Các dạng mô hình toán học. Phân loại mô hình toán học tùy thuộc vào toán tử mô hình Phân loại và ví dụ về mô hình toán học

Mô hình toán học là sự đơn giản hóa một tình huống thực tế và là một đối tượng trừu tượng, được mô tả chính thức, việc nghiên cứu nó có thể thực hiện được bằng nhiều phương pháp toán học khác nhau.

Coi như phân loại các mô hình toán học.

Các mô hình toán học được chia:

1. Tùy thuộc vào bản chất của các thuộc tính hiển thị của đối tượng:

· chức năng;

· cấu trúc.

Mô hình toán học chức năngđược thiết kế để hiển thị thông tin, các quá trình vật lý, thời gian xảy ra trong thiết bị vận hành, trong quá trình thực hiện các quy trình công nghệ, v.v.

Theo cách này, mô hình chức năng- hiển thị các quá trình hoạt động của đối tượng. Chúng thường có dạng một hệ phương trình.

Mô hình cấu trúc- Có thể ở dạng ma trận, đồ thị, danh sách các vectơ và thể hiện sự sắp xếp lẫn nhau của các phần tử trong không gian. Các mô hình này thường được sử dụng trong các trường hợp khi các vấn đề của tổng hợp cấu trúc có thể được đặt ra và giải quyết, trừu tượng hóa các quá trình vật lý trong đối tượng. Chúng phản ánh các đặc tính cấu trúc của đối tượng được thiết kế.

Một nhóm các phương pháp được gọi là mô hình giản đồ - Đây là những phương pháp phân tích bao gồm một biểu diễn đồ họa về hoạt động của hệ thống. Ví dụ: lộ trình, sơ đồ, sơ đồ hoạt động đa chức năng và lưu đồ.

2. Bằng các phương pháp thu được các mô hình toán học hàm số:

· lý thuyết;

· chính thức;

· theo kinh nghiệm.

Lý thuyết dựa trên việc nghiên cứu các quy luật vật lý. Cấu trúc của các phương trình và các tham số của mô hình có một cách giải thích vật lý nhất định.

Chính thức thu được trên cơ sở biểu hiện các thuộc tính của đối tượng được mô hình hóa trong môi trường bên ngoài, tức là coi đối tượng như một "hộp đen" điều khiển học.

Cách tiếp cận lý thuyết giúp có thể thu được các mô hình phổ biến hơn, có giá trị đối với các phạm vi biến thiên rộng hơn của các tham số bên ngoài.

Chính thức - chính xác hơn tại điểm trong không gian tham số mà tại đó các phép đo được thực hiện.

Các mô hình toán học thực nghiệmđược tạo ra từ kết quả của các thí nghiệm (nghiên cứu các biểu hiện bên ngoài của các thuộc tính của một đối tượng bằng cách đo các thông số của nó ở đầu vào và đầu ra) và xử lý kết quả của chúng bằng phương pháp thống kê toán học.

3. Tùy thuộc vào tính tuyến tính và phi tuyến tính của các phương trình:

· tuyến tính;

· phi tuyến tính.

4. Tùy thuộc vào tập miền xác định và giá trị của các biến của mô hình, có:

· tiếp diễn

· rời rạc (các miền định nghĩa và giá trị là liên tục);

· liên tục-rời rạc (miền xác định là liên tục và phạm vi giá trị là rời rạc). Những mẫu này đôi khi được gọi là lượng tử hóa;

· rời rạc-liên tục (miền định nghĩa là rời rạc và phạm vi giá trị là liên tục). Những mô hình này được gọi là rời rạc;

· điện tử (các miền của định nghĩa và giá trị là rời rạc)

5. Bằng hình thức liên kết giữa các thông số đầu ra, bên trong và bên ngoài:

· thuật toán;

· phân tích;

· số.

Thuật toánđược gọi là các mô hình được trình bày dưới dạng thuật toán mô tả một chuỗi các hoạt động được diễn giải rõ ràng được thực hiện để thu được kết quả mong muốn.

Mô hình toán học thuật toán thể hiện mối quan hệ giữa các tham số đầu ra với các tham số đầu vào và bên trong dưới dạng một thuật toán.

Các mô hình toán học giải tích như một mô tả chính thức hóa của một đối tượng (hiện tượng, quá trình) được gọi là các biểu thức toán học rõ ràng của các tham số đầu ra như là các hàm của tham số đầu vào và tham số bên trong.

Mô hình phân tích dựa trên mô tả gián tiếp của đối tượng được mô hình hóa bằng cách sử dụng một tập hợp các công thức toán học. Ngôn ngữ mô tả phân tích bao gồm các nhóm yếu tố ngữ nghĩa chính sau: tiêu chí (tiêu chí), ẩn số, dữ liệu, phép toán, ràng buộc. Đặc điểm cơ bản nhất của các mô hình phân tích là mô hình không tương đồng về cấu trúc với đối tượng mô hình. Sự giống nhau về cấu trúc ở đây được hiểu là sự tương ứng rõ ràng giữa các phần tử và liên kết của mô hình với các phần tử và liên kết của đối tượng được mô hình hóa. Mô hình phân tích bao gồm các mô hình dựa trên bộ máy lập trình toán học, phân tích tương quan và hồi quy. Mô hình phân tích luôn là một cấu trúc có thể được phân tích và giải quyết bằng toán học. Vì vậy, nếu sử dụng bộ máy lập trình toán học, thì mô hình về cơ bản bao gồm một hàm mục tiêu và một hệ thống các ràng buộc đối với các biến. Hàm mục tiêu, như một quy luật, thể hiện đặc tính của một đối tượng (hệ thống) cần được tính toán hoặc tối ưu hóa. Đặc biệt, đó có thể là năng suất của hệ thống công nghệ. Các biến thể hiện các đặc tính kỹ thuật của một đối tượng (hệ thống), kể cả những biến số, các giới hạn là giá trị giới hạn cho phép của chúng.

Mô hình phân tích là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa các quá trình xảy ra trong hệ thống công nghệ, cũng như tối ưu hóa và tính toán các đặc tính của chính hệ thống công nghệ.

Một điểm quan trọng là kích thước của một mô hình phân tích cụ thể. Thông thường, đối với các hệ thống công nghệ thực tế (dây chuyền tự động, hệ thống sản xuất linh hoạt), kích thước của các mô hình phân tích của chúng rất lớn nên việc thu được một giải pháp tối ưu trở nên rất khó khăn theo quan điểm tính toán. Trong trường hợp này, các kỹ thuật khác nhau được sử dụng để tăng hiệu quả tính toán. Một trong số chúng được kết nối với việc tách một bài toán có kích thước lớn thành các bài toán con có kích thước nhỏ hơn để các giải pháp tự trị của các bài toán con theo một trình tự nhất định đưa ra giải pháp cho vấn đề chính. Trong trường hợp này, các vấn đề nảy sinh trong việc tổ chức sự tương tác của các nhiệm vụ con, không phải lúc nào cũng đơn giản. Một kỹ thuật khác liên quan đến việc giảm độ chính xác của các phép tính, do đó có thể giảm thời gian giải bài toán.

Mô hình phân tích có thể được khảo sát bằng các phương pháp sau:

· phân tích, khi họ cố gắng đạt được dạng tổng quát các phụ thuộc cho các đặc tính cần thiết;

· số, khi họ tìm cách thu được kết quả số cho dữ liệu ban đầu cụ thể;

· định tính, khi có nghiệm ở dạng tường minh, người ta có thể tìm thấy một số tính chất của nghiệm (ước lượng độ ổn định của nghiệm).

Tuy nhiên, mô hình phân tích cho kết quả tốt trong trường hợp hệ thống khá đơn giản. Trong trường hợp hệ thống phức tạp, cần phải đơn giản hóa đáng kể mô hình ban đầu để nghiên cứu ít nhất các thuộc tính chung của hệ thống. Điều này cho phép bạn thu được các kết quả chỉ định và để xác định các ước tính chính xác hơn, hãy sử dụng các phương pháp khác, ví dụ: mô hình hóa mô phỏng.

Mô hình sốđược đặc trưng bởi sự phụ thuộc của loại này, chỉ cho phép các giải pháp thu được bằng phương pháp số đối với các điều kiện ban đầu cụ thể và các thông số định lượng của mô hình.

6. Tùy thuộc vào việc các phương trình của mô hình có tính đến quán tính của các quá trình trong đối tượng hay không tính đến:

· năng động hoặc là mô hình quán tính(được viết dưới dạng phương trình vi phân hoặc tích phân hoặc hệ phương trình) ;

· tĩnh hoặc là mô hình phi quán tính(viết dưới dạng phương trình đại số hoặc hệ phương trình đại số).

7. Tùy thuộc vào sự hiện diện hoặc không có độ không đảm bảo và loại độ không đảm bảo, các mô hình là:

· xác định e (không có bất trắc);

· ngẫu nhiên (có sự không chắc chắn dưới dạng các biến ngẫu nhiên hoặc các quá trình được mô tả bằng phương pháp thống kê dưới dạng luật hoặc hàm phân phối, cũng như các đặc trưng số);

· mờ (để mô tả độ không đảm bảo, bộ máy của lý thuyết tập mờ được sử dụng);

· kết hợp (cả hai dạng không chắc chắn đều có mặt).

Trong trường hợp tổng quát, dạng của một mô hình toán học không chỉ phụ thuộc vào bản chất của vật thể thực mà còn phụ thuộc vào các bài toán cho lời giải mà nó được tạo ra, và độ chính xác cần thiết của lời giải của chúng.

Các loại mô hình chính được trình bày trong Hình 2.5.

Chúng ta hãy xem xét một phân loại nữa của các mô hình toán học. Sự phân loại này dựa trên khái niệm về khả năng kiểm soát. Chúng tôi sẽ chia tất cả MM có điều kiện thành bốn nhóm.1.Prediction mô hình (mô hình tính toán không có điều khiển). Chúng có thể được chia thành tĩnh và năng động Mục đích chính của các mô hình này: biết trạng thái ban đầu và thông tin về hành vi ở ranh giới, để dự đoán hành vi của hệ thống theo thời gian và không gian. Các mô hình như vậy cũng có thể là ngẫu nhiên. Theo quy luật, các mô hình dự báo được mô tả bằng các phương trình và bất phương trình đại số, siêu nghiệm, vi phân, tích phân, tích phân-vi phân. Ví dụ như các mô hình phân bố nhiệt, điện trường, động học hóa học, thủy động lực học, khí động học, v.v. 2. Các mô hình tối ưu hóa. Các mô hình này cũng có thể được chia thành tĩnh và năng động. Mô hình tĩnh được sử dụng ở cấp độ thiết kế của các hệ thống công nghệ khác nhau. Năng động - cả ở cấp độ thiết kế và chủ yếu là để kiểm soát tối ưu các quá trình khác nhau - công nghệ, kinh tế, v.v. Có hai hướng trong các bài toán tối ưu hóa. Đầu tiên bao gồm nhiệm vụ xác định... Tất cả thông tin đầu vào trong chúng hoàn toàn có thể xác định được. Hướng thứ hai liên quan đến Các quy trình ngẫu nhiên... Trong các bài toán này, một số tham số là ngẫu nhiên hoặc chứa yếu tố không chắc chắn. Ví dụ, nhiều bài toán tối ưu hóa các thiết bị tự động chứa các tham số ở dạng nhiễu ngẫu nhiên với một số đặc tính xác suất. Các bài toán lập trình toán học là một trong những bài toán tối ưu hóa quan trọng nhất. Trong lập trình toán học, các phần chính sau đây được phân biệt.· Lập trình tuyến tính ... Hàm mục tiêu là tuyến tính và tập hợp cực trị của hàm mục tiêu được cho bởi một hệ thống bất đẳng thức và bất đẳng thức tuyến tính.· Lập trình phi tuyến tính ... Hàm mục tiêu là các ràng buộc phi tuyến và phi tuyến.· Lập trình lồi ... Hàm mục tiêu là hàm lồi và một tập lồi mà trên đó bài toán cực trị được giải quyết.· Lập trình bậc hai ... Hàm mục tiêu là bậc hai và các ràng buộc là tuyến tính.· Nhiều nhiệm vụ khắc nghiệt. Các vấn đề trong đó hàm mục tiêu có một số cực trị cục bộ. Những nhiệm vụ như vậy dường như rất có vấn đề.· Lập trình số nguyên. Trong các bài toán như vậy, các điều kiện số nguyên được áp đặt cho các biến.

Cơm. 4.8. Phân loại mô hình toán học

Theo quy luật, các phương pháp phân tích cổ điển để tìm cực trị của một hàm một số biến không thể áp dụng cho các bài toán lập trình toán học. Mô hình lý thuyết điều khiển tối ưu là một trong những mô hình quan trọng nhất trong các mô hình tối ưu hóa. Lý thuyết toán học về điều khiển tối ưu thuộc một trong những lý thuyết có ứng dụng thực tế quan trọng, chủ yếu để điều khiển tối ưu các quá trình. Có ba loại mô hình toán học của lý thuyết điều khiển tối ưu.· Các mô hình điều khiển tối ưu rời rạc. Theo truyền thống, các mô hình như vậy được gọi là mô hình lập trình động, vì phương pháp chính để giải quyết các vấn đề đó là phương pháp lập trình động Bellman.· Các mô hình liên tục của điều khiển tối ưu hệ thống với các tham số gộp (được mô tả bằng các phương trình trong đạo hàm thông thường).· Các mô hình liên tục của điều khiển tối ưu hệ thống có tham số phân tán (được mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng).3. Mô hình điều khiển từ (game). Mô hình điều khiển từ được sử dụng để phân tích các tình huống xung đột. Giả định rằng một quá trình động được xác định bởi một số tác nhân, những người có một số tham số kiểm soát theo ý của họ. Cả một nhóm đối tượng với lợi ích riêng của họ đều gắn liền với hệ thống điều khiển học. 4. Mô hình hóa mô phỏng ... Các loại mô hình được mô tả ở trên không bao gồm một số lượng lớn các tình huống khác nhau, như vậy có thể được chính thức hóa đầy đủ. Để nghiên cứu các quá trình như vậy, cần phải bao gồm một liên kết "sinh học" đang hoạt động - một con người - trong mô hình toán học. Trong những tình huống như vậy, mô phỏng được sử dụng, cũng như các phương pháp kiểm tra và thủ tục thông tin.

Các mô hình toán học tạo thành một phần trừu tượng của phổ (Hình 7.2), để thuận tiện cho việc sử dụng chúng trong các ngành khác nhau, bao gồm cả hậu cần, chúng được phân loại theo sáu đặc điểm tiêu biểu nhất:

Phương pháp lấy mô hình;

Cách mô tả hoặc biểu diễn một đối tượng hoặc các thuộc tính của nó;

Phương pháp chính thức hóa một đối tượng hoặc các thuộc tính của nó;

Tư cách thành viên ở cấp thứ bậc;

Quy mô của mô tả một đối tượng hoặc các thuộc tính của nó;

Mức độ phức tạp của việc mô tả một đối tượng hoặc các thuộc tính của nó.

Quaphương pháp thu được mô hình được chia thành lý thuyết , thần kinh (perceptron) và theo kinh nghiệm .

Các mô hình lý thuyếtđược tính toán dựa trên kiến ​​thức về các quy luật cơ bản của cơ học cổ điển, điện động lực học, hóa học, v.v. Các mô hình thu được từ thực tế cuộc sống trên cơ sở xử lý thống kê các kết quả quan sát tạo thành một nhóm các mô hình thực nghiệm. Vấn đề xây dựng một mô hình thực nghiệm bao gồm việc lựa chọn hình thức của mô hình này, phù hợp, cũng như mức độ phức tạp hợp lý của nó, tương thích với các dữ liệu thực nghiệm có sẵn.

Trong những năm gần đây, mô hình nơron (perceptron) ngày càng trở nên quan trọng trong lĩnh vực mô hình hóa các quá trình kinh tế. Mô hình nơ-ron (perceptron) bao gồm các phần tử giống nơ-ron nhị phân và có cấu trúc liên kết đơn giản.

Bản thân perceptron bao gồm một ma trận các đầu vào nhị phân (tế bào thần kinh cảm giác hoặc võng mạc, nơi hình ảnh đầu vào được cung cấp), một tập hợp các phần tử giống thần kinh nhị phân với các kết nối cố định với các tập con của võng mạc, một phần tử giống thần kinh nhị phân với các kết nối được sửa đổi trong các vị ngữ (yếu tố, quyết định).

Trước đây, perceptron được sử dụng để giải quyết vấn đề phân loại tự động, nói chung, nó bao gồm việc phân chia không gian đặc trưng giữa một số lớp nhất định. Trong điều kiện ngày nay, ở cấp độ mạng nơ ron, có thể giải quyết vấn đề dự báo logistic, được chính thức hóa thông qua bài toán nhận dạng mẫu.

Hãy xem xét ví dụ sau. Dữ liệu về nhu cầu hiện tại đối với các sản phẩm của công ty trong sáu năm (Ac = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Để chính thức hóa nhiệm vụ, chúng tôi sử dụng phương pháp cửa sổ. Đặt kích thước của cửa sổ η = 3, T= 1 và mức độ kích thích của phần tử giống thần kinh s = 1. Tiếp theo, sử dụng phương pháp cửa sổ với các tham số đã được cố định n, t, s mẫu đào tạo sau được tạo cho mạng nơ-ron:

Như bạn có thể thấy, mỗi vectơ tiếp theo được hình thành do chuyển cửa sổ W và và W 0 ở bên phải một phần tử (S= 1). Trong trường hợp này, giả định rằng có những phụ thuộc ẩn trong chuỗi thời gian như một tập hợp các quan sát.

Mạng nơ-ron, học dựa trên những quan sát này và điều chỉnh các hệ số của nó cho phù hợp, cố gắng trích xuất các mẫu này và tạo thành, kết quả là, hàm dự báo được mong đợi, tức là "xây dựng" mô hình . Dự báo được thực hiện theo nguyên tắc giống như việc hình thành một mẫu đào tạo.

Theo cách đối tượng được mô tả Các mô hình được chia như sau:

1) đại số;

2) hồi quy-tương quan;

3) xác suất-thống kê, kết hợp các mô hình lý thuyết về hàng đợi, mô hình cổ phiếu và mô hình thống kê;

4) lập trình toán học - lập trình tuyến tính, mạng (luồng).

Về nhóm mô hình đầu tiên - đại số , cần phải lập tức bảo lưu rằng họ, về bản chất, đối với các nhà hậu cần là phụ trợ để đưa ra quyết định đúng đắn. Mô hình đại số thường được sử dụng trong các nhiệm vụ như phân tích điểm tới hạn và phân tích chi phí - lợi ích.

Mô hình tương quan hồi quy , đại diện cho nhóm thứ hai, là sự tổng quát của các mô hình thống kê và ngoại suy và được sử dụng để mô tả các chi tiết cụ thể của một đối tượng hoặc các thuộc tính của nó.

Nhóm thứ ba bao gồm mô hình thống kê xác suất , dựa trên các hiện tượng và giả thuyết về phenological. Các mô hình này có thể là xác định hoặc ngẫu nhiên. Vì vậy, ví dụ, sự phụ thuộc V = φ (Χ), được thiết lập dựa trên kết quả quan sát các biến ngẫu nhiên X và V phương pháp bình phương nhỏ nhất là một mô hình xác định. Nếu chúng ta tính đến độ lệch ngẫu nhiên của các điểm thí nghiệm so với đường cong quan sát được do kết quả của các thí nghiệm Y = φ (X) và viết sự phụ thuộc của B vào X dưới dạng B = φ (Χ)+ Ζ (ở đâu Ζ - một số biến ngẫu nhiên), sau đó chúng ta nhận được một mô hình ngẫu nhiên trong biểu thức lý tưởng của nó.

Trong trường hợp này, số lượng X và V có thể là cả vô hướng và vectơ. Chức năng φ (Χ) có thể là một tổ hợp tuyến tính của các hàm này hoặc một hàm phi tuyến nhất định, các tham số của chúng được xác định bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.

Mô hình lập trình tuyến tính ngày càng được sử dụng nhiều hơn để giải quyết các vấn đề hậu cần.

Bất cứ ai quen thuộc với lập trình toán học đều biết rằng thực tế là không thể giải được nó ở dạng tổng quát. Tuy nhiên, phát triển nhất trong lập trình toán học là các bài toán lập trình tuyến tính.

Trong các bài toán lập trình tuyến tính, hàm mục tiêu là tuyến tính, và các điều kiện ràng buộc bao gồm các đẳng thức tuyến tính và bất đẳng thức tuyến tính; các biến có thể có hoặc không tuân theo yêu cầu bất biến.

Để chứng minh sự đơn giản của việc giải các bài toán logistic bằng cách sử dụng lập trình tuyến tính, chúng ta chuyển sang hai bài toán nổi tiếng:

Đầu tiên là về người bà đi chợ bán những con vật nuôi trong sân nhà mình trong năm;

Thứ hai là về chế độ dinh dưỡng.

Nhiệm vụ đầu tiên (về người bà)

Bản chất của vấn đề này nằm ở việc tìm được câu trả lời cho một câu hỏi đơn giản: "Bà nên lấy bao nhiêu tiền bán ngan, vịt, gà sống trên thị trường để doanh nghiệp nhận được doanh thu lớn nhất, với điều kiện có thể cung cấp vật nuôi có trọng lượng không lớn. nhiều hơn R kg? ". Trong trường hợp này, những điều sau được biết đến:

Khối lượng gà (t,), vịt ( T 2 ) và ngỗng (t3)

Giá gà (c7), vịt (c2) và ngỗng (c3).

Xem xét một thuật toán để giải quyết vấn đề.

1. Để giải quyết vấn đề, chúng ta ký hiệu số gà tương ứng - X 1 con vịt - X 2, ngỗng - X 3 được bà ngoại dắt đi chợ bán.

2. Hãy soạn hàm mục tiêu của nhiệm vụ này:

3. Hãy để chúng tôi mô tả những hạn chế đối với giải pháp của vấn đề.

Khối lượng hàng lớn, bà con có thể đồng thời giao đến chợ, không được vượt quá R kg:

Giá trị và phải là số nguyên dương (), nghĩa là:

Sau khi hoàn thành ba bước được mô tả, chúng tôi nhận được một bài toán lập trình tuyến tính. Thay thế các giá trị ban đầu x, t, s và R, chúng tôi tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi được đặt ra.

Nhiệm vụ thứ hai (về dinh dưỡng)

Quán cà phê "Bistro" mua các sản phẩm thực phẩm từ cửa hàng mỗi ngày để chuẩn bị một số món ăn nhất định cho khách của mình. Chế độ ăn uống chứa ba chất dinh dưỡng khác nhau ( b) và cần chúng, tương ứng, ít nhất b 1, b 2, b 3 đơn vị. Cửa hàng bán năm loại sản phẩm khác nhau X 1 - X 5 cho giá, tương ứng S-I - s 5.

Mỗi đơn vị của sản phẩm i-th có dạng ( X i) chứa Một và đơn vị j j-th chất dinh dưỡng, ví dụ, Một 2 Với cho thấy rằng trong đơn vị của sản phẩm thứ hai của chất dinh dưỡng thứ ba sẽ có Một 23 chiếc.

Do quán cà phê hoạt động bao quanh bởi các đối thủ cạnh tranh, nên cần xác định chính xác số lượng sản phẩm của từng loại X 1 - x 5 đáng mua. Trong trường hợp này, các điều kiện sau phải được đáp ứng:

1) giá thành sản phẩm là tối thiểu;

2) để chế độ ăn uống chứa tất cả các chất dinh dưỡng cần thiết với số lượng phù hợp.

Công thức toán học của lời giải cho vấn đề sẽ như sau:

1. Chức năng mục tiêu của nhiệm vụ này là giảm thiểu giá thành sản phẩm X 1 - X 5. Về mặt toán học, nó sẽ như thế này:

2. Điều kiện giới hạn lời giải của bài toán:

a) lượng chất dinh dưỡng đầu tiên phải ít nhất là b 1 ,:

b) lượng chất dinh dưỡng thứ hai ít nhất phải bằng b 2 :

c) lượng chất dinh dưỡng thứ ba phải ít nhất là b 3:

Cần lưu ý rằng số lượng sản phẩm không thể có số âm, đó là:

Để hiểu đúng về giải pháp cho vấn đề đã cho, hãy xem xét ví dụ sau.

Trong bài toán này, chúng ta có dữ liệu ban đầu sau:

Hàm mục tiêu sẽ giống như sau:

Cần xác định giá trị nhỏ nhất của hàm với điều kiện đáp ứng các hạn chế sau:

Lưu ý rằng số lượng sản phẩm không thể âm, chúng tôi giả định rằng

Kết quả của việc giải quyết vấn đề theo dữ liệu ban đầu đã trình bày, chúng tôi có câu trả lời sau: và. Với các giá trị này, hàm mục tiêu sẽ có ý nghĩa sau:

Các mô hình mạng (luồng).

Một lớp quan trọng của các bài toán lập trình toán học là cái gọi là các bài toán mạng (luồng), trong đó các bài toán lập trình tuyến tính có thể được hình thành.

Chúng ta hãy coi như một ví dụ về cái gọi là bài toán vận tải (Hình 7.3), là một trong những bài toán dòng chảy đầu tiên, được giải vào năm 1941 bởi F.L. Hitchcock.

Giả sử có hai nhà máy (1 và 2) và ba xe lửa (A, B, C). Các nhà máy sản xuất đơn vị s1 và s2 tương ứng. Nhà kho có khả năng chứa các đơn vị sản phẩm d1, d2 và d3, đó là:

Thách thức là giảm thiểu chi phí vận chuyển sản phẩm từ nhà máy sản xuất đến kho hàng. Hãy đặt các điều kiện ban đầu sau đây. Hãy giả vờ như vậy X ij - khối lượng sản phẩm được vận chuyển từ i-th trồng trên j-th hợp chất; с - - chi phí vận chuyển của một đơn vị sản xuất với i-th trồng trên j-th hợp chất. Khi đó, hàm mục tiêu của bài toán, chi phí vận chuyển, sẽ có dạng sau:

Cơm. 7.3.

Điều kiện tất cả các sản phẩm sẽ được vận chuyển từ từng nhà máy:

Dữ liệu bình đẳng có thể được viết dưới dạng ngắn gọn, cụ thể là:

Điều kiện nhập kho như sau: Hơn thế nữa

Mô hình này có thể được mô tả bằng cách sử dụng một mạng lưới, nếu chúng ta giả định rằng các nút của mạng lưới là nhà máy và nhà kho, và các vòng cung là đường vận chuyển hàng hóa (Hình 7.3). Bài toán vận chuyển công thức là một trường hợp đặc biệt của bài toán tìm dòng chi phí tối thiểu trong mạng.

Các nhiệm vụ mạng được sử dụng trong thiết kế và cải tiến các hệ thống lớn và phức tạp, cũng như trong việc tìm kiếm các cách sử dụng chúng hợp lý nhất. Trước hết, điều này là do thực tế là với sự trợ giúp của mạng, việc xây dựng một mô hình của hệ thống là khá đơn giản. Phương pháp thứ hai dựa trên ý tưởng về một con đường quan trọng (phương pháp CPM) và các công cụ đánh giá và quan sát (ví dụ, hệ thống Nhiệm vụ Nghiên cứu Đánh giá Chương trình PERT).

Ngoài ra, các mạng cho phép bạn:

Chính thức hóa mô hình một hệ thống phức tạp như một tập hợp các hệ thống đơn giản (trong trường hợp này, một hệ thống hậu cần như một tập hợp các hệ thống con và các liên kết của nó - thu mua, kho hàng, vận chuyển, dự trữ, sản xuất, phân phối và bán hàng);

Xây dựng các quy trình chính thức để xác định các đặc tính chất lượng của hệ thống;

Xác định cơ chế tương tác giữa các thành phần của hệ thống điều khiển để mô tả hệ thống điều khiển sau về các đặc điểm chính của nó;

Xác định dữ liệu cần thiết cho việc nghiên cứu hệ thống hậu cần và các hệ thống con chính của nó;

Điều tra ban đầu về hệ thống điều khiển, vạch ra một lịch trình sơ bộ cho hoạt động của các bộ phận của nó.

Ưu điểm chính của cách tiếp cận mạng là nó có thể được áp dụng thành công cho hầu hết mọi vấn đề mà mô hình mạng có thể được xây dựng chính xác.

Một đặc điểm tổng quát của các mô hình toán học được phân loại theo phương pháp mô tả đối tượng được đưa ra trong bảng. 7.3. Bảng cho thấy các lĩnh vực ứng dụng phù hợp nhất của các mô hình này với độ chính xác được chỉ ra sơ bộ của các ước tính thu được. Thông tin này rất hữu ích cho các nhà hậu cần ở giai đoạn xây dựng mô hình hoặc lựa chọn mô hình sau để giải quyết một vấn đề.

Theo bản chất của các thuộc tính hiển thị của đối tượng Các mô hình được phân loại thành cấu trúc và chức năng, cùng phản ánh mối quan hệ và ảnh hưởng lẫn nhau của các yếu tố riêng lẻ đến các quá trình xảy ra trong đối tượng trong quá trình vận hành hoặc sản xuất nó.

Mô hình cấu trúc nhằm hiển thị các đặc tính cấu trúc của đối tượng thành phần, mối quan hệ và vị trí tương đối, cũng như hình dạng của các thành phần.

Các mô hình chức năng được dự định ở một mức độ lớn hơn để hiển thị các quá trình xảy ra trong một đối tượng trong quá trình vận hành hoặc sản xuất, và theo quy luật, chứa các thuật toán liên kết các biến pha, các tham số bên trong, bên ngoài hoặc đầu ra.

Bảng 7.3

Các tính năng đặc trưng của mô hình toán học

Bằng cách đối tượng được chính thức hóa với sự phức tạp của các tình huống hiện có, cần phải đơn giản hóa mô tả của chúng bằng cách sử dụng các mô hình phân tích và thuật toán, một cách thích hợp

Các thuộc tính "chủ yếu" được chọn lọc của các đối tượng và tình huống. Mô phỏng máy tính các đối tượng thực là một công cụ có giá trị để phân tích các hệ thống dịch vụ phức tạp, các chính sách dịch vụ và các lựa chọn đầu tư.

Việc phân bố các đối tượng thành các mức phân cấp dẫn đến các mức mô hình hóa nhất định, hệ thống phân cấp được xác định bởi cả mức độ phức tạp của các đối tượng và khả năng của các điều khiển. Do đó, theo thuộc cấp thứ bậc, các mô hình toán học được chia thành các mô hình vi mô, vĩ mô và siêu mô hình. Sự khác biệt giữa các mô hình này nằm ở thực tế là ở cấp cao hơn của hệ thống phân cấp, các thành phần của mô hình có dạng tập hợp các phần tử khá phức tạp của cấp trước đó. Các phẩm chất giống nhau quyết định việc phân chia các mô hình theo mức độ quy mô và độ phức tạp của mô tả đối tượng.

Việc phân loại các mô hình trên nhằm giúp các nhà hậu cần ra quyết định hiệu quả và đúng đắn hơn để thực hiện sứ mệnh của tổ chức.

Ở trên đã lưu ý rằng bất kỳ mô hình toán học nào cũng có thể được coi là một số toán tử MỘT, là một thuật toán hoặc được xác định bởi một tập hợp các phương trình - đại số, phương trình vi phân thông thường (ODE), hệ thống ODE (SODE), phương trình đạo hàm riêng (PDE), phương trình vi phân tích phân (IDE), v.v. (Hình 1.6 ).

Nếu toán tử cung cấp sự phụ thuộc tuyến tính của các tham số đầu ra vào giá trị của các tham số đầu vào X, thì mô hình toán học được gọi là tuyến tính( cơm. 1.7). Mô hình tuyến tính dễ phân tích hơn. Ví dụ: thuộc tính tuyến tính ngụ ý thuộc tính chồng chất của các giải pháp, tức là nếu các giải pháp cho và cho đã biết, thì giải pháp cho các tham số đầu ra cho có ... Theo quy luật, các giá trị giới hạn cho mô hình tuyến tính đạt được tại ranh giới của các vùng giá trị có thể chấp nhận của các tham số đầu vào.

Hành vi tuyến tính vốn có trong các đối tượng tương đối đơn giản. Các hệ thống, như một quy luật, thể hiện hành vi đa biến phi tuyến (Hình 1.8). Theo đó, các mô hình được chia thành các mô hình phi tuyến tính.

Tùy thuộc vào loại toán tử, các mô hình toán học có thể được chia thành đơn giản và phức tạp.

Trong trường hợp toán tử mô hình là một biểu thức đại số phản ánh sự phụ thuộc hàm của các tham số đầu ra fot của đầu vào X, mô hình sẽ được gọi là đơn giản.

Ví dụ về các mô hình đơn giản, người ta có thể trích dẫn nhiều định luật vật lý (lực hấp dẫn phổ quát, định luật Ohm, định luật Hooke, định luật ma sát Amonton-Coulomb), cũng như tất cả các định luật thực nghiệm, tức là thu được từ kinh nghiệm, các mối quan hệ đại số giữa các tham số đầu vào và đầu ra.

Mô hình, bao gồm các hệ thống quan hệ vi phân và tích phân, không còn có thể được phân loại là đơn giản, vì để nghiên cứu nó đòi hỏi sử dụng các phương pháp toán học khá phức tạp. Tuy nhiên, trong hai trường hợp, nó có thể được rút gọn thành những trường hợp đơn giản:

nếu hệ thống các quan hệ toán học thu được cho một mô hình tương tự có thể được giải quyết bằng phương pháp phân tích;

nếu kết quả của các thí nghiệm tính toán với một mô hình phức hợp được xấp xỉ bởi một số phụ thuộc đại số. Hiện nay, một số lượng lớn các phương pháp tiếp cận và phương pháp xấp xỉ đã được biết đến (ví dụ, phương pháp bình phương nhỏ nhất hoặc phương pháp lập kế hoạch thí nghiệm).

Trong thực tế, các tình huống thường nảy sinh khi không thể thực hiện mô tả thỏa đáng các thuộc tính và hành vi của đối tượng mô hình hóa (như một quy luật, một hệ thống phức tạp) bằng cách sử dụng các quan hệ toán học. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, có thể xây dựng một số loại mô phỏng hành vi và thuộc tính của một đối tượng như vậy bằng cách sử dụng một thuật toán có thể được coi là một toán tử mô hình.

Ví dụ: nếu, do kết quả của việc quan sát một đối tượng, một bảng tương ứng thu được giữa đầu vào X và giá trị đầu ra của các tham số, sau đó xác định toán tử MỘT, cho phép bạn có được "lối ra" cho một "đầu vào" nhất định thường dễ dàng hơn bằng cách sử dụng một thuật toán.

Phân loại mô hình toán học tùy thuộc vào các tham số của mô hình(hình 1.9)

Trong trường hợp chung, các tham số mô tả trạng thái và hành vi của đối tượng mô hình hóa được chia thành một số tập con rời rạc

một tập hợp các ảnh hưởng đầu vào (được kiểm soát) lên đối tượng ();

một tập hợp các ảnh hưởng đến môi trường (không thể kiểm soát) ();

một tập hợp các tham số bên trong (nội tại) của một đối tượng ();

tập hợp các đặc tính đầu ra ().

Ví dụ, khi mô hình hóa chuyển động của một điểm vật chất trong trường của lực hấp dẫn, vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của điểm tại thời điểm đó có thể là các tham số đầu vào. Lực cản và trọng lực đặc trưng cho tác động của ngoại cảnh. Khối lượng điểm là một tham số nội tại. Tọa độ điểm và tốc độ (at) là các tham số đầu ra. Việc gán các tham số cho đầu vào hoặc đầu ra phụ thuộc vào việc xây dựng một bài toán cụ thể. Do đó, luôn có những vấn đề trực tiếp và nghịch biến.

Các tham số đầu vào, tham số mô tả tác động của môi trường bên ngoài, và các đặc tính bên trong (nội tại) của một đối tượng thường được gọi là các đại lượng độc lập (ngoại sinh). Các tham số đầu ra là các giá trị phụ thuộc (nội sinh). Trong trường hợp chung, toán tử mô hình chuyển đổi các tham số ngoại sinh thành nội sinh .

Theo bản chất của chúng, các đặc điểm của một đối tượng có thể như sau phẩm chất và định lượng... Đối với đặc tính định lượng, các con số được giới thiệu để thể hiện mối quan hệ giữa thông số này và tiêu chuẩn (ví dụ: "mét"). Ngoài ra, các giá trị định lượng của tham số có thể được biểu thị số lượng rời rạc hoặc liên tục. Đặc tínhđược tìm thấy, ví dụ, bằng phương pháp đánh giá của chuyên gia. Tùy thuộc vào loại bộ thông số được sử dụng, các mô hình có thể được chia nhỏ thành định tính và định lượng, rời rạc và liên tục, cũng như hỗn hợp.

Khi xây dựng một mô hình, có thể có các tùy chọn sau để mô tả độ không đảm bảo của các tham số:

xác định- giá trị của tất cả các tham số của mô hình được xác định bởi các giá trị xác định (tức là mỗi tham số tương ứng với một số nguyên cụ thể, số thực hoặc số phức hoặc hàm tương ứng). Phương pháp này tương ứng với độ chắc chắn hoàn toàn của các tham số;

ngẫu nhiên- các giá trị của tất cả hoặc các tham số riêng lẻ của mô hình được xác định bởi các biến ngẫu nhiên do mật độ xác suất đưa ra. Ví dụ, các trường hợp phân phối chuẩn (Gaussian) và hàm mũ của các biến ngẫu nhiên;

tình cờ- các giá trị của tất cả hoặc các tham số riêng lẻ của mô hình được thiết lập bởi các biến ngẫu nhiên, được đưa ra bởi các ước lượng về mật độ xác suất thu được do xử lý một mẫu thử nghiệm giới hạn của các tham số này;

khoảng thời gian- các giá trị của tất cả hoặc các tham số riêng lẻ của mô hình được mô tả bằng các giá trị khoảng được chỉ định bởi khoảng được tạo thành bởi các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể của tham số;

mờ- các giá trị của tất cả hoặc các tham số riêng lẻ của mô hình được mô tả bằng các hàm liên thuộc của tập mờ tương ứng. Biểu mẫu này được sử dụng khi thông tin về các tham số của mô hình được thiết lập bởi một chuyên gia về ngôn ngữ tự nhiên và do đó, ở dạng "mờ" như "nhiều hơn năm", "gần bằng không".

Chia mô hình thành một chiều, hai chiều và ba chiều có thể áp dụng cho các mô hình như vậy, các tham số của chúng bao gồm tọa độ của không gian, và được liên kết với các đặc thù của việc triển khai các mô hình này, cũng như với sự gia tăng mạnh về độ phức tạp của chúng theo chiều ngày càng tăng.

Giống như tọa độ, thời gian là một biến độc lập có thể ảnh hưởng đến phần còn lại của mô hình. Thông thường, quy mô của đối tượng càng nhỏ thì sự phụ thuộc của các tham số của nó vào thời gian càng có ý nghĩa.

Bất kỳ vật thể nào cũng tìm cách chuyển sang trạng thái cân bằng nào đó, cả với môi trường của nó và giữa các phần tử riêng lẻ của chính vật thể đó. Sự vi phạm cân bằng này dẫn đến sự thay đổi các thông số khác nhau của vật thể và chuyển sang trạng thái cân bằng mới.

Khi xây dựng một mô hình, điều quan trọng là phải so sánh thời gian thay đổi đáng kể của các tác động bên ngoài và thời gian chuyển đổi đặc trưng của đối tượng sang trạng thái cân bằng mới với môi trường, cũng như thời gian thư giãn, điều này quyết định việc thiết lập trạng thái cân bằng giữa các cá thể. các yếu tố bên trong đối tượng. Nếu tốc độ thay đổi của các tác động bên ngoài lên đối tượng của mô hình nhỏ hơn đáng kể so với tốc độ thư giãn, thì có thể bỏ qua sự phụ thuộc rõ ràng vào thời gian trong mô hình. Trong trường hợp này, họ nói về bán tĩnh tiến trình.

Tập hợp các giá trị của các tham số mô hình tại một thời điểm nào đó hoặc tại giai đoạn này được gọi là trạng thái của đối tượng.

Nếu tốc độ thay đổi của các tác động bên ngoài và các thông số về trạng thái của đối tượng được nghiên cứu là đủ cao (so với tốc độ giãn), thì việc tính đến thời gian là cần thiết. Trong trường hợp này, đối tượng nghiên cứu được xem xét trong khuôn khổ quá trình động.

Nếu các tác động bên ngoài không đổi hoặc sự dao động của chúng ít ảnh hưởng đến trạng thái của đối tượng trong một khoảng thời gian đủ dài, thì tại mỗi điểm cố định của không gian khảo sát, giá trị của các tham số mô hình không phụ thuộc vào thời gian. Ví dụ, trường vận tốc của các hạt chất lỏng trong một đường ống dài ở chế độ tầng. Các quy trình như vậy được gọi là đứng im... Theo quy luật, các mô hình tĩnh được sử dụng để mô tả các dòng chảy khác nhau (chất lỏng, khí, nhiệt) trong trường hợp các điều kiện không đổi tại đầu vào và đầu ra của dòng chảy. Đối với các quy trình như vậy, thời gian có thể được loại trừ khỏi số lượng các biến độc lập.

Nếu cần sử dụng thời gian (hoặc thời gian tương tự) như một trong những biến độc lập thiết yếu của mô hình, thì mô hình được gọi là không cố định... Ví dụ về mô hình không đứng yên là mô hình chuyển động của chất lỏng trong một đường ống, nhưng chảy ra khỏi một bình nhất định.

Phân loại mô hình toán học tùy thuộc vào mục tiêu của mô hình hóa (Hình 1.11)

Mục đích mô tả mô tả là sự thiết lập các quy luật thay đổi trong các tham số của mô hình. Mô hình kết quả mô tả sự phụ thuộc của các tham số đầu ra vào các tham số đầu vào. Do đó, mô hình mô tả là việc thực hiện các mô hình có ý nghĩa mô tả và giải thích ở cấp độ chính thức của mô hình hóa.

Các mô hình tối ưu hóađược thiết kế để xác định các tham số tối ưu (tốt nhất) của đối tượng mô phỏng theo quan điểm của một tiêu chí nhất định, hoặc để tìm ra chế độ điều khiển tối ưu (tốt nhất) cho một quá trình nhất định. Một số tham số mô hình có liên quan đến tham số điều khiển, thay đổi mà bạn có thể nhận được các tùy chọn khác nhau cho các bộ giá trị của tham số đầu ra. Thông thường, các mô hình này được xây dựng bằng cách sử dụng một hoặc nhiều mô hình mô tả và bao gồm một số tiêu chí cho phép bạn so sánh các tùy chọn khác nhau cho các bộ giá trị của thông số đầu ra với nhau để chọn cái tốt nhất. Các ràng buộc dưới dạng cân bằng và bất bình đẳng liên quan đến các tính năng của đối tượng hoặc quá trình đang được xem xét có thể được áp đặt trên phạm vi giá trị của các tham số đầu vào. Mục đích của các mô hình tối ưu hóa là để tìm các tham số kiểm soát có thể chấp nhận được để tiêu chí lựa chọn đạt được "giá trị tốt nhất".

Các mô hình quản lýđược sử dụng để đưa ra các quyết định quản lý hiệu quả trong các lĩnh vực hoạt động có mục đích khác nhau của con người. Trong trường hợp chung, ra quyết định là một quá trình có mức độ phức tạp tương đương với quá trình suy nghĩ nói chung. Tuy nhiên, trên thực tế, ra quyết định thường được hiểu là sự lựa chọn một số phương án thay thế từ một tập hợp nhất định trong số chúng, và quá trình ra quyết định chung được thể hiện dưới dạng một chuỗi các phương án thay thế như vậy.

Sự phức tạp của vấn đề nằm ở chỗ không chắc chắn cả về thông tin ban đầu và bản chất của tác động của các điều kiện bên ngoài, và về mục tiêu. Do đó, trái ngược với các mô hình tối ưu hóa, trong đó tiêu chí lựa chọn được coi là xác định và giải pháp mong muốn được thiết lập từ các điều kiện cực hạn của nó (tối đa hoặc tối thiểu), cần phải đưa ra các tiêu chí tối ưu cụ thể trong các mô hình quản lý, cho phép so sánh các giải pháp thay thế với những điểm không chắc chắn khác nhau của vấn đề.

Vì tính tối ưu của quyết định được đưa ra ngay cả trong cùng một tình huống có thể được hiểu theo nhiều cách khác nhau, nên hình thức của tiêu chí tối ưu trong các mô hình quản lý không cố định trước. Đây là tính năng chính của các mô hình này.

Phân loại các mô hình toán học tùy thuộc vào phương pháp thực hiện (Hình 1.12)

Phương pháp thực hiện mô hình được đề cập đến phân tích nếu nó cho phép bạn nhận các tham số đầu ra dưới dạng biểu thức phân tích , những thứ kia. biểu thức sử dụng không quá một tập hợp các phép toán số học có thể đếm được và giới hạn chuyển đổi. Ví dụ về biểu thức phân tích:

,

Một trường hợp đặc biệt của biểu thức phân tích là biểu thức đại số, trong đó sử dụng một số hữu hạn hoặc có thể đếm được các phép toán số học, các phép toán nâng lên lũy thừa số nguyên và trích xuất một căn. Một ví dụ về biểu thức đại số: .

Rất thường xuyên, một giải pháp phân tích cho một mô hình được trình bày dưới dạng các hàm cơ bản hoặc hàm đặc biệt. Để nhận các giá trị của các hàm này cho các giá trị cụ thể của các tham số đầu vào, hãy sử dụng mở rộng của chúng theo chuỗi (ví dụ: Taylor). Vì vậy, hàm mũ có thể được biểu diễn bằng chuỗi sau:

Có tính đến số lượng thành viên khác nhau của chuỗi, có thể tính giá trị của hàm với mức độ chính xác khác nhau. Do đó, giá trị của hàm đối với mỗi giá trị của đối số trong trường hợp này được xác định gần đúng. Các mô hình sử dụng kỹ thuật này được gọi là gần.

Các phương pháp phân tích để thực hiện mô hình có giá trị hơn, nhưng chúng không phải lúc nào cũng có thể đạt được.

Tại số phương pháp tiếp cận, tập hợp các quan hệ toán học của mô hình được thay thế bằng một tương tự hữu hạn chiều. Điều này thường đạt được nhất bằng cách loại bỏ các mối quan hệ ban đầu, tức là chuyển từ các hàm của một đối số liên tục sang các hàm của một đối số rời rạc. Sau khi giải quyết vấn đề ban đầu, một thuật toán tính toán được xây dựng. Lời giải tìm được cho bài toán rời rạc được coi là lời giải gần đúng cho bài toán ban đầu. Yêu cầu chính đối với một thuật toán tính toán là cần phải có được lời giải cho bài toán ban đầu với độ chính xác cho trước trong một số bước hữu hạn.

Tại sự bắt chước bản thân đối tượng nghiên cứu được chia nhỏ thành các yếu tố riêng lẻ. Trong trường hợp này, hệ thống các quan hệ toán học cho tổng thể đối tượng-hệ thống không được viết ra, mà được thay thế bằng một số thuật toán mô phỏng hành vi của nó và tính đến sự tương tác của các mô hình của các phần tử riêng lẻ của hệ thống với nhau. Mô hình của các phần tử riêng lẻ có thể là cả phân tích và đại số.

CÁC GIAI ĐOẠN XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN

Một đặc điểm nổi bật của các mô hình toán học đang được tạo ra hiện nay là độ phức tạp của chúng, gắn liền với độ phức tạp của các đối tượng được mô hình hóa. Điều này dẫn đến sự phức tạp của mô hình và cần phải sử dụng chung một số lý thuyết (thường là từ các lĩnh vực kiến ​​thức khác nhau), sử dụng các phương pháp tính toán hiện đại và công nghệ máy tính để thu được và phân tích kết quả mô phỏng. Ngày nay, việc sử dụng rộng rãi các mô hình trong thực hành kỹ thuật và các hoạt động kỹ thuật đã gây ra nhu cầu về một thuật toán để xây dựng một tấm chiếu. các mô hình.

Quá trình xây dựng bất kỳ mô hình toán học nào có thể được biểu diễn bằng một chuỗi các giai đoạn được thể hiện trong Hình. 2.1.

2.1. KIỂM TRA ĐỐI TƯỢNG MÔ PHỎNG

Các mô hình toán học, đặc biệt là những mô hình sử dụng phương pháp số và công nghệ tính toán, đòi hỏi chi phí đáng kể về trí tuệ, tài chính và thời gian cho việc xây dựng chúng. Do đó, quyết định phát triển một mô hình mới chỉ được đưa ra nếu không có cách nào khác, đơn giản hơn để giải quyết các vấn đề nảy sinh (ví dụ, sửa đổi một trong các mô hình hiện có). Tuy nhiên, nếu quyết định này được đưa ra, thì thủ tục như sau.

Mục đích chính giai đoạn khảo sát đối tượng mô hình là sự chuẩn bị của một công thức có ý nghĩa của vấn đề mô hình hóa.

Danh sách các câu hỏi quan tâm chính về đối tượng mô hình hóa, được xây dựng ở dạng có nghĩa (bằng lời nói), tạo thành một công thức có ý nghĩa của vấn đề mô hình hóa.

Giai đoạn khảo sát bao gồm các công việc sau:

kiểm tra kỹ lưỡng đối tượng thực tế của mô hình để xác định các yếu tố chính, cơ chế ảnh hưởng đến hành vi của nó, xác định các tham số thích hợp cho phép mô tả đối tượng được mô hình hóa;

thu thập và xác minh các dữ liệu thí nghiệm có sẵn về các đối tượng tương tự, thực hiện các thí nghiệm bổ sung, nếu cần;

đánh giá phân tích các nguồn tài liệu, phân tích và so sánh các mô hình đã xây dựng trước đây về đối tượng này (hoặc tương tự với đối tượng đang xem xét);

phân tích và tổng quát hóa của tất cả các tài liệu tích lũy, phát triển một kế hoạch chung cho việc tạo ra một mô hình toán học.

Tất cả các tài liệu thu thập được từ kết quả điều tra về kiến ​​thức về đối tượng tích lũy được cho đến thời điểm này, ý nghĩa của bài toán mô hình hóa, các yêu cầu bổ sung cho việc thực hiện mô hình và trình bày kết quả được rút ra trong biểu mẫu thông số kỹ thuật để thiết kế và phát triển mô hình.

Xây dựng mô hình toán học để mô tả đường bay của quả bóng rổ do một cầu thủ ném vào rổ bóng rổ.

Mô hình phải cho phép:

tính toán vị trí của quả bóng tại bất kỳ thời điểm nào;

để xác định độ chính xác của bóng đập vào rổ sau khi ném với các thông số ban đầu khác nhau.

Dữ liệu ban đầu:

khối lượng và bán kính quả cầu;

tọa độ ban đầu, tốc độ ban đầu và góc ném bóng;

tọa độ tâm và bán kính của rổ.

2.2. KHÁI NIỆM CÔNG THỨC CỦA BÀI TOÁN MÔ HÌNH

Công thức khái niệm của bài toán mô hình hóa- đây là danh sách các câu hỏi quan tâm chính, được xây dựng dựa trên các chuyên ngành cụ thể (vật lý, hóa học, sinh học, v.v.), cũng như một tập hợp các giả thuyết liên quan đến các thuộc tính và hành vi của đối tượng mô hình.

Mô hình khái niệm được xây dựng như một mô hình lý tưởng hóa nào đó của một đối tượng, được viết theo các chuyên ngành cụ thể. Đối với điều này, một tập hợp các giả thuyết được xây dựng về hành vi của một đối tượng, sự tương tác của nó với môi trường và những thay đổi trong các thông số bên trong. Theo quy luật, những giả thuyết này là hợp lý, vì một số lập luận lý thuyết có thể được trình bày để chứng minh cho chúng và dữ liệu thực nghiệm dựa trên thông tin đã thu thập trước đó về đối tượng có thể được sử dụng. Theo các giả thuyết được chấp nhận, một tập hợp các tham số mô tả trạng thái của một đối tượng được xác định, cũng như một danh sách các luật điều chỉnh sự thay đổi và mối quan hệ của các tham số này với nhau.

Thí dụ. Công thức khái niệm của vấn đề của một cầu thủ bóng rổ.

Chuyển động của quả bóng rổ có thể được mô tả theo các định luật của cơ học Newton cổ điển (Hình 2.2).

Hãy chấp nhận các giả thuyết sau:

đối tượng của mô hình là một quả bóng rổ có bán kính;

chuyển động xảy ra trong trọng trường với gia tốc trọng trường không đổi và được mô tả bằng các phương trình của cơ học Newton cổ điển;

Chuyển động của bóng xảy ra trên một mặt phẳng vuông góc với bề mặt Trái đất và đi qua điểm ném và tâm của rổ;

chúng ta bỏ qua lực cản của không khí và nhiễu loạn gây ra bởi chuyển động quay của chính quả cầu xung quanh khối tâm.

Phù hợp với các giả thuyết đã nêu, tọa độ và tốc độ (các dự báo của nó và ) khối tâm của quả cầu. Sau đó, để xác định vị trí của quả bóng tại bất kỳ thời điểm nào, chỉ cần tìm định luật chuyển động của khối tâm của quả bóng, tức là. phối hợp phụ thuộc và các hình chiếu của vectơ vận tốc và tâm của quả cầu tại từng thời điểm. Để ước tính độ chính xác của cú ném, người ta có thể coi khoảng cách nằm ngang (dọc theo trục) từ tâm của rổ đến tâm của quả bóng tại thời điểm khi quả bóng này vượt qua mặt phẳng nằm ngang đi qua mặt phẳng của rổ. vòng.

Từ những điều trên, chúng ta có thể xây dựng công thức khái niệm của bài toán về một vận động viên bóng rổ dưới dạng sau: xác định quy luật chuyển động của một chất điểm có khối lượng dưới tác dụng của trọng lực, nếu tọa độ ban đầu của chất điểm là đã biết , vận tốc ban đầu và góc ném của nó. Tâm của rổ có tọa độ . Tính độ chính xác của cú ném , được xác định ở đâu từ các điều kiện: , , .

Chúng ta hãy xem xét các đặc điểm của ví dụ về sự hình thành khái niệm của bài toán về một vận động viên bóng rổ.

Giả thuyết đầu tiên trong số các giả thuyết được liệt kê là đặc biệt quan trọng, vì nó xác định đối tượng của mô hình hóa. Trong trường hợp này, đối tượng có thể được coi là đơn giản. Tuy nhiên, hệ thống "cầu thủ - bóng - vòng" có thể được coi là một đối tượng của mô hình hóa. Mô hình cần thiết để mô tả một hệ thống như vậy sẽ phức tạp hơn nhiều, vì người chơi, đến lượt nó, đại diện cho một hệ thống cơ sinh học phức tạp và mô hình hóa của nó là một nhiệm vụ khó khăn. Trong tình huống này, việc chỉ chọn quả bóng làm đối tượng mô hình là hợp lý, vì nó là chuyển động của nó cần được nghiên cứu và ảnh hưởng của người chơi có thể được xem xét khá đơn giản thông qua các thông số ban đầu của cú ném.

Giả thuyết cho rằng quả bóng có thể được coi là một chất điểm được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu chuyển động của các vật thể trong cơ học. Trong trường hợp đang xem xét, điều đó là hợp lý do sự đối xứng của hình dạng của quả bóng và độ nhỏ của bán kính so với các khoảng cách chuyển động đặc trưng của quả bóng. Giả thiết rằng cái sau là một quả bóng có cùng độ dày thành.

Giả thuyết về khả năng áp dụng trong trường hợp này của các định luật cơ học cổ điển có thể được chứng minh bằng tài liệu thực nghiệm khổng lồ gắn liền với việc nghiên cứu chuyển động của các thiên thể gần bề mặt Trái đất với vận tốc nhỏ hơn nhiều tốc độ ánh sáng. Xem xét độ cao của quả bóng nằm trong khoảng 5-10 m và phạm vi là 5-20 m, giả thiết về sự không đổi của gia tốc trọng trường cũng có vẻ hợp lý. Nếu chuyển động của tên lửa đạn đạo được mô phỏng ở phạm vi và độ cao bay hơn 100 km, thì cần phải tính đến sự thay đổi của gia tốc trọng trường tùy thuộc vào độ cao và vĩ độ của nơi đó.

Giả thuyết về chuyển động của quả bóng trong mặt phẳng vuông góc với bề mặt Trái đất giới hạn loại quỹ đạo đang xét và đơn giản hóa mô hình rất nhiều. Quỹ đạo của bóng có thể không nằm trong cùng một mặt phẳng nếu trong quá trình ném, nó bị xoắn mạnh quanh trục thẳng đứng. Trong trường hợp này, tốc độ của các điểm trên bề mặt quả bóng so với không khí ở các mặt khác nhau của quả bóng sẽ khác nhau. Đối với các điểm chuyển động ngược dòng, tốc độ tương đối cao hơn, và đối với các điểm ở phía ngược lại, chuyển động dọc theo dòng, tốc độ đó thấp hơn tốc độ của khối tâm của quả bóng. Theo định luật Bernoulli, áp suất khí trên bề mặt càng lớn khi vận tốc tương đối của nó càng thấp. Do đó, đối với tình huống được hiển thị trong Hình. 2.3, một lực bổ sung sẽ tác động lên quả bóng, được hướng (đối với sơ đồ này) từ trên xuống dưới. Hiệu ứng này sẽ được thể hiện càng nhiều, khi tốc độ khối tâm của quả bóng và tốc độ quay của nó càng lớn. Bóng rổ được đặc trưng bởi tốc độ bay của bóng tương đối thấp (lên đến 10 m / s). Đồng thời, việc vặn bóng bằng tay cũng hiếm khi được sử dụng. Do đó, giả thuyết về chuyển động của quả bóng trong một mặt phẳng dường như là hợp lý. Việc sử dụng nó khiến chúng ta có thể từ bỏ việc xây dựng một mô hình ba chiều phức tạp hơn nhiều về chuyển động của quả bóng.

Giả thuyết về việc không có ảnh hưởng của lực cản không khí là ít được chứng minh nhất. Khi một vật chuyển động trong chất khí hoặc chất lỏng, lực cản tăng lên khi tốc độ chuyển động tăng. Xem xét tốc độ thấp của quả bóng, hình dạng sắp xếp hợp lý đều đặn và khoảng cách ném ngắn, giả thuyết này có thể được chấp nhận như một phép gần đúng đầu tiên.

Cần lưu ý rằng công thức khái niệm của vấn đề mô hình hóa, trái ngược với công thức hóa có ý nghĩa, sử dụng thuật ngữ của một chuyên ngành cụ thể (trong trường hợp này là cơ học). Trong trường hợp này, vật thể thực được mô hình hóa (quả bóng) được thay thế bằng mô hình cơ học của nó (điểm vật chất). Thực tế, trong ví dụ đã cho, công thức khái niệm được rút gọn thành công thức của vấn đề cơ học cổ điển về chuyển động của một điểm vật chất trong trường lực hấp dẫn. Thiết lập khái niệm trừu tượng hơn so với thiết lập có ý nghĩa, vì một điểm vật chất có thể được liên kết với một đối tượng vật chất tùy ý ném theo một góc với đường chân trời: một quả bóng đá, một quả đạn pháo, một hòn đá hoặc một quả đạn pháo.

2.3. BÀI TOÁN TRẠNG THÁI CỦA BÀI TOÁN MÔ HÌNH

Công thức khái niệm đã hoàn thành cho phép chúng ta xây dựng công thức toán học của bài toán mô hình hóa, bao gồm một tập hợp các mối quan hệ toán học khác nhau mô tả hành vi và thuộc tính của đối tượng mô hình hóa.

Công thức toán học của bài toán mô hình hóa là một tập hợp các mối quan hệ toán học mô tả hành vi và thuộc tính của đối tượng mô hình hóa.

Tổng các quan hệ toán học xác định kiểu toán tử của mô hình. Toán tử của mô hình sẽ là đơn giản nhất nếu nó được biểu diễn bằng một hệ phương trình đại số. Những mô hình như vậy có thể được gọi là mô hình kiểu xấp xỉ, vì để có được chúng, các phương pháp khác nhau thường được sử dụng để ước tính gần đúng dữ liệu thực nghiệm có sẵn về hoạt động của các tham số đầu ra của đối tượng mô phỏng, tùy thuộc vào các tham số đầu vào và tác động của môi trường bên ngoài, cũng như các giá trị của các tham số bên trong của đối tượng.

Tuy nhiên, phạm vi của loại mô hình này bị hạn chế. Để tạo ra các mô hình toán học của các hệ thống và quy trình phức tạp áp dụng cho nhiều loại vấn đề thực tế, như đã nói ở trên, đòi hỏi phải thu hút một lượng lớn kiến ​​thức tích lũy trong chuyên ngành đang xem xét (và trong một số trường hợp trong các lĩnh vực liên quan). Trong hầu hết các ngành (đặc biệt là khoa học tự nhiên), kiến ​​thức này tập trung ở các tiên đề, định luật, định lý có công thức toán học rõ ràng.

Cần lưu ý rằng trong nhiều lĩnh vực kiến ​​thức (cơ học, vật lý, sinh học, v.v.), thông thường người ta phân biệt các định luật có giá trị đối với tất cả các đối tượng nghiên cứu trong một lĩnh vực kiến ​​thức nhất định và các mối quan hệ mô tả hành vi của các đối tượng riêng lẻ hoặc tổng thể của chúng. Phương trình đầu tiên trong vật lý và cơ học bao gồm, ví dụ, các phương trình cân bằng của khối lượng, động lượng, năng lượng, v.v., có giá trị trong những điều kiện nhất định đối với bất kỳ cơ thể vật chất nào, bất kể cấu trúc, cấu trúc, trạng thái, thành phần hóa học cụ thể của chúng. Các phương trình của lớp này đã được xác nhận bởi một số lượng lớn các thí nghiệm, được nghiên cứu kỹ lưỡng và do đó, được sử dụng trong các mô hình toán học tương ứng như đã cho. Các quan hệ của lớp thứ hai trong vật lý và cơ học được gọi là xác định, hoặc phương trình vật lý, hoặc phương trình trạng thái. Chúng thiết lập các đặc tính về hoạt động của các đối tượng vật chất hoặc tập hợp của chúng (ví dụ, chất lỏng, khí, phương tiện đàn hồi hoặc nhựa, v.v.) dưới tác động của các yếu tố bên ngoài khác nhau.

Các quan hệ của lớp thứ hai ít được nghiên cứu hơn nhiều, và trong một số trường hợp, chúng phải được thiết lập bởi chính nhà nghiên cứu (đặc biệt là khi phân tích các đối tượng bao gồm các vật liệu mới). Cần lưu ý rằng các quan hệ cấu thành là yếu tố chính của bất kỳ mô hình toán học nào về các quá trình vật lý và cơ học. Chính những sai sót trong việc lựa chọn hoặc thiết lập các quan hệ cấu thành dẫn đến các kết quả mô phỏng không chính xác về mặt định lượng (và đôi khi là định tính).

Tập hợp các mối quan hệ toán học của hai lớp này được xác định bởi toán tử mô hình. Trong hầu hết các trường hợp, toán tử mô hình bao gồm một hệ phương trình vi phân thông thường (ODE), phương trình đạo hàm riêng (PDE) và / hoặc phương trình vi phân tích phân (IDE). Để đảm bảo tính đúng đắn của câu lệnh vấn đề, các điều kiện ban đầu hoặc biên được thêm vào hệ thống ODE hoặc PDE, đến lượt nó, có thể là các quan hệ đại số hoặc vi phân của các bậc khác nhau.

Có một số loại tác vụ phổ biến nhất cho hệ thống ODE hoặc PDE:

Bài toán Cauchy, hoặc bài toán với các điều kiện ban đầu, trong đó giá trị của các biến mong muốn này trong bất kỳ thời điểm nào được xác định từ các biến (điều kiện ban đầu) đã cho tại thời điểm ban đầu;

vấn đề về ranh giới ban đầu hoặc giá trị biên khi các điều kiện cho chức năng mong muốn của tham số đầu ra được đặt tại thời điểm ban đầu cho toàn bộ vùng không gian và tại ranh giới của vùng sau tại mỗi thời điểm (trên khoảng thời gian được khảo sát);

Các vấn đề về giá trị riêng, công thức của nó bao gồm các tham số không xác định được xác định từ điều kiện của sự thay đổi về chất trong hành vi của hệ thống (ví dụ, sự mất ổn định của trạng thái cân bằng hoặc chuyển động đứng yên, sự xuất hiện của một chế độ tuần hoàn, cộng hưởng, v.v. .).

Để kiểm soát tính đúng đắn của hệ thống các mối quan hệ toán học thu được, cần có một số kiểm tra bắt buộc:

Kiểm soát thứ nguyên, bao gồm quy tắc mà theo đó chỉ các đại lượng có cùng thứ nguyên mới có thể được cân bằng và thêm vào. Trong quá trình chuyển đổi sang tính toán, việc kiểm tra này được kết hợp với việc kiểm soát việc sử dụng cùng một hệ thống đơn vị cho các giá trị của tất cả các tham số.

Kiểm soát đơn đặt hàng, bao gồm ước tính sơ bộ về các đơn đặt hàng so sánh của các giá trị được thêm vào và loại trừ các tham số không quan trọng. Ví dụ, nếu đối với biểu thức kết quả của việc đánh giá, người ta thấy rằng trong phạm vi giá trị được xem xét của các tham số mô hình và số hạng thứ ba trong biểu thức ban đầu có thể bị bỏ qua.

Kiểm soát bản chất của các phụ thuộc là kiểm tra hướng và tốc độ thay đổi của các tham số đầu ra của mô hình, phát sinh từ các mối quan hệ toán học được viết ra, chẳng hạn như trực tiếp từ ý nghĩa "vật lý" của mô hình đang nghiên cứu.

Kiểm soát các tình huống khắc nghiệt - kiểm tra các quan hệ toán học ở dạng nào, cũng như kết quả của mô hình hóa, nếu các tham số của mô hình hoặc sự kết hợp của chúng đạt đến giá trị tối đa cho phép đối với chúng, thường là bằng 0 hoặc vô cùng. Trong những tình huống khắc nghiệt như vậy, mô hình thường được đơn giản hóa, các quan hệ toán học có được ý nghĩa trực quan hơn và việc xác minh chúng được đơn giản hóa. Ví dụ, trong các bài toán về cơ học của vật rắn có thể biến dạng, biến dạng của vật liệu trong vùng khảo sát trong điều kiện đẳng nhiệt chỉ có thể xảy ra khi có tải trọng, trong khi không có tải trọng sẽ dẫn đến không có biến dạng.

Kiểm soát điều kiện biên, bao gồm kiểm tra xem các điều kiện biên có thực sự được áp đặt hay không, chúng có được sử dụng trong quá trình xây dựng giải pháp mong muốn hay không và giá trị của các tham số đầu ra của mô hình có thực sự thỏa mãn các điều kiện đã cho hay không.

Kiểm soát ý nghĩa vật lý - kiểm tra vật lý hay cách khác, tùy thuộc vào bản chất của vấn đề, ý nghĩa của các mối quan hệ ban đầu và trung gian xuất hiện khi mô hình được xây dựng.

Kiểm soát đóng toán học, bao gồm việc kiểm tra xem hệ thống đã viết của các quan hệ toán học có làm cho nó có thể giải quyết vấn đề toán học đã đặt ra một cách rõ ràng hay không. Ví dụ, nếu bài toán được rút gọn thành việc tìm ẩn số từ một số hệ phương trình đại số hoặc siêu nghiệm, thì việc kiểm soát tính đóng bao gồm việc kiểm tra số phương trình độc lập phải có. Nếu có ít hơn trong số chúng và, thì cần phải thiết lập các phương trình bị thiếu, và nếu có nhiều hơn I, thì hoặc các phương trình là phụ thuộc hoặc đã xảy ra lỗi trong quá trình biên dịch của chúng. Tuy nhiên, nếu phương trình thu được từ thực nghiệm hoặc kết quả của quan sát, thì có thể đặt ra một bài toán trong đó số lượng phương trình nhiều hơn, nhưng bản thân các phương trình chỉ thỏa mãn một cách xấp xỉ, và ví dụ, tìm lời giải. bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. Cũng có thể có bất kỳ số lượng bất bình đẳng nào giữa các điều kiện, chẳng hạn như trường hợp trong các bài toán lập trình tuyến tính.

Tính chất đóng toán học của một hệ thống các quan hệ toán học có liên quan chặt chẽ với khái niệm về một vấn đề toán học được đặt ra tốt, tức là vấn đề mà một giải pháp tồn tại, nó chỉ có và liên tục phụ thuộc vào dữ liệu nguồn. Trong trường hợp này, giải pháp được coi là liên tục nếu một thay đổi nhỏ trong dữ liệu ban đầu tương ứng với một thay đổi đủ nhỏ trong giải pháp.

Khái niệm về tính đúng đắn của một vấn đề có tầm quan trọng lớn trong toán học ứng dụng. Ví dụ, sẽ hợp lý khi chỉ áp dụng phương pháp giải số cho các bài toán có công thức chính xác. Hơn nữa, không phải tất cả các vấn đề nảy sinh trong thực tế đều có thể được coi là đúng (ví dụ, cái gọi là các bài toán nghịch đảo). Việc chứng minh tính đúng đắn của một vấn đề toán học cụ thể là một vấn đề khá khó khăn; nó chỉ được giải quyết cho một số loại vấn đề toán học được đặt ra. Kiểm tra bao đóng toán học ít phức tạp hơn kiểm tra tính đúng đắn của công thức toán học. Hiện tại, các thuộc tính của các bài toán sai đang được tích cực nghiên cứu và các phương pháp cho giải pháp của chúng đang được phát triển. Tương tự như khái niệm "bài toán đặt ra đúng", khái niệm "mô hình toán học đúng" có thể được đưa ra.

Mô hình toán học là Chính xác, nếu kết quả dương tính của tất cả các kiểm tra kiểm soát được thực hiện và nhận được cho nó: thứ nguyên, thứ tự, bản chất của các yếu tố phụ thuộc, tình huống khắc nghiệt, điều kiện biên, ý nghĩa vật lý và sự cô lập toán học.

Thí dụ. Công thức toán học của các vấn đề của một cầu thủ bóng rổ.

Công thức toán học của bài toán về một cầu thủ bóng rổ có thể được trình bày ở cả dạng vectơ và dạng tọa độ (Hình 2.4).

1. Dạng vectơ.

Tìm sự phụ thuộc của các tham số vectơ vào thời gian - và - từ nghiệm của hệ phương trình vi phân thường

,

trong điều kiện ban đầu

,

Tính tham số theo công thức

xác định ở đâu từ các điều kiện sau:

, , ,

Bằng cách chiếu các quan hệ vectơ - trên trục tọa độ, chúng ta thu được công thức toán học của bài toán về cầu thủ bóng rổ ở dạng tọa độ.

2. Dạng tọa độ.

Tìm phụ thuộc , và , từ việc giải một hệ phương trình vi phân:

, , , ,

với các điều kiện ban đầu sau:

, , ,

Tính tham số theo công thức

nơi để xác định từ các điều kiện

, ,

Như bạn thấy, từ quan điểm toán học, bài toán cầu thủ bóng rổ đã được rút gọn thành bài toán Cauchy cho một hệ ODE bậc nhất với các điều kiện ban đầu cho trước. Hệ phương trình kết quả là đóng, vì số phương trình độc lập (bốn vi phân và hai đại số) bằng số tham số yêu cầu của bài toán (,,,,,). Hãy kiểm tra các khía cạnh của vấn đề:

phương trình động lực học

mối quan hệ của tốc độ và chuyển động

Sự tồn tại và tính duy nhất của lời giải cho bài toán Cauchy đã được các nhà toán học chứng minh. Do đó, mô hình toán học này có thể được coi là đúng.

Công thức toán học của vấn đề thậm chí còn trừu tượng hơn so với khái niệm, vì nó giảm vấn đề ban đầu thành một vấn đề thuần túy toán học (ví dụ, đối với bài toán Cauchy), các phương pháp giải được phát triển khá tốt. Khả năng rút gọn bài toán ban đầu thành một loại bài toán nổi tiếng và chứng minh tính hợp lệ của thông tin đó đòi hỏi trình độ cao của một nhà toán học ứng dụng và đặc biệt được đánh giá cao trong các nhóm nghiên cứu.

2.4. LỰA CHỌN VÀ CHỨNG MINH LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Khi sử dụng các mô hình toán học đã phát triển, theo quy luật, cần phải tìm sự phụ thuộc của một số tham số chưa biết trước đây của đối tượng mô hình (ví dụ, tọa độ và vận tốc của khối tâm vật thể, độ chính xác ném) thỏa mãn một hệ thống nhất định các phương trình. Do đó, việc tìm kiếm giải pháp cho vấn đề được rút gọn thành việc tìm kiếm một số phụ thuộc của các đại lượng cần thiết vào các tham số ban đầu của mô hình. Như đã đề cập trước đó, tất cả các phương pháp giải quyết vấn đề tạo nên "cốt lõi" của các mô hình toán học có thể được chia nhỏ thành phân tích và thuật toán.

Cần lưu ý rằng khi sử dụng các giải pháp phân tích để thu được kết quả "bằng số", cũng thường phải phát triển các thuật toán thích hợp được thực hiện trên máy tính. Tuy nhiên, giải pháp ban đầu trong trường hợp này là một biểu thức phân tích (hoặc sự kết hợp của chúng). Các giải pháp dựa trên các phương pháp thuật toán về cơ bản không thể rút gọn thành các giải pháp phân tích chính xác của vấn đề đang được xem xét.

Việc lựa chọn một phương pháp nghiên cứu cụ thể phần lớn phụ thuộc vào trình độ và kinh nghiệm của các thành viên trong nhóm làm việc. Như đã lưu ý, các phương pháp phân tích thuận tiện hơn cho việc phân tích kết quả sau này, nhưng chúng chỉ áp dụng được cho các mô hình tương đối đơn giản. Nếu một vấn đề toán học (ngay cả trong một công thức đơn giản hóa) thừa nhận một giải pháp phân tích, thì không nghi ngờ gì nữa, giải pháp sau là một giải pháp số.

Các phương pháp thuật toán được rút gọn thành một thuật toán nhất định thực hiện một thí nghiệm tính toán bằng máy tính. Độ chính xác của mô phỏng trong một thử nghiệm như vậy phụ thuộc đáng kể vào phương pháp đã chọn và các tham số của nó (ví dụ: bước tích hợp). Theo quy tắc, các phương pháp thuật toán tốn nhiều công sức hơn để thực hiện, đòi hỏi kiến ​​thức tốt về các phương pháp toán học tính toán, một thư viện phong phú về phần mềm đặc biệt và công nghệ máy tính. Các mô hình hiện đại dựa trên các phương pháp thuật toán đang được phát triển trong các tổ chức nghiên cứu đã tự khẳng định mình là trường khoa học có uy tín trong lĩnh vực tri thức có liên quan.

Hơn nữa, các phương pháp số chỉ có thể áp dụng cho các vấn đề toán học chính xác, điều này hạn chế đáng kể việc sử dụng chúng trong mô hình toán học.

Phổ biến cho tất cả các phương pháp số là rút gọn một vấn đề toán học thành một chiều hữu hạn. Điều này thường đạt được nhất bằng cách giải quyết vấn đề ban đầu, tức là chuyển từ một hàm của đối số liên tục sang các hàm của một đối số rời rạc. Ví dụ, quỹ đạo của trọng tâm của một quả bóng rổ không được định nghĩa là một hàm liên tục của thời gian, mà là một hàm bảng (rời rạc) của các tọa độ theo thời gian, tức là xác định các giá trị của tọa độ chỉ cho một số điểm hữu hạn trong thời gian. Lời giải thu được của bài toán rời rạc được coi là lời giải gần đúng của bài toán ban đầu.

Việc sử dụng phương pháp số nào cũng không tránh khỏi sai số về kết quả giải bài. Có ba thành phần chính của lỗi kết quả trong lời giải số của bài toán ban đầu:

lỗi nghiêm trọng liên quan đến việc gán dữ liệu ban đầu không chính xác (điều kiện ban đầu và biên, hệ số và vế phải của phương trình);

lỗi của phương pháp liên quan đến việc chuyển đổi sang một phương pháp tương tự rời rạc của bài toán ban đầu (ví dụ: thay thế đạo hàm sự khác biệt tương tự
, chúng tôi nhận được lỗi tùy ý, tại gọi món);

lỗi làm tròn liên quan đến dung lượng chữ số hữu hạn của các số được biểu diễn trong máy tính.

Một yêu cầu tự nhiên đối với một thuật toán tính toán cụ thể là tính nhất quán về thứ tự độ lớn của ba loại lỗi được liệt kê.

Phương pháp số hoặc gần đúng luôn được thực hiện dưới dạng một thuật toán tính toán. Do đó, tất cả các yêu cầu đối với thuật toán đều có thể áp dụng cho thuật toán tính toán. Trước hết, thuật toán phải có thể thực hiện được - để cung cấp giải pháp cho vấn đề trong thời gian máy tính có thể chấp nhận được. Một đặc điểm quan trọng của thuật toán là độ chính xác của nó, tức là khả năng đạt được giải pháp cho vấn đề ban đầu với độ chính xác nhất định trong một số lượng hữu hạn các hành động. Rõ ràng, càng ít, thời gian sử dụng máy càng nhiều. Đối với các giá trị rất nhỏ, thời gian tính toán có thể rất lâu. Do đó, trong thực tế, một số thỏa hiệp đạt được giữa độ chính xác và thời gian máy đã sử dụng. Rõ ràng là đối với mỗi tác vụ, thuật toán và loại máy tính có một giá trị đặc trưng của độ chính xác đạt được.

Thời gian chạy của thuật toán phụ thuộc vào số bước cần thiết để đạt được độ chính xác được chỉ định. Đối với bất kỳ vấn đề toán học nào, theo quy tắc, bạn có thể đưa ra một số thuật toán cho phép bạn nhận được giải pháp với độ chính xác nhất định, nhưng với một số bước khác nhau. Các thuật toán bao gồm ít bước hơn để đạt được cùng độ chính xác sẽ được gọi là tiết kiệm hơn hoặc hiệu quả hơn.

Trong quá trình hoạt động của thuật toán tính toán, một lỗi nhất định xảy ra ở mỗi hành động tính toán. Hơn nữa, từ hành động đến hành động, nó có thể tăng hoặc không (và trong một số trường hợp thậm chí còn giảm). Nếu sai số trong quá trình tính toán tăng lên vô hạn, thì thuật toán như vậy được gọi là không ổn định, hay phân kỳ. Nếu không, thuật toán được gọi là ổn định, hoặc hội tụ.

Ở trên đã lưu ý rằng toán học tính toán hợp nhất một lớp khổng lồ các phương pháp số và phương pháp gần đúng khác nhau, đang phát triển nhanh chóng, vì vậy hầu như không thể đưa ra phân loại đầy đủ của chúng. Mong muốn có được các thuật toán tính toán chính xác, hiệu quả và ổn định hơn dẫn đến sự xuất hiện của nhiều sửa đổi có tính đến các tính năng cụ thể của một vấn đề toán học cụ thể hoặc thậm chí các tính năng của các đối tượng được mô hình hóa.

Các nhóm phương pháp số sau có thể được phân biệt theo đối tượng mà chúng được áp dụng:

nội suy và phân biệt số;

hội nhập số;

xác định nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính và phi tuyến tính;

nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (chia nhỏ thành phương pháp trực tiếp và phương pháp lặp);

nghiệm của hệ phương trình phi tuyến tính;

nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thông thường;

giải các bài toán giá trị biên cho các phương trình vi phân thông thường;

nghiệm của phương trình đạo hàm riêng;

nghiệm của phương trình tích.

Sự đa dạng của các phương pháp số làm cho việc lựa chọn một phương pháp này hoặc một phương pháp khác trong từng trường hợp cụ thể trở nên khó khăn. Vì một số phương pháp thuật toán thay thế có thể được sử dụng để triển khai cùng một mô hình, nên việc lựa chọn một phương pháp cụ thể được thực hiện có tính đến phương pháp nào phù hợp hơn với mô hình này về mặt đảm bảo hiệu quả, tính ổn định và độ chính xác của kết quả, cũng như thành thạo hơn và quen thuộc hơn với các thành viên. nhóm làm việc. Thông thường, việc làm chủ một phương pháp mới là rất tốn công sức và đi kèm với thời gian và chi phí tài chính cao. Trong trường hợp này, các chi phí chính liên quan đến việc phát triển và gỡ lỗi phần mềm cần thiết cho loại máy tính tương ứng, điều này đảm bảo cho việc thực hiện phương pháp này.

Cần lưu ý rằng toán học tính toán, theo một nghĩa nào đó, là một nghệ thuật hơn là một khoa học (theo cách hiểu của người sau này là một lĩnh vực văn hóa dựa trên logic hình thức). Thông thường, hiệu quả của các phương pháp được sử dụng, các chương trình đã phát triển được xác định bằng các kỹ thuật trực quan đã được phát triển trong nhiều năm và hàng chục năm, mà không được chứng minh từ quan điểm toán học. Về vấn đề này, hiệu quả của một phương pháp và cùng một phương pháp có thể khác nhau rất nhiều khi nó được các nhà nghiên cứu khác nhau áp dụng.

Thí dụ. Một giải pháp phân tích cho vấn đề của một cầu thủ bóng rổ.

Các hằng số tích hợp được tìm thấy từ các điều kiện ban đầu (2.6). Sau đó, giải pháp cho vấn đề có thể được viết như sau:

,
, , (2.9)

Để có được lời giải cho bài toán của một cầu thủ bóng rổ đã xét ở trên, người ta có thể sử dụng cả phương pháp phân tích và phương pháp số. Tích hợp các tỷ lệ được ghi lại trên cặp trước đó trong thời gian, chúng tôi nhận được

, , , , (2.10)

Hãy giả sử đơn giản rằng tại thời điểm ném bóng, quả bóng ở vị trí gốc và ở cùng mức với rổ (tức là ). Theo khoảng cách ném, chúng ta có nghĩa là khoảng cách dọc theo trục mà bóng sẽ bay từ điểm ném đến giao điểm với mặt phẳng ngang đi qua vòng rổ. Từ quan hệ (2.10), phạm vi ném sẽ được biểu thị như sau:

(2,11)

Có tính đến (2.7), độ chính xác của ném

(2.12)

Ví dụ, khi ném bóng từ đường phạm lỗi, dữ liệu ban đầu sau đây có thể được lấy: ; m; bệnh đa xơ cứng; ... Sau đó từ (2.11) và (2.12) chúng ta có m; m.

Thí dụ... Giải pháp thuật toán của bài toán cầu thủ bóng rổ.

Trong trường hợp đơn giản nhất, bạn có thể sử dụng phương pháp của Euler. Thuật toán mã giả để giải quyết vấn đề này được đưa ra dưới đây.

Thuật toán 2.1

chương trình cái rổ (Bài toán bóng rổ);

(Dữ liệu: m, R - khối lượng và bán kính của quả cầu;

x0, y0 - tọa độ ban đầu của bóng;

v0, a0 - tốc độ ban đầu và góc ném bóng;

xk, yk - tọa độ của tâm rổ;

t là thời điểm hiện tại;

dt - bước thời gian;

fx, fy - các lực tác dụng lên quả cầu;

x, y, vx, vy - tọa độ hiện tại và hình chiếu của tốc độ bóng.

các kết quả: L và D là phạm vi và độ chính xác của cú ném.)

m: = 0,6; R: = 0,12;

v0: = 6,44; a0: = 45;

Chúng ta hãy xây dựng các yêu cầu cơ bản cho mô hình M của quá trình hoạt động của hệ thống (đối tượng):

1) tính đầy đủ của mô hình phải cung cấp cho người sử dụng khả năng có được bộ ước lượng cần thiết về các đặc tính của hệ thống với độ chính xác và độ tin cậy cần thiết.

2) tính linh hoạt của mô hình sẽ làm cho nó có thể tái tạo các tình huống khác nhau khi thay đổi cấu trúc và thông số của hệ thống.

3) thời gian phát triển mô hình càng ngắn càng tốt.

4) cấu trúc của mô hình phải là khối, tức là cho phép khả năng thay thế, bổ sung và loại trừ một số bộ phận mà không làm thay đổi toàn bộ mô hình.

5) phần mềm và phần cứng phải cung cấp phần mềm triển khai mô hình hiệu quả về tốc độ và bộ nhớ.

1.3. Phân loại mô hình toán học

V Rất thuận tiện khi chọn một đặc trưng rõ ràng như vậy làm kiểu của đối tượng được mô hình hóa làm cơ sở cho việc phân loại các mô hình toán học. Theo loại đối tượng nghiên cứu, các mô hình toán học của các thiết bị kỹ thuật, quy trình công nghệ, công nghiệp, xí nghiệp được phân biệt.

Lần lượt, mỗi nhóm mô hình được chọn có thể được chia thành một số nhóm và nhóm con, tùy thuộc vào tiêu chí phân loại được áp dụng cho chúng. Loại thứ hai thường được sử dụng nhiều nhất bởi các yếu tố thời gian (mô hình liên tục và rời rạc), chế độ hoạt động của đối tượng được mô tả trong mô hình (động và tĩnh), kiểu kết nối chức năng (tuyến tính hoặc phi tuyến).

Ví dụ: trên cơ sở này, bạn có thể phân loại các mô hình toán học của các đối tượng và thiết bị kỹ thuật, làm nổi bật tám nhóm mô hình

V Tùy thuộc vào bản chất của các thuộc tính được hiển thị, các mô hình toán học được chia thành chức năng và cấu trúc. Các mô hình chức năng phản ánh các quá trình diễn ra trong đối tượng. Thông thường, các mô hình này được quy định dưới dạng hệ phương trình.

Mô hình cấu trúc được sử dụng trong các nhiệm vụ thiết kế liên quan đến việc mô tả sự xuất hiện của một sản phẩm, trong các nhiệm vụ thiết kế kiểu dáng. Đây là những mô hình hiển thị các thuộc tính hình học của một đối tượng (các yếu tố tạo nên đối tượng và bản chất của các liên kết giữa các yếu tố). Các mô hình toán học này ở dạng ma trận, đồ thị, v.v.

Theo phương pháp xây dựng mô hình toán học, một lớp mô hình toán học chính thức (thực nghiệm-thống kê) và một lớp mô hình không chính thức (phân tích) được phân biệt.

Các mô hình toán học chính thức được tạo ra dựa trên kết quả quan sát thực nghiệm của một số đối tượng tương tự. Phương trình ghép Y = F (X, Z) có điều kiện và không phản ánh cấu trúc bên trong, thiết kế và tính năng công nghệ của đối tượng.

Mô hình toán học của các đối tượng và thiết bị kỹ thuật

Hình 1.4. Phân loại mô hình toán học

Các mô hình không chính thức được tạo ra trên cơ sở các phương trình bảo toàn phổ quát (khối lượng, năng lượng, động lượng). Phương trình liên kết Y = F (X, Z) phản ánh các định luật bảo toàn chung, các quá trình vật lý và hóa học cơ bản xảy ra trong vật thể.

Theo kiểu quan hệ chức năng giữa các tham số đầu vào và đầu ra (F (X, Z)), người ta thường phân biệt các mô hình toán học tuyến tính và phi tuyến tính.

Các nhiệm vụ nghiên cứu một đối tượng có thể được giới hạn trong một phương thức hoạt động nhất định của nó. Phù hợp với đặc điểm này, mô hình tĩnh và mô hình động được phân biệt.

Mô hình toán học của động lực học mô tả chế độ hoạt động nhất thời của đối tượng và hiển thị sự thay đổi theo thời gian của tọa độ đầu ra (Y (t)) của đối tượng.

Khi phát triển một mô hình toán học về động lực học của một đối tượng xác định, nhiều loại phương trình vi phân khác nhau được sử dụng.

1. Để mô tả mô hình động lực học của một vật đứng yên với tọa độ gộp, phương trình vi phân thông thường hoặc hàm truyền được sử dụng:

2. Để mô tả mô hình động lực học của một vật đứng yên có phân phối, phương trình đạo hàm riêng:

3. Để mô tả mô hình động lực học của một vật thể không đứng yên với tọa độ gộp, phương trình vi phân thông thường hoặc hàm truyền với hệ số biến thời gian được sử dụng:

4. Để mô tả mô hình động lực học của một vật thể không đứng yên với tọa độ phân bố, người ta sử dụng phương trình vi phân riêng với hệ số biến thời gian:

Mô hình toán học của tĩnh mô tả trạng thái hoạt động ổn định của đối tượng (dY dt = 0) và hiển thị sự phụ thuộc của tọa độ đầu ra của

ect (Y) từ tọa độ đầu vào của nó (X).

Khi phát triển một mô hình toán học tĩnh của một đối tượng xác định, các loại phương trình vi phân và hữu hạn khác nhau được sử dụng.

5. Để mô tả mô hình tĩnh của một vật đứng yên với tọa độ gộp, phương trình đại số (hữu hạn) được sử dụng

f (Y, X, B) = 0.

với tọa độ chính xác, phương trình hữu hạn với hệ số thay đổi theo thời gian được sử dụng:

1.4. Khái niệm về tính đầy đủ của mô hình toán học

Hãy để mô hình toán học được đưa ra dưới dạng một phương trình tĩnh: (1.12)

Có một đối tượng (nguyên bản), ở đầu vào mà một số nhiễu có thể được áp dụng bằng cách đặt một giá trị mới của vectơ tọa độ đầu vào X = X *. Sử dụng các giá trị này trong phương trình (1.12), bạn có thể tìm thấy phép tính

giá trị ny của vectơ tọa độ đầu ra Y chủng tộc (X *, B *). So sánh cái này

vectơ với các giá trị tương ứng thu được trong quá trình thí nghiệm trên đối tượng (ban đầu), chúng ta có thể kết luận về mức độ gần của mô hình với ban đầu (Hình 1.5).

giữa chủng tộc Y (X *, B *) và vectơ Y esp (X *) thu được trên đối tượng có X = X * nhỏ hơn một số nhất định, tức là

ρ [Y (X *, B *), Y (X *)]< .

trong đó ρ là hàm dư, xác định công thức tính khoảng cách;

- sai số cho phép, đặc trưng cho mức độ đầy đủ của mô hình.

Hình 1.5. Xác định tính đầy đủ của mô hình đối tượng

Mức độ đầy đủ của mô hình phụ thuộc vào mức độ đầy đủ và tin cậy của thông tin về đối tượng điều tra, mức độ chi tiết của mô hình, độ chính xác của việc xác định các tham số của mô hình, trình độ đào tạo và kinh nghiệm của người nghiên cứu.

1.5. Đặc điểm chung của các phương pháp biên dịch mô hình toán học

Phân tích bất kỳ phương pháp nào để phát triển một mô hình toán học cho phép chúng ta phân biệt ba giai đoạn cần thiết để giải quyết vấn đề này:

xác định cấu trúc của hàm truyền thông f của tọa độ đầu vào X và đầu ra Y của đối tượng (hình thành dạng tổng quát của phương trình của mô hình toán học);

xác định các tham số của mô hình (các hệ số của phương trình của mô hình toán học) B. Bài toán xác định véc tơ tham số B;

kiểm tra tính đầy đủ của mô hình toán học.

Tùy thuộc vào phương pháp giải các bài toán của giai đoạn thứ nhất và thứ hai, người ta phân biệt ba nhóm phương pháp biên soạn mô hình toán học: chính quy (phương pháp thực nghiệm - thống kê), không chính quy (phương pháp phân tích) và phương pháp kết hợp.

Các phương pháp chính thức (thực nghiệm-thống kê) được sử dụng để xây dựng các mô hình toán học của các đối tượng đứng yên và không đứng yên, chỉ với các tọa độ gộp. Các tính năng chính của các phương pháp này là:

các mô hình toán học chính thức giống hệt với B

có thể mô tả các BTS khác nhau; không cần nghiên cứu sâu về các tính năng của đối tượng được mô hình hóa;

Độ chính xác của mô hình toán học đạt được bằng cách tăng thứ nguyên của véc tơ tham số (hệ số) V.

Các phương pháp chính thức để xây dựng mô hình toán học dựa trên khái niệm điều khiển học về đối tượng mô hình hóa như một loại hộp đen (Hình 1.6).

Hình 1.6. Sơ đồ khối của đối tượng mô phỏng

V trong khái niệm này, người ta giả định rằng:

- cấu trúc bên trong của đối tượng là không xác định,

- tất cả các đầu vào (X) và đầu ra (Y) của đối tượng đều có sẵn để quan sát,

- các nhiễu khác nhau có thể được áp dụng cho đầu vào của đối tượng,

- Dựa trên các quan sát của X và Y, có thể lập phương trình ràng buộc, những phương trình này sẽ được coi là phương trình của mô hình toán học của đối tượng.

Một trong những ưu điểm chính của nhóm phương pháp này là tính linh hoạt và hoàn toàn bất biến đối với lĩnh vực được nghiên cứu. Việc sử dụng chúng giả định rằng nhà phát triển có một lượng dữ liệu thực nghiệm đáng kể: kết quả của các quan sát (X và Y) về đối tượng. Rõ ràng, các phương pháp thực nghiệm-thống kê không thể được sử dụng để xây dựng các đối tượng mới, các đối tượng đang ở giai đoạn thiết kế mà không tồn tại trong thực tế.

Các tính năng của các phương pháp không chính thức (phân tích) để biên soạn các mô hình toán học bao gồm các dữ kiện:

Hàm giao tiếp f của tọa độ đầu vào X và đầu ra Y được suy ra dựa trên việc phân tích các quá trình vật lý và hóa học cơ bản xảy ra trong đối tượng mô hình hóa;

Các thành phần của véc tơ Các tham số của mô hình (hệ số của phương trình) bao gồm các đặc điểm cấu trúc và công nghệ chính của đối tượng mô phỏng;

Các mô hình toán học thu được trên cơ sở các phương pháp này, như một quy luật, là phi tuyến tính.

Ưu điểm chính của phương pháp phân tích để xây dựng mô hình

là khả năng phân tích chi tiết (đầy đủ) các đặc điểm của một đối tượng trong một loạt các thay đổi trong dữ liệu ban đầu. Tuy nhiên, cách tiếp cận phân tích để phát triển các mô hình toán học chỉ có thể thực hiện được khi xem xét các đối tượng tương đối đơn giản; trong các trường hợp khác, nó đòi hỏi sự đơn giản hóa đáng kể (giả định) mô tả các quá trình thực, dẫn đến giảm độ chính xác của mô hình. Các phương pháp phân tích để phát triển các mô hình toán học không yêu cầu thiết lập các thí nghiệm và có thể được sử dụng trong các nghiên cứu trước khi thiết kế, cũng như trong thiết kế một cơ sở mới.

Các phương pháp kết hợp là sự tích hợp các phương pháp tiếp cận phân tích và thống kê chính thức để phát triển các mô hình toán học. Ví dụ, việc hình thành các phương trình của mô hình toán học ở dạng tổng quát được thực hiện trên cơ sở các định luật bảo toàn phổ quát (phương pháp giải tích), và việc xác định các tham số của mô hình được thực hiện bằng phương pháp thực nghiệm và thống kê. Với cách tiếp cận này, nhược điểm chính của các phương pháp chính thức để xây dựng mô hình bị suy yếu: sự thiếu vắng trong cấu trúc phương trình của ánh xạ các quá trình hóa lý cơ bản xảy ra trong đối tượng được nghiên cứu.

Câu hỏi kiểm soát

1. Bạn biết những loại mô hình nào?

2. Nguyên tắc đằng sau mô hình vật lý là gì?

3. Nguyên tắc đằng sau mô hình toán học là gì?

4. Làm thế nào để có thể trình bày một mô hình vật lý?

5. Những ưu điểm và nhược điểm chính của mô hình vật lý.

6. Mô hình toán học có thể được trình bày dưới dạng nào?

7. Ưu nhược điểm của mô hình toán học.

8. Các tính năng đặc trưng của mô phỏng.

9. Dấu hiệu phân loại nào được dùng để phân biệt các lớp riêng lẻ của mô hình toán học?

10. Mô hình toán học của động lực học mô tả điều gì?

11. Bạn biết những mô hình toán học nào về động lực học?

12. Mô hình toán học của tĩnh mô tả điều gì?

13. Bạn biết những lớp mô hình toán học tĩnh nào?

14. Liệt kê các giai đoạn phát triển mô hình toán học của đối tượng.

15. Bạn hiểu như thế nào về câu nói "Mô hình là phù hợp với đối tượng"?

16. Nêu các nhóm phương pháp biên soạn mô hình toán học.

17. Bạn biết những tính năng nào của các phương pháp chính thức để xây dựng mô hình toán học?

18. Đặc điểm của các phương pháp phân tích để xây dựng mô hình.

Gửi công việc tốt của bạn trong cơ sở kiến ​​thức là đơn giản. Sử dụng biểu mẫu bên dưới

Các sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng tri thức trong học tập và làm việc sẽ rất biết ơn các bạn.

Đăng trên http://www.allbest.ru/

LƯU Ý

Công việc của khóa học này sẽ xem xét các loại mô hình toán học, sự phân loại của chúng, các loại mô hình toán học chính, các sơ đồ của chúng. Ví dụ về việc xây dựng các mô hình toán học bằng cách sử dụng một số ví dụ sẽ được đưa ra. Công việc này sẽ giúp học sinh hiểu được tất cả các dạng và dạng mô hình toán học, hiểu được nguyên tắc nào có thể phân loại các mô hình toán học, yếu tố quyết định việc lựa chọn một mô hình toán học cụ thể. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu sơ đồ của các mô hình toán học là gì và đặc điểm của chúng là gì.

TRỪU TƯỢNG

Trong thuật ngữ này, bài báo sẽ được coi là loại mô hình toán học, sự phân loại của chúng. Các dạng chính của mô hình toán học, các lược đồ của chúng. Sẽ trích dẫn các tòa nhà mẫu của các mô hình toán học trên một số ví dụ.

Giới thiệu

1. Mô phỏng

1.1 Mục tiêu và mục tiêu của mô hình hóa

1.2 Yêu cầu về mô hình

2. Phân loại mô hình

3. Mô hình toán học

3.1 Các mô hình xác định liên tục (D - schemes)

3.2 Mô hình xác định rời rạc (mạch F)

3.3 Các phương pháp lý thuyết xếp hàng

4. Lựa chọn mô hình toán học

4.1 So sánh các phương pháp xây dựng mô hình toán học

4.2 Tính hợp lệ và tính đơn giản của mô hình

4.3 Xác thực và xác định mô hình

4.4 Chọn mô hình toán học

5. Các ví dụ về việc biên dịch các mô hình toán học

Sự kết luận

Danh sách các nguồn thông tin

GIỚI THIỆU

Ở giai đoạn phát triển kinh tế và xã hội hiện nay của nước cộng hòa, các yêu cầu cao được đặt ra đối với mức độ công việc kinh tế ở tất cả các cấp. Ngày nay, đặc biệt cần có những thay đổi về chất trong nền kinh tế, làm tăng đáng kể hiệu quả của tất cả các mắt xích của hệ thống kinh tế: doanh nghiệp, hiệp hội, ngành hàng. Đặc biệt quan trọng, trong bối cảnh các doanh nghiệp mở rộng quyền trong lĩnh vực sản xuất và hoạt động kinh tế, sự độc lập của họ trong việc đưa ra các quyết định quản lý, là có được kiến ​​thức sâu sắc về những thành tựu mới nhất của khoa học kinh tế, các phương pháp mô hình toán học và dự báo kinh tế. các quy trình dựa trên công nghệ thông tin của các quyết định tối ưu. Những hoàn cảnh này đặt ra yêu cầu ngày càng cao đối với chất lượng đào tạo các chuyên gia, những người phải sở hữu những thành tựu mới nhất của khoa học và có thể sử dụng kho phương pháp phong phú của mình để tìm ra các giải pháp quản lý hiệu quả nhất, và điều này sẽ quyết định vai trò và vị trí của các phương pháp tối ưu hóa toán học trong quá trình giáo dục. dịch vụ mô phỏng xác định

Phương pháp mô hình toán học, là một công cụ mạnh để nghiên cứu các quá trình kinh tế, đóng một vai trò rất quan trọng trong việc phân tích và tổng hợp sự phát triển kinh tế, định nghĩa cung cấp tối ưu hóa đa cấp nắm bắt mối quan hệ của các ngành, vùng và doanh nghiệp.

Trong khoa học, công nghệ và kinh tế, các mô hình được sử dụng để mô tả các tính năng đặc trưng của hệ thống và cho phép dự đoán hành vi của chúng một cách khá đáng tin cậy. Các mô hình đơn giản nhất có thể là bảng hoặc đồ thị kết nối mức độ tác động lên hệ thống với các giá trị phản ánh phản ứng của nó đối với các hành động này. Cấp độ cao hơn của các mô hình là các phương trình phản ánh mối quan hệ tương tự (đại số, vi phân, tích phân, v.v.). các tính chất của một hệ phức tạp được phản ánh bởi một tập hợp các phương trình khác nhau. Các mô hình như vậy được gọi là mô hình toán học và mô tả các lớp của hệ thống. Bất kể phương pháp tạo mô hình toán học nào, nó luôn phản ánh gần đúng hệ thống đang nghiên cứu. Điều này là do kiến ​​thức của chúng ta chưa đầy đủ về bản chất của các quá trình xảy ra trong hệ thống, không thể tính đến tất cả các quá trình và các tính năng của chúng (một mô hình toán học quá cồng kềnh), với sự trình bày dữ liệu về hệ thống không chính xác. và các yếu tố của nó. Có một mô hình toán học của hệ thống, có thể dự đoán hành vi của nó trong các tình huống khác nhau (để thực hiện mô hình toán học của hệ thống).

1. LÀM MÔ HÌNH

Mô hình hóa - nó là việc nghiên cứu một đối tượng bằng cách xây dựng và nghiên cứu mô hình của nó, được thực hiện với một mục đích cụ thể và bao gồm việc thay thế thí nghiệm bằng thí nghiệm ban đầu trên mô hình. Mô hình cần được xây dựng sao cho tái hiện đầy đủ nhất những phẩm chất đó của đối tượng cần nghiên cứu phù hợp với mục tiêu đã đặt ra. Về mọi mặt, mô hình phải đơn giản hơn đối tượng và thuận tiện hơn để nghiên cứu. Như vậy, đối với cùng một đối tượng, có thể có các mô hình, lớp mô hình khác nhau tương ứng với các mục đích nghiên cứu khác nhau của nó. Một điều kiện cần thiết để mô hình hóa là sự giống nhau của đối tượng và mô hình của nó. Những thứ kia. mô hình hóa là sự thay thế một đối tượng (ban đầu) bằng một đối tượng khác (mô hình) và cố định và nghiên cứu các thuộc tính của mô hình. Sự thay thế được thực hiện với mục đích đơn giản hóa, cheapening, đẩy nhanh việc nghiên cứu các thuộc tính của bản gốc.

Trong trường hợp tổng quát, đối tượng ban đầu có thể là một hệ thống tự nhiên hoặc nhân tạo, thực hoặc tưởng tượng. Nó có nhiều tham số và được đặc trưng bởi một số thuộc tính nhất định. Một thước đo định lượng các thuộc tính của một hệ thống là một tập hợp các đặc tính; hệ thống biểu hiện các thuộc tính của nó dưới tác động của các tác động bên ngoài. Từ một chuyên gia tham gia xây dựng mô hình, cần có những phẩm chất cơ bản sau:

o sự hiểu biết rõ ràng về bản chất của các hiện tượng vật lý và hóa học xảy ra trong đối tượng;

o khả năng mô tả toán học các quá trình đang diễn ra và áp dụng các phương pháp mô hình hóa;

o có thể cung cấp các kết quả có ý nghĩa trên mô hình.

1.1 Mục tiêu và mục tiêu của mô hình hóa

Các mục tiêu và mục tiêu chính của mô hình như sau:

1. Thiết kế tối ưu các quy trình công nghệ mới và tăng cường hiện có.

2. Kiểm soát diễn biến của quá trình, thu thập thông tin cần thiết về nó và xử lý thông tin nhận được để kiểm soát diễn biến của quá trình công nghệ.

3. Giải quyết các vấn đề nghiên cứu các đối tượng không thể tiến hành các thí nghiệm tích cực - chế độ hoạt động của lò phản ứng, quỹ đạo của các đối tượng không gian, v.v.

4. Tăng tốc tối đa việc chuyển giao các kết quả nghiên cứu trong phòng thí nghiệm sang quy mô công nghiệp.

1.2 Yêu cầu về mô hình

1. Chi phí tạo mô hình phải ít hơn đáng kể so với chi phí tạo mô hình gốc.

2. Các quy tắc giải thích kết quả của một thí nghiệm tính toán phải được xác định rõ ràng.

3. Yêu cầu chính - mô hình phải thực chất. Yêu cầu này là mô hình phải phản ánh các thuộc tính của đối tượng cần thiết cho việc giải quyết một vấn đề cụ thể. Đối với một và cùng một đối tượng, rất khó để tạo ra một mô hình tổng quát phản ánh tất cả các thuộc tính của nó. Vì vậy, điều quan trọng là phải đảm bảo tính trọng yếu của mô hình.

Nên tạo mô hình khi mô hình thiếu những đặc điểm của bản gốc làm cản trở quá trình nghiên cứu của nó.

Lý thuyết mô hình hóa là một tập hợp các điều khoản, định nghĩa, phương pháp và công cụ được kết nối với nhau để tạo ra các mô hình. Bản thân các mô hình là chủ đề của lý thuyết mô hình hóa.

Lý thuyết mô hình hóa là thành phần chính của lý thuyết chung về hệ thống - hệ thống học, trong đó các mô hình khả thi được coi là nguyên tắc chính: hệ thống được biểu diễn bằng một tập hợp hữu hạn các mô hình, mỗi mô hình phản ánh một khía cạnh nào đó về bản chất của nó.

2 . PHÂN LOẠI MÔ HÌNH

Mô hình có thể được phân loại theo các loại thuộc tính khác nhau:

- bằng phương pháp nhận thức: khoa học và kỹ thuật, nghệ thuật, hàng ngày;

- theo bản chất của các mô hình: khách quan (vật chất / vật chất), dấu hiệu (tinh thần).

Hình 1 Phân loại mô hình theo bản chất

- liên quan đến thời gian, mô hình tĩnh và mô hình động được phân biệt;

- theo bản chất của sự phụ thuộc của các tham số đầu ra vào đầu vào, các mô hình được chia thành định thức và ngẫu nhiên.

Mô hình vật chất - thu nhỏ (phóng to) sự phản chiếu của bản gốc mà vẫn giữ nguyên bản chất vật lý (lò phản ứng - ống nghiệm). Mô hình tinh thần là sự phản ánh cái gốc, phản ánh những nét bản chất và nảy sinh trong ý thức của con người trong quá trình nhận thức. Mô hình hình ảnh mang tính mô tả. Mô hình dấu hiệu là mô tả toán học của các quá trình, hiện tượng, đối tượng và thường được gọi là mô hình toán học. Mô hình chữ ký cũng có thể bao gồm sơ đồ và hình vẽ.

Vid mô hình liên quan đến thời gianvà theo bản chất của các tham số đầu ra

Hình 2.

Các mô hình vật lý. Việc phân loại dựa trên mức độ trừu tượng của mô hình so với bản gốc. Tất cả các mô hình có thể được chia sơ bộ thành 2 nhóm - vật lý và trừu tượng (toán học).

Mô hình vật lý thường được gọi là một hệ thống tương đương hoặc tương tự với mô hình ban đầu, nhưng có thể có bản chất vật lý khác. Các loại mô hình vật lý:

Thiên nhiên;

bán tự nhiên;

quy mô lớn;

tương tự.

Các mô hình tự nhiên là các hệ thống được điều tra thực tế (mô phỏng, nguyên mẫu). Chúng có đầy đủ tính thích hợp (tương ứng) với hệ thống ban đầu, nhưng chúng đắt tiền.

Mô hình gần tự nhiên là một tập hợp các mô hình tự nhiên và toán học. Loại này được sử dụng khi mô hình của một phần hệ thống không thể là toán học do sự phức tạp trong mô tả của nó (mô hình của người vận hành) hoặc khi một phần của hệ thống phải được nghiên cứu trong sự tương tác với các phần khác, nhưng chúng không chưa tồn tại hoặc việc đưa chúng vào là rất đắt (đa giác tính toán, hệ thống điều khiển tự động).

Mô hình tỷ lệ là một hệ thống có cùng bản chất vật lý với mô hình ban đầu, nhưng khác về tỷ lệ. Cơ sở phương pháp luận cho mô hình hóa quy mô lớn là lý thuyết về sự tương tự. Trong thiết kế hệ thống tính toán, các mô hình tỷ lệ có thể được sử dụng để phân tích các lựa chọn cho các giải pháp bố trí.

Mô hình tương tự là các hệ thống có bản chất vật lý khác với bản chất ban đầu, nhưng các quá trình hoạt động tương tự như bản gốc. Để tạo một mô hình tương tự, cần có một mô tả toán học của hệ thống đang nghiên cứu. Hệ thống cơ khí, thủy lực, khí nén và điện được sử dụng như mô hình tương tự. Mô hình tương tự được sử dụng trong nghiên cứu công nghệ máy tính ở cấp độ phần tử logic và mạch điện, cũng như ở cấp độ hệ thống, khi hoạt động của hệ thống được mô tả, ví dụ, bằng phương trình vi phân hoặc đại số.

Mô hình toán học đại diện cho một biểu diễn chính thức của một hệ thống bằng ngôn ngữ trừu tượng, sử dụng các mối quan hệ toán học phản ánh quá trình hoạt động của hệ thống. Để biên dịch các mô hình toán học, bạn có thể sử dụng bất kỳ phương tiện toán học nào - phép tính đại số, vi phân, tích phân, lý thuyết tập hợp, lý thuyết thuật toán, v.v. Về bản chất, tất cả toán học được tạo ra để biên soạn và nghiên cứu các mô hình của các đối tượng và quá trình.

Các phương tiện mô tả trừu tượng của các hệ thống cũng bao gồm các ngôn ngữ của công thức hóa học, sơ đồ, hình vẽ, bản đồ, sơ đồ, v.v. Việc lựa chọn loại mô hình được xác định bởi các đặc điểm của hệ thống đang nghiên cứu và các mục tiêu của mô hình, vì việc nghiên cứu mô hình cho phép bạn nhận được câu trả lời cho một nhóm câu hỏi cụ thể. Thông tin khác có thể yêu cầu một loại mô hình khác. Các mô hình toán học có thể được phân loại thành xác định và xác suất, phân tích, số và mô phỏng.

Mô hình phân tích là một mô tả chính thức của một hệ thống cho phép người ta có được một nghiệm rõ ràng cho một phương trình bằng cách sử dụng một công cụ toán học nổi tiếng.

Mô hình số được đặc trưng bởi sự phụ thuộc (1.2) của một hình thức chỉ cho phép các giải pháp cụ thể đối với các điều kiện ban đầu cụ thể và các tham số định lượng của mô hình.

Mô hình mô phỏng là một tập hợp các mô tả về hệ thống và các tác động bên ngoài, các thuật toán cho hoạt động của hệ thống hoặc các quy tắc thay đổi trạng thái của hệ thống dưới tác động của nhiễu bên ngoài và bên trong. Các thuật toán và quy tắc này không làm cho nó có thể sử dụng các phương pháp toán học có sẵn về giải tích và giải số, nhưng chúng cho phép mô phỏng quá trình hoạt động của hệ thống và thực hiện các phép tính về các đặc trưng quan tâm. Các mô hình mô phỏng có thể được tạo ra cho một loại đối tượng và quy trình rộng hơn nhiều so với các mô hình phân tích và số. Vì VS được sử dụng để thực hiện các mô hình mô phỏng, các ngôn ngữ thuật toán phổ thông và đặc biệt đóng vai trò là phương tiện mô tả chính thức của IM. MI thích hợp nhất cho việc nghiên cứu VS ở cấp độ toàn thân.

3 . MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Đây là phương pháp quan trọng nhất của nghiên cứu khoa học hiện đại, bộ máy chính của phân tích hệ thống. Mô hình toán học là nghiên cứu hành vi của một đối tượng trong những điều kiện nhất định bằng cách giải các phương trình của mô hình toán học của nó. Trong công nghệ hóa học, mô hình toán học được sử dụng thực tế ở mọi cấp độ nghiên cứu, phát triển và thực hiện. Phương pháp này dựa trên sự tương đồng về toán học. Trong các đối tượng tương tự về mặt toán học, các quá trình có bản chất vật lý khác nhau, nhưng được mô tả bằng các phương trình giống hệt nhau.

Trong giai đoạn đầu của sự phát triển của nó, mô hình toán học được gọi là tương tự. Hơn nữa, việc sử dụng phương pháp loại suy đã dẫn đến sự xuất hiện của máy tính toán tương tự - ACM. Đây là những thiết bị điện tử bao gồm bộ tích hợp, bộ phân biệt, bộ điều chỉnh mùa hè và bộ khuếch đại. ABM mô phỏng các hiện tượng vật lý tương tự như các hiệu ứng của bản chất điện. So với mô hình vật lý, mô hình toán học là một phương pháp phổ quát hơn.

Mô hình toán học:

- cho phép thực hiện với sự trợ giúp của một thiết bị (máy tính) giải toàn bộ các bài toán có cùng một mô tả toán học;

- cung cấp khả năng chuyển đổi dễ dàng từ nhiệm vụ này sang nhiệm vụ khác, cho phép bạn nhập các tham số biến đổi, nhiễu và các điều kiện ban đầu khác nhau;

- làm cho nó có thể thực hiện mô hình hóa trong các bộ phận ("quá trình cơ bản"), điều này đặc biệt quan trọng trong việc nghiên cứu các đối tượng phức tạp của công nghệ hóa học;

- Tiết kiệm hơn so với phương pháp mô hình hóa vật lý, cả về chi phí, cũng như giá thành.

Thông tin ban đầu trong việc xây dựng mô hình toán học của các quá trình hoạt động của hệ thống là dữ liệu về mục đích và điều kiện hoạt động của hệ thống được điều tra (dự kiến) S. Thông tin này xác định mục đích chính của mô hình hóa, các yêu cầu đối với mô hình toán học, mức độ trừu tượng và sự lựa chọn của lược đồ mô hình toán học.

Ý tưởng sơ đồ toán học cho phép chúng ta coi toán học không phải là một phương pháp tính toán, mà là một phương pháp tư duy, một phương tiện hình thành các khái niệm, điều quan trọng nhất trong quá trình chuyển đổi từ mô tả bằng lời sang biểu diễn chính thức của quá trình hoạt động của nó dưới dạng một số mô hình toán học.

Khi sử dụng một lược đồ toán học, trước hết, nhà nghiên cứu hệ thống nên quan tâm đến câu hỏi về tính đầy đủ của ánh xạ dưới dạng các lược đồ cụ thể của các quá trình thực trong hệ thống đang nghiên cứu, chứ không phải khả năng thu được câu trả lời (lời giải kết quả) cho một câu hỏi nghiên cứu cụ thể.

Một lược đồ toán học có thể được định nghĩa là một liên kết trong quá trình chuyển đổi từ mô tả có ý nghĩa sang mô tả chính thức về quá trình hoạt động của hệ thống, có tính đến tác động của môi trường bên ngoài. Những thứ kia. có một chuỗi: một mô hình mô tả - một lược đồ toán học - một mô hình mô phỏng.

Là mô hình xác định, khi một thực tế ngẫu nhiên không được tính đến trong nghiên cứu, các phương trình vi phân, tích phân và các phương trình khác được sử dụng để biểu diễn các hệ thống hoạt động trong thời gian liên tục và các lược đồ ô tô hữu hạn và sai phân hữu hạn được sử dụng để biểu diễn các hệ thống hoạt động trong thời gian rời rạc.

Ở phần đầu của mô hình ngẫu nhiên (có tính đến yếu tố ngẫu nhiên), tự động dữ liệu xác suất được sử dụng để biểu diễn các hệ thống có thời gian rời rạc và hệ thống xếp hàng (QS) được sử dụng để biểu thị các hệ thống có thời gian liên tục. Các mô hình tổng hợp được gọi là có tầm quan trọng thực tế lớn trong việc nghiên cứu các hệ thống quản lý cá nhân phức tạp, bao gồm các hệ thống điều khiển tự động.

Mô hình tổng hợp (hệ thống) làm cho nó có thể mô tả một loạt các đối tượng nghiên cứu với sự phản ánh bản chất hệ thống của các đối tượng này. Với mô tả tổng hợp, một đối tượng phức tạp được chia thành một số lượng hữu hạn các bộ phận (hệ thống con), đồng thời duy trì các kết nối, đảm bảo sự tương tác của các bộ phận.

3 .1 Liên tục xác định m O delhi (D - lược đồ)

Chúng ta hãy xem xét các tính năng của phương pháp xác định liên tục bằng cách sử dụng một ví dụ sử dụng phương trình vi phân như một mô hình toán học.

Phương trình vi phân là những phương trình trong đó hàm của một biến hoặc một số biến chưa biết và phương trình không chỉ bao gồm các hàm của chúng mà còn bao gồm các đạo hàm của chúng theo các bậc khác nhau.

Nếu ẩn số là hàm của một số biến thì phương trình được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Nếu các hàm chưa biết là của một biến độc lập, thì các phương trình vi phân thông thường sẽ xảy ra.

Mối quan hệ toán học chung cho các hệ thống xác định:

Ví dụ, quá trình dao động nhỏ của con lắc được mô tả bằng phương trình vi phân thông thường trong đó m 1, l 1 là khối lượng, chiều dài dây treo con lắc, là góc lệch của con lắc so với vị trí cân bằng. Từ phương trình này, bạn có thể tìm ước tính về các đặc điểm quan tâm, ví dụ: chu kỳ dao động

Phương trình vi phân, D - mạch là bộ máy toán học của lý thuyết về hệ thống điều chỉnh và điều khiển tự động.

Khi thiết kế và vận hành hệ thống điều khiển tự động (ACS), cần phải lựa chọn các thông số hệ thống như vậy sẽ cung cấp độ chính xác điều khiển cần thiết.

Cần lưu ý rằng các hệ phương trình vi phân thường được sử dụng trong ACS được xác định bằng cách tuyến tính hóa việc điều khiển một đối tượng (hệ thống) có dạng phức tạp hơn với các điểm phi tuyến tính:

3 .2 Rời rạc - mô hình xác định ( F -cơ chế)

Các mô hình xác định - rời rạc (DDM) là đối tượng được xem xét của lý thuyết về dữ liệu tự động (TA). TA là một phần của điều khiển học lý thuyết nghiên cứu các thiết bị xử lý thông tin rời rạc và chỉ thay đổi trạng thái bên trong của chúng vào những thời điểm có thể chấp nhận được.

Một máy trạng thái có nhiều trạng thái bên trong và các tín hiệu đầu vào là các tập hợp hữu hạn. Automaton được thiết lập bởi sơ đồ F:

F = ,

trong đó z, x, y lần lượt là tập hữu hạn các tín hiệu đầu vào và đầu ra (bảng chữ cái) và một tập hợp hữu hạn các trạng thái bên trong (bảng chữ cái). z 0 Z - trạng thái ban đầu; (z, x) - hàm chuyển tiếp; (z, x) - hàm thoát. Automaton hoạt động theo thời gian tự động rời rạc, những khoảnh khắc đó là tích tắc, tức là kề nhau các khoảng thời gian bằng nhau, mỗi khoảng thời gian tương ứng với các giá trị không đổi của tín hiệu đầu vào, đầu ra và trạng thái bên trong. Một tự động hóa trừu tượng có một đầu vào và một kênh đầu ra.

Tại thời điểm t, ở trạng thái z (t), ô tô tự động có thể nhận được tín hiệu x (t) và phát tín hiệu y (t) =, chuyển sang trạng thái z (t + 1) =, z ( t) Z; y (t) Y; x (t) X. Một phi thuyền trừu tượng ở trạng thái ban đầu z 0 chấp nhận các tín hiệu x (0), x (1), x (2)… đưa ra các tín hiệu y (0), y (1), y (2)… (đầu ra từ).

Có một F-automaton thuộc loại thứ nhất (Mile), hoạt động theo sơ đồ:

z (t + 1) =, t = 0,1,2 ... (1)

y (t) =, t = 0,1,2 ... (2)

máy tự động loại 2:

z (t + 1) =, t = 0,1,2 ... (3)

y (t) =, t = 1,2,3 ... (4)

Một ô tô tự động thuộc loại thứ 2, với y (t) =, t = 0,1,2, ... (5)

những thứ kia. Hàm của các kết quả đầu ra không phụ thuộc vào biến đầu vào x (t), nó được gọi là một tự động hóa Moore.

Điều đó. phương trình 1-5 hoàn toàn thiết lập F-automaton là một trường hợp đặc biệt của phương trình

(6)

đâu là véc tơ trạng thái, là véc tơ của các biến đầu vào độc lập, là véc tơ tác động của môi trường bên ngoài, là véc tơ của các thông số nội tại bên trong của hệ, là véc tơ của trạng thái ban đầu, t là thời gian; và phương trình, (7)

khi hệ thống S có giá trị và một tín hiệu rời rạc x đến đầu vào của nó.

Theo số trạng thái, máy trạng thái hữu hạn có thể có bộ nhớ và không có bộ nhớ. Tự động hóa có bộ nhớ có nhiều hơn một trạng thái và tự động hóa không có bộ nhớ (mạch tổ hợp hoặc mạch logic) chỉ có một trạng thái. Trong trường hợp này, theo (2), hoạt động của mạch tổ hợp là nó kết hợp mỗi tín hiệu đầu vào x (t) với một tín hiệu đầu ra nhất định y (t), tức là triển khai một hàm logic của biểu mẫu:

y (t) =, t = 0,1,2, ...

Hàm này được gọi là boolean nếu bảng chữ cái X và Y, chứa các giá trị của tín hiệu x và y, bao gồm 2 chữ cái.

Theo bản chất của thời gian (rời rạc), F-máy được chia thành đồng bộ và không đồng bộ. Trong tự động hóa đồng bộ, thời gian mà tại đó ô tô tự động "đọc" các tín hiệu đầu vào được xác định cưỡng bức bằng cách đồng bộ hóa các tín hiệu. Đáp ứng của máy đối với mỗi giá trị của tín hiệu đầu vào sẽ kết thúc trong một chu kỳ xung nhịp. Một F-automaton không đồng bộ đọc tín hiệu đầu vào liên tục và do đó, đáp ứng với một tín hiệu nước đủ dài có giá trị không đổi x, nó có thể, như sau từ 1-5, thay đổi trạng thái của mình nhiều lần, phát ra một số lượng tín hiệu đầu ra tương ứng cho đến khi trở nên ổn định.

Để xác định một F-automaton, cần phải mô tả tất cả các phần tử của tập F = , I E. các bảng chữ cái đầu vào, bên trong và đầu ra, cũng như các chức năng chuyển tiếp và đầu ra. Để thiết lập công việc của F-automata, các phương pháp bảng, đồ thị và ma trận thường được sử dụng nhất.

Trong cách thiết lập dạng bảng, các bảng chuyển tiếp và đầu ra được sử dụng, các hàng tương ứng với các tín hiệu đầu vào của ô tô tự động và các cột - với các trạng thái của nó. Trong trường hợp này, thường cột thứ nhất bên trái tương ứng với trạng thái ban đầu z 0. Tại giao điểm của hàng thứ i và cột thứ j của bảng chuyển tiếp, giá trị tương ứng (z k, x i) của hàm chuyển tiếp được đặt và trong bảng đầu ra - (z k, x i) của hàm đầu ra. Đối với máy tự động F-Moore, cả hai bảng có thể được kết hợp, sau khi nhận được cái gọi là. bảng chuyển đổi được đánh dấu, trong đó trên mỗi trạng thái z k của tự động hóa, biểu thị một cột của bảng, có một tín hiệu đầu ra tương ứng với trạng thái này, theo (5), (z i).

Mô tả hoạt động của tự động F-Mealy bằng bảng chuyển tiếp và thoát được minh họa trong Bảng 3.1., Và mô tả của tự động F-Moore - bằng bảng chuyển tiếp 3.2.

Bảng 3.1.Mô tả công việc của máy Dặm

Bảng 3.2.Mô tả hoạt động của máy Moore

Ví dụ về cách lập bảng để chỉ định máy F-Mealy F1 với ba trạng thái, hai tín hiệu đầu vào và hai tín hiệu đầu ra được cho trong bảng 3.3 và cho máy F-Moore F2 - trong bảng 3.4.

Bảng 3.3.Phương pháp cài đặt máy Dặm với ba trạng thái

Bảng 3.4.Một cách để xác định một automaton Moore với ba trạng thái

Một cách khác để định nghĩa máy trạng thái hữu hạn sử dụng khái niệm đồ thị có hướng. Đồ thị ô tô là một tập hợp các đỉnh tương ứng với các trạng thái khác nhau của ô tô và nối các đỉnh của các cung đồ thị tương ứng với các chuyển đổi nhất định của ô tự động. Nếu tín hiệu đầu vào x k gây ra sự chuyển từ trạng thái z i sang trạng thái z j, thì trên đồ thị tự động cung nối đỉnh z i với đỉnh z j được ký hiệu là x k. Để thiết lập hàm chuyển tiếp, các cung của đồ thị phải được đánh dấu bằng các tín hiệu đầu ra tương ứng. Với Mealy automata, việc đánh dấu này được thực hiện như sau: nếu tín hiệu đầu vào x k tác động lên trạng thái z i, thì theo những gì đã nói, một cung sẽ thu được, đi ra từ z i và được đánh dấu bằng x k; cung này được đánh dấu bổ sung bằng tín hiệu đầu ra y = (z i, x k). Đối với ô tô Moore, cách ghi nhãn tương tự của đồ thị như sau: nếu tín hiệu đầu vào xk, hoạt động trên một trạng thái nhất định của ô tô tự động, gây ra sự chuyển đổi sang trạng thái zj, thì cung hướng đến zj và có nhãn xk được đánh dấu bổ sung với tín hiệu đầu ra y = (zj, xk). Trong bộ lễ phục. 3 cho thấy F-automata của Mealy F1 và Moore F2, lần lượt được đưa ra trước đó bởi các bảng.

Cơm.3 . Đồ thị tự động dữ liệu của Mealy (a) và Moore (b)

Khi giải các bài toán mô hình hóa, định nghĩa ma trận của máy trạng thái hữu hạn thường là một dạng thuận tiện hơn. Trong trường hợp này, ma trận kết nối của automaton là ma trận vuông C = || c ij ||, các hàng tương ứng với các trạng thái ban đầu và các cột - cho các trạng thái chuyển tiếp. Phần tử c ij = x k / y S trong trường hợp tự động Mealy tương ứng với tín hiệu đầu vào x k, gây ra sự chuyển đổi từ trạng thái z i sang trạng thái z j và tín hiệu đầu ra y S được phát ra trong quá trình chuyển đổi này. Đối với máy tự động Mealy F1, được xem xét ở trên, ma trận kết nối có dạng:

Nếu quá trình chuyển đổi từ trạng thái z i sang trạng thái z j xảy ra dưới tác động của một số tín hiệu, thì phần tử của ma trận c ij là một tập hợp các cặp "đầu vào / đầu ra" cho sự chuyển đổi này, được nối với nhau bằng một dấu nối.

Đối với một tự động hóa F-Moore, phần tử c ij bằng tập hợp các tín hiệu đầu vào ở quá trình chuyển đổi (z i z j) và đầu ra được mô tả bằng vectơ đầu ra:

thành phần thứ i trong đó tín hiệu đầu ra cho biết trạng thái z i

Thí dụ. Đối với máy tính tự động Moore F2 đã được xem xét trước đó, chúng tôi viết ma trận trạng thái và vectơ đầu ra:

;

Đối với dữ liệu tự động xác định, quá trình chuyển đổi là rõ ràng. Như được áp dụng cho phương pháp đồ họa để xác định một F-automaton, điều này có nghĩa là trong đồ thị của F-automaton, 2 hoặc nhiều cạnh được đánh dấu bằng cùng một tín hiệu đầu vào không được để lại đỉnh nào. Tương tự, trong ma trận kết nối của ô tô tự động C trong mỗi hàng, bất kỳ tín hiệu đầu vào nào không được xuất hiện nhiều hơn một lần.

Hãy xem xét dạng xem của bảng chuyển tiếp và đồ thị của máy trạng thái không đồng bộ. Đối với một tự động F, trạng thái z k được gọi là ổn định , nếu với bất kỳ đầu vào nào x i X mà (z k, x i) = z k (z k x i) = y k. Điều đó. Một F-automaton được gọi là không đồng bộ nếu mỗi trạng thái z k Z của nó là ổn định.

Trong thực tế, các dữ liệu tự động luôn không đồng bộ và sự ổn định của các trạng thái của chúng được đảm bảo theo cách này hay cách khác, ví dụ, bằng cách đưa vào các tín hiệu đồng bộ hóa. Ở cấp độ lý thuyết trừu tượng, việc vận hành với các máy trạng thái hữu hạn đồng bộ thường rất thuận tiện.

Thí dụ. Hãy xem xét một Moore F-automaton không đồng bộ, được mô tả trong bảng. 3.5 và được hiển thị trong Hình. 4.

Bảng 3.5.Máy tự động không đồng bộ của Moore

Cơm.4 . Đồ thị ô tô tự động không đồng bộ của Moore

Nếu trong bảng chuyển tiếp của một máy tự động không đồng bộ, một số trạng thái z k đứng ở giao điểm của hàng x S và cột z S (Sk), thì trạng thái z k này nhất thiết phải xảy ra ở cùng một hàng trong cột z k.

Với sự trợ giúp của sơ đồ F, các nút và phần tử của hệ thống tính toán điện tử, các thiết bị giám sát, điều chỉnh và điều khiển, các hệ thống chuyển mạch thời gian và không gian trong công nghệ trao đổi thông tin được mô tả. Bề rộng ứng dụng của mạch F không có nghĩa là tính phổ quát của chúng. Cách tiếp cận này không thích hợp để mô tả các quá trình ra quyết định, các quá trình trong hệ thống động với sự hiện diện của các quá trình nhất thời và các yếu tố ngẫu nhiên.

3.3 Các mô hình ngẫu nhiên liên tục (Q - các lược đồ)

Chúng bao gồm các hệ thống xếp hàng, được gọi là Q-schemes.

Chủ đề của lý thuyết xếp hàng là hệ thống xếp hàng (QS) và mạng xếp hàng. QS được hiểu là một hệ thống động được thiết kế để phục vụ một cách hiệu quả luồng ứng dụng ngẫu nhiên với tài nguyên hệ thống hạn chế. Cấu trúc tổng quát của QS được thể hiện trong Hình 5.

Cơm.5 . Chương trình CMO

Các công bố đồng nhất đến đầu vào của QS được chia thành các loại tùy thuộc vào nguyên nhân tạo ra, tốc độ dòng của các công bố loại i (i = 1 ... M) được ký hiệu là i. Tổng số các ứng dụng của tất cả các loại là luồng đến của QS.

Dịch vụ của các ứng dụng được thực hiện m kênh truyền hình. Phân biệt kênh dịch vụ phổ cập và kênh chuyên biệt. Đối với kênh tổng hợp thuộc loại j, các hàm phân phối F ji () của khoảng thời gian phục vụ các yêu cầu của một loại tùy ý được coi là đã biết. Đối với các kênh chuyên biệt, các chức năng phân phối trong thời gian phục vụ của các kênh thuộc một số loại xác nhận quyền sở hữu nhất định là không xác định, việc gán các xác nhận quyền sở hữu này cho kênh này.

Với tư cách là một quy trình dịch vụ, các quy trình khác nhau về bản chất vật lý của chúng về hoạt động của các hệ thống kinh tế, sản xuất, kỹ thuật và các hệ thống khác, chẳng hạn như dòng cung cấp sản phẩm cho một doanh nghiệp nhất định, dòng các bộ phận và linh kiện trên dây chuyền lắp ráp của một cửa hàng, yêu cầu xử lý thông tin của hệ thống tính toán điện tử từ các thiết bị đầu cuối từ xa, v.v. Trong trường hợp này, một tính năng đặc trưng của hoạt động của các đối tượng đó là hành vi ngẫu nhiên của các yêu cầu (yêu cầu) bảo dưỡng và hoàn thành bảo dưỡng vào những thời điểm ngẫu nhiên.

Q - mạch có thể được khảo sát bằng phân tích và bằng các mô hình mô phỏng. Cái sau cung cấp tính linh hoạt tuyệt vời.

Hãy xem xét khái niệm xếp hàng.

Trong bất kỳ hành động bảo dưỡng cơ bản nào, có thể phân biệt hai thành phần chính: kỳ vọng về dịch vụ theo yêu cầu và hoạt động bảo dưỡng thực tế của yêu cầu. Điều này có thể được hiển thị dưới dạng một số thiết bị dịch vụ thứ i P i, bao gồm một bộ tích lũy yêu cầu, trong đó có thể có đồng thời li = 0 ... L i H yêu cầu, trong đó L i H là dung lượng của i -bộ tích lũy và một kênh dịch vụ yêu cầu, ki ...

Cơm.6 . Sơ đồ của thiết bị CMO

Mỗi phần tử của thiết bị bảo dưỡng P i nhận được các luồng sự kiện: luồng yêu cầu đối với thiết bị lưu trữ H i, luồng phục vụ u i đối với kênh k i.

Luồng sự kiện (FL) là một chuỗi các sự kiện xảy ra nối tiếp nhau tại một số thời điểm ngẫu nhiên trong thời gian. Phân biệt giữa các luồng sự kiện đồng nhất và không đồng nhất. PS thuần nhất (OPS) chỉ được đặc trưng bởi thời điểm xuất hiện của các sự kiện này (thời điểm gây ra) và được cho bởi chuỗi (tn) = (0t 1 t 2… tn…), trong đó tn là thời điểm xuất hiện của Sự kiện thứ n - một số thực không âm. MPS cũng có thể được chỉ định như một chuỗi các khoảng thời gian giữa các sự kiện thứ n và thứ n (n).

PS không thuần nhất là một dãy (t n, f n), trong đó t n - mômen gây ra; f n - tập hợp các thuộc tính sự kiện. Ví dụ: có thể chỉ định mối liên hệ với một hoặc một nguồn xác nhận quyền sở hữu khác, sự hiện diện của mức độ ưu tiên, khả năng phân phát một hoặc một loại kênh khác, v.v.

Hãy xem xét một OPS mà i (n) là các biến ngẫu nhiên độc lập với nhau. Khi đó PS được gọi là một dòng chảy với hậu quả hạn chế.

Một SS được gọi là bình thường nếu xác suất có nhiều hơn một sự kiện P 1 (t, t) rơi vào một khoảng thời gian nhỏ t liền kề với thời gian t là không đáng kể.

Nếu với bất kỳ khoảng thời gian t nào thì sự kiện P 0 (t, t) + P 1 (t, t) + P 1 (t, t) = 1, P 1 (t, t) là xác suất để xảy ra đúng một sự kiện trên khoảng t. Là tổng xác suất của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh và không nhất quán, thì đối với một dòng sự kiện thông thường P 0 (t, t) + P 1 (t, t) 1, P 1 (t, t) = ( t), trong đó (t) - đại lượng có bậc nhỏ hơn t, tức là lim ((t)) = 0 với t0.

PS đứng yên là một dòng mà xác suất xuất hiện của một số sự kiện cụ thể trong một khoảng thời gian phụ thuộc vào độ dài của đoạn này và không phụ thuộc vào vị trí đoạn này được thực hiện trên trục thời gian 0 - t. Đối với OPS, 0 * P 0 (t, t) + 1 * P 1 (t, t) = P 1 (t, t) là số sự kiện trung bình trong khoảng thời gian t. Số sự kiện trung bình xảy ra trong đoạn t trên một đơn vị thời gian là P 1 (t, t) / t. Xem xét giới hạn của biểu thức này tại t0

lim P 1 (t, t) / t = (t) * (1 / lần duy nhất).

Nếu giới hạn này tồn tại, thì nó được gọi là cường độ (mật độ) của OPS. Đối với tiêu chuẩn PS (t) == const.

Đối với kênh dịch vụ cơ bản k i, chúng ta có thể giả định rằng luồng yêu cầu w i W, tức là Khoảng thời gian giữa các thời điểm xuất hiện xác nhận quyền sở hữu ở đầu vào k i tạo thành một tập hợp con của các biến không kiểm soát được và luồng dịch vụ u i U, tức là khoảng thời gian từ khi bắt đầu đến khi kết thúc việc cung cấp một yêu cầu tạo thành một tập hợp con các biến được kiểm soát.

Các xác nhận quyền sở hữu được phân phát bởi kênh k i và các xác nhận quyền sở hữu đã rời khỏi máy chủ vì nhiều lý do khác nhau không được phân phối tạo thành luồng đầu ra y i Y.

Quá trình hoạt động của thiết bị dịch vụ P i có thể được biểu diễn như một quá trình thay đổi trạng thái của các phần tử của nó trong thời gian Z i (t). Sự chuyển đổi sang trạng thái mới cho P i có nghĩa là sự thay đổi số lượng yêu cầu trong đó (trong kênh k i và bộ tích lũy H i). Điều đó. vectơ trạng thái của П i có dạng:, đâu là các trạng thái của bộ lưu trữ, (= 0 - bộ lưu trữ trống, = 1 - có một khách hàng trong bộ lưu trữ ..., = - bộ lưu trữ đã bị lấp đầy ; - trạng thái của kênh ki (= 0 - kênh rảnh, = 1 kênh bận).

Biểu đồ Q của các đối tượng thực được hình thành bởi sự hợp thành của nhiều thiết bị phục vụ sơ cấp P i. Nếu k i các thiết bị dịch vụ khác nhau được kết nối song song, thì dịch vụ đa kênh sẽ diễn ra (mạch Q đa kênh), và nếu thiết bị P i và các thành phần song song của chúng được kết nối nối tiếp, thì dịch vụ đa pha sẽ diễn ra (mạch Q đa kênh).

Điều đó. để xác định lược đồ Q, cần có toán tử liên hợp R, toán tử này phản ánh sự liên kết giữa các phần tử cấu trúc.

Các liên kết trong sơ đồ Q được mô tả dưới dạng mũi tên (đường dòng phản ánh hướng chuyển động của các ứng dụng). Một sự phân biệt được thực hiện giữa mạch Q mở và đóng. Trong vòng lặp mở, luồng đầu ra không thể nhập lại bất kỳ phần tử nào, tức là không có phản hồi.

Các thông số nội tại (bên trong) của mạch Q sẽ là số pha L Ф, số kênh trong mỗi pha, L kj, j = 1 ... L Ф, số bộ tích lũy của mỗi pha L kj, k = 1 ... L Ф, dung lượng ổ đĩa thứ i L i H. Cần lưu ý rằng trong lý thuyết xếp hàng, tùy thuộc vào dung lượng lưu trữ, thuật ngữ sau được sử dụng:

hệ thống mất mát (L i H = 0, không có thiết bị lưu trữ);

hệ thống chờ (L i H);

hệ thống có dung lượng lưu trữ hạn chế H i (hỗn hợp).

Hãy biểu thị toàn bộ tập hợp các tham số riêng của mạch Q là một tập con của H.

Để xác định một lược đồ Q, cũng cần phải mô tả các thuật toán cho hoạt động của nó, các thuật toán này xác định các quy tắc cho hành vi của các xác nhận quyền sở hữu trong các tình huống không rõ ràng khác nhau.

Tùy thuộc vào nơi xảy ra các tình huống như vậy, có các thuật toán (quy tắc) để chờ các xác nhận quyền sở hữu trong bộ tích lũy H i và để xử lý các xác nhận quyền sở hữu theo kênh k i. Tính không đồng nhất của luồng ứng dụng được tính đến bằng cách đưa vào một lớp ưu tiên.

Tùy thuộc vào động lực của các mức độ ưu tiên, các lược đồ Q được phân biệt giữa tĩnh và động. Các ưu tiên tĩnh được chỉ định trước và không phụ thuộc vào các trạng thái của mạch Q, tức là chúng được cố định trong giải pháp của một vấn đề mô hình cụ thể. Các ưu tiên động phát sinh trong mô phỏng. Dựa trên các quy tắc chọn yêu cầu từ ổ lưu trữ để phục vụ bởi kênh k i, có thể chọn mức độ ưu tiên tương đối và tuyệt đối. Mức độ ưu tiên tương đối có nghĩa là xác nhận quyền sở hữu có mức độ ưu tiên cao hơn đến nơi lưu trữ H đợi kênh k i phục vụ các yêu cầu xác nhận quyền sở hữu và chỉ sau khi xác nhận quyền sở hữu đó chiếm kênh. Mức độ ưu tiên tuyệt đối có nghĩa là khách hàng có mức độ ưu tiên cao hơn khi đến kho lưu trữ sẽ làm gián đoạn việc phục vụ khách hàng có mức độ ưu tiên thấp hơn bởi kênh ki và tự chiếm kênh (trong trường hợp này, khách hàng bị đẩy ra khỏi cửa hàng có thể rời khỏi hệ thống hoặc có thể được viết lại vào một số nơi trong H i).

Cũng cần biết bộ quy tắc mà các ứng dụng rời khỏi Н i và k i: for Н i - quy tắc tràn hoặc quy tắc thoát liên quan đến việc hết thời gian chờ đợi cho các ứng dụng trong Н i; đối với k i - các quy tắc chọn tuyến đường hoặc hướng khởi hành. Ngoài ra, đối với các xác nhận quyền sở hữu, cần phải đặt ra các quy tắc mà theo đó chúng vẫn còn trong kênh k i, tức là quy tắc chặn kênh. Trong trường hợp này, sự khác biệt được thực hiện giữa chặn k i ở đầu ra và ở đầu vào. Các khóa như vậy phản ánh sự hiện diện của các liên kết điều khiển trong Q_scheme, điều chỉnh luồng yêu cầu tùy thuộc vào trạng thái của Q_scheme. Tập hợp các thuật toán khả thi cho hành vi của xác nhận quyền sở hữu trong Q_scheme có thể được biểu diễn dưới dạng một số toán tử của thuật toán cho hành vi của xác nhận quyền sở hữu A .

Điều đó. Q_scheme mô tả quá trình hoạt động của một QS có độ phức tạp bất kỳ được định nghĩa duy nhất là một tập các bộ: Q = .

4 . CHỌN MÔ HÌNH TOÁN

4 .1 So sánhphương pháp chocấu trúc của các mô hình toán học

Việc lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào tầm quan trọng và mức độ phức tạp của quá trình. Đối với những ngành công nghiệp có trọng tải lớn, cần có mô hình tốt, ở đây người ta sử dụng phương pháp lý thuyết. Phương pháp tương tự cũng được sử dụng khi tạo ra các quy trình công nghệ mới về cơ bản.

Đối với các ngành công nghiệp nhỏ có tính chất phức tạp của quy trình, phương pháp thực nghiệm được sử dụng. Trong thực tế, như một quy luật, sự kết hợp hợp lý của tất cả các phương pháp được sử dụng.

4 .2 Sự tín nhiệm vàsự đơn giảnmô hình

Mô hình toán học được xây dựng bằng một trong các phương pháp đã xét ở trên phải thỏa mãn đồng thời các yêu cầu về độ tin cậy và tính đơn giản.

Một mô hình đáng tin cậy mô tả chính xác hành vi của một đối tượng có thể khá phức tạp. Theo quy luật, mức độ phức tạp của mô hình được xác định bởi độ phức tạp của đối tượng được nghiên cứu và mức độ chính xác của thực tế đối với kết quả tính toán. Điều cần thiết là độ phức tạp này không vượt quá một giới hạn nhất định được xác định bởi khả năng của bộ máy toán học hiện có. Do đó, mô hình phải đủ đơn giản về mặt toán học để có thể giải được bằng các phương pháp và phương tiện sẵn có.

4 . 3 Kiểm traMộtTháng mười haivMộttity vànhận biếtmô hình

Kiểm tra tính thích hợp là việc đánh giá độ tin cậy của mô hình toán học đã xây dựng, nghiên cứu sự tuân thủ của nó đối với đối tượng được nghiên cứu.

Việc xác minh tính đầy đủ được thực hiện trên các thí nghiệm kiểm tra bằng cách so sánh kết quả tính toán theo mô hình với kết quả thí nghiệm trên đối tượng nghiên cứu trong cùng điều kiện. Điều này cho phép chúng tôi thiết lập các giới hạn về khả năng áp dụng của mô hình đã xây dựng.

Giai đoạn chính trong việc xây dựng một mô hình thích hợp là xác định mô tả toán học của mô tả toán học của đối tượng. Nhiệm vụ nhận dạng là xác định loại mô hình và tìm các tham số chưa biết của nó - các hằng số riêng lẻ hoặc các phức hợp của chúng đặc trưng cho các thuộc tính của đối tượng. Có thể nhận dạng nếu có sẵn thông tin thực nghiệm cần thiết về đối tượng đang nghiên cứu.

4.4 Chọn mô hình toán học

Vấn đề chọn mô hình nảy sinh khi có một lớp mô hình cho cùng một đối tượng. Lựa chọn người mẫu là một trong những khâu quan trọng nhất của quá trình làm người mẫu. Cuối cùng, lợi thế của một mô hình cụ thể xác định tiêu chí thực hành, hiểu theo nghĩa rộng. Khi chọn một mô hình, người ta nên tiến hành một sự thỏa hiệp hợp lý giữa mức độ phức tạp của mô hình, tính đầy đủ của các đặc tính đối tượng thu được với sự trợ giúp của nó và độ chính xác của các đặc điểm này. Vì vậy, nếu mô hình chưa đủ chính xác, cần được bổ sung, làm rõ thêm bằng cách đưa ra các yếu tố mới, thì cũng có thể mô hình đề xuất quá phức tạp và có thể thu được kết quả tương tự khi sử dụng một mô hình đơn giản hơn.

Đôi khi, do hạn chế về phương tiện sẵn có, cần phải đơn giản hóa mô tả toán học. Trong trường hợp này, ước tính sai số được đưa vào trong trường hợp này là cần thiết.

Khi giải các phương trình mô tả toán học bằng hệ thống tính toán điện tử, cần tạo ra một thuật toán mô hình hóa (mô hình "máy"). Thuật toán mô hình hóa là một mô tả toán học được biến đổi và là một chuỗi các phép toán quyết định số học và logic được viết dưới dạng một chương trình.

Khi xây dựng một thuật toán, trước hết, cần phải chọn một phương pháp giải các phương trình mô tả toán học - giải tích hoặc số. Nhớ kiểm tra độ chính xác của phương pháp tính toán đã chọn.

5. CÁC VÍ DỤ VỀ THÀNH PHẦN CÁC DẠNG TOÁN

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ điển hình về việc biên soạn các mô hình toán học để giải nhiều bài toán khác nhau, cả trong kinh tế quốc dân và các bài toán ở trường học trong môn toán.

VÍ DỤ 1

Xây dựng mô hình toán học để hình thành kế hoạch sản xuất.

Bảng 5.1.Dữ liệu ban đầu

Xác định khối lượng sản xuất, đảm bảo lợi nhuận tối đa.

Xây dựng mô hình toán học

Cho phép X 1 - số lượng sản phẩm loại A và X 2 - số lượng sản phẩm B. Sau đó X 1 + 4x 2 - lượng nguyên liệu cấp 1 cần thiết để sản xuất sản phẩm, và theo điều kiện của bài toán, con số này không vượt quá 320

X 1 + 4x 2 <=320 (1)

3x 1 + 4x 2 - lượng vật liệu cấp 2 cần thiết để sản xuất sản phẩm, và theo điều kiện của bài toán, con số này không vượt quá 360

3x 1 + 4x 2 <=360 (2)

X 1 + 2x 2 - lượng nguyên liệu cấp 2 cần thiết để sản xuất sản phẩm, và theo điều kiện của bài toán, con số này không vượt quá 180

X 1 + 2x 2 <=180 (3)

hơn nữa, kể từ khi X 1 và X 2 thể hiện khối lượng đầu ra, thì chúng không thể âm, nghĩa là

X 1 > 0, x 2 > 0 (4)

F = X 1 + 2x 2 - lợi nhuận, phải là tối đa. Do đó, chúng ta có mô hình toán học sau cho bài toán này

F = x 1 + 2x 2> cực đại

VÍ DỤ 2

Vấn đề vận chuyển. Có n thành phố. Để lại một trong số họ, người bán hàng lưu động phải đi xung quanh mọi thứ và quay trở lại thành phố xuất phát. Mỗi thành phố có thể được vào một lần, và do đó, tuyến đường của người bán hàng lưu động phải tạo thành một vòng khép kín không có vòng lặp. Cần phải tìm tuyến đường ngắn nhất của nhân viên bán hàng lưu động nếu biết ma trận khoảng cách giữa các thành phố.

Mô hình toán học của bài toán đang xét có dạng:

Ở đây, biến x ij nhận giá trị 1 nếu người bán hàng lưu động di chuyển từ thành phố i đến thành phố j (i, j = 1,2,…, n, i? J) và 0 nếu ngược lại. Điều kiện (1) là một hàm được tối ưu hóa, trong đó c ij là khoảng cách giữa các thành phố (i, j = 1,2,…, n, i? J), và trong trường hợp chung với ij? với ij; điều kiện (2) có nghĩa là người bán hàng lưu động chỉ rời khỏi mỗi thành phố một lần; (3) - rằng anh ta chỉ vào mỗi thành phố một lần; (4) đảm bảo tính kín của tuyến và không có vòng lặp, trong đó u i và u j là một số giá trị thực (i, j = 1,2,…, n, i? J) (5).

VÍ DỤ 3

Một số doanh nghiệp sản xuất các sản phẩm có 5 loại, sử dụng các bộ phận cấu thành của 7 tên A, B, C, D, E, F, G. Hàng tồn kho của doanh nghiệp bị giới hạn bởi một số bộ phận cấu thành nhất định. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại cần có bao nhiêu thành phần và lợi nhuận thu được từ việc sản xuất một đơn vị sản phẩm của mỗi loại. Xác định xem mỗi loại cần có bao nhiêu sản phẩm để mang lại lợi nhuận lớn nhất cho doanh nghiệp.

Bảng 5.2.Dử liệu sản xuất

F= 2x 1 + 3x 2 + X 3 + 5x 4 + 4x 5 -

lợi nhuận cần được tối đa hóa. Do đó, chúng ta có số lượng các thành phần để sản xuất số lượng sản phẩm tối ưu:

Gấp đôi 1 + 2x 2 + x 5 ? 10

số lượng các thành phần A để sản xuất các sản phẩm;

X 1 + 2x 2 + X 4 ? 7

số lượng các thành phần B để sản xuất sản phẩm;

4x 1 + X 4 ? 12

số lượng các thành phần C để sản xuất các sản phẩm;

4x 4 ? 12

số lượng các thành phần D để sản xuất các sản phẩm;

X 3 + 2x 4 + x 5 ? 15

số lượng các thành phần E để sản xuất các sản phẩm;

X 4 + 3x 5 ? 12

số lượng thành phần F để sản xuất sản phẩm;

Gấp đôi 1 + X 4 ? 8

số lượng các thành phần G để sản xuất các sản phẩm;

và tất cả các biến X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 - phải là số nguyên và không âm.

Do đó, chúng ta có mô hình toán học về sản lượng sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận:

Gấp đôi 1 + 3x 2 + X 3 + 5x 4 + 4x 5 > tối đa

VÍ DỤ 4

Có một cơ sở sản xuất để sản xuất hai loại sản phẩm A và B với một khối lượng hạn chế vật liệu của ba cấp mà từ đó sản phẩm được tạo ra. Dữ liệu ban đầu được hiển thị trong bảng.

Bảng 5.3.Dữ liệu ban đầu

Tài liệu tương tự

Lập mô hình mục tiêu. Nhận dạng các đối tượng thực. Sự lựa chọn của các loại mô hình, sơ đồ toán học. Xây dựng mô hình ngẫu nhiên liên tục. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xếp hàng. Xác định luồng sự kiện. Công thức của thuật toán.

hạn giấy, bổ sung 20/11/2008


Phân tích các phương pháp xây dựng mô hình toán học chính. Mô hình toán học của các quá trình kinh tế xã hội như một phần không thể thiếu của các phương pháp kinh tế học, các tính năng. Đặc điểm chung của các ví dụ về xây dựng mô hình toán tuyến tính.

hạn giấy bổ sung 23/06/2013


Nghiên cứu các ứng dụng kinh tế của các ngành toán học để giải quyết các vấn đề kinh tế: việc sử dụng các mô hình toán học trong kinh tế và quản lý. Ví dụ về mô hình lập trình tuyến tính và động như một công cụ để mô hình hóa nền kinh tế.

hạn giấy, bổ sung 21/12/2010


Làm mẫu. Thuyết quyết định. Các nhiệm vụ của phân tích nhân tố xác định. Phương pháp đo lường mức độ ảnh hưởng của các nhân tố trong phân tích xác định. Tính toán các mô hình kinh tế và toán học xác định và phương pháp phân tích nhân tố trên ví dụ về RUE "GZLiN".

hạn giấy, bổ sung 05/12/2008


Nhiệm vụ, chức năng và các giai đoạn xây dựng mô hình toán kinh tế. Mô hình phân tích, anion, số và thuật toán. Mô hình kinh tế của các cơ sở thể thao. Mô hình Chuỗi thời gian: Xu hướng và Tính thời vụ. Các lý thuyết về xếp hàng.

tóm tắt, bổ sung 22/07/2009


Các khái niệm cơ bản và các loại mô hình, phân loại và mục đích tạo ra chúng. Đặc điểm của các phương pháp kinh tế và toán học ứng dụng. Đặc điểm chung của các giai đoạn chính của mô hình kinh tế và toán học. Ứng dụng của mô hình ngẫu nhiên trong kinh tế học.

phần tóm tắt được thêm vào ngày 16/05/2012


Lập mô hình kinh tế và toán học của một kế hoạch sản xuất. Lý thuyết hàng đợi. Các mô hình quản lý hàng tồn kho. Mô hình đơn giản nhất không thiếu sót. Mô hình khan hiếm tĩnh xác định. Phân tích tương quan và hồi quy.

thử nghiệm, thêm 02/07/2013


Cơ sở lý thuyết của các phương pháp kinh tế và toán học. Các giai đoạn ra quyết định. Phân loại các bài toán tối ưu hóa. Các bài toán về lập trình tuyến tính, phi tuyến, lồi, bậc hai, số nguyên, tham số, động và ngẫu nhiên.

hạn giấy, bổ sung 05/07/2013


Các khái niệm chung về lý thuyết xếp hàng. Đặc điểm của mô hình hóa hệ thống xếp hàng. QS trạng thái đồ thị, phương trình mô tả chúng. Đặc điểm chung của các loại mô hình. Phân tích hệ thống xếp hàng của siêu thị.

hạn giấy, bổ sung 17/11/2009


Mô tả các nguyên tắc cơ bản của việc tạo ra các mô hình toán học của các quá trình thủy văn. Mô tả các quá trình phân kỳ, biến đổi và hội tụ. Làm quen với các thành phần cơ bản của mô hình thủy văn. Bản chất của mô phỏng.