Lahenduste näideteks on negatiivse võimsusega võrrandid. Jõuavaldised (võimetega väljendid) ja nende teisendamine. Numbri tõstmine võimule

Negatiivne astendamine on üks matemaatika põhielemente, millega sageli kokku puututakse algebraliste ülesannete lahendamisel. Allpool on üksikasjalik juhend.

Kuidas tõsta negatiivsele võimule - teooria

Kui oleme tavalise võimsusega arv, korrutame selle väärtuse mitu korda. Näiteks 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Negatiivse murdosa puhul on vastupidi. Üldvaade vastavalt valemile on järgmine: a -n = 1 / a n. Seega, arvu tõstmiseks negatiivse astmeni, peate ühiku jagama antud arvuga, kuid juba positiivseks.

Kuidas tõsta negatiivsele astmele - näiteid tavalistel numbritel

Ülaltoodud reeglit silmas pidades lahendame mõned näited.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastus: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastus on -4 -2 = 1/16.

Aga miks on esimese ja teise näite vastus sama? Fakt on see, et kui negatiivne arv tõstetakse ühtlaseks (2, 4, 6 jne), muutub märk positiivseks. Kui kraad oleks ühtlane, siis miinus jäi:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - numbrid 0 -st 1 -ni

Tuletame meelde, et kui tõstate arvu vahemikus 0 kuni 1 positiivseks, väheneb väärtus võimsuse suurenedes. Näiteks 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Näide 3: arvutage 0,5 -2
Lahendus: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Vastus: 0,5 -2 = 4

Analüüs (toimingute jada):

• Teisendage kümnendarv 0,5 murdosaks 1/2. Nii on lihtsam.
  Tõstke 1/2 negatiivsele võimsusele. 1 / (2) -2. Jagage 1 1/(2) 2 -ga, saame 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Näide 4: arvutage 0,5 -3
Lahendus: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Näide 5: arvutage -0,5 -3
Lahendus: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/( -1/2) 3 = 1/( -1/8) = -8
Vastus: -0,5 -3 = -8

Teeme neljanda ja viienda näite põhjal mitmeid järeldusi:

• Positiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 4), mis on tõstetud negatiivseks, ei ole võimsuse ühtlus ega veidrus oluline, avaldise väärtus on positiivne. Pealegi, mida suurem aste, seda suurem väärtus.
• Negatiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 5), mis on tõstetud negatiivseks, ei ole võimsuse ühtlus ega veidrus oluline, avaldise väärtus on negatiivne. Veelgi enam, mida kõrgem on kraad, seda madalam on väärtus.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - võimsus murdarvuna

Seda tüüpi avaldistel on järgmine vorm: a -m / n, kus a on tavaline arv, m on astme lugeja, n on astme nimetaja.

Vaatleme näidet:
Arvutage: 8 -1/3

Lahendus (toimingute jada):

• Pidage meeles reeglit arvu tõstmiseks negatiivseks. Saame: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Pange tähele, et nimetaja on 8 kui murdosa. Murdvõimsuse arvutamise üldvaade on järgmine: a m / n = n √8 m.
• Seega 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Saame kuubiku juure kaheksast, mis on 2. Selle põhjal 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Vastus: 8 -1/3 = 2

Väljendid, väljendite teisendamine

Jõu avaldised (võimetega väljendid) ja nende teisendamine

Selles artiklis räägime võimsusväljendite teisendamisest. Esiteks keskendume teisendustele, mis viiakse läbi mis tahes avaldistega, sealhulgas eksponentsiaalsete avaldistega, nagu sulgude laiendamine, sarnaste terminite valimine. Ja siis analüüsime täpselt teisendusi, mis on omased võimetega avaldistele: töötamine aluse ja astendajaga, kraadide omaduste kasutamine jne.

Lehe navigeerimine.

Mis on eksponentsiaalsed väljendid?

Mõistet "eksponentsiaalsed väljendid" praktiliselt ei leidu matemaatika kooliõpikutes, kuid see esineb üsna sageli probleemide kogudes, eriti nendes, mis on ette nähtud näiteks eksamiks ja eksamiks valmistumiseks. Pärast ülesannete analüüsimist, mille käigus peate eksponentsiaalsete avaldistega toiminguid tegema, selgub, et väljendeid mõistetakse väljenditena, mis sisaldavad nende kirjetes kraade. Seetõttu võite enda jaoks aktsepteerida järgmist määratlust:

Määratlus.

Jõu väljendid Kas väljendid sisaldavad kraade.

Las me anname eksponentsiaalsete väljendite näited... Lisaks esindame neid vastavalt sellele, kuidas vaadete kujunemine toimub loodusliku näitajaga kraadist reaalse näitajaga kraadini.

Nagu teate, tutvutakse kõigepealt loodusliku astendajaga arvu võimsusega, praeguses etapis esimesed lihtsamad võimsusväljendid tüüpi 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 jne.

Veidi hiljem uuritakse täisarvulise astendajaga arvu võimsust, mis toob kaasa negatiivsete täisarvuvõimsustega võimsusväljendite ilmumise, näiteks: −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

Keskkoolis naasevad nad jälle kraadide juurde. Seal tutvustatakse ratsionaalse eksponendiga kraadi, mis toob kaasa vastavate võimsusväljendite ilmumise: , , jne. Lõpuks käsitletakse irratsionaalsete näitajate ja neid sisaldavate väljenditega kraade:,.

Asi ei piirdu loetletud võimsusväljenditega: muutuja tungib astendisse veelgi ja näiteks sellised avaldised 2 x 2 +1 või ... Ja pärast kohtumist hakkavad ilmnema võimete ja logaritmidega avaldised, näiteks x 2 · lgx –5 · x lgx.

Niisiis, mõtlesime välja küsimuse, mis on eksponentsiaalsed väljendid. Järgmisena õpime, kuidas neid teisendada.

Võimsusväljendite teisenduste põhitüübid

Eksponentsiaalsete avaldistega saate sooritada mis tahes põhilisi identseid avaldiste teisendusi. Näiteks saate sulgusid laiendada, numbrilisi avaldisi nende väärtustega asendada, pakkuda sarnaseid termineid jne. Loomulikult on sel juhul vaja toimingute tegemiseks aktsepteeritud protseduuri järgida. Siin on mõned näidised.

Näide.

Hinnake eksponentsiaalse avaldise 2 3 · (4 2 −12) väärtust.

Lahendus.

Vastavalt toimingute tegemise järjekorrale teostame esmalt sulgudes toiminguid. Seal esiteks asendame astme 4 2 selle väärtusega 16 (vaata vajadusel) ja teiseks arvutame erinevuse 16−12 = 4. Meil on 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Saadud avaldises asendage võimsus 2 3 selle väärtusega 8, mille järel arvutame korrutuse 8 4 = 32. See on soovitud väärtus.

Niisiis, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Vastus:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Näide.

Lihtsustage võimsusväljendeid 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Lahendus.

Ilmselgelt sisaldab see väljend sarnaseid termineid 3 · a · 4 · b −7 ja 2 · a · 4 · b −7 ning me võime need tuua :.

Vastus:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Näide.

Kujutage ette väljendit, millel on toode.

Lahendus.

Ülesandega toimetulemiseks on numbri 9 esitamine võimsuse 3 2 kujul ja sellele järgnev lühendatud korrutamise valemi kasutamine ruutude erinevus:

Vastus:

Võimuavaldustele on omane ka mitmeid identseid teisendusi. Siis analüüsime neid.

Töö baasi ja astendajaga

On astmeid, mille alus ja / või astendaja pole pelgalt numbrid või muutujad, vaid mõned väljendid. Näitena esitame kirjed (2 + 0,37) 5-3,7 ja (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Selliste avaldistega töötamisel saate asendada nii astmel põhineva avaldise kui ka eksponendi avaldise identselt võrdse avaldisega selle muutujate ODZ -il. Teisisõnu, vastavalt meile teadaolevatele reeglitele saame kraadi baasi eraldi muuta ja eksponendi eraldi. On selge, et selle ümberkujundamise tulemusel saadakse väljend, mis on identselt võrdne algupärasega.

Sellised muutused võimaldavad meil lihtsustada väljendusi volitustega või saavutada muid vajalikke eesmärke. Näiteks ülaltoodud eksponentsiaalse avaldise (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 abil saate teha toiminguid aluses ja astmes olevate numbritega, mis võimaldab teil minna võimsusele 4.1 1.3. Ja pärast sulgude laiendamist ja sarnaste terminite vähendamist astme (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1) baasil saame lihtsama vormi a 2

Võimsusomaduste kasutamine

Üks peamisi vahendeid väljendite muutmiseks volitustega on võrdsus. Tuletame meelde peamisi. Mis tahes positiivsete arvude a ja b ning suvaliste reaalarvude r ja s korral on järgmised võimsusomadused tõesed:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Pange tähele, et naturaalsete, täisarvuliste ja ka positiivsete eksponentide puhul ei pruugi numbrite a ja b piirangud olla nii ranged. Näiteks loodusarvude m ja n puhul kehtib võrdsus a m a n = a m + n mitte ainult positiivse a, vaid ka negatiivse ja a = 0 korral.

Koolis on võimuväljendite teisendamisel põhitähelepanu suunatud just võimele valida sobiv omadus ja seda õigesti rakendada. Sellisel juhul on kraadide alused tavaliselt positiivsed, mis võimaldab piiranguteta kasutada kraadide omadusi. Sama kehtib muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamise kohta kraadide baasides - muutujate lubatud väärtuste vahemik on tavaliselt selline, et sellel põhinevad alused võtavad ainult positiivseid väärtusi, mis võimaldab vabalt kasutada kraadide omadusi. Üldiselt peate endalt pidevalt küsima, kas sel juhul on võimalik rakendada mis tahes kraadide omadust, sest omaduste ebatäpne kasutamine võib põhjustada ODV kitsendamist ja muid probleeme. Neid punkte käsitletakse üksikasjalikult ja näidetega artiklis avaldiste teisendamise kohta kraadi omaduste abil. Siin piirdume mõne lihtsa näitega.

Näide.

Kujutage avaldist a 2,5 · (a 2) −3: a –5,5 kui võimsust alusega a.

Lahendus.

Esiteks teisendame teise teguri (a 2) −3 omaduse abil suurendada võimsust võimsuseks: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Algne eksponentsiaalne avaldis on siis kujul 2,5 · a –6: a –5,5. Ilmselgelt jääb üle kasutada sama alusega võimude korrutamise ja jagamise omadusi
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a −3,5 - ( - 5,5) = a 2.

Vastus:

a 2,5 (a 2) −3: a –5,5 = a 2.

Eksponentsiavaldiste teisendamisel kasutatakse võimsusomadusi nii vasakult paremale kui paremalt vasakule.

Näide.

Leidke eksponentsiaalse avaldise väärtus.

Lahendus.

Võrdsus (a b) r = a r b r, rakendatuna paremalt vasakule, võimaldab teil minna esialgselt väljendilt vormi korrutisele ja edasi. Ja kraade korrutades samade alustega, liidavad näitajad kokku: .

Algset väljendit oli võimalik teisendada ka muul viisil:

Vastus:

.

Näide.

Arvestades eksponentsiavaldist a 1,5 −a 0,5 −6, sisestage uus muutuja t = a 0,5.

Lahendus.

Kraadi a 1,5 saab esitada kui 0,5 · 3 ja edasi, muutes selle kraadi omaduselt (ar) s = ar · s, rakendatuna paremalt vasakule, muutke see vormiks (a 0,5) 3 . Seega a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Nüüd on lihtne lisada uus muutuja t = a 0,5, saame t 3 −t - 6.

Vastus:

t 3 −t - 6.

Mõõtmeid sisaldavate murdude teisendamine

Võimsusavaldised võivad sisaldada võimudega murde või olla sellised murded. Mis tahes murdudele omane murdarvude põhiteisendus on selliste murdude suhtes täielikult kohaldatav. See tähendab, et volitusi sisaldavad murdarvud saab tühistada, taandada uueks nimetajaks, töötada eraldi oma lugejaga ja eraldi nimetajaga jne. Räägitud sõnade illustreerimiseks kaaluge mitme näite lahendusi.

Näide.

Lihtsustage eksponentsiaalset avaldist .

Lahendus.

See eksponentsiaalne avaldis on murdosa. Töötame selle lugeja ja nimetajaga. Lugejas avame sulgud ja lihtsustame pärast seda saadud avaldist, kasutades võimude omadusi, ja nimetajas anname sarnased terminid:

Ja muudame ka nimetaja märki, asetades murdosa ette miinuse: .

Vastus:

.

Mõõtmeid sisaldavate murdude taandamine uueks nimetajaks toimub sarnaselt ratsionaalsete murdude taandamisega uuele nimetajale. Sel juhul leitakse ka täiendav tegur ning murdosa lugeja ja nimetaja korrutatakse sellega. Selle toimingu tegemisel tasub meeles pidada, et uue nimetaja vähendamine võib viia ODV kitsenemiseni. Selle vältimiseks on vaja, et lisategur ei kaoks algse avaldise ODZ muutujate muutujate väärtuste puhul.

Näide.

Taandage murded uueks nimetajaks: a) nimetajaks a, b) nimetaja juurde.

Lahendus.

a) Sel juhul on üsna lihtne aru saada, milline lisategur aitab soovitud tulemust saavutada. See on tegur 0,3, kuna 0,7 · 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Pange tähele, et muutuja a lubatud väärtuste vahemikus (see on kõigi positiivsete reaalarvude kogum) kraad a 0,3 ei kao, seetõttu on meil õigus korrutada antud murru lugeja ja nimetaja see täiendav tegur:

b) Nimetajat lähemalt vaadates leiate selle

ja korrutades selle avaldise arvuga, saame kuubikute summa ja. Ja see on uus nimetaja, milleni peame vähendama algse murdosa.

Nii leidsime täiendava teguri. Muutujate x ja y kehtivate väärtuste vahemikus avaldis ei kao, seetõttu saame murru lugeja ja nimetaja korrutada sellega:

Vastus:

a) , b) .

Ka võimeid sisaldavate murdude lühend ei ole midagi uut: lugeja ja nimetaja on esitatud mitmete teguritena ning samad lugeja ja nimetaja tegurid tühistatakse.

Näide.

Vähendage murdosa: a) , b).

Lahendus.

a) Esiteks saab lugejat ja nimetajat vähendada arvudega 30 ja 45, mis on 15. Samuti saab ilmselgelt vähendada x 0,5 +1 ja võrra ... Siin on see, mis meil on:

b) Sel juhul ei ole lugeja ja nimetaja samad tegurid kohe nähtavad. Nende saamiseks peate tegema esialgseid teisendusi. Sel juhul koosnevad need nimetaja tegurite jagamisest vastavalt ruutude erinevuse valemile:

Vastus:

a)

b) .

Murdude taandamist uueks nimetajaks ja murdude vähendamist kasutatakse peamiselt murdudega toimingute tegemiseks. Toimingud viiakse läbi vastavalt teadaolevatele reeglitele. Murdude liitmisel (lahutamisel) viiakse need ühisnimetajasse, mille järel liidetakse (lahutatakse) lugejad ja nimetaja jääb samaks. Tulemuseks on murd, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nimetajate korrutis. Murruga jagamine on korrutamine murru pöördvõrdega.

Näide.

Järgige samme .

Lahendus.

Esiteks lahutame sulgudes olevad murrud. Selleks viime nad ühisnimetaja juurde, mis on , mille järel lahutame lugejad:

Nüüd korrutame murrud:

Ilmselgelt on võimalik tühistada võimsusega x 1/2, mille järel meil on .

Samuti saate nimetaja eksponentsiaalset avaldist lihtsustada, kasutades ruutude erinevuse valemit: .

Vastus:

Näide.

Lihtsustage eksponentsiaalset avaldist .

Lahendus.

Ilmselt saab selle murdosa tühistada (x 2,7 +1) 2, see annab murdosa ... On selge, et x -kraadidega tuleb veel midagi ette võtta. Selleks muudame saadud fraktsiooni tooteks. See annab meile võimaluse kasutada kraadi jagamise omadust samade alustega: ... Ja protsessi lõpus liigume viimasest tootest murdosa juurde.

Vastus:

.

Ja lisame veel, et negatiivsete astendajatega kordajaid on võimalik ja paljudel juhtudel soovitav üle kanda lugejast nimetajasse või nimetajast lugejasse, muutes astendaja märki. Sellised muutused lihtsustavad sageli edasisi toiminguid. Näiteks võib eksponentsiaalse avaldise asendada.

Juurte ja volitustega väljendite teisendamine

Sageli on väljendites, kus on vaja mõningaid teisendusi, ja murdosa astendajatega ka juured. Sellise väljenduse muutmiseks soovitud vormiks piisab enamikul juhtudel ainult juurte või võimude juurde minemisest. Aga kuna kraadidega on mugavam töötada, lähevad need tavaliselt juurtest kraadidesse. Siiski on soovitatav selline üleminek läbi viia, kui algse avaldise muutujate ODV võimaldab juured asendada volitustega, ilma et oleks vaja viidata moodulile või jagada ODV mitmeks intervalliks (analüüsisime seda üksikasjalikult artikkel üleminek juurtest volitustele ja tagasi. tutvustatakse irratsionaalse näitajaga kraadi, mis võimaldab rääkida suvalise reaalse näitajaga kraadist. eksponentsiaalne funktsioon, mis määratakse analüütiliselt kraadiga, mille aluseks on number, ja indikaatoris - muutuja. Seega seisame silmitsi eksponentsiaalsete avaldistega, mis sisaldavad astme baasil numbreid, ja eksponendis - muutujatega avaldisi ning loomulikult on vaja selliseid väljendeid teisendada.

Olgu öeldud, et seda tüüpi avaldiste teisendamine tuleb tavaliselt lahendada eksponentsiaalsed võrrandid ja eksponentsiaalne ebavõrdsus ja need teisendused on üsna lihtsad. Enamikul juhtudel põhinevad need kraadi omadustel ja on peamiselt suunatud uue muutuja kasutuselevõtmisele tulevikus. Võime neid võrrandiga näidata 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Esiteks asendatakse kraadid, milles leitakse muutuja (või muutujaga avaldiste) ja arvu summa, toodetega. See kehtib vasakul oleva väljendi esimese ja viimase termini kohta:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Lisaks jagatakse võrdsuse mõlemad pooled avaldisega 7 2 x, mis võtab esialgse võrrandi korral muutuja x ODZ -l ainult positiivsed väärtused (see on standardne meetod seda tüüpi võrrandite lahendamiseks, me ei ole sellest nüüd rääkides, seega keskenduge volitustega väljendite hilisematele ümberkujundamistele):

Nüüd on tühistatud võimsusega fraktsioonid, mis annab .

Lõpuks asendatakse samade eksponentidega kraadide suhe suhete kraadidega, mis viib võrrandini mis on samaväärne ... Teostatud teisendused võimaldavad meil tutvustada uut muutujat, mis vähendab algse eksponentsiaalvõrrandi lahenduse ruutvõrrandi lahendiks

Õppetund ja ettekanne teemal: "Negatiivse näitajaga kraad. Probleemide lahendamise mõiste ja näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammi poolt kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoodis Integral 8. klassile
Õpiku käsiraamat Muravin G.K. Käsiraamat õpikule Alimov Sh.A.

Kraadi määramine negatiivse astendajaga

Me teame hästi, et iga nullkraadi arv on võrdne ühega. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Tekib küsimus, mis saab siis, kui number tõstetakse negatiivsele astmele? Näiteks millega võrdub number $ 2 ^ (- 2) $?
Esimesed matemaatikud, kes selle küsimuse esitasid, otsustasid, et ratta leiutamine pole seda väärt ja hea, et kõik kraadide omadused jäid samaks. See tähendab, et sama alusega kraade korrutades liidetakse astendajad.
Vaatleme seda juhtumit: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Saime teada, et selliste numbrite korrutis peaks andma ühe. Toote ühik saadakse vastastikuste arvude korrutamisega, see tähendab $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

See arutluskäik viis järgmise määratluseni.
Määratlus. Kui $ n $ on loomulik arv ja $ a ≠ 0 $, siis kehtib võrdsus: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Oluline identiteet, mida sageli kasutatakse: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Eelkõige on $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

Näited lahendustest

Lahendus.
Vaatleme iga terminit eraldi.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) dollarit.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Jääb veel liita ja lahutada: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) dollarit.
Vastus: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Näide 2.
Esitage antud arv algvõimena $ \ frac (1) (729) $.

Lahendus.
Ilmselgelt on $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Kuid 729 ei ole algarv, mis lõpeb 9. Võib arvata, et see arv on kolm. Jagame 729 järjestikku 3 -ga.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 dollarit;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Tehtud on kuus toimingut, mis tähendab: $ 729 = 3 ^ 6 $.
Meie ülesande jaoks:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Vastus: $ 3 ^ (- 6) $.

Näide 3. Esitage avaldis võimsusena: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Lahendus. Esimene toiming tehakse alati sulgudes, seejärel korrutamine $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = a ^ (-4- (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
Vastus: $ a $.

Näide 4. Tõestage identiteet:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Lahendus.
Vasakul vaatleme iga sulgudes olevat tegurit eraldi.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x) ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^) 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Liigume edasi murdosa juurde, millega jagame.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Teeme jagamise.
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
Saime õige identiteedi, mida oli vaja tõestada.

Tunni lõpus kirjutame veelkord üles võimudega tegutsemise reeglid, siin on astendaja täisarv.
$ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Iseseisva lahenduse ülesanded

Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad... Siin anname arvu astme määratlused, kaaludes üksikasjalikult kõiki võimalikke astendajaid, alustades naturaalsest astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju kraadinäiteid, mis hõlmavad kõiki tekkivaid peensusi.

Lehe navigeerimine.

Kraad loodusliku astendajaga, arvuruut, arvukuup

Alustame sellest. Tulevikku vaadates ütleme, et loodusliku astendajaga arvu a astme definitsioon on antud a jaoks, mida me nimetame baaskraad ja n, mida me nimetame astendaja... Samuti märgime, et loodusliku astendajaga kraad määratakse toote kaudu, nii et allpool oleva materjali mõistmiseks peab teil olema ettekujutus numbrite korrutamisest.

Määratlus.

Arvu a võimsus naturaalse astendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a -ga, see tähendab ,.
Eelkõige on astendajaga 1 arvu a võimsus number a ise, see tähendab a 1 = a.

Kohe tuleks öelda kraadide lugemise reeglite kohta. Universaalne viis kirje a n lugemiseks on järgmine: "a n -i võimsuseni". Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: "a n-ndasse astmesse" ja "arvu a n-nda võimsus". Võtame näiteks võimsuse 8 12, mis on „kaheksa kaheteistkümne võimule” või „kaheksa kaheteistkümnendale võimule” või „kaheteistkümnes võim kaheksale”.

Arvu teisel astmel ja ka numbri kolmandal astmel on oma nimed. Numbri teist võimsust nimetatakse numbri ruudu järgi näiteks 7 2 on "seitse ruutu" või "numbri seitsme ruut". Numbri kolmandat astet nimetatakse kuubiku numbrid näiteks 5 3 võib lugeda kui "kuup viit" või öelda "kuup number 5".

On aeg juhtida näited kraadidest loodusnäitajatega... Alustame võimsusega 5 7, siin 5 on võimsuse alus ja 7 on astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on astendaja (4.32) 9.

Pange tähele, et viimases näites on sulgudes kirjutatud võimsuse 4.32 alus: segaduse vältimiseks paneme sulgudesse kõik astmed, mis erinevad looduslikest arvudest. Näitena toome järgmised kraadid loodusnäitajatega , nende alused ei ole looduslikud numbrid, seega on need kirjutatud sulgudes. Selle hetke täieliku selguse huvides näitame erinevust vormi (−2) 3 ja −2 3 kirjete vahel. Avaldis (−2) 3 on −2 võimsus, mille loomulise astendaja on 3, ja avaldis −2 3 (seda saab kirjutada kui - (2 3)) vastab arvule, võimsuse väärtusele 2 3 .

Pange tähele, et on olemas märge arvu a astme kohta astendajaga n kujul a ^ n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega looduslik arv, võetakse astendaja sulgudes. Näiteks 4 ^ 9 on veel üks märge 4 9 võimsuse kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamiseks sümboli " ^" abil: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Edaspidi kasutame põhiliselt vormi a n astme märget.

Üks ülesannetest, mis on vastupidine loodusliku astendajaga astendamisele, on kraadialuse leidmine kraadi teadaoleva väärtuse ja teadaoleva astendaja põhjal. See ülesanne viib.

On teada, et ratsionaalsete arvude kogum koosneb täisarvudest ja murdarvudest ning iga murdarvu saab esitada positiivse või negatiivse hariliku murrana. Määrasime kraadi täisarvulise astendajaga eelmises lõigus, seetõttu peate astme mõiste ratsionaalse astendajaga lõpuleviimiseks andma numbri a astme tähenduse murdosa astendajaga m / n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.

Kaaluge kraadi murdosa astendajaga. Et kraad -aste omadus kehtiks, peab võrdsus olema täidetud ... Kui me arvestame saadud võrdsust ja seda, kuidas me selle määrasime, siis on loogiline aktsepteerida, eeldusel, et antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas.

Seda on lihtne kontrollida täisastmelise astendajaga kraadi kõigi omaduste puhul (seda tehakse jaotises ratsionaalse astendajaga kraadi omaduste kohta).

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist. väljund: kui antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas, siis murdosa astendajaga m / n arvu a võimsust nimetatakse a n -ks juureks m -i astmena.

See väide viib meid murdosa astendajaga kraadi määramisele väga lähedale. Jääb vaid kirjeldada, millistel m, n ja a väljenditel on mõtet. Sõltuvalt m, n ja a piirangutest on kaks peamist lähenemisviisi.

Lihtsaim viis on a -d piirata, eeldades positiivse m korral a≥0 ja negatiivse m korral a> 0 (kuna m≤0 puhul pole 0 m kraadi määratletud). Siis saame murdosa astendaja järgmise määratluse.

Määratlus.

Murtosa astendajaga m / n positiivse arvu a võimsus, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n -ndaks juureks, mille suurus on m, st.

Murdvõimsus null määratakse samuti ainult tingimusel, et näitaja peab olema positiivne.

Määratlus.

Võimsus null positiivse murdosaga m / n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, defineeritakse kui .
Kui astet ei määrata, see tähendab, et murdosa negatiivse astendajaga arvu null aste pole mõttekas.

Tuleb märkida, et sellise murdosa astendajaga astme määratluse juures on üks nüanss: mõne negatiivse a ja mõne m ja n puhul on väljend mõttekas ning me loobusime nendest juhtumitest, sisestades tingimuse a≥0. Näiteks on mõttekas kirjutada või, ja ülaltoodud määratlus sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosaga pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.

Teine lähenemisviis eksponendi määramiseks murdosa astendajaga m / n on juure paaritu ja paaris eksponendi eraldi käsitlemine. Selline lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a astet, mille näitaja on, loetakse arvu a võimsuseks, mille näitaja on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitatakse allpool). See tähendab, et kui m / n on taandamatu murd, siis mis tahes loomuliku arvu k korral asendatakse aste esialgu väärtusega.

Isegi n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas iga mitte-negatiivse a puhul (negatiivse arvu paarisjuur ei ole mõttekas), negatiivse m korral peab arv a siiski olema null (vastasel juhul jagatakse nulliga ). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla ükskõik milline (paaritu astme juur on määratletud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral arv a peab olema null (nii, et nulliga ei jagataks) .

Ülaltoodud arutluskäik viib meid sellise astmemääratluseni murdosa astendajaga.

Määratlus.

Olgu m / n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga tühistatava murdosa puhul asendatakse astendaja tähega. Taastamatu murdosa astendaja m / n arvu võimsus on mõeldud



Selgitame, miks redutseeritava murdosaeksponendiga kraad asendatakse varem taandamatu astendajaga kraadiga. Kui me määratleksime kraadi lihtsalt ja ei teeks reservatsiooni fraktsiooni m/n taandamatuse kohta, siis seisaksime silmitsi sarnaste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, peaks võrdsus kehtima , aga , a.

Ühes eelmises artiklis me juba mainisime arvu astet. Täna proovime orienteeruda selle tähenduse leidmise protsessis. Teaduslikult öeldes mõtleme välja, kuidas õigesti võimule tõsta. Me selgitame välja, kuidas seda protsessi läbi viiakse, samal ajal puudutame kõiki võimalikke astmeindikaatoreid: loomulik, irratsionaalne, ratsionaalne, terviklik.

Niisiis, vaatame lähemalt näidete lahendusi ja uurime, mida see tähendab:

1. Mõiste määratlus.
2. Tõusmine negatiivsele kunstile.
3. Kogu näitaja.
4. Numbri tõstmine irratsionaalsele võimule.

Mõiste määratlus

Siin on määratlus, mis peegeldab täpselt tähendust: "Eksponentatsioon on arvu jõu tähenduse määratlus."

Seega tõstes arvu a art. r ja astendajaga r astendaja a väärtuse leidmise protsess on identsed mõisted. Näiteks kui ülesanne on arvutada võimsuse väärtus (0,6) 6 ″, siis saab seda lihtsustada väljendiga „Tõsta arv 0,6 võimsuseni 6“.

Pärast seda saate otse ehitusreeglite juurde minna.

Negatiivne astendamine

Selguse huvides peaksite pöörama tähelepanu järgmistele väljendite ahelale:

110 = 0,1 = 1 * 10 miinus 1 silmus,

1100 = 0,01 = 1 * 10 miinus 2 sammuga,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 miinus 3 st,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 miinus 4 kraadi.

Tänu nendele näidetele näete selgelt võimalust koheselt arvutada 10 mis tahes miinusvõimsusele. Sel eesmärgil on kümnendkomponendi nihutamine üsna tüütu:

• 10 kuni -1 kraadi - enne ühikut 1 null;
• -3 - kolm nulli enne ühte;
• -9 on 9 nulli ja nii edasi.

Selle skeemi järgi on sama lihtne mõista, kui palju on 10 kuni miinus 5 spl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuidas tõsta loomulikku arvu

Meenutades määratlust, võtame arvesse, et naturaalarv art. n on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a -ga. Illustreerime: (a * a * ... a) n, kus n on arvude arv, mis korrutatakse. Sellest tulenevalt on a tõstmiseks n -ni vaja arvutada järgmise vormi korrutis: a * a * ... ja jagada n -ga.

Sellest selgub, et püstitamine looduskunstis. toetub paljunemisvõimele(Seda materjali käsitletakse reaalarvude korrutamise osas). Vaatame probleemi:

Püstita -2 4. silmusesse.

Tegeleme loodusliku näitajaga. Sellest lähtuvalt on otsuse käik järgmine: (-2) kunstis. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Nüüd jääb üle ainult täisarvude korrutamine: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Saame 16.

Vastus probleemile:

(-2) kunstis. 4 = 16.

Näide:

Arvutage väärtus: kolm punkti kaks seitset ruutu.

See näide võrdub järgmise korrutisega: kolm punkti kaks seitsmendikku korrutatakse kolme punkti kahe seitsmendikuga. Meenutades, kuidas segaarvude korrutamine toimub, lõpetame ehituse:

• 3 punkti 2 seitsmendikku korrutatakse iseenesest;
• võrdub 23 seitsmendikuga korrutatuna 23 seitsmendikuga;
• võrdne 529 neljakümne üheksandaga;
• lõikame ja saame 10 kolmkümmend üheksa nelikümmend üheksa.

Vastus: 10 39/49

Mis puudutab irratsionaalsele näitajale tõstmist, siis tuleb märkida, et arvutusi hakatakse tegema pärast seda, kui on lõpule viidud astme aluse ümardamine mis tahes kategooriasse, mis võimaldaks saada väärtust antud täpsusega. Näiteks peame ruudu arvutama P (pi).

Alustuseks ümardame P sajandikku ja saame:

P ruudus = (3,14) 2 = 9,8596. Kui aga vähendada P kümne tuhandikuni, saame P = 3,14159. Siis saab ruutimine hoopis teise numbri: 9.8695877281.

Siinkohal tuleb märkida, et paljudes probleemides ei ole vaja irratsionaalseid numbreid võimule tõsta. Reeglina kirjutatakse vastus kas astme kujul, näiteks juure 6 kuni 3, või kui avaldis seda võimaldab, viiakse selle teisendamine läbi: juure 5 võimul 7 = 125 juur 5 -st.

Kuidas tõsta number täisvõimule

See algebraline manipuleerimine on asjakohane võtke arvesse järgmisi juhtumeid:

• täisarvude jaoks;
• nullindikaatori jaoks;
• kogu positiivse näitaja jaoks.

Kuna praktiliselt kõik positiivsed täisarvud langevad kokku naturaalarvude massiga, on positiivse täisarvuväärtuse seadmine sama protsess, mis art. loomulik. Me kirjeldasime seda protsessi eelmises lõigus.

Nüüd räägime kunsti arvutamisest. null. Oleme juba eespool teada saanud, et arvu a nullikraadi saab määrata igale nullist erinevale a (reaalsele), samas kui art. 0 võrdub 1.

Vastavalt sellele tõstetakse mis tahes reaalarv nullini. annab ühe.

Näiteks 10 silmusest 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ja 0 silmusest. 0 ei saa määrata.

Täieliku arvuni tõstmise lõpuleviimiseks jääb üle otsustada täisarvuliste negatiivsete väärtuste valikute üle. Mäletame, et Art. täisarvulise astendajaga -z määratletakse murdosana. Murru nimetaja on kunst. positiivse täisarvu väärtusega, mille väärtust oleme juba õppinud leidma. Nüüd jääb vaid kaaluda ehituse näidet.

Näide:

Arvutage negatiivse täisarvulise astendajaga kuubiku arvu 2 väärtus.

Lahendusprotsess:

Negatiivse näitajaga kraadi määratluse kohaselt tähistame: kaks miinus 3 spl. kolmandas astmes võrdub üks kuni kaks.

Nimetaja arvutatakse lihtsalt: kaks kuubikut;

3 = 2*2*2=8.

Vastus: kaks miinus 3 spl. = üks kaheksandik.

Video

See video näitab teile, mida teha, kui kraad on negatiivne.