Matemaatiliste mudelite tüübid. Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon sõltuvalt mudeli operaatorist Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon ja näited

Matemaatiline mudel on reaalse olukorra lihtsustus ja abstraktne, formaalselt kirjeldatud objekt, mille uurimine on võimalik erinevate matemaatiliste meetoditega.

Kaaluge matemaatiliste mudelite klassifikatsioon.

Matemaatilised mudelid jagunevad:

1. Sõltuvalt objekti kuvatavate omaduste olemusest:

· funktsionaalne;

· struktuurne.

Funktsionaalsed matemaatilised mudelid on ette nähtud teabe, füüsiliste, ajaprotsesside kuvamiseks, mis toimuvad tööseadmetes, tehnoloogiliste protsesside läbiviimisel jne.

Sellel viisil, funktsionaalsed mudelid- kuvada objekti toimimise protsesse. Tavaliselt on neil võrrandisüsteemi kuju.

Struktuursed mudelid- võib olla maatriksite, graafikute, vektorite loendite kujul ja väljendada elementide omavahelist paigutust ruumis. Neid mudeleid kasutatakse tavaliselt juhtudel, kui struktuurse sünteesi probleeme saab püstitada ja lahendada, abstraheerides objektis toimuvatest füüsikalistest protsessidest. Need peegeldavad projekteeritud objekti struktuurseid omadusi.

Meetodite rühm nn skemaatilised mudelid - Need on analüüsimeetodid, mis sisaldavad süsteemi toimimise graafilist esitust. Näiteks marsruutimised, diagrammid, multifunktsionaalsed operatsiooniskeemid ja vooskeemid.

2. Funktsionaalsete matemaatiliste mudelite saamise meetodite abil:

· teoreetiline;

· ametlik;

· empiiriline.

Teoreetiline saada füüsikaseaduste uurimisel. Võrrandite struktuuril ja mudelite parameetritel on teatud füüsikaline tõlgendus.

Ametlik saadakse modelleeritava objekti omaduste avaldumise alusel väliskeskkonnas, s.o. pidades objekti küberneetiliseks "mustaks kastiks".

Teoreetiline lähenemine võimaldab saada mudeleid, mis on universaalsemad ja kehtivad väliste parameetrite laiemate varieerumisvahemike jaoks.

Ametlik - on täpsemad parameetriruumi punktis, kus mõõtmised tehti.

Empiirilised matemaatilised mudelid luuakse eksperimentide (objekti omaduste väliste ilmingute uurimine, mõõtes selle parameetreid sisendis ja väljundis) ja nende tulemuste töötlemisel matemaatilise statistika meetoditega tulemusena.

3. Sõltuvalt võrrandite lineaarsusest ja mittelineaarsusest:

· lineaarne;

· mittelineaarne.

4. Sõltuvalt definitsioonipiirkonna komplektist ja mudeli muutujate väärtustest on olemas:

· pidev

· diskreetne (definitsiooni ja väärtuste valdkonnad on pidevad);

· pidev-diskreetne (definitsioonipiirkond on pidev ja väärtuste vahemik on diskreetne). Neid mustreid nimetatakse mõnikord kvantiseeritud;

· diskreetne-pidev (definitsioonipiirkond on diskreetne ja väärtuste vahemik on pidev). Neid mudeleid nimetatakse diskreetseteks;

· digitaalne (definitsiooni ja väärtuste valdkonnad on diskreetsed)

5. Väljundi, sisemiste ja väliste parameetrite vaheliste linkide kaudu:

· algoritmiline;

· analüütiline;

· numbriline.

Algoritmiline Neid nimetatakse mudeliteks, mis on esitatud algoritmide kujul, mis kirjeldavad soovitud tulemuse saamiseks tehtud üheselt tõlgendatud toimingute jada.

Algoritmilised matemaatilised mudelid väljendavad väljundparameetrite ja sisendi ning sisemiste parameetrite vahelist seost algoritmi kujul.

Analüütilised matemaatilised mudelid nimetatakse sellist objekti (nähtuse, protsessi) formaliseeritud kirjeldust, mis on väljundparameetrite kui sisend- ja siseparameetrite funktsioonide eksplitsiitsed matemaatilised avaldised.

Analüütiline modelleerimine põhineb modelleeritava objekti kaudsel kirjeldamisel, kasutades matemaatiliste valemite komplekti. Analüütilise kirjelduse keel sisaldab järgmisi semantiliste elementide põhirühmi: kriteerium (kriteeriumid), tundmatud, andmed, matemaatilised tehted, piirangud. Analüütiliste mudelite kõige olulisem omadus on see, et mudel ei ole struktuurselt sarnane modelleeriva objektiga. Struktuurse sarnasuse all mõistetakse siin mudeli elementide ja linkide ühemõttelist vastavust modelleeritava objekti elementidele ja linkidele. Analüütilised mudelid hõlmavad mudeleid, mis põhinevad matemaatilise programmeerimise, korrelatsiooni- ja regressioonanalüüsi aparaadil. Analüütiline mudel on alati konstruktsioon, mida saab matemaatiliselt analüüsida ja lahendada. Seega, kui kasutada matemaatilise programmeerimise aparaati, koosneb mudel põhimõtteliselt sihtfunktsioonist ja muutujate piirangute süsteemist. Sihtfunktsioon väljendab reeglina arvutamist või optimeerimist vajava objekti (süsteemi) omadust. Eelkõige võib see olla tehnoloogilise süsteemi tootlikkus. Muutujad väljendavad objekti (süsteemi) tehnilisi omadusi, sh muutujaid, piirangud on nende lubatud piirväärtused.

Analüütilised mudelid on tõhus vahend tehnoloogilistes süsteemides toimuvate protsesside optimeerimise probleemide lahendamiseks, samuti tehnoloogiliste süsteemide endi omaduste optimeerimiseks ja arvutamiseks.

Oluline punkt on konkreetse analüütilise mudeli mõõde. Tihti on reaalsete tehnoloogiliste süsteemide (automaatliinid, paindlikud tootmissüsteemid) puhul nende analüütiliste mudelite mõõde nii suur, et optimaalse lahenduse saamine osutub arvutuslikust seisukohast väga keeruliseks. Sel juhul kasutatakse arvutusliku efektiivsuse tõstmiseks erinevaid tehnikaid. Üks neist on seotud suure mõõtmega probleemi jagamisega madalama mõõtmega alamprobleemideks, nii et alamülesannete autonoomsed lahendused teatud järjestuses annaksid lahenduse põhiprobleemile. Sel juhul tekivad probleemid alamülesannete interaktsiooni korraldamisel, mis ei ole alati lihtsad. Teine meetod hõlmab arvutuste täpsuse vähendamist, mille tõttu on võimalik probleemi lahendamiseks kuluvat aega lühendada.

Analüütilist mudelit saab uurida järgmiste meetoditega:

· analüütiline, kui nad püüavad saavutada nõutavate omaduste sõltuvusi üldiselt;

· numbrilised, kui nad püüavad saada konkreetsete lähteandmete jaoks arvulisi tulemusi;

· kvalitatiivne, kui eksplitsiitsel kujul lahendusi omades võib leida lahenduse mõned omadused (hinnata lahenduse stabiilsust).

Häid tulemusi annab aga analüütiline modelleerimine üsna lihtsate süsteemide puhul. Keeruliste süsteemide puhul on vaja kas algmudelit oluliselt lihtsustada, et uurida vähemalt süsteemi üldisi omadusi. See võimaldab teil saada soovituslikke tulemusi ja määrata täpsemaid hinnanguid, kasutada muid meetodeid, näiteks simulatsiooni modelleerimine.

Numbriline mudel mida iseloomustab sedalaadi sõltuvus, mis võimaldab ainult numbriliste meetoditega saadud lahendusi mudelite konkreetsete algtingimuste ja kvantitatiivsete parameetrite jaoks.

6. Olenevalt sellest, kas mudeli võrrandid võtavad arvesse objektis toimuvate protsesside inertsust või ei võta:

· dünaamiline või inertsiaalsed mudelid(kirjutatud diferentsiaal- või integro-diferentsiaalvõrrandite või võrrandisüsteemide kujul) ;

· staatiline või mitteinertsiaalsed mudelid(kirjutatud algebraliste võrrandite või algebravõrrandisüsteemide kujul).

7. Olenevalt määramatuste olemasolust või puudumisest ja määramatuste tüübist on mudelid järgmised:

· deterministlik e (määramatus puudub);

· stohhastiline (esinevad määramatused juhuslike suuruste või statistiliste meetoditega kirjeldatud protsesside näol jaotusseaduste või funktsionaalide kujul, samuti numbrilised karakteristikud);

· hägune (määramatuste kirjeldamiseks kasutatakse häguste hulkade teooria aparaati);

· kombineeritud (esinevad mõlemat tüüpi määramatused).

Üldjuhul ei sõltu matemaatilise mudeli vorm mitte ainult reaalse objekti olemusest, vaid ka probleemidest, mille lahendamiseks see luuakse, ja nende lahendamise nõutavast täpsusest.

Peamised mudelitüübid on näidatud joonisel 2.5.

Vaatleme veel üht matemaatiliste mudelite klassifikatsiooni. See klassifikatsioon põhineb juhitavuse kontseptsioonil. Jagame kõik MM-id tinglikult nelja gruppi.1.Ennustusmudelid (arvutusmudelid ilma kontrollita). Neid saab jagada staatiline ja dünaamiline Nende mudelite põhieesmärk: algseisundi ja piiril käitumise kohta teabe tundmine, süsteemi käitumise ennustamine ajas ja ruumis. Sellised mudelid võivad olla ka stohhastilised.Prognoosimudeleid kirjeldatakse reeglina algebraliste, transtsendentaalsete, diferentsiaal-, integraal-, integro-diferentsiaalvõrrandite ja võrratustega. Näiteks soojusjaotuse, elektrivälja, keemilise kineetika, hüdrodünaamika, aerodünaamika jne mudelid. 2. Optimeerimismudelid. Neid mudeleid saab ka jagada staatiline ja dünaamiline. Staatilisi mudeleid kasutatakse erinevate tehnoloogiliste süsteemide projekteerimise tasemel. Dünaamiline - nii projekteerimise tasemel kui ka peamiselt erinevate protsesside - tehnoloogiliste, majanduslike jne optimaalseks juhtimiseks. Optimeerimisprobleemides on kaks suunda. Esimene sisaldab deterministlikud ülesanded... Kogu neis olev sisendinfo on täielikult määratletav.Teine suund on seotud stohhastilised protsessid... Nende probleemide puhul on mõned parameetrid juhuslikud või sisaldavad ebakindluse elementi. Paljud automaatsete seadmete optimeerimise probleemid sisaldavad näiteks parameetreid juhusliku müra kujul, millel on mõned tõenäosuslikud karakteristikud.Meetodeid paljude muutujate funktsiooni ekstreemumi leidmiseks erinevate piirangutega nimetatakse sageli matemaatilise programmeerimise meetoditeks. Matemaatilise programmeerimise ülesanded on üks olulisemaid optimeerimisülesandeid. Matemaatilises programmeerimises eristatakse järgmisi põhiosasid.· Lineaarne programmeerimine ... Sihtfunktsioon on lineaarne ja hulk, millelt otsitakse sihtfunktsiooni ekstreemumit, on antud lineaarsete võrratuste ja võrratuste süsteemiga.· Mittelineaarne programmeerimine ... Eesmärgifunktsioon on mittelineaarsed ja mittelineaarsed piirangud.· Kumer programmeerimine ... Eesmärkfunktsioon on kumer ja kumer hulk, millel äärmusülesanne on lahendatud.· Ruutprogrammeerimine ... Eesmärk on ruutfunktsioon ja piirangud on lineaarsed.· Multi-äärmuslikud ülesanded. Probleemid, mille puhul sihtfunktsioonil on mitu lokaalset äärmust. Sellised ülesanded tunduvad olevat väga problemaatilised.· Täisarvuline programmeerimine. Selliste ülesannete korral kehtestatakse muutujatele täisarvulised tingimused.

Riis. 4.8. Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon

Klassikalise analüüsi meetodid mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi leidmiseks ei ole reeglina rakendatavad matemaatilise programmeerimise ülesannetes Optimaalse juhtimise teooria mudelid on optimeerimismudelites ühed olulisemad. Optimaalse juhtimise matemaatiline teooria kuulub ühte teooriatest, millel on olulised praktilised rakendused, peamiselt protsesside optimaalseks juhtimiseks. Optimaalse kontrolli teooria matemaatilisi mudeleid on kolme tüüpi.· Diskreetsed optimaalsed juhtimismudelid. Traditsiooniliselt nimetatakse selliseid mudeleid dünaamilisteks programmeerimismudeliteks, kuna peamine meetod selliste probleemide lahendamiseks on Bellmani dünaamilise programmeerimise meetod.· Ühendatud parameetritega (kirjeldatud võrranditega tavalistes tuletistes) süsteemide optimaalse juhtimise pidevad mudelid.· Jaotatud parameetritega (kirjeldatud osadiferentsiaalvõrranditega) süsteemide optimaalse juhtimise pidevad mudelid.3. Küberneetilised mudelid (mäng). Konfliktsituatsioonide analüüsimiseks kasutatakse küberneetilisi mudeleid. Eeldatakse, et dünaamilise protsessi määravad mitmed osalejad, kelle käsutuses on mitu juhtimisparameetrit. Küberneetilise süsteemiga on seotud terve hulk aineid, kellel on oma huvid. 4. Simulatsiooni modelleerimine ... Eespool kirjeldatud mudelitüübid ei kata suurt hulka erinevaid olukordi, mida saaks täielikult vormistada. Selliste protsesside uurimiseks on vaja matemaatilisse mudelisse kaasata toimiv "bioloogiline" lüli - inimene. Sellistes olukordades kasutatakse simulatsiooni, samuti uurimismeetodeid ja teabeprotseduure.

Matemaatilised mudelid moodustavad spektri abstraktse osa (joonis 7.2), nende kasutamise mugavuse huvides erinevates tööstusharudes, sealhulgas logistikas, klassifitseeritakse need kuue kõige tüüpilisema tunnuse järgi:

Mudeli saamise meetod;

Objekti või selle omaduste kirjeldamise või kujutamise viis;

Objekti või selle omaduste vormistamise meetod;

Liikmelisus hierarhilisel tasandil;

Objekti või selle omaduste kirjelduse ulatus;

Objekti või selle omaduste kirjeldamise keerukusaste.

Kõrvalsaamise meetod mudelid on jagatud teoreetiline , närviline (pertseptronid) ja empiiriline .

Teoreetilised mudelid on tuletatud matemaatiliselt, tuginedes teadmistele klassikalise mehaanika, elektrodünaamika, keemia jne esmastest seadustest. Vaatlustulemuste statistilise töötlemise põhjal reaalsest elust saadud mudelid moodustavad grupi empiirilisi. Empiirilise mudeli koostamise probleem hõlmab selle mudeli sobiva vormi valimist, aga ka selle mõistlikku keerukust, mis ühildub olemasolevate eksperimentaalsete andmetega.

Viimastel aastatel on majandusprotsesside modelleerimise vallas muutunud järjest olulisemaks närvimudelid (pertseptronid). Närvimudel (perceptron) koosneb binaarsetest närvitaolistest elementidest ja sellel on lihtne topoloogia.

Pertseptron ise sisaldab binaarsete sisendite maatriksit (sensoorsed neuronid või võrkkesta, kuhu sisestatakse sisendkujutised), binaarsete närvitaoliste elementide komplekti, millel on fikseeritud ühendused võrkkesta alamhulkadega, binaarset neuro-tüüpi elementi, millel on nendes muudetud ühendused. predikaadid (elemendid, otsustada).

Varem kasutati pertseptronit automaatse klassifitseerimise probleemi lahendamiseks, üldiselt seisneb see tunnusruumi jagamises teatud arvu klasside vahel. Tänapäeva tingimustes on närvivõrkude tasandil võimalik lahendada logistilise prognoosimise probleem, mis vormistatakse läbi mustrituvastuse probleemi.

Mõelge järgmisele näitele. Praeguse nõudluse kohta ettevõtte toodete järele on olemas andmed kuue aasta kohta (Ac = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Ülesande vormistamiseks kasutame akna meetodit. Määrake akende suurus η = 3, T= 1 ja neurotaolise elemendi ergastuse tase s = 1. Järgmiseks juba fikseeritud parameetritega akende meetodil n, t, s närvivõrgu jaoks luuakse järgmine treeningnäidis:

Nagu näete, moodustub iga järgmine vektor akende nihutamise tulemusena W ja ja W 0 paremale ühele elemendile (s= 1). Sel juhul eeldatakse, et ajajärjestuses kui vaatluste kogumis on peidetud sõltuvused.

Närvivõrk, õppides nendest vaatlustest ja kohandades vastavalt oma koefitsiente, püüab neid mustreid eraldada ja moodustada selle tulemusena eeldatava prognoosifunktsiooni, see tähendab "ehitada" mudel . Prognoosimine toimub samal põhimõttel nagu koolitusvalimi moodustamine.

Muide, objekti kirjeldatakse mudelid jagunevad järgmiselt:

1) algebraline;

2) regressioon-korrelatsioon;

3) tõenäosus-statistilised, ühendades järjekorrateooria mudelid, aktsiamudelid ja statistilised mudelid;

4) matemaatiline programmeerimine - lineaarne programmeerimine, võrk (voog).

Mis puudutab esimest mudelite rühma - algebraline , tuleb kohe teha reservatsioon, et nad sisuliselt on logistiku jaoks abistavad, et õiget otsust teha. Algebralised mudelid kasutatakse tavaliselt sellistes ülesannetes nagu murdepunktide analüüs ja tasuvusanalüüs.

Regressioon-korrelatsiooni mudelid , esindavad teist rühma, on ekstrapolatsiooni ja statistiliste mudelite üldistus ning neid kasutatakse objekti või selle omaduste spetsiifika kirjeldamiseks.

Kolmas rühm koosneb tõenäosuslikud statistilised mudelid , põhineb fenoloogilistel nähtustel ja hüpoteesidel. Need mudelid võivad olla deterministlikud või stohhastilised. Nii näiteks sõltuvus V = φ (Χ), mis määratakse juhuslike suuruste vaatlustulemuste järgi X ja V vähimruutude meetod on deterministlik mudel. Kui võtta arvesse katsepunktide juhuslikud kõrvalekalded katsete tulemusena täheldatud kõverast Y = φ (X) ja kirjutage vormile B sõltuvus X-st B = φ (Χ)+ Ζ (kus Ζ - mingi juhuslik muutuja), siis saame stohhastilise mudeli ideaalses avaldises.

Sel juhul kogused X ja V võib olla nii skalaarne kui vektor. Funktsioon φ (Χ) võib olla kas nende funktsioonide lineaarne kombinatsioon või antud mittelineaarne funktsioon, mille parameetrid määratakse vähimruutude meetodil.

Mudelid lineaarne programmeerimine kasutatakse järjest enam logistikaprobleemide lahendamiseks.

Kes matemaatilise programmeerimisega kursis on, see teab, et seda on praktiliselt võimatu üldkujul lahendada. Enim arenenud matemaatilises programmeerimises on aga lineaarse programmeerimise probleemid.

Lineaarse programmeerimise ülesannete korral on sihtfunktsioon lineaarne ja piirangutingimuste hulka kuuluvad lineaarsed võrdsused ja lineaarsed võrratused; muutujate suhtes võib muutumatuse nõue kehtida, aga ei pruugi.

Et demonstreerida logistiliste probleemide lahendamise lihtsust lineaarse programmeerimise abil, pöördume kahe üldtuntud probleemi poole:

Esimene räägib vanaemast, kes läheb turule oma õuel aasta jooksul kasvanud loomi müüma;

Teine puudutab toitumist.

Esimene ülesanne (vanaema kohta)

Selle probleemi olemus taandub vastuse saamisele lihtsale küsimusele: "Kui palju vanaema tuleks võtta, et müüa turul elavaid hanesid, parte ja kanu, et see saaks suurimat tulu, tingimusel et ta suudab tarnida mittekaaluvaid kariloomi. rohkem kui R kg?". Sel juhul on teada:

Kana (t,), pardi mass ( T 2 ) ja hani (t3)

Kana (c7), pardi (c2) ja hane (c3) maksumus.

Mõelge probleemi lahendamise algoritmile.

1. Ülesande lahendamiseks tähistame vastavalt kanade arvu - X 1 part - X 2, haned - X 3 vanaema poolt turule müümiseks viidud.

2. Koostame selle ülesande eesmärgifunktsiooni:

3. Kirjeldame ülesande lahendamise piiranguid.

Kauba mass, mida vanaema saab samaaegselt turule toimetada, ei tohiks ületada R kilogramm:

Väärtus ja peab olema positiivsed täisarvud (), see tähendab:

Pärast kolme kirjeldatud sammu täitmist saame lineaarse programmeerimise probleemi. Algväärtuste asendamine x, t, s ja R, leiame vastuse esitatud küsimusele.

Teine ülesanne (toitumise kohta)

Kohvik "Bistro" ostab iga päev kauplusest toidukaupu oma külastajatele teatud roogade valmistamiseks. Dieet sisaldab kolme erinevat toitainet ( b) ja vajavad neid vähemalt b 1, b 2, b 3 ühikut. Poes on müügil viit tüüpi erinevat toodet X 1 - X 5 hinna eest vastavalt S-I - s 5.

Iga toote ühik i-th vormist ( X i) sisaldab a ja j ühikut j-th toitaine, see tähendab näiteks a 2 Koos näitab, et kolmanda toitaine teise toote ühikutes on a 23 ühikut.

Kuna kohvik tegutseb konkurentidest ümbritsetuna, on vaja igat tüüpi toodete arv õigesti määrata X 1 - x 5 tasub osta. Sel juhul peavad olema täidetud järgmised tingimused:

1) toodete maksumus on minimaalne;

2) et toit sisaldaks kõiki vajalikke toitaineid õiges koguses.

Ülesande lahenduse matemaatiline sõnastus on järgmine:

1. Selle ülesande eesmärk on minimeerida toodete maksumust X 1 - X 5. Matemaatiliselt näeb see välja järgmine:

2. Probleemi lahendamise piiramise tingimused:

a) esimese toitaine kogus peab olema vähemalt b 1 ,:

b) teise toitaine kogus peab olema vähemalt b 2 :

c) kolmanda toitaine kogus peab olema vähemalt b 3:

Tuleb meeles pidada, et toodete arvul ei saa olla negatiivset numbrit, see tähendab:

Antud probleemi lahenduse õigeks mõistmiseks vaadake järgmist näidet.

Selles ülesandes on meil järgmised algandmed:

Eesmärgi funktsioon näeb välja selline:

Funktsiooni minimaalne väärtus on vaja kindlaks määrata, kui on täidetud järgmised piirangud:

Arvestades, et toodete arv ei saa olla negatiivne, eeldame seda

Esitatud lähteandmete järgi ülesande lahendamise tulemusena on meil järgmine vastus: ja. Nende väärtuste korral on eesmärgifunktsioonil järgmine tähendus:

Võrgu (voo) mudelid.

Oluline matemaatiliste programmeerimisülesannete klass on nn võrgu (voo) ülesanded, mille järgi saab sõnastada lineaarse programmeerimise ülesandeid.

Vaatleme näitena nn transpordiprobleemi (joon. 7.3), mis on üks esimesi vooluprobleeme, mille lahendas 1941. aastal F.L. Hitchcock.

Oletame, et on kaks tehast (1 ja 2) ja kolm rongi (A, B, C). Tehased toodavad vastavalt s1 ja s2 ühikuid. Ladudes on võimalik ladustada d1, d2 ja d3 ühikuid tooteid, see tähendab:

Väljakutse on minimeerida toodete tootmisettevõtetest lattu transportimise kulusid. Seadistame järgmised algtingimused. Teeskleme seda X ij - transporditavate toodete maht i-th istutada peale j-thühend; с - - toodanguühiku transpordikulu koos i-th istutada peale j-thühend. Siis on probleemi objektiivne funktsioon, transpordikulu, järgmisel kujul:

Riis. 7.3.

Tingimus, et kõik tooted veetakse igast tehasest:

Võrdõiguslikkuse andmed saab kirjutada lühivormis, nimelt:

Ladude täitmise tingimus on järgmine: enamgi veel

Seda mudelit saab kirjeldada võrgu abil, kui eeldame, et võrgu sõlmedeks on tehased ja laod ning kaared on kaubaveo teed (joonis 7.3). Sõnastatud transpordiprobleem on võrgusisese minimaalse kuluvoo leidmise probleemi erijuht.

Võrguülesandeid kasutatakse suurte ja keerukate süsteemide projekteerimisel ja täiustamisel, samuti nende kõige ratsionaalsema kasutamise võimaluste otsimisel. Esiteks on see tingitud asjaolust, et võrkude abil on süsteemi mudeli koostamine üsna lihtne. Viimane põhineb kriitilise tee ideel (CPM meetod) ning hindamis- ja vaatlusvahenditel (näiteks PERT-Program Evalution Research Task süsteem).

Lisaks võimaldavad võrgud:

Kompleksse süsteemi mudeli vormistamine lihtsate süsteemide kogumina (antud juhul logistikasüsteem kui selle alamsüsteemide ja linkide kogum - ostud, laod, transport, varud, tootmine, jaotus ja müük);

Formaalsete protseduuride koostamine süsteemi kvaliteedinäitajate kindlaksmääramiseks;

Juhtsüsteemi komponentide vahelise interaktsiooni mehhanismi kindlaksmääramine, et kirjeldada viimast selle põhiomaduste kaudu;

Logistikasüsteemi ja selle peamiste allsüsteemide uurimiseks vajalike andmete määramine;

Juhtsüsteemi esmane uurimine, selle komponentide töötamise esialgse ajakava koostamine.

Võrgupõhise lähenemisviisi peamine eelis seisneb selles, et seda saab edukalt rakendada praktiliselt iga probleemi lahendamisel, kus võrgumudelit saab täpselt konstrueerida.

Tabelis on toodud objektide kirjeldamise meetodi järgi liigitatud matemaatiliste mudelite üldistatud tunnus. 7.3. Tabelis on näidatud nende mudelite kõige sobivamad rakendusvaldkonnad saadud hinnangute esialgse täpsusega. See teave on kasulik logistikutele mudelite ehitamise etapis või probleemi lahendamiseks viimaste valimisel.

Objekti kuvatavate omaduste olemuse järgi mudelid liigitatakse struktuurseteks ja funktsionaalseteks, mis koos peegeldavad üksikute elementide suhet ja vastastikust mõju objektis selle töö või valmistamise ajal toimuvatele protsessidele.

Struktuursed mudelid on mõeldud kompositsiooniobjekti struktuuriliste omaduste, seoste ja suhtelise asendi ning komponentide kuju kuvamiseks.

Funktsionaalsed mudelid on mõeldud suuremal määral objektis selle töö või valmistamise ajal toimuvate protsesside kuvamiseks ning sisaldavad reeglina algoritme, mis seovad faasimuutujaid, sisemisi, väliseid või väljundparameetreid.

Tabel 7.3

Matemaatiliste mudelite iseloomulikud tunnused

Muide, objekt on vormistatud olemasolevate olukordade keerukuse tõttu on vaja nende kirjeldamist analüütiliste ja algoritmiliste mudelite abil õigesti lihtsustada.

"Abstraheerib" valitud objektide ja olukordade "olulisi" omadusi. Reaalsete objektide arvutisimulatsioon on väärtuslik tööriist keerukate teenindussüsteemide, teeninduspoliitika ja investeerimisvalikute analüüsimisel.

Objektide jaotamine hierarhilistele tasanditele toob kaasa teatud modelleerimise tasemed, mille hierarhia määrab nii objektide keerukus kui ka juhtelementide võimekus. Seetõttu vastavalt hierarhilisele tasemele kuulumine, matemaatilised mudelid jagunevad mikro-, makro- ja metamudeliteks. Nende mudelite erinevus seisneb selles, et hierarhia kõrgemal tasemel on mudeli komponendid üsna keerukad eelmise taseme elementide kogumid. Samad omadused määravad mudelite jaotuse objekti kirjelduse ulatus ja keerukus.

Eeltoodud mudelite klassifikatsioon on loodud selleks, et aidata logistikutel tõhusamalt ja korrektsemalt langetada otsuseid, et viia ellu organisatsiooni missiooni.

Eespool märgiti, et mis tahes matemaatilist mudelit võib pidada mõneks operaatoriks A, mis on algoritm või on määratud võrrandite kogumiga - algebralised, tavalised diferentsiaalvõrrandid (ODE), ODE süsteemid (SODE), osadiferentsiaalvõrrandid (PDE), integro-diferentsiaalvõrrandid (IDE) jne (joonis 1.6 ).

Kui operaator pakub väljundparameetrite lineaarset sõltuvust sisendparameetrite väärtustest X, siis nimetatakse matemaatilist mudelit lineaarne( riis. 1.7). Lineaarseid mudeleid on lihtsam analüüsida. Näiteks lineaarsuse omadus eeldab lahenduste superpositsiooni omadust, s.t. kui on teada lahendused jaoks ja jaoks, siis lahendus väljundparameetrite jaoks seal on ... Lineaarsete mudelite piirväärtused saavutatakse reeglina sisendparameetrite lubatud väärtuste alade piiridel.

Lineaarne käitumine on omane suhteliselt lihtsatele objektidele. Süsteemid käituvad reeglina mittelineaarselt mitme muutujaga (joonis 1.8). Vastavalt sellele jaotatakse mudelid mittelineaarseteks.

Sõltuvalt operaatori tüübist võib matemaatilised mudelid jagada lihtsateks ja keerukateks.

Kui mudeli operaator on algebraline avaldis, mis peegeldab sisendi X väljundparameetrite funktsionaalset sõltuvust fot, nimetatakse mudelit lihtsaks.

Lihtsate mudelite näidetena võib tuua palju füüsikaseadusi (universaalne gravitatsioon, Ohmi seadus, Hooke'i seadus, Amonton-Coulombi hõõrdeseadus), aga ka kõik empiirilised, s.o. saadud kogemusest, algebralistest seostest sisend- ja väljundparameetrite vahel.

Diferentsiaal- ja integraalseoste süsteeme sisaldavat mudelit ei saa enam liigitada lihtsaks, kuna selle uurimiseks on vaja kasutada üsna keerukaid matemaatilisi meetodeid. Kuid kahel juhul saab selle taandada lihtsateks:

kui sarnase mudeli jaoks saadud matemaatiliste seoste süsteem on analüütiliselt lahendatav;

kui kompleksmudeliga arvutuskatsete tulemusi lähendatakse mingi algebralise sõltuvusega. Praegu on teada üsna palju lähenemisi ja lähendusmeetodeid (näiteks vähimruutude meetod või katsete planeerimise meetod).

Praktikas tuleb sageli ette olukordi, kus modelleerimisobjekti (reeglina keeruka süsteemi) omaduste ja käitumise rahuldavat kirjeldamist ei ole võimalik sooritada matemaatiliste seoste abil. Enamasti on aga võimalik mudelioperaatoriks peetava algoritmi abil konstrueerida mingisugune simulaator sellise objekti käitumise ja omaduste kohta.

Näiteks kui objekti vaatlemise tulemusena saadakse sisendi vahel vastavustabel X ja parameetrite väljundväärtused, seejärel määrake operaator A, võimaldades teil saada "väljapääsu" antud "sisendile" on algoritmi kasutades sageli lihtsam.

Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon sõltuvalt mudeli parameetritest(joonis 1.9)

Üldjuhul on modelleerimisobjekti olekut ja käitumist kirjeldavad parameetrid jagatud mitmeks mitteühendatud alamhulgaks

objekti sisend (kontrollitud) mõjude kogum ();

keskkonnamõjude kogum (kontrollimatu) ();

objekti sisemiste (sisemiste) parameetrite kogum ();

väljundkarakteristikute komplekt ().

Näiteks kui modelleerida materiaalse punkti liikumist gravitatsioonijõudude väljas, võib sisendparameetriteks olla punkti algasend ja algkiirus ajahetkel. Vastupidavus ja gravitatsioon iseloomustavad väliskeskkonna mõju. Punktmass on olemuslik parameeter. Punkti koordinaat ja kiirus (at) on väljundparameetrid. Sisendile või väljundile parameetrite määramine sõltub konkreetse probleemi sõnastusest. Seetõttu on alati otsesed ja pöördprobleemid.

Sisendparameetreid, väliskeskkonna mõju kirjeldavaid parameetreid ja objekti sisemisi (sisemisi) omadusi nimetatakse tavaliselt sõltumatuteks (eksogeenseteks) suurusteks. Väljundparameetrid on sõltuvad (endogeensed) väärtused. Üldjuhul teisendab mudeli operaator eksogeensed parameetrid endogeenseteks .

Oma olemuselt võivad objekti omadused olla järgmised kvaliteet ja kvantitatiivne... Kvantitatiivse tunnuse jaoks võetakse kasutusele numbrid, mis väljendavad selle parameetri ja standardi vahelist suhet (näiteks "meeter"). Lisaks saab väljendada parameetri kvantitatiivseid väärtusi diskreetsed või pidevad suurused. Kvalitatiivsed omadused leitakse näiteks eksperthinnangute meetodil. Sõltuvalt kasutatavate parameetrite komplektide tüübist saab mudeleid jagada kvalitatiivseteks ja kvantitatiivseteks, diskreetseteks ja pidevateks, samuti segatüüpideks.

Mudeli koostamisel on võimalikud järgmised parameetrite määramatuse kirjeldamise võimalused:

deterministlik- mudeli kõigi parameetrite väärtused määratakse deterministlike väärtustega (st iga parameeter vastab konkreetsele täisarvule, reaal- või kompleksarvule või vastavale funktsioonile). See meetod vastab parameetrite täielikule kindlusele;

stohhastiline- mudeli kõigi või üksikute parameetrite väärtused määratakse juhuslike suuruste abil, mis on antud tõenäosustihedusega. Näiteks juhuslike muutujate normaal- (Gaussi) ja eksponentsiaalse jaotuse juhtumid;

juhuslik- mudeli kõigi või üksikute parameetrite väärtused määratakse juhuslike suurustega, mis saadakse nende parameetrite piiratud eksperimentaalse valimi töötlemise tulemusena saadud tõenäosustiheduste hinnangutega;

intervall- mudeli kõigi või üksikute parameetrite väärtusi kirjeldatakse intervalliväärtustega, mis on määratud parameetri minimaalse ja maksimaalse võimaliku väärtusega moodustatud intervalliga;

hägune- mudeli kõigi või üksikute parameetrite väärtusi kirjeldavad vastava häguse komplekti liikmelisuse funktsioonid. Seda vormi kasutatakse juhul, kui mudeli parameetrite kohta teabe määrab loomulikus keeles ja seetõttu "hägusate" terminite puhul, nagu "palju rohkem kui viis", "nullilähedane".

Mudelite jagamine ühe-, kahe- ja kolmemõõtmeline kohaldatakse selliste mudelite puhul, mille parameetrid hõlmavad ruumi koordinaate ja on seotud nende mudelite rakendamise iseärasustega, samuti nende keerukuse järsu suurenemisega mõõtmete suurenemisega.

Nagu koordinaadid, on ka aeg sõltumatu muutuja, mis võib mõjutada ülejäänud mudelit. Tavaliselt, mida väiksem on objekti mastaap, seda olulisem on selle parameetrite sõltuvus ajast.

Iga objekt püüab liikuda mingisse tasakaaluolekusse nii oma keskkonnaga kui ka objekti enda üksikute elementide vahel. Selle tasakaalu rikkumine toob kaasa muutused objekti erinevates parameetrites ja selle ülemineku uude tasakaaluolekusse.

Mudeli koostamisel on oluline võrrelda välismõjude oluliste muutuste aega ja objektile iseloomulikke ajalisi üleminekuid keskkonnaga uude tasakaaluseisundisse, samuti lõõgastusaega, mis määrab tasakaalu saavutamise indiviidi vahel. elemendid objekti sees. Kui modelleerimisobjekti välismõjude muutumise kiirus on oluliselt väiksem kui lõõgastumise kiirus, siis võib mudelis eksplitsiitset sõltuvust ajast jätta tähelepanuta. Sel juhul räägivad nad sellest kvaasistaatiline protsessi.

Nimetatakse mudeli parameetrite väärtuste kogum mingil ajahetkel või selles etapis objekti olek.

Kui välismõjude ja uuritava objekti oleku parameetrite muutumise kiirused on piisavalt kõrged (võrreldes lõdvestumiskiirustega), siis on aja arvestamine vajalik. Sel juhul käsitletakse uurimisobjekti raames dünaamiline protsess.

Kui välismõjud jäävad konstantseks või nende kõikumised objekti seisundit piisavalt pika aja jooksul vähe mõjutavad, siis igas uuritava ruumi fikseeritud punktis mudeli parameetrite väärtused ajast ei sõltu. Näiteks vedelate osakeste kiirusväli pikas torus laminaarses režiimis. Selliseid protsesse nimetatakse statsionaarne... Reeglina kasutatakse statsionaarseid mudeleid erinevate voolude (vedelik, gaas, soojus) kirjeldamiseks konstantsete tingimuste korral voolu sisse- ja väljalaskeava juures. Selliste protsesside puhul võib aja sõltumatute muutujate arvust välja jätta.

Kui mudeli ühe olulise sõltumatu muutujana on vaja kasutada aega (või selle analoogi), siis mudeli nn. mittestatsionaarne... Mittestatsionaarse mudeli näide on vedeliku liikumise mudel torus, kuid voolab välja teatud anumast.

Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon sõltuvalt modelleerimise eesmärkidest (joon. 1.11)

Eesmärk kirjeldavad mudelid on mudeli parameetrite muutumise seaduste kehtestamine. Saadud mudel kirjeldab väljundparameetrite sõltuvust sisendparameetritest. Seetõttu on kirjeldavad mudelid kirjeldavate ja selgitavate tähenduslike mudelite rakendamine modelleerimise formaalsel tasemel.

Optimeerimismudelid on mõeldud simuleeritava objekti optimaalsete (parimate) parameetrite määramiseks teatud kriteeriumi seisukohalt või optimaalse (parima) juhtimisrežiimi leidmiseks teatud protsessi jaoks. Mõned mudeli parameetrid on seotud juhtimisparameetritega, mida muutes saate väljundparameetrite väärtuste komplektide jaoks erinevaid valikuid. Reeglina on need mudelid üles ehitatud ühe või mitme kirjeldava mudeli abil ja sisaldavad mõnda kriteeriumi, mis võimaldab teil võrrelda väljundparameetrite väärtuste komplektide erinevaid valikuid üksteisega, et valida parim. Sisendparameetrite väärtuste vahemikule saab kehtestada piiranguid vaadeldava objekti või protsessi omadustega seotud võrduste ja ebavõrdsuste kujul. Optimeerimismudelite eesmärk on leida sellised lubatavad juhtimisparameetrid, mille puhul valikukriteerium saavutab oma "parima väärtuse".

Juhtimismudelid kasutatakse tõhusate juhtimisotsuste tegemiseks sihipärase inimtegevuse erinevates valdkondades. Üldjuhul on otsustamine protsess, mis on keerukuselt võrreldav mõtlemisprotsessiga üldiselt. Kuid praktikas mõistetakse otsustamise all tavaliselt mingite alternatiivide valikut nende antud komplektist ja üldist otsustusprotsessi kujutatakse selliste alternatiivide valikute jadana.

Probleemi keerukus seisneb ebakindluse olemasolus nii esialgse informatsiooni ja välistingimuste mõju olemuse kui ka eesmärkide osas. Seetõttu on erinevalt optimeerimismudelitest, kus valikukriteerium loetakse kindlaks ja soovitav lahendus tehakse kindlaks selle äärmuslikkuse tingimustest (maksimaalne või minimaalne), on vaja juhtimismudelitesse sisse viia spetsiifilised optimaalsuse kriteeriumid, mis võimaldavad võrrelda alternatiive. probleemi mitmesugused ebakindlused.

Kuna ka samas olukorras tehtud otsuse optimaalsust saab mõista erinevalt, ei ole juhtimismudelites optimaalsuse kriteeriumi vorm ette fikseeritud. See on nende mudelite peamine omadus.

Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon sõltuvalt teostusmeetoditest (joonis 1.12)

Viidatakse mudeli rakendamise meetodile analüütiline kui see võimaldab saada väljundparameetrid analüütiliste avaldiste kujul , need. avaldised, mis ei kasuta rohkem kui loendatavat aritmeetiliste toimingute komplekti ja piiravad üleminekuid. Analüütiliste väljendite näited:

,

Analüütiliste väljendite erijuht on algebralised avaldised, milles kasutatakse lõplikku või loendatavat arvu aritmeetilisi tehteid, täisarvulise astmeni tõstmise ja juure eraldamise tehteid. Algebraliste avaldiste näide: .

Väga sageli esitatakse mudeli analüütiline lahendus elementaar- või erifunktsioonides. Nende funktsioonide väärtuste saamiseks sisendparameetrite konkreetsete väärtuste jaoks kasutage nende järjestikust laiendamist (näiteks Taylor). Seega saab eksponentsiaalfunktsiooni esitada järgmise seeriaga:

Võttes arvesse seeria erinevat liikmete arvu, on võimalik arvutada funktsiooni väärtust erineva täpsusega. Seega on antud juhul funktsiooni väärtus iga argumendi väärtuse jaoks määratud ligikaudselt. Seda tehnikat kasutavaid mudeleid nimetatakse Sulge.

Analüütilised meetodid mudeli rakendamiseks on väärtuslikumad, kuid need pole alati kättesaadavad.

Kell numbriline lähenemise korral asendatakse mudeli matemaatiliste seoste hulk lõpliku mõõtmega analoogiga. Kõige sagedamini saavutatakse see algsete suhete diskretiseerimisega, s.o. üleminek pideva argumendi funktsioonidelt diskreetse argumendi funktsioonidele. Pärast algse probleemi diskretiseerimist koostatakse arvutusalgoritm. Diskreetülesande leitud lahendust võetakse algse matemaatilise ülesande ligikaudse lahendusena. Arvutusalgoritmi põhinõue on vajadus saada esialgsele probleemile lahendus etteantud täpsusega lõpliku arvu sammudega.

Kell imitatsioon lähenemisel jagatakse uurimisobjekt ise üksikuteks elementideks. Sel juhul ei kirjutata objektsüsteemi kui terviku matemaatiliste seoste süsteemi üles, vaid see asendatakse mõne algoritmiga, mis simuleerib selle käitumist ja võtab arvesse süsteemi üksikute elementide mudelite vastastikmõju. Üksikute elementide mudelid võivad olla nii analüütilised kui ka algebralised.

MATEMAATILISE MUDELI EHITAMISE ETAPID

Praegu loodavate matemaatiliste mudelite eripäraks on nende keerukus, mis on seotud modelleeritavate objektide keerukusega. See toob kaasa mudeli keerukuse ja vajaduse mitmete (sageli erinevatest teadmisvaldkondadest pärit) teooriate ühiseks kasutamiseks, kaasaegsete arvutusmeetodite ja arvutitehnoloogia kasutamiseks simulatsioonitulemuste saamiseks ja analüüsimiseks. Tänapäeval on mudelite laialdane kasutamine inseneri- ja tehnikategevuse praktikas tekitanud vajaduse mati ehitamise algoritmi järele. mudelid.

Mis tahes matemaatilise mudeli loomise protsessi saab kujutada joonisel fig. 2.1.

2.1. SIMULATSIOONI OBJEKTI KONTROLL

Matemaatilised mudelid, eriti need, mis kasutavad numbrilisi meetodeid ja arvutustehnoloogiat, nõuavad nende ehitamiseks märkimisväärseid intellektuaalseid, rahalisi ja ajakulusid. Seetõttu tehakse uue mudeli väljatöötamise otsus vaid juhul, kui tekkinud probleemide lahendamiseks pole muid, lihtsamaid viise (näiteks mõne olemasoleva mudeli muutmine). Kui see otsus siiski tehakse, on protseduur järgmine.

Peamine eesmärk modelleeriva objekti mõõdistamise etapp on modelleerimisprobleemi sisuka sõnastuse koostamine.

Modelleerimisobjekti kohta huvipakkuvate põhiküsimuste loetelu, mis on sõnastatud tähenduslikus (verbaalses) vormis, moodustab modelleerimisprobleemi mõtestatud sõnastuse.

Küsitlusetapp sisaldab järgmisi töid:

tegeliku modelleerimisobjekti põhjalik uurimine, et selgitada välja peamised tegurid, mehhanismid, mis mõjutavad selle käitumist, määrata sobivad parameetrid, mis võimaldavad modelleeritavat objekti kirjeldada;

analoogobjektide kohta olemasolevate katseandmete kogumine ja kontrollimine, vajadusel lisakatsete läbiviimine;

kirjanduslike allikate analüütiline ülevaade, selle objekti (või vaadeldava objektiga sarnaste) varem konstrueeritud mudelite analüüs ja võrdlemine;

kogu kogunenud materjali analüüs ja üldistamine, matemaatilise mudeli loomise üldplaani väljatöötamine.

Kogu küsitluse tulemusena kogutud materjal objekti kohta seni kogunenud teadmistest, modelleerimisprobleemi mõtestatud sõnastusest, mudeli rakendamise lisanõuetest ja tulemuste esitamisest on vormistatud vormile. tehnilised kirjeldused mudeli kavandamiseks ja arendamiseks.

Töötage välja matemaatiline mudel, mis kirjeldab mängija poolt korvpallikorvi visatud korvpalli lendu.

Mudel peaks võimaldama:

arvutage palli asukoht igal ajal;

määrata erinevate algparameetritega peale viset korvi tabanud palli täpsust.

Algandmed:

kuuli mass ja raadius;

palliviske algkoordinaadid, algkiirus ja nurk;

korvi keskkoordinaadid ja raadius.

2.2. MODELLEERIMISPROBLEEMI MÕISTE SÕNASTAMINE

Modelleerimisprobleemi kontseptuaalne sõnastus- see on loetelu peamistest huvipakkuvatest küsimustest, mis on sõnastatud konkreetsete erialade (füüsika, keemia, bioloogia jne) lõikes, samuti hüpoteeside kogum modelleerimisobjekti omaduste ja käitumise kohta.

Kontseptuaalne mudel on konstrueeritud mingi objekti idealiseeritud mudelina, mis on kirjutatud konkreetsete distsipliinide järgi. Selleks koostatakse hüpoteeside kogum objekti käitumise, selle vastasmõju keskkonnaga ja sisemiste parameetrite muutuste kohta. Reeglina on need hüpoteesid usutavad, kuna nende põhjendamiseks saab esitada mõningaid teoreetilisi argumente ning kasutada objekti kohta varem kogutud teabel põhinevaid eksperimentaalseid andmeid. Aktsepteeritud hüpoteeside kohaselt määratakse objekti olekut kirjeldavate parameetrite kogum, samuti nende parameetrite muutumist ja omavahelist seost reguleerivate seaduste loetelu.

Näide. Korvpalluri probleemi kontseptuaalne sõnastus.

Korvpalli liikumist saab kirjeldada klassikalise Newtoni mehaanika seaduste järgi (joonis 2.2).

Nõustugem järgmiste hüpoteesidega:

modelleerimise objektiks on raadiusega korvpall;

liikumine toimub gravitatsiooniväljas pideva raskuskiirendusega ja seda kirjeldavad klassikalise Newtoni mehaanika võrrandid;

palli liikumine toimub ühes tasapinnas, mis on Maa pinnaga risti ja läbib viskepunkti ja korvi keskpunkti;

jätame tähelepanuta õhutakistuse ja palli enda pöörlemisest ümber massikeskme põhjustatud häired.

Vastavalt püstitatud hüpoteesidele koordinaadid ja kiirus (selle projektsioonid ja ) palli massikese. Seejärel piisab kuuli asukoha määramiseks igal ajahetkel kuuli massikeskme liikumisseaduse leidmisest, s.o. koordinaadi sõltuvus ning aeg-ajalt kiirusvektori ja kuuli keskpunkti projektsioone. Viske täpsuse hinnanguna võib arvestada horisontaalkauguse (piki telge) väärtust korvi keskpunktist palli keskpunktini hetkel, mil viimane ületab tasapinda läbivat horisontaaltasapinda. korvirõngast.

Eelnevat arvesse võttes saame sõnastada korvpalluri probleemi kontseptuaalse sõnastuse järgmisel kujul: määrata massiga materiaalse punkti liikumisseadus raskusjõu mõjul, kui punkti algkoordinaadid on teatud , selle algkiirus ja viskenurk. Korvi keskel on koordinaadid . Arvutage viske täpsus , kus määratakse tingimustest: , , .

Vaatleme korvpalluri probleemi kontseptuaalse sõnastamise näite tunnuseid.

Esimene loetletud hüpoteesidest on eriti oluline, kuna see identifitseerib modelleerimise objekti. Sel juhul võib objekti pidada lihtsaks. Siiski võib modelleerimise objektiks pidada süsteemi "mängija - pall - ring". Sellise süsteemi kirjeldamiseks vajalik mudel on palju keerulisem, kuna mängija esindab omakorda keerulist biomehaanilist süsteemi ja selle modelleerimine on keeruline ülesanne. Antud olukorras on vaid palli valimine modelleerimisobjektiks põhjendatud, kuna just selle liikumist tuleb uurida ning mängija mõju saab arvesse võtta üsna lihtsalt läbi viske algparameetrite.

Kehade liikumiste uurimiseks mehaanikas kasutatakse laialdaselt hüpoteesi, et kuuli võib pidada materiaalseks punktiks. Vaadeldaval juhul on see põhjendatud kuuli kuju sümmeetria ja raadiuse väiksuse tõttu võrreldes kuuli iseloomulike liikumiskaugustega. Eeldatakse, et viimane on sama seinapaksusega pall.

Klassikalise mehaanika seaduste kohaldatavuse hüpoteesi antud juhul saab põhjendada tohutu eksperimentaalse materjaliga, mis on seotud Maa pinna lähedal asuvate kehade liikumise uurimisega valguse kiirusest palju väiksema kiirusega. Arvestades, et kuuli kõrgus jääb vahemikku 5-10 m ja vahemik on 5-20 m, tundub ka gravitatsioonikiirenduse püsivuse eeldus mõistlik. Kui ballistilise raketi liikumist simuleerida laskekaugusel ja lennukõrgusel üle 100 km, siis oleks vaja arvestada gravitatsioonikiirenduse muutusega olenevalt koha kõrgusest ja laiuskraadist.

Hüpotees kuuli liikumisest Maa pinnaga risti olevas tasapinnas piirab vaadeldavate trajektooride klassi ja lihtsustab oluliselt mudelit. Palli trajektoor ei pruugi asuda samas tasapinnas, kui see on viske ajal tugevalt ümber vertikaaltelje keerdunud. Sel juhul on palli pinnal olevate punktide kiirused palli erinevatel külgedel õhu suhtes erinevad. Punktide puhul, mis liiguvad vastu voolu, on suhteline kiirus suurem ja vastasküljel piki voolu liikuvate punktide puhul on see väiksem kui palli massikeskme kiirus. Bernoulli seaduse kohaselt on gaasi rõhk pinnal suurem seal, kus selle suhteline kiirus on väiksem. Seetõttu joonisel fig. 2.3, mõjub pallile lisajõud, mis on suunatud (selle skeemi jaoks) ülalt alla. See efekt avaldub, mida rohkem, seda suurem on palli massikeskme kiirus ja selle pöörlemiskiirus. Korvpalli iseloomustavad suhteliselt väikesed palli lennukiirused (kuni 10 m/s). Samal ajal kasutatakse palli käsitsi keeramist harva. Seetõttu näib hüpotees palli liikumisest ühes tasapinnas olevat õigustatud. Selle kasutamine võimaldab loobuda palju keerukama palli liikumise kolmemõõtmelise mudeli ehitamisest.

Hüpotees õhutakistuse mõju puudumisest on kõige vähem põhjendatud. Kui keha liigub gaasis või vedelikus, suureneb takistusjõud koos liikumiskiiruse suurenemisega. Arvestades palli väikest kiirust, korrapärast voolujoonelist kuju ja lühikesi viskekaugusi, võib selle hüpoteesi esimese ligikaudsusena aktsepteerida.

Tuleb märkida, et modelleerimisprobleemi kontseptuaalne sõnastus, erinevalt tähenduslikust sõnastusest, kasutab konkreetse distsipliini (antud juhul mehaanika) terminoloogiat. Sel juhul asendatakse modelleeritud reaalne objekt (pall) selle mehaanilise mudeliga (materiaalne punkt). Tegelikult taandus antud näites kontseptuaalne sõnastus klassikalise mehaanika ülesande sõnastamiseks materiaalse punkti liikumisest gravitatsioonijõudude väljas. Kontseptuaalne seade on tähendusliku suhtes abstraktsem, kuna materiaalset punkti võib seostada horisondi suhtes nurga all visatud suvalise materiaalse objektiga: jalgpalli, kahurikuuli, kivi või suurtükimürsuga.

2.3. MODELLEERIMISÜLESANDE MATEMAATILINE LAUS

Valminud kontseptuaalne formuleering võimaldab sõnastada modelleerimisprobleemi matemaatilise formuleeringu, mis sisaldab komplekti erinevaid matemaatilisi seoseid, mis kirjeldavad modelleeriva objekti käitumist ja omadusi.

Modelleerimisülesande matemaatiline sõnastus on matemaatiliste seoste kogum, mis kirjeldab modelleeriva objekti käitumist ja omadusi.

Matemaatiliste seoste kogum määrab mudeli operaatori tüübi. Mudeli operaator on kõige lihtsam, kui see on esitatud algebraliste võrrandite süsteemiga. Selliseid mudeleid võib nimetada mudeliteks ligikaudne tüüp, kuna nende saamiseks kasutatakse simulatsiooniobjekti väljundparameetrite käitumise kohta olemasolevate eksperimentaalsete andmete ligikaudseks lähendamiseks sageli erinevaid meetodeid, olenevalt sisendparameetritest ja väliskeskkonna mõjudest, aga ka väärtustest. objekti sisemistest parameetritest.

Seda tüüpi mudelite ulatus on aga piiratud. Keeruliste süsteemide ja protsesside matemaatiliste mudelite loomiseks, mis on rakendatavad paljudele reaalsetele probleemidele, on, nagu eespool märgitud, kaasata suur hulk vaadeldavas distsipliinis (ja mõnel juhul sellega seotud valdkondades) kogutud teadmisi. Enamikus teadusharudes (eriti loodusteadustes) on need teadmised koondunud aksioomidesse, seadustesse, teoreemidesse, millel on selge matemaatiline sõnastus.

Tuleb märkida, et paljudes teadmiste valdkondades (mehaanika, füüsika, bioloogia jne) on tavaks eristada seadusi, mis kehtivad kõigi antud teadmistevaldkonna uurimisobjektide ja suhete kohta, mis kirjeldavad inimeste käitumist. üksikud objektid või nende agregaadid. Esimesed füüsikas ja mehaanikas hõlmavad näiteks massi, impulsi, energia jne tasakaalu võrrandeid, mis kehtivad teatud tingimustel mis tahes materiaalsete kehade kohta, sõltumata nende spetsiifilisest ehitusest, struktuurist, olekust, keemilisest koostisest. Selle klassi võrrandid on kinnitatud tohutu hulga katsetega, on hästi uuritud ja seetõttu kasutatakse vastavates matemaatilistes mudelites etteantud kujul. Teise klassi seoseid füüsikas ja mehaanikas nimetatakse defineerivateks ehk füüsikalisteks võrranditeks või olekuvõrranditeks. Need määravad kindlaks materiaalsete objektide või nende agregaatide (näiteks vedelikud, gaasid, elastsed või plastilised ained jne) käitumise omadused erinevate välistegurite mõjul.

Teise klassi seoseid uuritakse märksa vähem ja mõnel juhul tuleb need ka uurijal endal kindlaks teha (eriti uutest materjalidest koosnevate objektide analüüsimisel). Tuleb märkida, et konstitutiivsed seosed on füüsikaliste ja mehaaniliste protsesside mis tahes matemaatilise mudeli põhielement. Just vead konstitutiivsete seoste valikul või loomisel viivad kvantitatiivselt (ja mõnikord ka kvalitatiivselt) valede simulatsioonitulemusteni.

Nende kahe klassi matemaatiliste seoste komplekti määrab mudeli operaator. Enamikul juhtudel sisaldab mudeli operaator tavaliste diferentsiaalvõrrandite (ODE), osadiferentsiaalvõrrandite (PDE) ja / või integro-diferentsiaalvõrrandite süsteemi (IDE). Ülesande püstituse õigsuse tagamiseks lisatakse ODE või PDE süsteemi alg- või piirtingimused, mis omakorda võivad olla erinevat järku algebralised või diferentsiaalseosed.

ODE- või PDE-süsteemide jaoks on mitu levinumat tüüpi ülesandeid:

Cauchy probleem ehk probleem algtingimustega, kus nende soovitud muutujate väärtused mis tahes ajahetkel määratakse algsel ajahetkel antud muutujatest (algtingimustest);

algpiiri ehk piiriväärtuse probleem, kui väljundparameetri soovitud funktsiooni tingimused seatakse algsel ajahetkel kogu ruumipiirkonna jaoks ja viimase piiril igal ajahetkel (peal uuritav intervall);

omaväärtusprobleemid, mille sõnastus sisaldab süsteemi käitumise kvalitatiivse muutuse tingimustest määratud määramatuid parameetreid (näiteks tasakaaluseisundi või liikumatu liikumise stabiilsuse kadu, perioodilise režiimi ilmnemine, resonants jne. .).

Saadud matemaatiliste seoste süsteemi õigsuse kontrollimiseks on vaja mitmeid kohustuslikke kontrolle:

Mõõtmete juhtimine, sealhulgas reegel, mille järgi saab võrdsustada ja liita ainult sama mõõtmega suurusi. Arvutustele üleminekul kombineeritakse see kontroll sama ühikusüsteemi kasutamise kontrolliga kõigi parameetrite väärtuste jaoks.

Tellimuse kontroll, mis koosneb lisaväärtuste võrdlevate järjekordade ligikaudsest hinnangust ja ebaoluliste parameetrite väljajätmisest. Näiteks kui avaldise jaoks hindamise tulemusena leiti, et mudeli parameetrite vaadeldud väärtuste vahemikus ja kolmanda termini originaalväldis võib tähelepanuta jätta.

Sõltuvuste olemuse kontrollimine seisneb selles, et mudeli väljundparameetrite muutumise suund ja kiirus, mis tulenevad väljakirjutatud matemaatilistest seostest, tulenevad otseselt uuritava mudeli "füüsilisest" tähendusest.

Äärmuslike olukordade juhtimine - matemaatiliste seoste ja modelleerimise tulemuste kontrollimine, kui mudeli või nende kombinatsioonide parameetrid lähenevad nende jaoks maksimaalsetele lubatud väärtustele, enamasti nullile või lõpmatusele. Sellistes äärmuslikes olukordades mudel sageli lihtsustatakse, matemaatilised seosed omandavad visuaalsema tähenduse ja nende kontrollimine lihtsustub. Näiteks deformeeruva tahke aine mehaanika probleemide korral on materjali deformeerumine uuritavas piirkonnas isotermilistes tingimustes võimalik ainult koormuse rakendamisel, samas kui koormuste puudumine peaks kaasa tooma deformatsioonide puudumise.

Piirtingimuste juhtimine, mis hõlmab kontrollimist, kas piirtingimused on tegelikult kehtestatud, kas neid kasutatakse soovitud lahenduse koostamise protsessis ja kas mudeli väljundparameetrite väärtused vastavad tegelikult antud tingimustele.

Füüsikalise tähenduse juhtimine - füüsilise või muu kontrollimine, olenevalt probleemi iseloomust konstrueeritakse mudelina ilmnevate alg- ja vaheseoste tähendus.

Matemaatilise sulgemise juhtimine, mis seisneb kontrollimises, et kirjalik matemaatiliste seoste süsteem võimaldab lisaks üheselt lahendada püstitatud matemaatilise probleemi. Näiteks kui probleem taandatakse tundmatute leidmisele mõnest algebra- või transtsendentaalsest võrrandisüsteemist, siis suletuse kontroll seisneb selle kontrollimises, et sõltumatute võrrandite arv peab olema. Kui neid on vähem ja, siis on vaja paika panna puuduvad võrrandid ja kui neid on rohkem I, siis on võrrandid kas sõltuvad või tehti nende koostamisel viga. Kui aga võrrandid on saadud katsega või vaatluste tulemusena, siis on võimalik sõnastada ülesanne, mille puhul võrrandite arv ületab, kuid võrrandid ise rahuldatakse vaid ligikaudselt ning lahendust otsitakse nt. vähimruutude meetodil. Tingimuste vahel võib olla ka suvaline arv ebavõrdsust, nagu näiteks lineaarse programmeerimise ülesannete puhul.

Matemaatiliste seoste süsteemi matemaatilise sulgemise omadus on tihedalt seotud hästi püstitatud matemaatilise probleemi mõistega, s.t. probleem, millele lahendus on olemas, see ainult ja pidevalt oleneb lähteandmetest. Sel juhul loetakse lahendus pidevaks, kui algandmete väike muutus vastab lahenduse piisavalt väikesele muutusele.

Ülesande õigsuse mõistel on rakendusmatemaatikas suur tähtsus. Näiteks arvulisi lahendusviise on mõistlik rakendada vaid õigesti sõnastatud ülesannete puhul. Pealegi ei saa kõiki praktikas tekkivaid probleeme õigeks pidada (näiteks nn pöördülesanded). Konkreetse matemaatilise ülesande õigsuse tõestamine on üsna keeruline ülesanne, see on lahendatud ainult teatud klassi matemaatiliselt püstitatud ülesannete jaoks. Matemaatilise suletuse kontrollimine on lihtsam kui matemaatilise formuleeringu õigsuse kontrollimine. Praegu uuritakse aktiivselt valesti püstitatud probleemide omadusi ja töötatakse välja meetodeid nende lahendamiseks. Sarnaselt mõistega "õigesti püstitatud probleem" võib kasutusele võtta ka "õige matemaatilise mudeli" mõiste.

Matemaatiline mudel on õige, kui tehakse ja selle eest saadakse kõigi kontrollkontrollide positiivne tulemus: mõõtmed, järjekorrad, sõltuvuste olemus, äärmuslikud olukorrad, piirtingimused, füüsiline tähendus ja matemaatiline eraldatus.

Näide. Korvpalluri ülesande matemaatiline sõnastus.

Korvpalluri puudutava ülesande matemaatilise sõnastuse saab esitada nii vektor- kui ka koordinaatkujul (joonis 2.4).

1. Vektorvorm.

Leia tavadiferentsiaalvõrrandi süsteemi lahendusest vektori parameetrite sõltuvused ajast - ja -

,

esialgsetel tingimustel

,

Arvutage parameeter valemiga

kus teha kindlaks järgmistest tingimustest:

, , ,

Projekteerides vektorsuhteid - koordinaatide teljel, saame korvpallurit puudutava ülesande matemaatilise formuleeringu koordinaatide kujul.

2. Koordinaatide vorm.

Leidke sõltuvused , ja , diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahendamisest:

, , , ,

järgmiste algtingimustega:

, , ,

Arvutage parameeter valemiga

kus tingimuste järgi kindlaks teha

, ,

Nagu näete, on matemaatilisest vaatenurgast korvpalluri probleem taandatud Cauchy probleemiks esmajärgulise ODE-süsteemi jaoks etteantud algtingimustega. Saadud võrrandisüsteem on suletud, kuna sõltumatute võrrandite arv (neli diferentsiaal- ja kaks algebralist) võrdub ülesande nõutavate parameetrite arvuga (,,,,,). Kontrollime probleemi mõõtmeid:

dünaamika võrrand

kiiruse ja liikumise suhe

Cauchy probleemi lahenduse olemasolu ja ainulaadsust tõestasid matemaatikud. Seetõttu võib seda matemaatilist mudelit pidada õigeks.

Ülesande matemaatiline sõnastus on kontseptuaalsest veelgi abstraktsem, kuna taandab algülesande puhtalt matemaatiliseks (näiteks Cauchy probleemiks), mille lahendamise meetodid on üsna hästi välja töötatud. Oskus taandada algülesanne tuntud matemaatiliste probleemide klassiks ja põhjendada sellise info paikapidavust eeldab rakendusmatemaatiku kõrget kvalifikatsiooni ning on eriti kõrgelt hinnatud uurimisrühmades.

2.4. PROBLEEMI LAHENDAMISE MEETODI VALIK JA PÕHJENDUS

Väljatöötatud matemaatiliste mudelite kasutamisel tuleb reeglina leida modelleeritava objekti mõne senitundmatu parameetri (näiteks keha massikeskme koordinaadid ja kiirus, visketäpsus) sõltuvus, mis rahuldab teatud süsteemi võrrandid. Seega taandub probleemile lahenduse otsimine vajalike suuruste mõningate sõltuvuste leidmisele mudeli algparameetritest. Nagu varem märgitud, võib kõik matemaatiliste mudelite "tuumiku" moodustavate probleemide lahendamise meetodid jagada analüütilisteks ja algoritmilisteks.

Tuleb märkida, et analüütiliste lahenduste kasutamisel tulemuste saamiseks "numbrites" on sageli vaja välja töötada ka vastavad algoritmid, mis realiseeritakse arvutis. Algne lahendus on sel juhul aga analüütiline avaldis (või nende kombinatsioon). Algoritmilistel meetoditel põhinevad lahendused ei ole põhimõtteliselt taandatavad vaadeldava probleemi täpsetele analüütilistele lahendustele.

Konkreetse uurimismeetodi valik sõltub suuresti töörühma liikmete kvalifikatsioonist ja kogemustest. Nagu juba märgitud, on analüütilised meetodid mugavamad tulemuste hilisemaks analüüsiks, kuid need on rakendatavad ainult suhteliselt lihtsate mudelite puhul. Kui matemaatiline ülesanne (isegi lihtsustatud sõnastuses) lubab analüütilist lahendust, on viimane kahtlemata eelistatavam numbrilisele.

Algoritmilised meetodid taandatakse teatud algoritmile, mis teostab arvutusliku katse arvuti abil. Simulatsiooni täpsus sellises katses oleneb oluliselt valitud meetodist ja selle parameetritest (näiteks integratsioonietapist). Algoritmmeetodite rakendamine on reeglina töömahukam, eeldab arvutusmatemaatika meetodite head tundmist, ulatuslikku spetsiaalse tarkvara raamatukogu ja arvutitehnoloogiat. Teadusorganisatsioonides, mis on end vastavas teadmisvaldkonnas mainekate teaduskoolkondadena tõestanud, arendatakse algoritmilistel meetoditel põhinevaid kaasaegseid mudeleid.

Veelgi enam, numbrilised meetodid on kasutatavad ainult õigete matemaatiliste probleemide lahendamiseks, mis piirab oluliselt nende kasutamist matemaatilises modelleerimises.

Kõigile numbrilistele meetoditele on ühine matemaatilise ülesande taandamine lõplikuks mõõtmeliseks. Kõige sagedamini saavutatakse see algse probleemi diskretiseerimisega, s.t. pideva argumendi funktsioonilt üleminek diskreetse argumendi funktsioonidele. Näiteks korvpalli raskuskeskme trajektoori ei määratleta mitte aja pideva funktsioonina, vaid koordinaatide tabeli (diskreetse) funktsioonina ajast, s.t. koordinaatide väärtuste määramine ainult piiratud arvu ajapunktide jaoks. Saadud diskreetülesande lahendust võetakse algse matemaatilise ülesande ligikaudseks lahenduseks.

Mis tahes numbrilise meetodi kasutamine toob paratamatult kaasa vigu ülesande lahendamise tulemustes. Esialgse ülesande numbrilises lahenduses on tulemuseks oleva vea kolm põhikomponenti:

saatuslik viga, mis on seotud lähteandmete ebatäpse määramisega (alg- ja piirtingimused, koefitsiendid ja võrrandite parempoolsed küljed);

meetodi viga, mis on seotud esialgse probleemi diskreetsele analoogile üleminekuga (näiteks tuletise asendamine erinevus analoog
, saame diskretiseerimisvea, mis on tellida);

ümardamisviga, mis on seotud arvutis esitatud arvude lõplike arvude mahuga.

Konkreetse arvutusalgoritmi loomulik nõue on kolme loetletud vigade tüübi järjepidevus.

Numbrilist ehk ligikaudset meetodit rakendatakse alati arvutusalgoritmi kujul. Seetõttu on kõik algoritmile esitatavad nõuded rakendatavad arvutusalgoritmile. Esiteks peab algoritm olema teostatav – pakkuda probleemile lahendus lubatava arvutiaja jooksul. Algoritmi oluliseks tunnuseks on selle täpsus, s.o. võimalus saada esialgsele probleemile lahendus etteantud täpsusega lõpliku arvu tegevustega. Ilmselgelt mida vähem, seda rohkem kulub masinaaega. Väga väikeste väärtuste korral võib arvutusaeg olla liiga pikk. Seetõttu saavutatakse praktikas teatav kompromiss täpsuse ja masina kulutatud aja vahel. On ilmne, et iga ülesande, algoritmi ja arvutitüübi jaoks on saavutatud täpsuse iseloomulik väärtus.

Algoritmi tööaeg sõltub etteantud täpsuse saavutamiseks vajalike sammude arvust. Iga matemaatilise ülesande jaoks saate reeglina pakkuda mitut algoritmi, mis võimaldavad teil saada lahenduse etteantud täpsusega, kuid erineva sammude arvu jaoks. Algoritme, mis sisaldavad sama täpsuse saavutamiseks vähem samme, nimetatakse säästlikumateks või tõhusamateks.

Arvutusalgoritmi töö käigus ilmneb igal arvutustoimingul teatud viga. Veelgi enam, tegevusest tegevusele võib see suureneda või mitte (ja mõnel juhul isegi väheneda). Kui arvutusprotsessi viga suureneb määramatult, nimetatakse sellist algoritmi ebastabiilseks või lahknevaks. Vastasel juhul nimetatakse algoritmi stabiilseks või konvergentseks.

Juba eespool märgiti, et arvutusmatemaatika ühendab tohutul hulgal erinevaid, kiiresti arenevaid arvulisi ja ligikaudseid meetodeid, mistõttu on peaaegu võimatu anda nende täielikku klassifikatsiooni. Soov saada täpsemaid, tõhusamaid ja stabiilsemaid arvutusalgoritme toob kaasa arvukate modifikatsioonide ilmnemise, mis võtavad arvesse konkreetse matemaatilise probleemi eripära või isegi modelleeritavate objektide iseärasusi.

Vastavalt objektidele, millele neid rakendatakse, saab eristada järgmisi numbriliste meetodite rühmi:

interpoleerimine ja numbriline diferentseerimine;

numbriline integreerimine;

lineaarsete ja mittelineaarsete võrrandite juurte määramine;

lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine (jaotatud otse- ja iteratiivseteks meetoditeks);

mittelineaarvõrrandisüsteemide lahendamine;

Cauchy ülesande lahendus tavaliste diferentsiaalvõrrandite jaoks;

tavaliste diferentsiaalvõrrandite piirväärtusülesannete lahendamine;

osadiferentsiaalvõrrandite lahendamine;

integraalvõrrandite lahendus.

Numbriliste meetodite tohutu mitmekesisus muudab ühe või teise meetodi valimise igal konkreetsel juhul keeruliseks. Kuna sama mudeli realiseerimiseks saab kasutada mitut alternatiivset algoritmilist meetodit, siis konkreetse meetodi valikul lähtutakse sellest, milline on antud mudelile sobivam nii tulemuste efektiivsuse, stabiilsuse ja täpsuse tagamise kui ka rohkem valdatud ja liikmetele tuttavam.töörühm. Uue meetodi omandamine on reeglina väga töömahukas ning seotud suurte aja- ja rahaliste kuludega. Sel juhul on peamised kulud seotud vastava arvutiklassi jaoks vajaliku tarkvara väljatöötamise ja silumisega, mis tagab selle meetodi rakendamise.

Tuleb märkida, et arvutusmatemaatika on teatud mõttes pigem kunst kui teadus (viimase kui formaalsel loogikal põhineva kultuurivaldkonna mõistmisel). Väga sageli määravad kasutatavate meetodite, väljatöötatud programmide efektiivsuse aastate ja kümnete aastate jooksul välja töötatud intuitiivsed võtted, mis pole matemaatilisest seisukohast põhjendatud. Sellega seoses võib ühe ja sama meetodi efektiivsus olla väga oluliselt erinev, kui seda rakendavad erinevad teadlased.

Näide. Analüütiline lahendus korvpalluri probleemile.

Integreerimiskonstandid leitakse algtingimustest (2.6). Seejärel saab ülesande lahenduse kirjutada järgmiselt:

,
, , (2.9)

Eespool käsitletud korvpalluri probleemile lahenduse saamiseks võib kasutada nii analüütilist kui ka numbrilist meetodit. Eelmisel paaril salvestatud suhted ajas integreerides saame

, , , , (2.10)

Oletame lihtsuse mõttes, et pall on viske hetkel algpunktis ja korviga samal tasemel (st. ). Viskekauguse all mõeldakse kaugust piki telge, mille jooksul pall viskepunktist lendab korvirõngast läbiva horisontaaltasapinnaga ristumiskohani. Seostest (2.10) väljendatakse viskekaugus järgmiselt:

(2,11)

Arvestades (2,7), visketabavus

(2.12)

Näiteks palli viskamisel veajoonelt saab võtta järgmised lähteandmed: ; m; Prl; ... Siis alates (2.11) ja (2.12) on meil m; m.

Näide... Korvpalluri ülesande algoritmiline lahendus.

Lihtsamal juhul võite kasutada Euleri meetodit. Selle probleemi lahendamise pseudokoodi algoritm on toodud allpool.

Algoritm 2.1

programm korv (Korvpalliprobleem);

(Andmed: m, R - kuuli mass ja raadius;

x0, y0 - kuuli algkoordinaadid;

v0, a0 - palliviske algkiirus ja nurk;

xk, yk - korvi keskpunkti koordinaadid;

t on praegune kellaaeg;

dt - ajasamm;

fx, fy - kuulile mõjuvad jõud;

x, y, vx, vy – kuuli kiiruse hetkekoordinaadid ja projektsioonid.

tulemused: L ja D on viske ulatus ja täpsus.)

m: = 0,6; R = 0,12;

v0: = 6,44; a0: = 45;

Sõnastame põhinõuded süsteemi (objekti) toimimisprotsessi mudelile M:

1) mudeli täielikkus peaks andma kasutajale võimaluse saada nõutava täpsuse ja usaldusväärsusega süsteemi omaduste nõutud hinnangute kogum.

2) mudeli paindlikkus peaks võimaldama reprodutseerida erinevaid olukordi süsteemi struktuuri ja parameetrite muutmisel.

3) mudeli väljatöötamise kestus peaks olema võimalikult lühike.

4) mudeli struktuur peab olema plokk, st. võimaldavad mõningaid osi asendada, lisada ja välja jätta ilma kogu mudelit muutmata.

5) tarkvara ja riistvara peaksid tagama mudeli tarkvararakenduse, mis on kiiruse ja mälu osas tõhus.

1.3. Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon

V Väga mugav on valida matemaatiliste mudelite klassifitseerimise aluseks selline selgesõnaline tunnus nagu modelleeritava objekti tüüp. Uuritava objekti tüübi järgi eristatakse tehniliste seadmete, tehnoloogiliste protsesside, tööstusharude, ettevõtete matemaatilisi mudeleid.

Iga valitud mudelirühma saab omakorda jagada mitmeks rühmaks ja alamrühmaks, sõltuvalt nende jaoks vastuvõetud. Viimaseid kasutavad kõige sagedamini ajafaktorid (pidevad ja diskreetsed mudelid), mudelis kirjeldatud objekti töörežiim (dünaamiline ja staatiline), funktsionaalse ühenduse tüüp (lineaarne või mittelineaarne).

Näiteks saate selle põhjal klassifitseerida tehniliste objektide ja seadmete matemaatilisi mudeleid, tuues esile kaheksa mudelirühma

V Sõltuvalt kuvatavate omaduste olemusest jagatakse matemaatilised mudelid funktsionaalseteks ja struktuurseteks. Funktsionaalsed mudelid kajastavad objektis toimuvaid protsesse. Enamasti on need mudelid määratletud võrrandisüsteemide kujul.

Struktuurmudeleid kasutatakse toote välimuse kirjeldamisega seotud projekteerimisülesannetes, projekteerimisülesannetes. Need on mudelid, mis kuvavad objekti geomeetrilisi omadusi (objekti moodustavad elemendid ja elementidevaheliste seoste olemus). Need matemaatilised mudelid on maatriksite, graafikute jne kujul.

Matemaatiliste mudelite konstrueerimise meetodi järgi eristatakse formaalsete (eksperimentaal-statistiliste) matemaatiliste mudelite klass ja mitteformaalsete (analüütiliste) mudelite klass.

Formaalsed matemaatilised mudelid luuakse mõne analoogobjekti eksperimentaalsete vaatluste tulemuste põhjal. Seostusvõrrandid Y = F (X, Z) on tinglikud ega kajasta objekti sisemist struktuuri, disaini ega tehnoloogilisi iseärasusi.

Tehniliste objektide ja seadmete matemaatilised mudelid

Joonis 1.4. Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon

Mitteametlikud mudelid luuakse universaalsete jäävusvõrrandite (mass, energia, impulss) alusel. Sidemete võrrandid Y = F (X, Z) peegeldavad üldisi säilivusseadusi, objektis toimuvaid elementaarseid füüsikalisi ja keemilisi protsesse.

Sisend- ja väljundparameetrite (F (X, Z)) funktsionaalse seose tüübi järgi on tavaks eristada lineaarseid ja mittelineaarseid matemaatilisi mudeleid.

Objekti uurimise ülesanded võivad piirduda selle teatud toimimisviisiga. Selle funktsiooni järgi eristatakse staatika- ja dünaamikamudeleid.

Dünaamika matemaatiline mudel kirjeldab objekti ajutist töörežiimi ja kuvab objekti väljundkoordinaatide (Y (t)) aja muutumist.

Deterministliku objekti dünaamika matemaatilise mudeli väljatöötamisel kasutatakse erinevat tüüpi diferentsiaalvõrrandeid.

1. Ühendatud koordinaatidega paigalseisva objekti dünaamika mudeli kirjeldamiseks kasutatakse tavalisi diferentsiaalvõrrandeid või ülekandefunktsioone:

2. Kirjeldada statsionaarse objekti dünaamika mudelit koos jaotus-, osadiferentsiaalvõrranditega:

3. Ühendatud koordinaatidega mittestatsionaarse objekti dünaamika mudeli kirjeldamiseks kasutatakse tavalisi diferentsiaalvõrrandeid või ajamuutuvate koefitsientidega ülekandefunktsioone:

4. Jaotatud koordinaatidega mittestatsionaarse objekti dünaamika mudeli kirjeldamiseks kasutatakse ajamuutujate koefitsientidega osadiferentsiaalvõrrandeid:

Staatika matemaatiline mudel kirjeldab objekti püsiseisundit (dY dt = 0) ja kuvab objekti väljundkoordinaatide sõltuvust.

ect (Y) oma sisendkoordinaatidest (X).

Deterministliku objekti staatika matemaatilise mudeli väljatöötamisel kasutatakse erinevat tüüpi lõplikke ja diferentsiaalvõrrandeid.

5. Ühendatud koordinaatidega paigalseisva objekti staatika mudeli kirjeldamiseks kasutatakse algebralisi (lõplikke) võrrandeid

f (Y, X, B) = 0.

täpsete koordinaatide korral kasutatakse ajas muutuvate koefitsientidega lõplikke võrrandeid:

1.4. Matemaatilise mudeli adekvaatsuse mõiste

Olgu matemaatiline mudel antud staatilise võrrandi kujul: (1.12)

On objekt (originaal), mille sisendis saab rakendada häireid, määrates sisendkoordinaatide vektori X = X * uue väärtuse. Kasutades neid väärtusi võrrandis (1.12), leiate arvutuse

väljundkoordinaatide vektori ny väärtused Y võistlused (X *, B *). Võrreldes seda

vektori vastavate väärtustega, mis saadi objektil katse ajal (originaal), saame järeldada mudeli läheduse astme kohta originaalile (joonis 1.5).

Y rassi (X *, B *) ja objektil saadud vektor Y esp (X *) vahel, mille X = X * on väiksem kui etteantud arv, s.t.

ρ [Y (X *, B *), Y (X *)]< .

kus ρ on jääkfunktsioon, määrab kauguse arvutamise valemi;

- lubatav viga, iseloomustab mudeli adekvaatsuse astet.

Joonis 1.5. Objektmudeli adekvaatsuse määramine

Mudeli adekvaatsus sõltub uuritavat objekti puudutava informatsiooni täielikkuse ja usaldusväärsuse astmest, mudeli detailsusest, mudeli parameetrite tuvastamise täpsusest, uurija väljaõppe tasemest ja kogemustest.

1.5. Matemaatiliste mudelite koostamise meetodite üldtunnused

Mis tahes matemaatilise mudeli väljatöötamise meetodi analüüs võimaldab meil eristada selle probleemi lahendamiseks kolme vajalikku etappi:

objekti sisendi X sidefunktsiooni f ja väljundi Y koordinaatide struktuuri määramine (matemaatilise mudeli võrrandi moodustamine üldkujul);

mudeli parameetrite määramine (matemaatilise mudeli võrrandi koefitsiendid) B. Parameetrite B vektori tuvastamise probleem;

matemaatilise mudeli adekvaatsuse kontrollimine.

Sõltuvalt esimese ja teise etapi probleemide lahendamise meetoditest eristatakse kolme matemaatiliste mudelite koostamise meetodite rühma: formaalsed (eksperimentaal-statistilised meetodid), mitteametlikud (analüütilised meetodid) ja kombineeritud meetodid.

Statsionaarsete ja mittestatsionaarsete objektide matemaatiliste mudelite koostamiseks kasutatakse formaalseid (eksperimentaalstatistilisi) meetodeid, ainult koondatud koordinaatidega. Nende meetodite peamised omadused on järgmised:

formaalsed matemaatilised mudelid, mis on identsed kuni B-ga

oskab kirjeldada erinevaid BTS-e; modelleeritava objekti omaduste põhjalik uurimine pole vajalik;

matemaatilise mudeli täpsus saavutatakse parameetrite (koefitsientide) vektori V mõõtme suurendamisega.

Formaalsed meetodid matemaatiliste mudelite koostamiseks põhinevad küberneetilisel kontseptsioonil modelleerimisobjektist kui omamoodi mustast kastist (joonis 1.6).

Joonis 1.6. Simulatsiooniobjekti plokkskeem

V selle kontseptsiooni raames eeldatakse, et:

- objekti sisemine struktuur on teadmata,

- kõik objekti sisendid (X) ja väljundid (Y) on vaatlemiseks saadaval,

- objekti sisendile saab rakendada mitmesuguseid häireid,

- X ja Y vaatluste põhjal on võimalik sõnastada piiranguvõrrandid, mida edaspidi käsitletakse objekti matemaatilise mudeli võrranditena.

Selle meetodite rühma üks peamisi eeliseid on nende mitmekülgsus ja täielik muutumatus uuritava ainevaldkonna suhtes. Nende kasutamine eeldab, et arendajal on märkimisväärne hulk katseandmeid: objekti vaatluste tulemused (X ja Y). Ilmselgelt ei saa eksperimentaal-statistiliste meetoditega konstrueerida uusi objekte, projekteerimisjärgus objekte, mida tegelikkuses ei eksisteeri.

Matemaatiliste mudelite koostamise mitteametlike (analüütiliste) meetodite tunnuste hulka kuuluvad faktid:

Sisend X ja väljund Y koordinaatide sidefunktsioon f tuletatakse modelleerimisobjektis toimuvate elementaarsete füüsikaliste ja keemiliste protsesside analüüsi põhjal;

Vektori komponendid Mudeli parameetrid (võrrandite koefitsiendid) sisaldavad simuleeritava objekti põhilisi struktuurseid ja tehnoloogilisi omadusi;

Nende meetodite alusel saadud matemaatilised mudelid on reeglina mittelineaarsed.

Analüütiliste meetodite peamine eelis mudelite koostamisel

on võimalus objekti omaduste üksikasjalikuks (täielikuks) analüüsiks algandmete mitmesuguste muutuste korral. Analüütiline lähenemine matemaatiliste mudelite väljatöötamisele on aga võimalik vaid suhteliselt lihtsate objektide puhul, muudel juhtudel eeldab see reaalsete protsesside kirjelduste olulisi lihtsustusi (eeldusi), mis toob kaasa modelleerimise täpsuse vähenemise. Analüütilised meetodid matemaatiliste mudelite väljatöötamiseks ei nõua katsete seadmist ja neid saab kasutada nii projekteerimiseelsetes uuringutes kui ka uue rajatise projekteerimisel.

Kombineeritud meetodid on analüütiliste ja formaalstatistiliste lähenemisviiside integreerimine matemaatiliste mudelite väljatöötamisel. Näiteks matemaatilise mudeli võrrandite moodustamine üldkujul toimub universaalsete jäävusseaduste alusel (analüütiline lähenemine), mudeli parameetrite määramine aga eksperimentaalsete ja statistiliste meetoditega. Selle lähenemisviisiga nõrgeneb mudelite koostamise formaalsete meetodite peamine puudus: võrrandite struktuuris puudub uuritavas objektis toimuvate elementaarsete füüsikalis-keemiliste protsesside kaardistamine.

Kontrollküsimused

1. Milliseid modelleerimistüüpe te teate?

2. Mis on füüsilise modelleerimise põhimõte?

3. Mis on matemaatilise modelleerimise põhimõte?

4. Kuidas saab esitada füüsilist mudelit?

5. Füüsilise modelleerimise peamised eelised ja puudused.

6. Millisel kujul saab matemaatilist mudelit esitada?

7. Matemaatilise modelleerimise eelised ja puudused.

8. Simulatsiooni iseloomulikud tunnused.

9. Milliseid klassifitseerimismärke kasutatakse matemaatiliste mudelite üksikute klasside eristamiseks?

10. Mida kirjeldab dünaamika matemaatiline mudel?

11. Milliseid dünaamika matemaatilisi mudeleid te teate?

12. Mida kirjeldab staatika matemaatiline mudel?

13. Milliseid staatika matemaatilisi mudeleid te teate?

14. Loetlege objekti matemaatilise mudeli väljatöötamise etapid.

15. Kuidas mõistate väidet "Mudel on objektile adekvaatne"?

16. Millised on matemaatiliste mudelite koostamise meetodite rühmad.

17. Milliseid matemaatiliste mudelite koostamise formaalsete meetodite omadusi teate?

18. Mudelite koostamise analüüsimeetodite tunnused.

Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

postitatud http://www.allbest.ru/

MÄRKUS

Selles kursusetöös käsitletakse matemaatiliste mudelite tüüpe, nende klassifikatsiooni, matemaatiliste mudelite põhitüüpe, nende skeeme. Tuuakse näiteid matemaatiliste mudelite koostamise kohta mitme näite abil. See töö aitab õpilastel mõista kõiki matemaatiliste mudelite tüüpe ja tüüpe, mõista, millise põhimõtte järgi on võimalik matemaatilisi mudeleid klassifitseerida, mis määrab konkreetse matemaatilise mudeli valiku. Siit saame teada, millised on matemaatiliste mudelite skeemid ja millised on nende omadused.

ABSTRAKTNE

Antud kursusetöös käsitletakse matemaatiliste mudelite tüüpe, nende kategoriseerimist. Matemaatiliste mudelite põhitüübid, nende skeemid. Tsiteerib mitmel näitel matemaatiliste mudelite ehitisi.

Sissejuhatus

1. Simulatsioon

1.1 Modelleerimise eesmärgid ja eesmärgid

1.2 Mudelinõuded

2. Mudelite klassifikatsioon

3. Matemaatiline modelleerimine

3.1 Pidevalt deterministlikud mudelid (D - skeemid)

3.2 Diskreet-deterministlikud mudelid (F-ahelad)

3.3 Järjekorra teooria meetodid

4. Matemaatilise mudeli valimine

4.1 Matemaatiliste mudelite koostamise meetodite võrdlus

4.2 Mudeli kehtivus ja lihtsus

4.3 Valideerimine ja mudeli tuvastamine

4.4 Matemaatilise mudeli valimine

5. Näiteid matemaatiliste mudelite koostamisest

Järeldus

Teabeallikate loetelu

SISSEJUHATUS

Praeguses vabariigi majandusliku ja sotsiaalse arengu staadiumis seatakse majandustöö tasemele kõigil tasanditel kõrged nõuded. Tänapäeval on eriti vaja kvalitatiivseid muutusi majanduses, majandussüsteemi kõigi lülide: ettevõtete, ühingute, tööstuste efektiivsuse olulist tõusu. Tootmis- ja majandustegevuse valdkonnas ettevõtete laienevate õiguste kontekstis on eriti oluline nende sõltumatus juhtimisotsuste tegemisel, sügavate teadmiste omandamine majandusteaduse viimastest saavutustest, matemaatilise modelleerimise ja majanduse prognoosimise meetoditest. optimaalsete otsuste tegemise infotehnoloogiatel põhinevad protsessid. Need asjaolud seavad kõrgendatud nõuded nende spetsialistide koolituse kvaliteedile, kes peavad omama teaduse uusimaid saavutusi ja suutma oma rikkalikku meetodite arsenali kasutades leida kõige tõhusamaid juhtimislahendusi, mis omakorda määrab rolli matemaatiliste optimeerimismeetodite koht õppeprotsessis. simulatsiooniteenus deterministlik

Matemaatilise modelleerimise meetodid, mis on võimas tööriist majandusprotsesside uurimisel, mängivad väga olulist rolli majandusarengu analüüsis ja sünteesis, definitsioon pakub mitmetasandilist optimeerimist, mis kajastab majandusharude, piirkondade ja ettevõtete suhteid.

Teaduses, tehnoloogias ja majanduses kasutatakse mudeleid, mis üldtunnustatud formaalsel viisil kirjeldavad süsteemide iseloomulikke tunnuseid ja võimaldavad nende käitumist üsna usaldusväärselt ennustada. Lihtsaimad mudelid võivad olla tabelid või graafikud, mis ühendavad süsteemile avaldatava mõju ulatuse väärtustega, mis kajastavad selle reaktsiooni nendele toimingutele. Mudelite kõrgem tase on sarnast seost (algebraline, diferentsiaal, integraal jne) kajastavad võrrandid. keeruka süsteemi omadusi peegeldab erinevate võrrandite hulk. Selliseid mudeleid nimetatakse matemaatilisteks mudeliteks ja need kirjeldavad süsteemide klasse. Sõltumata matemaatilise mudeli loomise meetodist peegeldab see alati ligikaudu uuritavat süsteemi. Selle põhjuseks on meie teadmiste ebatäielikkus süsteemis toimuvate protsesside olemuse kohta, võimatus arvesse võtta kõiki protsesse ja nende iseärasusi (ülemäära kohmakas matemaatiline mudel), süsteemi andmete ebatäpne esitus. ja selle elemendid. Omades süsteemi matemaatilist mudelit, on võimalik ennustada selle käitumist erinevates olukordades (viia läbi süsteemi matemaatilist modelleerimist).

1. MODELLEERIMINE

Modelleerimine - see on objekti uurimine selle mudeli ehitamise ja uurimise teel, mis viiakse läbi kindla eesmärgiga ja seisneb katse asendamises mudelil tehtud algse katsega. Mudel tuleks üles ehitada nii, et see reprodutseerib kõige täielikumalt objekti neid omadusi, mida on vaja vastavalt seatud eesmärgile uurida. Mudel peaks igas mõttes olema objektist lihtsam ja seda mugavam uurida. Seega võivad sama objekti jaoks olla erinevad mudelid, mudelite klassid, mis vastavad selle uurimise erinevatele eesmärkidele. Modelleerimise vajalik tingimus on objekti ja selle mudeli sarnasus. Need. modelleerimine on ühe objekti (originaal) asendamine teisega (mudel) ning mudeli omaduste fikseerimine ja uurimine. Asendamine toimub eesmärgiga lihtsustusi, odavnedes, kiirendades originaali omaduste uurimist.

Üldjuhul võib algobjektiks olla looduslik või tehislik, reaalne või kujuteldav süsteem. Sellel on palju parameetreid ja seda iseloomustavad teatud omadused. Süsteemi omaduste kvantitatiivne mõõt on tunnuste kogum, süsteem avaldab oma omadusi välismõjude mõjul. Mudelite ehitamisega tegelevalt spetsialistilt on vaja järgmisi põhiomadusi:

o selge arusaam objektil esinevate füüsikaliste ja keemiliste nähtuste olemusest;

o oskus kirjeldada matemaatiliselt käimasolevaid protsesse ja rakendada modelleerimismeetodeid;

o suutma anda mudelil sisukaid tulemusi.

1.1 Modelleerimise eesmärgid ja eesmärgid

Modelleerimise peamised eesmärgid ja eesmärgid on järgmised:

1. Uute optimaalne projekteerimine ja olemasolevate tehnoloogiliste protsesside intensiivistamine.

2. Kontroll protsessi käigu üle, selle kohta vajaliku informatsiooni hankimine ja saadud informatsiooni töötlemine tehnoloogilise protsessi kulgemise kontrollimiseks.

3. Objektide uurimisprobleemide lahendamine, kus aktiivseid katseid pole võimalik läbi viia - reaktorite töörežiimid, kosmoseobjektide trajektoorid jne.

4. Laboratoorsete uuringute tulemuste tööstuslikule mastaabile ülekandmise maksimaalne kiirendamine.

1.2 Mudeli nõuded

1. Mudeli loomise maksumus peaks olema oluliselt väiksem kui originaali loomise maksumus.

2. Arvutuskatse tulemuste tõlgendamise reeglid peavad olema selgelt määratletud.

3. Peamine nõue – mudel peab olema sisuline. See nõue on, et mudel peab kajastama objekti omadusi, mis on konkreetse probleemi lahendamiseks hädavajalikud. Ühe ja sama objekti jaoks on raske luua üldistatud mudelit, mis kajastaks kõiki selle omadusi. Seetõttu on oluline tagada mudeli olulisus.

Modelleerimine on soovitatav, kui mudelil puuduvad originaali omadused, mis takistavad selle uurimist.

Modelleerimise teooria on omavahel seotud sätete, definitsioonide, meetodite ja vahendite kogum mudelite loomiseks. Mudelid ise on modelleerimise teooria teema.

Modelleerimise teooria on süsteemide üldteooria – süsteemoloogia – põhikomponent, kus teostatavad mudelid postuleeritakse peamise printsiibina: süsteem on esindatud lõpliku mudelite hulgaga, millest igaüks peegeldab oma olemuse teatud tahku.

2 . MUDELI KLASSIFIKATSIOON

Mudeleid saab klassifitseerida erinevat tüüpi atribuutide järgi:

- tunnetusmeetodil: teaduslik ja tehniline, kunstiline, igapäevane;

- mudelite olemuse järgi: objektiivne (füüsiline / materiaalne), märk (vaimne).

Joonis 1 Mudelite liigitus olemuse järgi

- aja suhtes eristatakse staatilisi ja dünaamilisi mudeleid;

- väljundparameetrite sisendist sõltuvuse olemuse järgi jagunevad mudelid deterministlikeks ja stohhastilisteks.

Materjalimudelid - originaali vähendatud (suurendatud) peegeldus, säilitades samal ajal selle füüsikalise olemuse (reaktor - katseklaas). Mentaalne mudel on algupära peegeldus, mis peegeldab olulisi jooni ja tekib inimese teadvuses tunnetusprotsessis. Pildimudelid on kirjeldavad. Märgimudelid on protsesside, nähtuste, objektide matemaatilised kirjeldused ja neid nimetatakse tavaliselt matemaatikamudeliteks. Signatuurimudelid võivad sisaldada ka diagramme ja jooniseid.

Vmudeli ideid aja suhtesja väljundparameetrite olemuse järgi

Joonis 2.

Füüsilised mudelid. Klassifikatsiooni aluseks on mudeli abstraktsiooni määr originaalist. Kõik mudelid võib esialgselt jagada kahte rühma - füüsikalised ja abstraktsed (matemaatilised).

Füüsilist mudelit nimetatakse tavaliselt süsteemiks, mis on samaväärne või originaaliga sarnane, kuid millel võib olla erinev füüsiline olemus. Füüsiliste mudelite tüübid:

loomulik;

kvaasilooduslik;

suuremahuline;

analoog.

Looduslikud mudelid on reaalselt uuritud süsteemid (maketid, prototüübid). Neil on täielik adekvaatsus (vastavus) algse süsteemiga, kuid need on kallid.

Kvaasi-looduslikud mudelid on looduslike ja matemaatiliste mudelite kogum. Seda tüüpi kasutatakse siis, kui süsteemi osa mudel ei saa olla matemaatiline selle kirjelduse keerukuse tõttu (inimoperaatori mudel) või kui süsteemi osa tuleb uurida koostoimes teiste osadega, kuid see ei ole vajalik. veel olemas või nende kaasamine on väga kallis (arvutuspolügoonid, automatiseeritud juhtimissüsteemid).

Mastaabiline mudel on originaaliga samasuguse füüsilise olemusega, kuid mastaapselt sellest erinev süsteem. Suuremahulise modelleerimise metodoloogiliseks aluseks on sarnasuse teooria. Arvutussüsteemide projekteerimisel saab mastaabimudelite abil analüüsida paigutuslahenduste võimalusi.

Analoogmudelid on süsteemid, mille füüsiline olemus erineb originaalist, kuid toimimisprotsessid on originaaliga sarnased. Analoogmudeli loomiseks on vaja uuritava süsteemi matemaatilist kirjeldust. Analoogmudelitena kasutatakse mehaanilisi, hüdraulilisi, pneumaatilisi ja elektrisüsteeme. Analoogmodelleerimist kasutatakse arvutitehnoloogia uurimisel loogiliste elementide ja elektriahelate tasemel, samuti süsteemi tasandil, kui süsteemi toimimist kirjeldatakse näiteks diferentsiaal- või algebraliste võrranditega.

Matemaatilised mudelid kujutavad endast süsteemi formaliseeritud esitust, kasutades abstraktset keelt, kasutades matemaatilisi seoseid, mis peegeldavad süsteemi toimimise protsessi. Matemaatiliste mudelite koostamiseks võite kasutada mis tahes matemaatilisi vahendeid - algebralist, diferentsiaalarvutust, integraalarvutust, hulgateooriat, algoritmide teooriat jne. Sisuliselt on kogu matemaatika loodud objektide ja protsesside mudelite koostamiseks ja uurimiseks.

Süsteemide abstraktse kirjeldamise vahendid hõlmavad ka keemiliste valemite, diagrammide, jooniste, kaartide, diagrammide jne keeli. Mudeli tüübi valiku määravad uuritava süsteemi omadused ja modelleerimise eesmärgid, kuna mudeli uurimine võimaldab saada vastuseid kindlale küsimusterühmale. Muu teave võib vajada teist tüüpi mudelit. Matemaatilised mudelid võib liigitada deterministlikuks ja tõenäosuslikuks, analüütiliseks, numbriliseks ja simulatsiooniks.

Analüütiline mudel on süsteemi formaliseeritud kirjeldus, mis võimaldab saada võrrandile selgesõnalise lahendi, kasutades tuntud matemaatilist aparaadi.

Numbrilist mudelit iseloomustab vormi sõltuvus (1.2), mis võimaldab ainult konkreetseid lahendusi konkreetsete lähtetingimuste ja mudelite kvantitatiivsete parameetrite jaoks.

Simulatsioonimudel on süsteemi ja välismõjude kirjelduste kogum, süsteemi toimimise algoritmid või süsteemi oleku muutmise reeglid väliste ja sisemiste häirete mõjul. Need algoritmid ja reeglid ei võimalda kasutada olemasolevaid matemaatilisi analüütilise ja numbrilise lahenduse meetodeid, kuid võimaldavad simuleerida süsteemi toimimise protsessi ja teha arvutusi huvipakkuvate tunnuste kohta. Simulatsioonimudeleid saab luua palju laiema klassi objektide ja protsesside jaoks kui analüütilisi ja numbrilisi mudeleid. Kuna VS-i kasutatakse simulatsioonimudelite rakendamiseks, on universaalsed ja spetsiaalsed algoritmilised keeled IM formaliseeritud kirjeldamise vahendiks. MI sobivad kõige paremini VS-i uurimiseks süsteemsel tasemel.

3 . MATEMAATILINE MODELLEERIMINE

See on kaasaegse teadusliku uurimistöö kõige olulisem meetod, süsteemianalüüsi peamine aparaat. Matemaatiline modelleerimine on objekti käitumise uurimine teatud tingimustes, lahendades selle matemaatilise mudeli võrrandeid. Keemiatehnoloogias kasutatakse matemaatilist modelleerimist praktiliselt kõigil uurimis-, arendus- ja juurutamistasanditel. See meetod põhineb matemaatilisel sarnasusel. Matemaatiliselt sarnastes objektides on protsessidel erinev füüsikaline olemus, kuid neid kirjeldatakse identsete võrranditega.

Arengu algfaasis nimetati matemaatilist modelleerimist analoogseks. Veelgi enam, analoogia meetodi kasutamine on viinud analoogarvutusmasinate - ACM-i - tekkeni. Need on elektroonikaseadmed, mis koosnevad integraatoritest, diferentsiaatoritest, suvest ja võimendist. ABM simuleerib füüsilisi nähtusi, mis on analoogsed elektrilise olemuse mõjudega. Võrreldes füüsilise modelleerimisega on matemaatiline modelleerimine universaalsem meetod.

Matemaatiline modelleerimine:

- võimaldab ühe seadme (arvuti) abil lahendada terve sama matemaatilise kirjeldusega ülesannete klassi;

- tagab lihtsa ülemineku ühelt ülesandelt teisele, võimaldab sisestada muutuvaid parameetreid, häireid ja erinevaid algtingimusi;

- võimaldab teostada modelleerimist osade kaupa ("elementaarprotsessid"), mis on eriti oluline keemiatehnoloogia keerukate objektide uurimisel;

- ökonoomsem kui füüsilise modelleerimise meetod, nii kulude kui ka kulude osas.

Süsteemi toimimisprotsesside matemaatilise mudeli koostamisel on lähteinformatsiooniks uuritava (projitseeritud) süsteemi S eesmärgi ja töötingimuste andmed. See teave määrab modelleerimise peamise eesmärgi, nõuded matemaatilisele mudelile, abstraktsiooni tase ja matemaatilise modelleerimisskeemi valik.

Kontseptsioon matemaatiline skeem võimaldab käsitleda matemaatikat mitte arvutusmeetodina, vaid mõtlemismeetodina, mõistete sõnastamise vahendina, mis on kõige olulisem üleminekul verbaalselt kirjelduselt selle toimimisprotsessi formaliseeritud esitusele. mingi matemaatiline mudel.

Matemaatilise skeemi kasutamisel peaks süsteemiuurijat huvitama eelkõige uuritava süsteemi reaalsete protsesside konkreetsete skeemide vormis kaardistamise adekvaatsuse küsimus, mitte vastuse saamise võimalus (lahendus tulemus) konkreetsele uurimisküsimusele.

Matemaatilise skeemi saab määratleda kui lüli üleminekul süsteemi toimimise protsessi mõtestatud kirjelduselt formaliseeritud kirjeldusele, võttes arvesse väliskeskkonna mõju. Need. on ahel: kirjeldav mudel - matemaatiline skeem - simulatsioonimudel.

Deterministlike mudelitena, kui uuringus ei võeta arvesse juhuslikku fakti, kasutatakse pidevas ajas töötavate süsteemide kujutamiseks diferentsiaal-, integraal- ja muid võrrandeid ning diskreetses ajas töötavate süsteemide kujutamiseks lõplikke automaate ja lõplike erinevuste skeeme.

Stohhastiliste mudelite alguses (võttes arvesse juhuslikku tegurit) kasutatakse diskreetse ajaga süsteemide kujutamiseks tõenäosusautomaate ja pideva ajaga süsteemide esitamiseks järjekorrasüsteeme (QS). Nn koondmudelitel on suur praktiline tähtsus keeruliste individuaalsete juhtimissüsteemide uurimisel, mis hõlmavad automatiseeritud juhtimissüsteeme.

Koondmudelid (süsteemid) võimaldavad kirjeldada väga erinevaid uurimisobjekte, peegeldades nende objektide süsteemsust. Just koondkirjeldusega jagatakse keerukas objekt lõplikuks arvuks osadeks (alamsüsteemideks), säilitades samas ühendused, tagades osade koosmõju.

3 .1 Pidevalt deterministlik m O delhi (D – skeemid)

Vaatleme pidevalt deterministliku lähenemise tunnuseid näite abil, kasutades matemaatilise mudelina diferentsiaalvõrrandeid.

Diferentsiaalvõrrandid on võrrandid, milles ühe muutuja või mitme muutuja funktsioonid on tundmatud ja võrrand ei hõlma mitte ainult nende funktsioone, vaid ka nende erinevat järku tuletisi.

Kui tundmatud on mitme muutuja funktsioonid, siis nimetatakse võrrandeid osadiferentsiaalvõrranditeks. Kui tundmatud funktsioonid on ühe sõltumatu muutujaga, siis tekivad tavalised diferentsiaalvõrrandid.

Üldine matemaatiline seos deterministlike süsteemide jaoks:

Näiteks pendli väikeste võnkumiste protsessi kirjeldatakse tavalise diferentsiaalvõrrandiga, kus m 1, l 1 on mass, pendli vedrustuse pikkus, on pendli tasakaaluasendist kõrvalekaldumise nurk. Sellest võrrandist leiate hinnanguid huvipakkuvate tunnuste, näiteks võnkeperioodi kohta

Diferentsiaalvõrrandid, D - ahelad on automaatse reguleerimise ja juhtimissüsteemide teooria matemaatiline aparaat.

Automaatjuhtimissüsteemide (ACS) projekteerimisel ja käitamisel on vaja valida sellised süsteemi parameetrid, mis tagaksid vajaliku juhtimistäpsuse.

Tuleb märkida, et ACS-is sageli kasutatavad diferentsiaalvõrrandisüsteemid määratakse keerukama kujuga objekti (süsteemi) juhtimise lineariseerimise teel mittelineaarsustega:

3 .2 Diskreetsed deterministlikud mudelid ( F - skeem)

Automaatide teooria (TA) käsitlemise objektiks on diskreetsed deterministlikud mudelid (DDM). TA on teoreetilise küberneetika osa, mis uurib seadmeid, mis töötlevad diskreetset teavet ja muudavad nende sisemisi olekuid ainult vastuvõetavatel aegadel.

Olekumasinal on palju sisemisi olekuid ja sisendsignaale, mis on lõplikud hulgad. Automaat on seatud F-skeemi järgi:

F = ,

kus z, x, y on vastavalt sisend- ja väljundsignaalide (tähestik) lõplikud komplektid ja sisemiste olekute lõplik hulk (tähestik). z 0 Z - algolek; (z, x) - üleminekufunktsioon; (z, x) - väljumisfunktsioon. Automaat töötab diskreetsel automaatajal, mille hetkedeks on tiksud, s.o. kõrvuti võrdsed ajaintervallid, millest igaüks vastab sisend-, väljundsignaali ja sisemise oleku konstantsetele väärtustele. Abstraktsel automaadil on üks sisend- ja üks väljundkanal.

Hetkel t, olles olekus z (t), suudab automaat tajuda signaali x (t) ja väljastada signaali y (t) =, minnes olekusse z (t + 1) =, z ( t) Z; y (t) Y; x (t) X. Abstraktne kosmoselaev algolekus z 0, mis võtab vastu signaale x (0), x (1), x (2)…, annab välja signaale y (0), y (1), y (2)… (väljundsõna).

Seal on 1. tüüpi F-automaat (miil), mis töötab vastavalt skeemile:

z (t + 1) =, t = 0,1,2 ... (1)

y (t) =, t = 0,1,2 ... (2)

2. tüüpi automaat:

z (t + 1) =, t = 0,1,2 ... (3)

y (t) =, t = 1,2,3 ... (4)

2. tüüpi automaat, mille puhul y (t) =, t = 0,1,2, ... (5)

need. väljundite funktsioon ei sõltu sisendmuutujast x (t), seda nimetatakse Moore'i automaatiks.

See. võrrandid 1-5, mis seavad täielikult F-automaati, on võrrandi erijuht

(6)

kus on olekuvektor, on sõltumatute sisendmuutujate vektor, on väliskeskkonna mõjude vektor, on süsteemi sisemiste siseparameetrite vektor, on algoleku vektor, t on aeg; ja võrrand, (7)

kui süsteem S on denomineeritud ja selle sisendisse saabub diskreetne signaal x.

Vastavalt olekute arvule võivad lõplikud olekumasinad olla mäluga ja mäluta. Mäluga automaatidel on rohkem kui üks olek ja ilma mäluta automaatidel (kombinatsiooni- või loogikaahelad) on ainult üks olek. Sel juhul on kombineeritud ahela töö vastavalt (2) sellele, et ta seob iga sisendsignaali x (t) teatud väljundsignaaliga y (t), s.t. rakendab vormi loogilist funktsiooni:

y (t) =, t = 0,1,2, ...

Seda funktsiooni nimetatakse tõeväärtuseks, kui tähed X ja Y, mille juurde kuuluvad signaalide x ja y väärtused, koosnevad kahest tähest.

Ajastuse olemuse järgi (diskreetne) jagunevad F-masinad sünkroonseteks ja asünkroonseteks. Sünkroonsetes automaatides määratakse signaalide sünkroniseerimise teel sunniviisiliselt kindlaks ajad, mil automaat sisendsignaale "loeb". Masina reaktsioon igale sisendsignaali väärtusele lõpeb ühe taktitsükliga. Asünkroonne F-automaat loeb sisendsignaali pidevalt ja seetõttu, reageerides piisavalt pikale konstantse väärtusega x veesignaalile, võib ta, nagu 1-5 järeldub, oma olekut mitu korda muuta, väljastades vastava arvu väljundsignaale, kuni muutub stabiilseks.

F-automaadi defineerimiseks on vaja kirjeldada kõiki hulga F = elemente , st. sisend-, sise- ja väljundtähed, samuti ülemineku- ja väljundfunktsioonid. F-automaatide töö seadistamiseks kasutatakse kõige sagedamini tabeli-, graafilist ja maatriksmeetodit.

Tabelina seadistamisel kasutatakse ülemineku- ja väljundtabeleid, mille read vastavad automaadi sisendsignaalidele ja veerud selle olekutele. Sel juhul vastab tavaliselt vasakpoolne 1. veerg algolekule z 0. Üleminekutabeli i-nda rea ​​ja j-nda veeru ristumiskohta asetatakse siirdefunktsiooni vastav väärtus (z k, x i) ja väljundfunktsiooni väljundtabelis - (z k, x i). Automaadi F-Moore jaoks saab kombineerida mõlemat tabelit, olles saanud nn. tähistatud üleminekutabel, milles automaadi iga oleku z k kohal, mis tähistab tabeli veergu, on sellele olekule vastav väljundsignaal vastavalt (5), (z i).

F-Mealy automaati töö kirjeldust ülemineku- ja väljumistabelite abil illustreerib tabel 3.1. ja F-Moore automaati kirjeldust üleminekutabeliga 3.2 ..

Tabel 3.1.Milesi masina töö kirjeldus

Tabel 3.2.Moore masina töö kirjeldus

Tabelinäiteid F-Mealy masina F1 kolme oleku, kahe sisend- ja kahe väljundsignaaliga täpsustamise kohta on toodud tabelis 3.3 ja F-Moore masina F2 kohta tabelis 3.4.

Tabel 3.3.Kolme olekuga Milesi masina seadistamise meetod

Tabel 3.4.Viis kolme olekuga Moore’i automaati määratlemiseks

Teine viis lõpliku oleku masina määratlemiseks kasutab suunatud graafi mõistet. Automaadigraaf on automaadi erinevatele olekutele vastavate tippude kogum, mis ühendab automaati teatud üleminekutele vastavate graafikukaarte tippe. Kui sisendsignaal x k põhjustab ülemineku olekust z i olekusse z j, siis automaatgraafikul tähistatakse kaar, mis ühendab tippu z i tipuga z j, tähega x k. Üleminekufunktsiooni seadistamiseks tuleb graafiku kaared tähistada vastavate väljundsignaalidega. Mealy automaatide puhul toimub see märgistus järgmiselt: kui sisendsignaal x k toimib olekule z i, siis vastavalt öeldule saadakse kaar, mis väljub z i-st ja märgitakse x k-ga; see kaar on täiendavalt tähistatud väljundsignaaliga y = (z i, x k). Moore’i automaadi puhul on sarnane graafiku märgistus järgmine: kui sisendsignaal xk, mis toimib automaati teatud olekule, põhjustab ülemineku olekusse zj, siis märgitakse täiendavalt zj-le suunatud kaar, millel on märgistus xk. väljundsignaaliga y = (zj, xk). Joonisel fig. 3 on kujutatud Mealy F1 ja Moore F2 F-automaate, mis on vastavalt tabelites varem antud.

Riis.3 . Mealy (a) ja Moore'i (b) automaatgraafikud

Modelleerimisülesannete lahendamisel on lõpliku oleku masina maatriksdefinitsioon sageli mugavam vorm. Sel juhul on automaadi ühenduste maatriks ruutmaatriks C = || c ij ||, mille read vastavad algolekutele ja veerud - üleminekuolekutele. Element c ij = x k / y S Mealy automaati puhul vastab sisendsignaalile x k, põhjustades ülemineku olekust z i olekusse z j ja selle ülemineku käigus väljastatud väljundsignaali y S. Eespool vaadeldud Mealy automaadi F1 jaoks on ühenduste maatriks järgmine:

Kui üleminek olekust z i olekusse z j toimub mitme signaali toimel, on maatriksi element c ij selle ülemineku jaoks "sisend/väljund" paaride komplekt, mis on ühendatud disjunktsioonimärgiga.

F-Moore'i automaadi puhul on element c ij võrdne sisendsignaalide hulgaga üleminekul (z i z j) ja väljundit kirjeldatakse väljundi vektoriga:

mille i-ndat komponenti z i olekut näitav väljundsignaal

Näide. Varem käsitletud Moore'i automaati F2 jaoks kirjutame olekumaatriksi ja väljundvektori:

;

Deterministlike automaatide puhul on üleminekud üheselt mõistetavad. F-automaadi defineerimise graafilise meetodi puhul tähendab see, et F-automaadi graafikus ei saa 2 või enam sama sisendsignaaliga tähistatud serva lahkuda ühestki tipust. Samamoodi ei tohiks iga rea ​​automaati C ühenduste maatriksis ükski sisendsignaal esineda rohkem kui üks kord.

Vaatleme asünkroonse olekumasina üleminekutabeli ja graafiku vaadet. F-automaadi puhul nimetatakse olekut z k stabiilseks , kui mis tahes sisendi x i X puhul, mille puhul (z k, x i) = z k (z k x i) = y k. See. F-automaati nimetatakse asünkroonseks, kui iga tema olek z k Z on stabiilne.

Praktikas on automaadid alati asünkroonsed ning nende olekute stabiilsus on ühel või teisel viisil tagatud näiteks sünkroniseerimissignaalide sisseviimisega. Abstraktse teooria tasemel on sageli mugav opereerida sünkroonsete lõplike olekumasinatega.

Näide. Vaatleme asünkroonset Moore F-automaati, mida on kirjeldatud tabelis. 3.5 ja näidatud joonisel fig. 4.

Tabel 3.5.Moore'i asünkroonne automaat

Riis.4 . Moore'i asünkroonne automaatgraafik

Kui asünkroonse automaadi siirdetabelis seisab mingi olek z k rea x S ja veeru z S (Sk) ristumiskohas, siis see olek z k peab tingimata esinema samas reas veerus z k.

F-diagrammide abil kirjeldatakse elektrooniliste arvutussüsteemide sõlmpunkte ja elemente, seire-, reguleerimis- ja juhtimisseadmeid, aja ja ruumi ümberlülituse süsteeme infovahetustehnoloogias. F-ahelate kasutusala laius ei tähenda nende universaalsust. See lähenemine ei sobi kirjeldamaks otsustusprotsesse, protsesse dünaamilistes süsteemides, kus esinevad siirdeprotsessid ja stohhastilised elemendid.

3.3 Pidevad stohhastilised mudelid (Q - skeemid)

Nende hulka kuuluvad järjekorrasüsteemid, mida nimetatakse Q-skeemiks.

Järjekorrateooria teemaks on järjekorrasüsteemid (QS) ja järjekorravõrgud. QS on dünaamiline süsteem, mis on loodud piiratud süsteemiressurssidega juhusliku rakenduste voo tõhusaks teenindamiseks. QS-i üldistatud struktuur on näidatud joonisel 5.

Riis.5 . ühise turukorralduse kava

QS-i sisendisse saabuvad homogeensed nõuded jaotatakse sõltuvalt tekitavast põhjusest tüüpideks, i tüüpi väidete voolukiirus (i = 1 ... M) on tähistatud i-ga. Igat tüüpi rakenduste kogum on QS-i sissetulev voog.

Rakenduste teenindamine toimub m kanalid. Eristage universaalseid ja spetsiaalseid teenusekanaleid. Tüüpi j universaalse kanali puhul loetakse suvalist tüüpi nõuete teenindamise kestuse jaotusfunktsioonid Fji () teadaolevaks. Spetsialiseeritud kanalite puhul on teatud tüüpi nõuete kanalite teenindamise kestuse jaotusfunktsioonid määratlemata, nende nõuete määramine sellele kanalile.

Teenindusprotsessina saab kujutada oma füüsilise olemuse erinevaid majandus-, tootmis-, tehniliste ja muude süsteemide toimimise protsesse, näiteks toote tarnevooge teatud ettevõttesse, osade ja komponentide voogusid kaupluse koosteliinil, elektrooniliste arvutussüsteemide teabetöötluse päringud kaugterminalidest jne. Sel juhul on selliste objektide toimimise iseloomulikuks tunnuseks teenindusnõuete (nõuete) juhuslik käitumine ja teeninduse lõpetamine juhuslikel aegadel.

Q - ahelaid saab uurida analüütiliselt ja simulatsioonimudelite abil. Viimane pakub suurepärast mitmekülgsust.

Vaatleme järjekorra mõistet.

Igas elementaarses teenindamise toimingus saab eristada kahte põhikomponenti: nõude kaudu kättetoimetamise ootus ja nõude tegelik teenindamine. Seda saab kuvada mõne i-nda teenindusseadme P i kujul, mis koosneb nõuete akumulaatorist, milles võib samaaegselt olla li = 0 ... L i H nõudeid, kus L i H on i võimsus -th akumulaator ja nõuete teenindamise kanal, ki ...

Riis.6 . Ühise turukorralduse seadme skemaatiline diagramm

Teenindusseadme P i iga element võtab vastu sündmuste vooge: nõuete voog w i salvestusseadmele Hi, teenindusvoog u i kanalile k i.

Sündmuste voog (FL) on sündmuste jada, mis toimuvad üksteise järel mõnel juhuslikul ajahetkel. Eristage homogeensete ja heterogeensete sündmuste vooge. Homogeenset PS-i (OPS) iseloomustavad ainult nende sündmuste saabumise hetked (põhjustavad hetked) ja see saadakse jadaga (tn) = (0t 1 t 2… tn…), kus tn on sündmuse saabumise hetk. n-s sündmus – mittenegatiivne reaalarv. MPS-i saab määrata ka ajavahemike jadana n-nda ja n-1-nda sündmuse (n) vahel.

Ebahomogeenne PS on jada (t n, f n), kus t n - momente tekitavad; f n - sündmuse atribuutide komplekt. Näiteks saab täpsustada seotust ühe või teise nõudeallikaga, prioriteedi olemasolu, üht või teist tüüpi kanali teenindamise võimalust jne.

Vaatleme OPS-i, mille puhul i (n) on juhuslikud muutujad, mis on üksteisest sõltumatud. Siis nimetatakse PS-d piiratud järelmõjuga vooluks.

SS-i nimetatakse tavaliseks, kui tõenäosus, et rohkem kui üks sündmus P 1 (t, t) langeb ajaga t külgnevale väikesele ajavahemikule t, on tühine.

Kui mis tahes intervalli t korral P 0 (t, t) + P 1 (t, t) + P 1 (t, t) = 1, on P 1 (t, t) tõenäosus tabada intervallil täpselt üks sündmus t. Täieliku rühma moodustavate ja ebajärjekindlate sündmuste tõenäosuste summana siis tavalise sündmuste voo korral P 0 (t, t) + P 1 (t, t) 1, P 1 (t, t) = ( t), kus (t) - väiksusjärgu suurus, mis on suurem kui t, s.o. lim ((t)) = 0 t0 korral.

Statsionaarne PS on voog, mille puhul teatud arvu sündmuste toimumise tõenäosus ajavahemikus sõltub selle lõigu pikkusest ja ei sõltu sellest, kus see lõik ajateljel 0 - t on võetud. OPS-i puhul on 0 * P 0 (t, t) + 1 * P 1 (t, t) = P 1 (t, t) sündmuste keskmine arv intervallis t. Lõigus t esinevate sündmuste keskmine arv ajaühikus on P 1 (t, t) / t. Vaatleme selle avaldise piiriks t0

lim P 1 (t, t) / t = (t) * (1 / ühekordne).

Kui see piir on olemas, nimetatakse seda OPSi intensiivsuseks (tiheduseks). Standardse PS jaoks (t) == konst.

Elementaarteenuse kanali k i osas võime eeldada, et nõuete voog w i W, s.o. ajaintervallid sisendis k i pretensioonide ilmnemise hetkede vahel moodustavad kontrollimatute muutujate alamhulga ja teenusevoo u i U, s.o. nõude teenindamise alguse ja lõpu vahelised ajavahemikud moodustavad kontrollitavate muutujate alamhulga.

Kanali k i poolt teenindatud nõuded ja nõuded, mis lahkusid serverist П i erinevatel põhjustel, mida ei teenindatud, moodustavad väljundvoo y i Y.

Teenindusseadme P i toimimisprotsessi võib kujutada kui selle elementide olekute muutmise protsessi ajas Z i (t). P i jaoks uude olekusse üleminek tähendab selles olevate päringute arvu muutust (kanalis k i ja akumulaatoris H i). See. П i olekuvektor on kujul:, kus on salvestusruumi olekud, (= 0 - salvestusruum on tühi, = 1 - laos on üks klient ..., = - salvestusruum on täielikult hõivatud - kanali ki olek (= 0 - kanal on vaba, = 1 kanal on hõivatud).

Reaalobjektide Q-diagrammid moodustuvad paljude elementaarsete teenindusseadmete P i koostisest. Kui paralleelselt on ühendatud k i erinevat teenindusseadet, siis toimub mitmekanaliline teenindus (mitmekanaliline Q-ahel) ja kui seadmed P i ja nende paralleelsed kompositsioonid on ühendatud järjestikku, siis toimub mitmefaasiline teenindus (mitmefaasiline Q-ahel).

See. Q-skeemi defineerimiseks on vaja konjugatsioonioperaatorit R, mis peegeldab struktuurielementide omavahelist seotust.

Q-diagrammi lingid on kujutatud nooltena (voojooned, mis peegeldavad rakenduste liikumissuunda). Eristatakse avatud ja suletud Q-ahelaid. Avatud tsüklis ei saa väljundvoog uuesti siseneda ühtegi elementi, st. tagasisidet pole.

Q-ahela sisemised (sisemised) parameetrid on faaside arv L Ф, kanalite arv igas faasis, L kj, j = 1 ... L Ф, iga faasi akumulaatorite arv L kj, k = 1 ... L Ф, i-nda ajamiga võimsus L i H. Tuleb märkida, et järjekorra teoorias kasutatakse sõltuvalt mälumahust järgmist terminoloogiat:

kadudega süsteemid (L i H = 0, salvestusseade puudub);

ootesüsteemid (L i H);

piiratud mälumahuga süsteemid H i (segatud).

Tähistame kogu Q-ahela omaparameetrite komplekti H alamhulgana.

Q-skeemi defineerimiseks on vaja kirjeldada ka selle toimimise algoritme, mis määravad reeglid pretensioonide käitumisele erinevates ebaselgetes olukordades.

Olenevalt selliste olukordade esinemiskohast on algoritmid (distsipliinid) akumulaatoris H i nõuete ootamiseks ja kahjude teenindamiseks kanalil k i. Taotluste voo ebahomogeensust võetakse arvesse prioriteediklassi kasutuselevõtuga.

Sõltuvalt prioriteetide dünaamikast eristatakse Q-skeeme staatilisi ja dünaamilisi. Staatilised prioriteedid on ette määratud ja ei sõltu Q-ahela olekutest, st. need fikseeritakse konkreetse modelleerimisprobleemi lahenduses. Simulatsioonis tekivad dünaamilised prioriteedid. Salvestuskettalt Н i kanali k i poolt teenindamiseks mõeldud päringute valimise reeglite alusel on võimalik valida suhtelised ja absoluutsed prioriteedid. Suhteline prioriteet tähendab, et salvestusruumi H saabuv kõrgema prioriteediga nõue ootab, kuni kanal k i teenindab nõudeid ja alles pärast seda hõivab kanali. Absoluutne prioriteet tähendab, et salvestusruumi saabuv kõrgema prioriteediga klient katkestab madalama prioriteediga klientide teenindamise kanali ki poolt ja hõivab kanali ise (sel juhul võib ki-st välja tõrjutud klient kas süsteemist lahkuda või saab uuesti kirjutada mõnesse kohta H i).

Samuti on vaja teada reeglite kogumit, mille järgi rakendused jätavad Н i ja k i: Н i puhul - kas ületäitumise reeglid või väljumisreeglid, mis on seotud Н i rakenduste ooteaja lõppemisega; k i jaoks - marsruutide või väljumissuundade valimise reeglid. Lisaks on nõuete jaoks vaja paika panna reeglid, mille järgi nad jäävad kanalisse k i, st. kanali blokeerimise reeglid. Sel juhul tehakse vahet k i blokeerimisel väljundis ja sisendis. Sellised lukud peegeldavad juhtlinkide olemasolu Q_scheme'is, mis reguleerivad päringute voogu olenevalt Q_skeemi olekutest. Q_skeemi väidete käitumise võimalike algoritmide komplekti saab esitada mõne väite A käitumise algoritmide operaatori kujul .

See. Q_skeem, mis kirjeldab mis tahes keerukusega QS-i toimimisprotsessi, on üheselt defineeritud kui komplektide kogum: Q = .

4 . MATEMAATILISE MUDELI VALIMINE

4 .1 Võrdlusmeetodidmatemaatiliste mudelite struktuurid

Meetodi valik sõltub protsessi tähtsusest ja keerukusastmest. Suurte mitmetonnaažiliste tööstuste jaoks on vaja häid mudeleid, siin kasutatakse teoreetilist meetodit. Sama meetodit kasutatakse põhimõtteliselt uute tehnoloogiliste protsesside loomisel.

Väikestes tööstusharudes, kus protsess on keeruline, kasutatakse eksperimentaalset meetodit. Praktikas kasutatakse reeglina kõigi meetodite mõistlikku kombinatsiooni.

4 .2 Usaldusväärsus jalihtsusmudel

Ühe ülaltoodud meetodi abil koostatud matemaatiline mudel peab ühtaegu vastama usaldusväärsuse ja lihtsuse nõuetele.

Usaldusväärne mudel, mis kirjeldab õigesti objekti käitumist, võib olla üsna keeruline. Mudeli keerukuse määrab reeglina uuritava objekti keerukus ja praktika poolt arvutustulemustele esitatav täpsusaste. On vaja, et see keerukus ei ületaks teatud piiri, mis on määratud olemasoleva matemaatilise aparaadi võimalustega. Seetõttu peab mudel olema matemaatilises mõttes piisavalt lihtne, et seda oleks võimalik olemasolevate meetodite ja vahenditega lahendada.

4 . 3 Uurimineadetsvatit jatuvastaminemudel

Adekvaatsuse kontroll on konstrueeritud matemaatilise mudeli usaldusväärsuse hindamine, selle vastavuse uurimine uuritavale objektile.

Adekvaatsuse kontrollimine toimub testkatsetel, võrreldes mudeli järgi tehtud arvutustulemusi samadel tingimustel uuritava objektiga tehtud katse tulemustega. See võimaldab meil paika panna konstrueeritud mudeli rakendatavuse piirid.

Adekvaatse mudeli koostamise põhietapp on objekti matemaatilise kirjelduse matemaatilise kirjelduse tuvastamine. Identifitseerimisülesandeks on määrata mudeli tüüp ja leida selle tundmatud parameetrid - üksikud konstandid või nende kompleksid, mis iseloomustavad objekti omadusi. Identifitseerimine on võimalik, kui uuritava objekti kohta on olemas vajalik eksperimentaalne informatsioon.

4.4 Matemaatilise mudeli valimine

Mudeli valimise probleem tekib siis, kui sama objekti jaoks on mudelite klass. Mudelivalik on modelleerimise üks olulisemaid etappe. Lõppkokkuvõttes määrab konkreetse mudeli eelis praktika kriteeriumi, mõistetuna laiemas tähenduses. Mudeli valikul tuleks lähtuda mõistlikust kompromissist mudeli keerukuse, selle abil saadud objekti karakteristikute täielikkuse ja nende karakteristikute täpsuse vahel. Seega, kui mudel ei ole piisavalt täpne, siis tuleb seda täiendada, täpsustada uute tegurite kasutuselevõtuga, samuti võib selguda, et pakutud mudel on liiga keeruline ja samad tulemused on võimalik saada ka lihtsamat mudelit kasutades.

Mõnikord on piiratud vahendite tõttu vaja matemaatilist kirjeldust lihtsustada. Sel juhul on vajalik antud juhul tehtud vea hinnang.

Matemaatilise kirjelduse võrrandite lahendamisel elektrooniliste arvutussüsteemide abil on vaja koostada modelleerimisalgoritm ("masina" mudel). Modelleerimisalgoritm on teisendatud matemaatiline kirjeldus ja see on aritmeetiliste ja loogiliste otsustustoimingute jada, mis on kirjutatud programmi kujul.

Sellise algoritmi väljatöötamisel tuleb ennekõike valida meetod matemaatilise kirjelduse võrrandite lahendamiseks - analüütiline või numbriline. Ärge unustage kontrollida valitud arvutusmeetodi täpsust.

5. MATEMAATILISTE MUDELITE KOOSTISE NÄITED

Selles jaotises vaatleme tüüpilisi näiteid matemaatiliste mudelite koostamise kohta mitmesuguste probleemide lahendamiseks nii rahvamajanduses kui ka kooliülesannetes matemaatikas.

NÄIDE 1

Ehitage matemaatiline mudel tootmisplaani koostamiseks.

Tabel 5.1.Esialgsed andmed

Määrake toodangu maht, tagades maksimaalse kasumi.

Matemaatilise mudeli koostamine

Lase X 1 – A-tüüpi toodete arv ja X 2 - toodete arv B. Seejärel X 1 + 4x 2 - toodete valmistamiseks vajalik 1. klassi materjali kogus ja vastavalt probleemi seisukorrale ei ületa see arv 320

X 1 + 4x 2 <=320 (1)

3x 1 + 4x 2 - toodete valmistamiseks vajalik 2. klassi materjali kogus ja vastavalt probleemi seisukorrale ei ületa see arv 360

3x 1 + 4x 2 <=360 (2)

X 1 + 2x 2 - toodete valmistamiseks vajalik 2. klassi materjali kogus ja vastavalt ülesande seisukorrale ei ületa see arv 180

X 1 + 2x 2 <=180 (3)

pealegi alates X 1 ja X 2 väljendavad toodangu mahtu, siis ei saa need olla negatiivsed, st

X 1 > 0, x 2 > 0 (4)

F = X 1 + 2x 2 - kasum, mis peaks olema maksimaalne. Seega on meil selle probleemi jaoks järgmine matemaatiline mudel

F = x 1 + 2x 2> max

NÄIDE 2

Transpordi probleem. Seal on n linna. Ühest neist lahkudes peab rändmüüja kõik ümber käima ja naasma alguslinna. Igasse linna saab siseneda üks kord ja seetõttu peab rändmüüja marsruut moodustama suletud ahela ilma aasadeta. Kui linnade vahemaade maatriks on teada, on vaja leida lühim suletud reisiva müügimehe marsruut.

Vaadeldava probleemi matemaatiline mudel on kujul:

Siin saab muutuja x ij väärtuse 1, kui rändmüüja liigub linnast i linna j (i, j = 1,2,…, n, i? J) ja muidu 0. Tingimus (1) on optimeeritud funktsioon, kus ij-ga on linnade vahelised kaugused (i, j = 1,2,…, n, i? J) ja üldjuhul ij-ga? koos ij-ga; tingimus (2) tähendab, et reisiv müüja lahkub igast linnast ainult üks kord; (3) - et ta siseneb igasse linna ainult üks kord; (4) tagab marsruudi suletuse ja silmuste puudumise, kus u i ja u j on mõned reaalväärtused (i, j = 1,2,…, n, i? J) (5).

NÄIDE 3

Mõni ettevõte toodab 5 tüüpi tooteid, kasutades 7 nimetuse A, B, C, D, E, F, G komponente. Ettevõtte laoseisu piirab teatud arv komponente. On teada, kui palju komponente on vaja iga tooteliigi ühiku tootmiseks ja kasumit iga tooteliigi ühiku tootmisest. Määrake, kui palju igat tüüpi tooteid on vaja, et ettevõte saaks suurimat kasumit.

Tabel 5.2.Tootmisandmed

F= 2x 1 + 3x 2 + X 3 + 5x 4 + 4x 5 -

kasum, mida tuleks maksimeerida. Seega on meil optimaalse koguse toodete valmistamiseks mitu komponenti:

2x 1 + 2x 2 + x 5 ? 10

komponentide A arv toodete tootmiseks;

X 1 + 2x 2 + X 4 ? 7

komponentide B arv toodete tootmiseks;

4x 1 + X 4 ? 12

komponentide C arv toodete tootmiseks;

4x 4 ? 12

komponentide D arv toodete tootmiseks;

X 3 + 2x 4 + x 5 ? 15

komponentide arv E toodete tootmiseks;

X 4 + 3x 5 ? 12

komponentide F arv toodete tootmiseks;

2x 1 + X 4 ? 8

komponentide G arv toodete valmistamiseks;

ja kõik muutujad X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 - peab olema mittenegatiivne ja täisarv.

Seega on meil kasumi maksimeerimiseks järgmine tootetoodangu matemaatiline mudel:

2x 1 + 3x 2 + X 3 + 5x 4 + 4x 5 > max

NÄIDE 4

Seal toodetakse kahte tüüpi tooteid A ja B piiratud koguses kolme klassi materjaliga, millest tooted valmistatakse. Algandmed on toodud tabelis.

Tabel 5.3.Esialgsed andmed

Sarnased dokumendid

Eesmärgi seadmise modelleerimine. Reaalsete objektide tuvastamine. Mudelite tüübi valik, matemaatiline skeem. Pideva stohhastilise mudeli konstrueerimine. Järjekorrateooria põhimõisted. Sündmuste voolu määratlemine. Algoritmide formuleerimine.

kursusetöö, lisatud 20.11.2008


Matemaatilise mudeli koostamise peamiste meetodite analüüs. Sotsiaal-majanduslike protsesside matemaatiline modelleerimine majanduse meetodite lahutamatu osana, tunnused. Lineaarsete matemaatiliste mudelite koostamise näidete üldised omadused.

Kursitöö lisatud 23.06.2013


Matemaatiliste distsipliinide majandusrakenduste uurimine majandusprobleemide lahendamisel: matemaatiliste mudelite kasutamine majanduses ja juhtimises. Lineaarse ja dünaamilise programmeerimismudeli näiteid majanduse modelleerimise vahendina.

kursusetöö, lisatud 21.12.2010


Modelleerimine. Determinism. Deterministliku faktoranalüüsi ülesanded. Meetodid tegurite mõju mõõtmiseks deterministlikus analüüsis. Deterministlike majanduslike ja matemaatiliste mudelite ja faktoranalüüsi meetodite arvutamine RUE "GZLiN" näitel.

kursusetöö, lisatud 12.05.2008


Majanduslike ja matemaatiliste mudelite koostamise ülesanded, funktsioonid ja etapid. Analüütilised, anioonsed, numbrilised ja algoritmilised mudelid. Spordirajatiste majanduslik mudel. Ajaseeria mudelid: suundumused ja hooajalisus. Järjekorrateooriad.

abstraktne, lisatud 22.07.2009


Mudelite põhimõisted ja liigid, nende liigitus ja loomise eesmärk. Rakendatavate majanduslike ja matemaatiliste meetodite tunnused. Majandusliku ja matemaatilise modelleerimise põhietappide üldised omadused. Stohhastiliste mudelite rakendamine majanduses.

kokkuvõte lisatud 16.05.2012


Tootmisplaani majandusliku ja matemaatilise mudeli koostamine. Järjekorra teooria. Varude juhtimise mudelid. Puudusteta lihtsaim mudel. Deterministlikud staatilise nappuse mudelid. Korrelatsioon- ja regressioonanalüüs.

test, lisatud 02.07.2013


Majanduslike ja matemaatiliste meetodite teoreetilised alused. Otsuste tegemise etapid. Optimeerimisprobleemide klassifikatsioon. Lineaarse, mittelineaarse, kumera, ruut-, täisarvu-, parameetrilise, dünaamilise ja stohhastilise programmeerimise ülesanded.

kursusetöö, lisatud 05.07.2013


Järjekorrateooria üldmõisted. Järjekorrasüsteemide modelleerimise omadused. QS olekugraafikud, neid kirjeldavad võrrandid. Mudelite sortide üldised omadused. Supermarketite järjekorrasüsteemi analüüs.

kursusetöö, lisatud 17.11.2009


Hüdroloogiliste protsesside matemaatiliste mudelite loomise põhiprintsiipide kirjeldus. Divergentsi, transformatsiooni ja konvergentsi protsesside kirjeldus. Hüdroloogilise mudeli põhikomponentidega tutvumine. Simulatsiooni olemus.