Рівняння косинус ікс дорівнює а. Тригонометричні рівняння - формули, рішення, приклади. Розкладання на множники

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.

1. Рівняння `sin x=a`.

При `|a|>1` немає рішень.

При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.

Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Рівняння `cos x=a`

При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `|a| \leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: x = p arccos a + 2 pi n, n in Z

Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.

3. Рівняння `tg x=a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Рівняння `ctg x=a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z `

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

за допомогою перетворити його до найпростішого;
вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.

Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.

Алгебраїчний метод.

У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.

приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,

знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Розкладання на множники.

приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n`, ` x_1 = 2 \ pi n `.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Відповідь: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:

`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.

приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Перехід до половинного кута

приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Докладніше розглянемо на наступному прикладі:

приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-``arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.

приклад. Розв'язати рівняння. frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x `.

Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.

Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.

Найпростіші тригонометричні рівняння вирішуються, як правило, за формулами. Нагадаю, що найпростішими називаються такі тригонометричні рівняння:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х - кут, який потрібно знайти,
а – будь-яке число.

А ось і формули, за допомогою яких можна одразу записати рішення цих найпростіших рівнянь.

Для синусу:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенсу:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенсу:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Власне, це і є теоретична частина розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь. До того ж, вся!) Зовсім нічого. Проте, кількість помилок на цю тему просто зашкалює. Особливо при незначному відхиленні прикладу від шаблону. Чому?

Та тому, що маса народу записує ці літери, не розуміючи їхнього сенсу зовсім!З побоюванням записує, як би чого не вийшло... З цим треба розібратися. Тригонометрія для людей, або люди для тригонометрії, зрештою!?)

Розберемося?

Один кут у нас буде рівний arccos a, другий: -arccos a.

І так виходитиме завжди.За будь-якого а.

Якщо не вірите, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться малюнку на планшеті. Я змінив число а на якесь негативне. Все одно, один кут у нас вийшов arccos a, другий: -arccos a.

Отже, відповідь можна завжди записати у вигляді двох серій коріння:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Об'єднуємо ці дві серії в одну:

х = ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

І всі справи. Отримали загальну формулу для вирішення найпростішого тригонометричного рівняння з косинусом.

Якщо ви розумієте, що це не якась наднаукова мудрість, а просто скорочений запис двох серій відповідей,вам і завдання "С" будуть по плечу. З нерівностями, з відбором коренів із заданого інтервалу... Там відповідь із плюсом/мінусом не котить. А якщо поставитися до відповіді ділово, та розбити її на дві окремі відповіді, все і вирішується.) Власне, для цього й розуміємося. Що, як і звідки.

У найпростішому тригонометричному рівнянні

sinx = а

теж виходить дві серії коренів. Завжди. І ці дві серії також можна записати одним рядком. Тільки цей рядок хитрішим буде:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Але суть залишається незмінною. Математики просто сконструювали формулу, щоб замість двох записів серій коріння зробити одну. І все!

Перевіримо математиків? А то мало...)

У попередньому уроці докладно розібрано рішення (без будь-яких формул) тригонометричного рівняння із синусом:

У відповіді вийшло дві серії коренів:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Якщо ми вирішуватимемо це ж рівняння за формулою, отримаємо відповідь:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Взагалі, це недороблена відповідь.) Учень повинен знати, що arcsin 0,5 = π /6.Повноцінна відповідь буде:

х = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Тут виникає цікаве питання. Відповідь через х 1; х 2 (це правильна відповідь!) і через самотню х (і це правильна відповідь!) - одне й те саме, чи ні? Зараз дізнаємось.)

Підставляємо у відповідь з х 1 значення n =0; 1; 2; і т.д., вважаємо, отримуємо серію коренів:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 і так далі.

При такій же підстановці у відповідь х 2 , отримуємо:

х 2 = 5?/6; 17π/6; 29π/6 і так далі.

А тепер підставляємо значення n (0; 1; 2; 3; 4...) у загальну формулу для самотнього х . Тобто зводимо мінус один у нульовий ступінь, потім у першу, другу, і т.д. Ну і, зрозуміло, у другий доданок підставляємо 0; 1; 2 3; 4 і т.д. І рахуємо. Отримуємо серію:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 і так далі.

Ось все і видно.) Загальна формула видає нам такі самі результати,що й дві відповіді окремо. Тільки все одразу, по порядку. Не обдурили математики.)

Формули для вирішення тригонометричних рівнянь із тангенсом та котангенсом теж можна перевірити. Але не будемо.) Вони й так простенькі.

Я розписав всю цю підстановку та перевірку спеціально. Тут важливо зрозуміти одну просту річ: формули для розв'язання елементарних тригонометричних рівнянь є, лише короткий запис відповідей.Для цієї стислості довелося вставити плюс/мінус у рішення для косинуса та (-1) n у рішення для синуса.

Ці вставки ніяк не заважають завданням, де потрібно просто записати відповідь елементарного рівняння. Але якщо треба вирішувати нерівність, чи далі треба щось робити з відповіддю: відбирати коріння на інтервалі, перевіряти на ОДЗ тощо, ці вставочки можуть запросто вибити людину з колії.

І що робити? Так або розписати відповідь через дві серії, або вирішувати рівняння/нерівність по тригонометричному колу. Тоді зникають ці вставочки і життя стає легшим.

Можна підбити підсумки.

Для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь є готові формули відповідей. Чотири штуки. Вони хороші для миттєвого запису рішення рівняння. Наприклад, треба розв'язати рівняння:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Просто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Однією лівою: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Якщо ви, блищачи знаннями, миттєво пишете відповідь:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то ви блищаєте, це... того... з калюжі.) Правильна відповідь: рішень немає. Не розумієте чому? Прочитайте, що таке арккосинус. Крім того, якщо в правій частині вихідного рівняння стоять табличні значення синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 і т.п. - відповідь через арки буде недоробленою. Арки потрібно обов'язково перевести у радіани.

А якщо вам трапилася нерівність, типу

то відповідь у вигляді:

х πn, n ∈ Z

є рідкісна ахінея, так ...) Тут треба по тригонометричному колі вирішувати. Чим ми займемося у відповідній темі.

Для тих, хто героїчно дочитав до цих рядків. Я просто не можу не оцінити ваших титанічних зусиль. Вам бонус.)

Бонус:

При записі формул у тривожній бойовій обстановці, навіть загартовані навчанням ботаны часто плутаються, де πn, а де 2π n. Ось вам простий приймач. У всіхформулах варто πn. Крім єдиної формули з арккосинусом. Там стоїть 2πn. Двапіен. Ключове слово - два.У цій самій єдиній формулі стоять двазнак на початку. Плюс і мінус. І там і там - два.

Так що якщо ви написали двазнака перед арккосинусом, легше згадати, що в кінці буде двапіен. А ще навпаки. Пропустить людина знак ± , дістанеться кінця, напише правильно двапіен, та й схаменеться. Попереду двазнаку! Повернеться людина до початку, та помилку і виправить! Ось так.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Захарова Людмила Володимирівна
МБОУ «Середня загальноосвітня школа № 59» м. Барнаула
учитель математики [email protected]

№1 Найпростіші тригонометричні рівняння

Ціль: 1. Вивести формули рішень найпростіших тригонометричних рівнянь виду sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a;

2. Навчитися розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння за допомогою формул.

Обладнання: 1) Таблиці з графіками тригонометричних функцій у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx; 2) Таблиця значень зворотних тригонометричних функцій; 3) Зведена таблиця формул на вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

План уроку-лекції:

1 . Висновок формул коренів рівняння

а) sinx = a,

б) cosx = a,

в) tgx = a,

г) ctgx = а.

2 . Усна фронтальна робота із закріплення отриманих формул.

3 . Письмова робота щодо закріплення вивченого матеріалу

Хід уроку.

В алгебрі, геометрії, фізиці та інших предметах ми стикаємося з різноманітними завданнями, розв'язання яких пов'язане з розв'язуванням рівнянь. Ми вивчили властивості тригонометричних функцій, тому природно звернутися до рівнянь, у яких невідоме міститься під знаком функцій

Визначення: Рівняння виду sinx = a , cosx= a , tgx= a , ctgx= а називаються найпростішими тригонометричними рівняннями.

Дуже важливо навчитися вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння, тому що всі способи та прийоми розв'язання будь-яких тригонометричних рівнянь полягає у зведенні їх до найпростіших.

Почнемо з того, що виведемо формули, які активно працюють при розв'язанні тригонометричних рівнянь.

1.Рівняння виду sinx = a.

Розв'яжемо рівняння sinx = aграфічно. Для цього в одній системі координат побудуємо графіки функцій у = sinx і у = а.

1) Якщо а> 1 та а sinх= анемає рішень, оскільки пряма і синусоїда немає спільних точок.

2) Якщо -1а а перетне синусоїду нескінченно багато разів. Це означає, що рівняння sinx= aмає безліч рішень.

Оскільки період синуса дорівнює 2 , то для вирішення рівняння sinx= aдостатньо знайти всі рішення на будь-якому відрізку довжини 2.

Рішенням рівняння на [-/2; /2] за визначенням арксинусу х= arcsin aа на х=-arcsin a. Враховуючи періодичність функції у = sinx отримаємо такі вирази

х = -arcsin a+2n, n Z.

Обидві серії рішень можна об'єднати

Х = (-1) n arcsin a+n, nZ.

У наступних трьох випадках вважають за краще користуватися не загальною формулою, а більш простими співвідношеннями:

Якщо а=-1, то sin x =-1, х=-/2+2n

Якщо а=1, то sin x =1, x =/2+2n

Якщо а= 0 то sin x =0. x = n,

Приклад: Розв'язати рівняння sinx = 1/2.

Складемо формули рішень x=arcsin 1/2+ 2n

Х = arcsin a + 2n

Обчислимо значення arcsin1/2. Підставимо знайдене значення у формули рішень

х = 5/6+2 n

або за загальною формулою

Х = (-1) n arcsin 1/2+n,

Х = (-1) n / 6 + n,

2. Рівняння виду cosx= a.

Розв'яжемо рівняння cosx= aтакож графічно, побудувавши графіки функцій у = cosx і у = а.

1) Якщо а 1, то рівняння cosx= aнемає рішень, оскільки графіки немає спільних точок.

2) Якщо -1 a cosx= aмає безліч рішень.

Знайдемо всі рішення cosx= aна проміжку довжини 2 оскільки період косинуса дорівнює 2.

На рішенням рівняння визначення арккосинуса буде х= arcos a. З огляду на парність функції косинус розв'язуванням рівняння на [-;0] буде х=-arcos a.

Таким чином рішення рівняння cosx= aх= + arcos a+ 2 n,

У трьох випадках будемо користуватися не загальною формулою, а більш простими стосунками:

Якщо а=-1, то cosx =-1, x =-/2+2n

Якщо а=1, то cosx =1, x = 2n,

Якщо а=0 то cosx=0. x =/2+n

Приклад: Розв'язати рівняння cos x = 1/2,

Складемо формули рішень x=arccos 1/2+ 2n

Обчислимо значення arccos1/2.

Підставимо знайдене значення у формули рішень

X= + /3+ 2n, nZ.

Рівняння виду tgx= a.

Так як період тангенсу дорівнює , то для того щоб знайти всі рішення рівняння tgx= aдостатньо знайти всі рішення на будь-якому проміжку довжини. За визначенням арктангенса рішення рівняння на (-/2; /2) є arctg a. Враховуючи період функції, всі рішення рівняння можна записати у вигляді

х = arctg a+ n, nZ.

Приклад:Розв'яжіть рівняння tg x = 3/3

Складемо формулу для вирішення х = arctg 3/3+n, nZ.

Обчислимо значення арктангенсу arctg 3/3= /6, тоді

Х = / 6 + n, nZ.

Висновок формули для вирішення рівняння з tgx= aможна надати учням.

приклад.

Розв'язати рівняння ctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n, nZ,

Х = / 4 + n, nZ.

В результаті вивченого матеріалу учні можуть заповнити таблицю:

"Рішення тригонометричних рівнянь".

рівняння

Вправи закріплення вивченого матеріалу.

(Усно) Які із записаних рівнянь можна вирішити за формулами:

а) х = (-1) n arcsin a+n, nZ;

б) х = + arcos a+ 2 n?

cos x = 2/2, tg x = 1, sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x = 2/3, sin x = 3, cos x = 2 .

Які з перелічених рівнянь немає рішень?

Розв'яжіть рівняння:

а) sin x = 0; д) sin x = 2/2; з) sin x = 2;

б) cos x = 2/2; е) cos x = -1/2; і) cos x = 1;

г) tg x = 3; ж) ctg x = -1; к) tg x = 1/3.

3. Розв'яжіть рівняння:

а) sin 3x = 0; д) 2cos x = 1;

б) cos x/2 = 1/2; е) 3 tg 3x = 1;

г) sin x/4 = 1; ж) 2cos(2x+/5) = 3.

При розв'язанні даних рівнянь корисно записати правила для вирішення рівнянь виду sin в x = a, і з sin в x = a, | a|1.

Sin в x = a, |a|1.

вх = (-1) n arcsin a+n, nZ,

х = (-1) n 1/ в arcsin a+n/ в, nZ.

Підбиття підсумків заняття:

Сьогодні на занятті ми вивели формули для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Розібрали приклади розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

Заповнили таблицю, яку використовуватимемо вирішення рівнянь.

Домашнє завдання.

№2 Розв'язання тригонометричних рівнянь

Ціль: Вивчити методи розв'язання тригонометричних рівнянь: 1) приведених до квадратних; 2) що приводяться до однорідних тригонометричних рівнянь.

Розвивати в учнів спостережливість при застосуванні різних способів розв'язання тригонометричних рівнянь.

Фронтальна робота з учнями.

Назвіть формули коренів тригонометричних рівнянь cos x= a, sin x= a, tgx = a, ctg x = a.

Розв'яжіть рівняння (усно):

cos x = -1, sin x = 0, tgx = 0, ctg x = 1, cos x = 1,5, sin x = 0.

Знайдіть помилки та подумайте про причини помилок.

cos x = 1/2, х = + /6+2k, k Z.

sin x = 3/2, x = / 3 + k, kZ.

tgx = / 4, x = 1 + k, kZ.

2. Вивчення нового матеріалу.

На даному занятті будуть розглянуті деякі методи розв'язання тригонометричних рівнянь, що найчастіше зустрічаються.

Тригонометричні рівняння, що наводяться до квадратних.

До цього класу можуть бути віднесені рівняння, до яких входять одна функція (синус або косинус) або дві функції одного аргументу, але одна з них за допомогою основних тригонометричних тотожностей зводиться до другої.

Наприклад, якщо сох входить у рівняння в парних ступенях, то замінюємо його на 1- sin 2 x, якщо sin 2 x, то його замінюємо на 1-cos 2 x.

приклад.

Вирішити рівняння: 8 sin 2 x - 6sin x -5 = 0.

Рішення: Позначимо sin x = t, тоді 8t 2 - 6t - 5 = 0,

D = 196,

T1 = -1/2, t2 = -5/4.

Виконаємо зворотну заміну і розв'яжемо наступні рівняння.

Х = (-1) до +1 / 6 + k, kZ.

Оскільки -5/4>1, то рівняння немає коренів.

Відповідь: х = (-1) до +1 / 6 + k, kZ.

Розв'язання вправ на закріплення.

Розв'язати рівняння:

1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x + 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1 = 0.

Однорідні тригонометричні рівняння.

Визначення: 1) Рівняння видуa sinx + b cosx=0, (а=0, =0)називається однорідним рівнянням першого ступеня щодо sin x та cos x.

Вирішується дане рівняння за допомогою поділу обох його частин на cosx 0. В результаті виходить рівняння atgx + b = 0.

2) Рівняння видуa sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x =0 називається однорідним рівнянням другого ступеня, де a, b, c будь-які числа.

Якщо а = 0, то рівняння вирішуємо поділом обох частин на cos 2 x 0. В результаті отримуємо рівняння atg 2 x + btgx + с = 0.

Примітка:Рівняння видуa sin mx + b cos mx=0 або

a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx =0 також є однорідними. Для їх вирішення обидві частини рівняння ділять на cos mx=0 або cos 2 mx=0

3) До однорідних рівнянь можуть бути зведені різні рівняння, які спочатку не є такими. Наприклад,sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = d, і a sinx + b cosx= d. Для вирішення цих рівнянь необхідно помножити праву частину на «тригонометричну одиницю»тобто. на sin 2 x + cos 2 xта виконати математичні перетворення.

Вправи на закріплення вивченого матеріалу:

1) 2sin x-3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x - sin2x = 3;

2) sin 2x+cos2x=0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx = 2 cos 2 x;

3) sin x + 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x-sinx cosx = 2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

3.Підведення підсумків уроку. Домашнє завдання.

На цьому занятті залежно від підготовленості групи можна розглянути рішення рівнянь виду a sin mx +b cos mx=с, де а, b,с не дорівнюють нулю одночасно.

Вправи на закріплення:

1. 3sin x + cos x = 2;

2. 3sin 2x + cos 2x = 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12 sin x +5 cos x +13 = 0.

№ 3 Розв'язання тригонометричних рівнянь

Ціль: 1) Вивчити метод розв'язання тригонометричних рівнянь розкладанням на множники; навчитися розв'язувати тригонометричні рівняння з використанням різних тригонометричних формул;

2) Проконтролювати: знання учнями формул на вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь; вміння розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

План заняття:

Перевірка домашнього завдання.

Математичний диктант.

Вивчення нового матеріалу.

Самостійна робота.

Підбиття підсумків заняття. Домашнє завдання.

Хід заняття:

Перевірка домашнього завдання (Рішення тригонометричних рівнянь коротко записані на дошці).

Математичний диктант.

В 1

1. Які рівняння називаються найпростішими тригонометричними рівняннями?

2. Як називається рівняння видуa sinx + b cosx=0? Вкажіть спосіб його вирішення.

3.Запишіть формулу коренів рівняння tgx = a(ctg x= a).

4. Запишіть формули коренів рівнянь виду cosx= a, де а=1, а=0, а=-1.

5. Запишіть загальну формулу коренів рівняння sin x= a, | a|

6. Як вирішуються рівняння видуa cosx= b, | b|

В 2

1. Запишіть формули коренів рівнянь cosx= a,| a|

2. Запишіть загальну формулу коренів рівняння

= a, | a|

3. Як називаються рівняння виду sin x= a, tgx = a, sin x= a?

4.Запишіть формули коренів рівняння sin x= a, якщо а=1, а=0, а=-1.

5.Як вирішуються рівняння виду sin a x= b, | b|

6. Які рівняння називаються однорідними рівняннями другого ступеня? Як вони вирішуються?

Вивчення нового матеріалу.

Метод розкладання на множники.

Одним із найбільш уживаних методів розв'язання тригонометричних рівнянь є метод розкладання на множники.

Якщо рівняння f(x) =0 можна подати у вигляді f 1 (x) f 2 (x) = 0, то завдання зводиться до розв'язання двох рівнянь f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0.

(З учнями корисно згадати правило « Добуток множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю, а інші при цьому мають сенс»)

Закріплення вивченого матеріалу через вирішення рівнянь різної складності.

(sin x-1/2)(sin x+1)=0; 2) (cosx-2/2) (sin x + 2/2) = 0; (самостійно.)

3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) sin 2 x- sin x = 0;

5) sin 2x - cosx = 0; 6) 4 cos 2 x -1 = 0; (двома способами)

7) cosx+cos3x=0; 8) sin 3x = sin 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0(самостійно)

13) 2 cos 2 x - sin (x-/2) + tgx tg (x +/2) = 0.

Самостійна робота.

Варіант-1 Варіант-2

1) 6 sin 2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;

2) sin 2x - cos2x = 0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5 sin 2 x + sin x cosx -2 cos 2 х = 2; 3) 4sin 2 x-sin x cosx +7cos 2 х = 5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) sin x-sin 2x + sin 3x-sin 4x = 0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.

8. Підбиття підсумків уроку. Домашнє завдання.