $. Etsi satunnaismuuttujan varianssi $ 3-2X $.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $ D \ vasen (3-2X \ oikea) = D \ vasen (3 \ oikea) + D \ vasen (2X \ oikea) = 0 + 2 ^ 2D \ vasen (X \ oikea) = 4D \ vasen (X \ oikea) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio.

Tapa esittää diskreetti satunnaismuuttuja jakaumasarjan muodossa ei ole ainoa, ja mikä tärkeintä, se ei ole universaali, koska jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voida määritellä jakaumasarjan avulla. On toinenkin tapa esittää satunnaismuuttuja - jakaumafunktio.

Jakelutoiminto satunnaismuuttujan $ X $ kutsutaan funktioksi $ F \ vasen (x \ oikea) $, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja $ X $ saa arvon, joka on pienempi kuin jokin kiinteä arvo $ x $, eli $ F \ vasen (x \ oikea ) = P \ vasen (X< x\right)$

Jakaumafunktion ominaisuudet:

$ 0 \ le F \ vasen (x \ oikea) \ le 1 $.
Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja $ X $ ottaa arvoja väliltä $ \ vasen (\ alfa; \ \ beta \ oikea) $ on yhtä suuri kuin jakaumafunktion päissä olevien arvojen erotus. intervalli: $ P \ vasen (\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$ F \ vasen (x \ oikea) $ - ei-laskeva.
$ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ vasen (x \ oikea) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ vasen (x \ oikealle) = 1 \) $.

Esimerkki 9 ... Etsitään esimerkistä $ 2 $ diskreetin satunnaismuuttujan $ X $ jakautumislaki jakaumafunktio $ F \ left (x \ right) $.

$ \ alkaa (taulukko) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\ hline
\ end (taulukko) $

Jos $ x \ le 1 $, niin tietysti $ F \ vasen (x \ oikea) = 0 $ (mukaan lukien $ x = 1 $ $ F \ vasen (1 \ oikea) = P \ vasen (X< 1\right)=0$).

Jos 1 dollari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jos 2 dollaria< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jos 3 dollaria< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jos 4 dollaria< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jos 5 dollaria< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jos $ x> 6 $, niin $ F \ vasen (x \ oikea) = P \ vasen (X = 1 \ oikea) + P \ vasen (X = 2 \ oikea) + P \ vasen (X = 3 \ oikea) + P \ vasen (X = 4 \ oikea) + P \ vasen (X = 5 \ oikea) + P \ vasen (X = 6 \ oikea) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 $.

Joten $ F (x) = \ vasen \ (\ aloita (matriisi)
0, \ \ x \ le 1, \\
1/6, \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ for \ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3:lle< x\le 4,\\
2/3, \ for \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ for \ 4< x\le 5,\\
1, \ = \ x> 6.
\ loppu (matriisi) \ oikea. $

Matemaattinen odotus on määritelmä

Mate odotus on yksi matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian tärkeimmistä käsitteistä, joka kuvaa arvojen jakautumista tai todennäköisyydet Satunnaismuuttuja. Yleensä ilmaistaan satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten parametrien painotettuna keskiarvona. Sitä käytetään laajasti teknisessä analyysissä, numeeristen sarjojen tutkimuksessa, jatkuvien ja pitkäaikaisten prosessien tutkimuksessa. Sillä on välttämätön arvioitaessa riskejä, ennustaessa hintaindikaattoreita rahoitusmarkkinoilla kaupankäynnin yhteydessä, sitä käytetään pelitaktiikkojen strategioiden ja menetelmien kehittämisessä. uhkapeliteoria.

Matin odotus- se satunnaismuuttujan keskiarvo, jakauma todennäköisyydet satunnaismuuttuja otetaan huomioon todennäköisyysteoriassa.

Mate odotus on todennäköisyysteorian satunnaismuuttujan keskiarvon mitta. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus x merkitty M (x).

Väestön keskiarvo on

Mate odotus on

Mate odotus on todennäköisyysteoriassa kaikkien mahdollisten arvojen painotettu keskiarvo, jotka tämä satunnaismuuttuja voi saada.

Mate odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa näiden arvojen todennäköisyyksillä.

Väestön keskiarvo on

Mate odotus on keskimääräinen hyöty tietystä ratkaisusta edellyttäen, että samanlainen päätös voidaan tarkastella suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa.

Mate odotus on uhkapeliteoriassa voittojen määrä, jonka keinottelija voi ansaita tai menettää keskimäärin jokaisesta vedosta. Uhkapelien kielellä keinottelijat tätä kutsutaan joskus "etuksi". keinottelija"(Jos se on positiivinen keinottelijalle) tai" kasinoetu "(jos se on negatiivinen keinottelijalle).

Väestön keskiarvo on

Mate odotus on voitto per voitto kerrottuna keskiarvolla voitto, miinus tappio kerrottuna keskimääräisellä tappiolla.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus matemaattisessa teoriassa

Yksi satunnaismuuttujan tärkeistä numeerisista ominaisuuksista on odotusmatto. Otetaan käyttöön satunnaismuuttujien järjestelmän käsite. Tarkastellaan kokoelmaa satunnaismuuttujia, jotka ovat saman satunnaiskokeen tuloksia. Jos - yksi järjestelmän mahdollisista arvoista, niin tapahtuma vastaa tiettyä todennäköisyyttä, joka täyttää Kolmogorovin aksioomit. Satunnaismuuttujien mahdollisille arvoille määriteltyä funktiota kutsutaan yhteisjakaumalakiksi. Tämän toiminnon avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman todennäköisyydet. Erityisesti nivel laki satunnaismuuttujien jakaumat ja, jotka ottavat arvot joukosta ja, annetaan todennäköisyyksillä.

Termi "matto. Odotuksen esitteli Pierre Simon markiisi de Laplace (1795) ja se sai alkunsa käsitteestä "voiton odotusarvo", joka esiintyi ensimmäisen kerran 1600-luvulla uhkapeliteoriassa Blaise Pascalin ja Christian Huygensin kirjoituksissa. Ensimmäisen täydellisen teoreettisen käsityksen ja arvion tästä käsitteestä antoi kuitenkin Pafnutii Lvovich Chebyshev (1800-luvun puoliväli).

Laki satunnaislukuarvojen jakaumat (jakaumafunktio ja jakauman sarja tai todennäköisyystiheys) kuvaavat täysin satunnaismuuttujan käyttäytymistä. Mutta useissa ongelmissa riittää, että tiedetään jotkin tutkitun suuren numeeriset ominaisuudet (esimerkiksi sen keskiarvo ja mahdollinen poikkeama siitä), jotta voidaan vastata esitettyyn kysymykseen. Satunnaismuuttujien tärkeimmät numeeriset ominaisuudet ovat odotusarvo, varianssi, moodi ja mediaani.

Diskreetin satunnaismuuttujan odotus on sen mahdollisten arvojen tulojen summa vastaavilla todennäköisyyksillä. Joskus kaveri. odotusta kutsutaan painotetuksi keskiarvoksi, koska se on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo suurelle määrälle kokeita. Odotusmaton määritelmästä seuraa, että sen arvo ei ole pienempi kuin satunnaismuuttujan pienin mahdollinen arvo eikä suurempi kuin suurin. Satunnaismuuttujan odotus on ei-satunnainen (vakio) muuttuja.

Matemaattisella odotuksella on yksinkertainen fysikaalinen merkitys: jos asetamme yksikkömassan suoralle viivalle asettamalla massaa joihinkin pisteisiin (diskreetti jakauman saamiseksi) tai "siivoamalla" sille tietyllä tiheydellä (absoluuttisen jatkuvaa jakaumaa varten), niin matemaattista odotusta vastaava piste on koordinaatti "Painopiste" on suora.

Satunnaismuuttujan keskiarvo on tietty luku, joka on ikään kuin sen "edustaja" ja korvaa sen karkeissa likimääräisissä laskelmissa. Kun sanomme: "lampun keskimääräinen toiminta-aika on 100 tuntia" tai "iskun keskipiste on siirtynyt kohteeseen nähden 2 m oikealle", tarkoitamme tiettyä satunnaismuuttujan numeerista ominaisuutta, joka kuvaa sen sijainti numeerisella akselilla, ts "Aseman luonnehdinta".

Aseman ominaisuuksista todennäköisyysteoriassa tärkein rooli on satunnaismuuttujan odotuksella, jota joskus kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan keskiarvoksi.

Harkitse satunnaismuuttujaa X mahdollisilla arvoilla x1, x2, ..., xn todennäköisyyksien kanssa p1, p2, ..., pn... Meidän on karakterisoitava jollakin numerolla satunnaismuuttujan arvojen sijainti abskissa-akselilla ottaen huomioon että näillä arvoilla on erilaiset todennäköisyydet. Tätä tarkoitusta varten on luonnollista käyttää arvojen ns. "painotettua keskiarvoa". xi, ja jokainen xi:n arvo keskiarvon laskemisen aikana tulee ottaa huomioon "painolla", joka on verrannollinen tämän arvon todennäköisyyteen. Näin ollen laskemme satunnaismuuttujan keskiarvon X jota aiomme merkitä M | X |:

Tätä painotettua keskiarvoa kutsutaan odotusmatoksi. Olemme siis ottaneet huomioon yhden tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä - maton käsitteen. odotuksia. Matto. satunnaismuuttujan odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa näiden arvojen todennäköisyyksillä.

Matto. satunnaismuuttujan odotus X liittyy eräänlaiseen suhteeseen satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettiseen keskiarvoon suurella määrällä kokeita. Tämä riippuvuus on samaa tyyppiä kuin taajuuden ja todennäköisyyden välinen riippuvuus, nimittäin: suurella määrällä kokeita satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) mattoansa. odottaa. Frekvenssin ja todennäköisyyden välisen suhteen olemassaolosta voidaan päätellä samanlaisen suhteen olemassaolo aritmeettisen keskiarvon ja matemaattisen odotuksen välillä. Todellakin, harkitse satunnaismuuttujaa X tunnusomaista jakelusarja:

Anna sen tuottaa N riippumattomia kokeita, joista jokaisessa arvo X saa tietyn merkityksen. Oletetaan arvo x1 ilmestyi m1 kertaa, arvo x2 ilmestyi m2 kertaa, yleisesti ottaen xi ilmestyi mi kertaa. Lasketaan suuren X havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo, joka toisin kuin odotusmatto M | X | nimeämme M * | X |:

Kokeiden määrän lisääntyessä N taajuus pi lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) vastaavia todennäköisyyksiä. Näin ollen satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo M | X | kokeiden määrän kasvaessa se lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) odotuskumppaniaan. Yllä oleva yhteys aritmeettisen keskiarvon ja maton välillä. odotus muodostaa sisällön yhden suurten lukujen lain muodoista.

Tiedämme jo, että kaikki suurten lukujen lain muodot ilmaisevat sen tosiasian, että tietyt keskiarvot ovat stabiileja suurelle määrälle kokeita. Tässä puhutaan saman suuren havaintojen sarjan aritmeettisen keskiarvon stabiilisuudesta. Pienellä määrällä kokeita niiden tulosten aritmeettinen keskiarvo on satunnainen; kun kokeiden lukumäärää kasvaa riittävästi, siitä tulee "melkein satunnainen" ja stabiloituessaan lähestyy vakioarvoa - matto. odottaa.

Keskiarvojen stabiilisuusominaisuus suurella koemäärällä on helppo todentaa kokeellisesti. Esimerkiksi kehon punnitseminen laboratoriossa tarkat vaa'at, punnituksen tuloksena saamme joka kerta uuden arvon; havaintovirheen vähentämiseksi punnitsemme kehon useita kertoja ja käytämme saatujen arvojen aritmeettista keskiarvoa. On helppo vakuuttua siitä, että kokeiden (punnitusten) määrän lisääntyessä aritmeettinen keskiarvo reagoi tähän lisäykseen yhä harvemmin ja riittävän suurella koemäärällä se käytännössä lakkaa muuttumasta.

On huomattava, että satunnaismuuttujan sijainnin tärkein ominaisuus on matto. odotus - ei ole olemassa kaikille satunnaismuuttujille. Voit kirjoittaa esimerkkejä sellaisista satunnaismuuttujista, joille mat. ei ole odotuksia, koska vastaava summa tai integraali poikkeaa. Käytännössä tällaiset tapaukset eivät kuitenkaan ole merkittäviä. Yleensä käsittelemillämme satunnaismuuttujilla on rajoitettu valikoima mahdollisia arvoja, ja niillä on tietysti matemaattinen odotus.

Satunnaismuuttujan aseman tärkeimmän ominaisuuden - odotusmaton - lisäksi käytännössä käytetään joskus muitakin paikan ominaisuuksia, erityisesti satunnaismuuttujan moodia ja mediaania.

Satunnaismuuttujan moodi on sen todennäköisin arvo. Termi "todennäköisin arvo" koskee tarkasti ottaen vain epäjatkuvia määriä; jatkuvalle suurelle moodi on se arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin. Kuvat esittävät epäjatkuvien ja jatkuvien satunnaismuuttujien moodia, vastaavasti.

Jos jakautumispolygonilla (jakaumakäyrällä) on useampi kuin yksi maksimi, jakaumaa kutsutaan "polymodaaliksi".

Joskus on jakaumia, joilla on minimi, ei maksimi, keskellä. Tällaisia jakeluja kutsutaan "antimodaalisiksi".

Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan tila ja matemaattinen odotus eivät täsmää. Erityistapauksessa, kun jakauma on symmetrinen ja modaalinen (eli sillä on moodi) ja on matto. odotusarvo, silloin se osuu yhteen jakauman moodin ja symmetriakeskuksen kanssa.

Usein käytetään myös toista sijainnin ominaisuutta - niin sanottua satunnaismuuttujan mediaania. Tätä ominaisuutta käytetään yleensä vain jatkuville satunnaismuuttujille, vaikka muodollisesti se voidaan määrittää epäjatkuvalle muuttujalle. Geometrisesti mediaani on sen pisteen abskissa, jossa jakautumiskäyrän rajaama alue puolitetaan.

Symmetrisen modaalijakauman tapauksessa mediaani on sama kuin maton. odotukset ja muoti.

Odotusmatto on satunnaismuuttujan keskiarvo - satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman numeerinen ominaisuus. Yleisimmällä tavalla matematiikka on satunnaismuuttujan odotus X (w) määritellään Lebesguen integraaliksi suhteessa todennäköisyysmittaukseen R alkuperäisessä todennäköisyysavaruudessa:

Matto. odotus voidaan laskea myös Lebesguen integraalina X todennäköisyysjakauman mukaan px suuruusluokkaa X:

Luonnollisella tavalla voit määritellä käsitteen satunnaismuuttuja, jolla on ääretön odotusarvo. Tyypillinen esimerkki palvelemaan kotiuttamisaikoja joillakin satunnaisilla kävelyillä.

Maton käyttö. odotukset määräytyvät monien numeeristen ja toiminnalliset ominaisuudet jakaumat (satunnaismuuttujan vastaavien funktioiden matemaattisena odotuksena), esimerkiksi generoiva funktio, ominaisfunktio, minkä tahansa kertaluokan momentit, erityisesti varianssi, kovarianssi.

Väestön keskiarvo on

Odotusmatto on satunnaismuuttujan arvojen sijainnin ominaisuus (sen jakauman keskiarvo). Tässä ominaisuudessa matemaattinen odotus toimii eräänä "tyypillisenä" jakaumaparametrina ja sen rooli on samanlainen kuin staattisen momentin - massajakauman painopisteen koordinaatit - rooli mekaniikassa. Se eroaa muista sijainnin ominaisuuksista, joiden avulla jakaumaa kuvataan yleisellä tasolla, - mediaanit, moodit, odotus, siinä suuremmassa arvossa, joka sillä ja vastaavalla sirontaominaisuudella - dispersiolla - on todennäköisyyden rajalauseissa teoria. Suurimmalla täydellisyydellä odotusmatematiikan merkitys paljastuu suurten lukujen lain (Tšebyshevin epäyhtälön) ja vahvistetun suurten lukujen lain avulla.

Väestön keskiarvo on

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Olkoon jokin satunnaismuuttuja, joka voi ottaa yhden useista numeerisista arvoista (esimerkiksi pistemäärä noppaa heitettäessä voi olla 1, 2, 3, 4, 5 tai 6). Käytännössä tällaiselle arvolle herää usein kysymys: minkä arvon se saa "keskimäärin" suurella määrällä testejä? Mikä on keskimääräinen tulomme (tai tappiomme) kustakin riskialttiista toiminnasta?

Oletetaan, että siellä on jonkinlainen lotto. Haluamme ymmärtää, onko siihen osallistuminen (tai jopa toistuvasti, säännöllisesti) kannattavaa vai ei. Oletetaan, että joka neljäs voittolippu, palkinto on 300 ruplaa ja mikä tahansa lippu - 100 ruplaa. Äärimmäisen suurella osallistujamäärällä näin tapahtuu. Kolmessa neljäsosassa tapauksista häviämme, joka kolmas tappio maksaa 300 ruplaa. Joka neljännessä tapauksessa voitamme 200 ruplaa. (palkinto miinus kustannukset), eli neljästä osallistumisesta menetämme keskimäärin 100 ruplaa, yhdestä - keskimäärin 25 ruplaa. Kaiken kaikkiaan rauniomme keskihinta on 25 ruplaa lippua kohden.

Heitämme noppaa... Jos se ei ole huijausta (ei painopisteen muutosta jne.), kuinka monta pistettä meillä on keskimäärin kerrallaan? Koska jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen, otamme typerän aritmeettisen keskiarvon ja saamme 3,5. Koska tämä on KESKIARVO, ei tarvitse olla närkästynyt siitä, että mikään tietty heitto ei anna 3,5 pistettä - no, tällä kuutiolla ei ole reunaa tällaisella numerolla!

Tehdään nyt yhteenveto esimerkeistämme:

Katsotaanpa juuri esitettyä kuvaa. Vasemmalla on taulukko satunnaismuuttujan jakautumisesta. Arvo X voi ottaa yhden n:stä mahdollisesta arvosta (näkyy ylärivillä). Muita arvoja ei voi olla. Jokainen mahdollinen alla oleva arvo on merkitty sen todennäköisyydellä. Oikealla on kaava, jossa M (X) on mat. odottaa. Tämän arvon merkitys on, että suurella määrällä kokeita (suurella otoksella) keskiarvo vastaa juuri tätä odotusta.

Palataan samaan pelikuutioon. Matto. pistemäärän odotus heittäessä on 3,5 (laske itsesi kaavalla, jos et usko). Oletetaan, että heitit sen pari kertaa. He putosivat 4 ja 6. Keskimäärin se osoittautui 5, eli kaukana 3,5. He heittivät sen vielä kerran, putosivat 3, eli keskimäärin (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Jotenkin kaukana kaverista. odotuksia. Tee nyt tämä hullu kokeilu - pyöritä kuutiota 1000 kertaa! Ja jos keskiarvo ei ole täsmälleen 3,5, se on lähellä sitä.

Lasketaan matti. odottaa yllä olevaa lottoa. Levy näyttää tältä:

Sitten odotus on matematiikka, kuten yllä olemme todenneet .:

Toinen asia on, että olisi vaikea käyttää samaa "sormilla", ilman kaavaa, jos vaihtoehtoja olisi enemmän. Oletetaan, että sinulla oli 75 % hävinneistä lipuista, 20 % voittolipuista ja 5 % ylimääräisistä voittolipuista.

Nyt jotkut ominaisuudet ovat kumppanin odotuksia.

Matto. odotus on lineaarinen. Tämän todistaminen on yksinkertaista:

Vakiokerroin saa sijoittaa mattikyltin ulkopuolelle. odotukset, eli:

Tämä on odotusmaton lineaarisuusominaisuuden erikoistapaus.

Toinen seuraus maton lineaarisuudesta. odotukset:

eli kaveri. satunnaismuuttujien summan odotus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten summa.

Olkoon X, Y riippumattomia satunnaismuuttujia, sitten:

Tämä on myös helppo todistaa) XY itse on satunnaismuuttuja, vaikka alkuarvot voisivat kestää n ja m arvot vastaavasti XY voi ottaa nm-arvoja. jokainen arvo lasketaan sen perusteella, että riippumattomien tapahtumien todennäköisyydet kerrotaan. Tuloksena saamme tämän:

Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla on sellainen ominaisuus kuin jakautumistiheys (todennäköisyystiheys). Itse asiassa se luonnehtii tilannetta, että satunnaismuuttuja ottaa joitain arvoja reaalilukujoukosta useammin, jotkut harvemmin. Harkitse esimerkiksi seuraavaa kaaviota:

Tässä X on itse satunnaismuuttuja, f (x)- jakautumistiheys. Tämän kaavion perusteella kokeissa arvo X on usein lähellä nollaa oleva luku. Mahdollisuudet ylittää 3 tai olla vähemmän -3 melko puhtaasti teoreettista.

Jos jakautumistiheys tunnetaan, odotusmatematiikkaa etsitään seuraavasti:

Oletetaan esimerkiksi, että jakauma on tasainen:

Etsitään matto. odotus:

Tämä on täysin yhdenmukainen intuitiivisen ymmärryksen kanssa. Sanotaan, jos päästään tasaista jakelua useita satunnaisia reaalilukuja, kukin segmentistä |0; 1| , niin aritmeettisen keskiarvon tulee olla noin 0,5.

Diskreeteille satunnaismuuttujille soveltuvat odotusmaton ominaisuudet - lineaarisuus jne. pätevät myös tässä.

Matemaattisten odotusten ja muiden tilastollisten indikaattoreiden välinen suhde

V tilastollinen analyysin ohella matto-odotusten kanssa on olemassa toisistaan riippuvaisten indikaattoreiden järjestelmä, joka heijastaa ilmiöiden homogeenisuutta ja vakautta prosessit... Variaatioindikaattoreilla ei usein ole itsenäistä merkitystä, ja niitä käytetään tietojen lisäanalyysiin. Poikkeuksena on variaatiokerroin, joka luonnehtii tasaisuutta tiedot mikä on arvokasta tilastollinen ominaisuus.

Vaihtuvuuden tai stabiilisuuden aste prosessit tilastotieteessä voidaan mitata useilla indikaattoreilla.

Tärkein tunnusmerkki vaihtelua satunnaismuuttuja on Dispersio, joka liittyy läheisimmin ja suorimmin mattoon. odottaa. Tätä parametria käytetään aktiivisesti muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä (hypoteesitestauksessa, syy-seuraussuhteiden analysoinnissa jne.). Kuten keskimääräinen lineaarinen poikkeama, myös varianssi heijastaa leviämisen mittaa tiedot keskiarvon ympärillä.

On hyödyllistä kääntää viittojen kieli sanojen kieleksi. Osoittautuu, että varianssi on poikkeamien keskineliö. Toisin sanoen ensin lasketaan keskiarvo, sitten kunkin alkuperäisen ja keskiarvon välinen ero otetaan, neliötetään, lisätään ja jaetaan sitten perusjoukon arvojen lukumäärällä. Ero yksittäisen arvon ja keskiarvon välillä kuvastaa poikkeaman mittaa. Se on neliöity niin, että kaikista poikkeamista tulee yksinomaan positiivisia lukuja ja jotta vältetään positiivisten ja negatiivisten poikkeamien keskinäinen tuhoutuminen, kun ne summataan. Sitten lasketaan vain aritmeettinen keskiarvo poikkeamien neliöillä. Keskimääräiset - neliö - poikkeamat. Poikkeamat neliötetään ja keskiarvo otetaan huomioon. Ratkaisu maagiseen sanaan "varianssi" on vain kolmessa sanassa.

Kuitenkaan sen puhtaassa muodossa, kuten aritmeettinen keskiarvo, tai varianssia ei käytetä. Se on pikemminkin apu- ja väliindikaattori, jota käytetään muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä. Hänellä ei ole edes normaalia mittayksikköä. Kaavan perusteella tämä on alkuperäisen tiedon mittayksikön neliö.

Väestön keskiarvo on

Mittaataan satunnaismuuttuja N kertaa, esimerkiksi mittaamme tuulen nopeuden kymmenen kertaa ja haluamme löytää keskiarvon. Miten keskiarvo liittyy jakautumisfunktioon?

Tai heitetäänkö noppaa suuri määrä yhden kerran. Jokaisella heitolla noppaa putoavien pisteiden määrä on satunnaismuuttuja ja voi saada minkä tahansa luonnollisen arvon 1:stä 6:een. Kaikille nopanheitoille laskettu pudonneiden pisteiden aritmeettinen keskiarvo on myös satunnainen arvo, mutta suurille N se pyrkii hyvin tiettyyn numeroon - matti. odottaa Mx... Tässä tapauksessa Mx = 3,5.

Miten tämä arvo syntyi? Päästää sisään N koettelemuksia n1 kerran pudonnut 1 piste, n2 kertaa - 2 pistettä ja niin edelleen. Sitten tulosten määrä, joissa yksi piste pudotettiin, on:

Samoin tulosten osalta, kun heitetään 2, 3, 4, 5 ja 6 pistettä.

Oletetaan nyt, että tiedämme satunnaismuuttujan x jakaumat, eli tiedämme, että satunnaismuuttuja x voi saada arvot x1, x2, ..., xk todennäköisyyksillä p1, p2, ..., pk.

Satunnaismuuttujan x odotusarvo Mx on:

Matemaattinen odotus ei ole aina kohtuullinen arvio jostain satunnaismuuttujasta. Eli arvioimaan keskiarvoa palkat on viisaampaa käyttää mediaanin käsitettä, eli sellaista arvoa, että mediaania vähemmän saavien ihmisten määrä, palkkaa ja suuri, sama.

Todennäköisyys p1, että satunnaismuuttuja x on pienempi kuin x1/2, ja todennäköisyys p2, että satunnaismuuttuja x on suurempi kuin x1/2, ovat samat ja yhtä suuri kuin 1/2. Mediaania ei määritellä yksiselitteisesti kaikille jakaumille.

Vakio tai standardipoikkeama tilastoissa on se, missä määrin havainnointitiedot tai -joukot poikkeavat keskiarvosta. Se on merkitty kirjaimilla s tai s. Pieni keskihajonta osoittaa, että data on klusteroitunut keskiarvon ympärille, kun taas suuri keskihajonna osoittaa, että alkuperäinen data on kaukana siitä. Keskihajonta on neliöjuuri suuruus, jota kutsutaan varianssiksi. Se on keskiarvosta poikkeavien lähtötietojen neliöityjen erojen summan keskiarvo. Satunnaismuuttujan neliökeskipoikkeamaa kutsutaan varianssin neliöjuureksi:

Esimerkki. Testiolosuhteissa ammuttaessa maaliin laske satunnaismuuttujan varianssi ja keskihajonta:

Variaatio- vaihtelevuus, ominaisuuden arvon vaihtelevuus populaation yksiköissä. Tutkittavassa populaatiossa esiintyviä piirteen yksittäisiä numeerisia arvoja kutsutaan arvovaihtoehdoiksi. Keskiarvon puute täydet ominaisuudet Aggregaatit pakottavat täydentämään keskiarvoja indikaattoreilla, joiden avulla voimme arvioida näiden keskiarvojen tyypillisyyttä mittaamalla tutkittavan ominaisuuden vaihtelua (variaatiota). Variaatiokerroin lasketaan kaavalla:

Pyyhkäisymuunnelma(R) on erotus maksimi- ja minimiarvot ominaisuus tutkitussa populaatiossa. Tämä indikaattori antaa eniten yleinen idea tutkittavan ominaisuuden vaihtelevuudesta, kuten se osoittaa ero vain vaihtoehtojen raja-arvojen välissä. Riippuvuus piirteen ääriarvoista antaa vaihteluvälille epävakaan, satunnaisen luonteen.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama edustaa analysoidun populaation kaikkien arvojen absoluuttisten (moduulipoikkeamien) aritmeettista keskiarvoa niiden keskiarvosta:

Odotettu arvo uhkapeliteoriassa

Mate odotus on keskimääräinen rahasumma, jonka uhkapelikeinottelija voi voittaa tai hävitä tietyllä vedolla. Tämä on erittäin tärkeä käsite keinottelijalle, koska se on olennainen useimpien pelitilanteiden arvioinnissa. Odotusmatti on myös optimaalinen työkalu peruskorttien ja pelitilanteiden analysointiin.

Oletetaan, että pelaat kolikkoa ystäväsi kanssa ja panostat 1 dollarilla tasaisesti joka kerta riippumatta siitä, mitä tapahtuu. Tails - voitat, päät - häviät. Todennäköisyys saada pyrstöjä on yksi yhteen, ja panostat 1–1 dollarilla. Joten, mate odotuksesi on nolla, koska Matemaattisesti ottaen et voi tietää johdatko vai häviätkö kahden heiton jälkeen vai 200 jälkeen.

Tuntivoitto on nolla. Tuntivoitto on rahasumma, jonka odotat voittavan tunnissa. Voit heittää kolikon 500 kertaa tunnin sisällä, mutta et voita tai häviä, koska mahdollisuutesi eivät ole positiivisia tai negatiivisia. Vakavan keinottelijan näkökulmasta tällainen vedonlyöntijärjestelmä ei ole huono. Mutta tämä on vain ajanhukkaa.

Mutta oletetaan, että joku haluaa lyödä vetoa 2 dollaria 1 dollaria vastaan samassa pelissä. Sitten sinulla on välittömästi positiivinen odotus 50 senttiä jokaisesta vedosta. Miksi 50 senttiä? Keskimäärin voitat yhden vedon ja häviät toisen. Panosta ensimmäinen ja hävitä 1 dollari, panosta toinen ja voita 2 dollaria. Panostat 1 dollarilla kahdesti ja olet 1 dollarin edellä. Joten jokainen yhden dollarin veto antoi sinulle 50 senttiä.

Jos kolikko putoaa 500 kertaa tunnissa, tuntivoittosi on jo 250 dollaria, koska keskimäärin hävisit yhden kerrallaan dollari 250 kertaa ja voitti kahdella dollari 250 kertaa. 500 dollaria miinus 250 dollaria vastaa 250 dollaria, mikä on kokonaisvoitot. Huomaa, että odotusarvo, joka on summa, jonka voitit keskimäärin yhdellä vedolla, on 50 senttiä. Voitit 250 dollaria asettamalla dollaripanoksen 500 kertaa, mikä vastaa 50 senttiä panoksesta.

Väestön keskiarvo on

Matto. odotuksella ei ole mitään tekemistä lyhytaikaisten tulosten kanssa. Vastustajasi, joka päätti panostaa 2 dollaria sinua vastaan, saattoi voittaa sinut ensimmäisellä kymmenellä heitolla peräkkäin, mutta sinä etuna panostat 2-1, muiden asioiden ollessa sama, ansaitset kaikissa olosuhteissa 50 senttiä jokaisesta panos 1 dollari. Sillä ei ole väliä, voitatko vai häviätkö yhden vedon vai useita vetoja, mutta vain jos sinulla on tarpeeksi rahaa kompensoidaksesi kustannukset rauhallisesti. Jos jatkat vetoa samalla tavalla, voittosi kasvavat pitkällä aikavälillä odotustesi summan yksittäisissä heitoissa.

Joka kerta kun teet vedon parhaalla lopputuloksella (veto, joka voi olla kannattava pitkällä aikavälillä), kun todennäköisyys on sinun puolellasi, voitat varmasti siitä jotain, eikä sillä ole väliä hävitätkö sen vai et tässä kädessä. Toisaalta, jos teet vedon huonoimmalla lopputuloksella (veto, joka ei ole kannattava pitkällä aikavälillä), kun kertoimet eivät ole sinun eduksesi, menetät jotain riippumatta siitä, voitatko vai häviätkö käden.

Väestön keskiarvo on

Teet vedon parhaalla tuloksella, jos odotuksesi ovat positiiviset, ja se on positiivinen, jos kertoimet ovat puolellasi. Kun asetat vedon huonoimmalla tuloksella, sinulla on negatiivinen odotus, mikä tapahtuu, kun kertoimet ovat sinua vastaan. Vakavat keinottelijat lyövät vetoja vain parhaalla tuloksella; pahimmassa tapauksessa he luovuttavat. Mitä kertoimet tarkoittavat sinun eduksesi? Voit lopulta voittaa enemmän kuin todelliset kertoimet tuovat. Todelliset todennäköisyydet nousemiseen ovat 1:1, mutta saat 2:1 vetojen suhteen vuoksi. Tässä tapauksessa todennäköisyys on sinun puolellasi. Saat varmasti parhaan tuloksen positiivisella odotuksella, joka on 50 senttiä vetoa kohden.

Tässä on monimutkaisempi kaveriesimerkki. odotuksia. Ystäväsi kirjoittaa numerot yhdestä viiteen ja panostaa 5 dollarilla 1 dollaria vastaan, ettet määritä piilotettua numeroa. Pitäisikö sinun hyväksyä tällainen veto? Mitä tässä odotetaan?

Keskimäärin olet väärässä neljä kertaa. Tämän perusteella todennäköisyys sille, että voit arvata numeron, on 4:1. Todennäköisyys on, että menetät dollarin yhdellä yrityksellä. Voitat kuitenkin 5-1, jos voit hävitä 4-1. Joten kertoimet ovat sinun puolellasi, voit ottaa vedon ja toivoa parempaa lopputulosta. Jos asetat tämän vedon viisi kertaa, menetät keskimäärin neljä kertaa 1 dollarin ja voitat kerran 5 dollaria. Tämän perusteella ansaitset kaikista viidestä yrityksestä 1 dollarin positiivisella odotusarvolla 20 senttiä vetoa kohden.

Keinottelija, joka voittaa enemmän kuin lyö vetoa, kuten yllä olevassa esimerkissä, nappaa kertoimet. Toisaalta hän pilaa kertoimet, kun hän odottaa voittavansa vähemmän kuin lyö vetoa. Vedon asettavalla keinottajalla voi olla joko positiivinen tai negatiivinen odotus, mikä riippuu siitä, saako hän kiinni vai tuhoaako kertoimet.

Jos panostat 50 dollarilla voittaaksesi 10 dollaria voittotodennäköisyydellä 4:1, saat negatiivisen 2 dollarin odotuksen, koska voitat keskimäärin neljä kertaa 10 dollaria ja menetät 50 dollaria kerran, mikä osoittaa, että yhden vedon tappio on 10 dollaria. Mutta jos panostat 30 dollarilla voittaaksesi 10 dollaria samalla todennäköisyydellä voittaa 4-1, tässä tapauksessa sinulla on positiivinen odotus 2 dollaria, koska voitat jälleen neljä kertaa 10 dollarilla ja menetät kerran 30 dollaria, mikä on voitto 10 dollarilla. Nämä esimerkit osoittavat, että ensimmäinen veto on huono ja toinen hyvä.

Matto. odottaminen on kaiken keskiössä pelitilanne... Kun vedonvälittäjä rohkaisee jalkapallofaneja lyömään vetoa 11 dollarilla voittaakseen 10 dollaria, heillä on positiivinen odotus 50 sentistä jokaista 10 dollaria kohden. Jos kasino maksaa saman verran rahaa ohikulkevasta rivistä, kasinon positiivinen odotus on noin 1,40 dollaria jokaista 100 dollaria kohden, koska Tämä peli on rakennettu siten, että jokainen, joka lyö vetoa tällä linjalla, häviää keskimäärin 50,7% ja voittaa 49,3% koko ajasta. Epäilemättä juuri tämä näennäisen vähäinen positiivinen odotus tuo kolossaalisia voittoja kasinoiden omistajille ympäri maailmaa. Kuten Vegas World -kasinon omistaja Bob Stupak huomautti, "tuhannesosa prosenttia negatiivinen todennäköisyys riittävän pitkällä matkalla tuhoaa maailman rikkaimman miehen."

Matemaattiset odotukset pokeria pelatessa

Pokeripeli on paljastavin ja hyvä esimerkki matto-odotusten teorian ja ominaisuuksien käytön kannalta.

Matto. Odotettu arvo pokerissa on keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan harkita suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa. Onnistunut pokeripeli on sitä, että liikkeet hyväksytään aina positiivisin odotuksin.

Väestön keskiarvo on

Maton matemaattinen merkitys. Odotus pokeria pelatessa on, että kohtaamme usein satunnaismuuttujia päätöksiä tehdessämme (emme tiedä mitkä kortit ovat vastustajamme käsissä, mitkä kortit tulevat seuraavilla kierroksilla käydä kauppaa). Jokaista ratkaisua on tarkasteltava suurten lukujen teorian näkökulmasta, joka sanoo, että riittävän suurella otoksella satunnaismuuttujan keskiarvo pyrkii odotuksiinsa.

Yksityisistä kaavoista odotuskumppanin laskemiseen pokerissa soveltuvat parhaiten seuraavat:

Kun pelaat pokeria, matti. odotukset voidaan laskea sekä panoksille että maksuille. Ensimmäisessä tapauksessa tulee ottaa huomioon fold equity, toisessa - potin omat kertoimet. Mattoa arvioitaessa. Odotat siirtoa, muista, että luovutuksella ei ole aina odotuksia. Siten korttien hylkääminen on aina kannattavampi päätös kuin mikään negatiivinen liike.

Väestön keskiarvo on

Odotus kertoo, mitä voit odottaa (tai tappion) jokaisesta ottamasi riskistä. Kasinot tienaavat rahaa raha koska mate odottaa kaikkia pelejä, joita niissä harjoitetaan, kasinon hyväksi. Riittävän pitkällä pelisarjalla asiakkaan voidaan odottaa menettävän omansa raha koska "todennäköisyys" on kasinon hyväksi. Ammattimaiset kasinokeinottelijat kuitenkin rajoittavat pelinsä lyhyisiin aikoihin, mikä lisää kertoimia heidän edukseen. Sama pätee sijoittamiseen. Jos odotuksesi ovat positiiviset, voit ansaita lisää rahaa tehdä paljon kauppoja lyhyessä ajassa ajanjaksoa aika. Odotusarvo on prosenttiosuutesi voitoistasi kerrottuna keskimääräinen voitto, vähennettynä menetyksen todennäköisyydellä kerrottuna keskimääräisellä tappiolla.

Pokeria voidaan tarkastella myös matti-odotusten perusteella. Voit olettaa, että tietty liike on kannattava, mutta joissain tapauksissa se ei välttämättä ole paras, koska toinen liike on kannattavampi. Oletetaan, että osuit täyskäteen viiden kortin vetopokerissa. Vastustajasi lyö vetoa. Tiedät, että jos nostat tarjoustasi, hän vastaa. Siksi korottaminen näyttää parhaalta takilta. Mutta jos korotat panosta, kaksi jäljellä olevaa spekulaattoria kippaa varmasti. Mutta jos soitat, olet täysin varma, että kaksi muuta keinottelijaa tekevät samoin. Kun korotat panosta, saat yhden yksikön ja maksat kaksi. Näin ollen tasoitus antaa sinulle korkeammat positiiviset matemaattiset odotukset ja on paras taktiikka.

Matto. Odottaminen voi myös antaa käsityksen siitä, mitkä taktiikat ovat vähemmän hyödyllisiä pokerissa ja mitkä ovat enemmän. Esimerkiksi pelatessasi tiettyä kättä uskot, että tappiosi ovat keskimäärin 75 senttiä, mukaan lukien antet, niin tämä käsi tulee pelata, koska tämä on parempi kuin taittaa, kun ante on 1 dollari.

Toinen tärkeä syy kumppanin olemuksen ymmärtämiseen. odotus on, että se antaa sinulle mielenrauhan tunteen, voititko vedon vai et: jos panostit hyvin tai luovutit ajoissa, tiedät, että olet ansainnut tai säästänyt tietyn määrän rahaa, jonka heikompi keinottelija voisi ei säästä. Kippaaminen on paljon vaikeampaa, jos olet järkyttynyt siitä, että vastustajasi on tehnyt vahvemman yhdistelmän vaihdossa. Kaiken tämän ansiosta rahat, jotka säästät olemalla pelaamatta, panostamisen sijaan lisätään voittoihisi per yö tai kuukausi.

Muista vain, että jos vaihtaisit kättäsi, vastustajasi maksaisi sinulle, ja kuten näet artikkelista "Pokerin peruslause", tämä on vain yksi eduistasi. Sinun pitäisi olla onnellinen, kun tämä tapahtuu. Voit jopa oppia nauttimaan häviävästä kädestä, koska tiedät, että muut keinottelijat sinun sijassasi menettäisivät paljon enemmän.

Kuten alussa kolikkopelin esimerkissä mainittiin, tuntivoittosuhde liittyy odotuskumppaniin, ja tämä konsepti on erityisen tärkeä ammattimaisille keinottelijoille. Kun aiot pelata pokeria, sinun täytyy henkisesti arvioida, kuinka paljon voit voittaa pelitunnissa. Useimmissa tapauksissa sinun on turvauduttava intuitioon ja kokemukseesi, mutta voit myös käyttää matematiikkaa. Esimerkiksi pelaat lowball-vetoa ja näet kolmen pelaajan panostavan 10 dollaria ja vaihtavan sitten kaksi korttia, mikä on erittäin huono taktiikka. Saatat ajatella, että joka kerta kun panostavat 10 dollaria, he menettävät noin 2 dollaria. Jokainen heistä tekee sen kahdeksan kertaa tunnissa, mikä tarkoittaa, että kaikki kolme menettävät noin 48 dollaria tunnissa. Olet yksi jäljellä olevista neljästä keinottelijasta, jotka ovat suunnilleen samanarvoisia, joten näiden neljän keinottelijan (ja sinun joukossasi) on jaettava 48 dollaria, ja jokainen voitto on 12 dollaria tunnissa. Tuntihintasi on tässä tapauksessa yksinkertaisesti sinun osuutesi kolmen huonon keinottelijan tunnin aikana menettämästä rahamäärästä.

Väestön keskiarvo on

Pitkällä aikavälillä keinottelijan kokonaisvoitto on hänen yksittäisissä käsissä olevien matemaattisten odotustensa summa. Mitä enemmän pelaat positiivisilla odotuksilla, sitä enemmän voitat, ja päinvastoin, mitä enemmän negatiivisia odotuksia sisältäviä käsiä pelaat, sitä enemmän häviät. Tämän seurauksena sinun tulee valita peli, joka voi maksimoida positiiviset odotuksesi tai kumota negatiiviset, jotta voit maksimoida tuntivoittosi.

Positiivinen matemaattinen odotus pelistrategiassa

Jos osaat laskea kortit, sinulla voi olla etulyöntiasema kasinoon nähden, jos he eivät näe sitä ja potkaisit sinut ulos. Kasinot rakastavat humalaisia keinottelijoita eivätkä kestä korttilaskuja. Edun avulla voit voittaa ajan myötä lisää kertaa kuin hävitä. Hyvä rahanhallinta odotusmattolaskelmien avulla voi auttaa sinua saamaan enemmän irti eduistasi ja vähentämään tappioita. Ilman etua sinun on parempi lahjoittaa rahaa hyväntekeväisyyteen. Pörssipelissä etua antaa pelijärjestelmä, joka tuottaa enemmän voittoja kuin tappioita, ero hinnat ja palkkiot. Ei pääoman hallinta ei pelasta huonoa pelijärjestelmää.

Positiivinen odotus määritellään arvolla, joka on suurempi kuin nolla. Mitä suurempi tämä luku, sitä vahvempi on tilastollinen odotus. Jos arvo alle nolla, sitten matti. odotukset ovat myös negatiiviset. Mitä suurempi negatiivisen arvon moduuli on, sitä huonompi tilanne. Jos tulos on nolla, odotus on nollatulos. Voit voittaa vain, jos sinulla on positiivinen matemaattinen odotus, kohtuullinen pelijärjestelmä. Intuitiolla pelaaminen johtaa katastrofiin.

Matemaattinen odotus ja

Odotusmatto on melko laajalti kysytty ja suosittu tilastoindikaattori rahoitusalan pörssikaupan toteutuksessa markkinoilla... Ensinnäkin tätä parametria käytetään onnistumisen analysointiin. käydä kauppaa... Ei ole vaikea arvata sitä enemmän annettu arvo, sitä enemmän syytä pitää tutkittua kauppaa onnistuneena. Tietenkin analyysi tehdä työtä kauppiasta ei voida suorittaa käyttämällä pelkästään tätä parametria. Laskettu arvo kuitenkin yhdessä muiden laadunarviointimenetelmien kanssa tehdä työtä, voi parantaa merkittävästi analyysin tarkkuutta.

Kaupankäyntitilin valvontapalveluissa lasketaan usein odotusmatto, jonka avulla voit nopeasti arvioida talletuksella tehtyä työtä. Poikkeuksina voidaan mainita strategioita, jotka käyttävät kannattamattomien kauppojen "ulkoistumista". Kauppias onnea voi seurata jonkin aikaa, ja siksi hänen työssään ei ehkä ole lainkaan tappioita. Tässä tapauksessa ei voi navigoida pelkästään odotusten perusteella, koska työssä käytettyjä riskejä ei huomioida.

Kaupankäynnissä marketti expectation mate käytetään useimmiten kaupankäyntistrategian kannattavuutta tai tuloja ennakoitaessa kauppias edellisen tilastonsa perusteella kaupat.

Väestön keskiarvo on

Rahanhallinnan kannalta on erittäin tärkeää ymmärtää, ettei järjestelmää ole, kun tehdään kauppoja negatiivisilla odotuksilla. hallinta rahaa, joka voi varmasti tuottaa suuria voittoja. Jos jatkat pelaamista vaihto näissä olosuhteissa menetelmästä riippumatta hallinta rahalla menetät koko tilisi, oli se aluksi kuinka suuri tahansa.

Tämä aksiooma ei päde vain peleihin tai kauppoihin, joissa on negatiivinen odotus, se pätee myös peleihin, joissa on samat kertoimet. Siksi ainoa kerta, kun sinulla on mahdollisuus hyötyä pitkällä aikavälillä, on silloin, kun teet kauppoja positiivisella odotusarvolla.

Ero negatiivisen odotuksen ja positiivisen odotuksen välillä on ero elämän ja kuoleman välillä. Ei ole väliä kuinka positiivinen tai kuinka negatiivinen odotus on; Tärkeintä on, onko se positiivinen vai negatiivinen. Siksi ennen kuin harkitset hallintakysymyksiä iso alkukirjain sinun on löydettävä peli myönteisillä odotuksilla.

Jos sinulla ei ole tällaista peliä, mikään rahanhallinta maailmassa ei pelasta sinua. Toisaalta, jos sinulla on positiivinen odotus, voit hyvän rahanhallinnan avulla muuttaa sen eksponentiaaliseksi kasvufunktioksi. Ei ole väliä kuinka vähäinen tuo positiivinen odotus on! Toisin sanoen sillä ei ole väliä, kuinka kannattava yksittäinen sopimuskauppajärjestelmä on. Jos sinulla on järjestelmä, joka voittaa 10 dollaria per sopimus yhdessä kaupassa (palkkioiden ja lipsahduksen vähentämisen jälkeen), voidaan käyttää hallintatekniikoita iso alkukirjain tavalla, joka tekee siitä kannattavampaa kuin järjestelmä, jonka keskimääräinen voitto on 1 000 dollaria kauppaa kohden (palkkioiden ja lipsahduksen vähentämisen jälkeen).

Ratkaisevaa ei ole se, kuinka kannattava järjestelmä oli, vaan se, kuinka varmasti voidaan sanoa, että järjestelmä tuottaa jatkossa vähintään minimaalista voittoa. Siksi tärkein valmistelu, jonka voi tehdä, on varmistaa, että järjestelmä näyttää positiivista matemaattista odotusta tulevaisuudessa.

Jotta sinulla olisi myönteinen matemaattinen odotus tulevaisuudessa, on erittäin tärkeää olla rajoittamatta järjestelmäsi vapausasteita. Tämä saavutetaan paitsi eliminoimalla tai vähentämällä optimoitavien parametrien määrää, myös vähentämällä mahdollisimman monia järjestelmäsääntöjä. Jokainen lisäämäsi parametri, jokainen tekemäsi sääntö, jokainen pieni muutos, jonka teet järjestelmään, vähentää vapausasteiden määrää. Ihannetapauksessa sinun on rakennettava melko primitiivinen ja yksinkertainen järjestelmä joka tuottaa jatkuvasti pieniä voittoja lähes kaikilla markkinoilla. Jälleen on tärkeää, että ymmärrät, että sillä ei ole väliä kuinka kannattava järjestelmä on, kunhan se on kannattava. kaupankäynnissä ansaitsemasi ansaitset tehokkaan rahanhallinnan avulla.

Väestön keskiarvo on

Kaupankäyntijärjestelmä on yksinkertaisesti työkalu, joka antaa sinulle positiivisen matemaattisen odotuksen, jotta rahanhallintaa voidaan käyttää. Järjestelmät, jotka toimivat (näyttävät vähintään minimaalista voittoa) vain yhdellä tai muutamalla markkina-alueella tai joilla on erilaiset säännöt tai parametrit eri markkinoilla, eivät todennäköisesti toimi reaaliajassa tarpeeksi pitkään. Useimpien tekniikkataitoisten kauppiaiden ongelma on, että he käyttävät liian paljon aikaa ja vaivaa kaupankäyntijärjestelmän eri sääntöjen ja parametriarvojen optimointiin. Tämä antaa täysin päinvastaisia tuloksia. Energian tuhlaamisen sijaan ja tietokoneen aikaa lisätäksesi kaupankäyntijärjestelmän voittoja, suuntaa energiasi vähimmäisvoiton saamisen luotettavuuden lisäämiseen.

Sen tietäen pääoman hallinta on vain numeropeli, joka vaatii positiivisten odotusten käyttöä, elinkeinonharjoittaja voi lopettaa kaupankäynnin "pyhän maljan" etsimisen pörssissä. Sen sijaan hän voi alkaa testata kaupankäyntitapaansa, selvittää kuinka looginen tämä menetelmä on, antaako se positiivisia odotuksia. Oikeat rahanhallintamenetelmät, joita sovelletaan kaikkiin, jopa keskinkertaisiin kaupankäyntimenetelmiin, tekevät loput työstä itse.

Jotta jokainen elinkeinonharjoittaja menestyisi työssään, on välttämätöntä ratkaista kolme eniten tärkeitä tehtäviä:. Varmista, että onnistuneiden kauppojen määrä ylittää väistämättömät virheet ja virhearviot; Aseta kaupankäyntijärjestelmäsi niin, että mahdollisuus ansaita rahaa on mahdollisimman usein; Saavuttaaksesi toimintasi positiivisen tuloksen vakauden.

Ja tässä me, työssäkäyvät kauppiaat, voimme olla hyvänä apuna matissa. odotus. Tämä todennäköisyysteorian termi on yksi keskeisistä termeistä. Sen avulla voit antaa keskimääräisen arvion tietystä satunnaisarvosta. Mat satunnaismuuttujan odotus on samanlainen kuin painopiste, jos kuvittelemme kaikki mahdolliset todennäköisyydet pisteiksi, joilla on eri massat.

Kaupankäyntistrategian yhteydessä sen tehokkuuden arvioimiseksi käytetään useimmiten voiton (tai tappion) odotusmattoa. Tämä parametri määritellään tiettyjen voitto- ja tappiotasojen tulojen ja niiden toteutumisen todennäköisyyden summana. Esimerkiksi kehitetyssä kaupankäyntistrategiassa oletetaan, että 37% kaikista toiminnoista tuottaa voittoa ja loput - 63% - ovat tappiollisia. Lisäksi keskiarvo tulo onnistuneesta kaupasta on 7 dollaria, ja keskimääräinen tappio on 1,4 dollaria. Lasketaan matto. odottaa kauppaa tällaisella järjestelmällä:

Mitä tämä numero tarkoittaa? Siinä sanotaan, että tämän järjestelmän sääntöjä noudattaen saamme keskimäärin 1,708 dollaria jokaisesta suljetusta kaupasta. Koska saatu hyötysuhdearvio on suurempi kuin nolla, niin tällaista järjestelmää voidaan hyvin käyttää oikeaa työtä... Jos matin laskemisen seurauksena odotus osoittautuu negatiiviseksi, tämä puhuu jo keskimääräisestä tappiosta ja tämä johtaa tuhoon.

Kauppakohtaisen voiton suuruus voidaan ilmaista myös suhteellisena arvona muodossa %. Esimerkiksi:

Prosenttiosuus tuloista 1 tapahtumasta - 5%;

Onnistuneiden kaupankäyntitoimintojen prosenttiosuus - 62%;

Tappioprosentti per 1 kauppa - 3%;

Epäonnistuneiden kauppojen prosenttiosuus - 38%;

Tässä tapauksessa matti. odotus tulee olemaan:

Eli keskimääräinen kauppa tuottaa 1,96%.

On mahdollista kehittää järjestelmä, joka kannattamattomien kauppojen yleisyydestä huolimatta antaa positiivisen tuloksen, koska sen MO> 0.

Pelkkä odottaminen ei kuitenkaan riitä. On vaikea ansaita rahaa, jos järjestelmä tarjoaa hyvin vähän kaupankäyntisignaaleja. Tässä tapauksessa se on verrattavissa pankkikorkoon. Antakoon jokainen tapahtuma keskimäärin vain 0,50 dollaria, mutta entä jos järjestelmä olettaa 1000 tapahtumaa vuodessa? Tämä on erittäin vakava summa suhteellisen lyhyessä ajassa. Tästä seuraa loogisesti, että toinen tunnusmerkki hyvää kaupankäyntijärjestelmää voidaan harkita Lyhytaikainen asemien pitäminen.

Lähteet ja linkit

dic.academic.ru - Akateeminen Internet-sanakirja

mathematics.ru - matematiikan koulutussivusto

nsu.ru - Novosibirskin valtionyliopiston koulutussivusto

webmath.ru - koulutusportaali opiskelijoille, hakijoille ja koululaisille.

exponenta.ru matemaattinen opetussivusto

ru.tradimo.com - ilmainen online-kaupankäyntikoulu

crypto.hut2.ru - monitieteinen tietolähde

poker-wiki.ru - ilmainen pokerin tietosanakirja

sernam.ru - Tiedekirjasto valikoituja luonnontieteellisiä julkaisuja

reshim.su - verkkosivusto LET'S SOLVE kurssin ohjaustehtävät

unfx.ru - Forex UNFX:ssä: koulutus, kaupankäyntisignaalit, luottamuksen hallinta

- - matemaattinen odotus Yksi satunnaismuuttujan numeerisista ominaisuuksista, jota usein kutsutaan sen teoreettiseksi keskiarvoksi. Diskreetille satunnaismuuttujalle X matemaattinen ... ... Tekninen kääntäjän opas

ODOTETTU ARVO- (odotettu arvo) Taloudellisen muuttujan jakauman keskiarvo, jonka se voi ottaa. Jos рt on hyödykkeen hinta hetkellä t, sen matemaattinen odotus merkitään - Ept. Ilmoittaa ajankohdan, johon asti ... ... Taloussanakirja

Odotettu arvo- satunnaismuuttujan keskiarvo. Matemaattinen odotus on deterministinen arvo. Satunnaismuuttujan toteutumisten aritmeettinen keskiarvo on arvio matemaattisesta odotuksesta. Keskiverto… … Virallinen terminologia - satunnaismuuttujan (keskiarvo) on satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus. Jos todennäköisyysavaruudessa annettu satunnaismuuttuja (katso Todennäköisyysteoria), niin sen M. o. MX (tai EX) määritellään Lebesguen integraaliksi: missä ... Fyysinen tietosanakirja

ODOTETTU ARVO- satunnaismuuttuja on sen numeerinen ominaisuus. Jos satunnaismuuttujalla X on jakaumafunktio F (x), niin sen M. o. tulee: . Jos jakauma X on diskreetti, niin M. o .:, missä x1, x2, ... ovat diskreetin satunnaismuuttujan X mahdollisia arvoja; p1... Geologinen tietosanakirja

ODOTETTU ARVO- Englanti. odotettu arvo; Saksan kieli Erwartung matemaattinen. Satunnaismuuttujan stokastinen keskiarvo tai dispersion keskus. Antinazi. Sosiologian tietosanakirja, 2009... Sosiologian tietosanakirja

Odotettu arvo- Katso myös: Ehdollinen odotus Todennäköisyysteoriassa huomioidaan satunnaismuuttujan keskiarvon, satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman, matemaattinen odotus. Englanninkielisessä kirjallisuudessa ja matemaattisessa ... ... Wikipediassa

Odotettu arvo- 1.14 Matemaattinen odotus Е (X), jossa diskreetin satunnaismuuttujan xi arvot; p = P (X = xi); f (x) jatkuvan satunnaismuuttujan tiheys * Jos tämä lauseke on olemassa absoluuttisen konvergenssin merkityksessä Lähde ... Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

Kirjat

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Web-sivusto. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Tavoite 1. Vehnän siementen itämisen todennäköisyys on 0,9. Mikä on todennäköisyys, että neljästä kylvetystä siemenestä vähintään kolme itää?

Ratkaisu. Anna tapahtuman A- 4 siementä itää vähintään 3 siementä; tapahtuma V- 4 siementä itää 3 siementä; tapahtuma KANSSA- 4 siementä itää 4 siemenestä. Todennäköisyyksien summauslauseella

Todennäköisyydet
ja
määritetään seuraavassa tapauksessa käytetyllä Bernoullin kaavalla. Olkoon sarja P riippumattomia testejä, joista jokaisen tapahtuman todennäköisyys on vakio ja yhtä suuri R, ja todennäköisyys, että tätä tapahtumaa ei tapahdu, on
... Sitten todennäköisyys, että tapahtuma A v P testit näkyvät tarkasti kertaa Bernoullin kaavalla laskettuna

missä
- yhdistelmien lukumäärä P elementtejä ... Sitten

Todennäköisyyttä etsimässä

Tavoite 2. Vehnän siementen itämisen todennäköisyys on 0,9. Laske todennäköisyys, että 400 kylvetystä siemenestä itää 350 siementä.

Ratkaisu. Laske vaadittu todennäköisyys
Bernoullin kaavan käyttäminen on vaikeaa hankalista laskelmista johtuen. Siksi käytämme likimääräistä kaavaa, joka ilmaisee paikallisen Laplacen lauseen:

missä
ja
.

Ongelmalauseesta. Sitten

Haemme sovelluksia taulukosta 1. Haettu todennäköisyys on

Tavoite 3. 0,02 % vehnän siemenistä on rikkakasveja. Millä todennäköisyydellä löydetään 6 rikkakasvien siementä, jos satunnaisesti valitaan 10 000 siementä?

Ratkaisu. Paikallisen Laplace-lauseen soveltaminen pienestä todennäköisyydestä johtuen
johtaa merkittävään todennäköisyyden poikkeamiseen tarkka arvo
... Siksi pienille arvoille R laskea
Käytä asymptoottista Poisson-kaavaa

, missä .

Tätä kaavaa käytetään, kun
, ja sitä vähemmän R ja enemmän P, sitä tarkempi tulos.

Ongelman tilanteen mukaan
;
... Sitten

Tehtävä 4. Vehnän siementen itävyys on 90 %. Laske todennäköisyys, että 500 kylvetystä siemenestä itää 400–440 siementä.

Ratkaisu. Jos tapahtuman todennäköisyys A jokaisessa P testi on vakio ja tasainen R, sitten todennäköisyys
mikä tapahtuma A ainakin tällaisissa testeissä kertaa eikä enempää ajat määritetään Laplacen integraalilauseella seuraavalla kaavalla:

, missä

,
.

Toiminto
kutsutaan Laplace-funktioksi. Liitteet (taulukko 2) antavat tämän funktion arvot
... klo
toiminto
... klo negatiiviset arvot X koska Laplace-funktio on pariton
... Laplace-funktion avulla meillä on:

Ongelman tilanteen mukaan. Yllä olevia kaavoja käyttämällä löydämme
ja :

Tehtävä 5. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on annettu X:

Etsi: 1) matemaattinen odotus; 2) varianssi; 3) keskihajonta.

Ratkaisu. 1) Jos diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on annettu taulukosta

Kun ensimmäisellä rivillä on satunnaismuuttujan x arvot ja toisella - näiden arvojen todennäköisyydet, niin matemaattinen odotus lasketaan kaavalla

2) Dispersio
diskreetti satunnaismuuttuja X on satunnaismuuttujan matemaattisesta odotuksesta poikkeaman neliön matemaattinen odotus, ts.

Tämä arvo kuvaa poikkeaman neliön keskimääräistä odotettua arvoa X alkaen
... Viimeisestä kaavasta, joka meillä on

Varianssi
voidaan löytää toisella tavalla seuraavan ominaisuuden perusteella: varianssi
on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan neliön matemaattisen odotuksen välinen erotus X ja sen matemaattisen odotuksen neliö
, tuo on

Laskea
muodostamme seuraavan määrän jakautumislain
:

3) Satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen hajoamisen luonnehtimiseksi sen keskiarvon ympärillä otetaan käyttöön keskihajonta
Satunnaismuuttuja X yhtä suuri kuin varianssin neliöjuuri
, tuo on

Tästä kaavasta meillä on:

Tehtävä 6. Jatkuva satunnaismuuttuja X kumulatiivisen jakaumafunktion antama

Etsi: 1) differentiaalijakaumafunktio
; 2) matemaattinen odotus
; 3) varianssi
.

Ratkaisu. 1) Differentiaalijakaumafunktio
jatkuva satunnaismuuttuja X on kumulatiivisen jakaumafunktion derivaatta
, tuo on

Haettu differentiaalifunktio on seuraava:

2) Jos jatkuva satunnaismuuttuja X funktion antama
, niin sen matemaattinen odotus määräytyy kaavan mukaan

Toiminnosta lähtien
klo
ja klo
on yhtä suuri kuin nolla, niin viimeisestä kaavasta, joka meillä on

3) Dispersio
määritelty kaavalla

Tehtävä 7. Kappaleen pituus on normaalijakautuma satunnaismuuttuja, jonka matemaattinen odotusarvo on 40 mm ja keskihajonnan 3 mm. Etsi: 1) todennäköisyys, että mielivaltaisesti valitun osan pituus on yli 34 mm ja pienempi kuin 43 mm; 2) todennäköisyys, että osan pituus poikkeaa matemaattisesta odotuksestaan enintään 1,5 mm.

Ratkaisu. 1) Anna X- osan pituus. Jos satunnaismuuttuja X differentiaalifunktion antama
, sitten se todennäköisyys X ottaa segmenttiin kuuluvat arvot
, määritetään kaavalla