Les équations avec des puissances négatives sont des exemples de solutions. Les expressions de puissance (expressions avec puissances) et leur transformation. Élever un nombre à une puissance

L'exponentiation négative est l'un des éléments de base des mathématiques qui est souvent rencontré lors de la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous une instruction détaillée.

Comment élever à une puissance négative - théorie

Quand on est un nombre à la puissance habituelle, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Avec une fraction négative, l'inverse est vrai. La vue générale selon la formule sera la suivante : a -n = 1 / a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser l'unité par le nombre donné, mais déjà à une puissance positive.

Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires

Avec la règle ci-dessus à l'esprit, résolvons quelques exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
La réponse est -4 -2 = 1/16.

Mais pourquoi la réponse dans les premier et deuxième exemples est-elle la même ? Le fait est que lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le degré était pair, le moins restait:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment élever à une puissance négative - nombres de 0 à 1

Rappelez-vous que lorsque vous augmentez un nombre dans la plage de 0 à 1 à une puissance positive, la valeur diminue avec l'augmentation de la puissance. Par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemple 3 : Calculez 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4

Analyse (séquence d'actions) :

• Convertir décimal 0,5 en fraction 1/2. C'est plus facile ainsi.
  Augmenter 1/2 à une puissance négative. 1 / (2) -2. Divisez 1 par 1 / (2) 2, on obtient 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemple 4 : Calculez 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Exemple 5 : Calculez -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8

Sur la base des 4ème et 5ème exemples, nous tirerons plusieurs conclusions :

• Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, la régularité ou l'impair de la puissance n'est pas importante, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
• Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, la régularité ou l'impair de la puissance n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.

Comment élever à une puissance négative - une puissance sous forme de nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont la forme suivante : a -m / n, où a est un nombre ordinaire, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.

Prenons un exemple :
Calculer : 8 -1/3

Solution (séquence d'actions) :

• Rappelez-vous la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Notez que le dénominateur est 8 en tant que puissance fractionnaire. La vue générale du calcul d'une puissance fractionnaire est la suivante : a m / n = n 8 m.
• Ainsi, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 8 1). Nous obtenons la racine cubique de huit, qui est 2. Sur cette base, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Réponse : 8 -1/3 = 2

Expressions, conversion d'expressions

Expressions de puissance (expressions avec puissances) et leur conversion

Dans cet article, nous allons parler de la conversion des expressions de puissance. Tout d'abord, nous nous concentrerons sur les transformations effectuées avec des expressions de tout type, y compris des expressions exponentielles, telles que des parenthèses élargies, la conversion de termes similaires. Et puis nous analyserons les transformations inhérentes aux expressions avec degrés : travailler avec la base et l'exposant, utiliser les propriétés des degrés, etc.

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Quelles sont les expressions exponentielles ?

Le terme "expressions exponentielles" ne se trouve pratiquement pas dans les manuels scolaires de mathématiques, mais il apparaît assez souvent dans des recueils de problèmes, notamment ceux destinés à la préparation à l'examen et à l'examen, par exemple. Après avoir analysé les tâches dans lesquelles vous devez effectuer des actions avec des expressions exponentielles, il devient clair que les expressions sont comprises comme des expressions contenant des degrés dans leurs enregistrements. Par conséquent, pour vous-même, vous pouvez accepter la définition suivante :

Définition.

Expressions de puissance Sont des expressions contenant des degrés.

Donnons exemples d'expressions de pouvoir... De plus, nous les représenterons en fonction de l'évolution des vues sur d'un degré avec un indicateur naturel à un degré avec un indicateur réel.

Comme vous le savez, il y a d'abord une connaissance de la puissance d'un nombre avec un exposant naturel, à ce stade les premières expressions de puissance les plus simples du type 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, etc.

Un peu plus tard, la puissance d'un nombre à exposant entier est étudiée, ce qui conduit à l'apparition d'expressions de puissance à puissances entières négatives, comme les suivantes : 3 −2, , a -2 + 2 b -3 + c 2.

Au lycée, ils retournent aux diplômes. Là, un degré avec un exposant rationnel est introduit, ce qui entraîne l'apparition des expressions de puissance correspondantes: , , etc. Enfin, les degrés avec des indicateurs irrationnels et les expressions les contenant sont considérés :,.

La question ne se limite pas aux expressions de puissance énumérées: la variable pénètre plus loin dans l'exposant et, par exemple, de telles expressions 2 x 2 +1 ou ... Et après avoir pris connaissance, des expressions avec des puissances et des logarithmes commencent à apparaître, par exemple, x 2 · lgx -5 · x lgx.

Nous avons donc résolu la question de savoir quelles sont les expressions exponentielles. Ensuite, nous allons apprendre à les transformer.

Types de base de transformations d'expressions de puissance

Avec les expressions exponentielles, vous pouvez effectuer n'importe laquelle des transformations identiques de base des expressions. Par exemple, vous pouvez développer les parenthèses, remplacer les expressions numériques par leurs valeurs, fournir des termes similaires, etc. Naturellement, dans ce cas, il est nécessaire de suivre la procédure acceptée pour effectuer des actions. Voici quelques exemples.

Exemple.

Évaluez la valeur de l'expression exponentielle 2 3 · (4 2 −12).

Solution.

Selon l'ordre d'exécution des actions, nous effectuons d'abord les actions entre parenthèses. Là, d'une part, on remplace la puissance de 4 2 par sa valeur 16 (voir si nécessaire), et d'autre part, on calcule la différence 16−12 = 4. Nous avons 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Dans l'expression résultante, remplacez la puissance 2 3 par sa valeur 8, après quoi nous calculons le produit 8 4 = 32. C'est la valeur souhaitée.

Donc, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Réponse:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Exemple.

Simplifier les expressions de puissance 3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7.

Solution.

Évidemment, cette expression contient des termes similaires 3 · a 4 · b -7 et 2 · a 4 · b -7, et on peut les amener :.

Réponse:

3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7 = 5 a 4 b -7 -1.

Exemple.

Imaginez une expression avec des pouvoirs en tant que produit.

Solution.

Pour faire face à la tâche, la représentation du nombre 9 sous la forme d'une puissance de 3 2 et l'utilisation ultérieure de la formule de multiplication abrégée est la différence de carrés:

Réponse:

Il existe également un certain nombre de transformations identiques inhérentes aux expressions de puissance. Ensuite, nous les analyserons.

Travailler avec la base et l'exposant

Il existe des degrés dont la base et/ou l'exposant ne sont pas que des nombres ou des variables, mais quelques expressions. A titre d'exemple, nous présentons les entrées (2 + 0,37) 5-3,7 et (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Lorsque vous travaillez avec de telles expressions, vous pouvez remplacer à la fois l'expression basée sur le degré et l'expression dans l'exposant par une expression identiquement égale sur l'ODZ de ses variables. En d'autres termes, nous pouvons, selon les règles que nous connaissons, transformer séparément la base du degré et séparément - l'exposant. Il est clair qu'à la suite de cette transformation, on obtiendra une expression identique à l'originale.

De telles transformations nous permettent de simplifier les expressions avec des pouvoirs ou d'atteindre d'autres objectifs dont nous avons besoin. Par exemple, dans l'expression exponentielle ci-dessus (2 + 0,3 · 7) 5-3.7, vous pouvez effectuer des actions avec les nombres dans la base et l'exposant, ce qui vous permettra d'aller à la puissance 4.1 1.3. Et après avoir développé les parenthèses et réduit les termes similaires dans la base du degré (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1), nous obtenons une expression de puissance d'une forme plus simple a 2

Utilisation des propriétés de puissance

L'un des principaux outils de conversion d'expressions en puissances est la réflexion sur les égalités. Rappelons les principaux. Pour tous les nombres positifs a et b et les nombres réels arbitraires r et s, les propriétés de puissance suivantes sont vraies :

• un r un s = un r + s;
• un r : un s = un r − s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a : b) r = a r : b r ;
• (a r) s = a r s.

Notez que pour les exposants naturels, entiers et positifs, les restrictions sur les nombres a et b peuvent ne pas être si strictes. Par exemple, pour les nombres naturels m et n, l'égalité a m a n = a m + n est vraie non seulement pour a positif, mais aussi pour les négatifs, et pour a = 0.

À l'école, l'attention principale lors de la transformation des expressions de pouvoir se concentre précisément sur la capacité de choisir une propriété appropriée et de l'appliquer correctement. Dans ce cas, les bases des degrés sont généralement positives, ce qui permet d'utiliser les propriétés des degrés sans restrictions. Il en va de même pour la transformation d'expressions contenant des variables dans les bases de degrés - la plage de valeurs admissibles de variables est généralement telle que les bases ne prennent que des valeurs positives, ce qui vous permet d'utiliser librement les propriétés des degrés . En général, vous devez constamment vous demander s'il est possible dans ce cas d'appliquer une propriété de degrés, car une utilisation inexacte des propriétés peut entraîner un rétrécissement de l'ODV et d'autres problèmes. Ces points sont discutés en détail et avec des exemples dans l'article sur la conversion d'expressions à l'aide de propriétés de degré. Nous nous limitons ici à quelques exemples simples.

Exemple.

Imaginons l'expression a 2.5 · (a 2) −3 : a −5.5 comme puissance de base a.

Solution.

Premièrement, le deuxième facteur (a 2) -3 est transformé par la propriété d'élever une puissance à une puissance : (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... L'expression exponentielle d'origine prendra alors la forme a 2.5 · a -6 : a -5.5. Evidemment, il reste à utiliser les propriétés de multiplication et de division des puissances avec la même base, on a
un 2,5 un -6 : un -5,5 =
un 2,5-6 : un -5,5 = un -3,5 : un -5,5 =
un -3,5 - (-5,5) = un 2.

Réponse:

a 2,5 (a 2) -3 : a -5,5 = a 2.

Les propriétés de puissance sont utilisées à la fois de gauche à droite et de droite à gauche lors de la transformation d'expressions exponentielles.

Exemple.

Trouvez la valeur de l'expression exponentielle.

Solution.

L'égalité (a b) r = a r b r, appliquée de droite à gauche, permet de passer de l'expression originale au produit de la forme et plus loin. Et en multipliant les degrés avec les mêmes bases, les indicateurs s'additionnent : .

Il était possible d'effectuer la transformation de l'expression originale d'une autre manière :

Réponse:

.

Exemple.

Étant donné l'expression exponentielle a 1.5 −a 0.5 −6, entrez la nouvelle variable t = a 0.5.

Solution.

Le degré a 1.5 peut être représenté comme un 0.5 · 3 et plus loin, basé sur la propriété du degré au degré (ar) s = ar · s, appliqué de droite à gauche, le transformer en la forme (a 0.5) 3 . Ainsi, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Maintenant il est facile d'introduire une nouvelle variable t = a 0.5, on obtient t 3 −t − 6.

Réponse:

t 3 −t − 6.

Conversion de fractions contenant des puissances

Les expressions de puissance peuvent contenir des fractions avec des puissances ou être de telles fractions. Toutes les transformations de base des fractions inhérentes aux fractions de toute nature sont pleinement applicables à ces fractions. C'est-à-dire que les fractions qui contiennent des puissances peuvent être annulées, réduites à un nouveau dénominateur, travaillées séparément avec leur numérateur et séparément avec le dénominateur, etc. Pour illustrer les paroles prononcées, considérons les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Simplifier l'expression exponentielle .

Solution.

Cette expression exponentielle est une fraction. Travaillons avec son numérateur et son dénominateur. Au numérateur, on ouvre les parenthèses et on simplifie l'expression obtenue après cela en utilisant les propriétés des puissances, et au dénominateur on donne des termes similaires :

Et on change aussi le signe du dénominateur en plaçant un moins devant la fraction : .

Réponse:

.

La réduction des fractions contenant des puissances à un nouveau dénominateur s'effectue de la même manière que la réduction des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur. Dans ce cas, un facteur supplémentaire est également trouvé et le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par celui-ci. Lors de l'exécution de cette action, il convient de rappeler que la réduction à un nouveau dénominateur peut conduire à un rétrécissement de l'ODV. Pour éviter que cela ne se produise, il est nécessaire que le facteur supplémentaire ne disparaisse pour aucune valeur des variables des variables ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Réduire les fractions à un nouveau dénominateur : a) au dénominateur a, b) au dénominateur.

Solution.

a) Dans ce cas, il est assez facile de déterminer quel facteur supplémentaire aide à obtenir le résultat souhaité. C'est un facteur de a 0,3, puisque a 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Notez que sur la plage de valeurs admissibles de la variable a (c'est l'ensemble de tous les nombres réels positifs) le degré a 0,3 ne s'annule pas, par conséquent, nous avons le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée par ce facteur supplémentaire :

b) En regardant de plus près le dénominateur, vous pouvez constater que

et en multipliant cette expression par donnera la somme des cubes et, c'est,. Et c'est le nouveau dénominateur auquel nous devons réduire la fraction d'origine.

C'est ainsi que nous avons trouvé un facteur supplémentaire. Sur la plage de valeurs valides des variables x et y, l'expression ne s'évanouit pas, on peut donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celle-ci :

Réponse:

une) , b) .

L'abréviation des fractions contenant des puissances n'est pas non plus nouvelle : le numérateur et le dénominateur sont représentés comme un certain nombre de facteurs, et les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur sont annulés.

Exemple.

Réduire la fraction : a) , b).

Solution.

a) Premièrement, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits par les nombres 30 et 45, soit 15. Aussi, évidemment, on peut effectuer une réduction de x 0.5 +1 et de ... Voici ce que nous avons :

b) Dans ce cas, les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur ne sont pas immédiatement visibles. Pour les obtenir, vous devrez effectuer des transformations préliminaires. Dans ce cas, ils consistent à factoriser le dénominateur en facteurs selon la formule de la différence des carrés :

Réponse:

une)

b) .

La réduction des fractions à un nouveau dénominateur et la réduction des fractions sont principalement utilisées pour effectuer des actions avec des fractions. Les actions sont exécutées selon des règles connues. Lors de l'addition (soustraction) de fractions, elles sont ramenées à un dénominateur commun, après quoi les numérateurs sont ajoutés (soustraits) et le dénominateur reste le même. Le résultat est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs. La division par une fraction est une multiplication par l'inverse de la fraction.

Exemple.

Suis les étapes .

Solution.

Tout d'abord, nous soustrayons les fractions entre parenthèses. Pour ce faire, nous les amenons à un dénominateur commun, qui est , après quoi on soustrait les numérateurs :

Maintenant on multiplie les fractions :

Evidemment, il est possible d'annuler par une puissance de x 1/2, après quoi on a .

Vous pouvez également simplifier l'expression exponentielle dans le dénominateur en utilisant la formule de différence de carrés : .

Réponse:

Exemple.

Simplifier l'expression exponentielle .

Solution.

Évidemment, cette fraction peut être annulée par (x 2,7 +1) 2, cela donne la fraction ... Il est clair qu'il faut faire autre chose avec les degrés de x. Pour ce faire, nous transformons la fraction résultante en un produit. Cela nous donne l'opportunité d'utiliser la propriété de diviser les degrés avec les mêmes bases : ... Et à la fin du processus, on passe du dernier produit à une fraction.

Réponse:

.

Et nous ajoutons également qu'il est possible et dans de nombreux cas souhaitable de transférer des multiplicateurs avec des exposants négatifs du numérateur au dénominateur ou du dénominateur au numérateur, en changeant le signe de l'exposant. De telles transformations simplifient souvent les actions ultérieures. Par exemple, une expression exponentielle peut être remplacée par.

Conversion d'expressions avec des racines et des pouvoirs

Souvent, dans les expressions dans lesquelles certaines transformations sont requises, ainsi que des puissances avec des exposants fractionnaires, il existe également des racines. Pour transformer une telle expression sous la forme souhaitée, dans la plupart des cas, il suffit d'aller uniquement aux racines ou uniquement aux puissances. Mais comme il est plus pratique de travailler avec des degrés, ils vont généralement des racines aux degrés. Cependant, il est conseillé d'effectuer une telle transition lorsque l'ODV des variables pour l'expression d'origine permet de remplacer les racines par des puissances sans avoir besoin de se référer au module ou de diviser l'ODV en plusieurs intervalles (nous avons analysé cela en détail dans l'article le passage des racines aux pouvoirs et vice-versa, un degré avec un indicateur irrationnel est introduit, ce qui permet de parler d'un degré avec un indicateur réel arbitraire. fonction exponentielle, qui est défini analytiquement par le degré, à la base duquel se trouve le nombre, et dans l'indicateur - la variable. Nous sommes donc confrontés à des expressions exponentielles contenant des nombres dans la base du degré et dans l'exposant - des expressions avec des variables, et naturellement il devient nécessaire d'effectuer des transformations de telles expressions.

Il faut dire que la transformation d'expressions de ce type doit généralement être effectuée lors de la résolution équations exponentielles et inégalités exponentielles et ces conversions sont assez simples. Dans l'écrasante majorité des cas, ils sont basés sur les propriétés du diplôme et visent principalement à introduire une nouvelle variable dans le futur. On peut les démontrer par l'équation 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x − 1 = 0.

Premièrement, les degrés auxquels la somme d'une variable (ou d'expressions avec des variables) et d'un nombre est trouvée sont remplacés par des produits. Ceci s'applique aux premier et dernier termes de l'expression à gauche :
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

De plus, les deux côtés de l'égalité sont divisés par l'expression 7 2 x, qui ne prend que des valeurs positives sur l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine (c'est une technique standard pour résoudre des équations de ce genre, nous ne sommes pas en parler maintenant, alors concentrez-vous sur les transformations ultérieures des expressions avec des pouvoirs ):

Les fractions avec pouvoirs sont maintenant annulées, ce qui donne .

Enfin, le rapport des degrés avec les mêmes exposants est remplacé par les degrés des relations, ce qui conduit à l'équation ce qui équivaut à ... Les transformations effectuées nous permettent d'introduire une nouvelle variable, qui réduit la solution de l'équation exponentielle d'origine à la solution de l'équation quadratique

Leçon et présentation sur le thème : "Degré avec un indicateur négatif. Définition et exemples de résolution de problèmes"

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Détermination du degré avec un exposant négatif

Nous savons bien que tout nombre au degré zéro est égal à un. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
La question se pose, que se passera-t-il si le nombre est élevé à une puissance négative ? Par exemple, à quoi est égal le nombre $ 2 ^ (- 2) $ ?
Les premiers mathématiciens qui ont posé cette question ont décidé que réinventer la roue n'en valait pas la peine, et il était bon que toutes les propriétés des degrés restent les mêmes. Autrement dit, lors de la multiplication des degrés avec la même base, les exposants sont ajoutés.
Considérons ce cas : $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Nous avons compris que le produit de tels nombres devrait donner un. L'unité dans le produit est obtenue en multipliant les nombres réciproques, c'est-à-dire $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Ce raisonnement a conduit à la définition suivante.
Définition. Si $ n $ est un nombre naturel et $ a ≠ 0 $, alors l'égalité est vraie : $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Une identité importante qui est souvent utilisée : $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
En particulier, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

Exemples de solutions

Solution.
Considérons chaque terme séparément.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
3. 8 $ ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Il reste à effectuer des opérations d'addition et de soustraction : $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) $.
Réponse : 6 $ \ frac (1) (4) $.

Exemple 2.
Représenter un nombre donné comme une puissance première $ \ frac (1) (729) $.

Solution.
Évidemment, $\frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Mais 729 n'est pas un nombre premier se terminant par 9. On peut supposer que ce nombre est une puissance de trois. Divisons séquentiellement 729 par 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Six opérations ont été effectuées, ce qui signifie : 729 $ = 3 ^ 6 $.
Pour notre tâche :
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Réponse : 3$ ^ (- 6)$.

Exemple 3. Présentez l'expression comme une puissance : $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Solution. La première action est toujours effectuée à l'intérieur des parenthèses, puis la multiplication $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = un ^ (-4 - (- 5)) = un ^ (- 4 + 5) = un $.
Réponse : $ un $.

Exemple 4. Démontrez l'identité :
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) = \ frac (xy) (x + y) $.

Solution.
À gauche, nous considérerons chaque facteur entre parenthèses séparément.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x ) ) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Passons à la fraction par laquelle nous divisons.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (xy) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (xy) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Faisons la division.
$ \ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) : \ frac (y (xy)) (x (x + y)) = \ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (xy)) = \ frac (xy) (x + y) $.
Nous avons obtenu la bonne identité, ce qui était nécessaire pour prouver.

A la fin de la leçon, nous écrirons à nouveau les règles de fonctionnement avec les puissances, ici l'exposant est un entier.
$ un ^ s * un ^ t = un ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (un ^ s) ^ t = un ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Tâches pour une solution indépendante

Dans cet article, nous allons découvrir ce qui est diplôme de... Ici, nous allons donner des définitions du degré d'un nombre, tout en examinant de plus près tous les exposants possibles, en commençant par un exposant naturel et en terminant par un irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Degré avec exposant naturel, carré de nombre, cube de nombre

Commençons avec. En regardant vers l'avenir, nous disons que la définition du degré d'un nombre a avec l'exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons diplôme de base, et n, que nous appellerons exposant... Nous notons également que le degré avec un exposant naturel est déterminé par le produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance du nombre a avec exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a, c'est-à-dire,.
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Immédiatement, il convient de mentionner les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire un enregistrement a n est la suivante : "a à la puissance n". Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la n-ième puissance » et « n-ième puissance du nombre a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, qui est « huit puissance douze » ou « huit douzième degré » ou « douzième puissance huit ».

Le deuxième degré d'un nombre, ainsi que le troisième degré d'un nombre, ont leurs propres noms. Le deuxième degré d'un nombre s'appelle nombre carré par exemple, 7 2 se lit « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres de cubes par exemple, 5 3 peut être lu comme "cube cinq" ou dire "cube du numéro 5".

Il est temps de diriger exemples de diplômes avec indicateurs naturels... Commençons par la puissance 5 7, ici 5 est la base de la puissance, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9.

A noter que dans le dernier exemple, la base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter toute confusion, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté en ce moment, nous allons montrer la différence entre les entrées de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est la puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire - (2 3)) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour le degré d'un nombre a avec l'exposant n de la forme a ^ n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4 ^ 9 est une autre notation pour la puissance 4 9. Et voici quelques autres exemples d'écriture de degrés en utilisant le symbole "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation pour le degré de la forme a n.

L'une des tâches, l'inverse de l'élévation à une puissance avec un exposant naturel, est le problème de trouver la base d'un degré à partir d'une valeur connue du degré et d'un exposant connu. Cette tâche conduit à.

On sait que l'ensemble des nombres rationnels se compose d'entiers et de nombres fractionnaires, et chaque nombre fractionnaire peut être représenté comme une fraction ordinaire positive ou négative. Nous avons défini le degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, pour compléter la définition du degré avec un exposant rationnel, vous devez donner la signification du degré d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme. Pour que la propriété de degré à degré soit valide, l'égalité doit être remplie ... Si l'on prend en compte l'égalité obtenue et la manière dont on l'a déterminée, alors il est logique d'accepter, à condition que pour les m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier cela pour toutes les propriétés d'un degré avec un exposant entier (cela est fait dans la section sur les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit. sortir: si pour le m donné, n et a l'expression a un sens, alors la puissance du nombre a avec l'exposant fractionnaire m / n est la racine nième de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de très près de la détermination du degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire pour quels m, n et a l'expression a un sens. Il existe deux approches principales en fonction des contraintes sur m, n et a.

Le plus simple est de restreindre a en acceptant a≥0 pour m positif et a> 0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 m n'est pas défini). On obtient alors la définition suivante d'un exposant fractionnaire.

Définition.

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel, est appelée la racine nième de a à la puissance m, c'est-à-dire,.

Une puissance fractionnaire de zéro est également déterminée à la seule condition que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m / n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré d'un nombre zéro avec un exposant négatif fractionnaire n'a pas de sens.

Il faut noter qu'avec une telle définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance : pour certains a moins et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, il est logique d'écrire ou, et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les degrés avec un exposant fractionnaire de la forme n'a pas de sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer l'exposant avec un exposant fractionnaire m / n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : le degré du nombre a, dont l'indicateur est, est considéré comme la puissance du nombre a, dont l'indicateur est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée plus loin). C'est-à-dire que si m / n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est préalablement remplacé par.

Pour n pair et m positif, l'expression a un sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit toujours être non nul (sinon il y aura division par zéro ). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être non nul (afin qu'il n'y ait pas de division par zéro) .

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m / n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction annulable, l'exposant est remplacé par. La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est préalablement remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme, et ne faisions pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m / n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité devrait être vérifiée , mais , une .

Dans l'un des articles précédents, nous avons déjà évoqué le degré de nombre. Aujourd'hui, nous allons essayer de nous orienter dans le processus de recherche de son sens. Scientifiquement parlant, nous allons déterminer comment élever correctement à une puissance. Nous découvrirons comment ce processus s'effectue, en même temps nous toucherons à tous les indicateurs possibles de degré : naturel, irrationnel, rationnel, entier.

Examinons donc de plus près les solutions des exemples et découvrons ce que cela signifie :

1. Définition de la notion.
2. Élévation à l'art négatif.
3. Indicateur entier.
4. Élever un nombre à une puissance irrationnelle.

Définition du concept

Voici une définition qui reflète fidèlement le sens : « L'exponentiation est la définition du sens de la puissance d'un nombre.

En conséquence, l'élévation du nombre a à l'art. r et le processus de recherche de la valeur de l'exposant a avec l'exposant r sont des concepts identiques. Par exemple, si la tâche consiste à calculer la valeur de la puissance (0,6) 6 ″, alors cela peut être simplifié par l'expression « augmenter le nombre 0,6 à la puissance 6 ».

Après cela, vous pouvez passer directement aux règles de construction.

Exponentiation négative

Pour plus de clarté, vous devez faire attention à la chaîne d'expressions suivante :

110 = 0,1 = 1 * 10 en moins 1 m.,

1100 = 0,01 = 1 * 10 en moins 2 pas.,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 moins 3 st.,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 à moins 4 degrés.

Grâce à ces exemples, vous pouvez clairement voir la possibilité de calculer instantanément 10 à n'importe quelle puissance négative. Pour cela, il est assez ringard de décaler la composante décimale :

• 10 à -1 degrés - avant l'unité 1 zéro ;
• à -3 - trois zéros avant un ;
• dans -9 est 9 zéros et ainsi de suite.

Il est tout aussi facile de comprendre selon ce schéma, combien sera de 10 à moins 5 cuillères à soupe. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Comment élever un nombre naturel

En rappelant la définition, nous tenons compte du fait que l'entier naturel a dans l'Art. n est égal au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Pour illustrer : (a * a * ... a) n, où n est le nombre de nombres qui sont multipliés. Ainsi, pour élever a à n, il faut calculer le produit de la forme suivante : a * a * ... et diviser par n fois.

A partir de là, il devient évident que érection dans l'art naturel. repose sur la capacité de se multiplier(Ce matériel est couvert dans la section sur la multiplication des nombres réels). Voyons le problème :

Ériger -2 dans la 4ème.

Nous avons affaire à un indicateur naturel. En conséquence, le cours de la décision sera le suivant : (-2) à l'art. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Il ne reste plus qu'à effectuer la multiplication des nombres entiers : (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Nous en obtenons 16.

Réponse au problème :

(-2) à l'art. 4 = 16.

Exemple:

Calculez la valeur : trois virgule deux sept au carré.

Cet exemple est égal au produit suivant : trois virgule deux septièmes multiplié par trois virgule deux septièmes. En se rappelant comment s'effectue la multiplication des nombres fractionnaires, on termine la construction :

• 3 virgule 2 septièmes se multiplient par eux-mêmes ;
• est égal à 23 septièmes multiplié par 23 septièmes;
• égal à 529 quarante-neuvième;
• abréger et obtenir 10 trente-neuf quarante-neuf.

Réponse: 10 39/49

En ce qui concerne la question de l'élévation à un indicateur irrationnel, il est à noter que les calculs commencent à être effectués après l'achèvement de l'arrondi préliminaire de la base du degré à toute catégorie qui permettrait d'obtenir une valeur avec une précision donnée. Par exemple, nous devons mettre au carré le nombre P (pi).

On commence par arrondir P aux centièmes et on obtient :

P au carré = (3,14) 2 = 9,8596. Cependant, si nous réduisons P à dix millièmes, nous obtenons P = 3,14159. Ensuite, la quadrature obtient un nombre complètement différent : 9.8695877281.

Il convient de noter ici que dans de nombreux problèmes, il n'est pas nécessaire d'élever des nombres irrationnels à une puissance. En règle générale, la réponse s'écrit soit sous forme de degré, par exemple la racine de 6 à la puissance 3, soit, si l'expression le permet, sa transformation est effectuée : racine de 5 à la puissance 7 = 125 racine de 5.

Comment élever un nombre à une puissance entière

Cette manipulation algébrique est appropriée prendre en compte pour les cas suivants :

• pour les nombres entiers ;
• pour un indicateur zéro ;
• pour tout un indicateur positif.

Étant donné que pratiquement tous les nombres entiers positifs coïncident avec la masse des nombres naturels, la définition d'une puissance entière positive est le même processus que la définition de l'Art. Naturel. Nous avons décrit ce processus dans le paragraphe précédent.

Parlons maintenant du calcul de l'Art. nul. Nous avons déjà découvert plus haut que le degré zéro du nombre a peut être déterminé pour tout a non nul (réel), tandis que a dans l'Art. 0 sera égal à 1.

En conséquence, élever n'importe quel nombre réel à zéro st. en donnera un.

Par exemple, 10 en point 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 et 0 en point. 0 ne peut pas être déterminé.

Afin de compléter l'élévation à une puissance entière, il reste à décider des options pour les valeurs entières négatives. Nous nous souvenons que l'art. à partir de a avec un exposant entier -z sera défini comme une fraction. Le dénominateur de la fraction est l'art. avec une valeur entière positive, dont nous avons déjà appris à trouver la valeur. Il ne reste plus qu'à considérer un exemple de construction.

Exemple:

Calculer la valeur du nombre 2 dans un cube avec un exposant entier négatif.

Processus de résolution :

Selon la définition d'un degré avec un indicateur négatif, nous désignons: deux à moins 3 cuillères à soupe. égale un à deux au troisième degré.

Le dénominateur se calcule simplement : deux au cube ;

3 = 2*2*2=8.

Réponse: deux à moins 3ème cuillère à soupe. = un huitième.

Vidéo

Cette vidéo vous montrera quoi faire si le degré est négatif.