Đếm các góc trên một vòng tròn lượng giác. Góc tích cực và tiêu cực. Sự phân bố các góc trong quý. Đo góc có thể suy ngẫm là âm

Góc: ° π rad \u003d

Chuyển đổi thành: Radian độ 0 - 360 ° 0 - Tính toán âm dương tích cực 2π

Khi giao nhau trực tiếp, sau đó bốn khu vực khác nhau thu được so với điểm giao nhau.
Những khu vực mới này được gọi là góc.

Hình ảnh cho thấy 4 góc khác nhau được hình thành bởi giao điểm của trực tiếp ab và cd

Thông thường, các góc được đo bằng độ, được chỉ định là °. Khi đối tượng thực hiện một vòng tròn đầy đủ, nghĩa là, di chuyển từ điểm d qua b, c, a, sau đó quay lại d, sau đó chúng nói rằng nó biến 360 độ (360 °). Do đó, mức độ là $ \\ frac (1) (360) $ Circle.

Angles hơn 360 độ

Chúng tôi đã nói về khi đối tượng tạo ra một vòng tròn đầy đủ xung quanh điểm, tuy nhiên nó sẽ vượt qua 360 ° khi đối tượng tạo nhiều hơn một vòng tròn, nó tạo ra góc so với hơn 360 độ. Đây là một hiện tượng phổ biến trong cuộc sống hàng ngày. Bánh xe đi qua nhiều vòng tròn khi xe di chuyển, nghĩa là nó tạo thành một góc lớn hơn 360 °.

Để tìm ra số chu kỳ (được bảo hiểm vòng tròn) khi đối tượng được quay, chúng tôi xem xét số lần bạn cần thêm 360 cho mình để lấy số bằng hoặc nhỏ hơn góc này. Tương tự, chúng tôi tìm thấy số chúng tôi nhân lên trên 360 để có được một số nhỏ hơn, nhưng gần gũi nhất với góc này.

Ví dụ 2.
1. Tìm số lượng vòng tròn được mô tả bởi góc
a) 380 °
b) 770 °
c) 1000 °
Phán quyết
A) 380 \u003d (1 × 360) + 20
Đối tượng mô tả một vòng tròn và 20 °
Kể từ $ 20 ^ (\\ Circ) \u003d \\ Frac (20) (360) \u003d \\ Frac (1) (18) $ Circle
Đối tượng mô tả $ 1 \\ frac (1) (18) $ Circles.

B) 2 × 360 \u003d 720
770 \u003d (2 × 360) + 50
Vật thể mô tả hai vòng tròn và 50 °
$ 50 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (50) (360) \u003d \\ frac (5) (36) $ Circle
Đối tượng được mô tả $ 2 \\ frac (5) (36) $ Circle
c) 2 × 360 \u003d 720
1000 \u003d (2 × 360) + 280
$ 280 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (260) (360) \u003d \\ frac (7) (9) $ Circles
Đối tượng mô tả $ 2 \\ frac (7) (9) $ Circles

Khi vật thể xoay theo chiều kim đồng hồ, nó tạo thành một góc âm của xoay, và khi nó xoay ngược chiều kim đồng hồ - một góc dương. Lên đến thời điểm này, chúng tôi chỉ xem xét các góc dương.

Ở dạng sơ đồ, một góc âm có thể được mô tả như hình dưới đây.

Hình dưới đây cho thấy dấu của góc, được đo từ tổng dòng, trục 0 (trục trục abscissal)

Điều này có nghĩa là với sự hiện diện của một góc âm, chúng ta có thể có được góc tích cực tương ứng.
Ví dụ, phần dưới của trực tiếp dọc là 270 °. Khi đo theo hướng âm, thì chúng ta nhận được -90 °. Chúng tôi chỉ đơn giản là trừ 270 trong số 360. Có một góc âm, chúng tôi thêm 360 để có được một góc dương tương ứng.
Khi một góc là -360 °, điều này có nghĩa là đối tượng được thực hiện nhiều hơn một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ.

Ví dụ 3.
1. Tìm góc tích cực thích hợp
A) -35 °
b) -60 °
C) -180 °
d) - 670 °

2. Tìm góc âm tương ứng 80 °, 167 °, 330 ° và 1300 °.
Phán quyết
1. Để tìm góc dương thích hợp, chúng tôi thêm 360 vào giá trị góc.
A) -35 ° \u003d 360 + (-35) \u003d 360 - 35 \u003d 325 °
b) -60 ° \u003d 360 + (-60) \u003d 360 - 60 \u003d 300 °
c) -180 ° \u003d 360 + (-180) \u003d 360 - 180 \u003d 180 °
d) -670 ° \u003d 360 + (-670) \u003d -310
Điều này có nghĩa là một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ (360)
360 + (-310) \u003d 50 °
Góc là 360 + 50 \u003d 410 °

2. Để có được một góc âm thích hợp, chúng tôi trừ 360 từ giá trị góc.
80 ° \u003d 80 - 360 \u003d - 280 °
167 ° \u003d 167 - 360 \u003d -193 °
330 ° \u003d 330 - 360 \u003d -30 °
1300 ° \u003d 1300 - 360 \u003d 940 (một vòng tròn được truyền)
940 - 360 \u003d 580 (Vòng thứ hai được thông qua)
580 - 360 \u003d 220 (Vòng tròn thứ ba được thông qua)
220 - 360 \u003d -140 °
Góc là -360 - 360 - 360 - 140 \u003d -1220 °
Do đó, 1300 ° \u003d -1220 °

Radian.

Radine là một góc của trung tâm của vòng tròn, trong đó hồ quang được kết luận, chiều dài bằng bán kính của vòng tròn này. Đây là một đơn vị đo lường một giá trị góc. Một góc như vậy là khoảng 57,3 °.
Trong hầu hết các trường hợp, nó được chỉ định là vui vẻ.
Do đó $ 1 rad \\ khoảng 57,3 ^ (\\ Circ) $

RADIUS \u003d r \u003d oa \u003d ob \u003d ab
Góc boa bằng một RADIA

Vì độ dài chu vi được đặt là $ 2 \\ Pi R $, sau đó trong chu vi $ 2 \\ Pi $ ROADII, có nghĩa là nói chung là vòng tròn $ 2 \\ pi $ radian.

Radian thường được thể hiện bởi $ \\ PI $ để tránh các phần thập phân trong các tính toán. Trong hầu hết các cuốn sách, viết tắt rad (rad) Không tìm thấy, nhưng người đọc nên biết rằng khi nói đến một góc, thì nó được đặt qua $ \\ pi $ và các đơn vị đo lường tự động trở thành radian.

$ 360 ^ (\\ Circ) \u003d 2 \\ Pi \\ Rad $
$ 180 ^ (\\ Circ) \u003d \\ Pi \\ Rad $
$ 90 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (\\ pi) (2) rad $
$ 30 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (30) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (6) rad $
$ 45 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (45) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (4) rad $
$ 60 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (60) (180) \\ pi \u003d \\ frac (\\ pi) (3) rad $
$ 270 ^ (\\ Circ) \u003d \\ frac (270) (180) \\ pi \u003d \\ frac (27) (18) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ pi \\ rad $

Ví dụ 4.
1. Chuyển đổi 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° và 390 ° sang Radian thông qua $ \\ Pi $.
Phán quyết
Tôi nhân các góc trên $ \\ frac (\\ pi) (180) $.
$ 240 ^ (\\ Circ) \u003d 240 \\ Times \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (4) (3) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (3) \\ Pi $
$ 120 ^ (\\ Circ) \u003d 120 \\ Times \\ frac (\\ pi) (180) \u003d \\ frac (2 \\ pi) (3) $
$ 270 ^ (\\ Circ) \u003d 270 \\ Times \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (3) (2) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (2) \\ Pi $
$ 750 ^ (\\ Circ) \u003d 750 \\ Times \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (25) (6) \\ pi \u003d 4 \\ frac (1) (6) \\ Pi $
$ 390 ^ (\\ Circ) \u003d 390 \\ Times \\ frac (1) (180) \\ pi \u003d \\ frac (13) (6) \\ pi \u003d 2 \\ frac (1) (6) \\ Pi $

2. Chuyển đổi các góc sau thành bằng cấp.
a) $ \\ frac (5) (4) \\ pi $
b) $ 3,12 \\ PI $
c) 2.4 radian
Phán quyết
$ 180 ^ (\\ Circ) \u003d \\ Pi $
a) $ \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ Times 180 \u003d 225 ^ (\\ Circ) $
b) $ 3,12 \\ pi \u003d 3,12 \\ lần 180 \u003d 561,6 ^ (\\ Circ) $
c) 1 Vui lòng \u003d 57,3 °
$ 2,4 \u003d \\ frac (2,4 \\ lần 57.3) (1) \u003d 137,52 $

Góc phủ định và góc hơn $ 2 \\ Pi $ Radian

Để chuyển đổi một góc âm thành tích cực, chúng tôi gấp nó với $ 2 \\ pi $.
Để chuyển đổi một góc dương thành âm tính, chúng tôi sẽ khấu trừ $ 2 \\ pi $ từ nó.

Ví dụ 5.
1. Chuyển đổi $ - \\ frac (3) (4) \\ pi $ và $ - \\ frac (5) (7) \\ PI $ thành các góc dương trong Radian.

Phán quyết
Thêm vào góc $ 2 \\ Pi $
$ - \\ frac (3) (4) \\ pi \u003d - \\ frac (3) (4) \\ pi + 2 \\ pi \u003d \\ frac (5) (4) \\ pi \u003d 1 \\ frac (1) (4) \\ PI $.

$ - \\ frac (5) (7) \\ pi \u003d - \\ frac (5) (7) \\ pi + 2 \\ pi \u003d \\ frac (9) (7) \\ pi \u003d 1 \\ frac (2) (7) \\ PI $.

Khi đối tượng xoay một góc lớn hơn $ 2 \\ PI $ ;, thì nó tạo nhiều hơn một vòng tròn.
Để xác định số lượng vòng quay (vòng tròn hoặc chu kỳ) trong góc như vậy, chúng tôi tìm thấy một số như vậy, việc nhân số $ 2 \\ pi $ bằng hoặc ít hơn, nhưng càng gần càng tốt với số này.

Ví dụ 6.
1. Tìm số vòng tròn được bao phủ bởi đối tượng trong các góc này
a) $ -10 \\ PI $
b) $ 9 \\ Pi $
c) $ \\ frac (7) (2) \\ pi $

Phán quyết
a) $ -10 \\ pi \u003d 5 (-2 \\ pi) $;
$ -2 \\ PI $ ngụ ý một chu kỳ hướng theo chiều kim đồng hồ, sau đó điều này có nghĩa là
Đối tượng thực hiện 5 chu kỳ theo chiều kim đồng hồ.

b) $ 9 \\ pi \u003d 4 (2 \\ pi) + \\ pi $, $ \\ pi \u003d $ Tầng chu kỳ
Đối tượng làm bốn và một nửa chu kỳ ngược chiều kim đồng hồ

c) $ \\ frac (7) (2) \\ pi \u003d 3,5 \\ pi \u003d 2 \\ pi + 1,5 \\ pi $, $ 1,5 \\ PI $ là ba phần tư của một chu kỳ $ (\\ frac (1,5 \\ pi) (2 \\ Pi) \u003d \\ frac (3) (4)) $
Đối tượng truyền một và ba phần tư của chu kỳ ngược chiều kim đồng hồ

Lượng giác, như khoa học, có nguồn gốc từ phía đông cổ đại. Các tỷ lệ lượng lớn đầu tiên được tạo ra bởi các nhà thiên văn học để tạo ra một lịch chính xác và tập trung vào các ngôi sao. Những tính toán này thuộc về lượng giác hình cầu, trong khi trong khóa học, tỷ lệ của các bên và một góc của một tam giác phẳng được nghiên cứu.

Trigonometry là một phần của toán học tham gia vào các tính chất của các chức năng lượng giác và sự phụ thuộc giữa các bên và các góc của hình tam giác.

Trong thời hoàng kim của văn hóa và khoa học của thiên niên kỷ đầu tiên, kỷ nguyên kiến \u200b\u200bthức của chúng ta đã lây lan từ Đông Đông sang Hy Lạp. Nhưng những khám phá chính về lượng giác là công đức của những người chồng của Caliphate Ả Rập. Đặc biệt, nhà khoa học Turkmen al-Marazvi bước vào các chức năng như tiếp tuyến và kotangent, biên soạn các bảng đầu tiên cho các giá trị xoang, tiếp tuyến và catangents. Khái niệm về hình sin và cosine được giới thiệu bởi các nhà khoa học Ấn Độ. Lượng giác được dành cho rất nhiều sự chú ý trong các tác phẩm của các nhà lãnh đạo cổ xưa tuyệt vời như vậy, như Euclidea, Archimedes và Eratosthene.

Các giá trị chính của lượng giác

Các chức năng lượng giác chính của lập luận số là xoang, cosine, tiếp tuyến và catangent. Mỗi người trong số họ có lịch trình riêng: Sinusoid, Cosineida, Tangomoid và Catangensoid.

Cơ sở của các công thức để tính toán các giá trị của số lượng quy định là định lý Pythagoreo. SchoolChildren được biết đến nhiều hơn trong từ ngữ: "Quần Pythagoras, theo mọi hướng bằng nhau" vì bằng chứng được đưa ra trên một ví dụ về một hình tam giác hình chữ nhật có kích thước bằng nhau.

Xoang, cosine và các phụ nữ khác thiết lập một liên kết giữa các góc và cạnh sắc nét của bất kỳ hình tam giác hình chữ nhật nào. Chúng tôi cung cấp cho các công thức để tính toán các giá trị này cho góc A và theo dõi mối quan hệ của các hàm lượng giác:

Như có thể thấy, TG và CTG là các hàm nghịch đảo. Nếu bạn gửi Catat A như một mảnh tội lỗi a và hypotenuses, và roll b dưới dạng cos a * c, chúng tôi sẽ nhận được các công thức sau để tiếp tuyến và kotangent:

Vòng tròn lượng giác

Đồ họa, tỷ lệ các giá trị cho biết có thể được biểu diễn như sau:

Vòng tròn, trong trường hợp này là tất cả các góc có thể có α - từ 0 ° đến 360 °. Như có thể thấy từ hình, mỗi hàm có giá trị âm hoặc dương tùy thuộc vào giá trị góc. Ví dụ, SIN α sẽ có dấu "+", nếu α thuộc về I và II của quý của vòng tròn, nghĩa là, nó nằm trong khoảng từ 0 ° đến 180 °. Với α từ 180 ° đến 360 ° (III và IV), SIN α chỉ có thể là một giá trị âm.

Hãy thử xây dựng các bảng lượng giác cho các góc cụ thể và tìm hiểu giá trị của các giá trị.

Các giá trị α là 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 °, v.v. - được gọi là trường hợp đặc biệt. Các giá trị của các hàm lượng giác được tính cho chúng và được trình bày dưới dạng các bảng đặc biệt.

Những góc độ này không được lựa chọn bởi bất kỳ tai nạn. Chỉ định π trong các bảng là viết tắt của Radian. RAD là một góc mà chiều dài của vòng cung chu vi tương ứng với bán kính của nó. Giá trị này đã được giới thiệu để thiết lập sự phụ thuộc phổ biến, khi tính toán radian, độ dài bán kính thực tế tính bằng cm không quan trọng.

Các góc trong Bảng để các hàm lượng giác tương ứng với các giá trị Radian:

Vì vậy, không khó để đoán rằng 2π là một vòng tròn hoàn chỉnh hoặc 360 °.

Tính chất của chức năng lượng giác: xoang và cosine

Để xem xét và so sánh các tính chất chính của xoang và cosin, tiếp tuyến và catangens, cần phải vẽ chức năng của chúng. Điều này có thể được thực hiện dưới dạng đường cong nằm trong hệ tọa độ hai chiều.

Xem xét một bảng so sánh các thuộc tính cho Sinusoids và Cosineids:

Xác định xem chức năng là thậm chí hoặc không đơn giản lắm. Nó là đủ để trình bày một vòng tròn lượng giác có dấu hiệu của các giá trị lượng giác và lịch trình "gấp" tinh thần so với trục bò. Nếu các dấu hiệu trùng hợp, chức năng thậm chí là, nếu không - một số lẻ.

Giới thiệu Radian và chuyển các tính chất chính của Sinusoids và Cosineid cho phép bạn mang lại sự đều đặn sau:

Hãy chắc chắn rằng công thức rất đơn giản. Ví dụ: đối với X \u003d π / 2 SINUS là 1, cũng như Cosine X \u003d 0. Bạn có thể kiểm tra các bảng hoặc truy tìm các chức năng của các hàm cho các giá trị được chỉ định.

Tính chất của Tangenoids và Kotangensoids

Các biểu đồ của các chức năng của tiếp tuyến và kotangent khác nhau đáng kể so với sin và cosineids. Các giá trị của TG và CTG đã quay lưng lại với nhau.

1. Y \u003d tg x.
2. Tangentsoid có xu hướng giá trị y ở x \u003d π / 2 + πk, nhưng không bao giờ đạt được chúng.
3. Thời kỳ tích cực thấp nhất của TANGENOID bằng π.
4. Tg (x) \u003d - tg x, i.e., hàm là số lẻ.
5. Tg x \u003d 0, ở x \u003d πk.
6. Chức năng đang tăng lên.
7. TG X\u003e 0, AT X ε (πk, π / 2 + πk).
8. TG X \u003c0, AT X ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Phái sinh (tg x) '\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Hãy xem xét hình ảnh đồ họa của Catangensoids bên dưới văn bản.

Các tính chất chính của Kotangensoids:

1. Y \u003d ctg x.
2. Không giống như các chức năng của xoang và cosine, trong Tangentsoid Y, nó có thể lấy các giá trị của nhiều số hợp lệ.
3. Kothangenoid có xu hướng coi trọng y ở x \u003d πk, nhưng không bao giờ đạt được chúng.
4. Giai đoạn tích cực nhỏ nhất của catangensoid bằng π.
5. CTG (- x) \u003d - CTG X, I.E. Chức năng là số lẻ.
6. Ctg x \u003d 0, ở x \u003d π / 2 + πk.
7. Chức năng đang giảm dần.
8. CTG X\u003e 0, ở x ε (πk, π / 2 + πk).
9. CTG X \u003c0, AT X ε (π / 2 + πk, πk).
10. Phái sinh (CTG X) '\u003d - 1 / sin 2 \u2061x Khắc phục

Một cặp dầm khác nhau của OA và OB, xuất hiện từ một điểm o, được gọi là một góc và được biểu thị bằng ký hiệu (A, B). Điểm O được gọi là đỉnh của góc, và các tia của UB UB - các cạnh của góc. Nếu A và B - hai điểm của tia oa và ob, thì (a, b) cũng được biểu thị bằng biểu tượng của AOS (Hình 1.1).

Góc (A, B) được gọi là mở rộng nếu các tia oa và ob, nổi lên từ một điểm nằm trên một thẳng và không trùng khớp (đó là hướng dẫn đối với).

Hình.1.1.

Hai góc được coi là bằng nhau nếu một góc có thể được áp dụng cho một góc khác để bên của các góc trùng với nhau. Góc Bisector được gọi là một chùm tia với đầu ở trên cùng của góc, chia góc thành hai góc bằng nhau.

Người ta nói rằng một tia os, đến từ đỉnh của Ao, nằm giữa các bên của nó nếu nó vượt qua đoạn AV (Hình 1.2). Người ta nói rằng điểm C nằm giữa các cạnh của góc, nếu một tia có thể được giữ qua điểm này với đầu ở phía trên của góc, nằm giữa các mặt góc. Tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng nằm giữa các cạnh của góc tạo thành một vùng bên trong của góc (Hình 1.3). Tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc về vùng bên trong và các cạnh của góc tạo thành một khu vực bên ngoài của góc.

Một góc (a, b) được coi là góc nhiều hơn (C, D) nếu góc (C, D) có thể được áp đặt trên một góc (A, B) để sau sự kết hợp của một cặp cạnh, phía thứ hai của Góc (C, D) sẽ nằm giữa các cạnh của góc (A, B). Trong bộ lễ phục. 1.4 AOS nhiều aos.

Để chùm tia với những vết nằm giữa các cạnh của góc (A, B) (Hình 1.5). Các cặp ray A, C và C, B tạo thành hai góc. Về góc (a, b) họ nói rằng đó là tổng của hai góc (a, c) và (c, b) và viết: (a, b) \u003d (a, c) + (c, b) .

Hình.1.3.

Thông thường trong hình học, họ đối phó với các góc nhỏ hơn so với triển khai. Tuy nhiên, do kết quả của việc bổ sung hai góc, một góc có thể được hóa ra để được triển khai nhiều hơn. Trong trường hợp này, một phần của mặt phẳng, được coi là một khu vực bên trong của góc, được đánh dấu bằng vòng cung. Trong bộ lễ phục. 1.6 Bên trong góc AOS, thu được do việc bổ sung các góc của AOC và OV và được triển khai nhiều hơn, được đánh dấu bằng vòng cung.

Hình.1.5.

Ngoài ra còn có các góc của lớn 360 °. Những góc độ như vậy được hình thành, ví dụ, bằng cách xoay cánh quạt máy bay, vòng quay của trống, trên đó, dây đó là vết thương, v.v.

Trong tương lai, khi xem xét từng góc, chúng tôi đồng ý xem xét một trong các khía cạnh của góc độ này từ bữa tiệc ban đầu của nó và cái còn lại là bữa tiệc cuối cùng.

Ví dụ, bất kỳ góc nào, góc của AOS (Hình 1.7), có thể thu được do quay vòng của chùm tia di động xung quanh đỉnh của phía ban đầu của góc (OA) vào (các) bên cuối của nó. Chúng tôi sẽ đo góc này, xem xét số lượng vòng quay hoàn chỉnh được thực hiện xung quanh điểm O, cũng như hướng đi xảy ra.

Góc tích cực và tiêu cực.

Hãy để chúng ta có một góc được hình thành bởi các tia OA và OI (Hình.1.8). Ray di chuyển, xoay quanh điểm O từ vị trí ban đầu (OA), có thể lấy (các) vị trí cuối cùng theo hai hướng quay khác nhau. Những hướng này được hiển thị trong Hình 1.8 với các mũi tên tương ứng.

Hình.7.7.

Giống như trên một trục số, một trong hai hướng được coi là dương và khác là âm, hai hướng quay khác nhau của chùm tia di động được phân biệt. Nó đã được đồng ý được coi là một hướng quay tích cực mà hướng đối diện với hướng quay của chiều kim đồng hồ. Hướng quay trùng với hướng quay theo chiều kim đồng hồ, được coi là âm.

Phù hợp với các định nghĩa này, các góc cũng được chia thành tích cực và tiêu cực.

Một góc dương được gọi là một góc được hình thành bởi xoay của chùm di chuyển xung quanh điểm bắt đầu theo hướng tích cực.

Hình 1.9 có một số góc dương. (Hướng quay của chùm tia di động được hiển thị trong các bản vẽ của các mũi tên.)

Một góc âm được gọi là một góc được hình thành bởi xoay của chùm di chuyển xung quanh điểm bắt đầu theo hướng âm.

Hình 1.10 cho thấy một số góc phủ định. (Hướng quay của chùm tia di động được hiển thị trong các bản vẽ của các mũi tên.)

Nhưng hai tia trùng co trùng cũng có thể hình thành và các góc của + 360 ° P và -360 ° C (n \u003d 0,1,2,3, ...). Biểu thị bằng cách sử dụng góc xoay không âm nhỏ nhất có thể, đã được chuyển tia oa đến vị trí hệ điều hành. Nếu bây giờ thì tia của OV được tạo thêm một lượt đầy đủ quanh điểm O, sau đó chúng ta nhận được một giá trị khác của góc, cụ thể là: Avo \u003d B + 360 °.

Đo các góc của vòng cung tròn. Đơn vị đo của cung và góc

Trong một số trường hợp, hóa ra là thuận tiện để đo các góc bằng vòng cung tròn. Khả năng đo lường cơ sở như vậy dựa trên đề xuất nổi tiếng của kế hoạch mà các góc trung tâm và các vòng cung tương ứng phụ thuộc theo tỷ lệ trực tiếp vào chúng trong một vòng tròn.

Để một số vòng cung của vòng tròn này được áp dụng trên mỗi đơn vị đo của vòng cung. Góc trung tâm tương ứng với vòng cung này sẽ lấy đơn vị đo của các góc. Với tình trạng này, bất kỳ vòng cung chu vi và góc trung tâm tương ứng tương ứng với vòng cung này sẽ chứa cùng một số đơn vị đo. Do đó, đo vòng cung tròn, có thể xác định độ lớn của các góc trung tâm tương ứng với các vòng cung này.

Hãy xem xét hai hệ thống phổ biến nhất để đo các vòng cung và góc.

Góc đo độ

Trong quá trình đo độ cao của các góc là đơn vị đo góc chính của các góc (góc tham chiếu, với các góc khác nhau được so sánh) một góc được lấy thành một độ (được chỉ định 1?). Góc của một độ là một góc bằng 1/180 của góc mở rộng. Một góc bằng 1/60 góc 1 ° là một góc là một phút (được chỉ định 1 "). Góc bằng 1/60 phần của một góc trong một phút là một góc trong một giây (được chỉ định 1").

Đo đo lường góc Radian

Cùng với phép đo độ đo độ của các góc trong hình học và lượng giác, phép đo đo khác cũng được sử dụng, được gọi là radian. Hãy xem xét vòng tròn bán kính R với trung tâm của O. Chúng tôi sẽ thực hiện hai bán kính về A và OB để chiều dài của AV Arc bằng bán kính vòng tròn (Hình 1.12). Góc trung tâm của AOS thu được cùng một lúc sẽ là một góc của một radian. Góc của 1 Radian được thông qua trên mỗi đơn vị đo lường đo đo đo vùng triệt thông. Khi các góc được radic, góc chi tiết bằng r radian.

Các đơn vị đo lường độ và radian của các góc có liên quan đến các đẳng thức:

1 radian \u003d 180? / P57 ° 17 "45"; 1? \u003d P / 180 Radian0.017453Radian;

1 "\u003d P / 180 * 60 Radian0.000291 Radian;

1 "" \u003d r / 180 * 60 * 60 Radian0.000005 Radian.

Đo độ (hoặc radian) của góc cũng được gọi là góc. Giá trị góc của AOS đôi khi được biểu thị /

Phân loại các góc

Một góc bằng 90 °, hoặc trong thước đo p / 2, được gọi là một góc trực tiếp; Nó thường được ký hiệu bởi chữ d. Một góc ít hơn 90 ° được gọi là sắc nét; Góc lớn hơn 90 °, nhưng 180 ° nhỏ hơn được gọi là ngu ngốc.

Hai góc có một mặt phổ biến và trong số lượng các thành phần 180 ° được gọi là các góc liền kề. Hai góc có một mặt phổ biến và trong số lượng linh kiện 90 ° được gọi là các góc bổ sung.

Đếm các góc trên một vòng tròn lượng giác.

Chú ý!
Chủ đề này có thêm
Vật liệu trong phần đặc biệt 555.
Dành cho những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất ...")

Anh ấy gần giống như trong bài học trước. Có các trục, vòng tròn, góc, tất cả các cấp bậc Chinar. Thêm phần tư (ở các góc của một hình vuông lớn) - từ đầu tiên đến thứ tư. Và sau đó nếu ai đó không biết thì sao? Như bạn có thể thấy, một phần tư (chúng còn được gọi là những số "Quadrant" đẹp) so với tiến trình theo chiều kim đồng hồ. Thêm các giá trị góc trên các trục. Mọi thứ đều rõ ràng, không có vấn đề.

Và mũi tên màu xanh lá cây đã được thêm vào. Với một điểm cộng. Nó có nghĩa là gì? Hãy để tôi nhắc nhở bạn rằng phía đứng về phía đứng của góc luôn luôn Nó được đóng đinh vào nửa trục tích cực oh. Vì vậy, nếu chúng ta sẽ chuyển sang phía di chuyển của góc trên mũi tên với một điểm cộng. Số Quarta tăng dần, góc sẽ được coi là tích cực. Ví dụ, hình ảnh cho thấy một góc dương + 60 °.

Nếu chúng ta giữ các góc theo hướng ngược lại, dọc theo mũi tên theo chiều kim đồng hồ, góc sẽ được coi là tiêu cực. Di chuột qua hình ảnh (hoặc chạm vào hình ảnh trên máy tính bảng), xem mũi tên màu xanh với một điểm trừ. Đây là hướng của tài liệu tham khảo tiêu cực của các góc. Ví dụ, một góc âm được hiển thị (60 °). Và bạn sẽ thấy diquses đã thay đổi như thế nào trên các trục ... Tôi cũng chuyển chúng sang các góc âm. Số góc phần tư đánh số không thay đổi.

Ở đây, thông thường, những sai lầm đầu tiên bắt đầu. Làm thế nào vậy !? Và nếu góc âm trên vòng tròn trùng với dương tính với dương !? Và nói chung, hóa ra, cùng một vị trí của mặt di chuyển (hoặc điểm trên vòng tròn số) có thể được gọi là một góc âm và tích cực !?

Đúng. Chính xác. Hãy nói một góc dương 90 độ chiếm trên một vòng tròn giống hệt nhau Tình hình là một góc âm trong âm trung bình 270 độ. Góc tích cực, ví dụ, + 110 ° độ chiếm giống hệt nhau vị trí như góc âm -250 °.

Không vấn đề gì. Trên một cách chính xác.) Việc lựa chọn một phép tính tích cực hoặc tiêu cực của góc phụ thuộc vào điều kiện của nhiệm vụ. Nếu không có gì được nói trong điều kiện mở văn bản. về dấu hiệu góc, (loại "để xác định nhỏ nhất tích cực Góc góc, v.v.), chúng tôi làm việc với các giá trị thoải mái.

Ngoại trừ (và làm thế nào mà không có họ ?!) là những bất đẳng thức lượng giác, nhưng chúng tôi sẽ làm chủ chip này.

Và bây giờ câu hỏi bạn. Làm thế nào tôi nhận ra rằng vị trí của góc 110 ° trùng với vị trí của góc -250 °?
Biệt danh rằng điều này là do lượt đầy đủ. Ở 360 ° ... không rõ ràng? Sau đó vẽ một vòng tròn. Chúng tôi vẽ, trên giấy. Chúng tôi đánh dấu góc trong khoảng 110 °. Và xem xétBao nhiêu nó vẫn còn cho doanh thu đầy đủ. Nó sẽ vẫn chỉ 250 ° ...

Bắt? Và bây giờ - Chú ý! Nếu các góc là 110 ° và -250 ° chiếm trong một vòng tròn tương tự vị trí, cái gì? Có rằng các góc là 110 ° và -250 ° hoàn toàn giống nhau Xoang, kosinus, tiếp tuyến và cotangent!
Những, cái đó. Sin110 ° \u003d SIN (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °), v.v. Điều này đã thực sự quan trọng! Và chính nó - có rất nhiều nhiệm vụ, nơi cần thiết để đơn giản hóa các biểu thức, và dưới dạng cơ sở cho sự phát triển tiếp theo của các công thức mang lại và sự khôn ngoan của lượng giác khác.

Vỏ trong suốt, 110 ° và -250 ° Tôi lấy Namaum, hoàn toàn chẳng hạn. Tất cả các đẳng thức này làm việc cho bất kỳ góc nào chiếm một vị trí trong vòng tròn. 60 ° và -300 °, -75 ° và 285 °, v.v. Tôi lưu ý ngay lập tức rằng các góc trong các cặp vợ chồng này - khác nhau. Và đây là các chức năng lượng giác của chúng - giống nhau.

Tôi nghĩ rằng các góc tiêu cực như vậy bạn hiểu. Nó khá đơn giản. Chống lại tiến độ theo chiều kim đồng hồ - một đếm ngược tích cực. Trong khóa học - tiêu cực. Đọc góc tích cực, hoặc tiêu cực phụ thuộc vào chúng tôi. Từ mong muốn của chúng tôi. Chà, và từ nhiệm vụ, tất nhiên, tôi hy vọng bạn hiểu và cách di chuyển trong các chức năng lượng giác từ các góc phủ âm đến tích cực và trở lại. Vẽ một vòng tròn, một góc gần đúng, nhưng xem bao nhiêu thiếu doanh thu đầy đủ, tức là. lên đến 360 °.

Các góc lớn hơn 360 °.

Các góc nhiều hơn 360 °. Có bất kỳ như vậy? Tất nhiên rồi. Làm thế nào để vẽ chúng trong một vòng tròn? Vâng, không phải là một vấn đề! Giả sử chúng ta cần hiểu quý nào sẽ có được góc 1000 °? Dễ dàng! Chúng tôi thực hiện một lần rẽ đầy đủ so với thời gian theo chiều kim đồng hồ (góc được đưa ra tích cực!). Di chuyển 360 °. Chà, và gió trên! Một lượt nữa - Đã bật ra 720 °. Còn lại bao nhiêu? 280 °. Không có đủ cho một lượt hoàn chỉnh ... nhưng góc lớn hơn 270 ° - và đây là biên giới giữa quý thứ ba và thứ tư. Đó là góc của chúng tôi trong 1000 ° đi vào quý IV. Mọi điều.

Như bạn có thể thấy, nó khá đơn giản. Một lần nữa tôi nhắc nhở bạn rằng góc là 1000 ° và một góc 280 °, mà chúng tôi đã vượt qua các vòng quay đầy đủ "không cần thiết" - đó là, nói đúng, khác nhau Góc. Nhưng các chức năng lượng giác của các góc này hoàn toàn giống nhau! Những, cái đó. Sin1000 ° \u003d sin280 °, cos1000 ° \u003d cos280 °, v.v. Nếu tôi bị xoang, tôi sẽ không nhận thấy sự khác biệt giữa hai góc này ...

Tại sao bạn cần tất cả những điều này? Tại sao chúng ta cần dịch các góc từ người này sang người khác? Vâng, mọi thứ đều giống nhau.) Để đơn giản hóa các biểu thức. Đơn giản hóa các biểu thức, thực sự, nhiệm vụ chính của toán học. Chà, theo cách, người đứng đầu đang được đào tạo.)

Vâng, thực hành?)

Trả lời câu hỏi. Đơn giản đầu tiên.

1. Góc -325 ° rơi vào quý nào?

2. Góc 5000 ° rơi vào quý nào?

3. Góc -3000 ° rơi vào quý nào?

Có một vấn đề? Hoặc không chắc chắn? Chúng tôi đi đến phần 555, công việc thực tế với một vòng tròn lượng giác. Ở đó, trong bài học đầu tiên, công việc thực tế rất "..." Mọi thứ đều chi tiết ... trong như là Vấn đề không an toàn để được không phải!

4. Sin555 ° có dấu hiệu nào?

5. Dấu hiệu nào là TG555 °?

Xác định? Thông minh! Nghi ngờ? Đó là cần thiết để Mục 555 ... Nhân tiện, họ sẽ học cách vẽ tiếp tuyến và cotangent trên một vòng tròn lượng giác. Điều rất hữu ích.

Và bây giờ câu hỏi trong gốc.

6. Xác nhận biểu thức Sin777 ° đến xoang góc dương nhỏ nhất.

7. Tạo một biểu thức Cos777 ° đến cosin của góc âm lớn nhất.

8. Cung cấp biểu thức COS (-777 °) cho CaCinus của góc dương nhỏ nhất.

9. Xác nhận biểu thức Sin777 ° đến xoang của góc âm cao nhất.

Cái gì, câu hỏi 6-9 hoang mang? Làm quen với, trong kỳ thi và không gặp thế mạnh như vậy ... Vì vậy, tôi sẽ dịch. Chỉ dành cho bạn!

Các từ "mang đến một biểu thức cho ..." có nghĩa là để chuyển đổi một biểu thức để giá trị của nó đã không thay đổi Và sự xuất hiện đã thay đổi theo nhiệm vụ. Vì vậy, trong nhiệm vụ 6 và 9, chúng ta phải có SINUS, trong đó chi phí CNTT mute góc tích cực. Mọi thứ khác - nó không quan trọng.

Câu trả lời sẽ được phát hành theo thứ tự (vi phạm các quy tắc của chúng tôi). Và phải làm gì, dấu hiệu chỉ là hai, và quý chỉ là bốn ... bạn sẽ không chạy trong các tùy chọn.

6. SIN57 °.

7. Cos (-57 °).

8. Cos57 °.

9. -Sin (-57 °)

Tôi cho rằng các câu trả lời cho câu hỏi 6 -9 một người bối rối. Đặc biệt -sin (-57 °)Có thật không?) Thật vậy?) Thực sự, trong các quy tắc cơ bản của các góc tham chiếu, có một địa điểm cho lỗi ... đó là lý do tại sao tôi phải thực hiện một bài học: Làm thế nào để xác định các dấu hiệu của các chức năng và mang các góc trên một vòng tròn lượng giác? " Trong phần 555. Có 4 - 9 nhiệm vụ được tháo rời. Được tháo rời tốt, với tất cả các viên đá dưới nước. Và họ đang ở đây.)

Trong bài học tiếp theo, chúng tôi sẽ đối phó với radian bí ẩn và số "PI". Chúng tôi sẽ học cách dễ dàng và dịch chính xác độ thành radian và trở lại. Và ngạc nhiên, bạn sẽ thấy rằng thông tin cơ bản này trên trang web đã lấy Để giải quyết một số nhiệm vụ lượng giác không chuẩn!

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị khác cho bạn.)

Nó có thể được truy cập trong việc giải quyết các ví dụ và tìm ra cấp độ của bạn. Kiểm tra với séc ngay lập tức. Học - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các tính năng và các dẫn xuất.

Trong lượng giác, một khái niệm quan trọng là góc quay. Dưới đây chúng tôi sẽ liên tục đưa ra một ý tưởng về việc xoay vòng và nhập tất cả các khái niệm đồng thời. Hãy bắt đầu với việc trình bày chung về lượt, hãy nói về lượt đầy đủ. Tiếp theo, chúng tôi tiến hành khái niệm về một góc quay và xem xét các đặc điểm chính của nó, chẳng hạn như hướng và độ lớn của vòng quay. Cuối cùng, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa về hình dạng của hình xung quanh điểm. Tất cả các lý thuyết trên văn bản sẽ được cung cấp với các ví dụ giải thích và minh họa đồ họa.

Điều hướng.

Những gì được gọi là quay điểm xung quanh điểm?

Ngay lập tức, chúng tôi lưu ý rằng cùng với cụm từ "quay quanh điểm", chúng tôi cũng sẽ sử dụng cụm từ "quay vòng điểm" và "rẽ liên quan đến điểm", có nghĩa là giống nhau.

Chúng tôi giới thiệu khái niệm quay vòng của điểm xung quanh điểm.

Đầu tiên chúng ta đưa ra định nghĩa của trung tâm quay.

Định nghĩa.

Điểm tương đối mà biến rẽ được gọi là tRUNG TÂM BẮT ĐẦU.

Bây giờ hãy nói những gì thu được là kết quả của việc quay của điểm.

Là kết quả của việc quay một điểm một điểm so với trung tâm biến O, điểm A 1 thu được (trong trường hợp một lượng nhất định có thể trùng với A) và điểm A 1 nằm trên vòng tròn với trung tâm tại điểm bán kính oa. Nói cách khác, khi xoay liên quan đến điểm o trỏ một quy trình đến điểm A 1, nằm trên vòng tròn với trung tâm tại điểm bán kính OA.

Người ta tin rằng điểm O khi quay lại tự mình đi vào chính nó. Đó là, do kết quả của việc quay vòng giữa trung tâm quay, điểm O sẽ tự đi vào chính nó.

Điều đáng chú ý là sự quay vòng của điểm A xung quanh điểm O nên được coi là di chuyển do sự chuyển động của điểm A xung quanh vòng tròn với trung tâm tại điểm bán kính OA.

Đối với sự rõ ràng, chúng tôi trình bày một minh họa về sự quay vòng của điểm và xung quanh điểm O, trong các số liệu dưới đây, di chuyển điểm A đến điểm A 1, chúng tôi hiển thị với sự trợ giúp của một mũi tên.

Quay tròn đầy đủ

Bạn có thể thực hiện một vòng quay như vậy đối với điểm so với trung tâm của lượt O, điểm A, đã vượt qua tất cả các điểm của vòng tròn, sẽ hóa ra ở cùng một nơi. Đồng thời họ nói rằng điểm hoàn thành xung quanh điểm o.

Hãy đưa ra một minh họa đồ họa của một doanh thu đầy đủ.

Nếu bạn không dừng lại một lượt, nhưng để tiếp tục chuyển động của điểm xung quanh chu vi, thì bạn có thể thực hiện hai, ba và như vậy trên các cuộc cách mạng hoàn toàn. Trong bản vẽ bên dưới, có thể tạo hai lượt hoàn chỉnh, và bên trái là ba lượt.

Khái niệm về góc quay

Từ điểm được giới thiệu trong đoạn đầu tiên, điểm quay rõ ràng là có một bộ điểm xoay vô hạn của điểm và xung quanh điểm O. Thật vậy, bất kỳ điểm nào của chu vi với trung tâm tại điểm bán kính OA có thể được coi là một điểm A 1 thu được do sự quay của điểm a. Do đó, để phân biệt một lượt từ người kia, được giới thiệu khái niệm về góc quay.

Một trong những đặc điểm của góc quay là hướng quay. Theo hướng quay, đánh giá cách quay của điểm được thực hiện - theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Một đặc điểm khác của góc quay là nó giá trị. Các góc quay được đo trong cùng một đơn vị như: độ và radian phổ biến nhất. Điều đáng chú ý ở đây rằng góc quay có thể được biểu thị bằng mức độ bởi bất kỳ số thực nào trong khoảng thời gian trừ đi vô cực đến điểm cộng của vô cực, không giống như góc trong hình học, giá trị của đó là dương tính và không vượt quá 180.

Để chỉ các góc quay, các chữ cái viết thường của bảng chữ cái Hy Lạp thường được sử dụng: v.v. Để chỉ một số lượng lớn các góc quay, một chữ cái có chỉ số thấp hơn thường sử dụng, ví dụ, .

Bây giờ hãy nói về các đặc điểm của góc quay nhiều hơn và theo thứ tự.

Hướng quay

Hãy để vòng tròn với trung tâm tại điểm o Điểm được đánh dấu A và 1. Tại điểm A 1, bạn có thể lấy từ điểm A bằng cách xoay quanh trung tâm o theo chiều kim đồng hồ hoặc - ngược chiều kim đồng hồ. Những lượt này được coi là khác nhau.

Chúng tôi minh họa các lượt theo hướng tích cực và tiêu cực. Trong bản vẽ bên dưới, rẽ được hiển thị theo hướng tích cực và ở bên phải - trong âm.

Độ lớn của góc quay, một góc tùy ý

Góc quay của điểm khác với trung tâm xoay được xác định đầy đủ bởi dấu hiệu của giá trị của nó, mặt khác, giá trị của góc lượt có thể được đánh giá về cách thực hiện lượt này.

Như chúng ta đã đề cập ở trên, độ lớn của góc quay trong độ được biểu thị bằng số từ -∞ đến +. Trong trường hợp này, dấu cộng tương ứng để xoay theo chiều kim đồng hồ và dấu trừ là xoay ngược chiều kim đồng hồ.

Bây giờ nó vẫn còn để thiết lập một sự tương ứng giữa giá trị của góc quay và thực tế là nó tương ứng với.

Hãy bắt đầu với một góc xoay bằng 0 độ. Góc này biến chuyển động của điểm và chính nó. Nói cách khác, khi quay 0 độ xung quanh điểm O điểm A vẫn còn ở vị trí.

Đi đến vòng quay của điểm và xung quanh điểm O, trong đó xoay xảy ra trong một nửa của doanh thu. Chúng tôi sẽ cho rằng điểm A đi đến điểm 1. Trong trường hợp này, góc tuyệt đối của AOA 1 tính bằng mức độ không vượt quá 180. Nếu xoay xoay theo hướng tích cực, độ lớn của góc quay được coi là bằng với góc AOA 1 và nếu xoay xảy ra theo hướng âm, giá trị của nó được coi là bằng với góc của AOA 1 với một dấu trừ. Ví dụ: chúng tôi trình bày một bản vẽ hiển thị các góc quay 30, 180 và -150 độ.

Các góc quay là 180 độ lớn và nhỏ hơn180 độ được xác định trên cơ sở sau đó rất rõ ràng tính chất của lượt liên tiếp: Một số lượt nối tiếp của điểm A xung quanh trung tâm O tương đương với một lượt, giá trị bằng với tổng các giá trị của các lượt này.

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ minh họa tài sản này. Chúng tôi sẽ xoay điểm A so với điểm O 45 độ, sau đó xoay điểm này 60 độ, sau đó chúng tôi biến điểm này trên -35 độ. Biểu thị các điểm trung gian ở các lượt này dưới dạng 1, 2 và 3. Trong cùng một điểm và 3, chúng ta có thể nhận được, bằng cách thực hiện một bước điểm A đến góc 45 + 60 + (- 35) \u003d 70 độ.

Vì vậy, các góc quay, 180 độ lớn, chúng ta sẽ đại diện như một vài lần quay liên tiếp trên các góc, tổng của các giá trị cho giá trị của góc xoay ban đầu. Ví dụ, một góc quay 279 độ tương ứng với vòng quay tuần tự 180 và 99 độ, hoặc 90, 90, 90 và 9 độ, hoặc 180, 180 và -81 độ, hoặc 279 lần liên tiếp 1 độ.

Các góc xoay được xác định theo cùng một cách, nhỏ hơn -1 độ. Ví dụ, một góc quay -520 độ có thể được hiểu là các rẽ nhất quán của điểm đến -180, -180 và -160 độ.

Tóm tắt. Chúng tôi xác định góc quay, độ lớn trong độ được thể hiện bằng một số số hợp lệ từ khoảng cách từ -∞ đến +. Trong lượng giác, chúng ta sẽ làm việc với các góc xoay, mặc dù từ "rẽ" thường bị hạ thấp và họ nói đơn giản là "góc". Do đó, trong lượng giác, chúng ta sẽ hoạt động với các góc góc, dưới đó chúng ta sẽ hiểu các góc của lượt.

Kết luận của đoạn này, chúng tôi lưu ý rằng tổng doanh thu theo hướng tích cực tương ứng với góc xoay 360 độ (hoặc 2 · π radian) và ở mức âm - góc quay trong -360 độ (hoặc -2 · Π rất vui mừng). Đồng thời, thuận tiện cho các góc độ lớn của việc chuyển sang đại diện như một lượng vòng quay hoàn toàn nhất định và một lượt khác của một góc độ lớn từ -180 đến 180 độ. Ví dụ, lấy một góc quay 1.340 độ. Nó rất dễ dàng để thể hiện 1 340 dưới dạng 360 · 4 + (- 100). Đó là, góc quay ban đầu tương ứng 4 lượt đầy đủ theo hướng tích cực và lần lượt tiếp theo -100 độ. Một ví dụ khác: một góc quay -745 độ có thể được hiểu là hai lượt trên mũi tên theo chiều kim đồng hồ và xoay tiếp theo -25 độ, vì -745 \u003d (- 360) · 2 + (25).

Xoay hình dạng xung quanh điểm ở góc

Khái niệm luân chuyển của điểm dễ dàng mở rộng trên xoay bất kỳ hình dạng xung quanh điểm ở góc (Đây là về một lượt như vậy là điểm tương đối mà lần lượt được thực hiện và con số quay, nằm trong cùng một mặt phẳng).

Dưới bước ngoặt của hình chúng ta sẽ hiểu sự quay vòng của tất cả các điểm của hình xung quanh điểm được chỉ định tại góc đã cho.

Ví dụ, chúng tôi tạo một minh họa về hành động sau: Thực hiện xoay vòng Cut AB đến góc so với điểm O, phân đoạn này khi quay thành một phân đoạn A 1 B 1.

Thư mục.

• Đại số học: Học. Cho 9 Cl. môi trường Shk. / U. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. Telikovsky. - M .: Giáo dục, 1990.- 272 C .: il.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Đại số và bắt đầu phân tích: Các nghiên cứu. Trong 10-11 cl. môi trường shk. - 3RD Ed. - M .: Khai sáng, 1993. - 351 C .: il. - ISBN 5-09-004617-4.
• Đại số học và bắt đầu phân tích: nghiên cứu. Trong 10-11 cl. giáo dục phổ thông. Các tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, v.v .; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed. - m .: Khai sáng, 2004.- 384 c .: il.- isbn 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (Lợi ích cho các ứng viên trong các trường kỹ thuật): Các nghiên cứu. lợi ích. - m .; Cao hơn. Shk., 1984.-351 p., Il.