Броење на аглите на тригонометриски круг. Позитивни и негативни агли. Дистрибуција на агли во четвртини. Мерењето на аголот може да биде негативен

Агол: ° π rad \u003d

Конвертирај во: Радници степени 0 - 360 ° 0 - 2π Позитивна негативна пресметка

Кога директни пресеци, тогаш се добиваат четири различни области во однос на пресечната точка.
Овие нови области се нарекуваат агли.

Сликата покажува 4 различни агол формирани од пресекот на директни AB и CD

Типично, аглите се мерат во степени, што е наведено како °. Кога објектот врши целосен круг, тоа е, се движи од точка Д преку Б, Ц, а, а потоа назад кон Д, тогаш велат дека тоа се претвори во 360 степени (360 °). Така, степенот е $ \\ frac (1) (360) $ круг.

Агли повеќе од 360 степени

Зборувавме кога објектот прави полн круг околу точка, а потоа поминува 360 °, сепак, кога објектот прави повеќе од еден круг, тој прави агол од повеќе од 360 степени. Ова е чест феномен во секојдневниот живот. Воланот поминува многу кругови кога автомобилот се движи, односно формира агол поголем од 360 °.

Со цел да се дознае бројот на циклуси (опфатени кругови) кога објектот се ротира, сметаме дека бројот на пати што ви е потребно за да додадете 360 за себе за да добиете број еднаков или помал од овој агол. Слично на тоа, го наоѓаме бројот што го размножуваме на 360 за да добиеме голем број помали, но најблиску до овој агол.

Пример 2.
1. Најдете го бројот на кругови опишани од аголот
а) 380 °
б) 770 °
в) 1000 °
Одлука
а) 380 \u003d (1 × 360) + 20
Објектот опиша еден круг и 20 °
Од $ 20 ^ (\\ ZER) \u003d \\ frac (20) (360) \u003d \\ frac (1) (18) $ круг
Образецот опишан $ 1 \\ frac (1) (18) $ кругови.

Б) 2 × 360 \u003d 720
770 \u003d (2 × 360) + 50
Објектот опиша два круга и 50 °
$ 50 ^ (\\ frac) \u003d \\ frac (50) (360) \u003d \\ frac (5) (36) $ круг
Објектот опиша $ 2 \\ frac (5) (36) $ круг
в) 2 × 360 \u003d 720
1000 \u003d (2 × 360) + 280
$ 280 ^ (\\ frac) \u003d \\ frac (260) (360) \u003d \\ frac (7) (9) $ кругови
Образецот опиша $ 2 \\ frac (7) (9) $ кругови

Кога објектот ќе се ротира во насока на стрелките на часовникот, тој претставува негативен агол на ротација, и кога ротира спротивно од стрелките на часовникот - позитивен агол. До оваа точка, ние сметавме само позитивни агли.

Во форма на дијаграм, негативен агол може да биде прикажан како што е прикажано подолу.

Слика подолу го прикажува знакот на аголот, кој се мери од вкупната линија, 0 оска (абсциска оска оска)

Ова значи дека во присуство на негативен агол, можеме да го добиеме соодветниот позитивен агол.
На пример, долниот дел од вертикалната директна е 270 °. Кога се мери во негативна насока, тогаш добиваме -90 °. Ние едноставно одземе 270 од 360. Имаме негативен агол, додаваме 360 со цел да добиеме соодветен позитивен агол.
Кога агол е -360 °, ова значи дека објектот направи повеќе од еден круг во насока на стрелките на часовникот.

Пример 3.
1. Најдете го соодветниот позитивен агол
а) -35 °
б) -60 °
В) -180 °
г) - 670 °

2. Пронајдете го соодветниот негативен агол од 80 °, 167 °, 330 ° и 1300 °.
Одлука
1. Со цел да се најде соодветниот позитивен агол, додаваме 360 на аголната вредност.
а) -35 ° \u003d 360 + (-35) \u003d 360 - 35 \u003d 325 °
б) -60 ° \u003d 360 + (-60) \u003d 360 - 60 \u003d 300 °
в) -180 ° \u003d 360 + (-180) \u003d 360 - 180 \u003d 180 °
Г) -670 ° \u003d 360 + (-670) \u003d -310
Ова значи еден круг во насока на стрелките на часовникот (360)
360 + (-310) \u003d 50 °
Аголот е 360 + 50 \u003d 410 °

2. Со цел да се добие соодветен негативен агол, ние одземаме 360 од вредноста на аголната вредност.
80 ° \u003d 80 - 360 \u003d - 280 °
167 ° \u003d 167 - 360 \u003d -193 °
330 ° \u003d 330 - 360 \u003d -30 °
1300 ° \u003d 1300 - 360 \u003d 940 (помина еден круг)
940 - 360 \u003d 580 (вториот круг помина)
580 - 360 \u003d 220 (поминатиот третиот круг)
220 - 360 \u003d -140 °
Аголот е -360 - 360 - 360 - 140 \u003d -1220 °
Така, 1300 ° \u003d -1220 °

Радијален

Радине е агол на центарот на кругот, во кој е склучен лак, чија должина е еднаква на радиусот на овој круг. Ова е единица за мерење на аголна вредност. Таквиот агол е околу 57,3 °.
Во повеќето случаи, тоа е наведено како мило.
Така $ 1 Рад \\ приближно 57,3 ^ (\\ rect) $

Радиус \u003d r \u003d oa \u003d ob \u003d ab
Боа аголот е еднаков на една радија

Бидејќи должината на обем е поставена како $ 2 \\ PI R $, а потоа во обемот на $ 2 \\ PI $ Radii, што значи воопшто Кругот $ 2 \\ PI $ радијан.

Радијаните обично се изразуваат со $ \\ pi $ за да ги избегнат децималните делови во пресметките. Во повеќето книги, кратенка рад (Рад) Не е пронајдено, но читателот треба да знае дека кога станува збор за еден агол, тогаш тоа е поставено преку $ \\ pi $, а единиците на мерење автоматски стануваат радијани.

$ 360 ^ (\\ recture) \u003d 2 \\ pa \\ rad $
$ 180 ^ (\\ zir) \u003d \\ pi \\ rad $
$ 90 ^ (\\ zir) \u003d \\ frac (\\ p) (2) rad $
$ 30 ^ (\\ prac) \u003d \\ frac (30) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (6) rad $
$ 45 ^ (\\ prac) \u003d \\ frac (45) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (4) rad $
$ 60 ^ (\\ ZERT) \u003d \\ frac (60) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (3) rad $
$ 270 ^ (\\ ZERC) \u003d \\ frac (270) (180) \\ pi \u003d \\ frac (27) (18) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi \\ rad $

Пример 4.
1. Конвертирајте 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° и 390 ° до радијани преку $ \\ pi $.
Одлука
Јас ги размножувам аглите на $ \\ frac (\\ p) (180) $.
240 ^ (\\ zir) \u003d 240 \\ пати \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (4) (3) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (3) \\ pi $
120 ^ (\\ ZERD) \u003d 120 \\ пати \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (2 \\ pi) (3) $
$ 270 ^ (\\ zir) \u003d 270 \\ пати \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (3) (2) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi $
$ 750 ^ (\\ zir) \u003d 750 \\ пати \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (25) (6) \\ pi \u003d 4 \\ frac (1) (6) \\ pi $
$ 390 ^ (\\ zir) \u003d 390 \\ пати \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (13) (6) \\ pi \u003d 2 \\ frac (1) (6) \\ pi $

2. Конвертирајте ги следните агли на степени.
а) $ \\ frac (5) (4) \\ pi $
б) $ 3,12 \\ pi $
в) 2.4 радијани
Одлука
$ 180 ^ (\\ recture) \u003d \\ pi $
а) $ \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ пати 180 \u003d 225 ^ (\\ rect) $
б) $ 3.12 \\ pi \u003d 3.12 \\ пати 180 \u003d 561.6 ^ (\\ rect) $
в) 1 rad \u003d 57,3 °
$ 2.4 \u003d \\ frac (2.4 \\ пати 57.3) (1) \u003d 137.52 $

Негативни агли и агли повеќе од $ 2 \\ pi $ радијал

Со цел да се претвори негативен агол во позитивен, го преклопуваме со $ 2 \\ PI $.
Со цел да се претвори позитивен агол на негативни, ние ќе одземе $ 2 \\ pi $ од него.

Пример 5.
1. Конвертирајте $ - \\ frac (3) (4) \\ pi $ и $ - \\ frac (5) (7) \\ pi $ во позитивни агли во радијани.

Одлука
Додај во аголот од $ 2 \\ PI $
$ - \\ frac (3) (4) \\ pi \u003d - \\ frac (3) (4) \\ pi + 2 \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (4) \\ ПИ $

$ - \\ frac (5) (7) \\ pi \u003d - \\ frac (5) (7) \\ pi + 2 \\ pi \u003d \\ frac (9) (7) \\ pi \u003d 1 \\ frac (2) (7) \\ ПИ $

Кога објектот ротира агол поголем од $ 2 \\ pi $, тогаш тоа го прави повеќе од еден круг.
Со цел да се одреди бројот на револуции (кругови или циклуси) во тој агол, ние наоѓаме таков број, кој се размножува кој $ 2 \\ pi $ е еднаков на или помалку, но колку што е можно поблиску до овој број.

Пример 6.
1. Пронајдете го бројот на кругови покриени со објектот во овие агли
а) $ -10 \\ pi $
б) $ 9 \\ pi $
в) $ \\ frac (7) (2) \\ pi $

Одлука
а) $ -10 \\ pi \u003d 5 (-2 \\ p) $;
$ -2 \\ pi $ имплицира еден циклус кон насока на стрелките на часовникот, тогаш ова значи дека
Објектот направи 5 циклуси во насока на стрелките на часовникот.

б) $ 9 \\ pi \u003d 4 (2 \\ pi) + \\ pi $, $ \\ pi \u003d $ кат циклус
Објектот направи четири и пол циклус спротивно од стрелките на часовникот

в) $ \\ frac (7) (2) \\ pi \u003d 3,5 \\ pe \u003d 2 \\ pi + 1,5 \\ pi $ 1,5 \\ pi $ е три четвртини од циклус $ (\\ frac (1,5 \\ p) (2 \\ Pi) \u003d \\ frac (3) (4)) $
Објектот помина еден и три четвртини од циклусот спротивно од стрелките на часовникот

Тригонометрија, како науката, потекнува од древниот Исток. Првите тригонометриски стапки беа изведени од астрономите за да создадат точен календар и да се фокусираат на ѕвездите. Овие пресметки припаѓале на сферична тригонометрија, додека во училишниот курс, се изучуваат соодносот на страните и аголот на рамен триаголник.

Тригонометријата е дел од математиката ангажиран во својствата на тригонометриските функции и зависноста помеѓу страните и аглите на триаголниците.

За време на најсладата на културата и науката на првиот милениум, нашата ера на знаење се шири од античкиот Исток до Грција. Но, главните откритија на тригонометријата се заслугите на сопрузите на арапскиот калифат. Особено, туркменскиот научник Ал-Марацви влезе во функциите како што се Тангент и Котангент, ги составиле првите маси за синусни вредности, тангенти и варијанденти. Концептот на синус и косинус е воведен од индиски научници. Тригонометријата е посветена на големо внимание во делата на таквите големи лидери на антиката, како Евклидеа, Архимед и Ератокт.

Главните вредности на тригонометријата

Главните тригонометриски функции на нумеричкиот аргумент се синус, косинус, тангента и катананти. Секој од нив има свој распоред: синусоид, косинида, тангенсиоид и Катангенсоид.

Основата на формулите за пресметување на вредностите на наведените количини е теорема на Pythagoreo. Учениците се познати во текстот: "Питагорас панталони, во сите правци се еднакви", бидејќи доказот е даден на пример за подеднакво виден правоаголен триаголник.

Синус, косинус и други зависности Воспостави врска помеѓу остри агли и страни на било кој правоаголен триаголник. Ние им даваме на формулите за пресметување на овие вредности за аголот А и трага на односот на тригонометриски функции:

Како што може да се види, TG и CTG се инверзни функции. Ако го поднесете Catat A како парче грев и хипотенуси со, и ролна B во форма на CO A * C, ние ќе ги примиме следните формули за тангента и Котангент:

Тригонометриски круг

Графички, соодносот на наведените вредности може да биде претставен на следниов начин:

Круг, во овој случај, е евентуален агол α - од 0 ° до 360 °. Како што може да се види од сликата, секоја функција зема негативна или позитивна вредност во зависност од вредноста на аголот. На пример, гревот α ќе биде со знакот "+", ако α припаѓа на I и II од кварталот од кругот, односно тоа е помеѓу 0 ° до 180 °. Со α од 180 ° до 360 ° (III и IV квартали), гревот α може да биде само негативна вредност.

Ајде да се обидеме да изградиме тригонометриски табели за специфични агли и да ја дознаеме вредноста на вредностите.

Вредностите α се 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 °, и така натаму - се нарекуваат посебни случаи. Вредностите на тригонометриските функции се пресметуваат за нив и се презентираат во форма на специјални табели.

Овие агли не се избираат од било која несреќа. Ознаката π во масите се залага за радијани. Рад е агол на кој должината на обемот на ARC одговара на нејзиниот радиус. Оваа вредност беше воведена со цел да се воспостави универзална зависност, при пресметување на радијани, вистинската должина на радиусот во CM не е важна.

Катри во табели за тригонометриски функции кореспондираат со радијални вредности:

Значи, не е тешко да се претпостави дека 2π е комплетен круг или 360 °.

Својства на тригонометриски функции: синус и косинус

Со цел да се разгледаат и споредат главните својства на синус и косинус, тангента и catangens, неопходно е да се извлечат нивните функции. Ова може да се направи во форма на крива лоцирана во дводимензионален координатен систем.

Размислете за компаративна табела на својства за синусоиди и косиниди:

Утврди дали функцијата е дури и не е многу едноставна. Доволно е да се претстави тригонометриски круг со знаци на тригонометриски вредности и ментално "преклопен" распоред во однос на оската на Ок. Ако знаците се совпаѓаат, функцијата е дури и, инаку - непар.

Воведување на радијани и пренесување на главните својства на синусоиди и косиниди ви овозможуваат да ја донесете следната регуларност:

Бидете сигурни дека формулата е многу едноставна. На пример, за x \u003d π / 2 синус е 1, како и косинус x \u003d 0. Можете да ги проверите табелите или да ги следите функциите на функциите за наведените вредности.

Својства на тангенсенс и kotangensoids

Графиконите на функциите на тангента и Котангент значително се разликуваат од синусоиди и косиниди. Вредностите на TG и CTG се назад едни на други.

1. Y \u003d tg x.
2. Тангенсиид има тенденција да вреднува y на x \u003d π / 2 + πk, но никогаш не ги достигнува.
3. Најнискиот позитивен период на тангензоид е еднаков на π.
4. TG (- X) \u003d - TG X, I.E., функцијата е чудна.
5. TG X \u003d 0, на x \u003d πk.
6. Функцијата се зголемува.
7. TG x\u003e 0, во X ε (πk, π / 2 + πk).
8. TG X \u003c0, во X ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Деривативен (TG X) '\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Размислете за графичката слика на катановиодите под текстот.

Главните својства на Kotangensoids:

1. Y \u003d ctg x.
2. За разлика од функциите на синус и косинус, во тангенсиид y, може да ги преземе вредностите на многу валидни броеви.
3. Kothangensoid има тенденција да вредности y на x \u003d πk, но никогаш не ги достигнува.
4. Најмалиот позитивен период на катановидот е еднаков на π.
5. CTG (- X) \u003d - CTG X, I.E. функцијата е чудна.
6. CTG X \u003d 0, во X \u003d π / 2 + πk.
7. Функцијата се спушта.
8. CTG X\u003e 0, во X ε (πk, π / 2 + πk).
9. CTG X \u003c0, во X ε (π / 2 + πk, πk).
10. Деривативен (CTG X) '\u003d - 1 / SIN 2 \u2061X поправи

Пар од различни греди од ОА и ОБ, кои се појавуваат од една точка О, се нарекува агол и е означен со симбол (A, B). Точката О се нарекува врв на аголот, а зраците на УБ УБ - страните на аголот. Ако A и B - две точки на ОП и ОП зраците, тогаш (A, B) исто така се означени со симбол на AOS (Слика 1.1).

Аголот (А, Б) се нарекува проширен ако зраците на ОА и ОП, кои се појавуваат од една точка лежат на еден исправен и не се совпаѓаат (тоа е спротивно насочена).

Сл.1.1

Два агол се смета за еднаков ако еден агол може да се примени на друг, така што страната на аглите се совпаѓа. Аголот на бисерот се нарекува зрак со почеток на врвот на аголот, го дели аголот во два еднакви агли.

Се вели дека зрак на оперативен систем, кој доаѓа од врвот на аголот АО, лежи меѓу своите партии ако го премине сегментот на AV (Слика 1.2). Се вели дека точката c лежи помеѓу страните на аголот, ако зракот може да се одржи преку оваа точка со почеток на врвот на аголот, лежи помеѓу страните на аголот. Комплет од сите точки на авионот што лежи помеѓу страните на аголот формира внатрешна површина на аголот (слика 1.3). Комплетните точки на авионот кои не припаѓаат на внатрешниот регион и страните на аголот формираат надворешна површина на аголот.

Агол (A, B) се смета за повеќе агол (C, D) ако аголот (C, D) може да се наметне на агол (A, B), така што по комбинацијата на еден пар на страни, втората страна на Аголот (C, D) ќе лежи помеѓу страните на аголот (A, B). На Сл. 1.4 AOS повеќе AOS.

Нека зрак со лаги помеѓу страните на аголот (А, Б) (Слика 1.5). Двојките на зраците A, C и C, B формираат два агли. За аголот (А, Б) велат дека тоа е збир од два агли (A, C) и (C, B) и напишете: (a, b) \u003d (a, c) + (c, b) .

Сл.1.3

Обично во геометријата се занимаваат со агли помали од распоредените. Сепак, како резултат на додавањето на два агли, агол може да се исфрли за да биде повеќе распореден. Во овој случај, дел од авионот, кој се смета за внатрешна површина на аголот, е означен со лак. На Сл. 1.6 Внатрешноста на аголот AOS, добиен како резултат на додавањето на аглите на AOC и OV и повеќе распоредени, е обележано со ARC.

Сл.1.5.

Исто така, постојат агли од големи 360 °. Таквите агли се формираат, на пример, со ротација на пропелерот на авионот, ротацијата на барабанот, на кој јажето е рана, и така натаму.

Во иднина, кога се разгледува секој агол, ние се согласуваме да размислиме за една од страните на овој агол од првичната партија, а другата е крајната партија.

Секој агол, на пример, аголот на AOS (слика 1.7), може да се добие како резултат на ротација на подвижниот зрак околу темето на почетната страна на аголот (ОА) до крајната страна (и). Ние ќе го измериме овој агол, со оглед на комплетниот број на револуции направени околу точката О, како и насоката во која се случи ротацијата.

Позитивни и негативни агли.

Дозволете да имаме агол формиран од зраците на ОА и ОИ (Слика 1). Подвижниот зрак, ротирајќи околу точката О од првичната позиција (ОА), може да ја земе конечната позиција во две различни насоки на ротација. Овие насоки се прикажани на Слика 1.8 со соодветните стрелки.

Сл.1.7

Исто како и на нумеричката оска, една од двете насоки се смета за позитивен, а другиот е негативен, се разликуваат две различни насоки за ротација на подвижниот зрак. Беше договорено да се смета за позитивна насока на ротација која насока која е спротивна на правецот на ротација на стрелките на часовникот. Насоката на ротација се совпаѓа со насоката на ротација на стрелките на часовникот, се смета негативна.

Во согласност со овие дефиниции, аглите исто така се поделени на позитивни и негативни.

Позитивен агол се нарекува агол формиран со ротација на подвижниот зрак околу почетната точка во позитивната насока.

Слика 1.9 има некои позитивни агли. (Насоката на ротација на подвижниот зрак е прикажана во цртежите на стрелките.)

Негативен агол се нарекува агол формиран со ротација на подвижниот зрак околу почетната точка во негативната насока.

Слика 1.10 покажува негативни агли. (Насоката на ротација на подвижниот зрак е прикажана во цртежите на стрелките.)

Но, двете совпаѓачки зраци, исто така, можат да формираат и аглите од + 360 ° P и -360 ° C (n \u003d 0,1,2,3, ...). Означи со искористено најмалиот не-негативен агол на ротација, кој го префрли ОА зраците на позицијата на оперативниот систем. Ако сега реј на ОВ е направен дополнително полн пресврт околу точка o, тогаш добиваме уште една вредност на аголот, имено: AVO \u003d B + 360 °.

Мерење на аглите на Круг Лакс. Единици на мерење на лак и агли

Во некои случаи, излегува дека е погодно да се измерат аглите со користење на кругот лак. Можноста за вакво мерење основа на познатиот предлог на Планимеријата дека централните агли и соодветните лакови се во директна пропорционална зависност од нив се во еден круг.

Нека некои лак од овој круг усвојат по единица мерење на ARC. Централниот агол што одговара на овој лак ќе ја преземе единицата за мерење на аглите. Со оваа состојба, кој било обем ARC и соодветниот централен агол што одговара на овој лак ќе го содржи истиот број на мерни единици. Затоа, мерењето на кругот лакови, можно е да се одреди големината на централните агли кои одговараат на овие лакови.

Размислете за двата најчести системи за мерење на лакови и агли.

Степен мерење на аглите

За време на степеза на мерење на аглите како главна единица за мерење на аглите (референтниот агол, со кој се споредуваат различни агли) агол се зема во еден степен (назначен 1?). Аголот од еден степен е агол еднаков на 1/180 од проширениот агол. Агол еднаков на 1/60 агол од 1 ° е агол од една минута (назначен 1 "). Аголот еднаков на 1/60 дел од аголот во една минута е агол во една секунда (назначен 1").

Мерење на радијански аголни мерки

Заедно со мерењето на мерењето на мерењата на аглите во геометријата и тригонометријата, исто така се користи и други мерни мерења, наречени радијални. Размислете за кругот на радиусот со центарот на О. Ние ќе спроведе два радиус за A и OB, така што должината на AV ARC е еднаква на кружниот радиус (слика 1.12). Централниот агол на AOS добиениот во исто време ќе биде агол на еден радијан. Аголот од 1 радијан е усвоен по единица мерење на мерењето за мерење на радикуларни мерења. Кога аглите се радик, деталниот агол е еднаков на R радијани.

Степенот и радијалните единици на мерење на аглите се поврзани со еднаквост:

1 радијален \u003d 180? / P57 ° 17 "45"; 1? \u003d P / 180 Radian0.017453radian;

1 "\u003d p / 180 * 60 радијален радијален радијал;

1 "" \u003d R / 180 * 60 * 60 Radian0.000005 радијан.

Степенот (или радијан) мерка на аголот исто така се нарекува аголот. Вредноста на аголната вредност на AOS понекогаш означува /

Класификација на агли

Агол еднаков на 90 °, или во радикалната мерка на P / 2, се нарекува директен агол; Често се означува со писмото d. Агол помал од 90 ° се нарекува остри; Аголот е поголем од 90 °, но помалите 180 ° се нарекува глупав.

Два агли кои имаат една заедничка страна и во износ од 180 ° компоненти се нарекуваат соседни агли. Два агли со една заедничка страна и во износ од 90 ° компоненти се нарекуваат дополнителни агли.

Броење на аглите на тригонометриски круг.

Внимание!
Оваа тема има дополнителна
Материјали во посебен дел 555.
За оние кои се силно "не многу ..."
И за оние кои се "многу ...")

Тој е речиси како во претходната лекција. Постојат оски, круг, агол, сите ранг chinar. Додадени квартали (во аглите на голем плоштад) - од првиот до четвртиот. И тогаш што ако некој не знае? Како што можете да видите, една четвртина (тие се нарекуваат и прекрасен збор "квадранти") броеви против текот на стрелките на часовникот. Додадени вредности на аголот на оските. Сè е јасно, нема проблеми.

И зелената стрелка е додадена. Со плус. Што значи тоа? Дозволете ми да ве потсетам дека стационарната страна на аголот секогаш Таа е прикован на позитивната полу-оска О. Значи, ако ние ќе ја претвориме подвижната страна на аголот на стрелката со плус. Растечки кварта броеви, аголот ќе се смета за позитивен. На пример, сликата покажува позитивен агол + 60 °.

Ако ги држиме аглите во спротивна насока, заедно со стрелките на часовникот, аголот ќе се смета за негативен. Глувчето над сликата (или допрете ги сликите на таблетот), видете ја сината стрелка со минус. Ова е насока на негативната референца на аглите. На пример, е прикажан негативен агол (60 °). И ќе видите како diquses се промени на оските ... Јас, исто така, ги пренесоа на негативни агли. Нумерирањето квадранти не се менува.

Тука, обично, првите недоразбирања почнуваат. Како тоа!? И ако негативниот агол на кругот се совпаѓа со позитивен!? И воопшто, излегува дека, истата позиција на подвижната страна (или точка на нумеричкиот круг) може да се нарече како негативен агол и позитивен!?

Да. Точно. Да речеме позитивен агол од 90 степени зазема во круг точно истиот. Ситуацијата е како негативен агол во минус 270 степени. Позитивен агол, на пример, + 110 ° степени зафаќа точно истиот. позиција како негативен агол -250 °.

Нема проблем. Погоре правилно.) Изборот на позитивен или негативен калкулус на аголот зависи од состојбата на задачата. Ако ништо не се вели во состојба отворен текст за аголот знак, (тип "за да се одреди најмалиот позитивно Агол ", итн.), Ние работиме со удобни вредности.

Освен (и како без нив?!) Се тригонометриски нееднаквости, но таму ќе го совладаме овој чип.

И сега прашањето. Како сфатив дека позицијата на аголот од 110 ° се совпаѓа со позицијата на аголот -250 °?
Прекар дека ова се должи на целосниот ред. На 360 ° ... не е јасно? Потоа нацртајте круг. Ние цртаме, на хартија. Го означуваме аголот за 110 °. И. да се \u200b\u200bразгледаКолку останува целосно промет. Тоа ќе остане само 250 ° ...

Фатен? И сега - внимание! Ако аглите се 110 ° и -250 ° окупираат во круг истото Позиција, што? Да дека аглите се 110 ° и -250 ° целосно идентичен Синус, Коснус, Тангент и котангент!
Оние. Sin110 ° \u003d SIN (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °) и така натаму. Ова е веќе навистина важно! А само по себе - има многу задачи, каде што е неопходно да се поедностават изразите, и како основа за последователниот развој на формулите на доведување и друга мудрост на тригонометрија.

Исчишен случај, 110 ° и -250 ° го зедов Намаум, чисто на пример. Сите овие рамнодушност работат за сите агли кои заземаат една позиција во кругот. 60 ° и -300 °, -75 ° и 285 °, и така натаму. Забележувам веднаш дека аглите во овие двојки - различни. И тука се тригонометриски функции од нив - исто.

Мислам дека таквите негативни агли што ги разбирате. Тоа е прилично едноставно. Против во насока на стрелките на часовникот - позитивно одбројување. Во текот - негативни. Прочитајте го позитивниот агол или негативен зависи од нас. Од нашата желба. Па, и од задачата, се разбира ... Се надевам дека ќе разберете и како да се движите во тригонометриски функции од негативни агли до позитивни и назад. Нацртајте круг, приближен агол, но видете колку му недостасува целосен промет, т.е. До 360 °.

Аглите се поголеми од 360 °.

Агли кои се повеќе од 360 °. Дали има такви? Се разбира, постојат. Како да ги привлечете во круг? Да, не е проблем! Да претпоставиме дека треба да разбереме кој квартал ќе добие агол од 1000 °? Лесно! Ние правиме еден полн ред против времето на стрелките на часовникот (аголот беше даден позитивен!). Преместен 360 °. Па, и ветер на! Друг пресврт - веќе се покажа 720 °. Колку е оставено? 280 °. Не е доволно за комплетен пресврт ... Но, аголот е поголем од 270 ° - и ова е границата помеѓу третиот и четвртиот квартал. Тоа беше нашиот агол во 1000 ° влезе во четвртиот квартал. Сè.

Како што можете да видите, тоа е сосема лесно. Уште еднаш ве потсетувам дека аголот е 1000 ° и агол од 280 °, кој го добивме преку отфрлање на "непотребни" целосни револуции - тоа е, строго кажано, различен Агли. Но тригонометриски функции на овие агли целосно идентичен! Оние. Sin1000 ° \u003d sin280 °, cos1000 ° \u003d cos280 °, итн. Ако бев синус, јас не би ја забележал разликата помеѓу овие два агли ...

Зошто ви е потребно сето ова? Зошто треба да ги преведеме аглите од еден до друг? Да, сè е исто.) Со цел да се поедностават изразите. Поедноставување на изразите, всушност, главната задача на училишната математика. Па, на патот, главата е обука.)

Па, практика?)

Одговори на прашања. Прво едноставно.

1. Кој квартал е падот на аголот -325 °?

2. Колкав квартал го прави аголот од 3000 ° пад?

3. Кој квартал паѓа аголот -3000 ° паѓа?

Има проблем? Или несигурност? Ние одиме во делот 555, практична работа со тригонометриски круг. Таму, во првата лекција оваа многу "практична работа ..." сè е детално ... во таков Несигурност прашања да бидат не!

4. Кој знак има SIN555 °?

5. Кој знак е TG555 °?

Дефиниран? Одлично! Сомневање? Неопходно е да се одреди 555 ... Патем, тие ќе научат како да привлекуваат тангентни и котеннти на тригонометриски круг. Многу корисна работа.

И сега прашања во коренот.

6. Потврди го изразот SIN777 ° за синусот на најмалиот позитивен агол.

7. Направете израз cos777 ° до косинусот на најголемиот негативен агол.

8. Обезбедете го COS изразот (-777 °) на кацинусот на најмалиот позитивен агол.

9. Потврди го изразот SIN777 ° за синусот со највисок негативен агол.

Што, прашања 6-9 збунети? Се навикнеш на испитот, а не таквото формулирање ... Толку, јас ќе го преведам. Само за тебе!

Зборовите "донесе израз за ..." значи да се претвори изразот, така што неговата вредност не се промени И изгледот се промени во согласност со задачата. Значи, во задачата 6 и 9 мораме да добиеме синус, во кој чини неми позитивен агол. Сè друго - не е важно.

Одговорите ќе бидат издадени во ред (во кршење на нашите правила). И што да правам, знакот е само двајца, а четвртина е само четири ... нема да работи во опциите.

6. SIN57 °.

7. COS (-57 °).

8. cos57 °.

9. -Син (-57 °)

Претпоставувам дека одговорите на прашањата 6 -9 некој збунет. Специјални -Син (-57 °)Дали е вистина?) Всушност, во основните правила на референтни агли има место за грешки ... Затоа морав да направам лекција: "Како да ги идентификувате знаците на функции и да ги доведете аглите на тригонометриски круг? " Во делот 555. Постојат задачи од 4-9 задачи. Па расклопен, со сите подводни камења. И тие се тука.)

Во следната лекција, ние ќе се занимаваме со мистериозни радијани и бројот "ПИ". Ние ќе научиме лесно и правилно да ги преведеме степените во радијани и назад. И со изненадување ќе откриете дека овие елементарни информации на страницата веќе зграпчува За да се решат некои нестандардни задачи за тригонометрија!

Ако ви се допаѓа оваа страница ...

Патем, имам уште неколку интересни сајтови за вас.)

Може да се пристапи во решавање на примери и да се открие вашето ниво. Тестирање со моментална проверка. Дознај - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Во тригонометрија, важен концепт е агол на ротација. Подолу ние постојано ќе дадеме идеја за ротација и ќе ги внесеме сите придружни концепти. Да почнеме со општата презентација на вртењето, да речеме за целосниот ред. Следно, ние продолжуваме кон концептот на агол на ротација и ги разгледуваме неговите главни карактеристики, како што е насоката и големината на ротацијата. Конечно, ние ќе ја дадеме дефиницијата за обликот на бројката околу точката. Сите теории на текстот ќе бидат доставени со објаснувачки примери и графички илустрации.

Навигација страница.

Што се нарекува вртење на точка околу точка?

Веднаш, ние забележуваме дека заедно со фразата "се свртиме околу точка", исто така, ќе ја користиме фразата "свртете ја точката" и "свртете го во однос на точката", што значи исто.

Ние го воведуваме концептот на ротација на точката околу точката.

Прво даваме дефиниција на центарот на ротација.

Дефиниција.

Точка во однос на која се врти на ред се нарекува вртење центар.

Сега да речеме што се добива како резултат на ротацијата на точката.

Како резултат на ротацијата на одреден момент е во однос на центарот на вртење o, точката A 1 се добива (која во случај на одреден износ може да се совпадне со а), а точката A 1 лежи на кругот со Центар во радиусот ОА радиус. Со други зборови, кога се претвора во однос на точката O точки на процеси до точка A 1, лежи на кругот со центарот во радиусот ОА радиус.

Се верува дека поентата o кога се сврте околу себе оди во себе. Тоа е, како резултат на претворање околу центарот на ротација, точка o оди во себе.

Исто така вреди да се напомене дека ротацијата на точката А околу точката О треба да се смета за движење како резултат на движењето на точката околу кругот со центарот на радиусот ОА радиус.

За јасност, ние ја презентираме илустрацијата на ротацијата на точката и околу точката О, во сликите подолу, поместете ја точката А до точка А 1, ние покажуваме со помош на стрела.

Целосен пресврт

Можете да извршите таква ротација на точката во однос на центарот на пресврт О, кои посочуваат А, откако ги поминале сите точки на кругот, ќе излезат на истото место. Во исто време велат дека точката е остварена околу точката О.

Ајде да дадеме графичка илустрација за целосен промет.

Ако не застанете на еден ред, но за да го продолжите движењето на точката околу обемот, тогаш можете да извршите две, три и така на целосни револуции. Во цртежот под десната страна покажува како може да се произведат два комплетни врти, а левата е три врти.

Концептот на агол на ротација

Од точката воведена во првиот став, точката на ротација е јасно дека постои бесконечен сет на точки на ротација на точката и околу точката О. Навистина, секоја точка на обемот со центарот во радиусот на ОА радиус може да се смета за точка A 1 добиена како резултат на ротацијата на точката a. Затоа, да се направи разлика од еден ред од другиот, воведен концептот на агол на ротација.

Една од карактеристиките на аголот на ротација е свртете насока. Во насока на ротација, суди како се врши ротацијата на точката - во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот.

Друга карактеристика на аголот на ротација е нејзината вредност. Аглите на ротација се мерат во истите единици како: најчестите степени и радијани. Вреди да се напомене дека аголот на ротација може да се изрази во степени според било кој реален број од интервалот на минус бесконечност со плус на бесконечност, за разлика од аголот во геометријата, чија вредност е позитивна во степени и не е позитивна во степени и не надминува 180.

За да се однесуваат на аглите на ротација, најчесто се користат мали букви од грчката азбука: итн. За да се однесува на голем број агли на вртење, една буква со пониски индекси често го користи, на пример, .

Сега да разговараме за карактеристиките на аголот на ротација повеќе и во ред.

Свртете насока

Нека кругот со центарот во точка o означени точки А и А 1. Во точка А 1, можете да добиете од точка А со вртење околу центарот o или во насока на стрелките на часовникот или - спротивно од стрелките на часовникот. Овие врти логично се сметаат за различни.

Ние ги илустрираме вртите во позитивната и негативната насока. Во цртежот подолу, вртењето е прикажано во позитивната насока, а на десната страна - во негативното.

Големината на аголот на ротација, агол на произволни

Аголот на ротација на точката различна од центарот на ротацијата е целосно определен со индикацијата за неговата вредност, од друга страна, вредноста на аголот на вртењето може да се процени за тоа како беше извршено овој пресврт.

Како што веќе споменавме погоре, големината на аголот на ротација во степени е изразена од бројот од -∞ до + ∞. Во овој случај, знакот плус кореспондира со вртење во насока на стрелките на часовникот, а минус знакот се врти спротивно.

Сега останува да се воспостави кореспонденција помеѓу вредноста на аголот на ротација и фактот што одговара на.

Да почнеме со агол на ротација еднаква на нула степени. Овој агол го претвора движењето на точката и сама по себе. Со други зборови, кога вртењето на 0 степени околу точката o точка останува во место.

Одете до ротацијата на точката и околу точката О, во која ротацијата се јавува во половина од прометот. Ние ќе претпоставиме дека точката А оди до точка 1. Во овој случај, апсолутен агол на AOA 1 во степени не надминува 180. Ако ротацијата се случила во позитивна насока, големината на аголот на ротација се смета за еднаква на аголот на АОА 1, и ако ротацијата се случила во негативната насока, неговата вредност се смета за еднаква на аголот на АОА 1 со знак минус. На пример, ние го презентираме цртежот што ги покажува аглите на ротација од 30, 180 и -150 степени.

Аглите на ротација се големи 180 степени и помали -180 степени се утврдуваат врз основа на следните доволно очигледни својства на последователни врти: Неколку сериски врти на точката А околу центарот o се еквивалентни на еден чекор, чија вредност е еднаква на збирот на вредностите на овие врти.

Да дадеме пример илустрирајќи го овој имот. Ние ќе ја ротираме поентата во однос на точката O 45 степени, а потоа ќе ја претвориме оваа точка за 60 степени, по што ќе ја претвориме оваа точка до -35 степени. Означете ги средните точки во овие врти како 1, А 2 и 3. Во истата точка и 3, можеме да добиеме, со изведување на еден ред на точката А до аголот од 45 + 60 + (- 35) \u003d 70 степени.

Значи, аглите на ротација, големи 180 степени, ние ќе претставуваме неколку последователни врти на аглите, сумата на вредностите на кои дава вредност на почетниот агол на ротација. На пример, агол на ротација од 279 степени кореспондира со секвенцијални врти од 180 и 99 степени, или 90, 90, 90 и 9 степени, или 180, 180 и -81 степени или 279 последователни врти од 1 степен.

Аглите на ротација се дефинираат на ист начин, помали -180 степени. На пример, агол на ротација -520 степени може да се толкува како конзистентен пресврт на точка до -180, -180 и -160 степени.

Сумирај. Ние го определивме аголот на ротација, чија големина во степени е изразена со валиден број од јазот од -∞ до + ∞. Во тригонометрија, ние ќе работиме со вртење агли, иако зборот "свртување" често се спушта, и тие велат дека едноставно "агол". Така, во тригонометрија ние ќе работиме со агол агли, под кои ќе ги разбереме аглите на ред.

Како заклучок, забележуваме дека вкупниот промет во позитивната насока одговара на аголот на ротација од 360 степени (или 2 · π радијани), и негативно - аголот на ротација во -360 степени (или -2 · Π е мило). Во исто време, тоа е погодно за големи агли на претворање да претставуваат како одредена количина на целосни револуции и друг пресврт со агол со големина од -180 до 180 степени. На пример, земете агол на ротација од 1.340 степени. Лесно е да претставува 1 340 како 360 · 4 + (- 100). Тоа е, почетниот агол на ротација одговара на 4 целосни врти во позитивната насока и следниот пресврт на -100 степени. Друг пример: агол на ротација -745 степени може да се толкува како две вртења против стрелките на часовникот и последователна ротација од -25 степени, бидејќи -745 \u003d (- 360) · 2 + (- 25).

Ротирајте ја обликот околу точката под аголот

Концептот на ротација на точката е лесно проширување ротирајте ја формата околу точката под аголот (Ова е за таков пресврт како точка во однос на која се врши пресврт, а бројката што се врти, лежи во истата рамнина).

Под крајот на сликата ќе ја разбереме ротацијата на сите точки на оваа бројка околу наведената точка на дадениот агол.

Како пример, даваме илустрација за следната акција: врши ротација на сечењето на аголот во однос на точката О, овој сегмент кога се врти се претвора во сегмент A 1 B 1.

Библиографија.

• Алгебра: Студии. За 9 кл. средини Shk. / U. Н. Макарилчев, Н. Г. Мејук, К. Јас. Нешков, С. Б. Суворов; Ед. С. А. Telikovsky. - М.: Образование, 1990.- 272 c.: IL.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. I. Алгебра и Анализа на започнување: студии. За 10-11 Cl. средини SHK. - 3-ти Ед. - М.: Просветлување, 1993. - 351 c.: Ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и почетна анализа: студии. За 10-11 Cl. Општо образование. Институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ју. П. Dudnitsyn, итн; Ед. A. N. Kolmogorova.- 14. Ед. - М.: Просветлување, 2004.- 384 c: Ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордович А. Г. Математика (корист за апликантите во техничките училишта): студии. корист. - m.; Повисоко. Шк., 1984.-351 стр., Ил.