Brojanje kutova na trigonometrijskoj kružnici. Pozitivni i negativni kutovi. Raspodjela kutova po četvrtinama. Kutno mjerenje može biti negativno

Injekcija: ° π rad =

Pretvori u: radijani stupnjeva 0 - 360 ° 0 - 2π pozitivno negativno Izračunaj

Kada se linije sijeku, postoje četiri različite regije u odnosu na točku sjecišta.
Ta nova područja nazivaju se uglovima.

Na slici su prikazana 4 različita kuta nastala presjekom linija AB i CD

Kutovi se obično mjere u stupnjevima, što se naziva °. Kad objekt napravi puni krug, odnosno pomiče se od točke D kroz B, C, A, a zatim natrag u D, tada se kaže da se zakrenuo za 360 stupnjeva (360 °). Dakle, stupanj je $ \ frac (1) (360) $ kruga.

Kutovi veći od 360 stupnjeva

Govorili smo o činjenici da kada objekt napravi puni krug oko točke, tada ide za 360 °, međutim, kada objekt napravi više od jedne kružnice, tada čini kut veći od 360 stupnjeva. To je uobičajena pojava u svakodnevnom životu. Kotač prolazi kroz mnoge krugove dok se automobil kreće, odnosno čini kut veći od 360 °.

Kako bismo saznali broj ciklusa (prođenih krugova) pri rotiranju objekta, brojimo koliko puta moramo sebi dodati 360 kako bismo dobili broj jednak ili manji od zadanog kuta. Slično, nalazimo broj koji pomnožimo sa 360 kako bismo dobili broj koji je manji, ali najbliži danom kutu.

Primjer 2
1. Pronađi broj krugova opisanih predmetom koji tvori kut
a) 380 °
b) 770 °
c) 1000 °
Riješenje
a) 380 = (1 × 360) + 20
Objekt je opisao jedan krug i 20 °
Budući da je $ 20 ^ (\ circ) = \ frac (20) (360) = \ frac (1) (18) $ circle
Objekt je opisao $ 1 \ frac (1) (18) $ krugova.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Objekt je opisao dvije kružnice i 50 °
50 USD ^ (\ circ) = \ frac (50) (360) = \ frac (5) (36) $ circle
Objekt opisan $ 2 \ frac (5) (36) $ krug
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
280 USD ^ (\ circ) = \ frac (260) (360) = \ frac (7) (9) $ krugova
Objekt je opisao $ 2 \ frac (7) (9) $ krugova

Kad se objekt rotira u smjeru kazaljke na satu, on stvara negativan kut rotacije, a kada se okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, stvara pozitivan kut. Do sada smo razmatrali samo pozitivne kutove.

U obliku grafikona može se nacrtati negativan kut kao što je prikazano u nastavku.

Donja slika prikazuje znak kuta koji se mjeri zajedničkom ravnom linijom, osi 0 (apscisa - os x)

To znači da ako postoji negativan kut, možemo dobiti odgovarajući pozitivni kut.
Na primjer, dno okomite crte iznosi 270 °. Kad se mjeri u negativnom smjeru, dobivamo -90 °. Jednostavno oduzimamo 270 od 360. S obzirom na negativan kut, zbrajamo 360 da bismo dobili odgovarajući pozitivni kut.
Kad je kut -360 °, to znači da je objekt završio više od jedne kružnice u smjeru kazaljke na satu.

Primjer 3
1. Pronađite odgovarajući pozitivni kut
a) -35 °
b) -60 °
c) -180 °
d) - 670 °

2. Pronađite odgovarajući negativni kut 80 °, 167 °, 330 ° i 1300 °.
Riješenje
1. Da bismo pronašli odgovarajući pozitivni kut, vrijednosti kuta dodajemo 360.
a) -35 ° = 360 + (-35) = 360 -35 = 325 °
b) -60 ° = 360 + (-60) = 360 -60 = 300 °
c) -180 ° = 360 + (-180) = 360 -180 = 180 °
d) -670 ° = 360 + (-670) = -310
To znači jedan krug u smjeru kazaljke na satu (360)
360 + (-310) = 50 °
Kut je 360 ​​+ 50 = 410 °

2. Kako bismo dobili odgovarajući negativni kut, od vrijednosti kuta oduzimamo 360.
80 ° = 80 - 360 = - 280 °
167 ° = 167 - 360 = -193 °
330 ° = 330 - 360 = -30 °
1300 ° = 1300 - 360 = 940 (ispunjen jedan krug)
940 - 360 = 580 (prošlo drugi krug)
580 - 360 = 220 (prošlo treći krug)
220 - 360 = -140 °
Kut je -360 - 360 - 360 - 140 = -1220 °
Dakle 1300 ° = -1220 °

Radijan

Radijan je kut iz središta kruga koji zatvara luk koji je po duljini jednak polumjeru te kružnice. To je mjerna jedinica za kutnu veličinu. Ovaj kut je približno 57,3 °.
U većini slučajeva to je označeno kao radostan.
Dakle, $ 1 rad \ cca 57,3 ^ (\ circ) $

Polumjer = r = OA = OB = AB
BOA jednak je jednom radijanu

Budući da je duljina kruga navedena kao $ 2 \ pi r $, tada u krugu ima $ 2 \ pi $ radijana, pa stoga u cijelom krugu ima $ 2 \ pi $ radijana.

Radijani se obično izražavaju u smislu $ \ pi $ kako bi se izbjegle decimalne točke u izračunima. U većini knjiga kratica drago (rad) ne događa, ali čitatelj bi trebao biti svjestan da je, kada je u pitanju kut, naveden kroz $ \ pi $, a mjerne jedinice su automatski radijani.

360 USD ^ (\ circ) = 2 \ pi \ rad $
180 USD ^ (\ circ) = \ pi \ rad $,
90 USD ^ (\ circ) = \ frac (\ pi) (2) rad $,
30 USD ^ (\ circ) = \ frac (30) (180) \ pi = \ frac (\ pi) (6) rad $,
45 USD ^ (\ circ) = \ frac (45) (180) \ pi = \ frac (\ pi) (4) rad $,
60 USD ^ (\ circ) = \ frac (60) (180) \ pi = \ frac (\ pi) (3) rad $
270 USD ^ (\ circ) = \ frac (270) (180) \ pi = \ frac (27) (18) \ pi = 1 \ frac (1) (2) \ pi \ rad $

Primjer 4
1. Pretvorite 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° i 390 ° u radijane u $ \ pi $.
Riješenje
Kutove pomnožite sa $ \ frac (\ pi) (180) $.
240 USD ^ (\ circ) = 240 \ puta \ frac (\ pi) (180) = \ frac (4) (3) \ pi = 1 \ frac (1) (3) \ pi $
120 USD ^ (\ circ) = 120 \ puta \ frac (\ pi) (180) = \ frac (2 \ pi) (3) $
270 USD ^ (\ circ) = 270 \ puta \ frac (1) (180) \ pi = \ frac (3) (2) \ pi = 1 \ frac (1) (2) \ pi $
750 USD ^ (\ circ) = 750 \ puta \ frac (1) (180) \ pi = \ frac (25) (6) \ pi = 4 \ frac (1) (6) \ pi $
390 USD ^ (\ circ) = 390 \ puta \ frac (1) (180) \ pi = \ frac (13) (6) \ pi = 2 \ frac (1) (6) \ pi $

2. Pretvorite sljedeće kutove u stupnjeve.
a) $ \ frac (5) (4) \ pi $
b) 3,12 USD \ pi $
c) 2,4 radijana
Riješenje
180 USD ^ (\ circ) = \ pi $
a) $ \ frac (5) (4) \ pi = \ frac (5) (4) \ puta 180 = 225 ^ (\ circ) $
b) 3,12 USD \ pi = 3,12 \ puta 180 = 561,6 ^ (\ circ) $
c) 1 rad = 57,3 °
2,4 $ = \ frac (2,4 \ puta 57,3) (1) = 137,52 $

Negativni kutovi i kutovi veći od $ 2 \ pi $ radijana

Za pretvaranje negativnog kuta u pozitivan, dodajemo ga u $ 2 \ pi $.
Da bismo pozitivni kut pretvorili u negativan, od njega oduzimamo 2 $ \ pi $.

Primjer 5
1. Pretvorite $ - \ frac (3) (4) \ pi $ i $ - \ frac (5) (7) \ pi $ u pozitivne kutove u radijanima.

Riješenje
Dodajte kutu $ 2 \ pi $
$ - \ frac (3) (4) \ pi = - \ frac (3) (4) \ pi + 2 \ pi = \ frac (5) (4) \ pi = 1 \ frac (1) (4) \ pi $

$ - \ frac (5) (7) \ pi = - \ frac (5) (7) \ pi + 2 \ pi = \ frac (9) (7) \ pi = 1 \ frac (2) (7) \ pi $

Kada se objekt rotira pod kutom većim od $ 2 \ pi $ ;, tada čini više od jedne kružnice.
Kako bismo odredili broj okretaja (krugova ili ciklusa) u takvom kutu, nalazimo takav broj, množeći ga s $ 2 \ pi $, rezultat je jednak ili manji, ali što je moguće bliže ovom broju.

Primjer 6
1. Nađi broj krugova koje objekt prelazi pod zadanim kutovima
a) $ -10 \ pi $
b) 9 USD \ pi $
c) $ \ frac (7) (2) \ pi $

Riješenje
a) $ -10 \ pi = 5 (-2 \ pi) $;
$ -2 \ pi $ podrazumijeva jedan ciklus u smjeru kazaljke na satu, to znači da
objekt je napravio 5 ciklusa u smjeru kazaljke na satu.

b) $ 9 \ pi = 4 (2 \ pi) + \ pi $, $ \ pi = $ pola ciklusa
objekt je napravio četiri i pol ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu

c) $ \ frac (7) (2) \ pi = 3.5 \ pi = 2 \ pi + 1.5 \ pi $, $ 1.5 \ pi $ jednako je tri četvrtine ciklusa $ (\ frac (1.5 \ pi) (2 \ pi) = \ frac (3) (4)) $
objekt je prošao jednu i tri četvrtine ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na starom istoku. Prve trigonometrijske odnose izveli su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentaciju zvijezde. Ti su se izračuni odnosili na sfernu trigonometriju, dok u školskom tečaju proučavaju omjer stranica i kut ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću naše ere, znanje se proširilo sa Starog istoka u Grčku. No, glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinus, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Mnogo se pažnje posvećuje trigonometriji u djelima velikih antičkih likova poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinusoid, kosinus, tangenta i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatiji u tekstu: "Pitagorine hlače, jednake u svim smjerovima", budući da je dokaz dan na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Navedimo formule za izračunavanje ovih vrijednosti za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su obrnute funkcije. Ako predstavljamo nogu a kao proizvod grijeha A i hipotenuzu c, a nogu b kao cos A * c, tada dobivamo sljedeće formule za tangentu i kotangens:

Trigonometrijski krug

Grafički se omjer ovih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0 ° do 360 °. Kao što možete vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o vrijednosti kuta. Na primjer, sin α bit će sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Kad je α od 180 ° do 360 ° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativan.

Pokušajmo izgraditi trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati vrijednost veličina.

Vrijednosti α jednake 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° itd. Nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama označava radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovu polumjeru. Ova je vrijednost uvedena radi uspostavljanja univerzalne ovisnosti; pri izračunavanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije bitna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360 °.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili glavna svojstva sinusa i kosinusa, tangente i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje smještene u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrimo usporednu tablicu svojstava sinusnog i kosinusnog vala:

Utvrditi je li funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa predznacima trigonometrijskih veličina i mentalno "zbrajati" grafikon oko osi OX. Ako se znakovi podudaraju, funkcija je parna, inače je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje osnovnih svojstava sinusoide i kosinusa omogućuju nam da damo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π / 2 sinus je 1, kao i kosinus x = 0. Provjera se može provesti pozivanjem na tablice ili praćenjem krivulja funkcija za zadane vrijednosti.

Tangentoidna i kotangenska svojstva

Grafikoni tangentnih i kotangensnih funkcija značajno se razlikuju od sinusa i kosinusa. Vrijednosti tg i ctg međusobno su inverzne.

1. Y = tg x.
2. Tangentoid teži y-vrijednostima pri x = π / 2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanji pozitivan period tangentoida je π.
4. Tg ( - x) = - tg x, odnosno funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x ›0, za x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, za x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Izvedenica (tg x) ’= 1 / cos 2 ⁡x.

Razmotrimo grafički prikaz kotangentoida ispod u tekstu.

Glavna svojstva kotangensoida:

1. Y = ctg x.
2. Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangensoid teži y-vrijednostima pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanje pozitivno razdoblje kotangensoida je π.
5. Ctg ( - x) = - ctg x, odnosno funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π / 2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x ›0, za x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, za x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Izvedenica (ctg x) ’= - 1 / sin 2 ⁡x Točno

Par različitih zraka Oa i Ob koje izviru iz jedne točke O naziva se kut i označava se simbolom (a, b). Točka O naziva se vrhom kuta, a zrake Oa u Ob nazivaju se stranice kuta. Ako su A i B dvije točke zraka Oa i Ob, tada se (a, b) također označava simbolom AOB (slika 1.1).

Kut (a, b) naziva se rasklopljenim ako zrake Oa i Ob, koje izviru iz iste točke, leže na jednoj ravnoj liniji i ne podudaraju se (tj. Suprotno usmjerene).

Slika 1.1

Dva ugla smatraju se jednakima ako se jedan kut može postaviti jedan na drugi tako da se stranice uglova podudaraju. Simetrala kuta je zraka s ishodištem na vrhu kuta, koja dijeli kut na dva jednaka kuta.

Kažu da greda OS, koja izvire iz tjemena kuta AOB, leži između njegovih stranica ako siječe segment AB (slika 1.2). Kažu da točka C leži između stranica kuta ako se zraka može provući kroz ovu točku s početkom na vrhu kuta, koja leži između stranica kuta. Skup svih točaka ravnine koje leže između stranica kuta tvore unutarnje područje kuta (slika 1.3). Skup točaka ravnine koje ne pripadaju unutarnjoj regiji i stranicama kuta tvore vanjsko područje kuta.

Kut (a, b) smatra se većim od kuta (c, d) ako se kut (c, d) može postaviti na kut (a, b) tako da nakon kombiniranja jednog para stranica druga strana kut (c, d) će ležati između stranica ugla (a, b). Na sl. 1.4 AOB je veći od AOC.

Neka zraka c leži između stranica kuta (a, b) (slika 1.5). Parovi zraka a, c i c, b tvore dva kuta. Za kut (a, b) se kaže da je zbroj dvaju kutova (a, c) i (c, b), a oni pišu: (a, b) = (a, c) + (c, b).

Slika 1.3

Obično se u geometriji bave kutovima koji su manji od rasklopljenih. Međutim, kao rezultat dodavanja dva kuta, može se dobiti kut veći od rasklopljenog. U tom slučaju, onaj dio ravnine koji se smatra unutarnjim dijelom kuta označen je lukom. Na sl. 1.6 Unutarnji dio kuta AOB, dobiven kao rezultat zbrajanja kutova AOC i COB, te većeg rasklopljenog kuta, označen je lukom.

Slika 1.5

Postoje i veći kutovi od 360 °. Takvi kutovi nastaju, na primjer, rotacijom propelera zrakoplova, rotacijom bubnja na koji je namotano uže itd.

Ubuduće ćemo, razmatrajući svaki kut, pristati uzeti u obzir jednu od strana ovog ugla kao njegovu početnu stranu, a drugu kao zadnju stranu.

Bilo koji kut, na primjer, kut AOB (slika 1.7), može se dobiti kao rezultat rotacije pokretne grede oko vrha O od početne strane kuta (OA) do njegove konačne strane (OV). Taj ćemo kut mjeriti, uzimajući u obzir ukupni broj okretaja napravljenih oko točke O, kao i smjer u kojem se dogodila rotacija.

Pozitivni i negativni kutovi.

Pretpostavimo da imamo kut koji stvaraju zrake OA i OB (slika 1.8). Pokretni snop, koji se okreće oko točke O od svog početnog položaja (OA), može zauzeti konačni položaj (OB) u dva različita smjera rotacije. Ovi smjerovi prikazani su na slici 1.8 sa odgovarajućim strelicama.

Slika 1.7

Baš kao što se na brojčanoj osi jedan od dva smjera smatra pozitivnim, a drugi negativnim, razlikuju se i dva različita smjera rotacije pomične grede. Dogovorili smo se uzeti u obzir pozitivan smjer rotacije onaj smjer koji je suprotan smjeru rotacije kazaljke na satu. Smjer rotacije koji se podudara sa smjerom rotacije kazaljke na satu smatra se negativnim.

Prema tim definicijama, kutovi se također klasificiraju kao pozitivni i negativni.

Pozitivni kut je kut nastao rotacijom pokretne zrake oko početne točke u pozitivnom smjeru.

Slika 1.9 prikazuje neke pozitivne kutove. (Smjer rotacije pomične grede prikazan je na crtežima strelicama.)

Negativni kut je kut nastao rotacijom pokretne zrake oko početne točke u negativnom smjeru.

Slika 1.10 prikazuje neke negativne kutove. (Smjer rotacije pomične grede prikazan je na crtežima strelicama.)

No dvije zrake koje se podudaraju također mogu tvoriti kutove + 360 ° n i -360 ° n (n = 0,1,2,3, ...). Označimo s b najmanji mogući negativni kut rotacije koji snop OA dovodi u položaj OB. Ako sada OB greda dovrši dodatni puni zaokret oko točke O, tada dobivamo drugu vrijednost kuta, naime: ABO = b + 360 °.

Mjerenje kutova kružnim lukovima. Jedinice luka i kuta

U nekim se slučajevima pokazalo prikladnim mjerenje kutova pomoću kružnih lukova. Mogućnost takvog mjerenja temelji se na poznatom prijedlogu planimetrije da su u jednom krugu (ili u jednakim krugovima) središnji kutovi i odgovarajući lukovi u izravno proporcionalnom odnosu.

Neka se za mjernu jedinicu lukova uzme neki luk date kružnice. Središnji kut koji odgovara ovom luku uzima se kao mjerna jedinica kutova. Pod ovim uvjetom, svaki luk kružnice i središnji kut koji odgovaraju tom luku sadržavat će isti broj mjernih jedinica. Stoga je mjerenjem lukova kružnice moguće odrediti vrijednost središnjih kutova koji odgovaraju tim lukovima.

Razmotrimo dva najčešća sustava za mjerenje lukova i kutova.

Kutna mjera

Prilikom mjerenja kutova u stupnjevima, kut od jednog stupnja (označen s 1?) Uzima se kao glavna mjerna jedinica kutova (referentni kut s kojim se uspoređuju različiti kutovi). Kut od jednog stupnja je kut jednak 1/180 spljoštenog kuta. Kut od 1/60 kuta od 1 ° je kut od jedne minute (označen s 1 "). Kut od 1/60 jednominutnog kuta je kut od jedne sekunde (označen s 1").

Radijanska mjera kutova

Uz mjeru stupnjeva za mjerenje kutova u geometriji i trigonometriji, koristi se i druga mjera za mjerenje kutova, nazvana radijan. Razmotrimo kružnicu polumjera R sa središtem O. Nacrtajmo dva polumjera O A i OV tako da duljina luka AB bude jednaka polumjeru kružnice (slika 1.12). Rezultirajući središnji kut AOB -a bit će jedan radijan. Kao jedinica mjere za radijansku mjeru kutova uzima se kut od 1 radijana. Kod radijalnog mjerenja kutova, rasklopljeni kut je p radijana.

Stupanjske i radijanske mjerne jedinice kutova povezane su jednakostima:

1 radijan = 180 ° / p57 ° 17 "45"; 1? = P / 180 radijana 0,017453 radijana;

1 "= p / 180 * 60 radijana 0,000291 radijana;

1 "" = p / 180 * 60 * 60 radijana 0,000005 radijana.

Stupanjska (ili radijanska) mjera kuta naziva se i veličina kuta. Veličina kuta AOB ponekad se označava /

Klasifikacija kutova

Kut jednak 90 °, ili u radijanskoj mjeri p / 2, naziva se pravim kutom; često se označava slovom d. Kut manji od 90 ° naziva se oštar; kut veći od 90 °, ali manji od 180 ° naziva se tup.

Dva kuta koja imaju jednu zajedničku stranu i zbrajaju se do 180 ° nazivaju se susjedni kutovi. Dva kuta kojima je jedna stranica zajednička i zbrajaju do 90 ° nazivaju se komplementarni kutovi.

Brojanje kutova na trigonometrijskoj kružnici.

Pažnja!
Postoje dodatne
materijale u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš ..."
A za one koji "jako ...")

Gotovo je isto kao u prethodnoj lekciji. Postoje sjekire, krug, kut, sve je chin-chinarem. Dodani su brojevi četvrtina (u uglovima velikog kvadrata) - od prve do četvrte. I onda odjednom tko ne zna? Kao što vidite, četvrtine (zovu se i lijepa riječ "kvadranti") numerirane su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dodane su vrijednosti kutova na osi. Sve je jasno, nema problema.

Dodana je i zelena strelica. S plusom. Što to znači? Dopustite mi da vas podsjetim da je fiksna strana ugla stalno prikovana na pozitivnu poluosnu OX. Dakle, ako uvrnemo pomičnu stranu kuta uz strelicu s plusom, tj. rastućim brojevima četvrtina, kut će se smatrati pozitivnim. Na primjer, slika prikazuje pozitivni kut od + 60 °.

Odložimo li uglove u suprotnom smjeru, u smjeru kazaljke na satu, kut će se smatrati negativnim. Pomaknite pokazivač miša iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu), vidjet ćete plavu strelicu s minusom. Ovo je smjer negativnog očitanja kutova. Negativni kut (- 60 °) prikazan je kao primjer. Vidjet ćete i kako su se promijenili brojevi na osi ... Također sam ih preveo u negativne kutove. Numeriranje kvadranta se ne mijenja.

Tu obično počinju prvi nesporazumi. Kako to !? A što ako se negativni kut na kružnici poklapa s pozitivnim!? I općenito, ispada da se isti položaj pokretne stranice (ili točke na brojčanoj kružnici) može nazvati i negativnim kutom i pozitivnim!?

Da. Točno. Recimo da pozitivan kut od 90 stupnjeva zauzima krug točno isto položaj kao negativni kut od minus 270 stupnjeva. Pozitivan kut, na primjer + 110 ° stupnjeva, uzima točno isto položaj kao negativni kut od -250 °.

Nema problema. Sve je točno.) Izbor pozitivnog ili negativnog računa kuta ovisi o stanju zadatka. Ako uvjet ne govori ništa u običnom tekstu o predznaku kuta (poput "odredi najmanji pozitivan kut "itd.), tada radimo s vrijednostima koje su nam prikladne.

Izuzetak (i ​​kako bez njih?!) Su trigonometrijske nejednakosti, ali tu ćemo savladati ovaj trik.

A sada pitanje za vas. Kako sam znao da je kutni položaj 110 ° isti kao kutni položaj -250 °?
Nagovijestit ću da je to zbog punog prometa. 360 ° ... Nije jasno? Zatim nacrtajte krug. Sami crtamo na papiru. Obilježavanje ugla oko 110 °. I smatrati koliko ostaje do punog prometa. Ostat će samo 250 ° ...

Razumiješ? A sada - pozornost! Ako su kutovi 110 ° i -250 ° na kružnici isti položaj, što onda? Da, to pod kutovima 110 ° i -250 ° točno isto sinus, kosinus, tangenta i kotangens!
Oni. sin110 ° = sin (-250 °), ctg110 ° = ctg (-250 °) itd. Ovo je već jako važno! I samo po sebi - postoji mnogo zadataka u kojima trebate pojednostaviti izraze, a kao osnovu za kasniji razvoj formula za redukciju i drugu mudrost trigonometrije.

Očito, nasumično sam uzeo 110 ° i -250 °, čisto za primjer. Sve te jednakosti vrijede za sve kutove koji zauzimaju isti položaj u krugu. 60 ° i -300 °, -75 ° i 285 °, i tako dalje. Odmah primjećujem da su uglovi u ovim parovima - razne. Ali njihove trigonometrijske funkcije su - isto.

Mislim da razumijete što su negativni kutovi. Sasvim je jednostavno. U smjeru suprotnom od kazaljke na satu - pozitivan broj. Na putu - negativno. Smatrajte kut pozitivnim ili negativnim ovisi o nama... Iz naše želje. Pa, i također iz zadatka, naravno ... Nadam se da razumijete kako se prebaciti s negativnih kutova na pozitivne u trigonometrijskim funkcijama i obrnuto. Nacrtajte krug, približni kut i pogledajte koliko nedostaje do potpunog zavoja, tj. do 360 °.

Kutovi veći od 360 °.

Riješimo se kutova koji su veći od 360 °. A ima li takvih? Postoje, naravno. Kako ih nacrtati u krug? Nema problema! Recimo da moramo shvatiti u koju će četvrtinu pasti kut od 1000 °? Lako! Napravimo jedan potpuni okret u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (kut nam je dat pozitivan!). Odmotan 360 °. Pa idemo dalje! Još jedan zavoj - već je dobio 720 °. Koliko je ostalo? 280 °. Nije dovoljno za potpuni zaokret ... No kut je veći od 270 ° - a to je granica između treće i četvrte četvrtine. Tako naš kut od 1000 ° pada u četvrtu četvrtinu. Sve.

Kao što vidite, prilično je jednostavno. Dopustite mi da vas još jednom podsjetim da su kut od 1000 ° i kut od 280 °, koji smo dobili odbacivanjem "dodatnih" punih okretaja, strogo govoreći, razne uglovima. Ali trigonometrijske funkcije pod tim kutovima točno isto! Oni. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° itd. Da sam sinus, ne bih primijetio razliku između ova dva kuta ...

Zašto vam sve ovo treba? Zašto moramo prevoditi kutove iz jednog u drugi? Da, sve za isto.) Kako bi pojednostavili izraze. Pojednostavljivanje izraza zapravo je glavni zadatak školske matematike. Pa, usput glava trenira.)

Pa, vježbajmo?)

Odgovaramo na pitanja. U početku jednostavno.

1. U kojoj četvrtini pada kut -325 °?

2. U koju četvrtinu pada kut 3000 °?

3. U kojoj četvrtini pada kut -3000 °?

Imamo problem? Ili nesigurnost? Idemo na odjeljak 555, Praktični rad s trigonometrijskim krugom. Tamo je u prvoj lekciji ovog vrlo "Praktičnog rada ..." sve detaljno ... takve biti pitanja neizvjesnosti ne bi trebao!

4. Koji znak ima sin555 °?

5. Koji je znak tg555 °?

Jeste li se identificirali? Izvrsno! Sumnjati? To bi trebalo biti u odjeljku 555 ... Usput, tamo ćete naučiti crtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu. Vrlo korisna stvar.

A sada su pitanja mudrija.

6. Smanjite izraz sin777 ° na sinus najmanjeg pozitivnog kuta.

7. Svedite izraz cos777 ° na kosinus najvećeg negativnog kuta.

8. Svedite izraz cos (-777 °) na kosinus najmanjeg pozitivnog kuta.

9. Smanjite izraz sin777 ° na sinus najvećeg negativnog kuta.

Jeste li zbunjeni pitanjima 6-9? Naviknite se, na ispitu, a ne nalaze se takve formulacije ... Pa neka bude, ja ću prevesti. Samo za tebe!

Riječi "baciti izraz na ..." znače transformirati izraz tako da njegova vrijednost se nije promijenilo a izgled se promijenio u skladu s zadatkom. Dakle, u zadatku 6 i 9 trebali bismo dobiti sinus, unutar kojeg se nalazi najmanji pozitivni kut. Sve ostalo nije važno.

Odgovore ću dati redom (kršeći naša pravila). A što učiniti, postoje samo dva znaka, a samo četiri četvrtine ... Nećete bježati u varijantama.

6.sin57 °.

7.kos (-57 °).

8.kos57 °.

9.-sin (-57 °)

Pretpostavljam da su odgovori na pitanja 6-9 neke zbunili. Posebno -grijeh (-57 °), zar ne?) Doista, u elementarnim pravilima za brojanje kutova ima mjesta za pogreške ... Zato sam morao napraviti lekciju: "Kako odrediti znakove funkcija i dovesti kutove na trigonometrijsku kružnicu?" U odjeljku 555. Tamo su zadaci 4 - 9 razvrstani. Dobro rastavljeno, sa svim zamkama. I oni su ovdje.)

U sljedećoj lekciji pozabavit ćemo se tajanstvenim radijanima i pi brojevima. Naučimo kako lako i ispravno pretvoriti stupnjeve u radijane i obrnuto. Iznenadit ćemo se kad otkrijemo da su ove osnovne informacije na web mjestu već dovoljno riješiti neke nestandardne probleme trigonometrije!

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Usput, imam za vas još nekoliko zanimljivih web stranica.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Trenutna provjera valjanosti. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

U trigonometriji je važan pojam kut rotacije... U nastavku ćemo dosljedno davati ideju skretanja i uvoditi sve povezane koncepte. Počnimo s općom idejom skretanja, recimo punog zavoja. Zatim prijeđimo na pojam kuta rotacije i razmotrimo njegove glavne karakteristike, poput smjera i količine rotacije. Na kraju, definirajmo rotaciju oblika oko točke. Cjelokupnu teoriju u tekstu ćemo dati primjerima objašnjenja i grafičkim ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Što se naziva okretanje točke oko točke?

Odmah napominjemo da ćemo uz izraz "okrenuti točku" upotrijebiti i izraze "okrenuti točku" i "okrenuti točku", koji znače isto.

Predstaviti koncept okretanja točke oko točke.

Prvo, definirajmo središte rotacije.

Definicija.

Točka u odnosu na koju se izvodi zaokret naziva se zaokretni centar.

Recimo sada što se događa kao rezultat rotacije točke.

Kao rezultat rotacije neke točke A oko središta rotacije O, dobiva se točka A 1 (koja se u slučaju određenog broja može podudarati s A), a točka A 1 leži na kružnici sa središtem u točki O od radijus OA. Drugim riječima, pri okretanju oko točke O, točka A ide do točke A 1 koja leži na kružnici centriranoj u točki O radijusa OA.

Vjeruje se da se točka O, kad se okreće oko sebe, pretvara u sebe. To jest, kao rezultat rotacije oko središta rotacije O, točka O postaje sama.

Također je vrijedno napomenuti da rotaciju točke A oko točke O treba smatrati kretanjem kao rezultat kretanja točke A po kružnici sa središtem u točki O radijusa OA.

Radi jasnoće dat ćemo ilustracije rotacije točke A oko točke O, na donjim slikama pokazat ćemo kretanje točke A do točke A1 uz pomoć strelice.

Puna revolucija

Moguće je izvršiti takvo okretanje točke A u odnosu na središte rotacije O, ta točka A, nakon što je prošla sve točke kruga, bit će na istom mjestu. Istodobno, kažu da je točka A napravila oko točke O.

Navedimo grafičku ilustraciju cjelokupnog prometa.

Ako se ne zaustavite na jednom okretanju, već nastavite kretanje točke po krugu, tada možete izvesti dva, tri i tako dalje do punih okretaja. Donji crtež desno prikazuje kako se mogu napraviti dva puna zavoja, a lijevo tri zavoja.

Koncept kuta rotacije

Iz koncepta rotacije točke predstavljenog u prvom stavku, jasno je da postoji beskonačan broj mogućnosti za rotiranje točke A oko točke O. Doista, svaka točka kružnice sa središtem u točki O radijusa OA može se smatrati točkom A 1, dobivenom kao rezultat okretanja A. Stoga se radi razlikovanja jednog zavoja od drugog uvodi koncept kuta rotacije.

Jedna od karakteristika kuta rotacije je smjer rotacije... U smjeru rotacije procjenjuje se kako se točka rotira - u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.

Druga karakteristika kuta rotacije je njegova veličinu... Kutovi rotacije mjere se u istim jedinicama kao: stupnjevi i radijani su najčešći. Ovdje je vrijedno napomenuti da se kut rotacije može izraziti u stupnjevima bilo kojim realnim brojem od intervala od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti, za razliku od kuta u geometriji, čija je vrijednost u stupnjevima pozitivna i ne prelazi 180 .

Mala slova grčke abecede obično se koriste za označavanje kutova rotacije: itd. Za označavanje velikog broja kutova rotacije često se koristi jedno slovo s indeksima, na primjer, .

Sada razgovarajmo o karakteristikama kuta rotacije detaljnije i redom.

Smjer rotacije

Neka su točke A i A 1 označene na kružnici centriranoj u točki O. Do točke A1 može se doći iz točke A rotiranjem oko središta O bilo u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru. Logično je smatrati da su ti zavoji različiti.

Ilustrirajmo zavoje u pozitivnom i negativnom smjeru. Donji crtež prikazuje pozitivnu rotaciju lijevo i negativnu rotaciju desno.

Kut rotacije, kut proizvoljne vrijednosti

Kut rotacije točke koja nije središte rotacije u potpunosti se određuje označavanjem njezine vrijednosti, s druge strane, prema vrijednosti kuta rotacije moguće je prosuditi kako je ta rotacija izvedena.

Kao što smo gore spomenuli, vrijednost kuta rotacije u stupnjevima izražena je brojem od −∞ do + ∞. U tom slučaju znak plus odgovara rotaciji u smjeru kazaljke na satu, a znak minus rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Sada ostaje uspostaviti podudarnost između vrijednosti kuta rotacije i koje rotacije odgovara.

Počnimo s kutom rotacije od nula stupnjeva. Taj kut rotacije odgovara kretanju točke A u sebe. Drugim riječima, kada rotirate 0 stupnjeva oko točke O, točka A ostaje na mjestu.

Okrećemo se rotaciji točke A oko točke O, pri kojoj se rotacija događa unutar pola okretaja. Pretpostavit ćemo da točka A ide u točku A 1. U tom slučaju apsolutna vrijednost kuta AOA 1 u stupnjevima ne prelazi 180. Ako je zavoj bio u pozitivnom smjeru, tada se vrijednost kuta zakretanja smatra jednakom vrijednosti kuta AOA 1, a ako je zavoj bio u negativnom smjeru, tada se njegova vrijednost smatra jednakom vrijednosti kut AOA 1 sa predznakom minus. Na primjer, evo slike koja prikazuje kutove rotacije 30, 180 i -150 stupnjeva.

Kutovi rotacije veći od 180 stupnjeva i manji od -180 stupnjeva određuju se na temelju sljedećeg prilično očitog svojstva uzastopnih zavoja: nekoliko uzastopnih rotacija točke A oko središta O ekvivalentno je jednoj rotaciji, čija je veličina jednaka zbroju veličina tih rotacija.

Navedimo primjer koji ilustrira ovo svojstvo. Okrenimo točku A u odnosu na točku O za 45 stupnjeva, a zatim zarotiramo ovu točku za 60 stupnjeva, a zatim zarotiramo ovu točku za -35 stupnjeva. Označimo međutočke na ovim zavojima kao A 1, A 2 i A 3. Do iste točke A 3 mogli smo doći izvođenjem jednog okretanja točke A pod kutom od 45 + 60 + (- 35) = 70 stupnjeva.

Dakle, kutove rotacije veće od 180 stupnjeva predstavljat ćemo kao nekoliko uzastopnih rotacija po kutovima, čiji zbroj vrijednosti daje vrijednost početnog kuta rotacije. Na primjer, kut rotacije od 279 stupnjeva odgovara uzastopnim rotacijama od 180 i 99 stupnjeva, ili 90, 90, 90 i 9 stupnjeva, ili 180, 180 i −81 stupnjeva, ili 279 uzastopnih rotacija od 1 stupnja.

Kutovi rotacije manji od -180 stupnjeva određuju se na isti način. Na primjer, kut rotacije od -520 stupnjeva može se tumačiti kao uzastopno okretanje točke za -180, -180 i -160 stupnjeva.

Rezimirati... Odredili smo kut rotacije čija je vrijednost u stupnjevima izražena nekim realnim brojem iz intervala od −∞ do + ∞. U trigonometriji ćemo raditi s kutovima rotacije, iako se riječ "rotacija" često izostavlja, a oni jednostavno kažu "kut". Tako ćemo u trigonometriji raditi s kutovima proizvoljne veličine, pri čemu podrazumijevamo kutove rotacije.

Zaključno s ovim odlomkom napominjemo da potpuni zaokret u pozitivnom smjeru odgovara kutu rotacije od 360 stupnjeva (ili 2 π radijana), a u negativnom smjeru kut rotacije od -360 stupnjeva (ili −2 π radijana) ). U ovom je slučaju prikladno velike kutove rotacije prikazati kao određeni broj punih okretaja i još jednu rotaciju pod kutom u rasponu od -180 do 180 stupnjeva. Uzmimo kao primjer kut rotacije od 1.340 stupnjeva. Lako je zamisliti 1.340 kao 360 4 + (- 100). Odnosno, početni kut rotacije odgovara 4 pune rotacije u pozitivnom smjeru i naknadnoj rotaciji za -100 stupnjeva. Još jedan primjer: kut rotacije od -745 stupnjeva može se protumačiti kao dva okreta u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a zatim rotacija od -25 stupnjeva, budući da je -745 = (- 360) 2 + (- 25).

Rotirajte oblik oko točke za kut

Koncept prekretnice može se lako proširiti na rotacija bilo kojeg oblika oko točke za kut(govorimo o takvoj rotaciji da i točka u odnosu na koju se vrši rotacija i brojka koja se rotira nalaze u istoj ravnini).

Pod rotacijom figure mislimo na rotaciju svih točaka figure oko određene točke za određeni kut.

Kao primjer dat ćemo ilustraciju sljedeće radnje: segment AB ćemo zakrenuti za kut u odnosu na točku O, taj će se segment, kada se zakrene, pretvoriti u segment A 1 B 1.

Bibliografija.

• Algebra: Udžbenik. za 9 cl. srijeda škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Obrazovanje, 1990.- 272 str: ilustr .- isbn 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Udžbenik. za 10-11 cl. srijeda shk - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993.- 351 str: ilustr. -ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Udžbenik. za 10-11 cl. opće obrazovanje. institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Udžbenik. priručnik. - M.; Viši. shk., 1984.-351 str., ilustr.