L'attente d'échec et mat peut être supérieure à 1. Probabilités et statistiques - faits de base

La prochaine propriété la plus importante d'une variable aléatoire après l'espérance mathématique est sa variance, définie comme le carré moyen de l'écart par rapport à la moyenne :

Si nous notons par alors la variance VX sera la valeur attendue.C'est une caractéristique de la "propagation" de la distribution de X.

Comme exemple simple Calcul de l'écart Supposons que l'on vient de nous faire une offre que nous ne pouvons pas refuser : quelqu'un nous a remis deux certificats pour participer à la même loterie. Les organisateurs de loterie vendent 100 billets chaque semaine, participant à un tirage séparé. Dans le tirage au sort, l'un de ces billets est sélectionné selon un processus aléatoire uniforme - chaque billet a une chance égale d'être sélectionné - et le détenteur de ce billet chanceux reçoit cent millions de dollars. Les 99 autres détenteurs de billets de loterie n'ont rien gagné.

Nous pouvons utiliser le cadeau de deux manières : acheter soit deux billets dans une loterie, soit un à la fois pour participer à deux loteries différentes. Quelle stratégie est la meilleure ? Essayons d'analyser. Pour ce faire, désignons par des variables aléatoires représentant la taille de nos gains sur les premier et deuxième tickets. La valeur attendue en millions est

et la même chose est vraie pour les valeurs attendues sont additives, donc notre gain total moyen est

quelle que soit la stratégie adoptée.

Cependant, les deux stratégies semblent être différentes. Allons au-delà des valeurs attendues et étudions la distribution de probabilité complète

Si nous achetons deux billets à la même loterie, nos chances de ne rien gagner seront de 98% et 2% - les chances de gagner 100 millions. Si nous achetons des billets pour différentes éditions, les chiffres seront les suivants : 98,01 % - la chance de ne rien gagner, ce qui est légèrement plus qu'avant ; 0,01% - une chance de gagner 200 millions, également un peu plus qu'avant ; et la chance de gagner 100 millions est maintenant de 1,98%. Ainsi, dans le second cas, la distribution de la quantité est un peu plus éparse ; la moyenne, 100 millions de dollars, est un peu moins probable, tandis que les extrêmes sont plus probables.

C'est ce concept de propagation d'une variable aléatoire que la variance est censée refléter. Nous mesurons l'écart par le carré de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique. Ainsi, dans le cas 1, la variance sera

dans le cas 2, la variance est

Comme nous nous y attendions, cette dernière valeur est légèrement plus grande, car la distribution dans le cas 2 est un peu plus dispersée.

Lorsque nous travaillons avec des variances, tout est au carré, le résultat peut donc être de très grands nombres. (Le multiplicateur est de mille milliards, cela devrait être impressionnant

même pour les gros parieurs.) Pour convertir les valeurs en une échelle initiale plus significative, la racine carrée de la variance est souvent prise. Le nombre résultant est appelé l'écart type et est généralement désigné par la lettre grecque a :

Les écarts types des valeurs pour nos deux stratégies de loterie sont. Dans un sens, la deuxième option est d'environ 71 247 $ plus risquée.

Comment la variance aide-t-elle à choisir une stratégie ? Ce n'est pas clair. Une stratégie avec plus de variance est plus risquée ; mais qu'est-ce qui est le mieux pour notre portefeuille ? Le risque ou le jeu en toute sécurité ? Ayons la possibilité d'acheter non pas deux billets, mais cent. Ensuite, nous pourrions garantir un gain à la loterie (et la variance serait de zéro) ; ou il était possible de jouer dans des centaines de tirages différents, ne recevant rien avec probabilité, mais ayant une chance non nulle de gagner jusqu'à des dollars. Le choix de l'une de ces alternatives dépasse le cadre de ce livre ; tout ce que nous pouvons faire ici est d'expliquer comment faire les calculs.

En fait, il existe un moyen plus simple de calculer la variance que d'utiliser directement la définition (8.13). (Il y a toutes les raisons de suspecter une sorte de mathématiques cachées ici ; sinon, pourquoi la variance dans les exemples de loterie s'avérerait-elle être un multiple entier? Nous avons

puisque c'est une constante ; Par conséquent,

"La variance est la moyenne du carré moins le carré de la moyenne"

Par exemple, dans le problème de la loterie, la moyenne est ou la soustraction (le carré de la moyenne) donne les résultats que nous avons déjà obtenus de manière plus difficile.

Il y a cependant encore plus formule simple, applicable lorsque nous calculons pour X et Y indépendants. Nous avons

puisque, comme on le sait, pour les variables aléatoires indépendantes Par conséquent,

"La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances" Ainsi, par exemple, la variance du montant qui peut être gagné sur un billet de loterie est

Par conséquent, la variance des gains totaux pour deux billets de loterie dans deux loteries différentes (indépendantes) sera

La variance de la somme des points lâchés sur deux dés peut être obtenue en utilisant la même formule, puisqu'il existe une somme de deux variables aléatoires indépendantes. Nous avons

pour le bon cube ; donc, dans le cas d'un centre de masse déplacé

donc, si le centre de masse des deux cubes est déplacé. Notez que dans ce dernier cas, la variance est plus importante, même s'il faut en moyenne 7 plus souvent qu'avec les bons dés. Si notre objectif est de lancer plus de sept chanceux, alors la variance n'est pas meilleur indicateur Succès.

D'accord, nous avons trouvé comment calculer la variance. Mais nous n'avons pas encore donné de réponse à la question de savoir pourquoi il est nécessaire de calculer la variance. Tout le monde le fait, mais pourquoi ? La raison principale réside dans l'inégalité de Chebyshev qui établit propriété importante variance:

(Cette inégalité diffère des inégalités de Chebyshev pour les sommes rencontrées au chapitre 2.) Qualitativement, (8.17) affirme qu'une variable aléatoire X prend rarement des valeurs éloignées de sa moyenne si sa variance VX est petite. Preuve

la solution est inhabituellement simple. Vraiment,

la division par achève la preuve.

Si nous notons l'espérance mathématique par a et l'écart type par a et remplaçons dans (8.17) par la condition, nous obtenons donc de (8.17)

Ainsi, X se situera dans les temps de l'écart type de sa moyenne sauf dans les cas où la probabilité ne dépasse pas.La variable aléatoire se situera dans 2a d'au moins 75 % des essais ; allant de à - pour au moins 99%. Ce sont des cas d'inégalité de Chebyshev.

Si vous lancez quelques dés, le nombre total de points dans tous les lancers sera presque toujours proche de.

Par conséquent, à partir de l'inégalité de Chebyshev, nous trouvons que la somme des points se situera entre

pour au moins 99% de tous les lancers de dés corrects. Par exemple, le total d'un million de lancers a plus de 99% de chances d'être conclu entre 6,976 millions et 7,024 millions.

Dans le cas général, soit X une variable aléatoire quelconque sur l'espace de probabilité P, ayant une espérance mathématique finie et un écart type fini a. On peut alors introduire en considération l'espace probabiliste , dont les événements élémentaires sont des -suites où chacun, et la probabilité est définie comme

Si maintenant on définit les variables aléatoires par la formule

alors la valeur

sera la somme des variables aléatoires indépendantes, ce qui correspond au processus de sommation des réalisations indépendantes de la valeur X par P. L'espérance mathématique sera égale à et l'écart type - ; donc, la valeur moyenne des réalisations,

variera d'au moins 99% période de temps... En d'autres termes, si nous choisissons une valeur suffisamment grande, la moyenne arithmétique des tests indépendants sera presque toujours très proche de la valeur attendue (dans les manuels de théorie des probabilités, un théorème encore plus fort est prouvé, appelé la loi renforcée des grands nombres ; mais la simple conséquence de l'inégalité de Tchebychev, que nous venons de retirer.)

Parfois, nous ne connaissons pas les caractéristiques de l'espace de probabilité, mais nous devons estimer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X en utilisant des observations répétées de sa valeur. (Par exemple, nous pourrions vouloir la température moyenne de janvier à midi à San Francisco ; ou nous pourrions vouloir connaître l'espérance de vie sur laquelle baser nos calculs agents d'assurance.) Si nous avons à notre disposition des observations empiriques indépendantes, alors nous pouvons supposer que la véritable espérance mathématique est approximativement égale à

Vous pouvez également estimer la variance à l'aide de la formule

En regardant cette formule, vous pourriez penser qu'il s'agit d'une erreur typographique ; il semblerait qu'il devrait se tenir là comme dans (8.19), puisque la vraie valeur de la variance est déterminée dans (8.15) à travers les valeurs attendues. Cependant, remplacer ici par permet d'obtenir meilleure note, puisque la définition (8.20) implique que

Voici la preuve :

(Dans ce calcul, nous nous basons sur l'indépendance des observations lorsque nous remplaçons par)

En pratique, pour évaluer les résultats d'une expérience avec une variable aléatoire X, la moyenne empirique et l'écart type empirique sont généralement calculés, puis la réponse est écrite sous la forme Ici, par exemple, les résultats du lancer d'une paire de dés, vraisemblablement correct.

Caractéristiques numériques de base des variables aléatoires discrètes et continues : espérance mathématique, variance et écart type. Leurs propriétés et exemples.

La loi de distribution (fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrit complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines des caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son écart éventuel) pour répondre à la question posée. Considérons les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes.

Définition 7.1.Attente mathématique une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles par les probabilités correspondantes :

M(N.-É.) = N.-É. 1 R 1 + N.-É. 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Si le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire est infini, alors si la série résultante converge absolument.

Remarque 1. L'espérance mathématique est parfois appelée moyenne pondérée, puisqu'elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire pour un grand nombre d'expériences.

Remarque 2. De la définition de l'espérance mathématique, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible d'une variable aléatoire et pas plus que la plus grande.

Remarque 3. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est pas de hasard(constant. Dans ce qui suit, nous verrons qu'il en est de même pour les variables aléatoires continues.

Exemple 1. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire N.-É.- le nombre de pièces standards parmi trois, choisies dans un lot de 10 pièces, dont 2 défectueuses. Composons une série de distribution pour N.-É.... Il résulte de l'énoncé du problème que N.-É. peut prendre les valeurs 1, 2, 3. Ensuite

Exemple 2. Déterminer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire N.-É.- le nombre de tirages au sort avant la première apparition des armoiries. Cette valeur peut prendre un nombre infini de valeurs (l'ensemble des valeurs possibles est un ensemble nombres naturels). Sa série de distribution est la suivante :

N.-É.			…	N.-É.	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)N.-É.	…

+ (dans le calcul, la formule de la somme infiniment décroissante a été utilisée deux fois progression géométrique: , où ).

Propriétés d'espérance mathématique.

1) L'espérance mathématique d'une constante est égale à la plus constante :

M(AVEC) = AVEC.(7.2)

Preuve. Considérant AVEC en tant que variable aléatoire discrète ne prenant qu'une valeur AVEC avec probabilité R= 1, alors M(AVEC) = AVEC?1 = AVEC.

2) Le facteur constant peut être retiré du signe de l'espérance mathématique :

M(SH) = CM(N.-É.). (7.3)

Preuve. Si une variable aléatoire N.-É. donnée par une série de distribution

Puis M(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = AVEC(N.-É. 1 R 1 + N.-É. 2 R 2 + … + x p p p) = CM(N.-É.).

Définition 7.2. Deux variables aléatoires sont appelées indépendant, si la loi de distribution de l'un d'eux ne dépend pas des valeurs que l'autre a prises. Sinon, les variables aléatoires dépendant.

Définition 7.3. Appelons produit de variables aléatoires indépendantes N.-É. et Oui Variable aléatoire XY, dont les valeurs possibles sont égales aux produits de toutes les valeurs possibles N.-É. pour toutes les valeurs possibles Oui, et les probabilités correspondantes sont égales aux produits des probabilités des facteurs.

3) L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques :

M(XY) = M(X)M(Oui). (7.4)

Preuve. Pour simplifier les calculs, nous nous limitons au cas où N.-É. et Oui ne prend que deux valeurs possibles :

D'où, M(XY) = X 1 oui 1 ?p 1 g 1 + X 2 oui 1 ?p 2 g 1 + X 1 oui 2 ?p 1 g 2 + X 2 oui 2 ?p 2 g 2 = oui 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + oui 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (oui 1 g 1 + oui 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Oui).

Remarque 1. De même, cette propriété peut être prouvée pour un plus grand nombre de valeurs possibles des facteurs.

Remarque 2. La propriété 3 est valable pour le produit d'un nombre quelconque de variables aléatoires indépendantes, ce qui est prouvé par la méthode d'induction mathématique.

Définition 7.4. Nous définissons somme de variables aléatoires N.-É. et Oui comme variable aléatoire X + Y, dont les valeurs possibles sont égales aux sommes de chaque valeur possible N.-É. avec toutes les valeurs possibles Oui; les probabilités de telles sommes sont égales aux produits des probabilités des termes (pour les variables aléatoires dépendantes, les produits de la probabilité d'un terme et de la probabilité conditionnelle du second).

4) L'espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires (dépendantes ou indépendantes) est égale à la somme des espérances mathématiques des termes :

M (X + Y) = M (X) + M (Oui). (7.5)

Preuve.

Considérons à nouveau les variables aléatoires données par la série de distribution donnée dans la preuve de la propriété 3. Ensuite, les valeurs possibles X + Y sommes N.-É. 1 + à 1 , N.-É. 1 + à 2 , N.-É. 2 + à 1 , N.-É. 2 + à 2. Notons leurs probabilités, respectivement, comme R 11 , R 12 , R 21 et R 22. Trouve M(N.-É.+Oui) = (X 1 + oui 1)p 11 + (X 1 + oui 2)p 12 + (X 2 + oui 1)p 21 + (X 2 + oui 2)p 22 =

= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + oui 1 (p 11 + p 21) + oui 2 (p 12 + p 22).

Prouvons que R 11 + R 22 = R 1 . En effet, l'événement qui X + Y prendra des valeurs N.-É. 1 + à 1 ou N.-É. 1 + à 2 et dont la probabilité est R 11 + R 22 coïncide avec l'événement qui N.-É. = N.-É. 1 (sa probabilité est R 1). De même, il est prouvé que p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Moyens,

M(X + Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + oui 1 g 1 + oui 2 g 2 = M (X) + M (Oui).

Commenter... La propriété 4 implique que la somme d'un nombre quelconque de variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des termes.

Exemple. Trouvez l'espérance mathématique de la somme du nombre de points perdus en lançant cinq dés.

Trouvons l'espérance mathématique du nombre de points perdus en lançant un dé :

M(N.-É. 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Le même nombre est égal à l'espérance mathématique du nombre de points perdus sur n'importe quel dé. Par conséquent, par la propriété 4 M(N.-É.)=

Dispersion.

Pour avoir une idée du comportement d'une variable aléatoire, il ne suffit pas de connaître uniquement son espérance mathématique. Considérons deux variables aléatoires : N.-É. et Oui donnée par des séries de distribution de la forme

N.-É.
R	0,1	0,8	0,1

Oui
p	0,5	0,5

Trouve M(N.-É.) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Oui) = 0 ? 0,5 + 100 ? 0,5 = 50. Comme vous pouvez le voir, les attentes mathématiques des deux quantités sont égales, mais si pour HM(N.-É.) décrit bien le comportement d'une variable aléatoire, étant sa valeur la plus probable possible (de plus, les autres valeurs ne sont pas très différentes de 50), puis les valeurs Oui considérablement éloigné de M(Oui). Par conséquent, parallèlement à l'espérance mathématique, il est souhaitable de savoir de combien les valeurs de la variable aléatoire s'en écartent. La variance est utilisée pour caractériser cet indicateur.

Définition 7.5.Dispersion (diffusion) une variable aléatoire est appelée l'espérance mathématique du carré de son écart par rapport à son espérance mathématique :

ré(X) = M (X-M(X)) ². (7.6)

Trouver la variance de la variable aléatoire N.-É.(le nombre de pièces normalisées parmi celles sélectionnées) dans l'exemple 1 de ce cours. Calculons les valeurs de l'écart au carré de chaque valeur possible à partir de l'espérance mathématique :

(1 - 2,4) 2 = 1,96 ; (2 - 2,4) 2 = 0,16 ; (3 - 2,4) 2 = 0,36. D'où,

Remarque 1. Pour déterminer la variance, ce n'est pas l'écart par rapport à la moyenne elle-même qui est évalué, mais son carré. Ceci est fait pour que les écarts de différents signes ne se compensent pas.

Remarque 2. Il résulte de la définition de la variance que cette quantité ne prend que des valeurs non négatives.

Remarque 3. Il existe une formule plus pratique pour calculer la variance, dont la validité est prouvée dans le théorème suivant :

Théorème 7.1.ré(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Preuve.

En utilisant quoi M(N.-É.) est une constante, et les propriétés de l'espérance mathématique, nous transformons la formule (7.6) sous la forme :

ré(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), comme demandé.

Exemple. On calcule les variances des variables aléatoires N.-É. et Oui discuté au début de cette section. M(N.-É.) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Oui) = (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Ainsi, la variance de la deuxième variable aléatoire est plusieurs milliers de fois supérieure à la variance de la première. Ainsi, même sans connaître les lois de distribution de ces quantités, on peut affirmer à partir des valeurs de dispersion connues que N.-É. s'écarte peu de son espérance mathématique, tandis que pour Oui cet écart est assez important.

Propriétés de dispersion.

1) Dispersion de la constante AVEC est égal à zéro :

ré (C) = 0. (7.8)

Preuve. ré(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Le facteur constant peut être retiré du signe de la variance en le mettant au carré :

ré(CX) = C² ré(X). (7.9)

Preuve. ré(CX) = M((CX - M(CX))²) = M((CX - CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² ré(X).

3) La variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances :

ré(X + Y) = ré(X) + ré(Oui). (7.10)

Preuve. ré(X + Y) = M(X² + 2 XY + Oui²) - ( M(X) + M(Oui))² = M(X²) + 2 M(X)M(Oui) +

+ M(Oui²) - M²( X) - 2M(X)M(Oui) - M²( Oui) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Oui²) - M²( Oui)) = ré(X) + ré(Oui).

Corollaire 1. La variance de la somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes les unes des autres est égale à la somme de leurs variances.

Corollaire 2. La variance de la somme d'une constante et d'une variable aléatoire est égale à la variance de la variable aléatoire.

4) La variance de la différence de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances :

ré(X - Y) = ré(X) + ré(Oui). (7.11)

Preuve. ré(X - Y) = ré(X) + ré(-Oui) = ré(X) + (-1) ² ré(Oui) = ré(X) + ré(X).

La variance donne la moyenne du carré de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à la moyenne ; pour estimer l'écart lui-même, une quantité appelée écart type est utilisée.

Définition 7.6.Écart quadratique moyen d'une variable aléatoire N.-É. appelée racine carrée de la variance :

Exemple. Dans l'exemple précédent, les écarts types N.-É. et Ouiégaux respectivement

Une valeur aléatoire est appelée une variable qui, à la suite de chaque test, prend une valeur auparavant inconnue, en fonction de causes aléatoires. Les variables aléatoires sont désignées par des lettres majuscules avec des lettres latines: $ X, \ Y, \ Z, \ \ dots $ Par leur type, les variables aléatoires peuvent être discret et continu.

Variable aléatoire discrète est une variable aléatoire dont les valeurs ne peuvent être que dénombrables, c'est-à-dire finies ou dénombrables. La dénombrement signifie que les valeurs d'une variable aléatoire peuvent être numérotées.

Exemple 1 ... Voici quelques exemples de variables aléatoires discrètes :

a) le nombre de coups sur la cible avec $ n $ coups, ici les valeurs possibles sont $ 0, \ 1, \ \ points, \ n $.

b) le nombre d'armoiries tombées lorsque la pièce est lancée, ici les valeurs possibles sont 0 $, \ 1, \ \ points, \ n $.

c) le nombre de navires arrivant à bord (ensemble dénombrable de valeurs).

d) le nombre d'appels arrivant au PBX (ensemble dénombrable de valeurs).

1. La loi de distribution de probabilité pour une variable aléatoire discrète.

La variable aléatoire discrète $ X $ peut prendre les valeurs $ x_1, \ points, \ x_n $ avec des probabilités $ p \ gauche (x_1 \ droite), \ \ points, \ p \ gauche (x_n \ droite) $. La correspondance entre ces valeurs et leurs probabilités s'appelle la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète... En règle générale, cette correspondance est établie à l'aide d'un tableau, dans la première ligne dont les valeurs $ x_1, \ points, \ x_n $ sont indiquées, et dans la deuxième ligne les probabilités $ p_1, \ points, \ p_n $ correspondant à ces valeurs.

$ \ begin (tableau) (| c | c |)
\ hline
X_i & x_1 & x_2 & \ points & x_n \\
\ hline
p_i & p_1 & p_2 & \ points & p_n \\
\ hline
\ fin (tableau) $

Exemple 2 ... Soit la variable aléatoire $ X $ le nombre de points perdus en lançant un dé. Une telle variable aléatoire $ X $ peut prendre les valeurs suivantes $ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 $. Les probabilités de toutes ces valeurs sont de 1$/6$. Alors la loi de distribution de probabilité pour la variable aléatoire $ X $ :

$ \ begin (tableau) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline

\ hline
\ fin (tableau) $

Commenter... Puisque dans la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $ X $ les événements $ 1, \ 2, \ \ points, \ 6 $ forment un groupe complet d'événements, la somme des probabilités doit être égale à un, c'est-à-dire $ \ somme (p_i) = 1 $.

2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire fixe sa signification « centrale ». Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance est calculée comme la somme des produits des valeurs $ x_1, \ points, \ x_n $ par les probabilités correspondantes $ p_1, \ points, \ p_n $, soit : $ M \ gauche (X \ droite) = \ somme ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Dans la littérature de langue anglaise, une notation différente est utilisée, $ E \ left (X \ right) $.

Propriétés d'espérance mathématique$ M \ gauche (X \ droite) $ :

$ M \ left (X \ right) $ est compris entre le plus petit et valeurs les plus élevées variable aléatoire $ X $.
L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même, c'est-à-dire $ M \ gauche (C \ droite) = C $.
Le facteur constant peut être pris en dehors du signe d'espérance mathématique : $ M \ gauche (CX \ droite) = CM \ gauche (X \ droite) $.
L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : $ M \ gauche (X + Y \ droite) = M \ gauche (X \ droite) + M \ gauche (Y \ droite) $.
L'espérance mathématique du produit des variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : $ M \ gauche (XY \ droite) = M \ gauche (X \ droite) M \ gauche (Y \ droite) $.

Exemple 3 ... Trouvons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $ X $ de l'exemple $ 2 $.

$$ M \ gauche (X \ droite) = \ somme ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ over (6)) + 2 \ cdot ((1) \ over (6) ) +3 \ cdot ((1) \ dessus (6)) + 4 \ cdot ((1) \ dessus (6)) + 5 \ cdot ((1) \ dessus (6)) + 6 \ cdot ((1 ) \ sur (6)) = 3,5. $$

On peut remarquer que $ M \ left (X \ right) $ est enfermé entre la plus petite (1 $ $) et la plus grande (6 $ $) valeurs de la variable aléatoire $ X $.

Exemple 4 ... On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $ X $ est égale à $ M \ left (X \ right) = 2 $. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $ 3X + 5 $.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $ M \ gauche (3X + 5 \ droite) = M \ gauche (3X \ droite) + M \ gauche (5 \ droite) = 3M \ gauche (X \ droite) + 5 = 3 \ cdot 2 + 5 = 11 $.

Exemple 5 ... On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $ X $ est égale à $ M \ left (X \ right) = 4 $. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $ 2X-9 $.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $ M \ gauche (2X-9 \ droite) = M \ gauche (2X \ droite) -M \ gauche (9 \ droite) = 2M \ gauche (X \ droite) -9 = 2 \ cdot 4 -9 = -1 $.

3. Dispersion d'une variable aléatoire discrète.

Les valeurs possibles des variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales peuvent se disperser de différentes manières autour de leurs valeurs moyennes. Par exemple, dans deux groupes d'étudiants, la note moyenne à l'examen en théorie des probabilités était de 4, mais dans un groupe, tout le monde s'est avéré bon et dans l'autre groupe - uniquement C et A. Par conséquent, il existe un besoin pour une telle caractéristique numérique d'une variable aléatoire, qui montrerait la répartition des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cette caractéristique est la variance.

Dispersion d'une variable aléatoire discrète$ X $ est égal à :

$$ D \ gauche (X \ droite) = \ somme ^ n_ (i = 1) (p_i (\ gauche (x_i-M \ gauche (X \ droite) \ droite)) ^ 2). \ $$

Dans la littérature anglaise, la notation $V\left (X\right), \Var\left (X\right)$ est utilisée. Très souvent la variance $ D \ left (X \ right) $ est calculée par la formule $ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ left (M \ gauche (X \ droite) \ droite)) ^ 2 $.

Propriétés de dispersion$ D \ gauche (X \ droite) $ :

La variance est toujours supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire $ D \ gauche (X \ droite) \ ge 0 $.
La variance de la constante est égale à zéro, c'est-à-dire $ D \ gauche (C \ droite) = 0 $.
Le facteur constant peut être retiré du signe de la variance, à condition qu'il soit au carré, c'est-à-dire $ D \ gauche (CX \ droite) = C ^ 2D \ gauche (X \ droite) $.
La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $ D\gauche (X + Y\droite) = D\gauche (X\droite) + D\gauche (Y\droite) $.
La variance de la différence des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $ D\gauche (X-Y\droite) = D\gauche (X\droite) + D\gauche (Y\droite) $.

Exemple 6 ... Calculons la variance de la variable aléatoire $ X $ à partir de l'exemple $ 2 $.

$$ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2) = ((1) \ over (6)) \ cdot (\ gauche (1-3,5 \ droite)) ^ 2 + ((1) \ dessus (6)) \ cdot (\ gauche (2-3,5 \ droite)) ^ 2+ \ points + ( (1) \ au-dessus de (6)) \ cdot (\ à gauche (6-3,5 \ à droite)) ^ 2 = ((35) \ au-dessus de (12)) \ environ 2,92. $$

Exemple 7 ... On sait que la variance de la variable aléatoire $ X $ est égale à $ D \ left (X \ right) = 2 $. Trouvez la variance de la variable aléatoire $ 4X + 1 $.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $ D \ gauche (4X + 1 \ droite) = D \ gauche (4X \ droite) + D \ gauche (1 \ droite) = 4 ^ 2D \ gauche (X \ droite) + 0 = 16D\gauche (X\droite) = 16\cdot 2 = 32$.

Exemple 8 ... On sait que la variance de la variable aléatoire $ X $ est égale à $ D \ left (X \ right) = 3 $. Trouvez la variance de la variable aléatoire $ 3-2X $.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $ D \ left (3-2X \ right) = D \ left (3 \ right) + D \ left (2X \ right) = 0 + 2 ^ 2D \ left (X \ right) = 4D\gauche (X\droite) = 4\cdot 3 = 12$.

4. Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète.

La façon de représenter une variable aléatoire discrète sous la forme d'une série de distribution n'est pas la seule, et surtout, elle n'est pas universelle, puisqu'une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée à l'aide d'une série de distribution. Il existe une autre façon de représenter une variable aléatoire - la fonction de distribution.

Fonction de distribution de la variable aléatoire $ X $ est appelée la fonction $ F \ left (x \ right) $, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $ X $ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $ x $, c'est-à-dire $ F \ gauche (x \ droite ) = P \ gauche (X< x\right)$

Propriétés de la fonction de distribution:

$ 0 \ le F \ gauche (x \ droite) \ le 1 $.
La probabilité que la variable aléatoire $ X $ prenne des valeurs dans l'intervalle $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de ce intervalle : $ P \ gauche (\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$ F \ gauche (x \ droite) $ - non décroissant.
$ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ à droite) = 1 \) $.

Exemple 9 ... Trouvons la fonction de distribution $ F \ left (x \ right) $ pour la loi de distribution de la variable aléatoire discrète $ X $ de l'exemple $ 2 $.

$ \ begin (tableau) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\ hline
\ fin (tableau) $

Si $ x \ le 1 $, alors, évidemment, $ F \ left (x \ right) = 0 $ (y compris pour $ x = 1 $ $ F \ left (1 \ right) = P \ left (X< 1\right)=0$).

Si 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si 4 $< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si 5 $< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $ x> 6 $, alors $ F\gauche (x\droite) = P\gauche (X=1\droite) + P\gauche (X=2\droite) + P\gauche (X=3\droite) + P \ gauche (X = 4 \ droite) + P \ gauche (X = 5 \ droite) + P \ gauche (X = 6 \ droite) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 $.

Donc $ F (x) = \ left \ (\ begin (matrice)
0, \ pour \ x \ le 1, \\
1/6, pour \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ pour \ 2< x\le 3,\\
1/2, pour \ 3< x\le 4,\\
2/3, \ pour \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ pour \ 4< x\le 5,\\
1, \ pour \ x> 6.
\ fin (matrice) \ droite. $

L'espérance mathématique est, la définition

L'attente du compagnon est l'un des concepts les plus importants de la statistique mathématique et de la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou probabilités Variable aléatoire. Généralement exprimé comme une moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d'une variable aléatoire. Il est largement utilisé dans l'analyse technique, l'étude des séries numériques, l'étude des processus continus et à long terme. Il a indispensable lors de l'évaluation des risques, de la prévision des indicateurs de prix lors de la négociation sur les marchés financiers, il est utilisé dans le développement de stratégies et de méthodes de tactique de jeu dans théorie du jeu.

Attente d'échec et mat- c'est valeur moyenne d'une variable aléatoire, distribution probabilités variable aléatoire est considérée dans la théorie des probabilités.

L'attente du compagnon est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire en théorie des probabilités. Espérance mathématique d'une variable aléatoire X noté M (x).

La moyenne de la population est

L'attente du compagnon est

L'attente du compagnon est en théorie des probabilités, la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que cette variable aléatoire peut prendre.

L'attente du compagnon est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire par les probabilités de ces valeurs.

La moyenne de la population est

L'attente du compagnon est le bénéfice moyen d'une solution particulière, à condition que décision similaire peut être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des grandes distances.

L'attente du compagnon est dans la théorie du jeu, le montant des gains qu'un spéculateur peut gagner ou perdre, en moyenne, pour chaque pari. Dans le langage du jeu spéculateurs c'est ce qu'on appelle parfois "l'avantage spéculateur"(si c'est positif pour le spéculateur) ou " avantage casino "(si c'est négatif pour le spéculateur).

La moyenne de la population est

L'attente du compagnon est bénéfice par victoire multiplié par la moyenne profit, moins la perte multipliée par la perte moyenne.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire en théorie mathématique

L'une des caractéristiques numériques importantes d'une variable aléatoire est le tapis d'espérance. Introduisons le concept de système de variables aléatoires. Considérons une collection de variables aléatoires qui sont les résultats de la même expérience aléatoire. Si - l'une des valeurs possibles du système, alors l'événement correspond à une certaine probabilité qui satisfait les axiomes de Kolmogorov. Une fonction définie pour toutes les valeurs possibles des variables aléatoires est appelée loi de distribution conjointe. Cette fonction vous permet de calculer les probabilités de tous les événements à partir de. En particulier, l'articulation loi distributions de variables aléatoires et, qui prennent des valeurs de l'ensemble et, est donnée par des probabilités.

Le terme « tapis. l'espérance « a été introduite par Pierre Simon le marquis de Laplace (1795) et a pour origine le concept de « valeur attendue du gain », qui est apparu pour la première fois au XVIIe siècle dans la théorie du jeu dans les écrits de Blaise Pascal et Christian Huygens. Cependant, la première compréhension théorique complète et l'évaluation de ce concept ont été données par Pafnutii Lvovich Chebyshev (milieu du XIXe siècle).

Loi les distributions de valeurs numériques aléatoires (fonction de distribution et séries de distribution ou densité de probabilité) décrivent complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines des caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son écart éventuel) pour répondre à la question posée. Les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires sont l'espérance, la variance, le mode et la médiane.

L'espérance d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles par les probabilités correspondantes. Parfois compagnon. l'espérance est appelée moyenne pondérée, car elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire pour un grand nombre d'expériences. De la définition du tapis d'espérance, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible de la variable aléatoire et pas supérieure à la plus grande. L'espérance d'une variable aléatoire est une variable non aléatoire (constante).

L'espérance mathématique a une signification physique simple : si nous plaçons une unité de masse sur une ligne droite en plaçant une masse en certains points (pour une distribution discrète) ou en la « étalant » avec une certaine densité (pour une distribution absolument continue), alors le point correspondant à l'espérance mathématique sera la coordonnée Le "centre de gravité" est droit.

La valeur moyenne d'une variable aléatoire est un certain nombre, qui est en quelque sorte son « représentatif » et le remplace dans des calculs approximatifs grossiers. Lorsque nous disons : « la durée moyenne de fonctionnement de la lampe est de 100 heures » ou « le point médian d'impact est déplacé par rapport à la cible de 2 m vers la droite », nous désignons une certaine caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui décrit son position sur l'axe numérique, c'est-à-dire "Caractérisation du poste".

D'après les caractéristiques de la position dans la théorie des probabilités, le rôle le plus important est joué par l'espérance d'une variable aléatoire, qui est parfois appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons une variable aléatoire N.-É. avec des valeurs possibles x1, x2, ..., xn avec des probabilités p1, p2, ..., pn... Nous devons caractériser par un certain nombre la position des valeurs de la variable aléatoire sur l'axe des abscisses avec prendre en compte que ces valeurs ont des probabilités différentes. A cet effet, il est naturel d'utiliser la "moyenne pondérée" des valeurs xi, et chaque valeur de xi lors du moyennage doit être prise en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Ainsi, nous allons calculer la moyenne de la variable aléatoire X que nous noterons M | X |:

Cette moyenne pondérée est appelée le tapis d'attente. Ainsi, nous avons introduit en considération l'un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités - le concept de tapis. attentes. Tapis. l'espérance d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire par les probabilités de ces valeurs.

Tapis. espérance d'une variable aléatoire N.-É. associé à une sorte de relation avec la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire avec un grand nombre d'expériences. Cette dépendance est du même type que la dépendance entre fréquence et probabilité, à savoir : avec un grand nombre d'expériences, la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire se rapproche (converge en probabilité) de son mat. attendre. De la présence d'une relation entre fréquence et probabilité, on peut déduire comme conséquence la présence d'une relation similaire entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique. En effet, considérons la variable aléatoire N.-É. caractérisé par une série de distribution :

Qu'il soit produit N expériences indépendantes, dans chacune desquelles la valeur X prend un certain sens. Supposons que la valeur x1 apparu m1 fois, valeur x2 apparu m2 fois, ce qui signifie généralement xi apparu mi fois. Calculons la moyenne arithmétique des valeurs observées de la quantité X, qui, contrairement à l'espérance mat M | X | nous désignerons M * | X | :

Avec une augmentation du nombre d'expériences N la fréquence pi se rapprochera (convergera en probabilité) des probabilités correspondantes. Par conséquent, la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire M | X | avec une augmentation du nombre d'expériences, il se rapprochera (convergera en probabilité) de son attente partenaire. Le lien ci-dessus entre la moyenne arithmétique et mat. l'espérance constitue le contenu d'une des formes de la loi des grands nombres.

On sait déjà que toutes les formes de la loi des grands nombres énoncent le fait que certaines moyennes sont stables pour un grand nombre d'expériences. On parle ici de la stabilité de la moyenne arithmétique à partir d'une série d'observations d'une même quantité. Avec un petit nombre d'expériences, la moyenne arithmétique de leurs résultats est aléatoire ; avec une augmentation suffisante du nombre d'expériences, il devient "presque aléatoire" et, en se stabilisant, se rapproche d'une valeur constante - mat. attendre.

La propriété de stabilité des moyennes avec un grand nombre d'expériences est facile à vérifier expérimentalement. Par exemple, peser un corps dans un laboratoire pour balances précises, à la suite de la pesée, nous obtenons à chaque fois une nouvelle valeur ; pour réduire l'erreur d'observation, on pèse plusieurs fois le corps et on utilise la moyenne arithmétique des valeurs obtenues. Il est facile de se convaincre qu'avec une nouvelle augmentation du nombre d'expériences (pesées), la moyenne arithmétique réagit de moins en moins à cette augmentation, et avec un nombre suffisamment grand d'expériences, elle cesse pratiquement de changer.

Il est à noter que la caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire est mat. expectation - n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Vous pouvez composer des exemples de telles variables aléatoires pour lesquelles mat. il n'y a pas d'espérance puisque la somme ou l'intégrale correspondante diverge. Cependant, pour la pratique, de tels cas ne présentent pas d'intérêt significatif. Habituellement, les variables aléatoires que nous traitons ont une gamme limitée de valeurs possibles et, bien sûr, ont une attente mathématique.

Outre la plus importante des caractéristiques de la position d'une variable aléatoire - le tapis d'espérance - d'autres caractéristiques de la position sont parfois utilisées en pratique, notamment le mode et la médiane d'une variable aléatoire.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Le terme « valeur la plus probable », à proprement parler, ne s'applique qu'aux quantités discontinues ; pour une quantité continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale. Les figures montrent le mode pour les variables aléatoires discontinues et continues, respectivement.

Si le polygone de distribution (courbe de distribution) a plus d'un maximum, la distribution est dite « polymodale ».

Parfois, il y a des distributions qui ont un minimum, pas un maximum, au milieu. De telles distributions sont dites « antimodales ».

Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier où la distribution est symétrique et modale (i.e. a un mode) et il y a un mat. l'espérance, alors il coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Une autre caractéristique de la position est souvent utilisée - la médiane d'une variable aléatoire. Cette caractéristique n'est généralement utilisée que pour les variables aléatoires continues, bien que formellement elle puisse être déterminée pour une variable discontinue. Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire délimitée par la courbe de distribution est divisée par deux.

Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane coïncide avec le tapis. l'attente et la mode.

Le tapis d'espérance est la valeur moyenne de la variable aléatoire - la caractéristique numérique de la distribution de probabilité de la variable aléatoire. De la manière la plus générale, les mathématiques sont l'espérance d'une variable aléatoire X (w) est définie comme l'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de probabilité R dans l'espace de probabilité d'origine :

Tapis. l'espérance peut également être calculée comme l'intégrale de Lebesgue de N.-É. par distribution de probabilité pixels grandeurs X:

De manière naturelle, vous pouvez définir le concept de variable aléatoire avec une valeur d'espérance infinie. Exemple type servir des temps de rapatriement en quelques marches aléatoires.

Utilisation du tapis. les attentes sont déterminées par de nombreux chiffres et caractéristiques fonctionnelles distributions (comme l'espérance mathématique des fonctions correspondantes d'une variable aléatoire), par exemple, une fonction génératrice, une fonction caractéristique, des moments de tout ordre, en particulier, la variance, la covariance.

La moyenne de la population est

Le tapis d'espérance est une caractéristique de l'emplacement des valeurs d'une variable aléatoire (la valeur moyenne de sa distribution). À ce titre, l'espérance mathématique sert de paramètre de distribution "typique" et son rôle est similaire au rôle du moment statique - les coordonnées du centre de gravité de la distribution de masse - en mécanique. Il diffère des autres caractéristiques de l'emplacement, à l'aide desquelles la distribution est décrite en termes généraux, - médianes, modes, espérance, par la plus grande valeur qu'elle et la caractéristique de diffusion correspondante - dispersion - ont dans les théorèmes limites de probabilité théorie. Avec la plus grande complétude, le sens de l'espérance mathématique est révélé par la loi des grands nombres (l'inégalité de Chebyshev) et la loi renforcée des grands nombres.

La moyenne de la population est

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète

Soit une variable aléatoire pouvant prendre l'une de plusieurs valeurs numériques (par exemple, le nombre de points lors du lancement d'un dé peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). En pratique, la question se pose souvent pour une telle valeur : quelle valeur prend-elle « en moyenne » avec un grand nombre de tests ? Quel sera notre revenu (ou perte) moyen de chacune des opérations risquées ?

Disons qu'il y a une sorte de loterie. On veut comprendre s'il est rentable ou non d'y participer (voire d'y participer de façon répétée, régulière). Disons que pour chaque quatrième billet gagnant, le prix est de 300 roubles et tout billet de 100 roubles. Avec un nombre infiniment grand de participation, c'est ce qui se passe. Dans les trois quarts des cas, nous perdrons, toutes les trois pertes coûteront 300 roubles. Dans un cas sur quatre, nous gagnerons 200 roubles. (prix moins coût), c'est-à-dire que pour quatre participations, nous perdons en moyenne 100 roubles, pour une - en moyenne 25 roubles. Au total, le tarif moyen de notre ruine sera de 25 roubles par billet.

Nous jetons dé... Si ce n'est pas de la triche (pas de déplacement du centre de gravité, etc.), alors combien de points aurons-nous en moyenne à la fois ? Puisque chaque option est également probable, nous prenons une moyenne arithmétique stupide et obtenons 3,5. Puisque c'est MOYEN, il n'y a pas lieu de s'indigner qu'aucun lancer spécifique ne donne 3,5 points - eh bien, ce cube n'a pas d'avantage avec un tel nombre !

Résumons maintenant nos exemples :

Regardons l'image qui vient d'être montrée. A gauche se trouve un tableau de la distribution d'une variable aléatoire. La valeur X peut prendre l'une des n valeurs possibles (affichées sur la ligne du haut). Il ne peut y avoir d'autres valeurs. Chaque valeur possible ci-dessous est étiquetée avec sa probabilité. Sur la droite se trouve une formule, où M (X) est appelé mat. attendre. La signification de cette valeur est qu'avec un grand nombre d'essais (avec un grand échantillon), la valeur moyenne tendra vers cette même attente.

Revenons au même cube de jeu. Tapis. l'espérance du nombre de points au lancer est de 3,5 (calculez-vous en utilisant la formule si vous n'y croyez pas). Disons que vous l'avez lancé plusieurs fois. Ils ont chuté de 4 et 6. En moyenne, il s'est avéré 5, c'est-à-dire loin de 3,5. Ils l'ont jeté une fois de plus, ont laissé tomber 3, c'est-à-dire en moyenne (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... En quelque sorte loin du mat. attentes. Faites maintenant cette expérience folle - faites rouler le cube 1000 fois ! Et si la moyenne n'est pas exactement de 3,5, elle en sera proche.

Comptons l'échec et mat. en attendant la loterie ci-dessus. La plaque ressemblera à ceci :

Ensuite, l'attente sera mathématique, comme nous l'avons établi ci-dessus :

Une autre chose est qu'il serait difficile d'utiliser le même "sur les doigts", sans formule, s'il y avait plus d'options. Disons que vous avez 75 % de billets perdus, 20 % de billets gagnants et 5 % de billets gagnants supplémentaires.

Maintenant, certaines propriétés sont des attentes de partenaires.

Tapis. l'espérance est linéaire. Le prouver est simple :

Un multiplicateur constant peut être placé en dehors du signe échec et mat. attentes, c'est-à-dire :

Il s'agit d'un cas particulier de la propriété de linéarité du tapis d'espérance.

Une autre conséquence de la linéarité de mat. attentes:

c'est-à-dire mon pote. l'espérance de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des variables aléatoires.

Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, alors:

C'est aussi facile à prouver) XY elle-même est une variable aléatoire, alors que si les valeurs initiales pouvaient prendre m et m valeurs respectivement, alors XY peut prendre des valeurs nm. chacune des valeurs est calculée sur la base du fait que les probabilités d'événements indépendants sont multipliées. En conséquence, nous obtenons ceci :

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues ont des caractéristiques telles que la densité de distribution (densité de probabilité). En fait, cela caractérise la situation dans laquelle une variable aléatoire prend certaines valeurs de l'ensemble des nombres réels plus souvent, d'autres moins souvent. Par exemple, considérons le graphique suivant :

Ici X est une variable aléatoire elle-même, f (x)- densité de distribution. A en juger par ce graphique, dans les expériences, la valeur X sera souvent un nombre proche de zéro. Chances à dépasser 3 ou être moins -3 plutôt purement théorique.

Si la densité de distribution est connue, alors les calculs d'espérance sont recherchés comme suit :

Par exemple, supposons qu'il existe une distribution uniforme :

Trouvons le tapis. attente:

Ceci est tout à fait cohérent avec la compréhension intuitive. Disons que si nous arrivons à répartition uniforme de nombreux nombres réels aléatoires, chacun du segment |0; 1| , alors la moyenne arithmétique doit être d'environ 0,5.

Les propriétés du tapis d'espérance - linéarité, etc., applicables aux variables aléatoires discrètes, sont également applicables ici.

La relation de l'espérance mathématique avec d'autres indicateurs statistiques

V statistique analyse, avec mat attente, il existe un système d'indicateurs interdépendants reflétant l'homogénéité des phénomènes et la stabilité processus... Les indicateurs de variation n'ont souvent aucune signification indépendante et sont utilisés pour une analyse plus approfondie des données. L'exception est le coefficient de variation, qui caractérise l'uniformité Les données ce qui a de la valeur statistique caractéristique.

Le degré de variabilité ou de stabilité processus en science statistique peut être mesurée à l'aide de plusieurs indicateurs.

L'indicateur le plus important caractérisant variabilité variable aléatoire est Dispersion, qui est le plus étroitement et directement lié à mat. attendre. Ce paramètre est activement utilisé dans d'autres types d'analyses statistiques (tests d'hypothèses, analyse des relations de cause à effet, etc.). Comme l'écart linéaire moyen, la variance reflète également la mesure de l'écart Les données autour de la moyenne.

Il est utile de traduire le langage des signes en langage des mots. Il s'avère que la variance est le carré moyen des écarts. C'est-à-dire que la moyenne est d'abord calculée, puis la différence entre chaque original et la moyenne est prise, mise au carré, ajoutée, puis divisée par le nombre de valeurs dans la population. Différence entre la valeur individuelle et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Il est mis au carré pour que tous les écarts deviennent des nombres exclusivement positifs et pour éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lorsqu'ils sont additionnés. Ensuite, avec les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique. Moyenne - carré - écarts. Les écarts sont mis au carré et la moyenne est considérée. La solution au mot magique « variance » tient en trois mots seulement.

Cependant, dans sa forme pure, telle que la moyenne arithmétique, ou, la variance n'est pas utilisée. Il s'agit plutôt d'un indicateur auxiliaire et intermédiaire qui est utilisé pour d'autres types d'analyses statistiques. Elle n'a même pas d'unité de mesure normale. À en juger par la formule, il s'agit du carré de l'unité de mesure des données d'origine.

La moyenne de la population est

Mesurons une variable aléatoire N fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et voulons trouver la valeur moyenne. Comment la moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Ou allons-nous lancer un dé un grand nombre de une fois que. Le nombre de points qui tomberont sur le dé à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur naturelle de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une valeur aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique - échec et mat. attendre Mx... Dans ce cas, Mx = 3,5.

Comment est née cette valeur ? Laisser entrer N essais n1 une fois perdu 1 point, n2 fois - 2 points et ainsi de suite. Ensuite, le nombre de résultats pour lesquels un point a été supprimé est :

De même pour les résultats lorsque 2, 3, 4, 5 et 6 points sont obtenus.

Supposons maintenant que l'on connaisse les distributions de la variable aléatoire x, c'est-à-dire que l'on sache que la variable aléatoire x peut prendre des valeurs x1, x2, ..., xk avec des probabilités p1, p2, ..., pk.

L'espérance Mx d'une variable aléatoire x est :

Les attentes mathématiques ne sont pas toujours une estimation raisonnable d'une variable aléatoire. Donc, pour estimer la moyenne les salaires il est plus sage d'utiliser le concept de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes recevant moins que la médiane, un salaire et grand, coïncident.

La probabilité p1 que la variable aléatoire x soit inférieure à x1 / 2, et la probabilité p2 que la variable aléatoire x soit supérieure à x1 / 2 sont les mêmes et égales à 1/2. La médiane n'est pas déterminée sans ambiguïté pour toutes les distributions.

Standard ou écart type en statistique, est le degré auquel les données d'observation ou les ensembles s'écartent de la moyenne. Il est désigné par les lettres s ou s. Un petit écart type indique que les données sont regroupées autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart type indique que les données initiales en sont éloignées. L'écart type est racine carrée une quantité appelée écart. C'est la moyenne de la somme des différences au carré des données initiales s'écartant de la moyenne. L'écart quadratique moyen d'une variable aléatoire est appelé racine carrée de la variance :

Exemple. Dans des conditions de test lors du tir sur une cible, calculez la variance et l'écart type d'une variable aléatoire :

Variation- variabilité, variabilité de la valeur du trait dans les unités de la population. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique qui se produisent dans la population étudiée sont appelées options de valeur. Manque de moyenne pour caractéristiques complètes l'agrégat oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs qui permettent d'apprécier la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) du trait à l'étude. Le coefficient de variation est calculé par la formule :

Variation de balayage(R) est la différence entre le maximum et valeurs minimales trait dans la population étudiée. Cet indicateur donne le plus idée générale sur la variabilité du caractère à l'étude, comme il le montre différence seulement entre les valeurs limites des options. La dépendance vis-à-vis des valeurs extrêmes du trait confère à la plage de variation un caractère instable et aléatoire.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des écarts absolus (modulo) de toutes les valeurs de la population analysée par rapport à leur valeur moyenne :

Valeur attendue dans la théorie du jeu

L'attente du compagnon est le montant moyen d'argent qu'un spéculateur peut gagner ou perdre sur un pari donné. C'est un concept très essentiel pour un spéculateur, car il est fondamental pour l'évaluation de la plupart des situations de jeu. L'échec et mat des attentes est également un outil optimal pour analyser les cartes de base et les situations de jeu.

Disons que vous jouez à pièce de monnaie avec un ami, en pariant 1 $ à parts égales à chaque fois, peu importe ce qui se présente. Pile - vous gagnez, face - vous perdez. Les chances de tomber pile sont de un pour un, et vous misez 1 $ pour 1 $. Ainsi, l'attente pour vous est nulle, car mathématiquement parlant, vous ne pouvez pas savoir si vous serez en tête ou si vous perdrez après deux lancers ou après 200.

Votre gain horaire est nul. Un gain horaire est le montant d'argent que vous espérez gagner en une heure. Vous pouvez lancer une pièce 500 fois en une heure, mais vous ne gagnerez ni ne perdrez, car vos chances ne sont ni positives ni négatives. Du point de vue d'un spéculateur sérieux, un tel système de pari n'est pas mauvais. Mais c'est simplement une perte de temps.

Mais supposons que quelqu'un veuille parier 2 $ contre votre 1 $ dans le même jeu. Ensuite, vous avez immédiatement une attente positive de 50 centimes sur chaque pari. Pourquoi 50 centimes? En moyenne, vous gagnez un pari et perdez le second. Pariez le premier et perdez 1 $, pariez le second et gagnez 2 $. Vous misez 1 $ deux fois et avez 1 $ d'avance. Donc chacun de vos paris d'un dollar vous a donné 50 centimes.

Si la pièce tombe 500 fois en une heure, vos gains horaires seront déjà de 250 $, car en moyenne vous en avez perdu un à la fois dollar 250 fois et gagné par deux dollar 250 fois. 500 $ moins 250 $ équivaut à 250 $, ce qui correspond au total des gains. Veuillez noter que la valeur attendue, qui est le montant que vous avez gagné en moyenne sur un pari, est de 50 centimes. Vous avez gagné 250 $ en plaçant 500 fois un pari en dollar, ce qui équivaut à 50 cents de la mise.

La moyenne de la population est

Tapis. l'attente n'a rien à voir avec les résultats à court terme. Votre adversaire, qui a décidé de miser 2$ contre vous, pourrait vous battre sur les dix premiers lancers d'affilée, mais vous, avec l'avantage de miser 2 à 1, toutes choses égales par ailleurs, en toutes circonstances, gagnez 50 centimes de chaque pari de 1 $. Peu importe que vous gagniez ou perdiez un ou plusieurs paris, mais seulement si vous disposez de suffisamment d'argent pour compenser sereinement les frais. Si vous continuez à parier de la même manière, sur une longue période, vos gains atteindront la somme de vos attentes en lancers individuels.

Chaque fois que vous faites un pari avec le meilleur résultat (un pari qui peut s'avérer rentable sur le long terme), lorsque les chances sont en votre faveur, vous gagnerez certainement quelque chose dessus, et peu importe si vous perdez ou non dans cette main. Inversement, si vous faites un pari avec le pire résultat (un pari qui n'est pas rentable à long terme), lorsque les cotes ne sont pas en votre faveur, vous perdez quelque chose, que vous gagniez ou perdiez dans la main donnée.

La moyenne de la population est

Vous faites un pari avec le meilleur résultat si vos attentes sont positives, et elles sont positives si les chances sont de votre côté. Lorsque vous placez un pari avec le pire résultat, vous avez des attentes négatives, ce qui se produit lorsque les chances sont contre vous. Les spéculateurs sérieux ne placent des paris qu'avec le meilleur résultat ; dans le pire des cas, ils se couchent. Que signifient les chances en votre faveur ? Vous pourriez finir par gagner plus que les vraies chances de gagner. Les vraies chances d'être pile sont de 1 pour 1, mais vous obtenez 2 pour 1 en raison du rapport des mises. Dans ce cas, les chances sont en votre faveur. Vous obtiendrez certainement le meilleur résultat avec une attente positive de 50 centimes par pari.

Voici un exemple de maté plus complexe. attentes. Votre copain écrit les numéros de un à cinq et parie 5$ contre votre 1$ que vous ne déterminerez pas le numéro caché. Faut-il accepter un tel pari ? Quelle est l'attente ici?

En moyenne, vous vous tromperez quatre fois. Sur cette base, les chances contre vous de deviner le nombre sont de 4 à 1. Les chances sont que vous perdiez un dollar en un seul essai. Cependant, vous gagnez 5 à 1, si vous pouvez perdre 4 à 1. Donc, les chances sont en votre faveur, vous pouvez prendre le pari et espérer un meilleur résultat. Si vous placez ce pari cinq fois, vous perdrez en moyenne quatre fois 1 $ et gagnerez 5 $ une fois. Sur cette base, pour les cinq essais, vous gagnerez 1 $ avec une valeur attendue positive de 20 cents par pari.

Un spéculateur qui va gagner plus qu'il ne parie, comme dans l'exemple ci-dessus, attrape les chances. A l'inverse, il ruine les chances lorsqu'il s'attend à gagner moins qu'il ne parie. Un spéculateur qui place un pari peut avoir des attentes positives ou négatives, selon qu'il attrape ou ruine les cotes.

Si vous pariez 50 $ pour gagner 10 $ avec une probabilité de gagner de 4 à 1, vous obtenez une attente négative de 2 $, car en moyenne, vous gagnez quatre fois 10$ et perdez 50$ une fois, ce qui montre que la perte pour un pari est de 10$. Mais si vous misez 30$ pour gagner 10$, avec les mêmes chances de gagner 4 à 1, alors dans ce cas vous avez une attente positive de 2$, car vous gagnez à nouveau quatre fois pour 10 $ et perdez 30 $ une fois, ce qui est profità 10$. Ces exemples montrent que le premier pari est mauvais et le second est bon.

Tapis. l'attente est au centre de tout situation de jeu... Lorsqu'un bookmaker encourage les fans de football à parier 11 $ pour gagner 10 $, ils ont une attente positive de 50 centimes pour chaque 10 $. Si le casino paie une somme égale à partir de la ligne qui passe au craps, alors l'attente positive du casino est d'environ 1,40 $ pour chaque 100 $, car Ce jeu est structuré de telle sorte que tous ceux qui parient sur cette ligne perdent 50,7% en moyenne et gagnent 49,3% du temps total. Sans aucun doute, c'est cette attente positive apparemment minime qui rapporte des profits colossaux aux propriétaires de casinos du monde entier. Comme l'a fait remarquer le propriétaire du casino Vegas World, Bob Stupak, « un millième pour cent une probabilité négative à une distance suffisamment longue ruinera l'homme le plus riche du monde."

Attente mathématique en jouant au poker

Le jeu de Poker est le plus révélateur et bon exemple en termes d'utilisation de la théorie et des propriétés des attentes de tapis.

Tapis. La valeur attendue au poker est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances. Un jeu de poker réussi consiste à toujours accepter les mouvements avec des attentes positives.

La moyenne de la population est

Signification mathématique de tapis. les attentes en jouant au poker sont que nous rencontrons souvent des variables aléatoires lors de la prise de décision (nous ne savons pas quelles cartes sont entre les mains de notre adversaire, quelles cartes viendront aux tours suivants Commerce). Nous devons considérer chacune des solutions du point de vue de la théorie des grands nombres, qui dit qu'avec un échantillon suffisamment grand, la valeur moyenne d'une variable aléatoire tendra vers son espérance.

Parmi les formules privées de calcul de l'espérance mate, la suivante est la plus applicable au poker :

Lorsque vous jouez au poker, faites échec et mat. l'espérance peut être calculée à la fois pour les paris et les appels. Dans le premier cas, la fold equity doit être prise en compte, dans le second, les propres cotes du pot. Lors de l'évaluation du tapis. en attendant un coup, rappelez-vous que le pli a toujours une attente nulle. Ainsi, jeter des cartes sera toujours une décision plus rentable que n'importe quel mouvement négatif.

La moyenne de la population est

L'attente vous indique à quoi vous pouvez vous attendre (ou à quoi vous pouvez vous attendre) pour chaque risque que vous prenez. Les casinos gagnent de l'argent de l'argent puisque le maté est l'attente de tous les jeux qui y sont pratiqués, en faveur du casino. Avec une série de jeux suffisamment longue, on peut s'attendre à ce que le client perde son de l'argent car la "probabilité" est en faveur du casino. Cependant, les spéculateurs de casino professionnels limitent leurs jeux à de courtes périodes de temps, augmentant ainsi les chances en leur faveur. Il en va de même pour l'investissement. Si votre attente est positive, vous pouvez gagner plus d'argent faire beaucoup de métiers dans un court période temps. L'espérance est votre pourcentage de profit sur les gains multiplié par bénéfice moyen, moins votre probabilité de perte multipliée par la perte moyenne.

Le poker peut également être considéré en termes d'attentes d'échec et mat. Vous pouvez supposer qu'un certain mouvement est rentable, mais dans certains cas, ce n'est peut-être pas le meilleur car un autre mouvement est plus rentable. Disons que vous atteignez un full dans un poker à cinq cartes. Votre adversaire mise. Vous savez que si vous augmentez votre enchère, il répondra. Par conséquent, augmenter semble être la meilleure tactique. Mais si vous relancez la mise, les deux spéculateurs restants se coucheront définitivement. Mais si vous appelez, vous serez totalement sûr que les deux autres spéculateurs après vous feront de même. Lorsque vous relancez la mise, vous obtenez une unité et suivez simplement - deux. Ainsi, l'égalisation vous donne une attente mathématique positive plus élevée et constitue la meilleure tactique.

Tapis. l'attente peut également donner un aperçu des tactiques les moins bénéfiques au poker et celles qui le sont le plus. Par exemple, lorsque vous jouez une certaine main, vous pensez que vos pertes seront en moyenne de 75 cents, y compris les antes, alors cette main doit être jouée car c'est mieux que de se coucher lorsque l'ante est de 1 $.

Une autre raison importante pour comprendre l'essence du maté. l'attente est que cela vous donne une sensation de tranquillité d'esprit, que vous ayez gagné le pari ou non : si vous avez fait un bon pari ou que vous vous couchez à temps, vous saurez que vous avez gagné ou économisé une certaine somme d'argent que le spéculateur le plus faible pourrait pas enregistrer. Il est beaucoup plus difficile de se coucher si vous êtes contrarié par le fait que votre adversaire a fait une combinaison plus forte sur l'échange. Avec tout cela, l'argent que vous avez économisé en ne jouant pas, au lieu de parier, s'ajoute à vos gains par nuit ou par mois.

N'oubliez pas que si vous changez de main, votre adversaire vous suivra, et comme vous le verrez dans l'article "Le théorème fondamental du poker", ce n'est qu'un de vos avantages. Vous devriez être heureux quand cela se produit. Vous pouvez même apprendre à apprécier une main perdante, car vous savez que d'autres spéculateurs à votre place perdraient beaucoup plus.

Comme mentionné dans l'exemple avec le jeu de pièces au début, le ratio de profit horaire est interconnecté avec l'attente du compagnon, et ce concept est particulièrement important pour les spéculateurs professionnels. Lorsque vous allez jouer au poker, vous devez estimer mentalement combien vous pouvez gagner en une heure de jeu. Dans la plupart des cas, vous devrez vous fier à votre intuition et à votre expérience, mais vous pouvez également utiliser quelques mathématiques. Par exemple, vous jouez au draw lowball et vous voyez trois joueurs miser 10$ puis échanger deux cartes, ce qui est une très mauvaise tactique, vous pourriez penser qu'à chaque fois qu'ils misent 10$, ils perdent environ 2$. Chacun d'eux le fait huit fois par heure, ce qui signifie que tous les trois perdent environ 48 $ par heure. Vous êtes l'un des quatre spéculateurs restants, qui sont à peu près égaux, donc ces quatre spéculateurs (et vous parmi eux) doivent se partager 48 $, et chaque profit sera de 12 $ par heure. Votre taux horaire dans ce cas est simplement votre part du montant d'argent perdu par trois mauvais spéculateurs en une heure.

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Sur une longue période de temps, le profit total du spéculateur est la somme de ses attentes mathématiques entre des mains individuelles. Plus vous jouez avec des attentes positives, plus vous gagnez, et vice versa, plus vous jouez de mains avec des attentes négatives, plus vous perdez. Par conséquent, vous devez choisir un jeu qui peut maximiser vos attentes positives ou annuler les attentes négatives afin que vous puissiez maximiser vos gains horaires.

Attente mathématique positive dans la stratégie de jeu

Si vous savez compter les cartes, vous pourriez avoir un avantage sur le casino s'ils ne le voient pas et vous expulsent. Les casinos adorent les spéculateurs ivres et ne supportent pas les compteurs de cartes. Avantage vous permettra de gagner dans le temps Suite fois que de perdre. Une bonne gestion de l'argent à l'aide de calculs de tapis d'attente peut vous aider à tirer le meilleur parti de votre avantage et à réduire les pertes. Sans avantage, vous feriez mieux de donner de l'argent à une œuvre caritative. Dans le jeu en bourse, l'avantage est donné par le système de jeu, qui crée plus de profits que de pertes, la différence des prix et commissions. Non gestion du capital ne sauvera pas un mauvais système de jeu.

Une attente positive est définie par une valeur supérieure à zéro. Plus ce nombre est élevé, plus l'espérance statistique est forte. Si la valeur moins que zéro, puis échec et mat. l'attente sera également négative. Plus le module de la valeur négative est grand, plus la situation est mauvaise. Si le résultat est nul, alors l'espérance est au seuil de rentabilité. Vous ne pouvez gagner que si vous avez une attente mathématique positive, un système de jeu raisonnable. Jouer par intuition mène au désastre.

L'espérance mathématique et

Le tapis d'attente est un indicateur statistique assez largement demandé et populaire dans la mise en œuvre de la négociation en bourse dans le secteur financier. marchés... Tout d'abord, ce paramètre est utilisé pour analyser le succès. Commerce... Il n'est pas difficile de deviner que plus valeur donnée, raison de plus pour considérer le métier étudié comme un succès. Bien sûr l'analyse travail trader ne peut pas être effectué à l'aide de ce seul paramètre. Cependant, la valeur calculée en conjonction avec d'autres méthodes d'évaluation de la qualité travail, peut considérablement améliorer la précision de l'analyse.

Le tapis d'attente est souvent calculé dans les services de surveillance des comptes de trading, ce qui vous permet d'évaluer rapidement le travail effectué sur le dépôt. A titre d'exception, on peut citer les stratégies qui utilisent le « sitting out » des métiers non rentables. Commerçant la chance peut accompagner un certain temps et, par conséquent, dans son travail, il peut n'y avoir aucune perte du tout. Dans ce cas, il ne sera pas possible de naviguer uniquement par attente, car les risques utilisés dans le travail ne seront pas pris en compte.

En négociant sur le marché Le compagnon d'attente est le plus souvent utilisé pour prédire la rentabilité d'une stratégie de trading ou pour prédire le revenu Commerçant sur la base des statistiques de ses précédentes métiers.

La moyenne de la population est

En termes de gestion de l'argent, il est très important de comprendre qu'il n'y a pas de stratagème lors de transactions avec des attentes négatives. la gestion de l'argent qui peut certainement rapporter des profits élevés. Si tu continues à jouer échanger dans ces conditions, alors quelle que soit la méthode la gestion avec de l'argent, vous perdrez l'intégralité de votre compte, quelle que soit sa taille au début.

Cet axiome n'est pas seulement vrai pour les jeux ou les transactions avec des attentes négatives, il est également vrai pour les jeux avec des chances égales. Par conséquent, le seul moment où vous avez une chance de bénéficier à long terme est lorsque vous entrez dans des transactions avec une valeur attendue positive.

La différence entre une attente négative et une attente positive est la différence entre la vie et la mort. Peu importe à quel point l'attente est positive ou négative ; ce qui compte, c'est qu'il soit positif ou négatif. Par conséquent, avant d'examiner les questions de gestion Capitale vous devez trouver un jeu avec des attentes positives.

Si vous n'avez pas un tel jeu, alors aucun montant de gestion d'argent dans le monde ne vous sauvera. En revanche, si vous avez une attente positive, vous pouvez, grâce à une bonne gestion de l'argent, la transformer en une fonction de croissance exponentielle. Peu importe à quel point cette attente positive est minime ! En d'autres termes, peu importe la rentabilité d'un système de négociation de contrat unique. Si vous avez un système qui gagne 10$ par contrat en une transaction (après déduction des commissions et du slippage), des techniques de gestion peuvent être utilisées Capitale d'une manière qui le rend plus rentable qu'un système qui affiche un profit moyen de 1 000 $ par transaction (après déduction des commissions et du glissement).

Ce qui compte, ce n'est pas la rentabilité du système, mais la certitude que le système affichera au moins un profit minimal à l'avenir. Par conséquent, la préparation la plus importante que l'on puisse faire est de s'assurer que le système affichera une attente mathématique positive à l'avenir.

Afin d'avoir une espérance mathématique positive à l'avenir, il est très important de ne pas restreindre les degrés de liberté de votre système. Ceci est réalisé non seulement en éliminant ou en réduisant le nombre de paramètres à optimiser, mais également en réduisant autant de règles système que possible. Chaque paramètre que vous ajoutez, chaque règle que vous faites, chaque petit changement que vous apportez au système, réduit le nombre de degrés de liberté. Idéalement, vous devez construire un environnement assez primitif et système simple qui générera systématiquement de petits profits sur presque tous les marchés. Encore une fois, il est important que vous compreniez que la rentabilité du système n'a pas d'importance, tant qu'elle est rentable. que vous gagnez dans le commerce sera gagné grâce à une gestion efficace de l'argent.

La moyenne de la population est

Un système de trading est simplement un outil qui vous donne une attente mathématique positive afin que la gestion de l'argent puisse être utilisée. Les systèmes qui fonctionnent (montrent au moins un profit minimal) sur un ou quelques marchés seulement, ou qui ont des règles ou des paramètres différents pour différents marchés, ne fonctionneront probablement pas en temps réel assez longtemps. Le problème avec la plupart des traders férus de technologie est qu'ils passent trop de temps et d'efforts à optimiser les différentes règles et valeurs des paramètres du système de trading. Cela donne des résultats complètement opposés. Au lieu de gaspiller de l'énergie et temps d'ordinateur pour augmenter les profits du système commercial, dirigez votre énergie vers l'augmentation du niveau de fiabilité pour obtenir le profit minimum.

Sachant que gestion du capital n'est qu'un jeu de nombres qui nécessite l'utilisation d'attentes positives, le trader peut arrêter de chercher le « Saint Graal » du trading en bourse. Au lieu de cela, il peut commencer à tester sa méthode de trading, découvrir à quel point cette méthode est logique, si elle donne des attentes positives. Les bonnes méthodes de gestion de l'argent appliquées à toutes les méthodes de trading, même médiocres, feront elles-mêmes le reste du travail.

Pour que tout commerçant réussisse dans son travail, il est nécessaire de résoudre les trois plus tâches importantes:. S'assurer que le nombre de transactions réussies dépasse les inévitables erreurs et erreurs de calcul ; Configurez votre système de trading de manière à ce que la possibilité de gagner de l'argent soit aussi souvent que possible ; Pour atteindre la stabilité du résultat positif de vos opérations.

Et ici, nous, commerçants en activité, pouvons être d'une grande aide par échec et mat. attente. Ce terme de la théorie des probabilités est l'un des principaux. Avec son aide, vous pouvez donner une estimation moyenne d'une certaine valeur aléatoire. Mat l'espérance d'une variable aléatoire est similaire au centre de gravité, si nous imaginons toutes les probabilités possibles comme des points avec des masses différentes.

Par rapport à une stratégie de trading, pour évaluer son efficacité, le tapis d'attente de profit (ou de perte) est le plus souvent utilisé. Ce paramètre est défini comme la somme des produits des niveaux de profits et pertes donnés et de la probabilité de leur occurrence. Par exemple, la stratégie de trading développée suppose que 37% de toutes les opérations généreront des bénéfices et que le reste - 63% - ne sera pas rentable. De plus, la moyenne le revenu d'un accord réussi sera de 7 $ et la perte moyenne sera de 1,4 $. Calculons le tapis. en attente d'un échange sur un tel système :

Que signifie ce nombre ? Il dit que, suivant les règles de ce système, nous recevrons en moyenne 1,708 $ pour chaque transaction fermée. Étant donné que l'estimation d'efficacité obtenue est supérieure à zéro, un tel système peut très bien être utilisé pour vrai travail... Si, à la suite du calcul du mat, l'attente s'avère négative, cela parle déjà d'une perte moyenne et cela conduira à la ruine.

La taille du profit par transaction peut également être exprimée en valeur relative sous la forme de %. Par exemple:

Pourcentage de revenu pour 1 transaction - 5% ;

Le pourcentage d'opérations commerciales réussies - 62%;

Pourcentage de perte pour 1 transaction - 3% ;

Le pourcentage d'offres infructueuses - 38 % ;

Dans ce cas, échec et mat. l'attente sera :

Autrement dit, le commerce moyen générera 1,96%.

Il est possible de développer un système qui, malgré la prévalence des métiers non rentables, donnera un résultat positif, puisque son MO > 0.

Cependant, attendre seul ne suffit pas. Il est difficile de gagner de l'argent si le système donne très peu de signaux de trading. Dans ce cas, il sera comparable à l'intérêt bancaire. Que chaque transaction donne une moyenne de seulement 0,50 $, mais que se passe-t-il si le système suppose 1000 transactions par an ? Ce sera un montant très important dans un délai relativement court. Il s'ensuit logiquement qu'un autre poinçonner un bon système commercial peut être considéré court terme occupant des postes.

Sources et liens

dic.academic.ru - Dictionnaire Internet académique

maths.ru - site éducatif en mathématiques

nsu.ru - site Web éducatif de l'Université d'État de Novossibirsk

webmath.ru - portail éducatif pour les étudiants, les candidats et les écoliers.

site mathématique éducatif exponenta.ru

ru.tradimo.com - école de commerce en ligne gratuite

crypto.hut2.ru - une ressource d'information multidisciplinaire

poker-wiki.ru - l'encyclopédie gratuite du poker

sernam.ru - Bibliothèque scientifique publications sélectionnées en sciences naturelles

reshim.su - site Web LET'S SOLVE tâches de contrôle de cours

unfx.ru - Forex chez UNFX : formation, signaux de trading, gestion de la confiance

- - espérance mathématique Une des caractéristiques numériques d'une variable aléatoire, souvent appelée sa moyenne théorique. Pour une variable aléatoire discrète X, la mathématique ... ... Guide du traducteur technique

VALEUR ATTENDUE- (valeur attendue) La valeur moyenne de la distribution d'une variable économique qu'elle peut prendre. Si pt est le prix de la marchandise à l'instant t, son espérance mathématique est notée - Ept. Pour indiquer le moment auquel ... ... Dictionnaire économique

Valeur attendue- la valeur moyenne de la variable aléatoire. L'espérance mathématique est une valeur déterministe. La moyenne arithmétique des réalisations de la variable aléatoire est une estimation de l'espérance mathématique. Moyenne… … Terminologie officielle - (valeur moyenne) d'une variable aléatoire est une caractéristique numérique d'une variable aléatoire. Si une variable aléatoire donnée sur un espace de probabilité (voir Théorie des probabilités), alors sa M. o. MX (ou EX) est défini comme l'intégrale de Lebesgue : où ... Encyclopédie physique

VALEUR ATTENDUE- une variable aléatoire est sa caractéristique numérique. Si une variable aléatoire X a une fonction de distribution F (x), alors sa M. o. volonté: . Si la distribution X est discrète, alors M. o. :, où x1, x2, ... sont des valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète X ; p1 ... Encyclopédie géologique

VALEUR ATTENDUE- Anglais. valeur attendue; Allemand Erwartung mathématische. Moyenne stochastique ou centre de dispersion d'une variable aléatoire. Antinazi. Encyclopédie de sociologie, 2009 ... Encyclopédie de sociologie

Valeur attendue- Voir aussi : Espérance conditionnelle L'espérance mathématique de la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire, est considérée dans la théorie des probabilités. En littérature anglaise et en mathématiques ... ... Wikipedia

Valeur attendue- 1.14 Espérance mathématique Е (X) où xi valeurs d'une variable aléatoire discrète ; p = P (X = xi); f (x) densité d'une variable aléatoire continue * Si cette expression existe au sens de la convergence absolue Source ... Dictionnaire-ouvrage de référence des termes de la documentation normative et technique

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Objectif 1. La probabilité de germination des graines de blé est de 0,9. Quelle est la probabilité que sur quatre graines semées, au moins trois germeront ?

Solution. Laissez l'événement UNE- 4 graines germeront au moins 3 graines ; un événement V- 4 graines germeront 3 graines ; un événement AVEC- 4 graines germeront à partir de 4 graines. Par le théorème d'addition des probabilités

Probabilités
et
déterminé par la formule de Bernoulli utilisée dans le cas suivant. Qu'il y ait une série N.-É. tests indépendants, pour chacun desquels la probabilité d'occurrence d'un événement est constante et égale à R, et la probabilité que cet événement ne se produise pas est
... Alors la probabilité que l'événement UNE v N.-É. les tests apparaîtront exactement fois, calculé par la formule de Bernoulli

où
- le nombre de combinaisons de N.-É.éléments par ... Puis

Recherche de probabilité

Objectif 2. La probabilité de germination des graines de blé est de 0,9. Trouvez la probabilité que 350 graines germent sur 400 graines semées.

Solution. Calculer la probabilité requise
l'utilisation de la formule de Bernoulli est difficile en raison de la lourdeur des calculs. On applique donc une formule approchée exprimant le théorème local de Laplace :

où
et
.

De l'énoncé du problème. Puis

Nous trouvons des applications dans le tableau 1. La probabilité recherchée est

Objectif 3. 0,02 % des graines de blé sont des adventices. Quelle est la probabilité que 6 graines de mauvaises herbes soient trouvées si 10 000 graines sont sélectionnées au hasard ?

Solution. Application du théorème local de Laplace en raison de la faible probabilité
conduit à un écart significatif de la probabilité de valeur exacte
... Par conséquent, pour les petites valeurs R calculer
appliquer la formule de Poisson asymptotique

, où .

Cette formule est utilisée lorsque
, et moins R et plus N.-É., plus le résultat est précis.

Par la condition du problème
;
... Puis

Tâche 4. Le taux de germination des graines de blé est de 90 %. Trouvez la probabilité que 400 à 440 graines germent sur 500 graines semées.

Solution. Si la probabilité qu'un événement se produise UNE Dans chacun de N.-É. le test est constant et égal R, alors la probabilité
quel évènement UNE dans de tels tests, au moins fois et pas plus fois est déterminé par le théorème intégral de Laplace par la formule suivante :

, où

,
.

Fonction
est appelée fonction de Laplace. Les annexes (tableau 2) donnent les valeurs de cette fonction pour
... À
fonction
... À valeurs négatives N.-É. puisque la fonction de Laplace est impaire
... En utilisant la fonction de Laplace, on a :

Selon l'état du problème. En utilisant les formules ci-dessus, nous trouvons
et :

Tâche 5. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est donnée N.-É.:

Trouver : 1) l'espérance mathématique ; 2) écart ; 3) écart type.

Solution. 1) Si la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est donnée par le tableau

Où dans la première ligne les valeurs de la variable aléatoire x sont données, et dans la seconde - les probabilités de ces valeurs, alors l'espérance mathématique est calculée par la formule

2) Dispersion
variable aléatoire discrète N.-É. est l'espérance mathématique du carré de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique, c'est-à-dire

Cette valeur caractérise la valeur moyenne attendue du carré de l'écart N.-É. de
... De la dernière formule, nous avons

Variance
peut être trouvée d'une autre manière, basée sur la propriété suivante : variance
est égal à la différence entre l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire N.-É. et le carré de son espérance mathématique
, C'est

Calculer
on compose la loi de distribution suivante de la quantité
:

3) Pour caractériser la dispersion des valeurs possibles d'une variable aléatoire autour de sa valeur moyenne, l'écart type est introduit
Variable aléatoire N.-É.égal à la racine carrée de la variance
, C'est

De cette formule on a :

Tâche 6. Variable aléatoire continue N.-É. donnée par la fonction de distribution cumulative

Trouver : 1) la fonction de distribution différentielle
; 2) espérance mathématique
; 3) écart
.

Solution. 1) Fonction de distribution différentielle
variable aléatoire continue N.-É. est la dérivée de la fonction de distribution cumulée
, C'est

La fonction différentielle recherchée est la suivante :

2) Si une variable aléatoire continue N.-É. donné par la fonction
, alors son espérance mathématique est déterminée par la formule

Puisque la fonction
à
et à
est égal à zéro, alors à partir de la dernière formule, nous avons

3) Dispersion
défini par la formule

Tâche 7. La longueur de la pièce est une variable aléatoire normalement distribuée avec une espérance mathématique de 40 mm et un écart type de 3 mm. Trouver : 1) la probabilité que la longueur d'une partie prise arbitrairement soit supérieure à 34 mm et inférieure à 43 mm ; 2) la probabilité que la longueur de la pièce s'écarte de son espérance mathématique de pas plus de 1,5 mm.

Solution. 1) Laissez N.-É.- longueur de la pièce. Si une variable aléatoire N.-É. donnée par la fonction différentielle
, alors la probabilité que N.-É. prendra des valeurs appartenant au segment
, est déterminé par la formule

Probabilité de réalisation d'inégalités strictes
est défini par la même formule. Si une variable aléatoire N.-É. distribué selon la loi normale, alors