Kuhesabu pembe kwenye mduara wa trigonometric. Angles nzuri na mbaya. Usambazaji wa pembe katika robo. Kipimo cha kona kinaweza kuwa na wasiwasi kuwa hasi

Angle: Π Rad \u003d

Badilisha kwa: Daraja la Radians 0 - 360 ° 0 - 2π chanya mahesabu hasi

Wakati mwelekeo wa moja kwa moja, basi maeneo manne yanapatikana kuhusiana na hatua ya makutano.
Sehemu hizi mpya zinaitwa. pembe.

Picha inaonyesha angle 4 tofauti iliyoundwa na makutano ya AB na CD moja kwa moja

Kwa kawaida, pembe zinapimwa kwa digrii, ambazo zinaonyeshwa kama °. Wakati kitu kinafanya mduara kamili, yaani, kusonga kutoka hatua ya D kupitia B, C, A, na kisha kurudi D, basi wanasema kwamba iligeuka digrii 360 (360 °). Hivyo, kiwango ni $ \\ FRAC (1) (360) $ mduara.

Angles zaidi ya digrii 360.

Tulizungumzia wakati kitu kinachofanya mduara kamili karibu na uhakika, basi hupita 360 °, hata hivyo, wakati kitu kinafanya mzunguko zaidi ya moja, inafanya angle ya digrii zaidi ya 360. Hii ni jambo la kawaida katika maisha ya kila siku. Gurudumu hupita miduara mingi wakati gari inakwenda, yaani, inaunda angle kubwa kuliko 360 °.

Ili kujua idadi ya mzunguko (miduara iliyofunikwa) wakati kitu kinachozunguka, tunazingatia idadi ya mara ambazo unahitaji kuongeza 360 ili kupata idadi sawa au ndogo kuliko angle hii. Vile vile, tunaona namba tunayozidisha juu ya 360 ili kupata idadi ndogo, lakini karibu na kona hii.

Mfano 2.
1. Pata idadi ya miduara iliyoelezwa na angle
a) 380 °
b) 770 °
c) 1000 °
Uamuzi
a) 380 \u003d (1 × 360) + 20
Kitu kilichoelezwa mduara mmoja na 20 °
Tangu $ 20 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (20) (360) \u003d \\ frac (1) (18) $ mduara
Kitu kilichoelezwa $ 1 \\ FRAC (1) (18) $ duru.

B) 2 × 360 \u003d 720.
770 \u003d (2 × 360) + 50.
Kitu kilichoelezea miduara miwili na 50 °
$ 50 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (50) (360) \u003d \\ FRAC (5) (36) $ Circle
Kitu kilichoelezwa $ 2 \\ FRAC (5) (36) $ Circle
c) 2 × 360 \u003d 720.
1000 \u003d (2 × 360) + 280.
$ 280 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (260) (360) \u003d \\ frac (7) (9) $ duru
Kitu kilichoelezwa $ 2 \\ FRAC (7) (9) $ Circles

Wakati kitu kinapozunguka saa moja kwa moja, hufanya angle mbaya ya mzunguko, na wakati unapozunguka kinyume cha habari - angle chanya. Hadi sasa, tulizingatia tu pembe nzuri.

Kwa namna ya mchoro, angle hasi inaweza kuonyeshwa kama inavyoonyeshwa hapo chini.

Takwimu hapa chini inaonyesha ishara ya angle, ambayo ni kipimo kutoka kwa mstari wa jumla, 0 Axis (Absissal Axis Axis)

Hii ina maana kwamba mbele ya angle hasi, tunaweza kupata angle nzuri.
Kwa mfano, sehemu ya chini ya moja kwa moja ni 270 °. Wakati wa kipimo katika mwelekeo mbaya, basi tunapata -90 °. Sisi tu kuondoa 270 kati ya 360. Kuwa na angle hasi, sisi kuongeza 360 ili kupata angle sawa sawa.
Wakati angle ni -360 °, hii ina maana kwamba kitu kilichofanya mduara zaidi ya moja kwa moja.

Mfano 3.
1. Pata angle nzuri
A) -35 °
B) -60 °
C) -180 °
d) - 670 °

2. Pata angle hasi ya 80 °, 167 °, 330 ° na 1300 °.
Uamuzi
1. Ili kupata angle nzuri, tunaongeza 360 kwa thamani ya kona.
A) -35 ° \u003d 360 + (-35) \u003d 360 - 35 \u003d 325 °
B) -60 ° \u003d 360 + (-60) \u003d 360 - 60 \u003d 300 °
c) -180 ° \u003d 360 + (-180) \u003d 360 - 180 \u003d 180 °
d) -670 ° \u003d 360 + (-670) \u003d -310
Hii inamaanisha mduara wa saa moja (360)
360 + (-310) \u003d 50 °
Angle ni 360 + 50 \u003d 410 °

2. Ili kupata angle sahihi, tunaondoa 360 kutoka kwa thamani ya angle.
80 ° \u003d 80 - 360 \u003d - 280 °
167 ° \u003d 167 - 360 \u003d -193 °
330 ° \u003d 330 - 360 \u003d -30 °
1300 ° \u003d 1300 - 360 \u003d 940 (mduara mmoja ulipitishwa)
940 - 360 \u003d 580 (duru ya pili ilipitishwa)
580 - 360 \u003d 220 (mduara wa tatu ulipitishwa)
220 - 360 \u003d -140 °
Angle ni -360 - 360 - 360 - 140 \u003d -1220 °
Hivyo, 1300 ° \u003d -1220 °

Radian.

Radine ni angle ya katikati ya mduara, ambayo ARC imehitimishwa, urefu wake ni sawa na radius ya mduara huu. Hii ni kitengo cha kipimo cha thamani ya angular. Angle hiyo ni takriban 57.3 °.
Mara nyingi, imeonyeshwa AS. furahi.
Hivyo $ 1 Rad \\ Karibu 57.3 ^ (\\ Circ) $

Radius \u003d r \u003d oa \u003d ob \u003d ab.
Angle ya Boa ni sawa na radia moja.

Kwa kuwa urefu wa mzunguko umewekwa kama $ 2 \\ PI R $, kisha katika mzunguko wa $ 2 \\ pi $ radii, ambayo ina maana kwa ujumla mduara $ 2 \\ pi $ radian.

Radians kawaida huelezwa na $ \\ pi $ ili kuepuka sehemu za decimal katika mahesabu. Katika vitabu vingi, abbreviation. rAD (RAD) Haipatikani, lakini msomaji anapaswa kujua kwamba linapokuja kwa pembe, basi imewekwa kupitia $ \\ PI $, na vitengo vya kipimo moja kwa moja kuwa radians.

$ 360 ^ (\\ circ) \u003d 2 \\ pi \\ rad $
$ 180 ^ (\\ circ) \u003d \\ pi \\ rad $
$ 90 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (\\ pi) (2) rad $
$ 30 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (30) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (6) RAD $
$ 45 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (45) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (4) RAD $
$ 60 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (60) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (3) rad $
$ 270 ^ (\\ circ) \u003d \\ frac (270) (180) \\ pi \u003d \\ frac (27) (18) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi \\ rad $

Mfano 4.
1. Badilisha 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° na 390 ° kwa radians kupitia $ \\ pi $.
Uamuzi
Ninazidi pembe kwenye $ \\ FRAC (\\ pi) (180) $.
$ 240 ^ (\\ circ) \u003d 240 \\ mara \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (4) (3) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (3) \\ pi $
$ 120 ^ (\\ Circ) \u003d 120 \\ mara \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (2 \\ pi) (3) $
$ 270 ^ (\\ circ) \u003d 270 \\ mara \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (3) (2) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi $
$ 750 ^ (\\ circ) \u003d 750 \\ mara \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (25) (6) \\ pi \u003d 4 \\ frac (1) (6) \\ pi $
$ 390 ^ (\\ circ) \u003d 390 \\ mara \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (13) (6) \\ pi \u003d 2 \\ frac (1) (6) \\ pi $

2. Badilisha pembe zifuatazo kwa digrii.
a) $ \\ frac (5) (4) \\ pi $
b) $ 3.12 \\ pi $.
c) 2.4 Radians.
Uamuzi
$ 180 ^ (\\ circ) \u003d \\ pi $
a) $ \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ mara 180 \u003d 225 ^ (\\ circ) $
b) $ 3.12 \\ pi \u003d 3.12 \\ mara 180 \u003d 561.6 ^ (\\ circ) $
c) 1 Tafadhali \u003d 57.3 °
$ 2.4 \u003d \\ frac (2.4 \\ mara 57.3) (1) \u003d 137.52 $

Angles mbaya na angles zaidi ya $ 2 \\ pi $ radian

Ili kubadilisha angle hasi katika chanya, tunaiweka kwa $ 2 \\ PI $.
Ili kubadilisha angle chanya kwa hasi, tutatoa $ 2 \\ pi $ kutoka kwao.

Mfano wa 5.
1. Badilisha $ - \\ frac (3) (4) \\ pi $ na $ - \\ frac (5) (7) \\ pi $ katika pembe nzuri katika radians.

Uamuzi
Ongeza kwenye kona ya $ 2 \\ pi $
US $ - \\ frac (3) (4) \\ pi \u003d - \\ frac (3) (4) \\ pi + 2 \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (4) \\ PI $.

$ - \\ frac (5) (7) \\ pi \u003d - \\ frac (5) (7) \\ pi + 2 \\ pi \u003d \\ frac (9) (7) \\ pi \u003d 1 \\ frac (2) (7) \\ PI $.

Wakati kitu kinapozunguka angle kubwa kuliko $ 2 \\ PI $;, basi hufanya mzunguko zaidi ya moja.
Ili kuamua idadi ya mapinduzi (miduara au mizunguko) katika angle hiyo, tunapata idadi hiyo, ambayo inazidisha ambayo $ 2 \\ PI $ ni sawa au chini, lakini karibu iwezekanavyo kwa nambari hii.

Mfano 6.
1. Pata idadi ya miduara iliyofunikwa na kitu katika pembe hizi
a) $ -10 \\ pi $.
b) $ 9 \\ pi $.
c) $ \\ frac (7) (2) \\ pi $

Uamuzi
a) $ -10 \\ pi \u003d 5 (-2 \\ pi) $;
$ -2 \\ pi $ ina maana ya mzunguko mmoja kuelekea mwelekeo wa saa, basi hii ina maana kwamba
Kitu kilichofanya mzunguko wa saa 5.

b) $ 9 \\ pi \u003d 4 (2 \\ pi) + \\ pi $, $ \\ pi \u003d $ sakafu mzunguko
Kitu kilichofanya mzunguko wa nne na nusu counterclockwise.

c) $ \\ frac (7) (2) \\ pi \u003d 3.5 \\ pi \u003d 2 \\ pi + 1.5 \\ pi $, $ 1.5 \\ PI $ ni robo tatu ya $ mzunguko (\\ frac (1.5 \\ pi) (2 \\ PI) \u003d \\ FRAC (3) (4)) $
Kitu kilichopitisha robo moja na tatu ya mzunguko wa counterclockwise

Trigonometry, kama sayansi, iliyotokana na Mashariki ya Kale. Uwiano wa kwanza wa trigonometric ulipatikana na wataalamu wa astronomers kuunda kalenda sahihi na kuzingatia nyota. Mahesabu haya yalikuwa ya trigonometry ya spherical, wakati katika kozi ya shule, uwiano wa vyama na angle ya pembetatu ya gorofa hujifunza.

Trigonometry ni sehemu ya hisabati inayohusika katika mali ya kazi za trigonometric na utegemezi kati ya vyama na pembe za pembetatu.

Wakati wa heyday ya utamaduni na sayansi ya milenia ya kwanza, wakati wetu wa ujuzi umeenea kutoka Mashariki ya kale hadi Ugiriki. Lakini uvumbuzi kuu wa trigonometry ni sifa ya waume wa ukhalifa wa Kiarabu. Hasa, mwanasayansi wa Turkmen al-Marazvi aliingia kazi kama vile tangent na kotangent, iliyoandaliwa meza ya kwanza kwa maadili ya sinus, tangents na catangents. Dhana ya sine na cosine imeletwa na wanasayansi wa India. Trigonometry ni kujitolea kwa makini sana katika maandiko ya viongozi wengi wa zamani, kama Euclidea, Archimedes na Eratosthene.

Maadili kuu ya trigonometry.

Kazi kuu ya trigonometric ya hoja ya namba ni sinus, cosine, tangent na catangent. Kila mmoja ana ratiba yake mwenyewe: sinusoid, cosineida, tangesoid na catangensoid.

Msingi wa formula kwa kuhesabu maadili ya kiasi fulani ni theorem ya Pythagoreo. Watoto wa shule wanajulikana zaidi katika maneno: "Pythagoras suruali, kwa njia zote ni sawa," kwa kuwa ushahidi hutolewa kwa mfano wa pembetatu sawa ya mstatili.

Sinus, cosine na tegemezi nyingine huanzisha kiungo kati ya pembe kali na pande za pembetatu yoyote ya mstatili. Tunatoa formula kwa kuhesabu maadili haya kwa angle a na kufuatilia uhusiano wa kazi za trigonometric:

Kama inavyoonekana, TG na CTG ni kazi za inverse. Ikiwa unawasilisha catat kama kipande cha dhambi na hypotenuses na, na roll b kwa namna ya COS A * C, tutapokea fomu zifuatazo kwa Tangent na Kotangent:

Mzunguko wa Trigonometric.

Graphically, uwiano wa maadili alisema inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

Duru, katika kesi hii, ni angle α iwezekanavyo - kutoka 0 ° hadi 360 °. Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kila kazi inachukua thamani hasi au chanya kulingana na thamani ya kona. Kwa mfano, dhambi α itakuwa na ishara ya "+", ikiwa α ni ya I na II ya robo ya mduara, yaani, ni kati ya 0 ° hadi 180 °. Kwa α kutoka 180 ° hadi 360 ° (III na IV Quarters), dhambi α inaweza tu kuwa thamani hasi.

Hebu jaribu kujenga meza za trigonometric kwa pembe maalum na kupata thamani ya maadili.

Maadili α ni 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 °, na kadhalika - huitwa kesi maalum. Maadili ya kazi za trigonometric huhesabiwa kwao na zinawasilishwa kwa namna ya meza maalum.

Angles hizi hazichaguliwa na ajali yoyote. Uteuzi π katika meza unasimama kwa radians. Rad ni angle ambayo urefu wa arc wa mzunguko unafanana na radius yake. Thamani hii ilianzishwa ili kuanzisha utegemezi wa ulimwengu wote, wakati wa kuhesabu radians, urefu halisi wa radius katika cm haijalishi.

Pembe katika meza kwa kazi za trigonometris zinahusiana na maadili ya radian:

Kwa hiyo, si vigumu kufikiri kwamba 2π ni mduara kamili au 360 °.

Mali ya kazi za trigonometric: sinus na cosine.

Ili kuzingatia na kulinganisha mali kuu ya sinus na cosine, tangent na catangens, ni muhimu kuteka kazi zao. Hii inaweza kufanyika kwa njia ya curve iko katika mfumo wa kuratibu mbili-dimensional.

Fikiria meza ya kulinganisha ya mali kwa sinusoids na cosineids:

Kuamua kama kazi ni hata au si rahisi sana. Inatosha kuwasilisha mduara wa trigonometric na ishara za maadili ya trigonometric na kiakili "kupangiliwa" ratiba ya jamaa na mhimili wa ng'ombe. Ikiwa ishara zinafanana, kazi ni hata, vinginevyo - isiyo ya kawaida.

Utangulizi wa Radians na uhamisho wa mali kuu ya sinusoids na cosineids kuruhusu kuleta mara kwa mara yafuatayo:

Hakikisha formula ni rahisi sana. Kwa mfano, kwa X \u003d π / 2 sinus ni 1, pamoja na cosine x \u003d 0. Unaweza kuangalia kwa meza au kufuatilia kazi za kazi kwa maadili maalum.

Mali ya Tangensoids na Kotangensoids.

Grafu ya kazi za tangent na kotangent zinatofautiana kwa kiasi kikubwa kutoka kwa sinusoids na cosineids. Maadili ya TG na CTG yanarudi kwa kila mmoja.

1. Y \u003d tg x.
2. Tangentsoid huelekea maadili y katika x \u003d π / 2 + πk, lakini kamwe huwafikia.
3. Kipindi cha chini cha chanya cha Tangensoid ni sawa na π.
4. TG (- X) \u003d - TG X, I.E., kazi ni isiyo ya kawaida.
5. Tg x \u003d 0, katika x \u003d πk.
6. Kazi inaongezeka.
7. TG X\u003e 0, katika X ε (πK, π / 2 + πk).
8. TG X \u003c0, saa X ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Derivative (TG X) '\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Fikiria picha ya graphic ya catangensoids chini ya maandiko.

Mali kuu ya Kotangensoids:

1. Y \u003d ctg x.
2. Tofauti na kazi za sinus na cosine, katika tangentsoid y, inaweza kuchukua maadili ya idadi nyingi halali.
3. Kothangensoid huelekea maadili y katika x \u003d πk, lakini kamwe huwafikia.
4. Kipindi kidogo cha chanya cha catangensoid ni sawa na π.
5. CTG (- X) \u003d - CTG X, I.E. Kazi ni isiyo ya kawaida.
6. CTG X \u003d 0, katika X \u003d π / 2 + πk.
7. Kazi inashuka.
8. CTG X\u003e 0, katika X ε (πK, π / 2 + πk).
9. CTG X \u003c0, saa X ε (π / 2 + πk, πk).
10. Derivative (CTG X) '\u003d - 1 / DIN 2 \u2061X Kurekebisha

Jozi ya mihimili tofauti ya OA na OB, inayojitokeza kutoka sehemu moja o, inaitwa angle na inaonyeshwa na ishara (A, B). Hatua ya O inaitwa kilele cha angle, na mionzi ya UB UB - pande za angle. Ikiwa A na B - pointi mbili za OA na mionzi, basi (A, B) pia inaonyeshwa na ishara ya AOS (Kielelezo 1.1).

Angle (A, B) inaitwa kupanuliwa ikiwa mionzi ya OA na OB, inayojitokeza kutoka sehemu moja ni moja kwa moja na sio sanjari (hiyo ni kinyume cha maneno).

FIG.1.1.

Angle mbili zinachukuliwa kuwa sawa ikiwa angle moja inaweza kutumika kwa mwingine ili upande wa pembe saini. Angle ya bisector inaitwa boriti na mwanzo juu ya angle, kugawanya angle katika pembe mbili sawa.

Inasemekana kuwa ray ya OS, inayotoka juu ya angle ao, iko kati ya vyama vyake ikiwa huvuka sehemu ya AV (Kielelezo 1.2). Inasemekana kuwa hatua C iko kati ya pande za angle, kama ray inaweza kufanyika kwa njia hii na mwanzo juu ya angle, amelala kati ya pande za kona. Seti ya pointi zote za ndege amelala kati ya pande za angle hufanya eneo la ndani la angle (Kielelezo 1.3). Seti ya pointi ya ndege ambayo si ya eneo la ndani na pande za angle hufanya eneo la nje la angle.

Angle (A, B) inachukuliwa kama angle zaidi (C, D) ikiwa angle (C, D) inaweza kuwekwa kwenye angle (A, B) ili baada ya mchanganyiko wa pande mbili, upande wa pili Angle (C, D) italala kati ya pande za angle (A, B). Katika Kielelezo. 1.4 AOS zaidi AOS.

Hebu boriti na uongo kati ya pande za angle (A, B) (Kielelezo 1.5). Wanandoa wa mionzi A, C na C, B huunda pembe mbili. Kuhusu angle (A, B) Wanasema kuwa ni jumla ya pembe mbili (A, C) na (C, B), na kuandika: (A, B) \u003d (A, C) + (C, B) .

Tini.1.3.

Kawaida katika jiometri wanahusika na pembe ndogo kuliko kutumika. Hata hivyo, kama matokeo ya kuongeza ya pembe mbili, angle inaweza kugeuka kuwa zaidi kutumika. Katika kesi hiyo, sehemu ya ndege, ambayo inachukuliwa kuwa eneo la ndani la angle, linawekwa na arc. Katika Kielelezo. 1.6 ndani ya AOS AOS, kupatikana kama matokeo ya kuongeza ya angles ya AOC na OV na zaidi kutumika, ni alama na arc.

Tini.1.5.

Pia kuna pembe za 360 ° kubwa. Angles hiyo hutengenezwa, kwa mfano, kwa mzunguko wa propeller ya ndege, mzunguko wa ngoma, ambayo kamba ni jeraha, na kadhalika.

Katika siku zijazo, wakati wa kuzingatia kila angle, tunakubali kuzingatia moja ya pande zote za pembe hii kutoka kwa chama chake cha kwanza, na nyingine ni chama cha mwisho.

Angle yoyote, kwa mfano, angle ya AOS (Kielelezo 1.7), inaweza kupatikana kama matokeo ya mzunguko wa boriti inayozunguka karibu na vertex ya upande wa awali wa angle (OA) hadi upande wake wa mwisho. Tutapima angle hii, kwa kuzingatia idadi kamili ya mapinduzi yaliyotolewa karibu na o, pamoja na mwelekeo ambao mzunguko ulifanyika.

Angles nzuri na mbaya.

Hebu tuwe na pembe iliyoundwa na mionzi ya OA na OI (tini.1.8). Ray ya kuhamisha, inayozunguka karibu na o kutoka nafasi yake ya awali (OA), inaweza kuchukua nafasi ya mwisho kwa maelekezo mawili tofauti ya mzunguko. Maelekezo haya yanaonyeshwa kwenye Mchoro 1.8 na mishale inayofanana.

TIG.1.7.

Kama vile juu ya mhimili wa nambari, moja ya maelekezo mawili yanachukuliwa kuwa chanya, na nyingine ni hasi, maelekezo mawili tofauti ya mzunguko wa boriti ya kuhamisha yanajulikana. Ilikubaliwa kuchukuliwa kuwa mwelekeo mzuri wa mzunguko ambao ni kinyume na mwelekeo wa mzunguko wa saa ya saa. Mwelekeo wa mzunguko unafanana na mwelekeo wa mzunguko wa saa ya saa, unachukuliwa kuwa hasi.

Kwa mujibu wa ufafanuzi huu, pembe pia imegawanywa kuwa chanya na hasi.

Angle nzuri inaitwa angle iliyoundwa na mzunguko wa boriti inayoweza kusonga karibu na hatua ya mwanzo katika mwelekeo mzuri.

Kielelezo 1.9 ina pembe zenye chanya. (Mwelekeo wa mzunguko wa boriti ya kuhamisha huonyeshwa katika michoro ya mishale.)

Angle mbaya inaitwa angle iliyoundwa na mzunguko wa boriti inayoweza kusonga karibu na mwanzo katika mwelekeo hasi.

Kielelezo 1.10 kinaonyesha baadhi ya pembe mbaya. (Mwelekeo wa mzunguko wa boriti ya kuhamisha huonyeshwa katika michoro ya mishale.)

Lakini mionzi miwili inayohusiana pia inaweza kuunda na pembe za + 360 ° P na -360 ° C (n \u003d 0,1,2,3, ...). Denote kwa kutumika kidogo iwezekanavyo angle yasiyo ya hasi ya mzunguko, ambayo imekuwa kuhamisha OA Ray kwa nafasi ya OS. Ikiwa sasa radi ya OV inafanywa kwa kuongeza kasi kamili karibu na o, basi tunapata thamani nyingine ya angle, yaani: AVO \u003d B + 360 °.

Upimaji wa pembe za mduara arcs. Units ya kipimo cha arcs na pembe.

Katika hali nyingine, inageuka kuwa rahisi kupima pembe kwa kutumia arc circle. Uwezekano wa kipimo hicho msingi juu ya pendekezo maalumu la mipango ambayo pembe za kati na arcs zinazofanana ni kwa moja kwa moja kutegemeana kwao ni katika mduara mmoja.

Hebu arc fulani ya mduara huu ilipitishwa kwa kitengo cha kipimo cha arc. Angle ya kati inayohusiana na arc hii itachukua kitengo cha kipimo cha pembe. Kwa hali hii, arc yoyote ya mzunguko na angle ya kati inayofanana na arc hii itakuwa na idadi sawa ya vitengo vya kipimo. Kwa hiyo, kupima arcs ya mviringo, inawezekana kuamua ukubwa wa pembe kuu zinazohusiana na arcs hizi.

Fikiria mifumo miwili ya kawaida kwa kupima arcs na pembe.

Kupima pembe

Wakati wa kipimo cha daraja la pembe kama kitengo kikuu cha kupima angles (angle ya kumbukumbu, ambayo pembe mbalimbali zinalinganishwa) Angle inachukuliwa katika shahada moja (iliyochaguliwa 1?). Angle ya shahada moja ni angle sawa na 1/180 ya angle iliyopanuliwa. Angle sawa na 1/60 ya angle ya 1 ° ni angle ya dakika moja (iliyochaguliwa 1 "). Angle sawa na 1/60 sehemu ya angle katika dakika moja ni angle katika pili ya pili (iliyochaguliwa 1").

Kipimo cha kipimo cha radian

Pamoja na kipimo cha kipimo cha angles katika jiometri na trigonometry, kipimo kingine cha kupima pia hutumiwa, kinachoitwa radian. Fikiria mduara wa RADIUS R na kituo cha O. Tutafanya radius mbili kuhusu A na OB ili urefu wa AV ARC ni sawa na radius ya mduara (Kielelezo 1.12). Angle ya kati ya AOS iliyopatikana wakati huo huo itakuwa angle ya radian moja. Angle ya radian 1 inachukuliwa kwa kila kitengo cha kipimo cha kipimo cha kipimo cha kipimo cha radicular. Wakati angles ni radic, angle ya kina ni sawa na radians r.

Vipengele vya kiwango na radian vya kupima kwa pembe vinahusishwa na usawa:

Radiamu 1 \u003d 180? / P57 ° 17 "45"; 1? \u003d P / 180 radian0.017453Radian;

1 "\u003d P / 180 * 60 radian0.000291 radian;

1 "\u003d R / 180 * 60 * 60 radian0.000005 radian.

Kiwango (au radian) kipimo cha angle pia huitwa kona. Thamani ya angle ya AOS wakati mwingine inaashiria /

Uainishaji wa pembe.

Angle sawa na 90 °, au katika kipimo cha radicular ya P / 2, inaitwa angle ya moja kwa moja; Mara nyingi huashiria na barua d. Angle chini ya 90 ° inaitwa mkali; Angle kubwa kuliko 90 °, lakini 180 ° ndogo huitwa kijinga.

Vipande viwili vina upande mmoja wa kawaida na kwa kiasi cha vipengele vya 180 ° vinaitwa pembe za karibu. Vipande viwili vina upande mmoja wa kawaida na kwa kiasi cha vipengele vya 90 ° vinaitwa pembe za ziada.

Kuhesabu pembe kwenye mduara wa trigonometric.

ATTENTION!
Mada hii ina ziada
Vifaa katika sehemu maalum ya 555.
Kwa wale ambao ni "si sana ..."
Na kwa wale ambao ni "sana ...")

Yeye ni karibu katika somo la awali. Kuna axes, mduara, angle, chinar yote ya cheo. Aliongeza robo (katika pembe za mraba kubwa) - kutoka kwanza hadi nne. Na kisha ni kama mtu hajui? Kama unaweza kuona, robo (pia huitwa neno "quadrants") namba dhidi ya mwendo wa saa moja. Aliongeza maadili ya angle kwenye axes. Kila kitu ni wazi, hakuna matatizo.

Na mshale wa kijani umeongezwa. Na pamoja. Ina maana gani? Napenda kukukumbusha kwamba upande wa kituo cha kona kila mara Ni msumari kwa nusu-axis oh. Kwa hiyo, ikiwa tutageuka upande wa kusonga wa angle juu ya mshale na pamoja na. Kupanda idadi ya quarta, angle itachukuliwa kuwa chanya. Kwa mfano, picha inaonyesha angle nzuri + 60 °.

Ikiwa tunashikilia pembe kwa upande mwingine, kando ya mshale wa saa, angle itachukuliwa kuwa hasi. Panya juu ya picha (au bomba picha kwenye kibao), angalia mshale wa bluu na minus. Hii ni mwelekeo wa kumbukumbu mbaya ya pembe. Kwa mfano, angle hasi inaonyeshwa (60 °). Na utaona jinsi diquses imebadilika juu ya shaba ... Mimi pia kuwahamisha kwa pembe mbaya. Quadrants ya kuhesabu haibadilika.

Hapa, kwa kawaida, kutoelewana kwa kwanza kuanza. Jinsi hivyo!? Na kama angle hasi juu ya mduara inafanana na chanya!? Na kwa ujumla, inageuka kuwa, nafasi sawa ya upande wa kusonga (au kumweka kwenye mzunguko wa namba) inaweza kuitwa kama angle hasi na chanya!?

Ndiyo. Hasa. Hebu sema angle chanya ya digrii 90 inachukua mzunguko sawa sawa. Hali ni kama angle hasi katika digrii 270. Angle nzuri, kwa mfano, + 110 ° digrii inachukua sawa sawa. nafasi kama angle hasi -250 °.

Hakuna shida. Juu ya usahihi.) Uchaguzi wa calculus chanya au hasi ya angle inategemea hali ya kazi. Ikiwa hakuna kitu kinachosemwa katika hali hiyo fungua maandishi. kuhusu ishara ya kona, (aina "kuamua ndogo zaidi chanya Kona ", nk), tunafanya kazi na maadili vizuri.

Isipokuwa (na jinsi gani bila yao?!) Je, ni kutofautiana kwa trigonometri, lakini kuna tutajitahidi chip hii.

Na sasa swali wewe. Nilijuaje kwamba nafasi ya angle ya 110 ° inafanana na nafasi ya angle -250 °?
Jina la utani kwamba hii ni kutokana na upande kamili. Saa 360 ° ... si wazi? Kisha kuteka mduara. Sisi kuteka, kwenye karatasi. Sisi alama kona kuhusu 110 °. Na fikiriaNi kiasi gani kinabakia kwa mauzo kamili. Itabaki tu 250 ° ...

Hawakupata? Na sasa - tahadhari! Ikiwa pembe ni 110 ° na -250 ° huchukua katika mzunguko same. Nafasi, nini? Ndiyo kwamba pembe ni 110 ° na -250 ° inafanana kabisa Sinus, Kosinus, Tangent na CoTangent!
Wale. SIN110 ° \u003d Dhambi (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °) na kadhalika. Hii tayari ni muhimu sana! Na yenyewe - kuna kazi nyingi, ambapo ni muhimu kupunguza maneno, na kama msingi wa maendeleo ya baadaye ya aina ya kuleta na hekima nyingine ya trigonometry.

Futa kesi, 110 ° na -250 ° Nilichukua Namaum, kwa mfano kwa mfano. Sawa hizi zote hufanya kazi kwa pembe yoyote ambazo huchukua nafasi moja katika mduara. 60 ° na -300 °, -75 ° na 285 °, na kadhalika. Ninaona mara moja kwamba pembe katika wanandoa hawa - tofauti. Na hapa ni kazi za trigonometric yao - sawa.

Nadhani kwamba pembe hizo hizo unazoelewa. Ni rahisi sana. Dhidi ya maendeleo ya saa - kuhesabu chanya. Katika kozi - hasi. Soma angle chanya, au hasi inategemea Marekani. Kutoka kwa tamaa yetu. Naam, na kutoka kwa kazi, bila shaka ... Natumaini kuelewa na jinsi ya kuhamia katika kazi za trigonometric kutoka pembe hasi kwa chanya na nyuma. Chora mduara, angle ya takriban, lakini angalia ni kiasi gani cha kutosha kwa mauzo kamili, i.e. hadi 360 °.

Pembe ni kubwa kuliko 360 °.

Pembe ambazo ni zaidi ya 360 °. Je, kuna vile vile? Kuna, bila shaka. Jinsi ya kuwavuta katika mduara? Ndiyo, si tatizo! Tuseme tunahitaji kuelewa ni robo gani itapata angle ya 1000 °? Urahisi! Tunafanya upande mmoja kamili dhidi ya wakati wa saa ya saa (angle alipewa chanya!). Ilihamishwa 360 °. Naam, na upepo! Tundu lingine - tayari limegeuka 720 °. Ni kiasi gani cha kushoto? 280 °. Haitoshi kwa kugeuka kamili ... Lakini angle ni kubwa kuliko 270 ° - na hii ni mpaka kati ya robo ya tatu na ya nne. Ilikuwa ni angle yetu katika 1000 ° inaingia robo ya nne. Kila kitu.

Kama unaweza kuona, ni rahisi sana. Mara nyingine tena ninawakumbusha kwamba angle ni 1000 ° na angle ya 280 °, ambayo tulipata kupitia mapinduzi ya "yasiyo ya lazima" - ni, kwa kusema kwa makini, tofauti Pembe. Lakini kazi za trigonometri za pembe hizi inafanana kabisa! Wale. SIN1000 ° \u003d SIN280 °, COS1000 ° \u003d COS280 °, nk. Ikiwa ningekuwa sinus, siwezi kutambua tofauti kati ya pembe hizi mbili ...

Kwa nini unahitaji yote haya? Kwa nini tunahitaji kutafsiri pembe kutoka kwa kila mmoja? Ndiyo, kila kitu ni sawa.) Ili kurahisisha maneno. Kuweka kurahisisha maneno, kwa kweli, kazi kuu ya hisabati ya shule. Naam, kwa njia, kichwa ni mafunzo.)

Naam, mazoezi?)

Jibu maswali. Kwanza rahisi.

1. Ni robo gani ya kona -325 ° kuanguka?

2. Je, ni robo gani ya kuanguka kwa 3000 °?

3. Ni robo gani angle -3000 ° kuanguka?

Kuna tatizo? Au kutokuwa na uhakika? Tunaenda sehemu ya 555, kazi ya vitendo na mzunguko wa trigonometric. Huko, katika somo la kwanza hii "kazi ya vitendo ..." Kila kitu kinajulikana ... in vile Masuala ya usalama kuwa sio!

4. Ni ishara gani SIN555 °?

5. Ni ishara gani TG555 °?

Inafafanuliwa? Bora! Shaka? Ni muhimu kwa Sehemu ya 555 ... Kwa njia, watajifunza jinsi ya kuteka tangent na cotangent kwenye mzunguko wa trigonometric. Jambo muhimu sana.

Na sasa maswali katika mizizi.

6. Thibitisha maneno ya Sin777 ° kwa sinus ya angle ndogo sana.

7. Unda cos777 ° ya kujieleza kwa cosine ya angle kubwa zaidi.

8. Kutoa kujieleza kwa COS (-777 °) kwa cacinus ya angle ndogo sana.

9. Thibitisha maneno ya Sin777 ° kwa sinus ya angle ya juu zaidi.

Nini, maswali 6-9 ya kushangaza? Tumia, kwenye mtihani na sio maneno kama hayo ... Kwa hiyo, nitaitafsiri. Ni kwa ajili yako tu!

Maneno "kuleta kujieleza kwa ..." maana ya kubadili maneno ili thamani yake haibadilishwa Na kuonekana imebadilika kwa mujibu wa kazi. Kwa hiyo, katika kazi ya 6 na 9 tunapaswa kupata sinus, ambayo ni gharama gani kona chanya chanya. Kila kitu kingine - haijalishi.

Majibu yatatolewa kwa utaratibu (kwa ukiukwaji wa sheria zetu). Na nini cha kufanya, ishara ni mbili tu, na robo ni nne tu ... huwezi kukimbia katika chaguzi.

6. SIN57 °.

7. COS (-57 °).

8. Cos57 °.

9. -Sin (-57 °)

Nadhani majibu ya maswali 6 -9 mtu aliyechanganyikiwa. Maalum -Sin (-57 °)Je, ni kweli?) Kwa kweli, katika sheria za msingi za pembe za kumbukumbu kuna mahali kwa makosa ... ndiyo sababu nilipaswa kufanya somo: "Jinsi ya kutambua ishara za kazi na kuleta pembe kwenye mduara wa trigonometric? " Katika Sehemu ya 555. Kuna kazi 4 - 9 zilizovunjwa. Vizuri sana, na mawe yote ya chini ya maji. Nao hapa.)

Katika somo linalofuata, tutashughulika na radians ya ajabu na namba "PI". Tutajifunza kwa urahisi na kwa usahihi kutafsiri digrii katika radians na nyuma. Na kwa mshangao utapata habari hii ya msingi kwenye tovuti tayari kunyakua Ili kutatua kazi zisizo za kawaida za trigonometry!

Ikiwa ungependa tovuti hii ...

Kwa njia, nina maeneo mengine ya kuvutia kwako.)

Inaweza kupatikana katika kutatua mifano na kupata kiwango chako. Kupima kwa hundi ya papo hapo. Jifunze - kwa riba!)

Unaweza kufahamu sifa na derivatives.

Katika trigonometry, dhana muhimu ni angle ya mzunguko. Chini ya sisi daima kutoa wazo la mzunguko, na kuingia dhana zote concomitant. Hebu tuanze na uwasilishaji wa kawaida, hebu sema kuhusu upande kamili. Kisha, tunaendelea kwa dhana ya angle ya mzunguko na kuzingatia sifa zake kuu, kama vile mwelekeo na ukubwa wa mzunguko. Hatimaye, tutatoa ufafanuzi wa sura ya takwimu karibu na uhakika. Nadharia zote kwenye maandiko zitatolewa na mifano ya maelezo na vielelezo vya graphic.

Navigating ukurasa.

Ni nini kinachoitwa kugeuka uhakika karibu na uhakika?

Mara moja, tunaona kwamba pamoja na maneno "kurejea karibu na" tutatumia pia maneno "kugeuka karibu na uhakika" na "kugeuka jamaa kwa uhakika", ambayo ina maana sawa.

Tunaanzisha dhana ya mzunguko wa uhakika karibu na uhakika.

Kwanza tunatoa ufafanuzi wa katikati ya mzunguko.

Ufafanuzi.

Kumweka jamaa ambayo hugeuka upande huitwa. kugeuka katikati.

Sasa hebu sema kile kinachopatikana kama matokeo ya mzunguko wa uhakika.

Kama matokeo ya mzunguko wa jamaa fulani na katikati ya kugeuka o, hatua ya 1 inapatikana (ambayo katika hali ya kiasi fulani inaweza sanjari na A), na hatua ya 1 iko kwenye mduara na kituo cha OA Radius Point. Kwa maneno mengine, wakati wa kugeuka kuhusiana na uhakika o uhakika mchakato kwa uhakika 1, amelala kwenye mduara na kituo cha OA RADIUS POINT.

Inaaminika kwamba hatua o wakati kugeuka kujizunguka inakwenda yenyewe. Hiyo ni, kama matokeo ya kugeuka katikati ya mzunguko, hatua o inakwenda yenyewe.

Pia ni muhimu kutambua kwamba mzunguko wa uhakika karibu na uhakika O inapaswa kuchukuliwa kama kusonga kama matokeo ya harakati ya uhakika karibu na mzunguko na katikati ya OA Radius uhakika.

Kwa usahihi, tunawasilisha mfano wa mzunguko wa uhakika na karibu na hatua o, katika takwimu zilizo chini, hoja hatua hadi kwa uhakika 1, tunaonyesha kwa msaada wa mshale.

Turn.

Unaweza kufanya mzunguko wa uhakika kwa kituo cha kugeuka O, ambacho kinaelezea, baada ya kupitisha pointi zote za mduara, utageuka kuwa mahali pale. Wakati huo huo wanasema kuwa hatua ya kufanikiwa karibu na o.

Hebu tupe mfano wa graphic wa mauzo kamili.

Ikiwa hutaacha kwa upande mmoja, lakini kuendelea na mwendo wa hatua karibu na mzunguko, basi unaweza kufanya mbili, tatu na hivyo juu ya mapinduzi kamili. Katika kuchora chini ya haki inaonyesha jinsi mbili zamu zinazoweza kuzalishwa, na kushoto ni zamu tatu.

Dhana ya angle ya mzunguko

Kutoka hatua iliyoletwa katika aya ya kwanza, hatua ya mzunguko ni wazi kuwa kuna seti isiyo na kipimo ya pointi ya mzunguko wa hatua na karibu na O. Hakika, hatua yoyote ya mzunguko na kituo cha OA Radius Point inaweza kuchukuliwa kama hatua ya 1 iliyopatikana kama matokeo ya mzunguko wa uhakika a. Kwa hiyo, kutofautisha upande mmoja kutoka kwa mwingine, kuletwa dhana ya angle ya mzunguko.

Moja ya sifa za angle ya mzunguko ni weka mwelekeo. Katika mwelekeo wa mzunguko, hakimu jinsi mzunguko wa uhakika unafanywa - saa moja kwa moja au kinyume chake.

Tabia nyingine ya angle ya mzunguko ni yake thamani. Angles ya mzunguko hupimwa katika vitengo sawa na: digrii za kawaida na radians. Ni muhimu kuzingatia hapa kwamba angle ya mzunguko inaweza kuelezwa kwa digrii na namba yoyote halisi kutoka kwa muda wa chini ya infinity na plus ya infinity, tofauti na kona katika jiometri, thamani ya ambayo ni chanya katika digrii na haina huzidi 180.

Ili kutaja pembe za mzunguko, barua za chini za alfabeti ya Kigiriki hutumiwa kwa kawaida: nk. Ili kutaja idadi kubwa ya pembe za kugeuka, barua moja na indeba za chini mara nyingi hutumia, kwa mfano, .

Sasa hebu tuzungumze juu ya sifa za angle ya mzunguko zaidi na kwa utaratibu.

Weka mwelekeo

Hebu mduara na kituo hicho kwa uhakika o alama A na 1. Wakati wa 1, unaweza kupata kutoka kwa hatua A kwa kugeuka katikati ya o ama saa au - counterclockwise. Hizi zamu zinazingatiwa kwa njia tofauti.

Tunaonyesha zamu katika mwelekeo mzuri na hasi. Katika kuchora chini, upande huo umeonyeshwa katika mwelekeo mzuri, na upande wa kulia - katika hasi.

Ukubwa wa angle ya mzunguko, angle ya kiholela

Angle ya mzunguko wa jambo lingine kuliko katikati ya mzunguko imedhamiriwa kikamilifu na dalili ya thamani yake, kwa upande mwingine, thamani ya kona ya upande inaweza kuhukumiwa juu ya jinsi hii kurejea ilifanyika.

Kama tulivyosema hapo juu, ukubwa wa angle ya mzunguko katika digrii huelezwa na namba kutoka -∞ hadi + ∞. Katika kesi hiyo, ishara ya pamoja inafanana na kugeuka saa ya saa, na ishara ya chini inazunguka kinyume chake.

Sasa inabakia kuanzisha mawasiliano kati ya thamani ya angle ya mzunguko na ukweli kwamba inafanana na.

Hebu tuanze na angle ya mzunguko sawa na digrii za sifuri. Kona hii inarudi harakati ya uhakika na yenyewe. Kwa maneno mengine, wakati wa kugeuka digrii 0 karibu na uhakika o uhakika mabaki mahali.

Nenda kwenye mzunguko wa uhakika na karibu na hatua o, ambapo mzunguko hutokea ndani ya nusu ya mauzo. Tutafikiri kwamba uhakika unaendelea kuelezea 1. Katika kesi hiyo, angle kamili ya AOA 1 katika digrii hazizidi 180. Ikiwa mzunguko ulifanyika katika mwelekeo mzuri, ukubwa wa angle ya mzunguko inachukuliwa kuwa sawa na angle ya AOA 1, na kama mzunguko ulifanyika katika mwelekeo hasi, thamani yake inachukuliwa kuwa sawa na angle ya AoA 1 na ishara ndogo. Kwa mfano, tunawasilisha kuchora kuonyesha pembe za mzunguko wa digrii 30, 180 na -150.

Angles ya mzunguko ni kubwa digrii 180 na digrii ndogo -180 ni kuamua kwa misingi ya zifuatazo dhahiri dhahiri mali ya zamu ya mfululizo.: Mabadiliko kadhaa ya serial ya uhakika karibu na kituo cha O ni sawa na upande mmoja, thamani ambayo ni sawa na jumla ya maadili ya zamu hizi.

Hebu tupate mfano unaoonyesha mali hii. Tutazunguka hatua ya jamaa kwa kiwango cha digrii 45, na kisha ugeuke hatua hii kwa digrii 60, baada ya hapo tunageuka hatua hii hadi-digrii. Denote pointi ya kati katika zamu hizi kama 1, 2 na 3. Katika hatua sawa na 3, tunaweza kupata, kwa kufanya upande mmoja wa uhakika a kwa angle ya 45 + 60 + (- 35) \u003d digrii 70.

Kwa hiyo, pembe za mzunguko, digrii kubwa 180, tutawakilisha kama wachache wa mfululizo juu ya pembe, jumla ya maadili ambayo inatoa thamani ya angle ya awali ya mzunguko. Kwa mfano, angle ya mzunguko wa digrii 279 inafanana na viwango vya mfululizo wa digrii 180 na 99, au 90, 90, 90 na 9 digrii, au digrii 180, 180 na -81, au 279 zana za mfululizo wa shahada 1.

Angles ya mzunguko hufafanuliwa kwa njia ile ile, ndogo -180 digrii. Kwa mfano, angle ya mzunguko -520 digrii inaweza kutafsiriwa kama mabadiliko thabiti ya uhakika kwa -180, -180 na -160 digrii.

Muhtasari. Tuliamua angle ya mzunguko, ukubwa wa digrii unaonyeshwa na nambari fulani halali kutoka kwa pengo kutoka -∞ hadi + ∞. Katika trigonometry, tutafanya kazi na pembe za kugeuka, ingawa neno "kugeuka" mara nyingi hupungua, na wanasema tu "angle." Kwa hiyo, katika trigonometry tutafanya kazi kwa pembe za angle, ambayo tutaelewa pembe za kugeuka.

Kwa kumalizika kwa aya hii, tunaona kwamba mauzo ya jumla katika mwelekeo mzuri yanahusiana na angle ya mzunguko wa digrii 360 (au radians 2 π π), na katika hasi - angle ya mzunguko katika -360 digrii (au -2 Π π ni furaha). Wakati huo huo, ni rahisi kwa pembe kubwa za kugeuka ili kuwakilisha kama kiasi fulani cha mapinduzi kamili na kugeuka nyingine kwa angle ya ukubwa kutoka -180 hadi digrii 180. Kwa mfano, kuchukua angle ya mzunguko wa digrii 1,340. Ni rahisi kuwakilisha 1 340 kama 360 · 4 + (- 100). Hiyo ni, angle ya kwanza ya mzunguko inafanana na zamu 4 kamili katika mwelekeo mzuri na kugeuka kwa digrii -100. Mfano mwingine: angle ya mzunguko -745 digrii inaweza kutafsiriwa kama zamu mbili dhidi ya mshale wa saa na mzunguko wa digrii -25, tangu -745 \u003d (- 360) · 2 + (- 25).

Zungusha sura karibu na hatua kwa angle

Dhana ya mzunguko wa hatua inapanua kwa urahisi mzunguko sura yoyote karibu na hatua kwa pembe (Hii ni juu ya kugeuka kama vile jamaa ambayo hutolewa, na takwimu inayogeuka, iko katika ndege hiyo).

Chini ya kugeuka kwa takwimu tutaelewa mzunguko wa pointi zote za takwimu karibu na hatua maalum katika angle iliyotolewa.

Kwa mfano, tunatoa mfano wa hatua zifuatazo: fanya mzunguko wa AB ya kukata kwa jamaa ya angle hadi hatua O, sehemu hii wakati wa kugeuka kugeuka kuwa sehemu ya 1 B 1.

Bibliography.

• Algebra: Masomo. Kwa 9 cl. mazingira. SHK. / U. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. Telikovsky. - M.: Elimu, 1990.- 272 C.: IL.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra na kuanza Uchambuzi: Mafunzo. Kwa cl 10-11 cl. mazingira. shk. - 3 iliyopita. - M: Mwangaza, 1993. - 351 C: IL. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra. na kuanzia uchambuzi: tafiti. Kwa cl 10-11 cl. Elimu ya jumla. Taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, nk; Ed. A. N. kolmogorova.- 14th ed. - M: Mwangaza, 2004.- 384 C.: ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (Faida kwa Waombaji katika Shule za Ufundi): Mafunzo. Faida. - m.; Juu. Shk., 1984.-351 p., Il.