Nurkade loendamine trigonomeetrilisel ringil. Positiivsed ja negatiivsed nurgad. Nurkade jaotus neljandikku. Corner mõõtmine võib jääda negatiivsed

Nurk: ° π Rad \u003d

Teisenda: Radians kraadi 0 - 360 ° 0 - 2π positiivne negatiivne arvutus

Kui otsesed lõikuvad, saadakse ristmiku punkti suhtes neli erinevat piirkonda.
Neid uusi valdkondi nimetatakse nurgad.

Pilt näitab 4 erinevat nurka, mis on moodustatud otsese AB ja CD ristmikul

Tavaliselt mõõdetakse nurgad kraadides, mis on näidatud kui °. Kui objekt täidab täisringi, see tähendab, liigub punktist D kaudu B, C, A ja siis tagasi d, siis nad ütlevad, et see pöördus 360 kraadi (360 °). Seega kraadi on $ \\ Frac (1) (360) $ ring.

Nurgad rohkem kui 360 kraadi

Me rääkisime sellest, kui objekt teeb täieliku ringi ümber punktini, siis möödub see 360 \u200b\u200b°, aga kui objekt teeb rohkem kui ühe ringi, teeb see nurga üle 360 \u200b\u200bkraadi. See on igapäevaelus ühine nähtus. Ratas läheb palju ringi, kui auto liigub, see tähendab, et see moodustab nurga üle 360 \u200b\u200b°.

Selleks, et teada saada tsüklite arvu (hõlmatud ringid), kui objekti pöörletakse, kaalume aegade arvu, mida peate ise lisama 360, et saada number võrdne või väiksem kui see nurk või väiksem. Samamoodi leiame numbri 360-le korrutame, et saada mitu väiksemat, kuid selle nurga lähimat.

Näide 2.
1. Leidke nurga all kirjeldatud ringide arv
a) 380 °
b) 770 °
c) 1000 °
Otsus
a) 380 \u003d (1 × 360) + 20
Objekt kirjeldas ühte ringi ja 20 °
Alates $ 20 ^ (\\ tressioonist) \u003d frac (20) (360) \u003d prac (1) (18) $ ring
Objekt kirjeldas $ 1 prac (1) (18) $ ringid.

B) 2 × 360 \u003d 720
770 \u003d (2 × 360) + 50
Eesmärk kirjeldas kahte ringi ja 50 °
$ 50 ^ (\\ ga) \u003d frac (50) (360) \u003d frac (5) (36) $ ring
Eesmärk kirjeldas $ 2 FRAC (5) (36) $ ring
c) 2 × 360 \u003d 720
1000 \u003d (2 × 360) + 280
$ 280 ^ (\\ tressar) \u003d prac (260) (360) \u003d frac (7) (9) $ ringid
Objekt kirjeldas $ 2 FRAC (7) (9) $ ringid

Kui objekt pöörleb päripäeva, moodustab see negatiivse pöörlemise nurga ja pöörleb vastupäeva - positiivne nurk. Kuni sellele küsimusele peeti ainult positiivseid nurka.

Diagrammi kujul võib kujutada negatiivset nurka, nagu allpool näidatud.

Alltoodud joonisel on kujutatud nurga märk, mida mõõdetakse kogujoonest, 0 teljelist (absskissse telje telg)

See tähendab, et negatiivse nurga juuresolekul saame vastava positiivse nurga all.
Näiteks on vertikaalse otsese osa alumine osa 270 °. Kui mõõdetakse negatiivses suunas, siis saame -90 °. Me lihtsalt lahutame 270 välja 360. Olles negatiivne nurk, lisame 360, et saada vastav positiivne nurk.
Kui nurk on -360 °, tähendab see, et objekt tehti rohkem kui ühe ringi päripäeva.

Näide 3.
1. Leidke sobiv positiivne nurk
a) -35 °
b) -60 °
C) -180 °
d) - 670 °

2. Leidke vastav negatiivne nurk 80 °, 167 °, 330 ° ja 1300 °.
Otsus
1. Asjakohase positiivse nurga leidmiseks lisame nurga väärtusele 360.
a) -35 ° \u003d 360 + (-35) \u003d 360 - 35 \u003d 325 °
b) -60 ° \u003d 360 + (-60) \u003d 360 - 60 \u003d 300 °
c) -180 ° \u003d 360 + (-180) \u003d 360 - 180 \u003d 180 °
d) -670 ° \u003d 360 + (-670) \u003d -310
See tähendab ühte ringi päripäeva (360)
360 + (-310) \u003d 50 °
Nurk on 360 + 50 \u003d 410 °

2. Selleks et saada sobiv negatiivne nurk, lahutame nurga väärtusest 360.
80 ° \u003d 80 - 360 \u003d - 280 °
167 ° \u003d 167 - 360 \u003d -193 °
330 ° \u003d 330 - 360 \u003d -30 °
1300 ° \u003d 1300 - 360 \u003d 940 (üks ring möödas)
940 - 360 \u003d 580 (teine \u200b\u200bvoorus)
580 - 360 \u003d 220 (kolmas ring möödas)
220 - 360 \u003d -140 °
Nurk on -360 - 360 - 360 - 140 \u003d -1220 °
Seega, 1300 ° \u003d -1220 °

Radiaan

Radine on ringi keskele nurk, millesse kaar on sõlmitud, mille pikkus on võrdne selle ringi raadiusega. See on nurga väärtuse mõõtmise üksus. Selline nurk on ligikaudu 57,3 °.
Enamikul juhtudel on see märgitud rõõmus.
Seega $ 1 Rad \\ Riigi 57.3 ^ (\\ twl) $

Raadius \u003d r \u003d oa \u003d ob \u003d ab
Boa nurk on võrdne ühe radiaaliga

Kuna ümbermõõt pikkus on seatud $ 2 PI R $, siis ümbermõõt $ 2 PI $ Radii, mis tähendab üldiselt ringi $ 2 PI $ Radian.

Radialasi väljendatakse tavaliselt $ PI $ võrra, et vältida arvutustes kümnendvaid osasid. Enamikus raamatutes on lühend rAD (RAD) Ei leitud, kuid lugeja peaks teadma, et kui tegemist on nurga all, siis see on seatud läbi $ PI $ ja mõõtühikud muutuvad automaatselt radiaanideks.

$ 360 ^ (vir) \u003d 2 Pi Rad $
$ 180 ^ (vir) \u003d Pi Rad $
$ 90 ^ (\\ ga) \u003d Frac (PI) (2) Rad $
$ 30 ^ (\\ ga) \u003d Frac (30) (180) Pi \u003d \\ Prac (PI) (6) Rad $
$ 45 ^ (\\ ga) \u003d Frac (45) (180) PI \u003d Frac (PI) (4) Rad $
$ 60 ^ (\\ ga) \u003d Frac (60) (180) PI \u003d Frac (PI) (3) Rad $
$ 270 ^ (\\ tressiiv) \u003d frac (270) (180) PI \u003d \\ Prac (27) (18) PI \u003d 1 Frac (1) (2) Pi Rad $

Näide 4.
1. Teisenda 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° ja 390 ° radiaanidele $ PI $.
Otsus
Ma korrutan nurkades $ \\ Frac (PI) (180) $.
240 ^ (vir) \u003d 240 / PI) (180) \u003d Frac (4) (3) PI \u003d 1 frac (1) (3) PI $
$ 120 ^ (\\ tressiiv) \u003d 120 \\ Pi-Pi) (PI) (180) \u003d Frac (2 PI) (3) $
$ 270 ^ (\\ tressione) \u003d 270 / Times \\ frac (1) (180) PI \u003d \\ Prac (3) (2) PI \u003d 1 frac (1) (2)
$ 750 ^ (\\ ga) \u003d 750 / Times \\ frac (1) (180) PI \u003d \\ P (25) (6) PI \u003d 4 Frac (1) (6) PI $
$ 390 ^ (\\ ga) \u003d 390 / Times \\ the Frac (1) (180) \\ Pi \u003d r \u003d r

2. Teisenda järgmised nurgad kraadi.
a) $ \\ Frac (5) (4) PI $
b) $ 3.12 PI $
c) 2.4 radiaani
Otsus
$ 180 ^ (vir) \u003d PI $
a) $ \\ Frac (5) (4) PI \u003d \\ P (5) (4) aastat 180 \u003d 225 ^ (cir) $
b) $ 3.12 PI \u003d 3.12 Times 180 \u003d 561,6 ^ (\\ twl) $
c) 1 Palun \u003d 57,3 °
$ 2.4 \u003d Frac (2,4 Times 57.3) (1) \u003d 137.52 $

Negatiivsed nurgad ja nurgad rohkem kui $ 2 PI $ Radian

Selleks, et teisendada negatiivne nurk positiivseks, kordame seda $ 2 PI $.
Selleks, et teisendada positiivne nurk negatiivseks, me arvame $ 2 PI $ sellest.

Näide 5.
1. Teisenda $ - \\ Frac (3) (4) PI $ ja $ - \\ Frac (5) (7) PI $ positiivse nurka radiaanidesse.

Otsus
Lisa nurga $ 2 PI $
$ - \\ Frac (3) (4) PI \u003d - \\ Frac (3) (4) PI + 2 PI \u003d \\ Prac (5) (4) PI \u003d 1 prac (1) (4) \\ t PI $

$ - \\ Frac (5) (7) PI \u003d - \\ Frac (5) (7) PI + 2 pI \u003d \\ t Pi $

Kui objekt pöörleb nurka, mis on suurem kui $ 2 PI $;, siis teeb see rohkem kui ühe ringi.
Selleks, et määrata revolutsioonide arv (ringid või tsüklid) sellise nurga all, leiame sellise numbri, mis korrutatakse, mis $ 2 PI $ on võrdne või vähem, kuid võimalikult lähedal sellele numbrile.

Näide 6.
1. Leidke nende nurkade objektiga hõlmatud ringide arv
a) $ -10 PI $
b) $ 9 PI $
c) $ \\ Frac (7) (2) PI $

Otsus
a) $ -10 PI \u003d 5 (-2 PI) $;
$ -2 PI $ tähendab ühe tsükli päripäeva suunas, siis tähendab see seda
Objekt tegi 5 tsüklit päripäeva.

b) $ 9 PI \u003d 4 (2 PI) + Pi $, $ \\ Pi \u003d $ Floor tsükkel
Objekt oli nelja ja poole tsükli vastupäeva

c) $ \\ Frac (7) (2) PI \u003d 3,5 PI \u003d 2 PI + 1.5 PI $, $ 1.5 PI $ on kolm neljandikku $ tsükli (Frac (1,5 PI) (2 PI) \u003d Frac (3) (4)) $
Objekt läbis üks ja kolm neljandikku tsükli vastupäeva

Trigonomeetria, nagu teadus, pärineb iidsest idast. Esimesed trigonomeetrilised suhtarvud olid saadud astronoomid, et luua täpse kalender ja keskenduda tähtedele. Need arvutused kuulusid sfäärilise trigonometriase, samal ajal kui kooli kursusel uuritakse poolte suhteid ja tasase kolmnurga nurka.

Trigonometria on matemaatika osa, mis tegeleb trigonomeetriliste funktsioonide ja sõltuvuse omaduste omadustega poolte ja kolmnurkade nurkade vahel.

Esimese aastatuhande kultuuri ja teaduse õitsemise ajal on meie teadmiste ajastu levinud iidsest idast Kreekasse. Kuid trigonomeetria peamised avastused on Araabia kalifaadi abikaasade teenimine. Eelkõige sisenes Türkmenistaja teadlane Al-Marazvi funktsioonide nagu puutuja ja kotangent, koostatud esimesed tabelid sinuse väärtuste, puutujade ja kottide jaoks. Sine ja kosiini mõiste tutvustab India teadlased. Trigonomeetria on pühendunud palju tähelepanu selliste suurte antiikajaste juhtide kirjutamisse nagu EUCLIDEA, Archimedes ja Eratoshene.

Trigonomeetria peamised väärtused

Märkide argumendi peamised trigonomeetrilised funktsioonid on sinuse, kosiini, puutuja ja kataangent. Igaühel neist on oma ajakava: sinusoid, cosineida, tangeense ja catannoid.

Määratud koguste väärtuste arvutamise valemite aluseks on Pyhagoreo teoreem. Koolilapsed on sõnastuses rohkem tuntud: "Pythagoras püksid kõikides suundades on võrdsed," Kuna tõend on esitatud võrdselt suurusega ristkülikukujulise kolmnurga näitel.

Sinus, kosiin ja muud ülalpeetavad tekitavad seos mis tahes ristkülikukujulise kolmnurga teravate nurkade ja külgede vahel. Anname valemid arvutamisel nende väärtuste nurk A ja jälgi suhe trigonomeetriliste funktsioonide:

Nagu näha, on TG ja CTG pöörduvad funktsioonid. Kui esitate Cantat A patu A ja hüpotenuustele ja Roll B-kujul COS A * C kujul, saame puutuja ja kotangendi jaoks järgmised valemid:

Trigonomeetriline ring

Graafiliselt võib nimetatud väärtuste suhet esindada järgmiselt:

Ring, sel juhul on kõik võimalikud nurk α - 0 ° kuni 360 °. Nagu saab näha joonisest, võtab iga funktsioon sõltuvalt nurga väärtusest negatiivne või positiivne väärtus. Näiteks patu α on "+" märk, kui α kuulub I ja II kvartali ringi, see tähendab, et see on vahemikus 0 ° kuni 180 °. Α-ga 180 ° kuni 360 ° (III ja IV kvartalites) võib pat α olla ainult negatiivne väärtus.

Püüame ehitada trigonomeetrilisi tabeleid konkreetsete nurkade jaoks ja teada saada väärtuste väärtuse.

Väärtused α on 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° ja nii sisse ON - nimetatakse erijuhtudel. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused arvutatakse nende jaoks ja need on esitatud spetsiaalsete tabelite kujul.

Need nurgad ei valinud iga õnnetuse poolt. Nimetus π tabelites seisab radiaani. Rad on nurk, kus ümbermõõdu pikkus kaar vastab selle raadiusele. See väärtus võeti kasutusele, et luua universaalne sõltuvus radiaanide arvutamisel, tegelik raadiuse pikkus cm ei ole oluline.

Trigonomeetriliste funktsioonide tabelite nurgad vastavad radiaani väärtustele:

Niisiis, see ei ole raske ära arvata, et 2π on täielik ring või 360 °.

Trigonomeetriliste funktsioonide omadused: sinus ja kosiin

Selleks, et kaaluda ja võrrelda nende peamisi omadusi sinuse ja kosiini, puutuja ja katankenide, on vaja juhtida oma funktsioone. Seda saab teha kahemõõtmelise koordinaatsüsteemis asuva kõvera kujul.

Mõelge võrdleva omaduste tabeli sinusoidide ja kosineidide jaoks:

Määrake, kas funktsioon on isegi väga lihtne. Piisab, et esitada trigonomeetriline ring trigonomeetriliste väärtuste märke ja vaimselt "volditud" ajakava võrreldes OX-teljega. Kui märgid langevad kokku, on funktsioon isegi, vastasel juhul - paaritu.

Sissejuhatus radiaanide ja üleandmise peamised omadused sinusoidide ja kosineidide võimaldab teil esitada järgmine korrektsus:

Veenduge, et valem on väga lihtne. Näiteks x \u003d π / 2 sinuse jaoks on 1, samuti kosiin x \u003d 0. Saate kontrollida tabeleid või jälgida funktsioonide funktsioone funktsioone.

Tangunide ja kotangensoidide omadused

Tangendi ja kotangendi funktsioonide graafikud erinevad märkimisväärselt sinusoidide ja kosineididest. TG ja CTG väärtused on üksteise juurde tagasi.

1. Y \u003d TG x.
2. Tangentsoid kipub väärtusi y juures x \u003d π / 2 + πK, kuid mitte kunagi jõuab.
3. Madalaim positiivne periood Tangendas on võrdne π.
4. TG (- X) \u003d - TG X, s.o funktsioon on kummaline.
5. TG x \u003d 0, x \u003d πk.
6. Funktsioon kasvab.
7. TG x\u003e 0, x ε-s (πk, π / 2 + πK).
8. TG X \u003c0, x ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Derivaat (TG X) '\u003d 1 / COS 2 \u2061X.

Kaaluge teksti all oleva changenside graafilist pilti.

Kotangensoidide peamised omadused:

1. Y \u003d CTG X.
2. Erinevalt sinuse ja kosiini funktsioonidest võib tavendentide y funktsioonid võtta paljude kehtivate numbrite väärtusi.
3. Kothengensoid kipub väärtused y juures x \u003d πk, kuid mitte kunagi jõudnud.
4. Katangennoidi väikseim positiivne periood on võrdne π-ga.
5. CTG (- X) \u003d - CTG X, s.o funktsioon on paaritu.
6. CTG x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πK juures.
7. Funktsioon langeb.
8. CTG x\u003e 0, x ε-s (πk, π / 2 + πK).
9. CTG x \u003c0, x ε-s (π / 2 + πk, πk).
10. Derivaat (CTG X) '\u003d - 1 / sin 2 \u2061x Fix

Paar erinevate tala OA ja OB, tekkivad ühest punktist O, nimetatakse nurk ja tähistab sümbol (A, B). Punkti o nimetatakse nurga tippu ja UB UB kiirguse - nurga külgedel. Kui A ja B - OA ja OB-kiirte kahe punkti, on A, b) tähistatud ka AOS-i sümboliga (joonis 1.1).

Nurk (A, B) nimetatakse laiendatud, kui OA ja OB-i ja OB-i kiirgused tekivad ühest punktist ühel sirgel ja ei lange kokku (see on vastassuunaline suunatud).

Joonis 1.1

Kaks nurka peetakse võrdseks, kui ühte nurk saab rakendada teisele, nii et nurkade külg langeb kokku. Bisector nurga nimetatakse tala algusega nurga ülaosas, jagades nurk kaheks võrdseks nurka.

On öeldud, et OS-i ray, mis pärineb nurga AO ülaosast, seisneb selle osapoolte vahel, kui see ületab AV-i segmendi (joonis 1.2). On öeldud, et punkt c asub nurga külgede vahel, kui ray saab selle punkti kaudu korraldada nurga ülaosas, nurga külgede vahel. Nurga külgede vahel asuva tasandi punktide kogum moodustab nurga sisemise ala (joonis 1.3). Pliiripunktide komplekt, mis ei kuulu sisemisele piirkonnale ja nurga külgedele, moodustavad nurga välimise ala.

Nurga (A, B) peetakse rohkem nurga (C, D), kui nurk (C, D) saab määrata nurga (A, B) nii, et pärast kombinatsiooni ühe paari külge, teine \u200b\u200bpool Nurk (C, D) asub nurga (A, B) külgede vahel. Joonisel fig. 1.4 AOS rohkem AOS-i.

Laske tala nurga (A, B) külgede vahel valede vahel (joonis 1.5). Paarid Rays A, C ja C, B moodustavad kaks nurka. Nurga (A, B) kohta ütlevad nad, et see on kahe nurga (A, C) ja (C, B) summa ja kirjutamine: (a, b) \u003d (a, c) + (C, b) .

Joonis.1.3

Tavaliselt tegelevad geomeetriasse, mida nad tegelevad, mis on väiksemad kui kasutusel olevad nurgad. Kahe nurga lisamise tulemusena saab rohkem kasutusele võtta nurka. Sellisel juhul on lennuki osa, mida peetakse nurga sisemiseks pindalaks, tähistatakse kaarega. Joonisel fig. 1.6 ANOC-i ja OV-i ja OV-i ja Rohkem lähetatud nurkade lisamise tulemusena on nurga AOS sisemus tähistatud kaar.

Joonis 5.5.

On ka nurgad suur 360 °. Sellised nurgad moodustatakse näiteks tasapinna propelleri pöörlemise teel, trumli pöörlemine, millele köis on haava ja nii edasi.

Tulevikus, kui kaalute iga nurga all, nõustume kaaluma selle nurga all olevat nurga külge ja teine \u200b\u200bon ülim pool.

Iga nurk, näiteks AOS-i nurk (joonis 1.7), võib saavutada liikuva tala pöörlemise tulemusena nurga (OA) esialgse külje tipu ümber selle otsa külge (te). Me mõõdab seda nurka, arvestades punkti o ümber tehtud revolutsioonide täielikku arvu, samuti suunda pöörlemise suunas.

Positiivsed ja negatiivsed nurgad.

Las meil on nurk, mis on moodustatud OA ja OI-st (joonis.1.8). Liikuv ray, pöörates ümber punkti o oma esialgse asendi (OA), võib võtta lõpliku positsiooni (d) kahe erineva pöörde suunas. Need juhised on toodud joonisel 1.8 vastavate nooledega.

Joonis 1.7

Nii nagu numbrilise telje puhul peetakse ühte kahest juhist positiivseks ja teine \u200b\u200bon negatiivne, kahe erinev liikuva tala pöörlemissuunad eristatakse. Lepiti kokku, et pidada positiivseks pöörlemissuunaks, mis on vastupäeva pöörlemissuuna vastupidine. Rotatsiooni suund langeb kokku päripäeva pöörlemissuunaga, loetakse negatiivseks.

Nende mõistete kohaselt jagatakse nurgad ka positiivseks ja negatiivseks.

Positiivse nurga nimetatakse nurk, mis on moodustatud liikuva tala pöörlemise teel positiivse suuna lähtepunkti ümber.

Joonisel 1.9 on mõned positiivsed nurgad. (Liikuva tala pöörlemissuund on noolede joonistes.)

Negatiivset nurka nimetatakse nurka, mis on moodustatud liikuva tala pöörlemise teel negatiivse suuna lähtepunkti ümber.

Joonis 1.10 näitab mõningaid negatiivseid nurke. (Liikuva tala pöörlemissuund on noolede joonistes.)

Kuid kahte kattuvad kiirte võivad moodustada ka ja nurgad + 360 ° P ja -360 ° C (n \u003d 0,1,2,3, ...). Tähistab kasutanud väikseima võimaliku mitte-negatiivse pöörlemise nurk, mis on OA-kiirte üle kanda OS-i asendisse. Kui nüüd on OV-kiirtekiirv tehti täielikku pöördeid ümber punkti o, siis saame teise väärtuse nurga, nimelt: AVO \u003d B + 360 °.

Corcle'i nurkade mõõtmine. ARC-de ja nurkade mõõtühikud

Mõnel juhul selgub, et see on mugav mõõta nurkade, kasutades Circle Arc. Sellise mõõtmise võimalus tugineva ettepaneku aluseks on keskpunktide ja vastavate kaared on otseselt proportsionaalne sõltuvus nendest ühes ringis.

Laske selle ringi mõnel kaarel vastu kaare mõõtühiku kohta. Sellele kaarele vastav keskne nurk võtab nurkade mõõtmise ühiku. Selle seisundiga sisaldavad igasugune ümbermõõt ja vastav keskne nurk, mis vastavad sellele kaarile, sisaldavad sama arvu mõõtühikuid. Seetõttu on ringi kaare mõõtmine võimalik kindlaks määrata kesksete nurkade suuruse, mis vastavad nendele kaaretele.

Mõtle kahele kõige levinumale kaare ja nurkade mõõtmiseks.

Kraadi mõõtes nurgad

Nurkade kraadi mõõtmise ajal nurkade mõõtmise peamiseks ühikuks (võrdlusnurk, mille võrreldakse võrdlusnurk, mille võrreldakse erinevaid nurka) nurk võetakse ühte kraadi (tähistatud 1?). Ühe kraadi nurk on laiendatud nurga all 1/180 nurk. 1/60 nurga nurga nurk on ühe minuti nurk (määratud 1 ") nurk (tähistatud 1"). Anurk võrdne 1/60 osa nurga all ühe minuti jooksul on nurk ühe sekundiga (määratud 1 ")

Radiaani nurga mõõtmise mõõtmine

Koos geomeetria ja trigonomeetria nurkade mõõtmise kraadi mõõtmise mõõtmisega kasutatakse ka teisi mõõtmismõõtmist, mida nimetatakse radianiks. Kaaluge raadiuse r ringi O. kesklinnast O. Me teeme kaks raadiust umbes A ja OB, nii et AV-kaari pikkus on võrdne ringi raadiusega (joonis 1.12). Keskne nurk AOS saadud samal ajal on nurk ühe radiaani. 1 Radiumi nurk on vastuolus radikulaarsete mõõtmismõõte mõõtmise mõõtmise ühiku kohta. Kui nurgad on radikaal, on üksikasjalik nurk võrdne R radiaanidega.

Kraadi ja radiaani mõõtühikute nurkade seotud võrdsustab võrdsusi:

1 radian \u003d 180 / p57 ° 17 "45"; 1? \u003d P / 180 Radian0.017453radian;

1 "\u003d P / 180 * 60 Radian0.000291 radiaan;

1 "" \u003d R / 180 * 60 * 60 RADIAN0.000005 RADIAN.

Nurga kraadi (või radiaani) mõõdet nimetatakse ka nurgaks. AOS-i nurga väärtus tähistatakse mõnikord /

Nurkade klassifikatsioon

Nurk, mis on 90 ° või P / 2 radikulaarse mõõtmise nurk, nimetatakse otseseks nurgaks; Seda tähistatakse sageli kirjas d. Vähem kui 90 ° nurk nimetatakse teravaks; Nurk on suurem kui 90 °, kuid väiksemat 180 ° nimetatakse lolliks.

Kaks nurki, millel on üks ühine külg ja summas 180 ° komponente nimetatakse külgnevateks nurkadeks. Kaks nurki, millel on üks ühine külg ja summas 90 ° komponente nimetatakse täiendavate nurkadena.

Nurkade loendamine trigonomeetrilisel ringil.

Tähelepanu!
Sellel teemal on täiendav
Materjalid erilises osas 555.
Neile, kes on tugevalt "mitte väga ..."
Ja neile, kes on "väga ...")

Ta on eelmises õppetundil peaaegu sarnane. Seal on teljed, ring, nurk, kõik auaste chinar. Lisatud kvartalid (suurte ruudu nurkades) - esimesest kuni neljandani. Ja siis mis siis, kui keegi ei tea? Nagu näete, kvartali (neid nimetatakse ka ilusaks sõnaks "kvadrantideks") numbrid vastupäeva vastu. Telgede lisatud nurkväärtused. Kõik on selge, probleemideta.

Ja roheline nool on lisatud. Koos pluss. Mida see tähendab? Lubage mul teile meelde tuletada, et nurga paigal pool alati See on naelutatud positiivse poolaendilise telje Oh. Niisiis, kui me pöördume nurga liikuvale küljele nool pluss. Kasvavad kvartal numbrid, nurka peetakse positiivseks. Näiteks näitab pilt positiivset nurka + 60 °.

Kui me hoiame nurkadest vastupidises suunas, mööda päripäeva noolt, nurk loetakse negatiivseks. Hiir pildi kohal (või puudutage tableti pilte), vaadake sinist noolt miinus. See on nurkade negatiivse viide suund. Näiteks on näidatud negatiivne nurk (60 °). Ja te näete, kuidas DIQUSe on telgede ajal muutunud ... Ma andsin need ka negatiivsetesse nurkadesse. Numering Quadrant ei muutu.

Siin tavaliselt algavad esimesed arusaamatused. Kuidas nii!? Ja kui negatiivne nurk ringi langeb positiivse!? Ja üldiselt selgub, et sama asend liikuva külg (või punkti numbrilise ringi) võib nimetada negatiivse nurga ja positiivse!?

Jah. Täpselt. Oletame, positiivne nurk 90 kraadi hõivab ringi täpselt sama Olukord on negatiivne nurk miinus 270 kraadi. Positiivne nurk, näiteks + 110 ° kraadi täpselt sama positsioon negatiivse nurga all -250 °.

Pole probleemi. Ülalpool.) Positiivse või negatiivse arvutuse valik sõltub ülesande tingimusest. Kui sellises seisundis pole midagi öelda avatud tekst umbes nurgamärgi kohta (tüüp "väikseima määramiseks positiivne Corner "jne), töötame mugavate väärtustega.

Välja arvatud (ja kuidas ilma nendeta?!) On trigonomeetriline ebavõrdsus, kuid me seda kiibi meisterme.

Ja nüüd küsimus teile. Kuidas ma tunnistasin, et nurga all 110 ° nurga asukoht langeb kokku nurga -250 ° positsiooniga?
Hüüdnimi, et see on tingitud täielikku pöörde. 360 ° juures ... ei ole selge? Seejärel joonista ringi. Me joonistame paberile. Me tähistame nurka umbes 110 °. Ja kaalumaKui palju see jääb täielikule käibele. See jääb vaid 250 ° ...

Püütud? Ja nüüd - tähelepanu! Kui nurgad on 110 ° ja -250 ° hõivata ringi samasugune Mis? Jah, et nurgad on 110 ° ja -250 ° täiesti identne Sinus, Kosiin, puutuja ja cotangent!
Need. SIN110 ° \u003d patt (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °) ja nii edasi. See on juba väga oluline! Ja iseenesest - on palju ülesandeid, kus on vaja lihtsustada väljendeid ja aluseks trigonomeetria tuua ja muu tarkuse hilisema arendamise alusena.

Selge juhtum, 110 ° ja -250 ° võtsin NAMAMUMi puhtalt näite. Kõik need võrdsed võrdsed töötavad iga nurkade puhul, mis hõivavad ringi ühe positsiooni. 60 ° ja -300 °, -75 ° ja 285 °, ja nii edasi. Märgin kohe, et nendes paarides nurgad - erinevad. Ja siin on nende trigonomeetrilised funktsioonid - sama.

Ma arvan, et sellised negatiivsed nurgad, mida sa mõistad. See on üsna lihtne. Vastupäeva edusammude vastu - positiivne loendur. Kursusel - negatiivne. Loe nurka positiivne või negatiivne sõltub meist. Meie soovist. Noh, ja ülesandest, muidugi ... Loodan, et sa mõistad ja kuidas liikuda trigonomeetrilistes funktsioonides negatiivse nurkade positiivse ja tagasi. Joonista ringi, ligikaudne nurk, kuid vaata, kui palju puudub täieliku käive, st Kuni 360 °.

Nurgad on suuremad kui 360 °.

Nurgad, mis on rohkem kui 360 °. Kas on olemas selliseid? Loomulikult on olemas. Kuidas neid ringi joonistada? Jah, mitte probleem! Oletame, et peame mõistma, milline kvartal saab 1000 ° nurga all? Lihtsalt! Teeme ühe täieliku omakorda vastupäeva jooksul (nurk anti positiivne!). Kolis 360 °. Noh ja tuul! Teine kord - juba selgus 720 °. Kui palju on jäänud? 280 °. Täieliku omakorda ei piisa ... kuid nurk on suurem kui 270 ° - ja see on piiri kolmanda ja neljanda kvartali vahel. See oli meie nurk 1000 ° siseneb neljandas kvartalis. Kõik.

Nagu näete, see on üsna lihtne. Jällegi meelde tuletan teile meelde, et nurk on 1000 ° ja nurk 280 °, mis saime läbi visata "tarbetuid" täieliku revolutsiooni - see on rangelt öelnud, erinev Nurgad. Kuid nende nurkade trigonomeetrilised funktsioonid täiesti identne! Need. SIN1000 ° \u003d SIN280 °, COS1000 ° \u003d COS280 °, jne. Kui ma oleksin sinus, ma ei märka erinevust nende kahe nurga vahel ...

Miks sa seda kõike vajate? Miks me peame tõlkima nurkadest ühelt teisele? Jah, kõik on sama.) Selleks et lihtsustada väljendeid. Väljendite lihtsustamine, Tegelikult kooli matemaatika peamine ülesanne. Noh, sel viisil, pea on koolitus.)

Hästi, praktika?)

Küsimustele vastama. Esimene lihtne.

1. Mis kvartalis nurgas -325 ° langeb?

2. Mis kvartalis on 3000 ° nurk?

3. Mis kvartalis nurk -3000 ° langeb?

On probleem? Või ebakindlus? Me läheme osa 555, praktiline töö trigonomeetrilise ringiga. Seal on esimene õppetund see väga "praktiline töö ..." Kõik on üksikasjalikud ... in selline Ebakindluse probleemid mitte!

4. Mis märk SIN555 ° on?

5. Milline märk on TG555 °?

Määratletud? Suurepärane! Kas kahtlete? See on vajalik jagu 555 ... muide, nad õpivad, kuidas tõmmata puutuja ja cotengent trigonomeetrilisel ringil. Väga kasulik asi.

Ja nüüd küsimusi juur.

6. kinnitage väljend SIN777 ° väikeste positiivse nurga sinusele.

7. Loo väljend COS777 ° kosiini suurima negatiivse nurga all.

8. Esitage COS-väljendus (-777 °) väikeste positiivse nurga allosas.

9. kinnitage väljend SIN777 ° kõrgeima negatiivse nurga sinusele.

Mis, küsimused 6-9 hämmingus? Harjuda eksami ja mitte sellise sõnastuse kohtumine ... nii, ma tõlkida. Ainult sinu jaoks!

Sõnad "toovad väljendit ..." tähendab väljendi teisendamist nii, et selle väärtus ei ole muutunud Ja välimus on muutunud vastavalt ülesandele. Niisiis, ülesanne 6 ja 9 peame saama sinuse, mille jooksul see maksab vaigista positiivset nurka. Kõik muu - see ei ole oluline.

Vastused väljastatakse järjekorras (meie reeglite rikkumisel). Ja mida teha, märk on ainult kaks ja kvartal on ainult neli ... Te ei tööta võimalusi.

6. SIN57 °.

7. COS (-57 °).

8. COS57 °.

9. -Sin (-57 °)

Ma eeldan, et vastused küsimustele 6 -9 keegi segaduses. Eriline -Sin (-57 °)Kas see on tõsi?) Tõsi? " Jaos 555. Seal on 4-9 ülesannet lahti võtta. Noh demonteeritud, koos kõigi veealuste kividega. Ja nad on siin.)

Järgmises õppetundil tegeleme salapärane radiaanide ja numbriga "PI". Me õpime kergesti ja õigesti tõlkida kraadi radiaanideks ja tagasi. Ja üllatusega leiate, et see elementaarne teave saidi kohta juba haarab Et lahendada mõned mittestandardsed trigonomeetria ülesanded!

Kui sulle meeldib see sait ...

Muide, mul on teile veel üks paar huvitavat saiti.)

Seda saab kasutada näidete lahendamisel ja teie taseme teada saada. Testimine kiirgage. Õpi - huviga!)

Te saate tutvuda funktsioone ja derivaatidega.

Trigonometriaga on oluline kontseptsioon rotatsiooni nurk. Allpool anname järjekindlalt rotatsiooni idee ja sisestage kõik samaaegsed mõisted. Alustame omakorda üldise esitlusega, ütleme täieliku pöörde kohta. Järgmisena jätkame pöördumisnurga kontseptsiooni ja kaalume selle peamisi omadusi, näiteks pöörlemise suunda ja suurust. Lõpuks anname me joonise kuju määratlemise punkti ümber. Kõik tekstis esitatud teooria tarnitakse seletuskirjade ja graafiliste illustratsioonidega.

Navigeerimine leht.

Mida nimetatakse selle punkti ümber?

Kohe, märgime, et koos fraasiga "Pöörake ümber punkt", mida me kasutame ka fraasi "Pöörake punkti ümber" ja "pöörake võrreldes punkti", mis tähendab sama.

Me tutvustame punkti ümber pöörlemise mõiste.

Kõigepealt anname pöördumiskeskuse määratluse.

Määratlus.

Punkt võrreldes pöörleb pööret nimetatakse pöördekeskus.

Nüüd ütleme, mis on saadud punkti pöörde tulemusena.

Selle tulemusena pöörlemise mõne punkti võrreldes keskpunkti keerates O, punkt A 1 saadakse (mis puhul teatud summa võib langeda kokku a) ja punkt A 1 asub ringis OA raadiusepunkti keskus. Teisisõnu, kui pöörleb suhtelise punkti o punkti o-protsesse punkti A 1, mis asub ringis OA raadiusepunkti keskusega.

Arvatakse, et punkt o ise ümber pööratakse. See tähendab pöördumise keskpunkti ümber pööramise tulemusena, läheb punkt o ise.

Samuti väärib märkimist, et pöörlemist punkti A ümber punkti o tuleks pidada liikumise tulemusena liikumise tulemuse ümber ringi ringi keskpunkti OA raadiusepunkti.

Selguse huvides esitame illustratsioon selle punkti ja ümber punkti o, alltoodud joonistel, liigutage punkti A punkti a 1, näitame noole abil.

Täiskülg

Sellist pöörlemist saate täita punktini O-i keskpunkti võrra, mis punkt a, olles läbinud kõik ringi punktid, osutuvad samas kohas. Samal ajal nad ütlevad, et punkt saavutatud punkti O.

Anname täieliku käibe graafilise illustratsiooni.

Kui te ei peatu ühel omakorda, vaid jätkama ümbermõõdu ümber liikumist, siis saate täita kaks, kolm ja nii täielik revolutsioonid. Õige joonisel olevas joonisel näidatakse, kuidas kaks täielikku pöördet saab valmistada ja vasakpoolne on kolm pööret.

Pöörlemisnurga mõiste

Esimeses lõigus esitatud punktist on pöörlemispunkt selge, et on lõpmatu punktpunktid punkti ja ümber punkti O. Tõepoolest võib OA-raadiusepunkti keskuse ümbermõõdu peapunkti pidada punktiks a 1-ni, mis saadakse punkti a pöörde tulemusena. Seetõttu, et eristada ühe pöörde teise sisseviimist pöörlemisnurga mõiste.

Üks rotatsiooni nurga omadusi on suund. Pöörlemise suunas kohtunik, kuidas pöörlemise punkti viiakse - päripäeva või vastupäeva.

Teine iseloomulik rotatsiooni nurk on selle väärtus. Rotatsiooni nurgad mõõdetakse samades üksustes: kõige tavalisemad kraadi ja radilasi. Siin on väärib märkimist, et rotatsiooni nurk saab väljendada kraadides lõpmatuse miinuse intervalliga lõpmatuse intervalliga, erinevalt geomeetria nurgast, mille väärtus on degrees positiivne ja ei ole ületada 180.

Pöörlemisnurkade viitamiseks kasutatakse tavaliselt kreeka tähestiku väiketähti: jne Viidata suure hulga ümberlülitamise nurkades ühe kirja madalamate indeksitega sageli kasutada näiteks näiteks .

Nüüd räägime rotatsiooni nurga omadustest rohkem ja järjekorras.

Suund

Lase ring keskusega punktis o tähistatud punktide a ja a 1. Punktis a 1, saate punktist A-ga pöörduda keskpunkti ümber kas päripäeva või vastupäeva. Need pöörded loetakse loogiliselt erinevaks.

Me illustreerime pöördeid positiivse ja negatiivse suunas. Alltoodud joonisel näidatakse omakorda positiivses suunas ja paremal - negatiivses.

Rotatsiooni nurga suurus, suvalise nurga nurk

Pöörlemise nurk punkti muu kui pöörlemise keskel on täielikult määratud selle väärtuse näitamisega, teiselt poolt võib pöördumise nurga väärtust hinnata selle kohta, kuidas see omakorda viidi läbi.

Nagu me juba eespool mainitud, väljendatakse rotatsiooni nurga suurust kraadides -∞-i numbriga -∞ kuni + ∞. Sellisel juhul vastab plussmärk päripäeva ja miinusmärk pöörleb vastupäeva.

Nüüd on jäänud kindlaks kirjavahetus pöörlemisnurga väärtuse ja asjaolu, et see vastab.

Alustame rotatsiooni nurga nurga nurgaga võrdub null kraadidega. See nurk muutub punkti ja iseenesest liikumise. Teisisõnu, kui keerates 0 kraadi ümber punkti o punkt a jääb paigale.

Mine pöörlemispunkti ja ümber punkti o, kus pöörlemine toimub poole käibest. Me eeldame, et punkt a läheb punkti a 1. Sel juhul ei ületa AOA 1 absoluutne nurk kraadides 180 inimest. Kui pöörlemine toimus positiivses suunas, peetakse pöörlemisnurga suurust võrdseks AOA 1 nurgaga ja kui pöörlemise toimus negatiivses suunas, loetakse selle väärtust võrdseks AOA nurga all 1 miinusmärgiga. Näiteks esitame joonise, mis näitab pöörlemisnurga nurkades 30, 180 ja -150 kraadi.

Röönistamise nurgad on suured 180 kraadi ja väiksemad -180 kraadi määratakse kindlaksmääratud piisavalt ilmselgelt omadused järjestikuste pöördeid: Mitmed seerianumbrid punkti A ümber keskele o on ühekordsed ühe pöörded, mille väärtus on võrdne nende väärtuste summaga.

Andkem selle vara illustreeriv eeskuju. Me pöörame punkti punkti võrreldes punkti o 45 kraadi suhtes ja seejärel lülitage see punkt 60 kraadi võrra, pärast seda, kui me pöörame selle punkti -35 kraadi. Tähistage nende pöörete vahepealseid punkte 1, a 2 ja a 3-ni. Samas punktis 3, võiksime saada, täites ühekordse punkti A-d 45 + 60 + (- 35) nurga all \u003d 70 kraadi.

Niisiis, pöörlemisnurgad, suured 180 kraadi, esindame mõningaid järjestikust pöördeid nurkades, mille summa väärtuste summa annab pööramise esialgse nurga väärtuse. Näiteks vastab 279 kraadi pöörlemisnurk 180 ja 99 kraadi järjestikune pöördeid või 90, 90, 90 ja 9 kraadi või 180, 180 ja -81 kraadi või 279 järjestikuse pöördeid 1 kraadi.

Rotatsiooni nurgad on määratletud samal viisil, väiksemad -180 kraadi. Näiteks võib pöörlemisnurga -520 kraadi nurk tõlgendada nii, et punkt -180, -180 ja -160 kraadi järjepidev pöörded.

Kokku võtma. Me otsustasime pöörlemisnurga, mille ulatust kraadides väljendatakse mõningase kehtiva numbri poolt -∞-st + ∞-st. Trigonometriaga töötame me treeningnurgadega, kuigi sõna "pööre" on sageli langetatud ja nad ütlevad lihtsalt "nurk". Seega hakkame trigonomeetrial töötama nurga nurga all, mille all me mõistame pöördenurga nurgad.

Käesoleva lõike sõlmimiseks märgime, et positiivse suuna kogukäive vastab 360 kraadi (või 2 π-radiaani) rotatsiooni nurgale ja negatiivse - rotatsiooni nurk -360 kraadi (või -2) · Π on hea meel). Samal ajal on see mugav suurte nurkade jaoks, mis esindavad teatud koguse täielikke revolutsioone ja teist pööret suurust nurga all -180 kuni 180 kraadi. Näiteks võtta nurk pöörlemise 1 340 kraadi. See on lihtne esindada 1 340 360 · 4 + (- 100). See tähendab, et rotatsiooni esialgne nurk vastab positiivsele suunale 4 täielikku pööret ja järgmine lülitamine -100 kraadi. Teine näide: Pöörlemise nurk -745 kraadi saab tõlgendada nii kahe pöörete vastu päripäeva ja -25 kraadi järgneva pöörlemise vastu, kuna -745 \u003d (- 360) · 2 + (- 25).

Pöörake kuju ümber nurga all

Punkti pöörlemise mõiste laieneb kergesti pöörake ükskõik millise kuju ümber nurga all (See on umbes selline pöördumine punkti suhtelisena, millele pööratakse väljalülitamisel ja joonisel, mis muutub, asub samas tasapinnas).

Joonise käigul me mõistame kõigi joonise punktide pöörlemist kindlaksmääratud punkti ümber antud nurga all.

Näiteks anname illustratsiooni järgmistest tegevustest: täita lõigatud AB pöörlemise nurka suhtes punkti o, selle segmendi pöörlemisel muutumisel segmendiks A 1 B 1.

Bibliograafia.

• ALGEBRA: Uuringud. 9 CL jaoks. keskkond Shk. / U. N. Makarchev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. Telikovsky. - M.: Haridus, 1990.- 272 c.: IL.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. ALGEBRA JA START ANALÜÜS: Uuringud. 10-11 Cl. keskkond Shk. - 3. ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 c.: IL. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ja alustades analüüs: uuringud. 10-11 Cl. Üldharidus. Institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jne; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th Ed. - M.: Valgustumine, 2004.- 384 c.: ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (tehniliste koolide taotlejatele kasu): uuringud. kasu. - M.; Kõrgem. SHK., 1984.-351 lk., IL.